Se llama la forma normal conjuntiva de una función lógica. Formas conjuntivas de funciones lógicas.

Llanura conjunción llamada conjunción uno o varios variables, por es cada variable reunirse no más uno veces (o sí mismo, o su negación).

Por ejemplo, es una simple conjunción,

Diauncutivo normal formulario (DNF) llamada disyunción sencillo conjunciones.

Por ejemplo, la expresión es el DNF.

Perfecto diauncutivo normal formulario (Sdnf) llamada semejante diauncutivo normal la forma, w. cual en cADA conjunción ingresar todo variables esto lista (o nosotros mismos, o ellos negación), es más en uno y tomás mismopedido.

Por ejemplo, la expresión es el DNF, pero no SDNF. Expresión es un CDNF.

Definiciones similares (con el reemplazo de la conjunción de disyunción y viceversa) son verdaderas para el PFF y SCFF. Damos una redacción precisa.

Llanura disyunción llamada disyunción uno o varios variables, por es cada variable incluido no más uno veces (o sí mismo, o su negación). Por ejemplo, la expresión es simple disyunción,

Conjuntivo normal formulario (KNF) llamada conjunción sencillo disyunciones (Por ejemplo, la expresión - el PFF).

Una forma normal conjuntiva perfecta (SCPF) se llama así un QFF, en el que cada disyunción simple incluye todas las variables de esta lista (ya sea, o su negación), y de la misma manera.

Por ejemplo, expresión es skpf.

Presentamos los algoritmos de transición de una forma a otra. Naturalmente, en casos específicos (con un cierto enfoque creativo), el uso de algoritmos es más útil que las transformaciones simples que utilizan un tipo específico de este formulario:

a) Transición del DNF al KNF

El algoritmo de esta transición es el siguiente: Poner sobre las dos denegaciones de DNF y con la ayuda de las reglas de De Morgan (no una negación superior conmovedora) Dale nuevamente a la negación DNF al DNF. Al mismo tiempo, es necesario divulgar paréntesis utilizando la regla de absorción (o reglas de Blake). La negación del DNF obtenida (de nuevo de acuerdo con la Regla de Morgan) nos da inmediatamente el CNF:

Tenga en cuenta que la CNF se puede obtener de la expresión inicial, si realiza w. para paréntesis;

b) Transición del PNF al DNF

Esta transición se realiza mediante divulgación simple de los soportes (con otra vez, se utiliza la regla de absorción)

Así, recibieron el DNF.

La transición inversa (del SDNF al DNF) está asociada con el problema de minimizar el DNF. Esto será dicho en la sección. 5, aquí mostraremos cómo simplificar el DNF (o SDNF) de acuerdo con la regla de Blake. Tal DNF se llama abreviado DNF;

c) Reducción del DNF (o SDNF) regla Blake

La aplicación de esta regla consiste en dos partes:

Si hay fundaciones entre los términos de disjoint en el DNF , luego agregue una concepción a toda la disyunción. A 1 A 2. Hacemos esta operación varias veces (puede ser secuencialmente, puede simultáneamente) para todos los pares de términos posibles, y luego, aplicar la absorción habitual;

Si el término agregado ya ya se guardó en el DNF, se puede descartar, por ejemplo,

o

Por supuesto, el DNF abreviado no está determinado por la suela, pero todos contienen el mismo número de letras (por ejemplo, hay un DNF Después de aplicarlo, se pueden alcanzar las reglas de Blake a la DNF, equivalente a esto):

c) Transición de DNF a SDNF

Si en alguna simple conjunción carece de una variable, por ejemplo, z., inserte la expresión en ella, después de lo cual revelamos los corchetes (con los términos disyuntivos recurrentes, no escriben). Por ejemplo:

d) Transición del KNF a Skff

Esta transición se realiza de una manera similar a la anterior: si no hay suficiente variable en disyunción simple (por ejemplo, z., Agrego expresión a ella (esto no cambia la disyunción en sí misma), después de lo cual revelamos paréntesis utilizando la ley de distribución):

Por lo tanto, SKFF se obtuvo de la PFF.

Tenga en cuenta que el PFF mínimo o abreviado se obtiene generalmente del DNF correspondiente.

Formas normales de funciones lógicas La representación de la función de leche en forma de disyunción de los términos conjuntivos El constituyente de la unidad KI 2.7 se llama una forma de disyuntivo normal del DNF de esta función. Contiene exactamente una de todas las variables lógicas tomadas con denegaciones o sinlas, esta forma de una representación de la función se llama la forma perfecta de disyuntivo normal del SDNF de esta función. Como se puede ver en la preparación de la función SDNF, es necesario hacer una disyunción de todos los minerms en los que la función toma valor 1.

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Conferencia 1.xx

Formas normales de funciones lógicas.

Representación de la función booleana en forma de disyunción de términos conjuntivos (constituyentes de unidades)K I.

, (2.7)

llamada forma normal disyuntiva (DNF) de esta función.

Si todos los términos conjuntivos en el DNF sonminilarza , es decir, contiene exactamente una de todas las variables lógicas tomadas con o sin negar, entonces se llama así una forma de representación de una funciónforma normal disyuntiva perfecta (SDNF. ) Esta función. SDNF se llamaperfecto porque cada término en disyunción incluye todas las variables;diauncutivo Debido a que la operación principal en la fórmula es la disyunción. Concepto "forma normal"Significa un método no ambiguo para registrar una fórmula que implementa la función especificada.

Teniendo en cuenta lo anterior, el siguiente teorema sigue de Theorem 2.1.

Teorema 2. Cualquier característica booleana(no igualmente idénticamente 0) se puede presentar en el SDNF, .

Ejemplo 3. Permita que tengamos una función especificada en la tabla.f (x 1, x 2, x 3) (Tabla 10).

Tabla 10.

Basado en la fórmula (2.6) obtenemos:

Como se puede ver, cuando se compilan por el SDNF, las funciones deben ser disyunción de todos los minerms, en los que la función toma valor 1.

Representación de la función de leche en forma de conjunción de términos disyuntivos (Cero Constituyente)D I.

, (2.8)

llamada forma normal conjuntiva (PFF) de esta función.

Si todos los términos disyuntivos de la PFF sonmastermami , es decir. Contiene exactamente uno todo lógico función variableTomado con negaciones o sin ellos, entonces se llama a un CNF.forma normal conjuntiva perfecta (SKFF) de esta función.

Teorema 3. Cualquier característica booleana(no igual idénticamente 1) se puede presentar en SKFF, Y tal representación es la única.

La prueba del teorema se puede llevar a cabo de manera similar a la prueba del teorema 2.1 sobre la base de la siguiente lema de Shannon en la descomposición conjuntiva.

Lemma shannon . Cualquier característica booleanaf (x 1, x 2, ..., x m) de m Las variables se pueden representar así:

. (2.9)

Cabe señalar que ambas formas de representación de la función lógica (DNF y el PFF) son teóricamente iguales en sus capacidades: cualquier fórmula lógica puede representarse tanto en el DNF (excepto por el cero idéntico) y en el KNF (excepto el unidad idéntica). Dependiendo de la situación, la representación de la función de una forma u otra puede ser más corta.

En la práctica, el DNF se usa más a menudo., dado que este formulario es más familiar para una persona: desde la infancia, es familiar para poner obras que multiplicar las cantidades (en ultimo caso Parece intuitivamente el deseo de revelar los corchetes y pasar por el DNF).

Ejemplo 4. Para la función F (x 1, x 2, x 3 ) tabla especificada. 10, escribe su scff.

En contraste con el SDNF, al compilar SKFF en la tabla de la verdad, debe ver las combinaciones de variables en las que la función tome el valor 0 y haga la conjunción de los MacStersms correspondientes,pero las variables deben tomarse con inversión inversa.:

Cabe señalar que es imposible moverse directamente desde el SDNF a su SBBF o viceversa. Cuando intenta probar tales transformaciones, se obtienen las funciones inversas al deseado. Las expresiones para la función SDNF y SCFF solo se pueden obtener de su tabla de verdad.

Ejemplo 5. Para la función F (x 1, x 2, x 3 ) tabla especificada. 10, intente moverse de SDNF a Skff.

Usando el resultado del Ejemplo 2.3 obtendremos:

Como se puede ver, bajo la inversión total, se obtuvo el SCFF de una función lógica, que se invierte con respecto a la función obtenida en el Ejemplo 2.4:

dado que. Contiene todos los maestros que no están en la expresión para el SCFF de la función en cuestión.

1. Uso de las propiedades de las operaciones (consulte la Tabla 9) Identidad (), la suma del módulo 2 (), la implicación (), vaya a las operaciones y, o, no (en el Bulla).

2. Utilizando las propiedades de la negación y las leyes de Morgan (consulte la Tabla 9) Logramos las operaciones de negación solo para separar las variables, y no a expresiones completas.

3. Utilizando las propiedades de las operaciones lógicas y o (consulte la Tabla 9), obtenemos una forma normal (DNF o PFF).

4. Si es necesario, proceda a formularios perfectos (SDNF o SCPF). Por ejemplo, para obtener SCPF, a menudo es necesario utilizar la propiedad :.

Ejemplo 6. Convertir la función lógica para SKFF

Realización en orden los pasos por encima del algoritmo dado anteriormente, obtenemos:

Usando la propiedad de absorción, obtenemos:

Así que tenemos la función PFFf (x 1, x 2, x 3 ). Para obtenerlo SKKF, necesita cada disyunción, que carece de cualquier variable, repita dos veces, con esta variable y con su negación:

2.2.6. Minimización de funciones lógicas.

Dado que la misma función lógica puede ser representada porz. fórmulas personales, luego encontrar el Pho más simple.r mules, que define una función booleana, simplifica el esquema lógico que implementa diversión booleana.común Formulario mínimo L.acerca de función de Ghee En alguna base, se puede considerar tal que contiene el número mínimo de superposiciones de diversióna bases, permitiendo y paréntesis. Sin embargo, es difícil construir un eficace unl. gorite tal minimización para obtener la sujeción mínima.r nosotros.

Considere un problema de minimización más simple en la síntesis de circuitos combinados, en los que se busca la forma de soporte mínimo de la función, y su mínimo DNF. Para esta tarea, hay simples algoritmos efectivos.

Método de Qwaina

La función minimizada se presenta en el SDNF, y se aplican todas las operaciones de encolado incompletas posibles.

, (2.10)

y luego la absorción

, (2.11)

y este par de pasos se usa repetidamente. Por lo tanto, es posible reducir el rango de los términos. Este procedimiento se repite hasta que no sea un solo término, lo que permite pegar con ningún otro térmico.

Darse cuenta de parte izquierda Las ecuaciones (2.10) podrían minimizar de inmediato una forma más sencilla y obvia:

Este método es malo en eso, con una minimización tan directa, términos conjuntivos o desaparecer, aunque todavía hay casos de su uso para pegar y absorber con los términos restantes.

Cabe señalar que el método Kwain está consumiendo mucho tiempo, por lo tanto, la probabilidad de que el supuesto de errores durante las transformaciones es bastante grande. Pero su ventaja es que teóricamente, se puede usar para cualquier número de argumentos y, con un aumento en el número de variables, las transformaciones no son complicadas tanto.

Tarjeta de Método Carno

Método de tarjetas (tablas) Carno es una forma más visual, menos lenta y confiable para minimizar las funciones lógicas, pero su uso está prácticamente limitado a las funciones de 3-4 variables, máximo - 5-6 variables.

Mapa Carno - Esta es una forma tabular bidimensional de mesa de presentación de la verdad de la función de la leche, lo que permite que en una forma gráfica visual encuentre fácilmente el DNF mínimo de funciones lógicas. Cada célula de la tabla se compara con un minénero de SDNF de una función minimizada, y de modo que en cualquier eje de la simetría de la tabla corresponde a las zonas, inverso mutuamente para cualquier variable. Esta ubicación celular en la tabla facilita la determinación de los términos de pegamento del CDNF (caracterizado por el signo de inversión solo una variable): se encuentran en la tabla simétricamente.

Tablas tridadas y carnología para funciones y o dos pormI. los cambios se presentan en la FIG. 8. En cada jaula de la tarjeta se registra.pero función en el conjunto apropiado de valores de Arguumn tov.

A) y b) o

Higo. ocho. Ejemplo de mapa de Carno para funciones de dos variables.

En el mapa del mapa para la función y solo uno 1, por lo que no se puede encallar con nada. La expresión para la función mínima será solo el término correspondiente a este 1:

f \u003d x y.

Mapa de carnot para una función o ya tres 1 y puede hacer dos pares de unión, con 1 correspondiente a suxY. , Usado dos veces. En la expresión de la función mínima, debe anotar los términos de vapor encolado, dejando todas las variables en ellas, que para este par no cambian, y eliminar las variables que cambian su valor. Para pegar horizontales que obtenemos.x. , y para vertical -y , al final tenemos expresión.

f \u003d x + y.

En la Fig. 9 muestra las tablas de la verdad de dos funciones de tres variables (pero ) y sus cartas de carno (b y C). Función F 2. Se diferencia del primer hecho de que no se define en tres conjuntos de variables (en la tabla, se indica por un tiempo de inactividad).

Al determinar la función DNF mínima, se utilizan las siguientes reglas. Todas las células que contienen 1 se combinan en áreas rectangulares cerradas llamadask -kubami, donde k \u003d log 2 k, k - Número 1 en un área rectangular. Al mismo tiempo, cada región debe ser un rectángulo con el número de celdas 2k, donde k \u003d 0, 1, 2, 3, .... Para k \u003d 1 rectángulo llamadoun cúbico y contiene 2 1 \u003d 2 unidades; Para k \u003d 2 rectángulo contiene 22 \u003d 4 unidades y llamadasdos cúbicos; en k \u003d 3 región de 2 3 \u003d 8 unidades llamadastres cúbicos ; Las unidades que no se pueden combinar en rectángulos, puede llamarcubos cero que contienen solo una unidad (20 \u003d 1). Como se puede ver cuandok. Las áreas pueden tener una forma cuadrada (pero no necesariamente), y con impark. - Sólo rectángulos.

Higo. nueve. Ejemplo de mapa de Carno para tres funciones variables.

Estas áreas pueden intersectar, es decir, las mismas células pueden entrar diferentes areas. Luego, la función DNF mínima se registra como una disyunción de todos los términos conjuntivos correspondientes ak - cubos.

Cada una de las áreas especificadas en el mapa de Carno se presenta en la conjunción DNF mínima, el número de argumentos en los quek. Menos que el número total de argumentos de la función.mETRO. , es decir. Este número es igualm - k. . Cada conjunción del DNF mínimo se compila solo de los argumentos que tienen valores para el área correspondiente del mapa, ya sea sin inversiones, o solo con inversión, es decir, no cambie su valor.

Por lo tanto, al cubrir las células del mapa, las regiones cerradas deben esforzarse por garantizar que el número de áreas sea mínimo, y cada región contenga un mayor número de células, ya que será el número mínimo de miembros en el mínimo DNF y el número Los argumentos en la conjunción apropiada serán mínimos.

Para una función en el mapa de Carno en la FIG. nueve,b hallazgo

porque para las variables de área cerrada superior.x 1 y x 2 materia sin inversiones para menorx 1 Importa con la inversión, yx 3 - sin inversión.

Valores irrazonables en el mapa en la FIG. nueve,en Puede aprobar, reemplazar cero o unidad. Para esta función, está claro que ambos valores inciertos son más rentables para reemplazar 1. Al mismo tiempo, se forman dos áreas, que son varias especies 2 cubos. Luego, la expresión para la función DNF mínima será la siguiente:

Al construir áreas cerradas, la tarjeta plegable Carno en el cilindro se permite tanto horizontal comor ejes tikal con la asociación de caras opuestas.r usted, es decir, unidades ubicadas en los bordes del mapa de Carno Symmetryc. pero, también se puede combinar.

Las tarjetas de clavel pueden dibujar de diferentes maneras (Fig. 10).

una B.

Higo. 10. Diferentes formas de tarjetas de imagen Carno.
Para la función 3 variables.

Pero las variantes más convenientes de las tarjetas CARNO para funciones se muestran en la FIG. 11 tablas, porque en ellas para cada espectáculo celular.pero todas las variables en forma directa o inversa.

una B.

Higo. once. La imagen más conveniente de las tarjetas Carno.
Para funciones 3 (a) y 4 (b) variables

Para las funciones 5 y 6 variables, el método que se muestra en la FIG. 10,en .

Higo. 12. Tarjeta de imagen Carno para Función 5 Variables

Higo. 13. Mapa de imágenes de Carno para Función 6 Variables

Forma normal fórmula lógica No contiene marcas de implicación, equivalencia y negación de fórmulas no elementales.

La forma normal existe en dos tipos:

forma normal conjuntiva (KNF) - conjunción de varias disyunciones, por ejemplo, $ \\ izquierda (A \\ Vee \\ Overline (B) \\ Vee C \\ Derecha) \\ Wedge \\ Izquierda (A \\ Vee C \\ Derecha) $;

forma normal de la condición normal (DNF) - Disyunción de varias conjunciones, por ejemplo, $ \\ izquierda (A \\ Wedge \\ Overline (B) \\ Wedge C \\ Derecha) \\ Vee \\ Izquierda (B \\ Wedge C \\ Derecha) $.

Skff

Forma normal conjuntiva perfecta (SCFF) - Este es un CNF, satisfaciendo tres condiciones:

no contiene la misma disyunción elemental;

ninguna de la disyunción contiene las mismas variables;

cada disyunción elemental contiene cada variable de los incluidos en este PFF.

Cualquier fórmula booleana, que no es idéntica, puede representarse en SKFF.

Reglas para construir scff en la tabla de la verdad.

Para cada conjunto de variables en las que la función es 0, la cantidad se registra, y las variables que tienen 1 se toman con negación.

SDNF.

Forma normal disyuntiva perfecta (SDNF) - Este es un DNF que satisface tres condiciones:

no contiene las mismas conjunciones elementales;

ninguna de las conjunciones contiene las mismas variables;

cada conjunción elemental contiene cada variable de los incluidos en este DNF, además en el mismo orden.

Cualquier fórmula booleana, que no es idéntica falsa, puede representarse en el SDNF, además de la única manera.

Reglas para construir un SDNF en la tabla de la verdad.

Para cada conjunto de variables en las que la función es 1, el producto está escrito, y las variables que tienen un valor de 0 se toman con negación.

Ejemplos de la búsqueda SCPF y SDNF

Ejemplo 1.

Registre una función lógica por su tabla de verdad:

Foto 1.

Decisión:

Utilizamos la regla de construir el SDNF:

Figura 2.

Recibiremos el SDNF:

Utilizamos la regla de la construcción Scff.

Presentamos el concepto de disyunción elemental.

La disyunción elemental se llama la expresión.

La forma normal conjuntiva (PFF) de la función lógica es la conjunción de cualquier conjunto finito de pares de diversas disyunciones elementales. Por ejemplo, funciones lógicas.

representa las conjunciones de las disyunciones elementales. En consecuencia, se registran en una forma normal conjuntiva.

Se puede dar una función lógica arbitraria especificada por la expresión analítica a la PFF realizando las siguientes operaciones:

Uso de la regla de inversión, si la operación de negación se aplica a una expresión lógica;

Uso de axiomas de distribución con respecto a la multiplicación:

Uso de la operación de absorción:

Excepciones en disyunción de variables repetitivas o sus negaciones;

Eliminación de todas las disyunciones elementales idénticas, excepto una;

La eliminación de todas las disyunciones, que simultáneamente ingresan a la variable y su negación.

La justicia de las operaciones enumeradas sigue de los ejes principales y la relación idéntica del álgebra lógica.

La forma normal conjuntiva se llama perfecta si cada disyunción elemental entrante contiene de forma directa o inversa, todas las variables en las que depende la función.

La transformación del CNF al CNF perfecto se lleva a cabo realizando las siguientes operaciones:

Añadir a cada disyunción elemental de coyunturas de variables y sus negaciones, si no están incluidas en esta disyunción elemental;

Uso de axiomas de distribución;

Eliminación de todas las disyunciones elementales idénticas, excepto una.

En perfecto CNF, se puede presentar cualquier función lógica, excepto

idéntico unidad (). Una característica distintiva del PND perfecto es que la representación de una función lógica es única.

Las disyunciones elementales incluidas en la función PFF perfecta se denominan el constituyente de cero. Cada constituyente de cero, que se incluye en el PND perfecto, se convierte en cero en el único conjunto de variables, que es un conjunto de cero de función. En consecuencia, el número de conjuntos de cero de una función lógica coincide con el número del constituyente de cero incluido en su PFF perfecto.

La función lógica de la constante cero en el KNF perfecto es conjunción 2NCONSTITUENT CERO. Formulamos una regla de compilación de la función lógica SCFF en la tabla correspondiente.

Para cada fila de la tabla de correspondencia, en la que la función es cero, se compone la disyunción elemental de todas las variables. Al mismo tiempo, la variable misma entra en la disyunción si su valor es cero, o denegación si su valor es uno. Las disyunciones elementales obtenidas se combinan por el signo de conjunción.

Ejemplo 3.4.Para la función lógica Z (x), una tabla determinada de conformidad 2.2, definimos una forma conjuntiva perfecta.

Para la primera fila de la tabla, que corresponde al conjunto de cero de la función 000, encontramos el constituyente de cero. Al realizar operaciones similares para la segunda, tercera y quinta líneas, definimos la función PFF perfecta deseada:

Cabe señalar que para las funciones, el número de conjuntos individuales de los cuales exceden el número de conjuntos de cero, más compacto es su entrada en forma de SCFF y viceversa.