Równanie ruchu po okręgu. Jednolity ruch kołowy

Ruch ciała po okręgu ze stałą prędkością modulo to ruch, w którym ciało opisuje te same łuki w równych odstępach czasu.

Ustala się pozycję ciała na obwodzie wektor promienia\ (~ \ vec r \) narysowany od środka okręgu. Moduł wektora promienia jest równy promieniowi okręgu r(rys. 1).

W tym czasie Δ T ciało poruszające się z punktu A dokładnie V, sprawia, że ​​przemieszczenie \ (~ \ Delta \ vec r \) jest równe cięciwie AB i porusza się po ścieżce równej długości łuku ja.

Wektor promienia jest obrócony o kąt Δ φ ... Kąt jest wyrażony w radianach.

Prędkość \ (~ \ vec \ upsilon \) ruchu ciała wzdłuż trajektorii (okręgu) jest skierowana stycznie do trajektorii. Nazywa się to prędkość liniowa... Moduł prędkości liniowej jest równy stosunkowi długości łuku koła ja do przedziału czasu Δ T dla których ten łuk jest przekazywany:

\ (~ \ upsilon = \ frac (l) (\ Delta t). \)

Skalarny wielkość fizyczna, liczbowo równy stosunkowi kąta obrotu wektora promienia do przedziału czasu, w którym nastąpił ten obrót, nazywa się prędkość kątowa:

\ (~ \ omega = \ frac (\ Delta \ varphi) (\ Delta t). \)

W SI jednostką prędkości kątowej są radiany na sekundę (rad / s).

Przy jednostajnym ruchu po okręgu prędkość kątowa i moduł prędkości liniowej są wartościami stałymi: ω = const; υ = const.

Położenie ciała można określić, jeśli moduł wektora promienia \ (~ \ vec r \) i kąt φ które składa się z osi Wół(współrzędna kątowa). Jeśli w początkowym momencie czasu T 0 = 0 współrzędna kątowa to φ 0, a w chwili obecnej T to jest równe φ , to kąt obrotu Δ φ wektor promienia w czasie \ (~ \ Delta t = t - t_0 = t \) jest równy \ (~ \ Delta \ varphi = \ varphi - \ varphi_0 \). Wtedy z ostatniego wzoru można uzyskać kinematyczne równanie ruchu punkt materialny obwodowo:

\ (~ \ varphi = \ varphi_0 + \ omega t. \)

Pozwala w każdej chwili określić pozycję ciała T... Biorąc pod uwagę, że \ (~ \ Delta \ varphi = \ frac (l) (R) \), otrzymujemy \ [~ \ omega = \ frac (l) (R \ Delta t) = \ frac (\ upsilon) (R) \ Prawa strzałka \]

\ (~ \ upsilon = \ omega R \) - wzór na zależność między prędkością liniową a kątową.

Przedział czasowy Τ , podczas którego ciało wykonuje jeden pełny obrót, nazywa się okres rotacji:

\ (~ T = \ frac (\ Delta t) (N), \)

gdzie n- liczba obrotów wykonywanych przez ciało w czasie Δ T.

W tym czasie Δ T = Τ ciało podąża ścieżką \ (~ l = 2 \ pi R \). W związku z tym,

\ (~ \ upsilon = \ frac (2 \ pi R) (T); \ \ omega = \ frac (2 \ pi) (T). \)

wielkość ν , odwrotność okresu, pokazująca, ile obrotów wykonuje ciało w jednostce czasu, nazywa się prędkość obrotowa:

\ (~ \ nu = \ frac (1) (T) = \ frac (N) (\ Delta t). \)

W związku z tym,

\ (~ \ upsilon = 2 \ pi \ nu R; \ \ omega = 2 \ pi \ nu. \)

Literatura

Aksenovich L.A. Fizyka w Liceum: Teoria. Zadania. Testy: Podręcznik. dodatek dla instytucji zapewniających odbiór obs. środowiska, edukacja / L.A. Aksenovich, N.N. Rakina, K.S. Farino; Wyd. K.S. Farino. - Mińsk: Adukacja i wihawanne, 2004. - s. 18-19.

Ponieważ prędkość liniowa jednostajnie zmienia kierunek, ruchu po okręgu nie można nazwać jednostajnym, jest on jednakowo przyspieszony.

Prędkość kątowa

Wybierz punkt na okręgu 1 ... Zbudujmy promień. W jednostce czasu punkt przesunie się do punktu 2 ... W tym przypadku promień opisuje kąt. Prędkość kątowa jest liczbowo równa kątowi obrotu promienia w jednostce czasu.

Okres i częstotliwość

Okres rotacji T- to czas, w którym ciało wykonuje jeden obrót.

Prędkość obrotowa to liczba obrotów na sekundę.

Częstotliwość i okres są powiązane stosunkiem

Zależność prędkości kątowej

Prędkość liniowa

Każdy punkt na okręgu porusza się z określoną prędkością. Ta prędkość nazywana jest liniową. Kierunek wektora prędkości liniowej zawsze pokrywa się ze styczną do okręgu. Na przykład iskry z szlifierki poruszają się w tym samym kierunku, co prędkość chwilowa.

Rozważmy punkt na kole, który wykonuje jeden obrót, czas potrzebny to kropka TŚcieżką, którą pokonuje punkt, jest obwód.

Przyspieszenie dośrodkowe

Podczas poruszania się po okręgu wektor przyspieszenia jest zawsze prostopadły do ​​wektora prędkości, skierowany do środka okręgu.

Korzystając z poprzednich wzorów, można wyprowadzić następujące zależności:

Punkty leżące na jednej prostej wychodzącej ze środka okręgu (np. mogą to być punkty leżące na szprychach koła) będą miały tę samą prędkość kątową, okres i częstotliwość. Oznacza to, że będą się obracać w ten sam sposób, ale z różnymi prędkościami liniowymi. Im dalej punkt znajduje się od środka, tym szybciej będzie się poruszał.

Prawo dodawania prędkości obowiązuje również dla: ruch obrotowy... Jeżeli ruch ciała lub układu odniesienia nie jest jednorodny, to prawo stosuje się do prędkości chwilowych. Na przykład prędkość osoby idącej wzdłuż krawędzi obracającej się karuzeli jest równa sumie wektorowej liniowej prędkości obrotu krawędzi karuzeli i prędkości ruchu tej osoby.

Ziemia uczestniczy w dwóch głównych ruchach obrotowych: dobowym (wokół własnej osi) i orbitalnym (wokół Słońca). Okres obrotu Ziemi wokół Słońca wynosi 1 rok lub 365 dni. Ziemia obraca się wokół własnej osi z zachodu na wschód, okres tego obrotu wynosi 1 dzień lub 24 godziny. Szerokość geograficzna to kąt między płaszczyzną równikową a kierunkiem od środka Ziemi do punktu na jej powierzchni.

Zgodnie z drugim prawem Newtona, siła jest przyczyną każdego przyspieszenia. Jeżeli poruszające się ciało doświadcza przyspieszenia dośrodkowego, to natura sił powodujących to przyspieszenie może być inna. Na przykład, jeśli ciało porusza się po okręgu na przywiązanej do niego linie, to działającą siłą jest siła sprężystości.

Jeżeli ciało leżące na dysku obraca się wraz z dyskiem wokół własnej osi, to taką siłą jest siła tarcia. Jeśli siła przestanie działać, ciało poruszy się w linii prostej.

Rozważ ruch punktu po okręgu od A do B. Prędkość liniowa jest równa

Przejdźmy teraz do systemu stacjonarnego połączonego z ziemią. Całkowite przyspieszenie punktu A pozostanie takie samo zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku, ponieważ przy przejściu z jednego układu bezwładnościowego do drugiego, przyspieszenie się nie zmienia. Z punktu widzenia nieruchomego obserwatora trajektoria punktu A nie jest już kołem, ale bardziej złożoną krzywą (cykloidą), po której punkt porusza się nierównomiernie.

Ruch jednolity obwodowo To najprostszy przykład. Na przykład koniec wskazówki zegarka porusza się po okręgu wzdłuż tarczy. Nazywa się prędkość ruchu ciała w kole linia prędkości.

Przy jednostajnym ruchu ciała po obwodzie, moduł prędkości ciała nie zmienia się w czasie, to znaczy v = const i zmienia się w tym przypadku tylko kierunek wektora prędkości (ar = 0), a zmiana w wektorze prędkości w kierunku charakteryzuje się wielkością zwaną przyspieszenie dośrodkowe() n lub CA. W każdym punkcie wektor przyspieszenia dośrodkowego jest skierowany do środka okręgu wzdłuż promienia.

Moduł przyspieszenia dośrodkowego wynosi

a CA = v 2 / R

Gdzie v jest prędkością liniową, R jest promieniem okręgu

Ryż. 1.22. Ruch ciała po okręgu.

Przy opisywaniu ruchu ciała po okręgu używa się go kąt obrotu promienia- kąt φ, o który w czasie t promień obraca się od środka okręgu do punktu, w którym znajduje się w tym momencie poruszające się ciało. Kąt obrotu mierzony jest w radianach. równy kątowi między dwoma promieniami okręgu, długość łuku między którymi jest równa promieniowi okręgu (ryc. 1.23). To znaczy, jeśli l = R, to

1 radian = l / R

Bo obwód jest równe

l = 2πR

360 о = 2πR / R = 2π rad.

W związku z tym

Cieszę się. = 57,2958 o = 57 o 18 '

Prędkość kątowa równomierny ruch ciała po obwodzie jest wartością ω, równą stosunkowi kąta obrotu promienia φ do przedziału czasu, w którym dokonano tego obrotu:

ω = φ / t

Jednostką miary prędkości kątowej są radiany na sekundę [rad/s]. Moduł prędkości liniowej jest określony przez stosunek długości przebytej drogi l do przedziału czasu t:

v = l / t

Prędkość liniowa z ruchem jednostajnym po okręgu jest skierowana stycznie na dany punkt okręgu. Gdy punkt się porusza, długość l łuku kołowego, przez który przechodzi ten punkt, jest powiązana z kątem obrotu φ przez wyrażenie

l = Rφ

gdzie R jest promieniem okręgu.

Wówczas, w przypadku ruchu jednostajnego punktu, prędkości liniowe i kątowe są powiązane zależnością:

v = l / t = Rφ / t = Rω lub v = Rω

Ryż. 1.23. Radian.

Okres obiegu- jest to okres czasu T, w którym ciało (punkt) wykonuje jeden obrót po obwodzie. Częstotliwość połączeń Jest odwrotnością okresu rewolucji - liczba obrotów na jednostkę czasu (na sekundę). Częstotliwość połączenia jest oznaczona literą n.

n = 1 / T

W jednym okresie kąt obrotu φ punktu wynosi 2π rad, więc 2π = ωT, skąd

T = 2π / ω

Oznacza to, że prędkość kątowa wynosi

ω = 2π / T = 2πn

Przyspieszenie dośrodkowe można wyrazić za pomocą okresu T i częstotliwości obiegu n:

a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

Ruch kołowy jest najprostszym przypadkiem krzywoliniowego ruchu ciała. Gdy ciało porusza się wokół jakiegoś punktu wraz z wektorem przemieszczenia, wygodnie jest wprowadzić przemieszczenie kątowe ∆ φ (kąt obrotu względem środka okręgu), mierzone w radianach.

Znając ruch kątowy, możesz obliczyć długość łuku kołowego (ścieżki), jaką przebyło ciało.

∆ l = R ∆ φ

Jeśli kąt obrotu jest mały, to ∆ l ≈ ∆ s.

Zilustrujmy to, co zostało powiedziane:

Prędkość kątowa

W ruchu krzywoliniowym wprowadza się pojęcie prędkości kątowej ω, czyli szybkości zmiany kąta obrotu.

Definicja. Prędkość kątowa

Prędkość kątowa w danym punkcie trajektorii jest granicą stosunku przemieszczenia kątowego ∆ φ do przedziału czasu ∆ t, w którym nastąpiło. t → 0.

ω = ∆ φ ∆ t, ∆ t → 0.

Jednostką miary prędkości kątowej są radiany na sekundę (rad s).

Istnieje zależność między prędkością kątową i liniową ciała poruszającego się po okręgu. Wzór na znalezienie prędkości kątowej:

Przy ruchu jednostajnym po obwodzie prędkości v i ω pozostają niezmienione. Zmienia się tylko kierunek wektora prędkości liniowej.

W tym przypadku równomierny ruch po obwodzie ciała działa dośrodkowo, czyli normalne przyspieszenie skierowany wzdłuż promienia koła do jego środka.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Moduł przyspieszenia dośrodkowego można obliczyć ze wzoru:

a n = v 2 R = ω 2 R

Udowodnijmy te relacje.

Zastanówmy się, jak zmienia się wektor v → w małym przedziale czasu ∆ t. ∆ v → = v B → - v A →.

W punktach A i B wektor prędkości jest skierowany stycznie do okręgu, podczas gdy moduły prędkości w obu punktach są takie same.

Z definicji przyspieszenia:

a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Rzućmy okiem na zdjęcie:

Trójkąty OAB i BCD są podobne. Wynika z tego, że O A A B = B C C D.

Jeżeli wartość kąta ∆ φ jest mała, odległość A B = ∆ s ≈ v ∆ t. Biorąc pod uwagę, że O A = R i C D = ∆ v dla powyższego podobne trójkąty otrzymujemy:

R v ∆ t = v ∆ v lub ∆ v ∆ t = v 2 R

Gdy ∆ φ → 0, kierunek wektora ∆ v → = v B → - v A → zbliża się do kierunku do środka okręgu. Biorąc to ∆ t → 0, otrzymujemy:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t; ∆t → 0; a n → = v 2 R.

Przy ruchu jednostajnym po okręgu moduł przyspieszenia pozostaje stały, a kierunek wektora zmienia się w czasie, zachowując orientację względem środka okręgu. Dlatego to przyspieszenie nazywa się dośrodkowym: wektor w dowolnym momencie jest skierowany do środka koła.

Zapis przyspieszenia dośrodkowego w postaci wektorowej wygląda tak:

a n → = - ω 2 R →.

Tutaj R → jest wektorem promienia punktu na okręgu, którego początek znajduje się w jego środku.

W ogólnym przypadku przyspieszenie podczas poruszania się po okręgu składa się z dwóch składowych - normalnej i stycznej.

Rozważ przypadek, w którym ciało porusza się nierównomiernie po okręgu. Wprowadźmy pojęcie przyspieszenia stycznego (stycznego). Jego kierunek pokrywa się z kierunkiem prędkości liniowej ciała iw każdym punkcie okręgu jest do niego skierowany stycznie.

a τ = ∆ v τ ∆ t; t → 0

Tutaj ∆ v τ = v 2 - v 1 jest zmianą modułu prędkości w przedziale ∆ t

Kierunek pełnego przyspieszenia jest określony przez sumę wektorów przyspieszenia normalnego i stycznego.

Ruch kołowy w płaszczyźnie można opisać za pomocą dwóch współrzędnych: x i y. W każdym momencie prędkość ciała można rozłożyć na składowe vx i vy.

Jeżeli ruch jest jednostajny, wartości v x i v y oraz odpowiadające im współrzędne będą się zmieniać w czasie zgodnie z prawem harmonicznym o okresie T = 2 π R v = 2 π ω

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter