Teorija teoretske mehanike dinamike. Osnove mehanike za lutke
Kolegij ispituje: kinematiku točke i krutog tijela (i s različitih točaka gledišta predlaže se razmatranje problema orijentacije čvrsta), klasični problemi dinamike mehaničkih sustava i dinamike krutog tijela, elementi nebeske mehanike, gibanje sustava promjenjivog sastava, teorija udara, diferencijalne jednadžbe analitičke dinamike.
U kolegiju se obrađuju svi tradicionalni dijelovi teorijske mehanike, ali se posebna pozornost pridaje razmatranju najsmislenijih i najvrjednijih za teoriju i primjenu odjeljaka dinamike i metoda analitičke mehanike; statika se proučava kao dio dinamike, au dijelu kinematike detaljno se upoznaju pojmovi i matematički aparati potrebni za dio dinamike.
Informacijski resursi
Gantmakher F.R. Predavanja iz analitičke mehanike. - 3. izd. - M .: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V.F. Osnove teorijske mehanike. - 2. izd. - M .: Fizmatlit, 2001.; 3. izd. - M .: Fizmatlit, 2008.
A.P. Markeev Teorijska mehanika. - Moskva - Iževsk: Istraživački centar "Regularna i kaotična dinamika", 2007.
Zahtjevi
Kolegij je namijenjen studentima koji posjeduju aparate za analitičku geometriju i linearnu algebru u okviru prve godine studija tehničkog sveučilišta.
Program tečaja
1. Kinematika točke
1.1. Kinematički problemi. Kartezijanski koordinatni sustav. Dekompozicija vektora u ortonormalnoj bazi. Vektor radijusa i koordinate točke. Točkasta brzina i ubrzanje. Putanja kretanja.
1.2. Prirodni triedar. Proširenje brzine i ubrzanja u osi prirodnog triedra (Huygensov teorem).
1.3. Krivuljaste koordinate točke, primjeri: polarni, cilindrični i sferni koordinatni sustavi. Komponente brzine i projekcije ubrzanja na os krivuljastog koordinatnog sustava.
2. Metode za postavljanje orijentacije krutog tijela
2.1. Čvrsto. Fiksni koordinatni sustav povezan s tijelom.
2.2. Matrice ortogonalne rotacije i njihova svojstva. Eulerov teorem konačnog okreta.
2.3. Aktivno i pasivno gledište o ortogonalnoj transformaciji. Dodavanje zavoja.
2.4. Konačni kutovi rotacije: Eulerovi kutovi i kutovi aviona. Izraz ortogonalne matrice u smislu kutova konačne rotacije.
3. Prostorno kretanječvrsta
3.1. Translacijsko i rotacijsko gibanje krutog tijela. Kutna brzina i kutno ubrzanje.
3.2. Raspodjela brzina (Eulerova formula) i ubrzanja (Rivalsova formula) točaka krutog tijela.
3.3. Kinematske invarijante. Kinematički vijak. Trenutačna spiralna os.
4. Ravnoparalelno kretanje
4.1. Koncept ravnoparalelnog kretanja tijela. Kutna brzina i kutna akceleracija u slučaju ravnoparalelnog gibanja. Trenutačno središte brzina.
5. Složeno gibanje točke i krutog tijela
5.1. Stacionarni i pokretni koordinatni sustavi. Apsolutno, relativno i figurativno kretanje točke.
5.2. Teorem o zbrajanju brzina u složenom gibanju točke, relativne i prijenosne brzine točke. Coriolisov teorem o zbrajanju akceleracija tijekom složenog gibanja točke, relativnom, translacijskom i Coriolisovom ubrzanju točke.
5.3. Apsolutna, relativna i translacijska kutna brzina i kutno ubrzanje tijela.
6. Gibanje krutog tijela s fiksnom točkom (kvaternionska prezentacija)
6.1. Pojam kompleksnih i hiperkompleksnih brojeva. Algebra kvaterniona. Kvaternion proizvod. Konjugirani i inverzni kvaternion, norma i modul.
6.2. Trigonometrijski prikaz jediničnog kvaterniona. Kvaternionski način specificiranja rotacije tijela. Eulerov teorem konačnog okreta.
6.3. Odnos između komponenti kvaterniona u različitim bazama. Dodavanje zavoja. Rodrigues-Hamiltonovi parametri.
7. Ispitni rad
8. Osnovni pojmovi dinamike.
8.1 Impuls, kutni moment (kutni moment), kinetička energija.
8.2 Snaga sila, rad sila, potencijal i ukupna energija.
8.3 Središte mase (središte mase) sustava. Trenutak tromosti sustava oko osi.
8.4 Momenti inercije oko paralelnih osi; Huygens – Steinerov teorem.
8.5 Tenzor i elipsoid inercije. Glavne osi inercije. Svojstva aksijalnih momenata tromosti.
8.6 Proračun kutnog momenta i kinetičke energije tijela pomoću tenzora inercije.
9. Osnovni teoremi dinamike u inercijalnim i neinercijalnim referentnim okvirima.
9.1 Teorem o promjeni količine gibanja sustava u inercijskom referentnom okviru. Teorem o gibanju središta mase.
9.2 Teorem o promjeni kutne količine gibanja sustava u inercijskom referentnom okviru.
9.3 Teorem o promjeni kinetičke energije sustava u inercijskom referentnom okviru.
9.4 Potencijalne, žiroskopske i disipativne sile.
9.5 Osnovni teoremi dinamike u neinercijalnim referentnim okvirima.
10. Gibanje krutog tijela s nepokretnom točkom po inerciji.
10.1 Dinamičke Eulerove jednadžbe.
10.2 Eulerov slučaj, prvi integrali dinamičkih jednadžbi; trajna rotacija.
10.3 Tumačenja Poinsota i McCooluga.
10.4 Regularna precesija u slučaju dinamičke simetrije tijela.
11. Kretanje teškog krutog tijela s fiksnom točkom.
11.1 Opća formulacija problema oko gibanja teškog krutog tijela.
fiksna točka. Dinamičke Eulerove jednadžbe i njihovi prvi integrali.
11.2 Kvalitativna analiza gibanja krutog tijela u Lagrangeovom slučaju.
11.3 Prisilna pravilna precesija dinamički simetričnog krutog tijela.
11.4 Osnovna formula žiroskopije.
11.5 Pojam elementarne teorije žiroskopa.
12. Dinamika točke u središnjem polju.
12.1 Binetova jednadžba.
12.2 Jednadžba orbite. Keplerovi zakoni.
12.3 Problem raspršenja.
12.4 Problem s dva tijela. Jednadžbe gibanja. Integral površina, integral energije, Laplaceov integral.
13. Dinamika sustava promjenjivog sastava.
13.1 Osnovni pojmovi i teoremi o promjeni osnovnih dinamičkih veličina u sustavima promjenjivog sastava.
13.2 Kretanje materijalna točka promjenjiva masa.
13.3 Jednadžbe gibanja tijela promjenjivog sastava.
14. Teorija impulzivnih pokreta.
14.1 Osnovni pojmovi i aksiomi teorije impulzivnih kretanja.
14.2 Teoremi o promjeni osnovnih dinamičkih veličina tijekom impulzivnog kretanja.
14.3 Impulzivno kretanje krutog tijela.
14.4 Sudar dvaju krutih tijela.
14.5 Karnotovi teoremi.
15. Test
Ishodi učenja
Kao rezultat savladavanja discipline, student mora:
- Znati:
- osnovne pojmove i teoreme mehanike i metode koje iz njih proizlaze za proučavanje gibanja mehaničkih sustava;
- Biti u mogućnosti:
- ispravno formulirati probleme u smislu teorijske mehanike;
- razviti mehaničke i matematičke modele koji na odgovarajući način odražavaju osnovna svojstva fenomena koji se razmatraju;
- primijeniti stečeno znanje za rješavanje odgovarajućih specifične zadatke;
- Vlastiti:
- vještine rješavanja klasičnih zadataka teorijske mehanike i matematike;
- vještine proučavanja problema u mehanici i konstrukcije mehaničkih i matematičkih modela koji adekvatno opisuju različite mehaničke pojave;
- vještine praktične primjene metoda i principa teorijske mehanike u rješavanju zadataka: proračun sila, određivanje kinematičkih karakteristika tijela pri različiti putevi zadaci gibanja, određivanje zakona gibanja materijalnih tijela i mehaničkih sustava pod djelovanjem sila;
- vještine samostalnog svladavanja novih informacija u procesu proizvodnje i znanstvene djelatnosti korištenje suvremenih obrazovnih i informacijskih tehnologija;
Opći teoremi dinamike sustava tijela. Teoreme o gibanju centra mase, o promjeni količine gibanja, o promjeni glavnog momenta gibanja, o promjeni kinetičke energije. D'Alembertova načela i mogući pomaci. Opća jednadžba zvučnike. Lagrangeove jednadžbe.
SadržajPosao koji moć obavlja, jednak je skalarnom umnošku vektora sila i beskonačno malog pomaka točke njegove primjene:
,
odnosno umnožak apsolutnih vrijednosti vektora F i ds s kosinusom kuta između njih.
Posao koji obavlja moment sila, jednak je skalarnom umnošku vektora trenutka i beskonačno malog kuta rotacije:
.
D'Alembertov princip
Bit d'Alembertovog principa je svesti probleme dinamike na probleme statike. Za to se pretpostavlja (ili je unaprijed poznato) da tijela sustava imaju određena (kutna) ubrzanja. Zatim se uvode inercijalne sile i (ili) momenti inercijskih sila, koji su po veličini jednaki i suprotni po smjeru silama i momentima sila, koji bi, prema zakonima mehanike, stvarali određena ubrzanja ili kutna ubrzanja
Pogledajmo primjer. Na putu se tijelo kreće naprijed i na njega djeluju vanjske sile. Nadalje, pretpostavljamo da te sile stvaraju ubrzanje središta mase sustava. Prema teoremu o gibanju središta mase, središte mase tijela imalo bi istu akceleraciju da na tijelo djeluje sila. Zatim uvodimo silu inercije:
.
Nakon toga, problem dinamike:
.
;
.
Za rotacijsko kretanje postupite na isti način. Neka tijelo rotira oko z-ose i na njega djeluju vanjski momenti sila M e zk. Pretpostavljamo da ti momenti stvaraju kutno ubrzanje ε z. Zatim uvodimo moment inercijskih sila M I = - J z ε z. Nakon toga, problem dinamike:
.
Pretvara se u statički zadatak:
;
.
Princip mogućih pomaka
Za rješavanje statičkih problema koristi se princip mogućih pomaka. U nekim problemima daje kraće rješenje od jednadžbe ravnoteže. To posebno vrijedi za sustave s ograničenjima (na primjer, sustave tijela povezanih nitima i blokovima), koji se sastoje od mnogih tijela
Princip mogućih pomaka.
Za ravnotežu mehanički sustav s savršene veze potrebno i dovoljno za iznos elementarni rad svih aktivnih sila koje djeluju na njega za bilo koji mogući pomak sustava bio je jednak nuli.
Moguće pomicanje sustava- ovo je mali pomak, koji ne prekida veze nametnute sustavu.
Savršene veze- to su spojevi koji ne obavljaju rad kada se sustav pomiče. Točnije, količina posla koju obavljaju same veze kada se sustav kreće jednaka je nuli.
Opća jednadžba dinamike (d'Alembert - Lagrangeov princip)
Princip d'Alembert-Lagrangea kombinacija je d'Alembertovog principa s principom mogućih pomaka. Odnosno, pri rješavanju problema dinamike uvodimo sile tromosti i problem svodimo na problem statike koji rješavamo po principu mogućih pomaka.
D'Alembert - Lagrangeov princip.
Kada se mehanički sustav s idealnim ograničenjima kreće u svakom trenutku vremena, zbroj elementarnog rada svih primijenjenih aktivnih sila i svih inercijskih sila na bilo koji mogući pomak sustava jednak je nuli:
.
Ova se jednadžba zove opća jednadžba dinamike.
Lagrangeove jednadžbe
Generalizirane koordinate q 1, q 2, ..., q n je zbirka od n vrijednosti koje jedinstveno određuju položaj sustava.
Broj generaliziranih koordinata n podudara se s brojem stupnjeva slobode sustava.
Generalizirane brzine su derivacije generaliziranih koordinata s obzirom na vrijeme t.
Generalizirane sile Q 1, Q 2, ..., Q n
.
Razmotrimo moguće kretanje sustava u kojem će koordinata q k dobiti pomak δq k. Ostale koordinate ostaju nepromijenjene. Neka je δA k rad koji obavljaju vanjske sile tijekom takvog pomaka. Zatim
δA k = Q k δq k, ili
.
Ako se uz moguće kretanje sustava mijenjaju sve koordinate, tada rad koji obavljaju vanjske sile tijekom takvog kretanja ima oblik:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Tada su generalizirane sile parcijalne derivacije rada na pomacima:
.
Za potencijalne sile
s potencijalom Π,
.
Lagrangeove jednadžbe su jednadžbe gibanja mehaničkog sustava u generaliziranim koordinatama:
Ovdje je T kinetička energija. To je funkcija generaliziranih koordinata, brzina i moguće vremena. Stoga je njezin parcijalni izvod također funkcija generaliziranih koordinata, brzina i vremena. Nadalje, morate uzeti u obzir da su koordinate i brzine funkcije vremena. Stoga je za pronalaženje ukupne vremenske derivacije potrebno primijeniti pravilo diferencijacije složena funkcija:
.
Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj teorijske mehanike, " postdiplomske studije“, 2010.
Kinematika
Kinematika materijalne točke
Određivanje brzine i akceleracije točke prema zadanim jednadžbama njezina gibanja
Zadano: Jednadžbe gibanja točke: x = 12 grijeha (πt / 6), cm; y = 6 cos 2 (πt / 6), cm.
Postavite vrstu njegove putanje i za trenutak vremena t = 1 s pronaći položaj točke na putanji, njezinu brzinu, ukupno, tangencijalno i normalno ubrzanje, kao i polumjer zakrivljenosti putanje.
Translacijsko i rotacijsko gibanje krutog tijela
dano:
t = 2 s; r 1 = 2 cm, R 1 = 4 cm; r 2 = 6 cm, R 2 = 8 cm; r 3 = 12 cm, R 3 = 16 cm; s 5 = t 3 - 6t (cm).
Odrediti u trenutku t = 2 brzine točaka A, C; kutno ubrzanje kotača 3; ubrzanje točke B i ubrzanje štapa 4.
Kinematička analiza ravnog mehanizma
dano:
R 1, R 2, L, AB, ω 1.
Pronađite: ω 2.
Ravni mehanizam sastoji se od šipki 1, 2, 3, 4 i klizača E. Šipke su povezane pomoću cilindričnih šarki. Točka D nalazi se u sredini trake AB.
Zadano: ω 1, ε 1.
Pronađite: brzine V A, V B, V D i V E; kutne brzine ω 2, ω 3 i ω 4; ubrzanje a B; kutno ubrzanje ε AB veza AB; položaji trenutnih središta brzina P 2 i P 3 karika 2 i 3 mehanizma.
Određivanje apsolutne brzine i apsolutnog ubrzanja točke
Pravokutna ploča rotira oko fiksne osi prema zakonu φ = 6 t 2 - 3 t 3... Pozitivan smjer kuta φ prikazan je na slikama strelicom luka. Os rotacije OO 1 leži u ravnini ploče (ploča se rotira u prostoru).
Točka M pomiče se duž linije BD na ploči. Dat je zakon njegovog relativnog gibanja, tj. ovisnost s = AM = 40 (t - 2 t 3) - 40(s - u centimetrima, t - u sekundama). Udaljenost b = 20 cm... Na slici je točka M prikazana u položaju u kojem je s = AM > 0 (za s< 0 točka M je s druge strane točke A).
Nađite apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje točke M u trenutku t 1 = 1 s.
Dinamika
Integracija diferencijalnih jednadžbi gibanja materijalne točke pod djelovanjem promjenjivih sila
Teret D mase m, primivši početnu brzinu V 0 u točki A, kreće se u zakrivljenoj cijevi ABC koja se nalazi u okomitoj ravnini. Na presjeku AB, čija je duljina l, na opterećenje djeluje stalna sila T (njen smjer je prikazan na slici) i sila R srednjeg otpora (modul ove sile R = μV 2, vektor R je usmjeren suprotno brzini V tereta).
Opterećenje, nakon što je završilo svoje kretanje na presjeku AB, u točki B cijevi, bez promjene vrijednosti modula svoje brzine, prelazi na dio BC. U presjeku BC na teret djeluje promjenjiva sila F čija je projekcija F x dana na os x.
S obzirom na teret kao materijalnu točku, pronađite zakon njegova gibanja na BC presjeku, t.j. x = f (t), gdje je x = BD. Zanemarite trenje opterećenja na cijevi.
Preuzmite rješenje problema
Teorem o promjeni kinetičke energije mehaničkog sustava
Mehanički sustav se sastoji od utega 1 i 2, cilindričnog valjka 3, dvostupanjskih remenica 4 i 5. Tijela sustava povezana su navojima namotanim na remenice; presjeci navoja su paralelni s odgovarajućim ravninama. Valjak (čvrsti homogeni cilindar) se kotrlja po referentnoj ravnini bez klizanja. Polumjeri stepenica remenica 4 i 5 su R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Smatra se da je masa svake remenice ravnomjerno raspoređena duž svoje vanjski rub... Nosne ravnine utega 1 i 2 su hrapave, koeficijent trenja klizanja za svako opterećenje je f = 0,1.
Pod djelovanjem sile F čiji se modul mijenja prema zakonu F = F (s), gdje je s pomak točke njezine primjene, sustav počinje izlaziti iz stanja mirovanja. Kada se sustav kreće, sile otpora djeluju na remenicu 5, čiji je moment u odnosu na os rotacije konstantan i jednak M 5.
Odrediti vrijednost kutne brzine remenice 4 u onom trenutku kada pomak s točke primjene sile F postane jednak s 1 = 1,2 m. 
Preuzmite rješenje problema
Primjena opće jednadžbe dinamike na proučavanje gibanja mehaničkog sustava
Za mehanički sustav odredite linearno ubrzanje a 1. Pretpostavimo da su mase blokova i valjaka raspoređene duž vanjskog radijusa. Užad i pojasevi smatraju se bestežinskim i nerastegljivim; nema klizanja. Zanemarite trenje kotrljanja i klizanja. 
Preuzmite rješenje problema
Primjena d'Alembertovog principa na određivanje reakcija oslonaca rotirajućeg tijela
Vertikalna osovina AK, koja se ravnomjerno vrti s kutnom brzinom ω = 10 s -1, učvršćena je potisnim ležajem u točki A i cilindričnim ležajem u točki D.
Na osovinu je čvrsto pričvršćena bestežinska šipka 1 duljine l 1 = 0,3 m na čijem se slobodnom kraju nalazi teret mase m 1 = 4 kg i homogena šipka 2 duljine l 2 = 0,6 m, s masom m 2 = 8 kg. Obje šipke leže u istoj okomitoj ravnini. Točke pričvršćivanja šipki na osovinu, kao i kutovi α i β, naznačeni su u tablici. Dimenzije AB = BD = DE = EK = b, gdje je b = 0,4 m. Uzmite opterećenje kao materijalnu točku.
Zanemarujući masu osovine odrediti reakciju potisnog ležaja i ležaja.
Stanje ravnoteže, u statici, shvaća se kao stanje u kojem svi dijelovi mehaničkog sustava miruju u odnosu na neki inercijski koordinatni sustav. Jedan od osnovnih objekata statike su sile i njihove točke primjene.
Sila koja djeluje na materijalnu točku s radijus vektorom iz drugih točaka je mjera utjecaja drugih točaka na točku koja se razmatra, zbog čega ona dobiva ubrzanje u odnosu na inercijski referentni okvir. Veličina snagu određena formulom:
,
gdje je m masa točke – vrijednost koja ovisi o svojstvima same točke. Ova formula se zove drugi Newtonov zakon.
Primjena statike u dinamici
Važna značajka jednadžbi gibanja apsolutno krutog tijela je da se sile mogu transformirati u ekvivalentne sustave. Takvom transformacijom jednadžbe gibanja zadržavaju svoj oblik, ali se sustav sila koje djeluju na tijelo može preobraziti u jednostavniji sustav. Dakle, točka primjene sile može se pomicati duž linije njezina djelovanja; sile se mogu rasporediti prema pravilu paralelograma; sile primijenjene u jednoj točki mogu se zamijeniti njihovim geometrijskim zbrojem.
Primjer takvih transformacija je sila gravitacije. Djeluje na sve točke krutog tijela. Ali zakon gibanja tijela neće se promijeniti ako se sila gravitacije raspoređena na sve točke zamijeni jednim vektorom primijenjenim u središtu mase tijela.
Ispada da ako glavnom sustavu sila koje djeluju na tijelo dodamo ekvivalentni sustav u kojem su smjerovi sila obrnuti, tada će tijelo, pod djelovanjem tih sustava, biti u ravnoteži. Dakle, problem određivanja ekvivalentnih sustava sila svodi se na problem ravnoteže, odnosno na problem statike.
Glavni zadatak statike je uspostavljanje zakona transformacije sustava sila u ekvivalentne sustave. Dakle, metode statike koriste se ne samo u proučavanju tijela u ravnoteži, već i u dinamici krutog tijela, u transformaciji sila u jednostavnije ekvivalentne sustave.
Statika materijalne točke
Razmotrimo materijalnu točku koja je u ravnoteži. I neka na njega djeluje n sila, k = 1, 2, ..., n.
Ako je materijalna točka u ravnoteži, tada je vektorski zbroj sila koje djeluju na nju jednak nuli:
(1)
.
U ravnoteži geometrijski zbroj sile koje djeluju na točku jednake su nuli.
Geometrijska interpretacija... Ako se početak drugog vektora stavi na kraj prvog vektora, a početak trećeg na kraj drugog vektora, pa se taj proces nastavi, onda je kraj posljednjeg, n -tog vektor će biti poravnat s početkom prvog vektora. Odnosno, dobivamo zatvoreni geometrijski lik čije su duljine stranica jednake modulima vektora. Ako svi vektori leže u istoj ravnini, tada dobivamo zatvoreni poligon.
Često je prikladno odabrati pravokutni koordinatni sustav Oxyz. Tada su zbroji projekcija svih vektora sila na koordinatnu os jednaki nuli:
Ako odaberete bilo koji smjer zadan nekim vektorom, tada je zbroj projekcija vektora sile na ovaj smjer jednak nuli:
.
Pomnožimo jednadžbu (1) skalarno s vektorom:
.
Ovdje je skalarni proizvod vektora i.
Imajte na umu da je projekcija vektora na smjer vektora određena formulom:
.
Statika krutog tijela
Moment sile u odnosu na točku
Određivanje momenta sile
Trenutak moći primijenjen na tijelo u točki A, u odnosu na fiksno središte O, naziva se vektor jednak vektorskom umnošku vektora i:(2) .
Geometrijska interpretacija
Moment sile jednak je umnošku sile F na rame OH.
Neka se vektori i nalaze u ravnini crteža. Prema svojstvu vektorskog produkta vektor je okomit na vektore, odnosno okomit na ravninu crteža. Njegov smjer određuje se pravilom desnog vijka. Na slici je vektor trenutka usmjeren na nas. Apsolutna vrijednost zakretnog momenta:
.
Od tad
(3)
.
Koristeći geometriju, možete dati drugačije tumačenje momenta sile. Da biste to učinili, povucite ravnu liniju AH kroz vektor sile. Iz središta O ispuštamo okomitu OH na ovu liniju. Duljina ove okomice naziva se rame snage... Zatim
(4)
.
Budući da su formule (3) i (4) ekvivalentne.
Tako, apsolutna vrijednost momenta sile s obzirom na središte O jednako sila po ramenu ova sila u odnosu na odabrano središte O.
Prilikom izračunavanja trenutka, često je prikladno razložiti silu na dvije komponente:
,
gdje . Sila prolazi točkom O. Stoga je njegov moment jednak nuli. Zatim
.
Apsolutna vrijednost zakretnog momenta:
.
Komponente momenta u pravokutnom koordinatnom sustavu
Ako odaberemo pravokutni koordinatni sustav Oxyz sa središtem u točki O, tada će moment sile imati sljedeće komponente:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
.
Ovdje su koordinate točke A u odabranom koordinatnom sustavu:
.
Komponente predstavljaju vrijednosti momenta sile oko osi, respektivno.
Svojstva momenta sile u odnosu na središte
Moment oko središta O, od sile koja prolazi kroz ovo središte, jednak je nuli.
Ako se točka primjene sile pomakne duž linije koja prolazi kroz vektor sile, tada se moment neće promijeniti ovim kretanjem.
Moment iz vektorskog zbroja sila primijenjenih na jednu točku tijela jednak je vektorskom zbroju momenata svake od sila primijenjenih na istu točku:
.
Isto vrijedi i za sile čije se linije nastavljanja sijeku u jednoj točki.
Ako je vektorski zbroj sila nula:
,
tada zbroj momenata tih sila ne ovisi o položaju središta u odnosu na koje se momenti izračunavaju:
.
Par sila
Par sila- to su dvije sile, jednake po apsolutnoj vrijednosti i suprotnih smjerova, koje se primjenjuju na različite točke tijela.
Par sila karakterizira trenutak kada stvaraju. Budući da je vektorski zbroj sila uključenih u par jednak nuli, moment koji par stvara ne ovisi o točki u odnosu na koju se moment izračunava. Sa stajališta statičke ravnoteže, priroda sila uključenih u par je nevažna. Par sila koristi se za označavanje da na tijelo djeluje moment sila koji ima određenu vrijednost.
Moment sile oko date osi
Česti su slučajevi kada ne trebamo poznavati sve komponente momenta sile u odnosu na odabranu točku, već samo trebamo znati moment sile u odnosu na odabranu os.
Moment sile oko osi koja prolazi kroz točku O je projekcija vektora momenta sile, u odnosu na točku O, na smjer osi.
Svojstva momenta sile oko osi
Moment oko osi od sile koja prolazi kroz ovu os jednak je nuli.
Trenutak oko osi od sile paralelne ovoj osi jednak je nuli.
Proračun momenta sile oko osi
Neka na tijelo u točki A djeluje sila. Nađimo moment ove sile oko O'O'' osi.
Izgradimo pravokutni koordinatni sustav. Neka se os Oz poklapa s O′O ′ ′. Iz točke A spuštamo okomicu OH na O′O ′ ′. Povucite os Ox kroz točke O i A. Nacrtajte os Oy okomito na Ox i Oz. Razložimo silu na komponente duž osi koordinatnog sustava:
.
Sila prelazi os O′O ′ ′. Stoga je njegov moment jednak nuli. Sila je paralelna s O'O'' osi. Stoga je i njegov moment jednak nuli. Formulom (5.3) nalazimo:
.
Imajte na umu da je komponenta usmjerena tangencijalno na kružnicu čije je središte točka O. Smjer vektora određen je pravilom desnog vijka.
Uvjeti ravnoteže za kruto tijelo
U ravnoteži, vektorski zbroj svih sila koje djeluju na tijelo je nula, a vektorski zbroj momenata tih sila u odnosu na proizvoljno stacionarno središte je nula:
(6.1)
;
(6.2)
.
Naglašavamo da se središte O, u odnosu na koje se računaju momenti sila, može birati proizvoljno. Točka O može ili pripadati tijelu ili biti izvan njega. Obično se bira središte O kako bi se izračuni učinili jednostavnijim.
Uvjeti ravnoteže mogu se formulirati i na drugi način.
U ravnoteži, zbroj projekcija sila na bilo koji smjer dat proizvoljnim vektorom jednak je nuli:
.
Zbroj momenata sila oko proizvoljne osi O′O ′ ′ također je jednak nuli:
.
Ponekad su ti uvjeti prikladniji. Postoje slučajevi kada, odabirom osi, možete učiniti izračune jednostavnijim.
Težište tijela
Razmotrimo jednu od najvažnijih sila – silu gravitacije. Ovdje se sile ne primjenjuju na određene točke tijela, već se kontinuirano raspoređuju po njegovom volumenu. Za svaki dio tijela s beskonačno malim volumenom Δ V, djeluje sila gravitacije. Ovdje je ρ gustoća tvari tijela, ubrzanje gravitacije.
Neka je masa beskonačno malog dijela tijela. I neka točka A k odredi položaj ovog presjeka. Nađimo veličine koje se odnose na silu gravitacije, a koje su uključene u jednadžbe ravnoteže (6).
Nađimo zbroj sila gravitacije koje čine svi dijelovi tijela:
,
gdje je tjelesna težina. Dakle, zbroj sila gravitacije pojedinih beskonačno malih dijelova tijela može se zamijeniti jednim vektorom gravitacije cijelog tijela:
.
Pronađimo zbroj momenata gravitacije u odnosu na odabrano središte O na proizvoljan način:
.
Ovdje smo uveli točku C koja se zove centar gravitacije tijelo. Položaj težišta, u koordinatnom sustavu sa središtem u točki O, određuje se formulom:
(7)
.
Dakle, pri određivanju statičke ravnoteže, zbroj sila gravitacije pojedinih dijelova tijela može se zamijeniti rezultantom
,
primijenjeno na središte mase tijela C čiji je položaj određen formulom (7).
Položaj težišta za različite geometrijski oblici mogu se naći u odgovarajućim referentnim knjigama. Ako tijelo ima os ili ravninu simetrije, tada se težište nalazi na ovoj osi ili ravnini. Dakle, težišta kugle, kruga ili kruga nalaze se u središtima krugova ovih figura. Centri gravitacije pravokutni paralelepiped, pravokutnik ili kvadrat također se nalaze u njihovim središtima - na sjecištima dijagonala.
Ravnomjerno (A) i linearno (B) raspoređeno opterećenje.
Postoje i slučajevi slični gravitaciji kada se sile ne primjenjuju na određene točke tijela, već se kontinuirano raspoređuju po njegovoj površini ili volumenu. Takve sile se nazivaju raspoređene snage ili .
(Slika A). Također, kao iu slučaju gravitacije, može se zamijeniti rezultantnom silom količine primijenjene na težište grafa. Budući da je dijagram na slici A pravokutnik, težište dijagrama je u njegovom središtu - točki C: | AC | = | CB |. (Slika B). Također se može zamijeniti rezultantom. Vrijednost rezultanta jednaka je površini dijagrama:.
Točka primjene je u središtu gravitacije plohe. Težište trokuta visine h udaljeno je od baze. Zato .
Sile trenja
Trenje klizanja... Neka tijelo bude na ravnoj površini. I neka je sila okomita na plohu s koje površina djeluje na tijelo (tlačna sila). Tada je sila trenja klizanja paralelna s površinom i usmjerena u stranu, sprječavajući pomicanje tijela. Njegova najveća vrijednost jednaka je:
,
gdje je f koeficijent trenja. Koeficijent trenja je bezdimenzionalan.
Trenje kotrljanja... Pustite da se zaobljeno tijelo kotrlja ili može kotrljati po površini. I neka je sila pritiska okomita na površinu s koje površina djeluje na tijelo. Tada na tijelo, na mjestu dodira s površinom, djeluje moment sila trenja, što sprječava kretanje tijela. Najveća vrijednost moment trenja jednak je:
,
gdje je δ koeficijent trenja kotrljanja. Ima dimenziju dužine.
Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj teorijske mehanike, "Srednja škola", 2010.
20. izd. - M .: 2010. - 416 str.
Knjiga opisuje osnove mehanike materijalne točke, sustava materijalnih točaka i krutog tijela u obujmu koji odgovara programima tehničkih sveučilišta. Navedeno je mnogo primjera i problema čija su rješenja popraćena odgovarajućim smjernice... Za studente redovitih i izvanrednih tehničkih sveučilišta.
Format: pdf
Veličina: 14 Mb
Pogledajte, preuzmite: drive.google
SADRŽAJ
Predgovor trinaestom izdanju 3
Uvod 5
PRVI ODJELJAK ČVRSTA STATIKA
Poglavlje I. Osnovni pojmovi Pozadinske odredbe članaka 9
41. Apsolutno čvrst; sila. Problemi sa statikom 9
12. Početne pozicije statike „11
3 $. Obveznice i njihove reakcije 15
Poglavlje II. Zbrajanje sila. Sustav konvergentnih sila 18
§4. Geometrijski! Način zbrajanja sila. Rezultat konvergirajućih sila, razlaganje sila 18
f 5. Projekcije sile na os i na ravninu, Analitička metoda postavljanja i zbrajanja sila 20
16. Ravnoteža sustava konvergirajućih sila_. ... ... 23
17. Rješavanje problema statike. 25
Poglavlje III. Moment sile u odnosu na središte. Par snaga 31
i 8. Moment sile u odnosu na središte (ili točku) 31
| 9. Par sila. Trenutak para 33
f 10 *. Teoremi o ekvivalentnosti i zbrajanju parova 35
Poglavlje IV. Dovođenje sustava snaga u središte. Uvjeti ravnoteže ... 37
f 11. Teorem o paralelnom prijenosu sile 37
112. Dovođenje sustava snaga u ovo središte -. , 38
§ 13. Uvjeti ravnoteže sustava sila. Teorem o rezultantnom momentu 40
Poglavlje V. Ravni sustav sila 41
§ 14. Algebarski momenti sila i parovi 41
115. Dovođenje ravnog sustava sila u najjednostavniji oblik .... 44
§ 16. Ravnoteža ravninskog sustava sila. Slučaj paralelnih sila. 46
§ 17. Rješavanje zadataka 48
118. Ravnoteža sustava tijela 63
§ 19*. Statički odredivi i statički neodređeni sustavi tijela (strukture) 56"
f 20 *. Definicija unutarnjih napora. 57
§ 21 *. Raspodijeljene snage 58
E22 *. Proračun ravnih rešetki 61
Poglavlje VI. Trenje 64
! 23. Zakoni trenja klizanja 64
: 24. Grube reakcije veze. Kut trenja 66
: 25. Ravnoteža u prisutnosti trenja 66
(26 *. Trenje niti na cilindričnoj površini 69
1 27 *. Trenje kotrljanja 71
Poglavlje VII. Sustav prostornih sila 72
§28. Moment sile oko osi. Izračun glavnog vektora
a glavni moment sustava sila 72
§ 29 *. Svođenje prostornog sustava sila na najjednostavniji oblik 77
§trideset. Ravnoteža proizvoljnog prostornog sustava sila. Slučaj paralelnih sila
Poglavlje VIII. Težište 86
§31. Centar paralelnih snaga 86
§ 32. Polje sile. Težište krutog tijela 88
§ 33. Koordinate težišta homogenih tijela 89
§ 34. Metode za određivanje koordinata težišta tijela. 90
§ 35. Težišta nekih homogenih tijela 93
DRUGI ODJELJAK KINEMATIKA TOČKE I ČVRSTO TIJELA
Poglavlje IX. Kinematika točke 95
§ 36. Uvod u kinematiku 95
§ 37. Metode određivanja kretanja točke. ... 96
§38. Vektor brzine točke ,. 99
§ 39. Vektor "rezne točke 100
§40. Određivanje brzine i ubrzanja točke u koordinatnoj metodi zadavanja kretanja 102
§41. Rješavanje zadataka kinematike točke 103
§ 42. Osi prirodnog triedra. Brojčana vrijednost brzine 107
§ 43. Tangenta i normalno ubrzanje točke 108
§44. Neki posebni slučajevi pomicanja PO točke
§45. Grafovi kretanja, brzine i ubrzanja točke 112
§ 46. Rješavanje problema< 114
§47 *. Brzina i ubrzanje točke u polarnim koordinatama 116
Poglavlje X. Translacijsko i rotacijsko gibanje krutog tijela. ... 117
§48. Translacijski prijedlog 117
Odjeljak 49. Rotacijsko kretanje kruto tijelo oko osi. Kutna brzina i kutno ubrzanje 119
§50. Ravnomjerna i jednaka rotacija 121
§51. Brzine i akceleracije točaka rotirajućeg tijela 122
Poglavlje XI. Ravnoparalelno kretanje krutog tijela 127
§52. Jednadžbe ravnoparalelnog gibanja (gibanje ravninske figure). Dekompozicija gibanja na translacijsko i rotacijsko 127
§53 *. Definiranje putanja točaka ravne figure 129
§54. Određivanje brzina točaka ravne figure 130
§ 55. Teorem o projekcijama brzina dviju točaka tijela 131
§ 56. Određivanje brzina točaka ravnog lika pomoću trenutačnog središta brzina. Razumijevanje težišta 132
§57. Rješavanje problema 136
§58 *. Određivanje akceleracije točaka ravne figure 140
§59 *. Centar za trenutno ubrzanje "*" *
Poglavlje XII *. Kretanje krutog tijela oko fiksne točke i kretanje slobodnog krutog tijela 147
§ 60. Gibanje krutog tijela koje ima jednu nepokretnu točku. 147
§61. Eulerove kinematske jednadžbe 149
§62. Brzine i akceleracije tjelesnih točaka 150
§ 63. Opći slučaj gibanja slobodnog krutog tijela 153
Poglavlje XIII. Teško kretanje točke 155
§ 64. Relativno, figurativno i apsolutno gibanje 155
§ 65, Teorem o zbrajanju brzina "156
§66. Teorem o zbrajanju ubrzanja (Coriolnsov teorem) 160
§67. Rješavanje problema 16 *
Poglavlje XIV *. Složeno gibanje krutog tijela 169
§68. Dodavanje translacijskih pokreta 169
§69. Dodavanje rotacija oko dvije paralelne osi 169
§70. Čelni zupčanici 172
§ 71. Zbrajanje rotacija oko osi koje se sijeku 174
§72. Zbrajanje translacijskih i rotacijskih pokreta. Kretanje vijka 176
DINAMIKA TRI TOČKE
Poglavlje XV: Uvod u dinamiku. Zakoni dinamike 180
§ 73. Osnovni pojmovi i definicije 180
§ 74. Zakoni dinamike. Problemi dinamike materijalne točke 181
Odjeljak 75. Sustavi jedinica 183
§76. Osnovne sile 184
Poglavlje XVI. Diferencijalne jednadžbe pomicanje točke. Rješavanje zadataka dinamike točke 186
§ 77. Diferencijalne jednadžbe, gibanje materijalne točke br
§ 78. Rješenje prvog problema dinamike (određivanje sila za dano gibanje) 187
§ 79. Rješenje glavnog problema dinamike za ravno kretanje točke 189
§ 80. Primjeri rješavanja zadataka 191
§81 *. Pad tijela u okruženju otpornom (u zrak) 196
§82. Rješenje glavnog problema dinamike, sa krivolinijskim gibanjem točke 197
Poglavlje XVII. Opći teoremi dinamike točaka 201
§83. Količina pomaka točke. Impuls sile 201
§ S4. Teorem o promjeni količine gibanja točke 202
§ 85. Teorem o promjeni kutnog momenta točke (teorem o momentima) "204
§86 *. Kretanje pod utjecajem središnje sile. Zakon o područjima .. 266
§ 8-7. Rad snage. Snaga 208
§88. Primjeri računskog rada 210
§89. Teorem o promjeni kinetičke energije točke. "... 213J
Poglavlje XVIII. Nije slobodno i u odnosu na kretanje točke 219
§90. Neslobodno kretanje točke. 219
§91. Relativno kretanje točke 223
§ 92. Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu i gibanje tijela ... 227
§ 93 *. Odstupanje točke pada od vertikale zbog rotacije Zemlje „230
Poglavlje XIX. Vibracije pravolinijske točke. ... ... 232
§ 94. Slobodne vibracije bez uzimanja u obzir sila otpora 232
§ 95. Slobodne vibracije s viskoznim otporom (prigušene vibracije) 238
§96. Prisilne vibracije. Rezonayas 241
Poglavlje XX *. Kretanje tijela u gravitacijskom polju 250
§ 97. Gibanje bačenog tijela u gravitacijskom polju Zemlje "250
§98. Umjetni sateliti Zemlja. Eliptične putanje. 254
§ 99. Koncept bestežinskog stanja. "Lokalni referentni okviri 257
ODJELJAK ČETVRTI SUSTAV I DINAMIKA ČVRSTOG TIJELA
Poglavlje XXI. Uvod u dinamiku sustava. Trenuci inercije. 263
§ 100. Mehanički sustav. Vanjske sile i unutarnje sile 263
§ 101. Masa sustava. Težište 264
§ 102. Moment tromosti tijela oko osi. Radijus rotacije. ... 265
$ 103. Momenti tromosti tijela u odnosu na paralelne osi. Huygensov teorem 268
§ 104 *. Centrifugalni momenti inercije. Pojmovi o glavnim osi inercije tijela 269
105 dolara *. Moment tromosti tijela oko proizvoljne osi. 271
Poglavlje XXII. Teorem o gibanju središta mase sustava 273
$ 106. Diferencijalne jednadžbe gibanja sustava 273
§ 107. Teorem o gibanju središta masa 274
108 $. Zakon održanja gibanja centra masa 276
§ 109. Rješavanje problema 277
Poglavlje XXIII. Teorem o promjeni broja pokretnih sustava. ... 280
$ ALI. Količina kretanja sustava 280
§111. Teorem promjene momenta 281
§ 112. Zakon održanja količine gibanja 282
113 dolara *. Primjena teorema na gibanje tekućine (plina) 284
§ 114 *. Tijelo promjenjive mase. Pokret rakete 287
Gdava XXIV. Teorem o promjeni momenta količina gibanja sustava 290
§ 115. Glavni moment veličina gibanja sustava 290
$ 116. Teorem o promjeni glavnog momenta veličina gibanja sustava (teorem o momentima) 292
117 dolara. Zakon održanja glavnog momenta veličina gibanja. ... 294
118 dolara. Rješavanje problema 295
119 dolara *. Primjena teorema o momentima na gibanje tekućine (plina) 298
§ 120. Uvjeti ravnoteže mehaničkog sustava 300
Poglavlje XXV. Teorem o promjeni kinetičke energije sustava. ... 301.
§ 121. Kinetička energija sustava 301
122 dolara. Neki slučajevi računskog rada 305
123 $. Teorem o promjeni kinetičke energije sustava 307
124 dolara. Rješavanje problema 310
125 dolara *. Mješoviti problemi "314
126 $. Potencijalno polje sile i funkcija sile 317
127 dolara, potencijalna energija. Zakon o očuvanju mehaničke energije 320
Poglavlje XXVI. „Primjena općih teorema na dinamiku krutog tijela 323
12 USD &. Rotacijsko gibanje krutog tijela oko fiksne osi ". 323"
129 dolara. Fizičko njihalo. Eksperimentalno određivanje momenata tromosti. 326
130 dolara. Ravnoparalelno gibanje krutog tijela 328
$ 131*. Elementarna teorijažiroskop 334
132 dolara *. Gibanje krutog tijela oko fiksne točke i gibanje slobodnog krutog tijela 340
Poglavlje XXVII. D'Alembertovo načelo 344
133 dolara. D'Alembertov princip za točku i mehanički sustav. ... 344
134 dolara. Glavni vektor i glavna točka sile inercije 346
135 dolara. Rješavanje problema 348
136 $ *, Didemijske reakcije koje djeluju na os rotirajućeg tijela. Balansirajuća nerotirajuća tijela 352
Poglavlje XXVIII. Princip mogućih pomaka i opća jednadžba dinamike 357
§ 137. Klasifikacija kravata 357
§ 138. Moguća kretanja sustava. Broj stupnjeva slobode. ... 358
Odjeljak 139. Princip mogućih kretanja 360
§ 140. Rješavanje problema 362
§ 141. Opća jednadžba dinamike 367
Poglavlje XXIX. Uvjeti ravnoteže i jednadžbe gibanja sustava u generaliziranim koordinatama 369
§ 142. Generalizirane koordinate i generalizirane brzine. ... ... 369
Odjeljak 143. Generalizirane snage 371
§ 144. Uvjeti ravnoteže sustava u generaliziranim koordinatama 375
§ 145. Lagrangeove jednadžbe 376
§ 146. Rješavanje problema 379
Poglavlje XXX *. Male oscilacije sustava oko stabilnog ravnotežnog položaja 387
§ 147. Pojam stabilnosti ravnoteže 387
§ 148. Male slobodne vibracije sustava s jednim stupnjem slobode 389
§ 149. Male prigušene i prisilne oscilacije sustava s jednim stupnjem slobode 392
§ 150. Male kombinirane oscilacije sustava s dva stupnja slobode 394
Poglavlje XXXI. Teorija elementarnog udara 396
§ 151. Osnovna jednadžba teorije udara 396
§ 152. Opći teoremi teorije udara 397
§ 153. Koeficijent povrata pri udaru 399
§ 154. Udar tijela o fiksnu prepreku 400
§ 155. Izravan središnji udarac dvaju tijela (udar loptica) 401
§ 156. Gubitak kinetičke energije tijekom neelastičnog sudara dvaju tijela. Carnotov teorem 403
§ 157 *. Udarac u rotirajuće tijelo. Udarni centar 405
Indeks 409
Učitavam...