Sayılar tekrarlanmazsa moda nasıl bulunur. İstatistik

Moda ve ortanca- varyasyon serisinin yapısını incelemek için kullanılan özel bir tür ortalamalar. Daha önce tartışılan güç yasası ortalamalarının aksine, bazen yapısal ortalamalar olarak adlandırılırlar.

Moda- bu, belirli bir popülasyonda en sık bulunan bir özelliğin (seçenek) değeridir, yani. en yüksek frekansa sahiptir.

Modanın harika bir pratik uygulaması vardır ve bazı durumlarda sadece moda sosyal fenomenleri karakterize edebilir.

Medyan Sıralı bir varyasyon serisinin ortasında olan bir varyasyondur.

Medyan, popülasyon birimlerinin yarısına ulaşan değişken bir özelliğin değerinin nicel sınırını gösterir. Varyasyon serilerinde açık aralıklar varsa, ortalama ile birlikte veya bunun yerine medyanın kullanılması tavsiye edilir, çünkü medyanı hesaplamak için açık aralıkların sınırlarının koşullu olarak ayarlanması gerekmez ve bu nedenle bunlar hakkında bilgi eksikliği medyan hesaplamasının doğruluğunu etkilemez.

Medyan, ağırlık olarak kullanılacak metriklerin bilinmediği durumlarda da kullanılır. Ürün kalite kontrolünün istatistiksel yöntemlerinde aritmetik ortalama yerine medyan kullanılır. Seçeneklerin medyandan mutlak sapmalarının toplamı, diğer herhangi bir sayıdan daha azdır.

Ayrık bir varyasyon serisinde modun ve medyanın hesaplanmasını düşünün :

Modayı ve medyanı belirleyin.

moda moe = 4 yıl, çünkü bu değer en yüksek frekans f = 5'e karşılık gelir.

Onlar. en büyük sayı işçiler 4 yıllık deneyime sahiptir.

Medyanı hesaplamak için önce frekansların toplamının yarısını bulalım. Frekansların toplamı tek bir sayıysa, önce bu toplama bir ekleriz ve sonra ikiye böleriz:

Medyan sekizinci seçenek olacaktır.

Hangi seçeneğin sekizinci olacağını bulmak için, tüm frekansların toplamının yarısına eşit veya daha büyük frekansların toplamını elde edene kadar frekansları biriktireceğiz. Karşılık gelen değişken medyan olacaktır.

Ben mi = 4 yıl.

Onlar. işçilerin yarısı dört yıldan az deneyime sahip, yarısı daha fazla.

Bir varyanta karşı biriken frekansların toplamı, frekansların toplamının yarısına eşitse, medyan bu varyantın aritmetik ortalaması ve aşağıdakiler olarak belirlenir.

Aralıklı varyasyon serilerinde mod ve medyanın hesaplanması

Aralık varyasyon serisindeki mod, formülle hesaplanır.

nerede NS M0- mod aralığının başlangıç ​​sınırı,

Hm 0 - mod aralığının değeri,

Fm 0 , Fm 0-1 , Fm 0+1 - moddan önceki ve sonraki mod aralığının sırasıyla frekansı.

kalıcı en yüksek frekansın karşılık geldiği aralık denir.

örnek 1

Modayı ve medyanı belirleyin.

Modal aralık, çünkü en yüksek frekans f = 35'e karşılık gelir. Ardından:

HM 0 =6, FM 0 =35

Medyan sıralanmış dağılım serisini iki eşit parçaya bölen özellik değeridir - özellik değerleri ortancadan küçük ve özellik değerleri ortancadan büyüktür. Medyanı bulmak için, sıralı satırın ortasındaki özelliğin değerini bulmanız gerekir.

Mod ve medyanı bulma sorununun çözümünü görüntüleyin Yapabilirsiniz

Sıralanmış sıralamalarda, gruplandırılmamış veriler için medyanı bulmak medyanın sıra sayısını bulmaya indirgenir. Medyan aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

burada Xm, medyan aralığın alt sınırıdır;
im - medyan aralık;
Sme, medyan aralığın başlangıcından önce toplanan gözlemlerin toplamıdır;
fme, medyan aralıktaki gözlem sayısıdır.

ortanca özellikler

1. Medyan, her iki tarafında bulunan özelliğin değerlerine bağlı değildir.
2. Medyanla analitik işlemler çok sınırlıdır, bu nedenle iki dağılımı bilinen medyanlarla birleştirirken, yeni dağılımın medyanının değerini önceden tahmin etmek imkansızdır.
3. medyan sahip minimal özellik. Özü, medyandan x değerlerinin mutlak sapmalarının toplamının, X'in diğer herhangi bir değerden sapmasına kıyasla minimum değer olduğu gerçeğinde yatmaktadır.

Medyanın grafiksel tanımı

belirlemek için grafik medyanlar kümülatif eğrinin oluşturulduğu birikmiş frekansları kullanın. Birikmiş frekanslara karşılık gelen koordinatların köşeleri, düz çizgi parçaları ile bağlanır. Pop olam'ı, frekansların toplam toplamına karşılık gelen son ordinatı bölerek ve kümülatif eğri ile kesişme noktasının dikini çizerek, istenen medyan değerinin ordinatını bulun.

İstatistikte modanın tanımı

Moda - bir özelliğin anlamı istatistiksel dağılım serisinde en yüksek frekansa sahip olan .

modayı tanımlamak farklı şekillerde üretilir ve değişken özelliğin ayrık veya aralıklı seriler şeklinde sunulmasına bağlıdır.

moda bulmak ve medyan, yalnızca frekans sütununu tarayarak oluşur. Bu sütunda, en yüksek frekansı karakterize eden en büyük sayıyı bulun. Moda olan özelliğin belirli bir değerine karşılık gelir. Aralık varyasyon serisinde, mod yaklaşık olarak en yüksek frekansa sahip aralığın merkezi varyantı olarak kabul edilir. Böyle bir dağıtım sırasında moda formülle hesaplanır:

burada ХМо, mod aralığının alt sınırıdır;
imo - mod aralığı;
fm0, fm0-1, fm0 + 1 - modal, önceki ve sonraki mod aralıklarındaki frekanslar.

Modal aralık, en yüksek frekans tarafından belirlenir.

Moda, satın alma talebinin, fiyat kaydının vb. analizinde istatistiksel uygulamada yaygın olarak kullanılmaktadır.

Aritmetik ortalama, medyan ve moda arasındaki ilişki

Tek modlu bir simetrik dağılım serisi için medyan ve mod çakışır. Çarpık dağılımlar için aynı değildirler.

K. Pearson, çeşitli eğri türlerinin eşitlenmesi temelinde, orta derecede asimetrik dağılımlar için aritmetik ortalama, medyan ve mod arasındaki yaklaşık ilişkilerin geçerli olduğunu belirledi:

Öğrencilerin çalışma yükü incelenirken, 12 yedinci sınıf öğrencisi grubu belirlendi. Cebir ödevleri için harcadıkları süreyi (dakika olarak) belirli bir günde işaretlemeleri istendi. Aşağıdaki veriler alındı: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Öğrencilerin çalışma yükünü incelerken, 12 yedinci sınıf öğrencisi grubu belirlendi. Cebir ödevleri için harcadıkları süreyi (dakika olarak) belirli bir günde işaretlemeleri istendi. Şu verileri aldık: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Serinin aritmetik ortalaması. Bir sayı dizisinin aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesiyle elde edilen bölümdür. Bir sayı dizisinin aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesinin bölümüdür (): 12 = 27

Serinin aralığı. Bir serinin açıklığı, bu sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır. Bir serinin açıklığı, bu sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır. En yüksek zaman tüketimi 37 dakika, en düşük zaman tüketimi ise 18 dakikadır. Serinin aralığını bulun: 37 - 18 = 19 (dk)

Sıra modası. Bir sayı dizisinin modu, bu dizide diğerlerinden daha sık meydana gelen sayıdır. Bir sayı dizisinin modu, bu dizide diğerlerinden daha sık meydana gelen sayıdır. Serimizin modu - 25 sayısıdır. Serimizin modu - 25 sayısıdır. Bir sayı dizisinin birden fazla modu olabilir veya olmayabilir. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 - iki mod 47 ve 52,2) 69,68,66,70,67,71,74,63, 73,72 - moda yok.

Aritmetik ortalama, aralık ve moda, istatistikte kullanılır - doğada ve toplumda meydana gelen çeşitli kitle olayları hakkında nicel verilerin elde edilmesi, işlenmesi ve analiz edilmesiyle ilgilenen bir bilim. Aritmetik ortalama, aralık ve moda, istatistikte kullanılır - doğada ve toplumda meydana gelen çeşitli kitle olayları hakkında nicel verilerin elde edilmesi, işlenmesi ve analiz edilmesiyle ilgilenen bir bilim. İstatistikler, ülke ve bölgelerinin nüfusunun bireysel gruplarının sayısını, çeşitli ürün türlerinin üretim ve tüketimini, mal ve yolcu taşımacılığını inceler. Farklı çeşit Ulaşım, Doğal Kaynaklar vb. İstatistikler, bir ülkenin ve bölgelerinin nüfusunun bireysel gruplarının sayısını, çeşitli ürün türlerinin üretimini ve tüketimini, çeşitli ulaşım modlarıyla mal ve yolcu taşımacılığını, doğal kaynakları vb.

1. Bir sayı dizisinin aritmetik ortalamasını ve aralığını bulun: a) 24,22,27,20,16,37; b) 30,5,23,5,28, Bir dizi sayının aritmetik ortalamasını, aralığını ve modunu bulun: a) 32,26,18,26,15,21,26; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; c) 61.64.64.83.61.71.70; c) 61.64.64.83.61.71.70; d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, 3, 8, 15, 30, __, 24 sayı dizisinde bir sayı eksik, Eğer bulunuz: a) a) a) seri 18'dir; a) serinin aritmetik ortalaması 18'dir; b) serinin aralığı 40'tır; b) serinin aralığı 40'tır; c) dizinin modu 24'tür. c) dizinin modu 24'tür.

4. Dört arkadaşın - okul mezunlarının - orta öğretim sertifikasında şu işaretler bulundu: İlyin: 4,4,5,5,4,4,4,4,5,5,5,4,4,5, 4,4; İlin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Semyonov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Semyonov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Bu mezunların her biri hangi nottan mezun oldu? Sertifikada her biri için en tipik notu belirtin. Cevap verirken hangi istatistiksel özellikleri kullandınız? Bu mezunların her biri hangi nottan mezun oldu? Sertifikada her biri için en tipik notu belirtin. Cevap verirken hangi istatistiksel özellikleri kullandınız?

Bağımsız iş Seçenek 1. Seçenek Verilen bir dizi sayı: 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Memnuniyetin aritmetik ortalamasını, aralığını ve modunu bulun. 2. 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25 numaralı satırda bir sayı eksik. bir numara eksik. Aşağıdaki durumlarda bulun: a) aritmetik ortalama a) aritmetik ortalama 19 ise; bir şey 19'a eşittir; b) dizinin aralığı - 41. b) dizinin aralığı - 41. Varyant Bir sayı verilmiştir: 38, 42, 36, 45, 48, 45.45, 42. Aritmetik ortalamayı, aralığı ve modayı bulun memnun. 2. 5, 10, 17, 32, _, 26 numaralı satırda bir sayı eksik. Aşağıdaki durumlarda bulunuz: a) aritmetik ortalama 19 ise; b) serinin aralığı 41'dir.

Tek sayılı sıralı bir sayı dizisinin ortancası, ortada yazılan sayıdır ve çift sayıdaki sıralı bir sayı dizisinin medyanı, ortada yazılan iki sayının aritmetik ortalamasıdır. Sıralı sayılar dizisinin ortancası, ortada yazılan sayıdır ve sayıları çift olan sıralı bir sayı dizisinin medyanı, ortada yazılan iki sayının aritmetik ortalamasıdır. Tablo, dokuz dairenin kiracılarının Ocak ayındaki elektrik tüketimini göstermektedir: Tablo, dokuz dairenin kiracılarının Ocak ayındaki elektrik tüketimini göstermektedir:

Sıralı bir satır yapalım: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91.93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91 bu dizinin medyanıdır. 78 bu dizinin medyanıdır. Sıralı bir satır verildiğinde: Sıralı bir satır verildiğinde: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. (): 2 = 80 medyandır. (): 2 = 80 - ortanca.

1. Bir dizi sayının ortancasını bulun: a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. 2. Aşağıdaki sayıların aritmetik ortalamasını ve medyanını bulun: a) 27, 29, 23, 31,21,34; a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; c) 3.8, 7.2, 6.4, 6.8, 7.2; c) 3.8, 7.2, 6.4, 6.8, 7.2; d) 21.6, 37.3, 16.4, 12, 6.d) 21.6, 37.3, 16.4, 12, 6.

3. Tablo, haftanın farklı günlerinde sergiyi ziyaret edenlerin sayısını gösterir: Belirtilen veri serisinin medyanını bulun. Haftanın hangi günlerinde sergiye gelen ziyaretçi sayısı medyandan daha fazlaydı? Haftanın günleri Pzt Pts Sal Çar Çar Per Per Cum Cum Cmt Paz Paz Ziyaretçi sayısı

4. Belirli bir bölgedeki şeker fabrikaları tarafından günlük ortalama şeker işleme (bin cent olarak): (bin cent olarak) belirli bir bölgedeki şeker fabrikaları tarafından: 12.2, 13.2, 13.7, 18.0, 18.6 , 12.2, 18.5, 12.4 , 12.2, 13.2, 13.7, 18.0, 18.6, 12.2, 18.5, 12.4, 14, 2, 17 ,sekiz. 14, 2, 17.8. Sunulan seri için aritmetik ortalamayı, modu, aralığı ve medyanı bulun. Sunulan seri için aritmetik ortalamayı, modu, aralığı ve medyanı bulun. 5. Kuruluş, ay boyunca alınan mektupların günlük kaydını tuttu. Sonuç olarak şu veri serilerini elde ettik: 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40 , 42, 40 , 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25 , 34, 0 , 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Sunulan seri için aritmetik ortalamayı, modu, aralığı ve medyanı bulun. Sunulan seri için aritmetik ortalamayı, modu, aralığı ve medyanı bulun.

Ödev... Artistik patinaj yarışmalarında sporcunun performansı şu noktalarla değerlendirildi: Artistik patinaj yarışmalarında sporcunun performansı şu puanlarla değerlendirildi: 5.2; 5.4; 5.5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5.5; 5.3. 5.2; 5.4; 5.5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5.5; 5.3. Ortaya çıkan sayı dizisi için aritmetik ortalamayı, aralığı ve modu bulun. Ortaya çıkan sayı dizisi için aritmetik ortalamayı, aralığı ve modu bulun.

ÖLÇEK

Konuyla ilgili: "Moda. Medyan. Hesaplama yöntemleri"

Tanıtım

Ortalama değerler ve ilgili varyasyon göstergeleri, çalışmasının konusu nedeniyle istatistikte çok önemli bir rol oynamaktadır. Bu nedenle, bu konu dersin ana konularından biridir.

Ortalama, istatistiklerde çok yaygın bir özet göstergedir. Bunun nedeni, yalnızca ortalamanın yardımıyla nüfusu niceliksel olarak değişen özellikler açısından karakterize etmenin mümkün olmasıdır. İstatistikteki ortalama değer, niceliksel olarak değişen bazı nitelikler için aynı türden bir dizi olgunun genelleştirici bir özelliğidir. Ortalama, popülasyonun birimine atıfta bulunulan bu özelliğin seviyesini gösterir.

Sosyal fenomenleri inceleyen ve belirli yer ve zaman koşullarında karakteristik, tipik özelliklerini belirlemeye çalışan istatistikçiler, ortalamaları yaygın olarak kullanır. Ortalamalar yardımıyla, farklı popülasyonlar, değişen özelliklere göre birbirleriyle karşılaştırılabilir.

İstatistiklerde kullanılan ortalamalar, güç ortalamaları sınıfına aittir. Güç ortalamalarından aritmetik ortalama en sık kullanılır, daha az sıklıkla harmonik ortalama kullanılır; harmonik ortalama, yalnızca ortalama dinamik oranları hesaplanırken ve ortalama kare - yalnızca varyasyon göstergeleri hesaplanırken kullanılır.

Aritmetik ortalama, varyantın toplamını sayılarına bölmenin bölümüdür. Tüm popülasyon için değişen bir özelliğin hacminin, özelliğin bireysel birimleri için değerlerinin toplamı olarak oluşturulduğu durumlarda kullanılır. Aritmetik ortalama, en yaygın ortalama türüdür, çünkü toplamda değişen niteliklerin hacminin en sık olarak, niteliğin bireysel birimlerindeki değerlerinin toplamı olarak tam olarak oluşturulduğu sosyal fenomenlerin doğasına karşılık gelir. agrega.

Tanımlayıcı özelliğine göre, özelliğin toplam hacmi varyantın karşılıklı değerlerinin toplamı olarak oluştuğunda harmonik ortalama kullanılmalıdır. Malzemenin ağırlığına bağlı olarak, çarpmak değil, seçeneklere bölmek veya aynı olan, ters değerleriyle çarpmak gerektiğinde kullanılır. Bu durumlarda harmonik ortalama, özniteliğin karşılıklı değerlerinin aritmetik ortalamasının karşılığıdır.

Harmonik ortalama, ağırlıkların toplam birimler olmadığı, niteliğin taşıyıcıları olduğu, ancak bu birimlerin nitelik değerine göre çarpımı olduğu durumlarda kullanılmalıdır.

1. İstatistiklerde moda ve medyanın belirlenmesi

Aritmetik ve harmonik araçlar, bir veya daha fazla değişen nitelik için popülasyonun özelliklerini genelleştirir. Mod ve medyan, değişken bir özelliğin dağılımının yardımcı tanımlayıcı özellikleridir.

İstatistikte moda, belirli bir popülasyonda en sık bulunan bir özelliğin (seçenek) değeridir. Varyasyon serisinde bu, en yüksek frekansa sahip varyant olacaktır.

İstatistikte medyan, varyasyon serisinin ortasındaki varyanttır. Medyan, sırayı ikiye böler, her iki tarafında (yukarı ve aşağı) aynı sayıda nüfus birimi vardır.

Mod ve medyan, güç yasası araçlarının aksine, belirli özelliklerdir, değerlerinin varyasyon serisinde herhangi bir belirli varyantı vardır.

Moda, bir özelliğin en yaygın değerini karakterize etmenin gerekli olduğu durumlarda kullanılır. Örneğin, işletmedeki en yaygın ücreti bulmanız gerekiyorsa, satıldığı piyasadaki fiyatı en büyük sayı mallar, tüketiciler arasında en çok talep gören ayakkabıların boyutu vb. Bu durumlarda modaya başvurulur.

Medyan, popülasyonun üyelerinin yarısının ulaştığı değişen niteliğin değerinin nicel sınırını göstermesi bakımından ilginçtir. Banka çalışanlarının ortalama maaşı 650.000 ruble olsun. her ay. İşçilerin yarısının 700.000 ruble maaş aldığını söylersek, bu özellik eklenebilir. ve daha yüksek, yani ortancasını veriyoruz. Mod ve medyan, homojen ve çok sayıda popülasyon alındığında tipik özelliklerdir.

2. Ayrık Bir Varyasyon Dizisinde Mod ve Medyan Bulma

Özelliğin değerlerinin belirli sayılarla verildiği varyasyon serisinde modu ve medyanı bulmak zor değil. Ailelerin çocuk sayısına göre dağılımıyla birlikte tablo 1'i ele alalım.

Tablo 1. Ailelerin çocuk sayısına göre dağılımı

Açıkçası, bu örnekte moda, iki çocuklu bir aile olacaktır, çünkü en fazla sayıda aile bu seçenek değerine karşılık gelir. Tüm varyantların eşit sıklıkta meydana geldiği dağılımlar olabilir, bu durumda moda yoktur veya aksi takdirde tüm varyantların eşit derecede modal olduğunu söyleyebiliriz. Diğer durumlarda, bir değil iki varyant en yüksek frekansa sahip olabilir. O zaman iki mod olacak, dağıtım iki modlu olacak. Bimodal dağılımlar, çalışılan özellik için popülasyonun kalitatif heterojenliğini gösterebilir.

Kesikli bir varyasyon serisinde medyanı bulmak için frekansların toplamını yarıya indirmeniz ve sonuca ½ eklemeniz gerekir. Yani 185 ailenin çocuk sayısına göre dağılımında medyan: 185/2 + ½ = 93, yani. Sıralı satırı ikiye bölen Seçenek 93. 93. seçeneğin anlamı nedir? Bunu bulmak için en küçük seçeneklerden başlayarak frekansları biriktirmeniz gerekir. 1. ve 2. seçeneklerin frekanslarının toplamı 40'tır. Burada 93 seçeneğin olmadığı açıktır. 3. değişkenin frekansını 40'a eklersek, toplamı 40 + 75 = 115 olarak elde ederiz. Bu nedenle, 93. değişken değişken özelliğinin üçüncü değerine karşılık gelir ve medyan iki çocuklu bir aile olacaktır. .

Moda ve medyan bu örnekçakıştı. Eşit bir frekans toplamına sahip olsaydık (örneğin, 184), o zaman yukarıdaki formülü uygulayarak medyan seçeneklerin sayısını elde ederiz, 184/2 + ½ = 92.5. Kesirli seçenek olmadığından, sonuç medyanın 92 ile 93 seçenek arasında yarı yolda olduğunu gösterir.

3. Aralıklı varyasyon serilerinde mod ve medyanın hesaplanması

Modanın ve medyanın tanımlayıcı doğası, içlerinde bireysel sapmaların sönmemesinden kaynaklanmaktadır. Her zaman belirli bir seçeneğe karşılık gelirler. Bu nedenle, özelliğin tüm değerleri biliniyorsa, mod ve medyan bulgusu için hesaplama gerektirmez. Ancak, aralık varyasyon serilerinde, modun ve medyanın belirli bir aralıktaki yaklaşık değerini bulmak için hesaplamalara başvurulur.

Bir aralığın içine alınmış bir özelliğin mod değerinin belirli bir değerini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

Mo = X Mo + i Mo * (f Mo - f Mo-1) / ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

X Mo, mod aralığının minimum sınırı olduğunda;

i Mo, mod aralığının değeridir;

f Mo, mod aralığının frekansıdır;

f Mo-1 - moddan önceki aralığın frekansı;

f Mo + 1, modu takip eden aralığın frekansıdır.

Tablo 2'de verilen örneği kullanarak modun hesaplanmasını gösterelim.

Tablo 2. Üretim standartlarının sağlanmasına göre işletme çalışanlarının dağılımı

Bir moda bulmak için önce belirli bir satırın mod aralığını tanımlarız. Örnek, en yüksek frekansın, varyantın 100 ila 105 aralığında yer aldığı aralığa karşılık geldiğini göstermektedir. Bu, mod aralığıdır. Modal aralığın değeri 5'tir.

Tablo 2'deki sayısal değerleri yukarıdaki formülde değiştirerek şunu elde ederiz:

M yaklaşık = 100 + 5 * (104 -12) / ((104 - 12) + (104 - 98)) = 108.8

Bu formülün anlamı şudur: mod aralığının minimum sınırına eklenmesi gereken bölümünün değeri, önceki ve sonraki aralıkların frekanslarının değerine bağlı olarak belirlenir. Bu durumda 100'e 8,8 ekleriz, yani. aralığın yarısından fazlası, çünkü önceki aralığın frekansı sonraki aralığın frekansından daha az.

Şimdi medyanı hesaplayalım. Aralık varyasyon serisinde medyanı bulmak için önce bulunduğu aralığı (medyan aralığı) belirleriz. Böyle bir aralık, ortak frekansı, frekansların toplamının yarısına eşit veya onu aşan bir aralık olacaktır. Kümülatif frekanslar, aralıktan başlayarak frekansların kademeli olarak toplanmasıyla oluşturulur. en küçük değer imza. Sahip olduğumuz frekansların toplamının yarısı 250'ye (500: 2) eşittir. Sonuç olarak, tablo 3'e göre, medyan aralık, 350.000 ruble'den itibaren ücretlerin değeri olan aralık olacaktır. 400.000 RUB'a kadar

Tablo 3. Aralıklı varyasyon serilerinde medyanın hesaplanması

Bu aralıktan önce, biriken frekansların toplamı 160 idi. Bu nedenle, ortanca değeri elde etmek için 90 birim (250 - 160) daha eklemek gerekir.

Temel konseptler

Örnekten elde edilen deneysel veriler için seriyi hesaplamak mümkündür. sayısal özellikler (ölçüler).

Mod, bir örnekte en sık görülen sayısal bir değerdir. Moda bazen şu şekilde adlandırılır: Ay.

Örneğin, seri anlamında (2 6 6 8 9 9 9 10), mod 9'dur, çünkü 9 diğer herhangi bir sayıdan daha sık geçer.

Mod, en sık görülen değeri temsil eder (bu örnekte 9'dur) ve bu değerin sıklığını değil (bu örnekte 3'tür).

Moda kurallara göre bulunur

1. Numunedeki tüm değerlerin eşit sıklıkta meydana gelmesi durumunda, bu numune serisinin modu olmadığı genel olarak kabul edilir.

Örneğin, 556677 - bu örnekte moda yok.

2. İki bitişik (bitişik) değer aynı frekansa sahip olduğunda ve frekansları diğer değerlerin frekanslarından büyük olduğunda, mod bu iki değerin aritmetik ortalaması olarak hesaplanır.

Örneğin, 1 2 2 2 5 5 5 6 örneğinde, bitişik 2 ve 5 değerlerinin frekansları çakışır ve 3'e eşittir. Bu frekans, diğer 1 ve 6 değerlerinin frekansından daha büyüktür (bunun için 1'e eşittir.

Bu nedenle, bu serinin modu miktar olacaktır.

3) Örnekteki iki bitişik olmayan (bitişik olmayan) değer, diğer herhangi bir değerin frekanslarından daha yüksek olan eşit frekanslara sahipse, iki mod ayırt edilir. Örneğin 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17 serisinde modlar 11 ve 14 değerleridir. Bu durumda numunenin olduğu söylenir. çift ​​modlu.

İkiden fazla tepe noktası (mod) içeren çok modlu dağılımlar da olabilir.

4) Mod, gruplandırılmış veri seti tarafından tahmin ediliyorsa, modu bulmak için özelliğin en yüksek frekansına sahip grubu belirlemek gerekir. Bu gruba denir mod grubu.

Medyan - ile gösterilir Ben mi ve ilgili örnek değerinin en az %50'sinin kendisinden küçük ve en az %50'sinin fazla olduğu bir değer olarak tanımlanır.

Medyan, sıralı bir veri kümesini yarıya bölen değerdir.

Problem 1. Örneğin medyanını bulun 9 3 5 8 4 11 13

Çözüm Önce numuneyi içerdiği değerlere göre sıralayalım. 3 4 5 8 9 11 13 elde ederiz. Örnekte yedi eleman olduğu için, sıradaki dördüncü eleman ilk üçten büyük ve son üçten küçük bir değere sahip olacaktır. Böylece medyan dördüncü eleman olacak - 8

Problem 2. 20, 9, 13, 1, 4, 11 örneğinin medyanını bulun.

1, 4, 9, 11, 13, 20 örneğini düzenleyelim, eleman sayısı çift olduğu için iki “orta nokta” vardır - 9 ve 13 Bu durumda medyan, bu değerlerin aritmetik ortalaması olarak belirlenir.

Ortalama

n serisinin aritmetik ortalaması Sayısal değerler olarak hesaplanır

Bu göstergenin aldatıcılığını göstermek için iyi bilinen bir örnek verelim: 60 yaşında dört torunu olan bir büyükanne bir arabanın bir bölmesine sığar: bir - 4 yaşında, iki - 5 yaşında ve bir - 6 yaşında. Bu kompartımandaki tüm yolcuların yaşlarının aritmetik ortalaması 80/5 = 16'dır. Başka bir kompartımanda bir grup genç vardır: iki - 15 yaşında, bir - 16 yaşında ve iki - 17- yaşında. Bu kompartımandaki yolcuların yaş ortalaması da 80/5 = 16'dır. Dolayısıyla bu kompartımanlardaki yolcuların aritmetik ortalaması da farklılaşmamaktadır. Ancak standart sapma göstergesine dönersek, ilk durumda ortalama yaşa göre ortalama yayılmanın 24.6, ikinci durumda 1 olacağı ortaya çıkıyor.

Ayrıca ortalama, ölçülen özelliklerin ana değerlerinden farklı olan çok küçük veya çok büyük değerlere oldukça duyarlıdır. 9 kişinin aylık 4500 ile 5200 bin dolar arası geliri olsun. Ortalama gelirleri 4.900 dolar. Bu gruba ayda 20.000 bin dolar geliri olan bir kişiyi eklersek, tüm grubun ortalaması kayar ve tüm örneklemden hiç kimse olmamasına rağmen 6.410 dolara eşit olur ( bir kişi hariç) aslında böyle bir miktar alır.

Bu gruba yıllık geliri çok düşük olan bir kişi eklense dahi benzer bir kaymanın ancak tam tersi yönde gerçekleşebileceği açıktır.

Örnek yayılma

Yaymak ( süpürmek) örnekleme- bu belirli varyasyon serisinin maksimum ve minimum değerleri arasındaki fark. R harfi ile gösterilir.

Swing = maksimum değer - minimum değer

Ölçülen karakteristik ne kadar çok değişirse, R'nin değeri o kadar büyük olur ve bunun tersi de açıktır.

Bununla birlikte, iki örnek serisi için hem ortalamalar hem de aralık aynı olabilir, ancak bu serilerin varyasyonunun doğası farklı olacaktır. Örneğin, iki örnek verilmiştir.

Dağılım

Dağılım, saçılmanın en yaygın kullanılan ölçüsüdür. rastgele değişken(değişken).

Varyans - bir değişkenin değerlerinin ortalamasından sapmalarının karelerinin aritmetik ortalaması