4 x размерен куб. Киберкуб - първата стъпка в четвъртото измерение

Изображението е проекция (перспектива) на четириизмерен куб върху триизмерно пространство.

Според Оксфордския речник думата "тесеракт" е измислена и използвана през 1888 г. от Чарлз Хауърд Хинтън (1853-1907) в книгата му Нова ера на мисълта. По-късно някои хора наричат ​​същата фигура "тетракуб".

Геометрия

Един обикновен тесеракт в евклидовото четириизмерно пространство се определя като изпъкнала обвивка от точки (±1, ±1, ±1, ±1). С други думи, той може да бъде представен като следния набор:

Тесерактът е ограничен от осем хиперравнини, чието пресичане със самия тесеракт определя неговите триизмерни лица (които са обикновени кубове). Всяка двойка непаралелни 3D лица се пресичат, за да образуват 2D лица (квадрати) и т.н. И накрая, тесерактът има 8 3D лица, 24 2D, 32 ръба и 16 върха.

Популярно описание

Нека се опитаме да си представим как ще изглежда хиперкубът, без да напускаме триизмерното пространство.

В едномерно "пространство" - на права - избираме отсечка AB с дължина L. На двумерна равнина на разстояние L от AB начертаваме успоредна на нея отсечка DC и свързваме краищата им. Вземете квадрата ABCD. Повтаряйки тази операция със самолета, получаваме три мерителен куб ABCDHEFG. И като изместим куба в четвъртото измерение (перпендикулярно на първите три) с разстояние L, получаваме хиперкуба ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

Едномерният сегмент AB служи като страна на двумерния квадрат ABCD, квадратът е страната на куба ABCDHEFG, който от своя страна ще бъде страната на четиримерния хиперкуб. Отсечката с права линия има две гранични точки, квадратът има четири върха, а кубът има осем. Така в четириизмерен хиперкуб ще има 16 върха: 8 върха на оригиналния куб и 8 върха, изместени в четвъртото измерение. Той има 32 ръба - по 12 дават началната и крайната позиция на оригиналния куб, а още 8 ръба "начертават" осем от върховете му, които са се преместили в четвъртото измерение. Същото разсъждение може да се направи за лицата на хиперкуба. В двумерното пространство той е един (самият квадрат), кубът има 6 от тях (две лица от преместения квадрат и още четири ще опишат страните му). Четиримерен хиперкуб има 24 квадратни лица - 12 квадрата от оригиналния куб в две позиции и 12 квадрата от дванадесет от неговите ръбове.

По подобен начин можем да продължим разсъжденията за хиперкубове с по-голям брой измерения, но е много по-интересно да видим как ще изглежда четириизмерният хиперкуб за нас, обитателите на триизмерното пространство. Нека използваме за това вече познатия метод на аналогиите.

Тесеракт се разгъва

Нека вземем теления куб ABCDHEFG и го погледнем с едно око от страната на лицето. Ще видим и можем да начертаем два квадрата на равнината (близкото и далечното лице), свързани с четири линии - странични ръбове. По същия начин, четириизмерен хиперкуб в триизмерното пространство ще изглежда като две кубични „кутии“, вмъкнати една в друга и свързани с осем ръба. В този случай самите "кутии" - триизмерни лица - ще бъдат проектирани върху "нашето" пространство, а линиите, които ги свързват, ще се простират в четвъртото измерение. Можете също да опитате да си представите куб не в проекция, а в пространствено изображение.

Точно както триизмерният куб се формира от квадрат, изместен с дължината на лицето, куб, изместен в четвъртото измерение, ще образува хиперкуб. Той е ограничен от осем куба, които в бъдеще ще изглеждат като доста сложна фигура. Неговата част, останала в „нашето“ пространство, е начертана с плътни линии, а частта, която отиде в хиперпространството, е пунктирана. Самият четириизмерен хиперкуб се състои от безкраен брой кубове, точно както триизмерният куб може да бъде „нарязан“ на безкраен брой плоски квадрати.

Като изрежете шест лица на триизмерен куб, можете да го разложите на плоска фигура - мрежа. Той ще има квадрат от всяка страна на оригиналното лице, плюс още един - лицето срещу него. Триизмерното развитие на четириизмерен хиперкуб ще се състои от оригиналния куб, шест куба, които „растат“ от него, плюс още един - окончателното „хиперлице“.

Свойствата на тесеракта са продължение на свойствата геометрични формидолно измерение в четириизмерно пространство.

проекции

към двуизмерното пространство

Тази структура е трудна за представяне, но е възможно да се проектира тесеракт в 2D или 3D пространства. В допълнение, проекцията върху равнина улеснява разбирането на местоположението на върховете на хиперкуба. Така е възможно да се получат изображения, които вече не са отразяващи пространствени отношенияв рамките на тесеракт, но които илюстрират структурата на връзката на върха, както в следните примери:


към триизмерното пространство

Проекцията на тесеракта върху триизмерното пространство представлява два вложени триизмерни куба, чиито съответни върхове са свързани с сегменти. Вътрешните и външните кубчета имат различни размери в 3D пространството, но те са равни кубчета в 4D пространството. За да се разбере равенството на всички кубове на тесеракта, беше създаден въртящ се модел на тесеракта.

Шест пресечени пирамиди по ръбовете на тесеракта са изображения на равни шест куба.
стерео двойка

Стереодвойка тесеракт се изобразява като две проекции върху триизмерното пространство. Това изображение на тесеракта е проектирано да представя дълбочината като четвърто измерение. Стерео двойката се разглежда така, че всяко око вижда само едно от тези изображения, възниква стереоскопична картина, която възпроизвежда дълбочината на тесеракта.

Тесеракт се разгъва

Повърхността на тесеракт може да се разгъне на осем куба (подобно на това как повърхността на куб може да се разгъне на шест квадрата). Има 261 различни разгъвания на тесеракта. Разгъванията на тесеракт могат да бъдат изчислени чрез начертаване на свързаните ъгли върху графиката.

Тесеракт в изкуството

В New Plain на Edwine A. Abbott хиперкубът е разказвачът.
В един епизод на Приключенията на Джими Неутрон: „Момчето гений“, Джими изобретява четириизмерен хиперкуб, идентичен на сгъваемата кутия от „Пътят на славата“ на Хайнлайн от 1963 г.
Робърт Е. Хайнлайн споменава хиперкубовете в поне три научнофантастични истории. В Къщата на четирите измерения (The House That Teel Built) (1940) той описва къща, построена като разгръщане на тесеракт.
В романа на Хайнлайн „Пътят на славата“ са описани съдове с хипер размери, които са по-големи отвътре, отколкото отвън.
Разказът на Henry Kuttner „Mimsy Were the Borogoves“ описва образователна играчка за деца от далечното бъдеще, подобна по структура на тесеракта.
В романа на Алекс Гарланд (1999) терминът "тесеракт" се използва за триизмерното разгръщане на четириизмерен хиперкуб, а не за самия хиперкуб. Това е метафора, предназначена да покаже, че познавателната система трябва да бъде по-широка от познаваемата.
Сюжетът на Cube 2: Hypercube се съсредоточава върху осем непознати, хванати в „хиперкуб“ или мрежа от свързани кубове.
Телевизионният сериал Андромеда използва генератори на тесеракт като конспиративно устройство. Те са предназначени основно за контрол на пространството и времето.
Картината "Разпятие" (Corpus Hypercubus) от Салвадор Дали (1954)
Комиксът Nextwave изобразява превозно средство, което включва 5 тесерактни зони.
В албума Voivod Nothingface една от песните се казва "In my hypercube".
В романа на Антъни Пиърс Itinerary Cube, една от орбиталните луни Международна асоциацияразвитие се нарича тесеракт, който е компресиран в 3 измерения.
В поредицата "Училище" Черна дупка“” в третия сезон има епизод “Тесеракт”. Лукас натиска тайния бутон и училището започва да се оформя като математически тесеракт.
Терминът "тесеракт" и произлизащият от него термин "tesse" се срещат в разказа на Мадлен Л'Енгъл "Бръчката на времето"

В геометрията хиперкуб- това е н-дименсионална аналогия на квадрат ( н= 2) и куб ( н= 3). Това е затворена изпъкнала фигура, състояща се от групи успоредни линии, разположени на противоположните краища на фигурата и свързани една с друга под прав ъгъл.

Тази фигура е известна още като тесеракт(тесеракт). Тесерактът е спрямо куба, както кубът е спрямо квадрата. По-формално, тесерактът може да се опише като правилен изпъкнал четириизмерен политоп (многогранник), чиято граница се състои от осем кубични клетки.

Според Оксфордския английски речник думата „тесеракт“ е измислена през 1888 г. от Чарлз Хауърд Хинтън и е използвана в книгата му „Нова ера на мисълта“. Думата е образувана от гръцката "τεσσερες ακτινες" ("четири лъча"), е под формата на четири координатни оси. Освен това в някои източници се нарича същата фигура тетракуб(тетракуб).

н-дименсионален хиперкуб се нарича още n-куб.

Точката е хиперкуб с размерност 0. Ако преместите точка с единица дължина, получавате сегмент с единица дължина - хиперкуб с размерност 1. Освен това, ако преместите сегмент с единица дължина в перпендикулярна посока спрямо посоката на сегмента, получавате куб - хиперкуб с размерност 2. Премествайки квадрата с единица дължина в посока, перпендикулярна на равнината на квадрата, се получава куб - хиперкуб с размерност 3. Този процес може да се обобщи за произволен брой измерения. Например, ако преместите куб с единица дължина в четвъртото измерение, ще получите тесеракт.

Семейството на хиперкубовете е един от малкото правилни полиедри, които могат да бъдат представени във всяко измерение.

Елементи на хиперкуб

Дименсионен хиперкуб нима 2 н"страни" (едномерна линия има 2 точки; двумерен квадрат - 4 страни; триизмерен куб - 6 лица; четириизмерен тесеракт - 8 клетки). Броят на върховете (точките) на хиперкуба е 2 н(например за куб - 2 3 върха).

Количество м-мерни хиперкубове на границата н-куб е равен

Например, на границата на хиперкуб има 8 куба, 24 квадрата, 32 ръба и 16 върха.

Равнинна проекция

Формирането на хиперкуб може да бъде представено по следния начин:

• Две точки A и B могат да бъдат свързани, за да образуват отсечка AB.
• Две успоредни отсечки AB и CD могат да бъдат свързани, за да образуват квадрат ABCD.
• Два успоредни квадрата ABCD и EFGH могат да бъдат съединени, за да образуват куб ABCDEFGH.
• Два успоредни куба ABCDEFGH и IJKLMNOP могат да бъдат свързани, за да образуват хиперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Последната структура не е лесна за представяне, но е възможно да се изобрази нейната проекция върху две или три измерения. Освен това, проекциите върху 2D равнина могат да бъдат по-полезни чрез пренареждане на позициите на проектираните върхове. В този случай могат да се получат изображения, които вече не отразяват пространствените отношения на елементите в рамките на тесеракта, но илюстрират структурата на върховите връзки, както в примерите по-долу.

Първата илюстрация показва как по принцип се образува тесеракт чрез свързване на два куба. Тази схема е подобна на схемата за създаване на куб от два квадрата. Втората диаграма показва, че всички ръбове на тесеракта имат еднаква дължина. Тази схема също е принудена да търси кубчета, свързани помежду си. В третата диаграма върховете на тесеракта са разположени в съответствие с разстоянията по лицата спрямо долната точка. Тази схема е интересна, защото се използва като основна схема за мрежовата топология на свързващите процесори при организиране на паралелни изчисления: разстоянието между всеки два възела не надвишава 4 дължини на ръба и има много различни начини за балансиране на натоварването.

Хиперкуб в изкуството

Хиперкубът се появява в научната фантастика от 1940 г., когато Робърт Хайнлайн в историята „The House That Teal Built“ („И той построи крива къща“) описва къща, построена във формата на тесеракт. В историята, тази По-нататък, тази къща е сгъната, превръщайки се в четириизмерен тесеракт. След това хиперкубът се появява в много книги и романи.

Куб 2: Hypercube е около осем души, хванати в мрежа от хиперкубове.

Картината Разпятие (Corpus Hypercubus), 1954 г. от Салвадор Дали изобразява Исус, разпънат на тесеракт. Тази картина може да се види в Музея на изкуствата (Metropolitan Museum of Art) в Ню Йорк.

Заключение

Хиперкубът е един от най-простите четириизмерни обекти, на примера на който можете да видите цялата сложност и необичайност на четвъртото измерение. И това, което изглежда невъзможно в три измерения, е възможно в четири, например, невъзможни фигури. Така например лентите на невъзможен триъгълник в четири измерения ще бъдат свързани под прав ъгъл. И тази фигура ще изглежда така от всички гледни точки и няма да бъде изкривена, за разлика от реализациите на невъзможния триъгълник в триизмерното пространство (виж фиг.

Нека започнем, като обясним какво е четириизмерно пространство.

Това е едномерно пространство, тоест просто оста OX. Всяка точка от него се характеризира с една координата.

Сега нека начертаем оста OY, перпендикулярна на оста OX. Така че имаме двумерно пространство, тоест равнината XOY. Всяка точка от него се характеризира с две координати - абсцисата и ординатата.

Нека начертаем оста OZ, перпендикулярна на осите OX и OY. Ще получите триизмерно пространство, в което всяка точка има абциса, ордината и апликат.

Логично е четвъртата ос OQ да е перпендикулярна едновременно на осите OX, OY и OZ. Но ние не можем точно да конструираме такава ос и затова остава само да се опитаме да си я представим. Всяка точка в четириизмерното пространство има четири координати: x, y, z и q.

Сега нека да видим как се появи четириизмерният куб.

Картината показва фигура от едномерно пространство - линия.

Ако направите паралелен превод на тази линия по оста OY и след това свържете съответните краища на двете получени линии, ще получите квадрат.

По същия начин, ако направим паралелна транслация на квадрата по оста OZ и свържем съответните върхове, ще получим куб.

И ако направим паралелно преместване на куба по оста OQ и свържем върховете на тези два куба, тогава ще получим четириизмерен куб. Между другото се нарича тесеракт.

За да нарисувате куб на равнина, имате нужда от него проект. Визуално изглежда така:

Представете си, че във въздуха над повърхността виси каркасен моделкуб, тоест сякаш "направен от тел", а над него - електрическа крушка. Ако включите електрическата крушка, очертаете сянката на куба с молив и след това изключете електрическата крушка, тогава на повърхността ще се покаже проекция на куба.

Нека да преминем към нещо малко по-сложно. Погледнете отново рисунката с електрическата крушка: както виждате, всички лъчи се събират в една точка. Нарича се точка на изчезванеи се използва за изграждане перспективна проекция(и понякога успоредни, когато всички лъчи са успоредни един на друг. Резултатът е, че няма усещане за обем, но е по-светъл и ако точката на изчезване е достатъчно далеч от проектирания обект, тогава разликата между тези две проекции е едва забележимо). Да проектираме дадена точкана дадена равнина, използвайки точката на изчезване, трябва да начертаете права линия през точката на изчезване и дадената точка и след това да намерите пресечната точка на получената права и равнината. И за да проектирате по-сложна фигура, да речем, куб, трябва да проектирате всеки от нейните върхове и след това да свържете съответните точки. трябва да бъде отбелязано че алгоритъм за проекция от пространство към подпространствоможе да се обобщи до 4D->3D, не само 3D->2D.

Както казах, не можем да си представим как точно изглежда оста OQ, както и тесерактът. Но можем да получим ограничено представителствоза това, ако го проектираме върху обем и след това го нарисуваме на компютърен екран!

Сега нека поговорим за проекцията на тесеракта.

Отляво е проекцията на куба върху равнината, а отдясно е тесеракта върху обема. Те са доста сходни: проекцията на куб изглежда като два квадрата, малък и голям, един в друг, със съответните върхове, свързани с линии. А проекцията на тесеракта изглежда като два куба, малък и голям, един в друг, чиито съответни върхове са свързани. Но всички сме виждали куба и можем да кажем с увереност, че и малкия квадрат, и големия, и четирите трапеца отгоре, отдолу, отдясно и отляво на малък квадрат, всъщност са квадрати, освен това са равни. Същото важи и за Тесеракта. И голямо кубче, и малко кубче, и шест пресечени пирамидиот страните на малък куб - това са всички кубчета и те са равни.

Моята програма може не само да начертае проекцията на тесеракта върху обема, но и да го завърти. Нека да видим как се прави това.

Първо, ще ви кажа какво е въртене успоредно на равнината.

Представете си, че кубът се върти около оста OZ. Тогава всеки негов връх описва окръжност около оста OZ.

Кръгът е плоска фигура. И равнините на всяка от тези окръжности са успоредни една на друга, а в този случай те са успоредни на равнината XOY. Тоест можем да говорим не само за въртене около оста OZ, но и за въртене успоредно на равнината XOY.Както можете да видите, за точки, които се въртят успоредно на оста XOY, се променят само абсцисата и ординатата, докато прилож. остава непроменена И всъщност можем да говорим за въртене около права линия само когато имаме работа с триизмерно пространство. В 2D всичко се върти около точка, в 4D всичко се върти около равнина, в 5D пространството говорим за въртене около обем. И ако можем да си представим въртенето около точка, то въртенето около равнината и обема е нещо немислимо. И ако говорим за въртене успоредно на равнината, тогава във всяко n-мерно пространство една точка може да се върти успоредно на равнината.

Много от вас вероятно са чували за ротационната матрица. Умножавайки точка по него, получаваме точка, завъртяна успоредно на равнината на ъгъл фи. За двуизмерно пространство изглежда така:

Как да умножим: x на точка, завъртяна на ъгъл phi = косинус от ъгъл phi*x на първоначалната точка минус синус от ъгъл phi*y на първоначалната точка;
y на точката, завъртяна на ъгъла phi=синус на ъгъла phi*x на оригиналната точка плюс косинус на ъгъла phi*y на оригиналната точка.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya
, където Xa и Ya са абсцисата и ординатата на точката, която трябва да се завърти, Xa` и Ya` са абсцисата и ординатата на вече завъртяната точка

За триизмерно пространство тази матрица се обобщава, както следва:

Въртене успоредно на равнината XOY. Както можете да видите, Z координатата не се променя, но само X и Y се променят.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (по същество Za`=Za)

Въртене успоредно на равнината XOZ. Нищо ново,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 - sinФ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (всъщност Ya`=Ya)
Za`=sinФ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za

И третата матрица.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (по същество Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya - sinФ*Za
Za`=Xa*0 + sinФ*Ya + cosФ*Za

А за четвъртото измерение те изглеждат така:


Мисля, че вече разбрахте по какво да умножите, така че няма да го рисувам отново. Но отбелязвам, че прави същото като матрицата за въртене успоредно на равнината в триизмерното пространство! И този, и този променят само ординатата и приложението, а останалите координати не се докосват, следователно може да се използва в триизмерния случай, просто игнорирайки четвъртата координата.

Но с формулата на проекцията не всичко е толкова просто. Колкото и да чета форумите, нито един от методите за прожектиране не ми пасна. Паралелът не ми подхожда, тъй като проекцията няма да изглежда триизмерна. В някои проекционни формули, за да намерите точка, трябва да решите система от уравнения (и не знам как да науча компютър да ги решава), просто не разбрах други ... Като цяло реших да измисля свой собствен начин. Помислете за това проекцията 2D->1D.

pov означава "Гледна точка" (гледна точка), ptp означава "Точка към проект" (точката, която трябва да се проектира), а ptp` е желаната точка на оста OX.

Ъглите povptpB и ptpptp`A са равни като съответстващи (пунктираната линия е успоредна на оста OX, правата povptp е секущата).
X на ptp` е равно на x на ptp минус дължината на сегмента ptp`A. Тази отсечка може да се намери от триъгълника ptpptp`A: ptp`A = ptpA/тангенс на ъгъл ptpptp`A. Можем да намерим тази тангенс от триъгълник povptpB: тангенс на ъгъл ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Отговор: Xptp`=Xptp-Yptp/тангенс на ъгъл ptpptp`A.

Не описах този алгоритъм подробно тук, тъй като има много специални случаи, при които формулата се променя донякъде. На кого му пука - погледнете в изходния код на програмата, всичко е написано в коментарите.

За да проектираме точка в триизмерното пространство върху равнина, просто разглеждаме две равнини - XOZ и YOZ и решаваме тази задача за всяка от тях. В случай на четириизмерно пространство е необходимо да се разгледат вече три равнини: XOQ, YOQ и ZOQ.

И накрая, за програмата. Работи по следния начин: инициализирайте шестнадесет върха на тесеракта -> в зависимост от командите, въведени от потребителя, завъртете го -> прожектирайте върху обема -> в зависимост от командите, въведени от потребителя, завъртете неговата проекция -> прожектирайте върху равнина -> рисуване.

Проекциите и ротациите написах сам. Те работят по формулите, които току-що описах. Библиотеката OpenGL рисува линии и смесва цветове. И координатите на върховете на тесеракта се изчисляват по следния начин:

Координати на върха на линията с център в началото и дължина 2 - (1) и (-1);
- "-" - квадрат - "-" - и ръб с дължина 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) и (-1; -1);
- " - " - куб - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Както можете да видите, квадратът е една линия над оста OY и една линия под оста OY; кубът е един квадрат пред равнината XOY и един зад нея; тесеракт е един куб от другата страна на обема на XOYZ и един от тази страна. Но е много по-лесно да се възприеме това редуване на единици и минус единици, ако са записани в колона

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

В първата колона едно и минус едно се редуват. Във втората колона първо има два плюса, след това два минуса. В третата - четири плюс едно, а след това четири минус едно. Това бяха върховете на куба. Тесерактът има два пъти повече от тях и затова беше необходимо да се напише цикъл за декларирането им, в противен случай е много лесно да се объркате.

Моята програма също знае как да нарисува анаглиф. Щастливите собственици на 3D очила могат да гледат стереоскопична картина. Няма нищо сложно в начертаването на картина, тя просто рисува две проекции на равнина, за дясното и лявото око. Но програмата става много по-визуална и интересна и най-важното - дава по-добра представа за четириизмерния свят.

По-малко значими функции - подчертаване на едно от лицата в червено, за да можете по-добре да видите завоите, както и незначителни удобства - регулиране на координатите на точките "око", увеличаване и намаляване на скоростта на въртене.

Архив с програмата, изходния код и инструкции за употреба.

Веднага след като успях да изнеса лекция след операцията, първият въпрос, който студентите зададоха беше:

Кога ще ни начертаете 4-измерен куб? Иляс Абдулхаевич ни обеща!

Спомням си, че моите скъпи приятели понякога харесват минута математическа образователна програма. Затова тук ще напиша част от моята лекция за математици. И ще се опитам да не се смущавам. В някои моменти чета лекцията по-стриктно, разбира се.

Нека първо се споразумеем. 4-измерното и още повече 5-6-7- и изобщо k-измерното пространство не ни е дадено в сетивните усещания.
„Ние сме бедни, защото сме само триизмерни“, каза моят учител в неделното училище, който пръв ми каза какво е 4-измерен куб. Неделно училищебеше, разбира се, изключително религиозен - математически. По това време учехме хиперкубове. Седмица преди това математическа индукция, седмица след това Хамилтонови цикли в графики - съответно това е 7 клас.

Не можем да докоснем, помиришем, чуем или видим 4-измерен куб. Какво можем да направим с него? Можем да си го представим! Защото нашият мозък е много по-сложен от нашите очи и ръце.

И така, за да разберем какво е 4-измерен куб, нека първо разберем какво ни е на разположение. Какво е триизмерен куб?

ДОБРЕ ДОБРЕ! Не те моля за ясно математическа дефиниция. Само си представете най-простия и обикновен триизмерен куб. Представено?

Добре.
За да разберем как да обобщим 3-измерен куб в 4-измерно пространство, нека да разберем какво е 2-измерен куб. Толкова е просто - това е квадрат!

Квадратът има 2 координати. Кубът има три. Точките на квадрат са точки с две координати. Първата е от 0 до 1. А втората е от 0 до 1. Точките на куба имат три координати. И всяко е произволно число между 0 и 1.

Логично е да си представим, че 4-измерният куб е такова нещо, което има 4 координати и всичко от 0 до 1.

/* Също така е логично да си представим едномерен куб, който не е нищо повече от прост сегмент от 0 до 1. */

И така, чакайте, как се начертава 4-измерен куб? В крайна сметка не можем да начертаем 4-измерно пространство на равнина!
Но в крайна сметка ние също не чертаем триизмерно пространство на равнина, ние го рисуваме проекциявърху 2D чертожната равнина. Третата координата (z) поставяме под ъгъл, като си представяме, че оста от чертожната равнина върви "към нас".

Сега е съвсем ясно как да нарисувате 4-измерен куб. По същия начин, по който поставихме третата ос под някакъв ъгъл, нека вземем четвъртата ос и също я поставихме под някакъв ъгъл.
И – готово! -- проекция на 4-измерен куб върху равнина.

Какво? Какво е това все пак? Винаги чувам шепот от задните бюра. Нека обясня по-подробно какво представлява тази смесица от линии.
Първо погледнете триизмерния куб. какво направихме Взехме квадрат и го плъзнахме по третата ос (z). Това е като много хартиени квадратчета, залепени на купчина.
Същото е и с 4-измерен куб. Нека за удобство и за целите на научната фантастика наречем четвъртата ос „оста на времето“. Трябва да вземем обикновен триизмерен куб и да го преместим през времето от времето "сега" до времето "след час".

Имаме куб "сега". На снимката е розово.

И сега го плъзгаме по четвъртата ос - по времевата ос (показах я в зелено). И получаваме куба на бъдещето - син.

Всеки връх на "куба сега" оставя следа във времето - сегмент. Свързвайки нейното настояще с нейното бъдеще.

Накратко, без текст: начертахме два еднакви триизмерни куба и свързахме съответните върхове.
Точно както направихме с 3D куб (начертайте 2 еднакви 2D куба и свържете върховете).

За да начертаете 5D куб, трябва да начертаете две копия на 4D куба (4D куб с 5-та координата 0 и 4D куб с 5-та координата 1) и да свържете съответните върхове с ръбове. Вярно е, че в самолета ще излезе такава смесица от ръбове, че ще бъде почти невъзможно да се разбере нищо.

След като сме си представили 4-измерен куб и дори сме успели да го нарисуваме, можем да го изследваме по всякакъв начин. Без да забравяте да го изследвате както в ума, така и в картината.
Например. Двумерен куб е ограничен от 4 страни от едномерни кубове. Това е логично: за всяка от 2-те координати има както начало, така и край.
Триизмерен куб е ограничен от 6 страни с двуизмерни кубове. За всяка от трите координати има начало и край.
Така че един 4-измерен куб трябва да бъде ограничен до осем 3-измерни куба. За всяка от 4-те координати - от две страни. На фигурата по-горе ясно виждаме 2 лица, които го ограничават по "времевата" координата.

Ето два куба (те са леко наклонени, защото имат 2 измерения, проектирани върху равнината под ъгъл), ограничаващи нашия хипер-куб отляво и отдясно.

Лесно се забелязват и „горното“ и „долното“.

Най-трудното е да разберете визуално къде са "предницата" и "задницата". Предната започва от лицевата страна на "куба сега" и до лицевата страна на "куба на бъдещето" - тя е червена. Отзад, съответно, лилаво.

Те са най-трудни за забелязване, защото други кубове се объркват под краката, което ограничава хиперкуба до различна проектирана координата. Но имайте предвид, че кубовете все още са различни! Ето отново снимката, където са подчертани "кубът сега" и "кубът на бъдещето".

Разбира се, възможно е да проектирате 4-измерен куб в 3-измерно пространство.
Първият възможен пространствен модел е ясен как изглежда: трябва да вземете 2 кубични рамки и да свържете съответните им върхове с нов ръб.
В момента нямам този модел. В лекция показвам на студентите малко по-различен 3-измерен модел на 4-измерен куб.

Знаете как един куб се проектира върху равнина като тази.
Сякаш гледаме куба отгоре.

Близкият край, разбира се, е голям. И далечната страна изглежда по-малка, виждаме я през близката.

Ето как можете да проектирате 4-измерен куб. Сега кубът е по-голям, кубът на бъдещето, който виждаме в далечината, така че изглежда по-малък.

От друга страна. От страната на върха.

Директно точно от страната на ръба:

От страната на ребрата:

И последният ъгъл, асиметричен. От раздела "все пак казваш, че съм му гледал между ребрата."

Е, тогава можете да мислите за всичко. Например, точно както триизмерен куб се разгъва в равнина (това е като да изрежете лист хартия, за да получите куб, когато е сгънат), така и 4-измерен куб се разгъва в пространството. Все едно да изрежем парче дърво, така че като го сгънем в 4-измерно пространство, да получим тесеракт.

Можете да изучавате не само 4-измерен куб, но и n-измерни кубове като цяло. Например, вярно ли е, че радиусът на сфера, описана около n-мерен куб, е по-малък от дължината на ръба на този куб? Или ето един по-прост въпрос: колко върха има един n-мерен куб? И колко ръбове (едномерни лица)?

Еволюцията на човешкия мозък се е състояла в триизмерното пространство. Следователно ни е трудно да си представим пространства с размери, по-големи от три. Всъщност човешкият мозък не може да си представи геометрични обекти с повече от три измерения. И в същото време можем лесно да си представим геометрични обекти с размери не само три, но и с размери две и едно.

Разликата и аналогията между едноизмерните и двуизмерните пространства, както и разликата и аналогията между двуизмерните и триизмерните пространства ни позволяват леко да отворим екрана на мистерията, който ни огражда от пространства с по-високи измерения. За да разберете как се използва тази аналогия, помислете за много прост четириизмерен обект - хиперкуб, тоест четириизмерен куб. Нека, за определеност, да предположим, че искаме да решим конкретна задача, а именно да преброим броя на квадратните лица на четириизмерен куб. Всички съображения по-долу ще бъдат много свободни, без никакви доказателства, чисто по аналогия.

За да разберем как един хиперкуб се изгражда от обикновен куб, първо трябва да разгледаме как един обикновен куб се изгражда от обикновен квадрат. За оригиналността на представянето на този материал тук ще наречем обикновен квадрат SubCube (и няма да го бъркаме със сукуб).

За да се конструира куб от подкуб, е необходимо да се разшири подкубът в посока, перпендикулярна на равнината на подкуба в посока на третото измерение. В същото време подкуб ще расте от всяка страна на първоначалния подкуб, който е двуизмерна странична повърхност на куба, която ще ограничи триизмерния обем на куба от четири страни, две перпендикулярни на всяка посока в равнината на подкуба. А по новата трета ос има и два подкуба, които ограничават триизмерния обем на куба. Това е двуизмерното лице, където първоначално беше разположен нашият подкуб, и двуизмерното лице на куба, където подкубът дойде в края на конструкцията на куба.

Това, което току-що прочетохте, е изложено твърде подробно и с много уточнения. И не случайно. Сега ще направим такъв трик, ще заменим някои думи в предишния текст формално по този начин:
куб -> хиперкуб
подкуб -> куб
равнина -> обем
трети -> четвърти
2D -> 3D
четири -> шест
триизмерен -> четириизмерен
две -> три
равнина -> пространство

В резултат на това получаваме следния смислен текст, който вече не изглежда твърде подробен.

За да изградите хиперкуб от куб, трябва да разтегнете куба в посока, перпендикулярна на обема на куба в посока на четвъртото измерение. В същото време, куб ще расте от всяка страна на оригиналния куб, което е страничната триизмерна повърхност на хиперкуба, което ще ограничи четириизмерния обем на хиперкуба от шест страни, три перпендикулярни на всяка посока в пространството на куба. А по новата четвърта ос също има два куба, които ограничават четириизмерния обем на хиперкуба. Това е триизмерното лице, където първоначално беше разположен нашият куб, и триизмерното лице на хиперкуба, където кубът дойде в края на конструкцията на хиперкуба.

Защо сме толкова сигурни, че сме получили правилното описание на конструкцията на хиперкуба? Да, защото чрез абсолютно същата формална замяна на думи получаваме описание на конструкцията на куб от описание на конструкцията на квадрат. (Проверете го сами.)

Сега е ясно, че ако друг триизмерен куб трябва да расте от всяка страна на куба, тогава лице трябва да расте от всеки ръб на първоначалния куб. Общо кубът има 12 ръба, което означава, че ще има допълнителни 12 нови лица (подкуби) за тези 6 куба, които ограничават четириизмерния обем по трите оси на триизмерното пространство. И има още два куба, които ограничават този четириизмерен обем отдолу и отгоре по четвъртата ос. Всяко от тези кубчета има 6 лица.

Като цяло получаваме, че хиперкубът има 12+6+6=24 квадратни лица.

Следващата снимка показва логическата структура на хиперкуб. Това е като проекция на хиперкуб върху триизмерното пространство. В този случай се получава триизмерна рамка от ребра. На фигурата, разбира се, виждате проекцията на тази рамка също върху равнина.

На тази рамка вътрешният куб е, така да се каже, първоначалният куб, от който започва конструкцията и който ограничава четириизмерния обем на хиперкуба по четвъртата ос от дъното. Разтягаме този начален куб нагоре по оста на четвъртото измерение и той отива във външния куб. Така че външният и вътрешният куб от тази фигура ограничават хиперкуба по оста на четвъртото измерение.

И между тези два куба се виждат още 6 нови куба, които са в контакт с първите два чрез общи лица. Тези шест куба ограничават нашия хиперкуб по три оси на триизмерното пространство. Както можете да видите, те не само са в контакт с първите два куба, които са вътрешни и външни на тази триизмерна рамка, но те все още са в контакт един с друг.

Можете да изчислите директно във фигурата и да се уверите, че хиперкубът наистина има 24 лица. Но тук идва въпросът. Тази рамка на 3D хиперкуб е пълна с осем 3D куба без никакви пропуски. За да се направи истински хиперкуб от тази 3D проекция на хиперкуб, е необходимо да се обърне тази рамка отвътре навън, така че всичките 8 куба да ограничат 4D обема.

Прави се така. Каним обитател на четириизмерното пространство да ни посети и го молим да ни помогне. Той хваща вътрешния куб на тази рамка и го измества към четвъртото измерение, което е перпендикулярно на нашето 3D пространство. Ние в нашето триизмерно пространство го възприемаме така, сякаш цялата вътрешна рамка е изчезнала и е останала само рамката на външния куб.

След това нашият 4D асистент предлага помощ в родилните домове за безболезнено раждане, но нашите бременни жени са ужасени от перспективата бебето просто да изчезне от корема и да се озове в паралелно 3D пространство. Следователно четирикратното се отказва учтиво.

И ние се чудим дали някои от нашите кубчета не са се разлепили, когато рамката на хиперкуба беше обърната отвътре навън. В края на краищата, ако някои триизмерни кубове, заобикалящи хиперкуба, докосват своите съседи по рамката, ще докоснат ли и същите лица, ако четириизмерният обърне рамката отвътре навън.

Нека отново се обърнем към аналогията с пространства с по-ниска размерност. Сравнете изображението на телената рамка на хиперкуба с проекцията на 3D куба върху равнината, показана на следващата снимка.

Обитателите на двуизмерното пространство изградиха върху равнина рамка от проекция на куб върху равнина и поканиха нас, триизмерните жители, да обърнем тази рамка отвътре навън. Взимаме четирите върха на вътрешния квадрат и ги преместваме перпендикулярно на равнината. В същото време двуизмерните жители виждат пълното изчезване на цялата вътрешна рамка и имат само рамката на външния квадрат. При такава операция всички квадрати, които са били в контакт с ръбовете си, продължават да се докосват както преди със същите ръбове.

Затова се надяваме, че логическата схема на хиперкуба също няма да бъде нарушена, когато рамката на хиперкуба се обърне отвътре навън, а броят на квадратните лица на хиперкуба няма да се увеличи и ще остане равен на 24. Това, разбира се, е никакво доказателство, а чисто предположение по аналогия.

След всичко прочетено тук можете лесно да начертаете логическата рамка на петизмерен куб и да изчислите колко върхове, ръбове, лица, кубове и хиперкубове има той. Изобщо не е трудно.