Osnove teorije vibracija mehaničkih sustava. Osnove teorije vibracija

Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije
Država Ukhta Tehničko sveučilište

VC. Khegai, D.N. Levitsky,
ON. Kharin, A.S. Popov

Osnove teorije vibracija
mehanički sustavi
Vodič

Odobreno od strane obrazovno-metodičkog saveza sveučilišta
u visokom obrazovanju za naftu i plin kao obrazovni
priručnici za studente naftnih i plinskih sveučilišta
u specijalnosti 090800, 170200, 553600

UDK 534.01
X-35
Osnove teorije oscilacija mehaničkih sustava / V.K. hegaj,
D.N. Levitsky, O. N. Kharin, A.S. Popov. - Ukhta: USTU, 2002.-- 108 str.
ISBN 5-88179-285-8
U tutorijalu se raspravlja o osnovama teorije oscilacija mehaničkih sustava na kojima se temelje opći tečaj teorijske mehanike... Posebna se pozornost posvećuje primjeni Lagrangeovih jednadžbi sekunde
red. Priručnik se sastoji od šest poglavlja, od kojih je svako posvećeno određenoj vrsti vibracija. Jedno poglavlje posvećeno je osnovama teorije stabilnosti gibanja i ravnoteže mehaničkih sustava.
Za bolje savladavanje teorijsko gradivo, u priručniku, dano
veliki broj primjera i problema iz raznih područja tehnike.
Udžbenik je namijenjen studentima strojarskih smjerova koji u cijelosti izučavaju kolegij teorijske mehanike,
može biti od koristi i studentima drugih specijalnosti.
Recenzenti: Zavod za teorijsku mehaniku, Sankt Peterburg
Državna šumarska akademija (predstojnik odjela, doktor tehničkih znanosti, prof. YA Dobrynin); Voditelj Odjela za integrirano bušenje SeverNIPIGaz, kandidat tehničkih znanosti, izvanredni profesor Yu.M. Gerzhberg.

© Državno tehničko sveučilište Ukhta, 2002
© Khegai V.K., Levitsky D.N., Kharin O.N., Popov A.S., 2002.
ISBN 5-88179-285-8

3
Sadržaj
Predgovor ................................................................ ................................................................ .................... 4
Poglavlje I. Kratke informacije iz analitičke mehanike ................................................ 5
1.1 Potencijalna energija sustava ........................................................ .................................................... 5
1.2. Kinetička energija sustava ................................................. .................................... 6
1.3. Disipativna funkcija ................................................. ................................................. osam
1.4. Langrangeova jednadžba ................................................................ ................................................ devet
1.5. Primjeri za izradu Langrangeovih jednadžbi druge vrste ................................. 11
Poglavlje II. Stabilnost kretanja i ravnoteža konzervativnih sustava ......... 20
2.1. Uvod ................................................. ................................................................ ................... dvadeset
2.2. Funkcije Lyapunova. Sylvesterov kriterij ................................................................. ............. 21
2.3. Jednadžba poremećenog gibanja .................................................. ........................................ 23
2.4. Ljapunovljev teorem o stabilnosti gibanja .............................................. ........ 26
2.5. Lagrangeov teorem o stabilnosti ravnoteže
konzervativni sustav ................................................. ................................................................ 29
2.6. Stabilnost ravnoteže konzervativnog sustava s jedinicom
stupanj slobode ............................................... ................................................................. ........... trideset
2.7. Primjeri stabilnosti ravnoteže konzervativnog sustava ........................ 31
Poglavlje III. Slobodne vibracije sustava s jednim stupnjem slobode ................. 39
3.1. Slobodne vibracije konzervativnog sustava
s jednim stupnjem slobode ................................................. ................................................................. 39
3.2. Slobodne vibracije sustava s jednim stupnjem slobode u prisutnosti
sile otpora proporcionalne brzini ................................................ ............ 42
3.3. Primjeri slobodnih titranja sustava s jednim stupnjem slobode ............. 46
Poglavlje IV. Prisilne oscilacije sustava s jednim stupnjem slobode ........... 59
4.1. Prisilne oscilacije sustava s jednim stupnjem slobode
u slučaju periodične uznemirujuće sile ........................................ ................... 59
4.2. Fenomen rezonancije ................................................................ .. ................................................................ ..... 63
4.3. Fenomen premlaćivanja ................................................. ................................................................. ........ 66
4.4. Dinamički faktor ................................................................ .................................... 68
4.5. Primjeri prisilnih vibracija sustava
s jednim stupnjem slobode ................................................. ................................................................. 70
Poglavlje V. Slobodne oscilacije sustava s dva stupnja slobode ................ 78
5.1. Diferencijalne jednadžbe slobodnih titranja sustava s dva
stupnjevi slobode i njihovo opće rješenje ................................................. ................................ 78
5.2. Vlastiti obrasci ................................................ ................................................................ 80
5.3. Primjeri slobodne vibracije sustava s dva stupnja slobode ............ 81
Poglavlje VI. Prisilne oscilacije sustava s dva stupnja slobode ........ 93
6.1. Diferencijalne jednadžbe prisilnih oscilacija sustava i njihove
zajednička odluka ................................................................ ................................................................ ................. 93
6.2. Dinamički prigušivač vibracija ................................................. .......................... 95
6.3. Primjeri prisilnih vibracija sustava s dva stupnja slobode ... 98
Bibliografski popis ................................................................ .............................................. 107

4
Predgovor
U sadašnjoj fazi razvoja Srednja škola u nastavnu praksu uvode se problemski i istraživački oblici obrazovanja.
Dinamički procesi u strojevima i mehanizmima od presudne su važnosti kako za proračun u fazi projektiranja novih konstrukcija tako i za određivanje tehnoloških načina rada tijekom rada. Teško je imenovati polje tehnologije u kojem ne bi bilo
aktualni problemi proučavanja elastičnih vibracija i stabilnosti ravnoteže i gibanja mehaničkih sustava. Oni predstavljaju posebnu
važnost za inženjere strojarstva koji rade u strojarstvu, prometu i drugim područjima tehnologije.
Priručnik ispituje neka od specifičnih pitanja iz teorije
vibracije i stabilnost mehaničkih sustava. Teorijske informacije
objašnjavaju se primjerima.
Glavna svrha ovoga metodički priručnik- Povezati
područje primjene teorijske i analitičke mehanike s problemima
posebni odjeli koji školuju inženjere strojarstva.

5
Poglavlje I. KRATKE INFORMACIJE IZ ANALITIČKE
MEHANIKA
I.I. Potencijalna energija sustava
Potencijalna energija sustava sa s stupnjevima slobode, bitak
energija položaja ovisi samo o generaliziranim koordinatama

P = P (q1, q2, ....., qs),
gdje je q j

(j = 1, 2, K, s) - generalizirane koordinate sustava.

S obzirom na mala odstupanja sustava od položaja stabilne
ravnotežne, generalizirane koordinate qj mogu se smatrati veličinama prvog reda malenosti. Uz pretpostavku da je ravnotežni položaj sustava
odgovara ishodištu generaliziranih koordinata, širimo izraz za potencijalnu energiju P u Maclaurinov red u potencijama qj

∂P
1 S S ∂2 P
P = P (Ο) + ∑ (
) 0 q j + ∑∑ (
) 0 qi q j + K.
∂
q
2
∂
q
∂
q
j = 1
i = 1 j = 1
j
i
j
S

Imajući na umu da je potencijalna energija određena s točnošću
nekoj aditivnoj konstanti potencijalna energija u ravnotežnom položaju može se uzeti jednakom nuli
P (0) = 0.

U slučaju konzervativnih sila, generalizirane sile određuju se formulom

∂P
∂q j

(j = 1, 2, K, s).

Budući da je u ravnoteži sustava sila

(j = 1, 2, K, s),

Tada uvjeti ravnoteže konzervativnog sustava sila imaju oblik

⎛ ∂P
⎜⎜
⎝ ∂q j

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2, K, s),

⎛ ∂P
∑⎜
j = 1 ⎜ ∂q
⎝ j

⎞
⎟⎟ q j = 0.
⎠0

Stoga,
s

6
Tada jednakost (1.2.), do pojmova drugog reda malenosti, poprima oblik

1 S S ⎛ ∂2 P
P = ∑∑⎜
2 i = 1 j = 1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ qi q j.
⎠0

Označavamo

⎛ ∂2 P
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ = cij = c ji,
⎠0

Gdje su cij generalizirani faktori krutosti.
Konačni izraz za potencijalnu energiju ima oblik

1 S S
P = ∑∑cij qi q j.
2 i = 1 j = 1

Iz (1.9.) se vidi da je potencijalna energija sustava homogena kvadratna funkcija generalizirane koordinate.
1.2. Kinetička energija sustava
Kinetička energija sustava koji se sastoji od n materijalnih točaka,
jednako je

1 n
T = ∑mk vk2,
2 k = 1

Gdje su mk i vk masa i brzina k-te točke sustava.
Prilikom prijelaza na generalizirane koordinate, to ćemo imati na umu
_

(k = 1, 2, ..., n),

R k (q1, q2, ..., qs)

Gdje je r k vektor radijusa k-te točke sustava.
−

Koristimo identitet vk2 = v k ⋅ v k i zamjenjujemo vektor brzine
−

V k po svojoj vrijednosti
_

∂r k
∂q1

∂r k
∂q2

∂r k
∂qs

Tada izraz za kinetičku energiju (1.10) poprima oblik

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1, S q S −1 q S), (1.13)
2

⎛ _
∂ rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k = 1
⎝
n

⎛ _
∂ rk
Guzica = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k = 1
⎝
n

⎞
⎛ _
n
⎟, A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k = 1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟, A12 = ∑ mk k ⋅ k, ...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

Kako je −1, s = ∑ mk
k = 1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

Proširujući svaki od ovih koeficijenata u Maclaurinov red u potencijama generaliziranih koordinata, dobivamo

⎛ ∂Aij
Aij = (Aij) 0 + ∑ ⎜
⎜
j = 1 ⎝ ∂A j
S

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2, ..., s).

Indeks 0 odgovara vrijednostima funkcija u ravnotežnom položaju. Budući da razmatramo mala odstupanja sustava od pozicije
ravnoteže, onda se u jednakosti (1.14) ograničavamo samo na prve konstantne članove

(i = j = 1, 2, ..., s).

Aij = (Aij) 0 = aij

Tada izraz za kinetičku energiju (1.13) poprima oblik
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1, S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

Ili općenito

1 S
T = ∑
2 i = 1

Konstante aij - generalizirani koeficijenti inercije.
Iz (1.16) se vidi da je kinetička energija sustava T jednolična
kvadratna funkcija generaliziranih brzina.

8
1.3. Disipativne funkcije
U realnim uvjetima slobodne oscilacije sustava su prigušene, dakle
kako sile otpora djeluju na njegove točke. U prisustvu sila otpora, mehanička energija se raspršuje.
−

Pretpostavimo da djeluju sile otpora R k (k = 1, 2, ..., n).
na točke sustava, proporcionalno njihovim brzinama
_

R k = - μk v k

(k = 1, 2, ..., n),

Gdje je µ k koeficijent proporcionalnosti.
Generalizirane sile otpora za holonomski sustav određene su formulama
n

Q j R = ∑ Rk
k = 1

∂ rk
∂r
= −∑ µ k vk k
∂q j
∂q j
k = 1
n

(j = 1, 2, ..., s).

Jer
_

∂ rk
∂ rk
∂ rk
q1 +
q 2 + ... +
qS,
∂q1
∂q2
∂qS

∂ rk
.
∂q j

Imajući na umu (1.18), generalizirane sile otpora (1.17) prepisujemo u obliku
n

Q = −∑ µκ vκ
R
j

(j = 1, 2, ..., s).

Uvedimo disipativni funkciju, koja je određena formulom
n

Tada se formulema određuju generalizirane sile otpora

(j = 1, 2, ..., s).

Po analogiji s kinetičkom energijom sustava, disipativna funkcija se može predstaviti kao homogena kvadratna funkcija
generalizirane brzine

1 S S
Φ = ∑∑ vij q i q j,
2 i = 1 j = 1

Gdje su vij generalizirani koeficijenti disipacije.
1.4. Lagrangeova jednadžba druge vrste
Položaj holonomskog sustava sa s stupnjeva slobode određen je s generaliziranim koordinatama qj (j = 1, 2, ..., s).
Za izvođenje Lagrangeovih jednadžbi druge vrste koristimo se općim
dinamička jednadžba
S

Q i j) δ q j = 0,

Gdje je Qj generalizirana sila aktivnih sila koja odgovara j-toj generaliziranoj koordinati;
Q uj - generalizirana sila inercijskih sila koja odgovara j-toj generaliziranoj koordinati;
δ q j - prirast j -te generalizirane koordinate.
Imajući na umu da su svi δ q j (j = 1, 2, ..., s) neovisni jedan o drugom,
jednakost (1.23) vrijedit će samo u slučaju kada je svaki od koeficijenata na δ q j zasebno jednak nuli, tj.

Q j + Q i j = 0 (j = 1, 2, ..., s)
ili

(j = 1, 2, ..., s).

Izrazimo Q uj u terminima kinetičke energije sustava.
Prema definiciji generalizirane sile, imamo

Q i j = ∑ Φ k
k = 1

∂ rk
d vk ∂ r k
= - ∑ mk
⋅
1
=
k
∂q j
dt ∂q j
n

(j = 1, 2, K, s),

D vk
gdje je Φ k = - mk a k = - mk
Je li sila inercije na th točku sustava.
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q j
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ - vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q j
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1, q2, ..., qs),
_

D rk ∂ rk
∂ rk
∂ rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs,
dt
∂q1
∂q2
∂q s
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂q j
⎝

_
_
⎞
∂
d
r
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q j
⎠

Zamjenom vrijednosti (1.27) i (1.28) u jednakost (1.26) nalazimo
_
⎛_
∂ vk ∂ r k d ⎜
∂ vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂ vk2
∂
v
d
k
⎜
⎟ - vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝

⎞
2
⎟ - ∂ vk.
⎟⎟ 2∂q j
⎠

Uzimajući u obzir jednakost (1.29), izraz (1.25) se može prepisati kao

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
i
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k = 1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
n

∂
−
∂q j

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k = 1
j
⎝
n

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂q j
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k = 1
⎠
n

11
Ovdje se uzima u obzir da je zbroj derivacija jednak derivatu zbroja,
n m v2
a ∑ k k = T je kinetička energija sustava.
k = 1
2
Imajući na umu jednakosti (1.24), konačno nalazimo

⎛
d ⎜ ∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝ j

⎞
⎟ - ∂Τ = Q
j
⎟⎟ ∂q j
⎠

(j = 1, 2, K, s).

Jednadžbe (1.30) nazivaju se Lagrangeovim jednadžbama druge vrste.
Broj tih jednadžbi jednak je broju stupnjeva slobode.
Ako sile koje djeluju na točke sustava imaju potencijal, onda
za generalizirane sile vrijedi sljedeća formula

∂P
∂q j

(j = 1, 2, K, s),

Gdje je P potencijalna energija sustava.
Dakle, za konzervativni sustav Lagrangeove jednadžbe

Knjiga upoznaje čitatelja sa opća svojstva oscilatornih procesa koji se javljaju u radiotehničkim, optičkim i drugim sustavima, kao i različitim kvalitativnim i kvantitativnim metodama njihovog proučavanja. Značajna pozornost posvećena je razmatranju parametarskih, samooscilirajućih i drugih nelinearnih oscilatornih sustava.
Proučavanje titrajnih sustava i procesa u njima opisanih u knjizi dano je poznatim metodama teorije oscilacija bez detaljnog prikaza i opravdanja samih metoda. Glavna se pozornost posvećuje razjašnjavanju temeljnih značajki proučavanih oscilatornih modela realnih sustava korištenjem najadekvatnijih metoda analize.

Slobodne oscilacije u krugu s nelinearnim induktivitetom.
Razmotrimo sada još jedan primjer električnog nelinearnog konzervativnog sustava, naime, krug s induktivitetom koji ovisi o struji koja teče kroz njega. Ovaj slučaj nema jasan i jednostavan nerelativistički mehanički analog, budući da je ovisnost samoindukcije o struji za mehaniku ekvivalentna slučaju ovisnosti mase o brzini.

Električne sustave ovog tipa susrećemo kada se u induktorima koriste jezgre od feromagnetskog materijala. U takvim slučajevima, za svaku zadanu jezgru, možete dobiti odnos između nule magnetiziranja i toka magnetske indukcije. Krivulja koja prikazuje ovaj odnos naziva se krivulja magnetizacije. Ako zanemarimo fenomen histereze, tada se njegov približni tijek može prikazati grafom prikazanim na Sl. 1.13. Budući da je veličina polja H proporcionalna struji koja teče u zavojnici, struja se može nacrtati duž osi apscise izravno na odgovarajućoj skali.

Besplatno preuzimanje e-knjiga u prikladnom formatu, gledajte i čitajte:
Preuzmite knjigu Osnove teorije vibracija, Migulin V.V., Medvedev V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978. - fileskachat.com, brzo i besplatno.

• Principi teorijske fizike, Mehanika, teorija polja, elementi kvantne mehanike, Medvedev B.V., 2007.
• Tečaj fizike, A.P. Ershov, G.V. Fedotovich, V.G. Kharitonov, E.R. Pruuel, D.A. Medvedev
• Tehnička termodinamika s osnovama prijenosa topline i hidraulike, Lashutina N.G., Makashova O.V., Medvedev R.M., 1988.

Već smo ispitali porijeklo klasične mehanike, otpor materijala i teoriju elastičnosti. Najvažnija komponenta mehanike je i teorija oscilacija. Vibracije su glavni uzrok razaranja strojeva i konstrukcija. Do kraja 1950-ih. 80% nesreća opreme dogodilo se zbog pojačanih vibracija. Vibracije također štetno djeluju na ljude povezane s radom opreme. Oni također mogu uzrokovati kvarove upravljačkog sustava.

Unatoč svemu, teorija oscilacija se kao samostalna znanost javlja tek na prijelazu iz 19. stoljeća. Međutim, proračuni strojeva i mehanizama do početka XX. stoljeća održana su u statičnom okruženju. Razvoj strojarstva, povećanje snage i brzine parnih strojeva uz istodobno smanjenje njihove težine, pojava novih vrsta motora - motora s unutarnjim izgaranjem i parnih turbina doveli su do potrebe za proračunima čvrstoće uzimajući u obzir dinamička opterećenja. . U pravilu, novi problemi u teoriji vibracija nastajali su u tehnologiji pod utjecajem nesreća ili čak katastrofa koje su posljedica povećanih vibracija.

Oscilacije su kretanja ili promjene stanja koje imaju različite stupnjeve ponovljivosti.

Teorija oscilacije može se podijeliti u četiri razdoblja.

jarazdoblje- nastanak teorije oscilacija u okviru teorijske mehanike (kraj 16. st. - kraj 18. st.). Ovo razdoblje karakterizira nastanak i razvoj dinamike u djelima Galilea, Huygensa, Newtona, d"Alamberta, Eulera, D. Bernoullija i Lagrangea.

Osnivač teorije oscilacija bio je Leonard Euler. Godine 1737. L. Euler je u ime Petrogradske akademije znanosti započeo istraživanje ravnoteže i gibanja broda, a 1749. u Sankt Peterburgu je objavljena njegova knjiga "Brodska znanost". U ovom Eulerovom djelu postavljeni su temelji teorije statičke stabilnosti i teorije oscilacija.

Jean Leron d"Alambert je u svojim brojnim radovima razmatrao pojedinačne probleme, kao što su male oscilacije tijela oko središta mase i oko osi rotacije u vezi s problemom precesije i nutacije Zemlje, oscilacije tijela. njihalo, lebdeće tijelo, opruga itd. Ali opća teorija oklijevanje d "Alambert nije stvorio.

Najvažnija primjena metoda teorije vibracija bilo je eksperimentalno određivanje torzijske krutosti žice, koje je proveo Charles Coulomb. Empirijski je Coulomb i u ovom problemu utvrdio svojstvo izokronizma malih oscilacija. Istražujući prigušenje oscilacija, ovaj veliki eksperimentator je došao do zaključka da njegov glavni uzrok nije otpor zraka, već gubici od unutarnjeg trenja u materijalu žice.

Velik doprinos temeljima teorije titranja dao je L. Euler, koji je postavio temelje teorije statičke stabilnosti i teorije malih oscilacija, d'Alamberta, D. Bernoullija i Lagrangea. formirani su pojmovi perioda i frekvencije titranja, načina titranja, ušao u upotrebu termin male oscilacije, formuliran je princip superpozicije rješenja, pokušano je proširenje rješenja u trigonometrijski niz.

Prvi problemi u teoriji oscilacija bili su problemi titranja njihala i strune. Već smo govorili o oscilacijama njihala - praktični rezultat rješavanja ovog problema bio je Huygensov izum sata.

Što se tiče problema vibracija struna, to je jedan od najvažnijih problema u povijesti razvoja matematike i mehanike. Razmotrimo ga detaljnije.

Gudačka akustika to je idealna ravna, tanka i fleksibilna nit konačne duljine izrađena od čvrstog materijala, razvučena između dvije fiksne točke. V moderna interpretacija problem poprečnih vibracija niza duljine l svodi se na pronalaženje rješenja diferencijalne jednadžbe (1) u parcijalnim derivacijama. Ovdje x Je koordinata točke niza duž duljine, i y- njegov bočni pomak; H- napetost žice, - njegova linearna masa. a ovo je brzina širenja vala. Slična jednadžba također opisuje uzdužne vibracije stupca zraka u cijevi.

U tom slučaju treba odrediti početnu raspodjelu odstupanja točaka strune od ravne linije i njihove brzine, t.j. jednadžba (1) mora zadovoljiti početne uvjete (2) i rubne uvjete (3).

Prve temeljne eksperimentalne studije vibracija struna proveli su nizozemski matematičar i mehaničar Isaac Beckmann (1614–1618) i M. Mersenne, koji su ustanovili niz pravilnosti i svoje rezultate objavili 1636. u "Knjizi konsonancija":

Mersenneove zakone teoretski je 1715. potvrdio Newtonov učenik Brook Taylor. On smatra strunu sustavom materijalnih točaka i prihvaća sljedeće pretpostavke: sve točke strune istovremeno prolaze svoje ravnotežne položaje (poklapaju se s osi). x) a sila koja djeluje na svaku točku proporcionalna je njenom pomaku y o osi x... To znači da on problem svodi na sustav s jednim stupnjem slobode – jednadžbom (4). Taylor je ispravno primio prvu prirodnu frekvenciju (osnovnu) - (5).

D "Alambert je 1747. za ovaj problem primijenio metodu svođenja problema dinamike na problem statike (princip d" ​​Alambert) i dobio diferencijalnu jednadžbu vibracija homogene strune u parcijalnim derivacijama (1) - prvu jednadžbu matematička fizika. Rješenje ove jednadžbe tražio je u obliku zbroja dviju proizvoljnih funkcija (6)

gdje i - periodične funkcije razdoblja 2 l... Prilikom pojašnjenja pitanja o vrsti funkcija i e "Alambert uzima u obzir granične uvjete (1.2), pretpostavljajući da za
niz je poravnat s osi x... Značenje je
nije navedeno u opisu problema.

Euler razmatra poseban slučaj kada za
struna se odmakne od ravnotežnog položaja i otpusti bez početne brzine. Bitno je da Euler ne nameće nikakva ograničenja početnom obliku strune, t.j. ne zahtijeva da se može analitički specificirati razmatranjem bilo koje krivulje koja se "može nacrtati rukom". Konačni rezultat dobiven od strane autora: ako je na
oblik niza opisuje jednadžba
, tada oscilacije izgledaju ovako (7). Euler je revidirao svoje stavove o pojmu funkcije, za razliku od prijašnjeg pogleda na nju samo kao na analitički izraz. Tako je proširena klasa funkcija koje se proučavaju u analizi, a Euler je došao do zaključka da "budući da će bilo koja funkcija definirati određenu liniju, vrijedi i suprotno - krivulje se mogu svesti na funkcije."

Rješenja koja su dobili d'Alembert i Euler predstavljaju zakon titranja strune u obliku dvaju vala koji putuju jedan prema drugome, no nisu se složili oko oblika funkcije koja definira liniju savijanja.

D. Bernoulli je u proučavanju vibracija struna krenuo drugim putem, razbijajući strunu na materijalne točke, čiji je broj smatrao beskonačnim. Uvodi pojam jednostavne harmonijske vibracije sustava, t.j. takvo njegovo kretanje, u kojem sve točke sustava osciliraju sinkrono s istom frekvencijom, ali s različitim amplitudama. Eksperimenti provedeni sa sondažnim tijelima doveli su D. Bernoullija na ideju da se najopćenitije kretanje žice sastoji u istovremenom izvođenju svih pokreta koji su joj dostupni. Ovo je takozvana superpozicija rješenja. Tako je 1753., polazeći od fizikalnih razmatranja, dobio opće rješenje za vibracije strune, predstavljajući ga kao zbroj pojedinačnih rješenja, za svako od kojih se struna savija u obliku karakteristične krivulje (8).

U ovoj seriji, prvi valni oblik je pola sinusoida, drugi je cijela sinusoida, treći se sastoji od tri polusinusoida, itd. Njihove amplitude predstavljene su kao funkcije vremena i, u biti, su generalizirane koordinate sustava koji se razmatra. Prema rješenju D. Bernoullija, gibanje strune je beskonačan niz harmonijskih vibracija s periodima
... U ovom slučaju, broj čvorova (fiksnih točaka) je za jedan manji od broja prirodne frekvencije. Ograničavajući niz (8) na konačan broj članova, dobivamo konačan broj jednadžbi za kontinuirani sustav.

Međutim, rješenje D. Bernoullija sadrži netočnost – ne uzima u obzir da je fazni pomak za svaki harmonik oscilacija različit.

D. Bernoulli, predstavljajući rješenje u obliku trigonometrijskog niza, koristio je princip superpozicije i proširenja rješenja u smislu cjelovitog sustava funkcija. S pravom je vjerovao da se uz pomoć različitih pojmova u formuli (8) mogu objasniti harmonijski tonovi koje žica emitira istovremeno sa svojim temeljnim tonom. Smatrao je to općim zakonom, koji vrijedi za svaki sustav tijela koja vrše male vibracije. Međutim, fizička motivacija ne može zamijeniti matematički dokaz, koji tada nije bio prezentiran. Zbog toga kolege nisu razumjeli rješenje D. Bernoullija, iako je C. A. Clairaut već 1737. godine koristio proširenje funkcija u nizu.

Prisutnost dvoje različiti putevi rješenje problema vibracija strune nazivalo se među vodećim znanstvenicima XVIII stoljeća. burna polemika - "spor oko strune". Ovaj se spor uglavnom ticao pitanja kakvog oblika imaju dopuštena rješenja problema, analitičkog prikaza funkcije i je li moguće proizvoljnu funkciju prikazati u obliku trigonometrijskog niza. U "sporu oko niza" jedan od naj važnih pojmova analiza – pojam funkcije.

D "Alambert i Euler nisu se složili da rješenje koje je predložio D. Bernoulli može biti općenito. Konkretno, Euler se ni na koji način nije mogao složiti da bi ovaj niz mogao predstavljati bilo kakvu" slobodno nacrtanu krivulju ", kako on sam sada definira koncept funkcije.

Joseph Louis Lagrange, nakon što je ušao u polemiku, razbio je strunu u male lukove iste duljine s masom koncentriranom u središtu i istražio rješenje sustava običnih diferencijalnih jednadžbi s konačnim brojem stupnjeva slobode. Potom je, prelazeći do granice, Lagrange dobio rezultat sličan onom D. Bernoullija, bez pretpostavke, međutim, unaprijed da opće rješenje mora biti beskonačan zbroj pojedinačnih rješenja. Istovremeno, on dorađuje rješenje D. Bernoullija, dovodeći ga u oblik (9), a također izvodi formule za određivanje koeficijenata ovog niza. Iako odluka utemeljitelja analitičke mehanike nije zadovoljila sve zahtjeve matematičke strogosti, bio je to značajan iskorak.

Što se tiče proširenja rješenja u trigonometrijski niz, Lagrange je vjerovao da se niz divergira za proizvoljne početne uvjete. 40 godina kasnije, 1807., J. Fourier je ponovno treći put pronašao proširenje funkcije u trigonometrijski niz i pokazao kako se njime može riješiti problem, čime je potvrdio ispravnost rješenja D. Bernoullija. Potpuni analitički dokaz Fourierovog teorema o proširenju jednovrijedne periodične funkcije u trigonometrijski niz dat je u Todgöntherovom integralnom računu i u "Traktatu o prirodnoj filozofiji" Thomsona (Lord Kelvin) i Theta.

Istraživanja slobodnih vibracija istegnute žice traju već dva stoljeća, temeljena na radu Beckmanna. Taj je zadatak poslužio kao snažan poticaj razvoju matematike. Razmatrajući oscilacije kontinuiranih sustava, Euler, d"Alambert i D. Bernoulli stvorili su novu disciplinu - matematičku fiziku. Matematizacija fizike, odnosno njezino predstavljanje kroz novu analizu - najveća je Eulerova zasluga, zahvaljujući kojoj su utrošeni novi putovi u znanost. Logičan razvoj rezultati Eulera i Fouriera bila je dobro poznata definicija funkcije Lobačevskog i Lejeunea Dirichleta, temeljena na ideji korespondencije jedan-na-jedan dva skupa. Dirichlet je također dokazao mogućnost Fourierove ekspanzije po komadima kontinuiranih i monotonih funkcija. Dobivena je i jednodimenzionalna valna jednadžba te je utvrđena jednakost njezinih dvaju rješenja, čime je matematički potvrđen odnos između titranja i valova. Činjenica da vibrirajuća struna stvara zvuk potaknula je znanstvenike na razmišljanje o identitetu procesa širenja zvuka i procesa vibriranja žice. Također je otkrivena najvažnija uloga rubnih i početnih uvjeta u takvim problemima. Za razvoj mehanike važan rezultat bila je primjena Alambertovog principa za pisanje diferencijalnih jednadžbi gibanja, a za teoriju oscilacija i ovaj problem je imao vrlo važnu ulogu, odnosno princip superpozicije i ekspanzije primijenjeno je rješenje u smislu prirodnih oblika titranja, formulirani su osnovni pojmovi teorije titranja - prirodna frekvencija i način titranja.

Dobiveni rezultati za slobodne vibracije strune poslužili su kao osnova za stvaranje teorije vibracija kontinuiranih sustava. Daljnje proučavanje vibracija nehomogenih struna, membrana, šipki zahtijevalo je pronalaženje posebnih metoda za rješavanje najjednostavnijih jednadžbi hiperboličkog tipa drugog i četvrtog reda.

Problem slobodnih vibracija istegnute žice zanimao je znanstvenike, naravno, ne za njegovu praktičnu primjenu, zakoni tih vibracija bili su u ovom ili onom stupnju poznati majstorima izrade glazbenih instrumenata. O tome svjedoče nenadmašni žičani instrumenti majstora kao što su Amati, Stradivari, Guarneri i drugi, čija su remek-djela nastala u 17. stoljeću. Interesi najvećih znanstvenika uključenih u ovaj zadatak najvjerojatnije su se sastojali u želji da se donese matematička osnova za već postojeće zakone vibracija struna. U ovom broju se očitovao tradicionalni put svake znanosti, počevši od stvaranja teorije koja već objašnjava poznate činjenice da bi potom pronašao i istražio nepoznate pojave.

IIrazdoblje – analitičko(kraj 18. st. - kasno 19. st.). Najvažniji korak u razvoju mehanike uspio je Lagrange, koji je stvorio novu znanost - analitičku mehaniku. Početak drugog razdoblja u razvoju teorije oscilacija vezan je uz Lagrangeov rad. U svojoj knjizi Analitička mehanika, objavljenoj u Parizu 1788., Lagrange je sažeo sve što se u mehanici radilo u 18. stoljeću i formulirao novi pristup rješavanju njezinih problema. U teoriji ravnoteže napustio je geometrijske metode statike i predložio princip mogućih pomaka (Lagrangeov princip). U dinamici je Lagrange, primjenjujući istovremeno princip d "Alamberta i princip mogućih pomaka, dobio opću varijacijsku jednadžbu dinamike, koja se također naziva princip d" ​​Alambert - Lagrangea. Konačno je u svakodnevni život uveo pojam generaliziranih koordinata i dobio jednadžbe gibanja u najprikladnijem obliku - Lagrangeove jednadžbe druge vrste.

Te su jednadžbe postale temelj za stvaranje teorije malih oscilacija opisanih linearnim diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima. Linearnost je rijetko svojstvena mehaničkom sustavu, ali je u većini slučajeva rezultat pojednostavljenja. Uzimajući u obzir male oscilacije u blizini ravnotežnog položaja, koje se provode pri malim brzinama, moguće je odbaciti članove drugog i višeg reda u odnosu na generalizirane koordinate i brzine u jednadžbama gibanja.

Primjena Lagrangeovih jednadžbi druge vrste za konzervativne sustave

dobivamo sustav s linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima

, (11)

gdje ja i C- odnosno matrice inercije i krutosti, čije će komponente biti inercijski i elastični koeficijenti.

Posebno rješenje (11) traži se u obliku

i opisuje monoharmonijski oscilatorni mod s frekvencijom k, što je isto za sve generalizirane koordinate. Razlikovanje (12) dvaput s obzirom na t i zamjenom rezultata u jednadžbe (11) dobivamo sustav linearnih homogenih jednadžbi za pronalaženje amplituda u matričnom obliku

. (13)

Budući da tijekom oscilacija sustava sve amplitude ne mogu biti nule, determinanta je jednaka nuli

. (14)

Frekvencijska jednadžba (14) naziva se sekularna jednadžba, budući da su je prvi razmatrali Lagrange i Laplace u teoriji sekularnih perturbacija elemenata planetarnih orbita. To je jednadžba s stupanj relativno , broj njegovih korijena jednak je broju stupnjeva slobode sustava. Ti su korijeni obično raspoređeni uzlaznim redoslijedom, dok tvore spektar prirodnih frekvencija. Svakom korijenu odgovara određenom rješenju oblika (12), skupu s amplitude predstavljaju valni oblik, a cjelokupno rješenje je zbroj tih rješenja.

Lagrange je dao izjavu D. Bernoullija da se opće oscilatorno gibanje sustava diskretnih točaka sastoji u istovremenom izvršavanju svih njegovih harmonijskih oscilacija, u obliku matematičkog teorema, koristeći teoriju integracije diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima, stvorene od Eulera 1840-ih. i postignuća d "Alamberta, koji je pokazao kako se integriraju sustavi takvih jednadžbi. U ovom slučaju bilo je potrebno dokazati da su korijeni sekularne jednadžbe realni, pozitivni i nisu međusobno jednaki.

Tako je Lagrange u "Analitičkoj mehanici" dobio jednadžbu frekvencija u općem obliku. Istovremeno, ponavlja pogrešku koju je napravio d'Alembert 1761., da višestruki korijeni sekularne jednadžbe odgovaraju nestabilnom rješenju, budući da u ovom slučaju sekularni ili sekularni pojmovi sadrže t ne pod znakom sinusa ili kosinusa. S tim u vezi, i d'Alembert i Lagrange su vjerovali da jednadžba frekvencija ne može imati više korijena (d'Alembert - Lagrangeov paradoks). Lagrangeu je bilo dovoljno razmotriti barem sferni njihalo ili vibracije štapa, čiji je poprečni presjek, na primjer, okrugli ili kvadratni, kako bi se uvjerio da je više frekvencija moguće u konzervativnim mehaničkim sustavima. Pogreška napravljena u prvom izdanju Analitičke mehanike ponovljena je u drugom izdanju (1812.), objavljenom za Lagrangeova života, i u trećem (1853.). Znanstveni autoritet d'Alamberta i Lagrangea bio je toliko visok da su ovu pogrešku ponovili i Laplace i Poisson, a ispravili su je tek gotovo 100 godina kasnije, neovisno jedan o drugom, 1858. K. Weierstrass i 1859. Osip Ivanovich Somov, koji je dao veliki doprinos razvoju teorije oscilacija diskretnih sustava.

Dakle, za određivanje frekvencija i oblika slobodnih titranja linearnog sustava bez otpora potrebno je riješiti sekularnu jednadžbu (13). Međutim, jednadžbe stupnja većeg od petog nemaju analitičko rješenje.

Problem nije bio samo rješenje sekularne jednadžbe, već i u u većoj mjeri, njegova kompilacija, budući da proširena determinanta (13) ima
pojmovi, na primjer, za sustav s 20 stupnjeva slobode, broj članova je 2,4 × 10 18, a vrijeme koje je potrebno da se otvori takva determinanta za najmoćnije računalo 1970-ih koje izvodi 1 milijun operacija u sekundi, je oko 1,5 milijuna godina, ali za moderno računalo "samo" nekoliko stotina godina.

Problem određivanja frekvencija i oblika slobodnih vibracija također se može smatrati problemom linearne algebre i rješavati numerički. Prepisivanje jednakosti (13) kao

, (14)

imajte na umu da matrica stupca je vlastito matrični vektor

, (15)

a po vlastitom značenju.

Rješavanje problema vlastitih vrijednosti i vektora jedan je od najatraktivnijih problema u numeričkoj analizi. Istodobno, nemoguće je predložiti jedinstveni algoritam za rješavanje svih problema s kojima se susreću u praksi. Izbor algoritma ovisi o vrsti matrice, kao io tome je li potrebno odrediti sve svojstvene vrijednosti ili samo najmanji (najveći) ili blizak zadanom broju. Godine 1846. Carl Gustav Jacob Jacobi predložio je iterativnu metodu rotacija za rješavanje kompletnog problema vlastitih vrijednosti. Metoda se temelji na takvom beskonačnom nizu elementarnih rotacija, koji matricu (15) u granicama pretvara u dijagonalnu. Dijagonalni elementi rezultirajuće matrice bit će željene vlastite vrijednosti. U ovom slučaju, potrebno je odrediti vlastite vrijednosti
aritmetičke operacije, a također i za vlastite vektore
operacije. S tim u vezi, metoda u XIX stoljeću. nije našao primjenu i bio je zaboravljen više od stotinu godina.

Sljedeći važan korak u razvoju teorije vibracija bio je Rayleighov rad, posebice njegovo temeljno djelo "Teorija zvuka". U ovoj knjizi Rayleigh istražuje vibracijske fenomene u mehanici, akustici i električnim sustavima s jedinstvenog stajališta. Rayleigh pripada nizu temeljnih teorema linearne teorije titranja (teoremi o stacionarnosti i svojstvima prirodnih frekvencija). Rayleigh je također formulirao princip reciprociteta. Po analogiji s kinetičkom i potencijalnom energijom, uveo je disipativnu funkciju, dobio ime Rayleigh i predstavlja polovicu stope disipacije energije.

U The Theory of Sound, Rayleigh također predlaže približnu metodu za određivanje prve prirodne frekvencije konzervativnog sustava

, (16)

gdje
... U ovom slučaju, za izračunavanje maksimalnih vrijednosti potencijalne i kinetičke energije, uzima se određeni oblik vibracije. Ako se poklopi s prvim načinom vibracije sustava, dobit ćemo točnu vrijednost prve prirodne frekvencije, ali je inače ta vrijednost uvijek precijenjena. Metoda daje točnost koja je sasvim prihvatljiva za praksu ako se kao prvi način vibracije uzme statička deformacija sustava.

Tako je još u 19. stoljeću u djelima Somova i Rayleigha nastala metoda za konstruiranje diferencijalnih jednadžbi koje opisuju mala oscilatorna gibanja diskretnih mehaničkih sustava pomoću Lagrangeovih jednadžbi druge vrste

gdje u generaliziranoj sili
treba uključiti sve faktore sile, s izuzetkom elastičnih i disipativnih koji su obuhvaćeni funkcijama R i P.

Lagrangeove jednadžbe (17) u matričnom obliku, koje opisuju prisilne vibracije mehaničkog sustava, nakon zamjene svih funkcija izgledaju ovako

. (18)

Ovdje Je li prigušna matrica i
- vektori stupaca generaliziranih koordinata, brzina i ubrzanja. Zajednička odluka Ova se jednadžba sastoji od slobodnih i pratećih oscilacija, koje su uvijek prigušene i prisilne oscilacije koje se javljaju s frekvencijom remete sile. Ograničit ćemo se na razmatranje samo određenog rješenja koje odgovara prisilnim fluktuacijama. Kao ekscitaciju, Rayleigh je smatrao generalizirane sile koje variraju prema harmonijskom zakonu. Mnogi su ovaj izbor pripisali jednostavnosti slučaja koji se razmatra, ali Rayleigh daje uvjerljivije objašnjenje – proširenje Fourierovog niza.

Dakle, za mehanički sustav s više od dva stupnja slobode, rješenje sustava jednadžbi predstavlja određene poteškoće, koje rastu poput lavine s povećanjem reda sustava. Već na pet do šest stupnjeva slobode, problem prisilnih vibracija ne može se ručno riješiti klasičnom metodom.

U teoriji vibracija mehaničkih sustava posebnu su ulogu imale male (linearne) vibracije diskretnih sustava. Spektralna teorija razvijena za linearne sustave ne zahtijeva čak ni konstrukciju diferencijalnih jednadžbi, a za dobivanje rješenja može se odmah zapisati sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Iako su sredinom 19. stoljeća razvijene metode za određivanje vlastitih vektora i vlastitih vrijednosti (Jacobi), kao i rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (Gauss), njihova praktična primjena čak i za sustave s malim brojem stupnja slobode, nije dolazilo u obzir. Stoga je prije pojave dovoljno moćnih računala razvijeno mnogo različitih metoda za rješavanje problema slobodnih i prisilnih vibracija linearnih mehaničkih sustava. Mnogi istaknuti znanstvenici - matematičari i mehanici - bavili su se ovim problemima; o njima će biti riječi u nastavku. Pojava moćne računalne tehnologije omogućila je ne samo rješavanje linearnih problema velikih dimenzija u djeliću sekunde, već i automatiziranje samog procesa sastavljanja sustava jednadžbi.

Tako je tijekom XVIII stoljeća. u teoriji malih oscilacija sustava s konačnim brojem stupnjeva slobode i oscilacija kontinuiranih elastičnih sustava razvijene su osnovne fizikalne sheme i principi bitni za matematička analiza problema. Međutim, za stvaranje teorije mehaničkih vibracija kao samostalne znanosti, nedostajao je jedinstven pristup rješavanju problema dinamike, a za njezin brži razvoj nije bilo tehničkih zahtjeva.

Rast velike industrije krajem 18. i početkom 19. stoljeća, uzrokovan raširenim uvođenjem parnog stroja, doveo je do izdvajanja primijenjene mehanike u zasebnu disciplinu. No, sve do kraja 19. stoljeća proračuni čvrstoće su se provodili u statičkom okruženju, budući da su strojevi još uvijek bili male snage i spori.

Do kraja 19. stoljeća, s povećanjem brzina i smanjenjem veličine strojeva, postalo je nemoguće zanemariti fluktuacije. Brojne nesreće koje su posljedica pojave rezonancije ili kvara zamora tijekom vibracija natjerale su inženjere da obrate pozornost na vibracijske procese. Od problema koji su se pojavili u tom razdoblju treba istaknuti sljedeće: urušavanje mostova od prolaznih vlakova, torzijske vibracije osovine i vibracije trupa broda, pobuđene inercijskim silama pokretnih dijelova neuravnoteženih strojeva.

IIIrazdoblje- formiranje i razvoj primijenjene teorije oscilacija (1900-1960-e). Razvoj strojarstva, unapređenje lokomotiva i brodova, pojava parnih i plinskih turbina, brzih motora s unutarnjim izgaranjem, automobila, aviona itd. zahtijevala točniju analizu naprezanja u dijelovima strojeva. To su diktirali zahtjevi za ekonomičnijom upotrebom metala. Lagana konstrukcija dovela je do problema s vibracijama, koji sve više postaju kritični u pitanjima snage stroja. Početkom 20. stoljeća brojne nesreće uvjerljivo pokazuju kakve katastrofalne posljedice može prouzročiti zanemarivanje vibracija ili njihovo nepoznavanje.

Pojava nove tehnologije, u pravilu, postavlja nove probleme za teoriju oscilacija. Tako je u 30-40-im godinama. pojavili su se novi problemi, kao što su drhtanje i treperenje u zrakoplovstvu, savijanje i savojno-torzione vibracije rotirajućih osovina i sl., što je zahtijevalo razvoj novih metoda za proračun vibracija. Krajem 1920-ih, prvo u fizici, a potom i u mehanici, počelo je proučavanje nelinearnih oscilacija. U vezi s razvojem sustava automatskog upravljanja i drugih tehničkih zahtjeva, počevši od 30-ih godina prošlog stoljeća, široko se razvijala i primjenjivala teorija stabilnosti kretanja, čija je osnova bila doktorska disertacija A. M. Lyapunova "Opći problem stabilnosti kretanja".

Nepostojanje analitičkog rješenja za probleme teorije oscilacija, čak i u linearnom okruženju, s jedne strane, i računalne tehnologije, s druge strane, dovelo je do razvoja velikog broja različitih numeričkih metoda za njihovo rješavanje. .

Potreba za izračunavanjem vibracija za različite vrste tehnologije dovela je do pojave u 1930-ima prvi tečajevi obuke teorija oscilacija.

Prijelaz na IVrazdoblje(početke 1960-ih - danas) povezuje se s erom znanstvene i tehnološke revolucije i karakterizira je pojava nove tehnologije, prvenstveno zrakoplovnih i svemirskih, robotskih sustava. Osim toga, razvoj elektroenergetike, transporta i drugih na prvom mjestu je postavio probleme dinamičke čvrstoće i pouzdanosti. To je zbog povećanja radnih brzina i smanjenja potrošnje materijala uz istodobnu težnju za povećanjem vijeka trajanja strojeva. U teoriji oscilacija sve se više problema rješava u nelinearnom okruženju. U području oscilacija kontinuiranih sustava, pod utjecajem zahtjeva zrakoplovne i svemirske tehnike, javljaju se problemi dinamike ploča i školjki.

Najveći utjecaj na razvoj teorije oscilacija u ovom razdoblju izvršila je pojava i brzi razvoj elektroničke računalne tehnologije, što je dovelo do razvoja numeričkih metoda za proračun oscilacija.

Oscilirajuće kretanje naziva se svako kretanje ili promjena stanja, karakterizirana jednim ili drugim stupnjem ponavljanja u vremenu vrijednosti fizičkih veličina koje određuju to kretanje ili stanje. Oscilacije su svojstvene svim prirodnim pojavama: pulsirajuće zračenje zvijezda; planeti rotiraju s visokim stupnjem periodičnosti Sunčev sustav; vjetrovi pobuđuju vibracije i valove na površini vode; unutar svakog živog organizma neprestano se događaju različiti, ritmički ponavljajući procesi, na primjer, ljudsko srce kuca s nevjerojatnom pouzdanošću.

Oscilacije se ističu u fizici mehanički i elektromagnetski. Uz pomoć širenja mehaničkih kolebanja gustoće i tlaka zraka, koje percipiramo kao zvuk, kao i vrlo brzih kolebanja električnih i magnetskih polja, koje percipiramo kao svjetlost, dobivamo veliki broj izravnih informacija o svijetu. oko nas. Primjeri oscilatornog gibanja u mehanici su oscilacije njihala, struna, mostova itd.

Oscilacije se nazivaju periodično, ako se vrijednosti fizikalnih veličina koje se mijenjaju tijekom oscilacija ponavljaju u pravilnim intervalima. Najjednostavniji tip periodične vibracije je harmonijska vibracija. Oscilacije se nazivaju harmonijske oscilacije u kojima se promjena oscilirajuće količine tijekom vremena događa prema sinusnom (ili kosinusnom) zakonu:

gdje je x pomak iz ravnotežnog položaja;

A - amplituda vibracije - maksimalni pomak iz ravnotežnog položaja;

- ciklička frekvencija;

- početna faza titranja;

- faza osciliranja; određuje pomak u bilo kojem trenutku vremena, t.j. određuje stanje oscilatornog sustava.

U slučaju strogo harmonijskih oscilacija, veličine A, i ne ovise o vremenu.

Ciklična frekvencija povezana s periodom T oscilacija i frekvencijom omjer:

(2)

Razdoblje T fluktuacije se nazivaju najmanji vremenski period nakon kojeg se ponavljaju vrijednosti svih fizičkih veličina koje karakteriziraju fluktuacije.

Frekvencija vibracije je broj potpunih vibracija u jedinici vremena, mjeren u hercima (1 Hz = 1
).

Ciklična frekvencija numerički je jednak broju oscilacija izvedenih u 2 sekundi.

Oscilacije koje nastaju u sustavu koji nije podložan djelovanju promjenjivih vanjskih sila, kao posljedica bilo kakvog početnog odstupanja ovog sustava od stanja stabilne ravnoteže, nazivaju se besplatno(ili svoju).

Ako je sustav konzervativan, ne dolazi do disipacije energije tijekom oscilacija. U ovom slučaju nazivaju se slobodne vibracije neovlažen.

Ubrzati fluktuacije točke definirane su kao derivacija vremenskog pomaka:

(3)

Ubrzanje oscilirajuće točke jednaka je derivaciji brzine s obzirom na vrijeme:

(4)

Jednadžba (4) pokazuje da je akceleracija tijekom harmonijskih oscilacija promjenjiva, dakle, titranje je posljedica djelovanja promjenjive sile.

Drugi Newtonov zakon omogućuje nam da općenito zapišemo odnos između sile F i akceleracije s pravocrtnim harmonijskim vibracijama materijalna točka s masom
:

gdje
, (6)

k - koeficijent elastičnosti.

Dakle, sila koja uzrokuje harmonijsku vibraciju proporcionalna je pomaku i usmjerena je protiv pomaka. S tim u vezi, moguće je dati dinamičku definiciju harmonijske vibracije: harmonijska je vibracija uzrokovana silom koja je izravno proporcionalna pomaku x i usmjerena protiv pomaka.

Obnavljajuća sila može biti, na primjer, elastična sila. Sile koje imaju drugačiju prirodu od elastičnih sila, ali također zadovoljavaju uvjet (5), nazivaju se kvazielastična.

U slučaju pravocrtnih vibracija duž x-osi, ubrzanje jednako:

.

Zamjena ovog izraza radi ubrzanja i značenje snage
u drugi Newtonov zakon, dobivamo osnovna jednadžba pravocrtnih harmonijskih vibracija:

ili
(7)

Rješenje ove jednadžbe je jednadžba (1).

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA RUSKOG FEDERACIJE

DRŽAVA KABARDINO-BALKAR

SVEUČILIŠTE im. H. M. BERBEKOVA

OSNOVE TEORIJE VIBRACIJA

OSNOVE TEORIJE, PROBLEMI ZA KUĆNE ZADATKE,

PRIMJERI RJEŠENJA

Za studente strojarskih specijalnosti sveučilišta

Nalčik 2003

Recenzenti:

- doktor fizičkih i matematičkih znanosti, profesor, direktor Istraživačkog instituta za primijenjenu matematiku i automatizaciju Ruske akademije znanosti, hon. znanstvenik Ruske Federacije, akademik AMAN-a.

Doktor fizikalno-matematičkih znanosti, profesor, voditelj Odjela za primijenjenu matematiku Kabardino-Balkarske državne poljoprivredne akademije.

Kulterbajevljeva teorija oscilacija. Osnove teorije, zadaci za domaću zadaću, primjeri rješenja.

Udžbenik za studente visokih tehničkih obrazovnih ustanova koji studiraju u područjima diplomirane izobrazbe 657800 - Projektiranje i tehnološka potpora strojogradnji, 655800 Prehrambeno inženjerstvo. –Nalchik: Izdavačka kuća KBSU im. , 20s.

U knjizi su izneseni temelji teorije oscilacija linearnih mehaničkih sustava, kao i zadaci za domaću zadaću s primjerima njihovog rješavanja. Teorijski sadržaji i zadaci usmjereni su na studente strojarstva.

Razmatraju se i diskretni i distribuirani sustavi. Broj neusklađenih opcija za domaću zadaću omogućuje njihovo korištenje za veliki protok učenika.

Publikacija može biti korisna i za nastavnike, diplomske studente i stručnjake iz različitih područja znanosti i tehnologije koji su zainteresirani za primjenu teorije oscilacija.

© Kabardino-Balkarian Državno sveučilište ih.

Predgovor

Knjiga je napisana na temelju tečaja, pročitao autor na Tehničkom i tehničkom fakultetu Kabardino-Balkarskog državnog sveučilišta za studente strojarskih specijalnosti.

Mehanizmi i strukture Moderna tehnologijačesto rade u složenim uvjetima dinamičkog opterećenja, stoga je stalni interes za teoriju oscilacija potkrijepljen zahtjevima prakse. Teorija vibracija i njezine primjene imaju opsežnu bibliografiju, uključujući znatan broj udžbenika i nastavnih sredstava. Neki od njih su dati u bibliografiji na kraju ovog vodiča. Gotovo sva postojeća obrazovna literatura namijenjena je čitateljima koji proučavaju ovaj kolegij u velikim količinama i specijaliziraju se za područja inženjerske djelatnosti, na ovaj ili onaj način, značajno povezana s dinamikom konstrukcija. U međuvremenu, trenutno svi inženjeri strojarskih specijalnosti osjećaju potrebu da svladaju teoriju oscilacija na prilično ozbiljnoj razini. Pokušaj zadovoljavanja ovakvih zahtjeva dovodi do uvođenja malih specijalnih tečajeva u obrazovne programe mnogih sveučilišta. Ovaj vodič je osmišljen kako bi zadovoljio upravo takve zahtjeve, a sadrži osnove teorije, probleme domaće zadaće i primjere za njihovo rješavanje. Time se opravdava ograničen obim udžbenika, izbor njegovog sadržaja i naslova: "Temelji teorije vibracija". Doista, udžbenik postavlja samo osnovna pitanja i metode discipline. Zainteresirani čitatelj može iskoristiti poznate znanstvene monografije i nastavna sredstva dano na kraju ove publikacije za dubinsko proučavanje teorija i njezine brojne primjene.

Knjiga je namijenjena čitatelju koji ima obuku u obimu običnih sveučilišnih kolegija viša matematika, teorijska mehanika i čvrstoća materijala.

U izučavanju takvog kolegija odvija se značajna količina domaće zadaće u obliku kolegijskih, kontrolnih, proračunskih i projektantskih, računskih i grafičkih i drugih poslova koji zahtijevaju puno vremena. Postojeće problemske knjige i priručnici za rješavanje problema nisu namijenjeni za ove svrhe. Osim toga, očita je svrsishodnost kombiniranja teorije i domaće zadaće u jednom izdanju, ujedinjenih zajedničkim sadržajem, tematskim fokusom i međusobno nadopunjavanjem.

Prilikom ispunjavanja i rješavanja domaćih zadaća student se susreće s brojnim pitanjima koja nisu navedena ili nedovoljno obrazložena u teorijskom dijelu discipline; ima poteškoća u predstavljanju tijeka rješavanja problema, načina argumentiranja donesenih odluka, strukturiranja i oblikovanja zapisa.

Učitelji također imaju poteškoća, ali već organizacijske prirode. Često moraju revidirati obujam, sadržaj i strukturu domaće zadaće, sastaviti brojne mogućnosti zadataka, osigurati pravovremeno izdavanje neusklađenih zadataka u masovnom obimu, provesti brojne konzultacije, objašnjenja itd.

Ovaj priručnik namijenjen je, između ostalog, smanjenju i otklanjanju poteškoća i poteškoća ove prirode u kontekstu masovnog obrazovanja. Sadrži dva zadatka, prema njihovoj temi, koji pokrivaju najvažnija i osnovna pitanja predmeta:

1. Oscilacije sustava s jednim stupnjem slobode.

2. Oscilacije sustava s dva stupnja slobode.

Ovi zadaci po svom obujmu i sadržaju mogu postati projektantski i projektantski radovi za redovite, izvanredne i izvanredne studente ili testovi za studente. izvanredni oblik učenje.

Za praktičnost čitatelja, knjiga koristi autonomno numeriranje formula (jednadžbi) i brojki unutar svakog odlomka koristeći uobičajeno decimalni broj u zagradama. Reference unutar trenutnog odlomka prave se jednostavnim navođenjem takvog broja. Ako je potrebno pozvati se na formulu iz prethodnih paragrafa, navedite broj odlomka, a zatim kroz točku - broj same formule. Tako, na primjer, oznaka (3.2.4) odgovara formuli (4) u stavku 3.2 ovog poglavlja. Pozivanje na formulu prethodnih poglavlja vrši se na isti način, ali s naznakom na prvom mjestu broja poglavlja i točke.

Knjiga je pokušaj da se udovolji zahtjevima stručno osposobljavanje studenti određenih smjerova. Autor je svjestan da ono, po svemu sudeći, neće biti bez nedostataka, te će stoga sa zahvalnošću prihvatiti eventualne kritike i komentare čitatelja za poboljšanje narednih izdanja.

Knjiga može biti korisna i stručnjacima zainteresiranim za primjenu teorije oscilacija u različitim područjima fizika, inženjerstvo, građevinarstvo i druga područja znanja i proizvodne djelatnosti.

Poglavljeja

UVOD

1.Predmet teorije vibracija

Određeni sustav se kreće u prostoru tako da je njegovo stanje u svakom trenutku vremena t opisano određenim skupom parametara: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif "width =" 31 " visina =" 23 src = ">. gif" širina = "48" visina = "24"> i vanjski utjecaji. A onda je zadatak predvidjeti daljnju evoluciju sustava u vremenu: (slika 1).

Neka je jedna od promjenjivih karakteristika sustava,. Mogu postojati različite karakteristične varijante njezine promjene u vremenu: monotono (slika 2), nemonotono (slika 3), suštinski nemonotono (slika 4).

Proces promjene parametra, koji je karakteriziran višestrukim naizmjeničnim povećanjem i smanjenjem parametra u vremenu, naziva se oscilatorni proces ili jednostavno fluktuacije. Oscilacije su rasprostranjene u prirodi, tehnologiji i ljudskoj djelatnosti: ritmovi mozga, njihala, otkucaji srca, oscilacije zvijezda, oscilacije atoma i molekula, oscilacije struje u električnom krugu, oscilacije temperature zraka, fluktuacije cijena hrane, vibracija zvuka, vibracija struna glazbenog instrumenta.

Predmet ovog tečaja je mehaničke vibracije tj. vibracije u mehaničkim sustavima.

2. Klasifikacija oscilatornih sustava

Neka bude u(NS, t) je vektor stanja sustava, f(NS, t) je vektor djelovanja na sustav sa strane okoliš(Sl. 1). Dinamika sustava opisana je jednadžbom operatora

L u(NS, t) = f(NS, t), (1)

gdje je operator L zadan jednadžbama oscilacija i dodatni uvjeti(granica, početna). U takvoj jednadžbi u i f također mogu biti skalari.

Najjednostavniju klasifikaciju oscilatornih sustava može se napraviti njihovim broj stupnjeva slobode... Broj stupnjeva slobode je broj neovisnih numeričkih parametara koji jednoznačno određuju konfiguraciju sustava u bilo kojem trenutku t. Na temelju toga, oscilatorni sustavi se mogu pripisati jednoj od tri klase:

1)Sustavi s jednim stupnjem slobode.

2)Sustavi s konačnim brojem stupnjeva slobode... Često se nazivaju diskretni sustavi.

3)Sustavi s beskonačnim nebrojenim brojem stupnjeva slobode (kontinuirani, distribuirani sustavi).

Na sl. 2 prikazuje niz ilustrativnih primjera za svaki njihov razred. Za svaku shemu, broj stupnjeva slobode označen je u krugovima. Posljednji dijagram prikazuje raspoređeni sustav u obliku elastične deformabilne grede. Za opis njegove konfiguracije potrebna je funkcija u (x, t), odnosno beskonačan skup vrijednosti u.

Svaka klasa oscilatornih sustava ima svoj vlastiti matematički model. Primjerice, sustav s jednim stupnjem slobode opisuje se običnom diferencijalnom jednadžbom drugog reda, sustavi s konačnim brojem stupnjeva slobode - sustavom običnih diferencijalnih jednadžbi, distribuirani sustavi - parcijalnim diferencijalnim jednadžbama.

Ovisno o vrsti operatora L u modelu (1), oscilatorni sustavi se dijele na linearne i nelinearne... Sustav se razmatra linearni ako je odgovarajući operator linearan, tj. zadovoljava uvjet

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif "width =" 20 visina = 24 "height =" 24 ">. jpg" širina = "569" visina = "97">
Za linearne sustave to je istina princip superpozicije(načelo neovisnosti djelovanja sila). Njegova se bit temelji na primjeru (fig..gif "width =" 36 "height =" 24 src = "> je kako slijedi..gif" width = "39" height = "24 src ="> .. gif" širina =" 88 "visina =" 24 ">.

Stacionarni i nestacionarni sustavi. Imati stacionarni sustavi na razmatrano vremensko razdoblje svojstva se ne mijenjaju u vremenu. Inače se sustav poziva nestacionarni. Sljedeće dvije slike jasno pokazuju fluktuacije u takvim sustavima. Na sl. 4 prikazuje oscilacije u stacionarnom sustavu u stacionarnim uvjetima, na sl. 5 - oscilacije u nestacionarnom sustavu.

Procesi u stacionarni sustavi opisuju se diferencijalnim jednadžbama s vremenskim konstantnim koeficijentima, u nestacionarnim sustavima - s promjenjivim koeficijentima.

Autonomni i neautonomni sustavi. V autonomni sustavi vanjski utjecaji su odsutni. Oscilatorni procesi u njima mogu nastati samo zbog unutarnjih izvora energije ili zbog energije koja se daje sustavu u početnom trenutku vremena. U jednadžbi operatora (1) desna strana ne ovisi o vremenu, tj. f(x, t) = f(x). Ostali sustavi su neautonomna.

Konzervativni i nekonzervativni sustavi. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg "align =" left hspace = 12 "width =" 144 "height =" 55 "> Slobodne vibracije. Slobodne vibracije izvode se u nedostatku promjenjivog vanjskog utjecaja, bez dotoka energije izvana. Takve fluktuacije mogu se pojaviti samo u autonomnim sustavima (slika 1.).

Prisilne vibracije. Takve se fluktuacije događaju u neautonomnim sustavima, a izvori su im promjenjivi vanjski utjecaji (slika 2.).

Parametarske vibracije. Parametri oscilatornog sustava mogu se mijenjati tijekom vremena, a to može postati izvor oscilacija. Takve vibracije se nazivaju parametarski. Gornja točka ovjesa fizičkog njihala (sl..gif "width =" 28 "height =" 23 src = ">, što je uzrok bočnih parametarskih oscilacija (sl. 5).

Samooscilacije(samopobuđene oscilacije). Za takve oscilacije izvori imaju neoscilatornu prirodu, a sami izvori su uključeni u oscilatorni sustav. Na sl. Slika 6 prikazuje masu s oprugom koja leži na pokretnom pojasu. Na njega djeluju dvije sile: sila trenja i elastična sila zatezanja opruge, koje se s vremenom mijenjaju. Prvi ovisi o razlici između brzina trake i mase, drugi o veličini i predznaku deformacije opruge, pa je masa pod utjecajem rezultantne sile, usmjerene čas ulijevo, čas prema desno, i oscilira.

U drugom primjeru (slika 7.) lijevi kraj opruge pomiče se udesno konstantnom brzinom v, uslijed čega opruga pomiče teret duž nepokretne površine. Formira se situacija slična onoj opisanoj za prethodni slučaj, a opterećenje počinje oscilirati.

4. Kinematika periodičnih oscilatornih procesa

Neka proces karakterizira jedna skalarna varijabla, a to je, na primjer, pomak. Zatim - brzina, - ubrzanje .. gif "width =" 11 visina = 17 "height =" 17 "> uvjet

,

tada se nazivaju vibracije periodično(Sl. 1). Štoviše, najmanji od ovih brojeva se zove razdoblje fluktuacija... Mjerna jedinica za period titranja je, najčešće, sekunda, označena s ili sec. Također se koriste mjerne jedinice u minutama, satima itd. Druga, također važna karakteristika periodičnog oscilatornog procesa je frekvencija vibracija

određivanje količine puni ciklusi fluktuacije u 1 jedinici vremena (na primjer, u sekundi). Ova frekvencija se mjeri u hercima (Hz), tako da to znači 5 kompletnih ciklusa vibracije u jednoj sekundi. U matematičkim proračunima teorije oscilacija, to se pokazalo prikladnijim kutna frekvencija

,

mjereno u https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif "širina =" 115 visina = 24 "visina =" 24 ">.

Najjednostavnije od periodičnih oscilacija, ali iznimno važne za izgradnju teorijske osnove teorije oscilacija, su harmonijske (sinusoidne) oscilacije koje variraju prema zakonu.

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif "width =" 17 "height =" 17 src = "> - amplituda, - faza oscilacije, - početna faza..gif" širina = " 196 "visina =" 24 ">,

a zatim ubrzanje

Umjesto (1), često se koristi alternativni zapis

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif "width =" 80 "height =" 21 src = ">. Opisi (1) i (2) mogu se prikazati u obliku

Između konstanti u formulama (1), (2), (3) postoje lako dokazane relacije

Korištenje metoda i prikaza teorije funkcija kompleksnih varijabli uvelike pojednostavljuje opis oscilacija. U ovom slučaju središnje mjesto zauzima Eulerova formula

.

Ovdje https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif "width =" 111 "height =" 28 ">. (4)

Formule (1) i (2) sadržane su u (4). Na primjer, sinusoidne oscilacije (1) mogu se predstaviti kao imaginarna komponenta (4)

i (2) - u obliku realne komponente

Poliharmonične vibracije. Zbroj dviju harmonijskih vibracija s istim frekvencijama bit će harmonijska vibracija iste frekvencije

Pojmovi mogu biti s nejednakim frekvencijama

Tada će zbroj (5) biti periodična funkcija s točkom, samo ako su,, gdje su i cijeli brojevi i nesmanjivi razlomak, racionalni broj... Općenito, ako dvije ili više harmonijskih oscilacija imaju frekvencije s omjerima u obliku racionalni razlomci, tada su njihove sume periodične, ali ne i harmonijske oscilacije. Takve vibracije se nazivaju poliharmonijski.

Ako periodične oscilacije nisu harmonijske, onda ih je još uvijek korisno predstaviti kao zbroj harmonijskih oscilacija koristeći Fourierov niz

Ovdje https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif "width =" 15 "height =" 19 "> je harmonijski broj, karakterizira srednju vrijednost odstupanja, https://pandia. ru/text /78/502/images/image077_14.gif "width =" 139 visina = 24 "height =" 24 "> - prvi, temeljni harmonik, (https://pandia.ru/text/78/502/ slike/image080_11. gif "width =" 207 "height =" 24 "> obrasci frekvencijski spektar oklijevanje.

Napomena. Dirichletov teorem za periodičnu funkciju služi kao teorijska potporanja mogućnosti predstavljanja funkcije oscilatornog procesa Fourierovim redom:

Ako je funkcija postavljena na segment i kontinuirana je po komadima, monotona i ograničena na njega, tada se njezin Fourierov niz konvergira u svim točkama segmenta https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif "width = "28" height = "23 src ="> je zbroj trigonometrijskog Fourierovog niza funkcije f (t), tada u svim točkama kontinuiteta ove funkcije

i na svim prijelomnim točkama

.

Osim,

.

Očito, stvarni oscilatorni procesi zadovoljavaju uvjete Dirichletovog teorema.

U frekvencijskom spektru, svaka frekvencija odgovara amplitudi Ak i početnoj fazi https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif "width =" 125 "height =" 33 ">, .

Oni se formiraju amplitudnog spektra https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif "width =" 35 "height =" 24 ">. Vizualni prikaz amplitudnog spektra dat je na slici 2.

Određivanje spektra frekvencija i Fourierovih koeficijenata naziva se spektralna analiza... Iz teorije Fourierovih redova poznate su formule