Нулево математическо очакване. Очакване и вариация

Математическото очакване е дефиницията

Очакването на партньор еедин от основни понятия v математическа статистикаи теория на вероятностите, характеризираща разпределението на стойностите или вероятности случайна величина... Обикновено се изразява като средно претегленана всички възможни параметри на случайната променлива. Той се използва широко в технически анализ, изследвания числови серии, изследване на непрекъснати и непрекъснати процеси. Той е важен при оценката на рисковете, прогнозирането на ценовите индикатори при търговия на финансовите пазари, използва се при разработването на стратегии и методи на тактиката на играта в теория на хазарта.

Очакване на мат- това есредна стойност на произволна променлива, разпределение вероятностислучайната променлива се разглежда в теорията на вероятностите.

Очакването на партньор емярка за средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Математическо очакване на случайна променлива хобозначено М (х).

Очаквана стойност ( Средна популация) - това е

Очакването на партньор е

Очакването на партньор ев теорията на вероятностите, среднопретеглената стойност на всички възможни стойности, които тази случайна променлива може да приеме.

Очакването на партньор есумата от произведенията на всички възможни стойности на произволна променлива от вероятностите на тези стойности.

Средната популация е

Очакването на партньор есредната полза от едно или друго решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията на големите числа и дългите разстояния.

Очакването на партньор ев теорията на хазарта, сумата на печалбите, които спекулантът може да спечели или загуби средно за всеки залог. На езика на хазарта спекулантитова понякога се нарича „предимство спекулант"(Ако е положително за спекуланта) или" предимство в казиното "(ако е отрицателно за спекуланта).

Средната популация е

Очакването на партньор епечалба на победа, умножена по средната стойност печалба, минус загубата, умножена по средната загуба.

Математическото очакване на случайна променлива в математическата теория

Една от важните числени характеристики на произволна променлива е матрицата за очакване. Нека представим концепцията за система от случайни променливи. Помислете за колекция от произволни променливи, които са резултати от същия произволен експеримент. Ако - една от възможните стойности на системата, тогава събитието съответства на определена вероятност, която удовлетворява аксиомите на Колмогоров. Функция, дефинирана за всякакви възможни стойности на случайни променливи, се нарича съвместен закон за разпределение. Тази функция ви позволява да изчислите вероятностите за всякакви събития от. По-специално ставата законразпределения на произволни променливи и, които вземат стойности от множеството и, се задават от вероятности.

Терминът „мат. очакване“ е въведено от Пиер Симон маркиз дьо Лаплас (1795 г.) и произхожда от концепцията за „очаквана стойност на печалбата“, която се появява за първи път през 17-ти век в теорията на хазарта в писанията на Блез Паскал и Кристиан Хюйгенс. Първото пълно теоретично разбиране и оценка на тази концепция обаче дава Пафнутий Лвович Чебишев (средата на 19 век).

Законразпределенията на произволни числови стойности (функция на разпределение и ред на разпределение или плътност на вероятността) напълно описват поведението на произволна променлива. Но в редица задачи е достатъчно да се знаят някои от числените характеристики на изследваната величина (например нейната средна стойност и възможно отклонение от нея), за да се отговори на поставения въпрос. Основните числени характеристики на случайните променливи са очакване, дисперсия, мода и медиана.

Очакването на дискретна случайна променлива е сумата от произведенията на възможните й стойности по съответните вероятности. Понякога приятел. очакването се нарича среднопретеглена, тъй като е приблизително равно на средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива при Голям бройексперименти. От дефиницията на матката за очакване следва, че нейната стойност е не по-малка от възможно най-малката стойност на произволната променлива и не повече от най-голямата. Очакването на случайна променлива е неслучайна (постоянна) променлива.

Очакването на мат е просто физическо значение: ако единична маса е поставена върху права линия, като е поставила някаква маса в някои точки (за дискретно разпределение) или я е "размазала" с определена плътност (за абсолютно непрекъснато разпределение), тогава точката, съответстваща на очакването ще бъде координатата на "центъра на тежестта" на правата линия.

Средната стойност на произволна променлива е определено число, което като че ли е неин "представител" и го замества в груби приблизителни изчисления. Когато казваме: „средното време на работа на лампата е 100 часа“ или „средната точка на удара е изместена спрямо целта с 2 m вдясно“, ние обозначаваме определена числена характеристика на произволна величина, която описва нейната местоположение по цифровата ос, т.е „Характеризиране на длъжността“.

От характеристиките на позицията в теорията на вероятността най-важна роля играе очакването на случайна променлива, която понякога се нарича просто средна стойност на случайна променлива.

Помислете за произволна променлива NSс възможни стойности x1, x2, ..., xnс вероятности p1, p2, ..., pn... Трябва да характеризираме с някакво число позицията на стойностите на произволната променлива по абсцисната ос с като се вземат предвидче тези стойности имат различни вероятности. За целта е естествено да се използва т. нар. „средно претеглена” на стойностите xiи всяка стойност на xi по време на осредняването трябва да се вземе предвид с "тегло", пропорционално на вероятността за тази стойност. По този начин ще изчислим средната стойност на случайната променлива хкоито ще обозначим M | X |:

Тази претеглена средна стойност се нарича мат на очакванията. По този начин ние въведохме в разглеждане едно от най-важните понятия на теорията на вероятностите - понятието мат. очаквания. мат. Очакването на произволна променлива е сумата от произведенията на всички възможни стойности на произволна променлива от вероятностите на тези стойности.

мат. очакване на случайна променлива NSсвързана с вид връзка със средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на произволна променлива с голям брой експерименти. Тази зависимост е от същия тип като зависимостта между честота и вероятност, а именно: при голям брой експерименти средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на произволна променлива се приближава (сближава по вероятност) до нейната матрица. очакване. От наличието на връзка между честота и вероятност може да се изведе като следствие наличието на подобна връзка между средноаритметичното и математическото очакване. Наистина, помислете за случайната променлива NSхарактеризира се с разпределителна серия:

Нека се произвежда ннезависими експерименти, във всеки от които стойността хпридобива определено значение. Да предположим стойността x1се появи m1пъти, стойност х2се появи m2пъти, общо значение xiсе появи мили пъти. Нека изчислим средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на величината X, която, за разлика от матката на очакванията M | X |ще посочим M * | X |:

С увеличаване на броя на експериментите нчестота пище се доближи (сближи по вероятност) до съответните вероятности. Следователно, средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива M | X |с увеличаване на броя на експериментите, той ще се доближи (сближава по вероятност) до своя партньор в очакването. Горната връзка между средноаритметичната и мат. очакването представлява съдържанието на една от формите на закона за големите числа.

Вече знаем, че всички форми на закона за големите числа посочват факта, че някои средни стойности са стабилни за голям брой експерименти. Тук говорим за стабилността на средното аритметично от поредица от наблюдения на една и съща величина. При малък брой експерименти средноаритметичната стойност на резултатите им е произволна; при достатъчно увеличаване на броя на експериментите, той става "почти случаен" и, стабилизирайки, се доближава до постоянна стойност - мат. очакване.

Свойството на стабилност на средните стойности с голям брой експерименти е лесно да се провери експериментално. Например, претегляйки тяло в лаборатория на точна везна, ние получаваме нова стойност всеки път в резултат на претеглянето; за да намалим грешката в наблюдението, претегляме тялото няколко пъти и използваме средноаритметичната стойност на получените стойности. Лесно е да се убедим, че с по-нататъшно увеличаване на броя на експериментите (претегляния) средноаритметичната реакция реагира на това увеличение все по-малко и при достатъчно голям брой експерименти то практически престава да се променя.

Трябва да се отбележи, че най-важната характеристика на позицията на произволна променлива е мат. очакване - не съществува за всички случайни променливи. Можете да съставите примери за такива произволни променливи, за които мат. няма очакване, тъй като съответният сбор или интеграл се разминават. За практика обаче подобни случаи не представляват значителен интерес. Обикновено произволните променливи, с които работим, имат ограничен диапазон от възможни стойности и, разбира се, имат математическо очакване.

В допълнение към най-важните характеристики на позицията на произволна променлива - матрицата на очакванията - понякога на практика се използват и други характеристики на позицията, по-специално модът и медианата на произволна променлива.

Режимът на произволна променлива е нейната най-вероятна стойност. Терминът "най-вероятна стойност", строго погледнато, се прилага само за прекъснати величини; за непрекъсната величина режимът е тази стойност, при която плътността на вероятността е максимална. Фигурите показват съответно режима за прекъснати и непрекъснати случайни променливи.

Ако полигонът на разпределение (кривата на разпределение) има повече от един максимум, разпределението се нарича "полимодално".

Понякога има разпределения, които имат минимум, а не максимум в средата. Такива дистрибуции се наричат ​​"антимодални".

В общия случай режимът и математическото очакване на произволна променлива не съвпадат. В частния случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. има мод) и има мат. очакване, то съвпада с модата и центъра на симетрия на разпределението.

Често се използва и друга характеристика на позицията – така наречената медиана на произволна променлива. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че формално може да се определи за прекъсната променлива. Геометрично, медианата е абсцисата на точката, в която площта, ограничена от кривата на разпределение, се намалява наполовина.

В случай на симетрично модално разпределение, медианата съвпада с мат. очаквания и мода.

Матемото на очакванията е средната стойност, на случайната променлива - числовата характеристика на вероятностното разпределение на случайната променлива. Най-общо казано, математиката е очакване на произволна променлива X (w)се дефинира като интеграл на Лебег по отношение на вероятностната мярка Рв оригиналното вероятностно пространство:

мат. очакването може да се изчисли и като интеграл на Лебег от NSчрез разпределение на вероятностите pxвеличини х:

По естествен начин можете да дефинирате концепцията за произволна променлива с безкрайна очаквана стойност. Типичен примерслужат времена на репатриране в някои произволни разходки.

Използване на постелката. очакванията се определят от много числени и функционални характеристики на разпределението (като математическо очакване на съответните функции на произволна променлива), например генерираща функция, характеристична функция, моменти от произволен порядък, по-специално дисперсия, ковариация.

Средната популация е

Подложката за очакване е характеристика на местоположението на стойностите на произволна променлива (средната стойност на нейното разпределение). В това си качество математическото очакване служи като някакъв "типичен" параметър на разпределение и неговата роля е подобна на ролята на статичния момент - координатите на центъра на тежестта на разпределението на масата - в механиката. Различава се от другите характеристики на местоположението, с помощта на които разпределението се описва най-общо, - медиани, модове, очакване, с по-голямата стойност, която то и съответната характеристика на разсейване - дисперсия - имат в пределните теореми на вероятността теория. С най-голяма пълнота смисълът на математиката на очакванията се разкрива от закона за големите числа (неравенството на Чебишев) и засиления закон за големите числа.

Средната популация е

Математическото очакване на дискретна случайна променлива

Нека има някаква произволна променлива, която може да приеме една от няколко числови стойности (например, броят на точките при хвърляне на зар може да бъде 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Често на практика за такова количество възниква въпросът: каква стойност отнема "средно" за Голям бройтестове? Какъв ще бъде средният ни доход (или загуба) от всяка една от рисковите операции?

Да кажем, че има някаква лотария. Искаме да разберем дали е изгодно или не да участваме в него (или дори да участваме многократно, редовно). Да кажем, че всеки четвърти печеливш билет, наградата е 300 рубли, а всеки билет - 100 рубли. При безкрайно голям брой участия се получава това. В три четвърти от случаите ще загубим, всеки три загуби ще струва 300 рубли. Във всеки четвърти случай ще спечелим 200 рубли. (награда минус цена), тоест за четири участия губим средно 100 рубли, за едно - средно 25 рубли. Като цяло средната ставка на нашата разруха ще бъде 25 рубли на билет.

Хвърляме заровете. Ако не е измама (без изместване на центъра на тежестта и т.н.), тогава колко точки ще имаме средно в даден момент? Тъй като всяка опция е еднакво вероятна, вземаме глупава средна аритметична стойност и получаваме 3,5. Тъй като това е СРЕДНО, няма защо да се възмущавате, че нито едно конкретно хвърляне няма да даде 3,5 точки - ами този куб няма ръб с такова число!

Сега нека обобщим нашите примери:

Нека разгледаме току-що показаната снимка. Отляво е таблица с разпределението на произволна променлива. Стойността X може да приеме една от n възможни стойности (показани в горния ред). Не може да има други ценности. Всяка възможна стойност по-долу е обозначена с нейната вероятност. Вдясно е формула, където M (X) се нарича мат. очакване. Значението на тази стойност е, че при голям брой опити (с голяма извадка), средната стойност ще клони към точно това очакване.

Да се ​​върнем към същия куб за игра. мат. очакването на броя точки при хвърляне е 3,5 (изчислете сами, като използвате формулата, ако не вярвате). Да кажем, че сте го хвърлили няколко пъти. Паднаха 4 и 6. Средно се оказа 5, тоест далеч от 3,5. Хвърлиха го още веднъж, изпуснаха 3, тоест средно (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Някак далеч от партньора. очаквания. Сега направете този луд експеримент - хвърлете куба 1000 пъти! И ако средната стойност не е точно 3,5, тя ще бъде близо до това.

Да броим мат. в очакване на горната лотария. Табелката ще изглежда така:

Тогава очакването ще бъде математика, както установихме по-горе .:

Друго нещо е, че би било трудно да се използва същото „на пръстите“, без формула, ако имаше повече опции. Да приемем, че сте имали 75% от губещите билети, 20% от печелившите билети и 5% от допълнителните печеливши билети.

Сега някои имоти са очакванията на партньорите.

мат. очакването е линейно.Доказването на това е просто:

Позволено е да се постави постоянен множител извън знака за мат. очаквания, а именно:

Това е специален случай на свойството на линейността на матката за очакване.

Друго следствие от линейността на мат. очаквания:

тоест колега. очакването на сбора от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на случайните променливи.

Нека X, Y са независими случайни променливи, тогава:

Това също е лесно да се докаже) XYсама по себе си е произволна променлива, докато ако първоначалните стойности биха могли да приемат ни мстойности съответно XYможе да приема nm стойности. всяка от стойностите се изчислява въз основа на факта, че вероятностите за независими събития се умножават. В резултат получаваме това:

Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива

Непрекъснатите случайни променливи имат такава характеристика като плътност на разпределението (плътност на вероятността). Това всъщност характеризира ситуацията, че произволна променлива взема някои стойности от набора от реални числа по-често, някои по-рядко. Например, разгледайте следната графика:

Тук хсама по себе си е произволна променлива, f (x)- плътност на разпределение. Съдейки по тази графика, в експериментите стойността хчесто ще бъде число, близко до нула. Шансовете за надвишаване 3 или да бъде по-малко -3 по-скоро чисто теоретично.

Ако плътността на разпределение е известна, тогава математиката на очакванията се търси, както следва:

Например, да предположим, че има равномерно разпределение:

Да намерим постелката. очакване:

Това е напълно в съответствие с интуитивното разбиране. Да кажем, ако получим много произволни реални числа с равномерно разпределение, всеки от сегмента |0; 1| , тогава средното аритметично трябва да бъде около 0,5.

И тук са приложими свойствата на матката за очакване - линейност и др., приложими за дискретни случайни величини.

Връзката на математическото очакване с други статистически показатели

V статистическианализ, заедно с мат очакването, има система от взаимозависими показатели, отразяващи хомогенността на явленията и стабилността процеси... Индикаторите за вариации често нямат независимо значение и се използват за по-нататъшен анализ на данните. Изключение прави коефициентът на вариация, който характеризира еднородността данникакво е ценно статистическиХарактеристика.

Степента на променливост или стабилност процесив статистическата наука може да се измери с помощта на няколко индикатора.

Най-важният показател, характеризиращ променливостпроизволната променлива е Дисперсия, което е най-тясно и пряко свързано с мат. очакване. Този параметър се използва активно в други типове Статистически анализ(проверка на хипотези, анализ на причинно-следствените връзки и др.). Подобно на средното линейно отклонение, дисперсията също отразява мярката на спреда данниоколо средното.

Полезно е езикът на знаците да се преведе на езика на думите. Оказва се, че дисперсията е средният квадрат на отклоненията. Тоест, първо се изчислява средната стойност, след това разликата между всеки оригинал и средната се взема, квадратира, добавя и след това се разделя на броя на стойностите в съвкупността. Разликатамежду индивидуалната стойност и средната стойност отразява мярката на отклонението. То е на квадрат, така че всички отклонения да станат изключително положителни числаи да се избегне взаимното унищожаване на положителните и отрицателните отклонения, когато се сумират. След това с квадратите на отклоненията просто изчисляваме средноаритметичната стойност. Средно - квадрат - отклонения. Отклоненията се квадратират и се отчита средната стойност. Решението на вълшебната дума "вариация" се крие само в три думи.

Въпреки това, в чиста форма, като средноаритметичната стойност, или дисперсията не се използва. Това е по-скоро спомагателен и междинен индикатор, който се използва за други видове статистически анализи. Тя дори няма нормална мерна единица. Съдейки по формулата, това е квадратът на мерната единица на оригиналните данни.

Средната популация е

Нека измерим произволна променлива нпъти, например измерваме скоростта на вятъра десет пъти и искаме да намерим средната стойност. Как средната стойност е свързана с функцията на разпределение?

Или ще хвърлим заровеголям брой пъти. Броят точки, които ще отпаднат на зарчето при всяко хвърляне, е произволна променлива и може да приеме всякакви естествени стойности от 1 до 6. Средноаритметичната стойност на падналите точки, изчислена за всички хвърляния на зарове, също е произволна стойност, но за големи нтя клони към много специфично число - мат. очакване Mx... В този случай Mx = 3,5.

Как се появи тази стойност? Пусни вътре низпитания n1веднъж паднал 1 точка, n2пъти - 2 точки и т.н. Тогава броят на резултатите, при които една точка е отпаднала, е:

По същия начин за резултатите, когато се хвърлят 2, 3, 4, 5 и 6 точки.

Да предположим сега, че знаем разпределенията на случайната променлива x, тоест знаем, че случайната променлива x може да приема стойности x1, x2, ..., xk с вероятности p1, p2, ..., pk.

Очакването Mx на произволна променлива x е:

Математическото очакване не винаги е разумна оценка на някаква случайна променлива. Така че, за да се оцени средната заплата, е по-разумно да се използва концепцията за медиана, тоест такава стойност, че броят на хората, които получават по-малко от медианата, заплатаи големи, съвпадат.

Вероятността p1 случайната променлива x да бъде по-малка от x1 / 2 и вероятността p2 случайната променлива x да бъде по-голяма от x1 / 2 са еднакви и равни на 1/2. Медианата не е определена еднозначно за всички разпределения.

Стандартно или Стандартно отклонениев статистиката е степента, до която данните или наборите от наблюдение се отклоняват от средната стойност. Означава се с буквите s или s. Малко стандартно отклонение показва, че данните са групирани около средната стойност, докато голямото стандартно отклонение показва, че оригиналните данни са далеч от нея. Стандартното отклонение е корен квадратенвеличина, наречена дисперсия. Това е средната стойност от сбора на квадратните разлики на първоначалните данни, отклоняващи се от средното. Средно квадратното отклонение на произволна променлива се нарича корен квадратен от дисперсията:

Пример. При условия на тест, когато стреляте по мишена, изчислете дисперсията и стандартното отклонение на произволна променлива:

Вариация- изменчивост, променливост на стойността на признака в единиците от съвкупността. Избрано числови стойностичерти, открити в изследваната популация, се наричат ​​стойностни опции. Недостатъчността на средната стойност за пълна характеристика на популацията налага да се допълват средните стойности с показатели, които позволяват да се оцени типичността на тези средни стойности чрез измерване на променливостта (вариацията) на изследваната черта. Коефициентът на вариация се изчислява по формулата:

Вариант на плъзгане(R) е разликата между максималните и минималните стойности на чертата в изследваната популация. Този индикатор дава най-много Главна идеяза вариабилността на изследваната черта, както показва разликасамо между граничните стойности на опциите. Зависимостта от екстремните стойности на чертата придава на диапазона на вариация нестабилен, случаен характер.

Средно линейно отклонениепредставлява средноаритметичната стойност на абсолютните (модулни) отклонения на всички стойности на анализираната съвкупност от тяхната средна стойност:

Очаквана стойност в теорията на хазарта

Очакването на партньор есредната сума пари, която хазартният спекулант може да спечели или загуби при даден залог. Това е много съществена концепция за спекуланта, защото е от основно значение за оценката на повечето игрови ситуации. Очакваният мат също е оптимален инструмент за анализиране на основни карти и игрови ситуации.

Да приемем, че играете на монета с приятел, залагайки по 1 долар всеки път, независимо от това, което се случи. Опашки - печелите, глави - губите. Шансовете за настъпване на опашки са едно към едно и вие залагате $1 към $1. По този начин, партньор, вашите очаквания са нулеви, т.к математически казано, не можеш да знаеш дали ще водиш или ще загубиш след две хвърляния или след 200.

Вашата почасова печалба е нула. Почасова печалба е сумата пари, която очаквате да спечелите след час. Можете да хвърлите монета 500 пъти в рамките на един час, но няма да спечелите или загубите, т.к шансовете ви не са нито положителни, нито отрицателни. От гледна точка на сериозен спекулант, подобна система за залагания не е лоша. Но това е просто загуба на време.

Но да предположим, че някой иска да заложи $2 срещу вашия $1 в същата игра. Тогава веднага имате положително очакване от 50 цента от всеки залог. Защо 50 цента? Средно печелите един залог и губите втория. Заложете първото и загубите 1 долар, заложете второто и спечелете 2 долара. Залагате два пъти по 1 долар и имате 1 долар напред. Така че всеки от вашите залози за един долар ви даде 50 цента.

Ако монетата изпадне 500 пъти за един час, вашите почасови печалби вече ще бъдат $250, т.к. средно сте загубили един по един долар 250 пъти и спечели с двама долар 250 пъти. $500 минус $250 се равняват на $250, което е общата печалба. Моля, имайте предвид, че очакваната стойност, която е сумата, която сте спечелили средно на един залог, е 50 цента. Вие спечелихте $250, като поставите долар залог 500 пъти, което се равнява на 50 цента от залога.

Средната популация е

мат. чакането няма нищо общо с краткосрочните резултати. Вашият опонент, който реши да заложи 2 долара срещу вас, може да ви победи при първите десет поредни хвърляния, но вие, с предимството да заложите 2 към 1, при равни други условия, при всички обстоятелства печелите 50 цента от всеки залог от $1. Няма значение дали ще спечелите или загубите един залог или няколко залога, но само ако имате достатъчно пари, за да компенсирате спокойно разходите. Ако продължите да залагате по същия начин, тогава за дълъг период от време печалбите ви ще достигнат сумата от очакванията ви в отделни хвърляния.

Всеки път, когато направите залог с най-добър изход (залог, който може да се окаже печеливш в дългосрочен план), когато коефициентите са във ваша полза, вие определено ще спечелите нещо от него и няма значение дали загубите това или не в тази ръка. Обратно, ако направите залог с най-лош изход (залог, който не е печеливш в дългосрочен план), когато коефициентите не са във ваша полза, вие губите нещо, независимо дали печелите или губите в дадена ръка.

Средната популация е

Вие правите залог с най-добър изход, ако очакванията ви са положителни, и е положителен, ако коефициентите са на ваша страна. Когато правите залог с най-лош изход, имате отрицателно очакване, което се случва, когато коефициентите са срещу вас. Сериозните спекуланти правят залози само с най-добрия изход; в най-лошия случай те се отказват. Какво означава коефициентът във ваша полза? В крайна сметка може да спечелите повече от реалните коефициенти. Истинските шансове за опашване са 1 към 1, но вие получавате 2 към 1 поради съотношението на залозите. В този случай шансовете са във ваша полза. Определено ще получите най-добрия резултат с положително очакване от 50 цента на залог.

Ето един по-сложен пример за колега. очаквания. Вашият приятел пише числата от едно до пет и залага $5 срещу вашия $1, че няма да определите скритото число. Трябва ли да се съгласите на такъв залог? Какво е очакването тук?

Средно ще сгрешите четири пъти. Въз основа на това шансовете срещу вас да познаете числото са 4 към 1. Коефициентът е да загубите долар с един опит. Въпреки това, вие печелите 5 към 1, ако можете да загубите 4 към 1. Така че коефициентите са във ваша полза, можете да вземете залога и да се надявате на по-добър изход. Ако направите този залог пет пъти, средно ще загубите четири пъти по $1 и ще спечелите $5 веднъж. Въз основа на това за всичките пет опита ще спечелите 1 долар с положителна очаквана стойност от 20 цента на залог.

Спекулант, който ще спечели повече, отколкото залага, както в примера по-горе, улавя коефициентите. Обратно, той съсипва коефициентите, когато очаква да спечели по-малко, отколкото залага. Спекулантът, който прави залог, може да има или положителни, или отрицателни очаквания, което зависи от това дали той хваща или съсипва коефициентите.

Ако заложите $50, за да спечелите $10 с вероятност 4 към 1 да спечелите, тогава получавате отрицателно очакване от $2, т.к. средно печелите четири пъти по $10 и губите $50 веднъж, което показва, че загубата за един залог е $10. Но ако заложите $30, за да спечелите $10, със същите шансове да спечелите 4 към 1, тогава в този случай имате положително очакване от $2, т.к. печелите отново четири пъти за $10 и губите $30 веднъж, което е печалбана $10. Тези примери показват, че първият залог е лош, а вторият е добър.

мат. чакането е в центъра на вниманието на всеки игрова ситуация... Когато букмейкърът насърчава футболните фенове да заложат $11, за да спечелят $10, те имат положително очакване от 50 цента за всеки $10. Ако казиното изплаща равни пари от преминаващата линия в craps, тогава положителното очакване на казиното е приблизително $1,40 за всеки $100, т.к. Тази игра е структурирана по такъв начин, че всеки, който залага на тази линия, губи средно 50,7% и печели 49,3% от общото време. Несъмнено това е на пръв поглед минимално положително очакване, което носи колосални печалби на собствениците на казина по целия свят. Както отбеляза собственикът на казино Vegas World Боб Ступак, „една хилядна процентаотрицателна вероятност на достатъчно голямо разстояние ще съсипе най-богатия човек в света."

Математическо очакване при игра на покер

Играта на покер е най-илюстративният и илюстративен пример по отношение на използването на теорията и свойствата на матката за очакване.

мат. Очакваната стойност в покера е средната полза от дадено решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията на големите числа и дългите разстояния. Успешната игра на покер означава винаги приемане на ходове с положителни очаквания.

Средната популация е

Математическо значение на мат. очакванията при игра на покер са, че често се натъкваме на произволни променливи, когато вземаме решение (не знаем кои карти са в ръцете на опонента ни, кои карти ще дойдат в следващите рундове търговия). Трябва да разгледаме всяко едно от решенията от гледна точка на теорията на големите числа, която казва, че при достатъчно голяма извадка средната стойност на произволна променлива ще клони към нейното очакване.

Сред частните формули за изчисляване на партньора за очакване, следното е най-приложимо в покера:

Когато играете покер, матирайте. очакването може да се изчисли както за залози, така и за обаждания. В първия случай трябва да се вземе предвид фолд equity, а във втория - собствените шансове на пота. При оценка на мат. чакайки ход, не забравяйте, че фолд винаги има нулеви очаквания. По този начин изхвърлянето на карти винаги ще бъде по-изгодно решение от всеки отрицателен ход.

Средната популация е

Очакванията ви казват какво можете да очаквате (или загуба) за всеки риск, който поемате. Казината правят пари паритъй като mate е очакването на всички игри, които се практикуват в тях, в полза на казиното. При достатъчно дълга серия от игри може да се очаква клиентът да загуби своите паризащото "вероятността" е в полза на казиното. Въпреки това, професионалните спекуланти на казино ограничават игрите си до кратки периоди от време, като по този начин увеличават коефициентите в своя полза. Същото важи и за инвестирането. Ако очакванията ви са положителни, можете да спечелите повече пари, като направите много къси сделки. месечен цикълвреме. Очакването е вашият процент печалба при печалба, умножен по средната печалба минус вероятността ви да загубите, умножен по средната загуба.

Покерът може да се разглежда и от гледна точка на очакванията за мат. Можете да приемете, че определен ход е печеливш, но в някои случаи може да не е най-добрият, защото друг ход е по-изгоден. Да приемем, че сте уцелили фул хаус в дроу покер с пет карти. Вашият опонент залага. Знаете, че ако повишите офертата си, той ще отговори. Следователно, повишаването изглежда като най-добрата тактика. Но ако повишите залога, останалите двама спекуланти определено ще се откажат. Но ако се обадите, ще бъдете напълно сигурни, че другите двама спекуланти след вас ще направят същото. Когато вдигнете залога, получавате една единица, а просто колете - две. По този начин изравняването ви дава по-високо положително математическо очакване и е най-добрата тактика.

мат. чакането също може да даде представа кои тактики са по-малко полезни в покера и кои са повече. Например, когато играете определена ръка, вие вярвате, че вашите загуби ще бъдат средно 75 цента, включително анте, тогава тази ръка трябва да се играе, защото това е по-добре от фолдване, когато анте е $1.

Друга важна причина за разбиране на същността на mate. очакването е, че ви дава усещане за спокойствие, независимо дали сте спечелили залога или не: ако сте направили добър залог или фолднете навреме, ще знаете, че сте спечелили или спестили определена сума пари, която по-слабият спекулант би могъл не спасява. Много по-трудно е да фолнете, ако сте разстроени, че опонентът ви е направил по-силна комбинация на борсата. С всичко това, парите, които сте спестили, като не играете, вместо да залагате, се добавят към печалбите ви на вечер или на месец.

Само не забравяйте, че ако смените ръцете си, вашият опонент ще ви колне и както ще видите в статията "Основната теорема на покера", това е само едно от вашите предимства. Трябва да сте щастливи, когато това се случи. Можете дори да се научите да се наслаждавате на губеща ръка, защото знаете, че други спекуланти на ваше място биха загубили много повече.

Както бе споменато в примера с играта с монети в началото, почасовото съотношение на печалбата е взаимосвързано с партньора на очакванията и тази концепцияособено важно за професионалните спекуланти. Когато ще играете покер, трябва мислено да прецените колко можете да спечелите за един час игра. В повечето случаи ще трябва да разчитате на интуицията и опита си, но можете да използвате и малко математика. Например, вие играете дроу лоубол и виждате, че трима играчи залагат $10 и след това разменят две карти, което е много лоша тактика, може да си помислите, че всеки път, когато заложат $10, те губят около $2. Всеки от тях го прави осем пъти на час, което означава, че и тримата губят около $48 на час. Вие сте един от останалите четирима спекуланти, които са приблизително равни, така че тези четирима спекуланти (и вие сред тях) трябва да разделят $48, като всяка печалба ще бъде $12 на час. Вашата почасова ставка в този случай е просто вашият дял от сумата пари, загубена от трима лоши спекуланти за един час.

Средната популация е

За дълъг период от време общата печалба на спекуланта е сумата от неговите математически очаквания в отделни ръце. Колкото повече играете с положителни очаквания, толкова повече печелите и обратно, колкото повече ръце с отрицателни очаквания играете, толкова повече губите. В резултат на това трябва да изберете игра, която може да увеличи максимално вашите положителни очаквания или да отрече отрицателните, така че да можете да увеличите почасовите си печалби.

Положително математическо очакване в стратегията на играта

Ако знаете как да броите карти, може да имате предимство пред казиното, ако те не го видят и ви изгонят. Казината обожават пияните спекуланти и не понасят броячи на карти. Предимството ще ви позволи да спечелите повече пъти във времето, отколкото губите. Добро управлениекапиталът, когато използвате изчислението на матката за очаквания, може да ви помогне да получите повече печалба от вашето предимство и да намалите загубите. Без предимство е по-добре да дарите пари за благотворителност. В играта на борсата предимството се дава от игровата система, която създава повече печалби, отколкото загуби, разликата цении комисионни. Не управление на капиталаняма да спаси лоша игрална система.

Положителното очакване се определя от стойност, по-голяма от нула. Колкото по-голямо е това число, толкова по-силно е статистическото очакване. Ако стойността е по-малка от нула, тогава мат. очакванията също ще бъдат отрицателни. Колкото по-голям е модулът на отрицателната стойност, толкова по-лошо е положението. Ако резултатът е нулев, тогава очакванията са безизходни. Можете да спечелите само когато имате положително математическо очакване, разумна система на игра. Играта по интуиция води до катастрофа.

Математическото очакване и

Подложката за очакване е доста широко търсен и популярен статистически индикатор при осъществяването на борсова търговия във финансова сфера пазари... На първо място, този параметър се използва за анализ на успеха. търговия... Не е трудно да се досетим, че колкото по-голяма е дадена стойност, толкова повече основание да считаме изследваната търговия за успешна. Разбира се анализ работатърговец не може да се извършва само с помощта на този параметър. Въпреки това, изчислената стойност във връзка с други методи за оценка на качеството работа, може значително да подобри точността на анализа.

Подложката за очаквания често се изчислява в услугите за наблюдение на търговски сметки, което ви позволява бързо да оцените извършената работа по депозита. Като изключения могат да се цитират стратегии, които използват „отпускане“ на нерентабилни сделки. Търговецкъсметът може да придружава известно време и следователно в работата му може да няма никакви загуби. В този случай няма да е възможно да се ориентирате само чрез очакване, тъй като рисковете, използвани в работата, няма да бъдат взети предвид.

В търговията на ПазарътОчакването mate се използва най-често при прогнозиране на рентабилността на търговската стратегия или при прогнозиране на доход търговецвъз основа на статистическите данни от предишните си сделки.

Средната популация е

По отношение на управлението на парите е много важно да се разбере, че няма схема при извършване на сделки с отрицателни очаквания. управлениепари, които определено могат да донесат високи печалби. Ако продължите да играете обменпри тези условия, то независимо от метода управлениес пари ще загубите цялата си сметка, без значение колко голяма е тя в началото.

Тази аксиома не е вярна само за игри или сделки с отрицателни очаквания, тя е вярна и за игри с равни коефициенти. Следователно, единственият път, когато имате шанс да се възползвате в дългосрочен план, е когато влизате в сделки с положителна очаквана стойност.

Разликата между отрицателните и положителните очаквания е разликата между живота и смъртта. Няма значение колко положителни или отрицателни са очакванията; важното е дали е положително или отрицателно. Ето защо, преди да разгледаме проблемите на управлението капиталтрябва да намерите игра с положителни очаквания.

Ако нямате такава игра, тогава никакво управление на парите в света няма да ви спаси. От друга страна, ако имате положително очакване, можете чрез добро управление на парите да го превърнете във функция за експоненциален растеж. Няма значение колко малко са тези положителни очаквания! С други думи, няма значение колко печеливша е една система за търговия с един договор. Ако имате система, която печели $10 на договор в една сделка (след приспадане на комисионни и приплъзване), могат да се използват техники за управление капиталпо начин, който го прави по-печеливш от система, която показва средна печалба от $ 1000 на сделка (след приспадане на комисионни и приплъзване).

Важното е не колко печеливша е била системата, а колко сигурно може да се каже, че системата ще показва поне минимална печалба в бъдеще. Следователно, най-важната подготовка, която човек може да направи, е да се увери, че системата ще покаже положително математическо очакване в бъдеще.

За да имате положително математическо очакване в бъдеще, е много важно да не ограничавате степените на свобода на вашата система. Това се постига не само чрез елиминиране или намаляване на броя на параметрите, които трябва да бъдат оптимизирани, но и чрез намаляване на възможно най-много системни правила. Всеки параметър, който добавяте, всяко правило, което правите, всяка малка промяна, която правите в системата, намалява броя на степените на свобода. В идеалния случай трябва да изградите доста примитивна и проста система, която постоянно ще генерира малки печалби на почти всеки пазар. Отново е важно да разберете, че няма значение колко печеливша е системата, стига да е печеливша. това, което печелите от търговията, ще бъде спечелено чрез ефективно управлениепари.

Средната популация е

Системата за търговия е просто инструмент, който ви дава положително математическо очакване, за да може да се използва управлението на парите. Системи, които работят (показват поне минимална печалба) само на един или няколко пазара или имат различни правила или параметри за различните пазари, най-вероятно няма да работят в реално време достатъчно дълго. Проблемът с повечето технологични търговци е, че прекарват твърде много време и усилия за оптимизиране на различните правила и стойности на параметрите на системата за търговия. Това дава напълно противоположни резултати. Вместо да губите енергия и компютърно време за увеличаване на печалбите на системата за търговия, насочете енергията си към повишаване нивото на надеждност за получаване на минималната печалба.

Знаейки това управление на капиталае просто игра с числа, която изисква използването на положителни очаквания, търговецът може да спре да търси "светия граал" на търговията на фондовата борса. Вместо това той може да започне да тества своя метод за търговия, да разбере колко логичен е този метод, дали дава положителни очаквания... Правилните методи за управление на парите, прилагани към всякакви, дори посредствени методи за търговия, сами ще свършат останалата част от работата.

За да успее всеки търговец в работата си, е необходимо да реши трите най-важни задачи: Уверете се, че броят на успешните сделки надвишава неизбежните грешки и грешни изчисления; Настройте вашата система за търговия, така че възможността да печелите пари възможно най-често; За постигане на стабилност на положителния резултат от вашите операции.

И тук ние, работещите търговци, можем да бъдем от добра помощ с мат. очакване. Този термин в теорията на вероятностите е един от ключовите. С негова помощ можете да дадете средна оценка за определена произволна стойност. Очакването на случайна променлива е подобно на центъра на тежестта, ако си представим всички възможни вероятности като точки с различни маси.

Във връзка със стратегия за търговия, за оценка на нейната ефективност, най-често се използва матът за очакване на печалба (или загуба). Този параметър се определя като сбор от произведенията на дадените нива на печалба и загуба и вероятността за тяхното възникване. Например, разработената стратегия за търговия предполага, че 37% от всички операции ще донесат печалба, а останалите - 63% - ще бъдат нерентабилни. Освен това средната доходиот успешна сделка ще бъде $7, а средната загуба ще бъде $1,4. Нека изчислим постелката. в очакване на търговия на такава система:

Какво означава това число? В него пише, че следвайки правилата на тази система, средно ще получаваме $1,708 от всяка затворена сделка. Тъй като получената оценка на ефективността е по-голяма от нула, тогава такава система може да се използва за реална работа. Ако в резултат на изчисляване на мат очакването се окаже отрицателно, тогава това вече говори за средна загуба и това ще доведе до разруха.

Размерът на печалбата на сделка може също да бъде изразен като относителна стойност под формата на%. Например:

Процент на дохода за 1 транзакция - 5%;

Процентът на успешни търговски операции - 62%;

Процент на загуба за 1 сделка - 3%;

Процентът на неуспешни сделки - 38%;

В този случай мат. чакането ще бъде:

Тоест средната търговия ще генерира 1,96%.

Възможно е да се разработи система, която, въпреки разпространението на нерентабилни сделки, ще даде положителен резултат, тъй като нейното MO> 0.

Самото чакане обаче не е достатъчно. Трудно е да се правят пари, ако системата дава много малко сигнали за търговия. В този случай тя ще бъде сравнима с банковата лихва. Нека всяка транзакция дава средно само $0,50, но какво ще стане, ако системата приеме 1000 транзакции годишно? Това ще бъде много сериозна сума за сравнително кратко време. От това логично следва, че друг отличителен белегДобрата система за търговия може да се счита за кратък период на задържане на позиции.

Източници и връзки

dic.academic.ru - Академичен интернет речник

mathematics.ru - образователен сайт по математика

nsu.ru - образователен уебсайт на Новосибирския държавен университет

webmath.ru - образователен порталза студенти, кандидати и ученици.

exponenta.ru образователен математически уебсайт

ru.tradimo.com - безплатно училище за онлайн търговия

crypto.hut2.ru - мултидисциплинарен информационен ресурс

poker-wiki.ru - безплатната енциклопедия на покера

sernam.ru - Научна библиотекаизбрани природонаучни публикации

reshim.su - уебсайт ДА РЕШИМ курсови контролни задачи

unfx.ru - Forex в UNFX: обучение, търговски сигнали, управление на доверието

- - математическо очакване Една от числените характеристики на случайна променлива, често наричана нейно теоретично средно. За дискретна случайна променлива X математическата ... ... Ръководство за технически преводач

ОЧАКВАНА СТОЙНОСТ- (очаквана стойност) Средната стойност на разпределението на икономическа променлива, която може да приеме. Ако рt е цената на стоката в момента на времето t, нейното математическо очакване се обозначава - Ept. За да посочите момента във времето, до който ... ... Икономически речник

Очаквана стойност- средната стойност на случайната променлива. Математическото очакване е детерминирана стойност. Средното аритметична стойностна реализациите на случайната променлива е оценка на математическото очакване. Средно аритметично… … Официална терминология - (средна стойност) на произволна променлива е числова характеристика на произволна променлива. Ако произволна променлива е дадена на вероятностно пространство (вижте Теория на вероятностите), тогава нейният M. o. MX (или EX) се дефинира като интеграл на Лебег: където ... Физическа енциклопедия

ОЧАКВАНА СТОЙНОСТ- произволна променлива е нейната числена характеристика. Ако произволна променлива X има функция на разпределение F (x), тогава нейното M. o. ще: . Ако разпределението X е дискретно, тогава M. o.:, където x1, x2, ... са възможни стойности на дискретна случайна променлива X; p1 ... Геоложка енциклопедия

ОЧАКВАНА СТОЙНОСТ- Английски. очаквана стойност; Немски Erwartung mathematische. Стохастична средна стойност или център на дисперсия на произволна променлива. антинаци. Енциклопедия по социология, 2009 г. ... Енциклопедия по социология

Очаквана стойност- Вижте също: Условно математическо очакване Математическото очакване на средната стойност на произволна променлива, вероятностното разпределение на произволна променлива, се разглежда в теорията на вероятностите. В английската литература и в математическата ... ... Уикипедия

Очаквана стойност- 1.14 Математическо очакване Е (X) където xi стойности на дискретна случайна величина; p = P (X = xi); f (x) плътност на непрекъсната случайна променлива * Ако този израз съществува в смисъл на абсолютна конвергенция Източник ... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

Книги

Ние използваме бисквитки за най-доброто представяне на нашия сайт. Продължавайки да използвате този сайт, вие се съгласявате с това. Добре

Характеристики на DSV и техните свойства. Математическо очакване, дисперсия, стандартно отклонение

Законът за разпределението напълно характеризира случайната величина. Въпреки това, когато е невъзможно да се намери законът на разпределението или това не се изисква, човек може да се ограничи до намиране на стойности, наречени числени характеристики на произволна променлива. Тези стойности определят някаква средна стойност, около която се групират стойностите на произволна променлива, и степента на тяхната дисперсия около тази средна стойност.

Математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от произведенията на всички възможни стойности на произволна променлива по техните вероятности.

Математическото очакване съществува, ако редът от дясната страна на равенството се сближава абсолютно.

От гледна точка на вероятността можем да кажем, че математическото очакване е приблизително равно на средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на произволна променлива.

Пример. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е известен. Намерете очакваната стойност.

х
стр	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение:

9.2 Свойства на математическото очакване

1. Математическото очакване на константа е равно на най-константата.

2. Постоянният фактор може да бъде изваден отвъд знака на математическото очакване.

3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни величини е равно на произведението на техните математически очаквания.

Това свойство е валидно за произволен брой произволни променливи.

4. Математическото очакване на сумата от две случайни величини е равно на сумата от математическите очаквания на членовете.

Това свойство е валидно и за произволен брой произволни променливи.

Нека се извършат n независими теста, вероятността за настъпване на събитие А в което е равна на p.

Теорема.Математическото очакване M (X) на броя на настъпване на събитие A в n независими опита е равно на произведението на броя опити от вероятността за настъпване на събитието във всеки опит.

Пример. Намерете математическото очакване на случайна променлива Z, ако математическите очаквания на X и Y са известни: M (X) = 3, M (Y) = 2, Z = 2X + 3Y.

Решение:

9.3 Дисперсия на дискретна случайна променлива

Математическото очакване обаче не може да характеризира напълно случаен процес. В допълнение към математическото очакване е необходимо да въведете стойност, която характеризира отклонението на стойностите на произволната променлива от математическото очакване.

Това отклонение е равно на разликата между случайната променлива и нейното математическо очакване. В този случай математическото очакване на отклонението е нула. Това се дължи на факта, че някои възможни отклонения са положителни, други са отрицателни и в резултат на взаимното им погасяване се получава нула.

дисперсия (дисперсия)дискретна случайна променлива е математическото очакване на квадрата на отклонението на произволна променлива от нейното математическо очакване.

На практика този метод за изчисляване на дисперсията е неудобен, тъй като води до тромави изчисления за голям брой стойности на произволна променлива.

Следователно се прилага друг метод.

Теорема. Дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива X и квадрата на нейното математическо очакване.

Доказателство. Като се има предвид, че математическото очакване M (X) и квадратът на математическото очакване M 2 (X) са постоянни стойности, можем да запишем:

Пример. Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива, дадена от закона за разпределението.

NS
X 2
Р	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение: .

9.4 Свойства на дисперсията

1. Дисперсията на константата е нула. ...

2. Постоянен коефициент може да бъде изваден от знака на дисперсията, като се възведе на квадрат. ...

3. Дисперсията на сбора на две независими случайни величини е равна на сумата от дисперсии на тези стойности. ...

4. Дисперсията на разликата на две независими случайни величини е равна на сумата от дисперсии на тези стойности. ...

Теорема. Дисперсията на броя на поява на събитие A в n независими опита, при всяко от които вероятността p за настъпване на събитие е постоянна, е равна на произведението на броя опити и вероятностите за настъпване и не- настъпване на събитие във всеки опит.

9.5 Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива

Средно квадратно отклонениепроизволна променлива X се нарича корен квадратен от дисперсията.

Теорема. Стандартното отклонение на сумата на краен брой взаимно независими случайни променливи е равно на корен квадратен от сбора на квадратите на стандартните отклонения на тези стойности.

Цел 1.Вероятността за покълване на пшеничните семена е 0,9. Каква е вероятността от четири засети семена поне три да поникнат?

Решение. Нека събитието А- 4 семена ще покълнат поне 3 семена; събитие V- 4 семена ще покълнат 3 семена; събитие С- 4 семена ще поникнат от 4 семена. Чрез теоремата за добавяне на вероятностите

Вероятности
и
се определя от формулата на Бернули, използвана в следващ случай... Нека има сериал NSнезависими тестове, за всеки от които вероятността за настъпване на събитие е постоянна и равна на Р, а вероятността това събитие да не се случи е
... Тогава вероятността събитието А v NSтестовете ще се появят точно пъти, изчислени по формулата на Бернули

,

където
- броят на комбинациите от NSелементи от ... Тогава

Търсене на вероятност

Цел 2.Вероятността за покълване на пшеничните семена е 0,9. Намерете вероятността от 400 засяти семена да поникнат 350 семена.

Решение. Изчислете необходимата вероятност
използването на формулата на Бернули е трудно поради тромавите изчисления. Следователно, ние прилагаме приблизителна формула, изразяваща локалната теорема на Лаплас:

,

където
и
.

От формулировката на проблема. Тогава

.

Намираме приложения от таблица 1. Търсената вероятност е

Цел 3. 0,02% от семената на пшеницата са плевели. Каква е вероятността да бъдат открити 6 семена на плевели, ако 10 000 семена бъдат избрани на случаен принцип?

Решение. Прилагане на локалната теорема на Лаплас поради ниска вероятност
води до значително отклонение на вероятността от точната стойност
... Следователно, за малки стойности Рда изчисля
прилага асимптотичната формула на Поасон

, където .

Тази формула се използва, когато
, и толкова по-малко Ри още NS, толкова по-точен е резултатът.

Според състоянието на проблема
;
... Тогава

Задача 4.Кълняемостта на пшеничните семена е 90%. Намерете вероятността от 500 засяти семена да поникнат 400 до 440 семена.

Решение. Ако вероятността от настъпване на събитие Авъв всяка от NSтестът е постоянен и равен Р, след това вероятността
какво събитие Апоне в такива тестове пъти и не повече пъти се определя от интегралната теорема на Лаплас по следната формула:

, където

,
.

Функция
се нарича функция на Лаплас. В приложенията (Таблица 2) са дадени стойностите на тази функция за
... В
функция
... С отрицателни стойности NSтъй като функцията на Лаплас е нечетна
... Използвайки функцията Лаплас, имаме:

Според състоянието на проблема. Използвайки горните формули, намираме
и :

Задача 5.Даден е законът за разпределение на дискретна случайна величина NS:

2. Намерете: 1) математическо очакване; 2) дисперсия; 3) стандартно отклонение.

Решение. 1) Ако законът за разпределение на дискретна случайна променлива е даден от таблицата

2. Когато в първия ред са дадени стойностите на произволната променлива x, а във втория - вероятностите на тези стойности, тогава математическото очакване се изчислява по формулата

2) Дисперсия
дискретна случайна променлива NSе математическото очакване на квадрата на отклонението на произволна величина от нейното математическо очакване, т.е.

Тази стойност характеризира средната очаквана стойност на квадрата на отклонението NSот
... От последната формула, която имаме

Дисперсия
може да се намери по друг начин, въз основа на следното свойство: дисперсия
е равно на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната величина NSи квадратът на математическото му очакване
, това е

Да изчисля
съставяме следния закон за разпределение на величината
:

3) За да се характеризира разсейването на възможни стойности на произволна променлива около нейната средна стойност, се въвежда стандартното отклонение
случайна величина NSравен на корен квадратен от дисперсията
, това е

.

От тази формула имаме:

Задача 6.Непрекъсната произволна променлива NSдадено от кумулативната функция на разпределение

Намерете: 1) диференциалната функция на разпределение
; 2) математическо очакване
; 3) дисперсия
.

Решение. 1) Функция на диференциално разпределение
непрекъсната случайна променлива NSе производна на кумулативната функция на разпределение
, това е

.

Търсената диференциална функция е както следва:

2) Ако е непрекъсната случайна променлива NSдадено от функцията
, то математическото му очакване се определя от формулата

Тъй като функцията
в
и при
е равно на нула, то от последната формула, която имаме

.

3) Дисперсия
дефиниран от формулата

Задача 7.Дължината на частта е нормално разпределена случайна променлива с математическо очакване от 40 mm и стандартно отклонение от 3 mm. Намерете: 1) вероятността дължината на произволно взето участие да бъде повече от 34 mm и по-малка от 43 mm; 2) вероятността дължината на детайла да се отклони от математическото си очакване с не повече от 1,5 mm.

Решение. 1) Нека NS- дължина на частта. Ако произволна променлива NSдадено от диференциалната функция
, тогава вероятността, че NSще приема стойности, принадлежащи на сегмента
, се определя по формулата

.

Вероятност за изпълнение на строги неравенства
се дефинира по същата формула. Ако произволна променлива NSтогава се разпределя според нормалния закон

, (1)

където
- функция на Лаплас,
.

В задачата. Тогава

2) По условието на задачата, където
... Замествайки в (1), имаме

. (2)

От формула (2) имаме.

Тоест, ако сл. тогава количеството има закон за разпределение

Нареченнейното математическо очакване. Ако sl. количеството има безкраен брой стойности, тогава математическото очакване се определя от сумата от безкраен ред, при условие че този ред абсолютно се сближава (в противен случай казват, че математическото очакване не съществува) .

За непрекъснато sl. стойност, дадена от функцията на плътността на вероятностите f (x), математическото очакване се определя под формата на интеграл

при условие, че този интеграл съществува (ако интегралът се разминава, тогава те казват, че математическото очакване не съществува).

Пример 1... Нека определим математическото очакване на произволна променлива, разпределена по Законът на Поасон... А-приорат

или обозначават

Следователно, параметърът , определянето на закона за разпределение на случайна величина на Поасон е равно на средната стойност на тази величина.

Пример 2... За случайна променлива със закон за експоненциално разпределение математическото очакване е

(вземете границите в интеграла, като вземете предвид факта, че f (x) е различен от нула само за положителен x).

Пример 3... Случайна променлива, разпределена според закона на разпределението Коши, няма средна стойност. Наистина ли

Свойства на математическите очаквания.

Свойство 1... Математическото очакване на константа е равно на самата тази константа.

Константата C приема тази стойност с вероятност едно и по дефиниция M (C) = C × 1 = C

Свойство 2... Математическото очакване на алгебричния сбор от случайни променливи е равно на алгебричния сбор от техните математически очаквания.

Ние се ограничаваме до доказване на това свойство само за сумата от две дискретни случайни променливи, т.е. докажи това

Под сбора от две дискретни sl. Под количества се разбират сл. Количество, което приема стойности с вероятности

А-приорат

където е вероятността за събитие, изчислена при условието, че. От дясната страна на последното равенство са изброени всички събития на събитието, следователно е равно на пълна вероятностнастъпването на събитие, т.е. ... По същия начин. Най-накрая имаме

Свойство 3... Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Имайте			…
В			…
NS			…
Р			…

Ние даваме доказателства за това свойство само за дискретни количества. За непрекъснати случайни величини се доказва по подобен начин.

Нека X и Y са независими и имат закони за разпределение

Продуктът на тези случайни променливи ще бъде произволна променлива, която приема стойности с равни вероятности, поради независимостта на произволните променливи. Тогава

Последствие... Постоянният фактор може да бъде изведен извън знака на математическото очакване. Така че вековата константа C не зависи от това каква стойност ще приеме. стойност X, то по свойство 3. имаме

M (CX) = M (C) × M (X) = C × M (X)

Пример... Ако a и b са константи, тогава M (ax + b) = aM (x) + b.

Очакването на броя на поява на събитие в независимата тестова схема.

Нека бъдат извършени n независими експеримента, вероятността за възникване на събитие във всеки от които е равна на P. Броят на поява на събитие в тези n експеримента е произволна променлива X, разпределена по биномен закон... Директното изчисляване на средната му стойност обаче е тромаво. За опростяване ще използваме разширението, което ще използваме многократно в бъдеще: Броят на поява на събитие в n експеримента се състои от броя на поява на събитие в отделни експерименти, т.е.

където има закон за разпределение (приема стойност 1, ако събитието се е случило в даденото преживяване, и стойността 0, ако събитието не се е появило в даденото преживяване).

Р	1-р	Р

Ето защо

тези. средният брой на поява на събитие в n независими експеримента е равен на произведението на броя на експериментите от вероятността за възникване на събитие в един експеримент.

Например, ако вероятността да се удари цел с един изстрел е 0,1, тогава средният брой попадения при 20 изстрела е 20 × 0,1 = 2.

Математическото очакване е средната стойност на произволна променлива.

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от произведенията на всичките й възможни стойности по техните вероятности:

Пример.

Х -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5

Решение: Математическото очакване е равно на сумата от произведенията на всички възможни стойности на X по техните вероятности:

M (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 = 6.

За да се изчисли математическото очакване, е удобно да се извършват изчисления в Excel (особено когато има много данни), предлагаме да използвате готов шаблон ().

Пример за независимо решение(можете да използвате калкулатор).
Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива X, дадено от закона за разпределение:

X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4

Математическото очакване има следните свойства.

Свойство 1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на най-постоянната: M (C) = C.

Свойство 2. Постоянен фактор може да се вземе извън знака на математическото очакване: M (CX) = CM (X).

Свойство 3. Математическото очакване на произведението на взаимно независими случайни величини е равно на произведението на математическите очаквания на факторите: M (X1X2 ... Xn) = M (X1) M (X2) *. .. * M (Xn)

Свойство 4. Математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете: M (Xr + X2 + ... + Xn) = M (Xg) + M (X2) +… + М (Xn).

Задача 189. Намерете математическото очакване на случайна променлива Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: Z = X + 2Y, M (X) = 5, M (Y) = 3;

Решение: Използвайки свойствата на математическото очакване (математическото очакване на сумата е равно на сумата от математическите очаквания на членовете; постоянният фактор може да бъде преместен извън знака на математическото очакване), получаваме M (Z) = M (X + 2Y) = M (X) + M (2Y) = M (X) + 2M (Y) = 5 + 2 * 3 = 11.

190. Използвайки свойствата на математическото очакване, докажете, че: а) M (X - Y) = M (X) -M (Y); б) математическото очакване на отклонението X-M (X) е нула.

191. Дискретната случайна променлива X приема три възможни стойности: x1 = 4 С вероятност p1 = 0,5; xЗ = 6 с вероятност P2 = 0,3 и x3 с вероятност p3. Намерете: x3 и p3, като знаете, че M (X) = 8.

192. Даден е списък с възможни стойности на дискретна случайна променлива X: x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1, известни са също математическите очаквания на тази величина и нейния квадрат: M (X) = 0,1 , M (X ^ 2) = 0 , девет. Намерете вероятностите p1, p2, p3, съответстващи на възможните стойности xi

194. Партида от 10 части съдържа три нестандартни части. Две части бяха избрани на случаен принцип. Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива X - броят на нестандартните части сред двете избрани.

196. Намерете математическото очакване на дискретна произволна променлива X-брой на такива хвърляния на пет зара, при всяко от които една точка се появява на два зара, ако общият брой хвърляния е двадесет.

Математическото очакване на биномното разпределение е равно на произведението от броя на опитите и вероятността събитие да се случи в един опит: