Основи теорії коливань механічних систем Основи теорії коливань

Міністерство освіти Російської Федерації
Ухтинський державний технічний університет

В.К. Хегай, Д.М. Левитський,
О.М. Харін, А.С. Попов

Основи теорії коливань
механічних систем
Навчальний посібник

Допущено навчально-методичним об'єднанням ВНЗ
за вищою нафтогазовою освітою як навчальний
посібники для студентів нафтогазових вузів, які навчаються
за спеціальністю 090800, 170200, 553600

УДК 534.01
Х-35
Основи теорії коливань механічних систем/В.К. Хегай,
Д.М. Левитський, О.М. Харін, А.С. Попов. - Ухта: УГТУ, 2002. - 108 с.
ISBN 5-88179-285-8
У навчальному посібнику розглянуто основи теорії коливань механічних систем, що спираються на загальний курс теоретичної механіки. Особлива увага приділена застосуванню рівнянь Лагранжа другого
ряду. Посібник складається із шести розділів, кожна з яких присвячена певному типу коливань. Один розділ присвячений основам теорії стійкості руху та рівноваги механічних систем.
Для кращого освоєння теоретичного матеріалу, у посібнику, наведено
велика кількість прикладів та завдань з різних областей техніки.
Навчальний посібник призначений для студентів механічних спеціальностей, які вивчають курс теоретичної механіки в повному обсязі,
може бути корисним і для студентів інших спеціальностей.
Рецензенти: кафедра теоретичної механіки Санкт-Петербурзької
державної лісотехнічної академії (зав. кафедрою д. т. н., професор Ю. А. Добринін); начальник комплексного відділу буріння «СеверНДПІГаз» к. т. н., доцент Ю.М. Гержберг.

© Ухтинський державний технічний університет, 2002
©Хегай В.К., Левітський Д.М., Харін О.М., Попов А.С., 2002
ISBN 5-88179-285-8

3
Зміст
Передмова.................................................. .................................................. .................. 4
Розділ I. Короткі відомостіз аналітичної механіки........................................ 5
1.1 Потенційна енергія системи.............................................. ................................. 5
1.2. Кінетична енергія системи.................................................. ................................. 6
1.3. Дисипативна функція................................................ ............................................ 8
1.4. Рівняння Лангранжа................................................ ................................................ 9
1.5. Приклади на складання рівнянь Лангранжа другого роду............................. 11
Розділ II. Стійкість руху та рівноваги консервативних систем......... 20
2.1. Вступ................................................. .................................................. ................... 20
2.2. Опції Ляпунова. Критерій Сільвестру................................................ ............. 21
2.3. Рівняння обуреного руху............................................... ......................... 23
2.4. Теорема Ляпунова про стійкість руху............................................................ .......... 26
2.5. Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги
консервативної системи................................................ .................................................. 29
2.6. Стійкість рівноваги консервативної системи з однією
ступенем свободи................................................ .................................................. ........... 30
2.7. Приклади на стійкість рівноваги консервативної системи ................ 31
Розділ III. Вільні коливання системи з одним ступенем свободи 39
3.1. Вільні коливання консервативної системи
з одним ступенем свободи.............................................. ................................................. 39
3.2. Вільні коливання системи з одним ступенем свободи за наявності
сил опору, пропорційних швидкості............................................. ............ 42
3.3. Приклади на вільні коливання системи з одним ступенем свободи............. 46
Розділ IV. Вимушені коливання системи з одним ступенем свободи........... 59
4.1. Вимушені коливання системи з одним ступенем свободи
у разі періодичної збурювальної сили............................................................ ................... 59
4.2. Явище резонансу................................................ .................................................. .... 63
4.3. Явище биття................................................ .................................................. ........ 66
4.4. Коефіцієнт динамічності................................................ ..................................... 68
4.5. Приклади на вимушені коливання системи
з одним ступенем свободи.............................................. ................................................. 70
Глава V. Вільні коливання системи з двома ступенями свободи 78
5.1. Диференціальні рівняння вільних коливань системи з двома
ступенями свободи та їх загальне рішення............................................ ............................ 78
5.2. Власні форми................................................ .................................................. 80
5.3. Приклади на вільне коливання системи з двома ступенями свободи............ 81
Розділ VI. Вимушені коливання системи з двома ступенями свободи........ 93
6.1. Диференціальні рівняння вимушених коливань системи та їх
загальне рішення................................................ .................................................. ................. 93
6.2. Динамічний гасник коливань............................................... ........................... 95
6.3. Приклади на вимушені коливання системи з двома ступенями свободи.
Бібліографічний список................................................ .......................................... 107

4
Передмова
На етапі розвитку вищої школиу практику викладання дедалі ширше вводяться проблемні та дослідницькі форми навчання.
Динамічні процеси в машинах та механізмах мають визначальне значення як для розрахунку на стадії проектування нових конструкцій, так і для визначення технологічних режимів у процесі експлуатації. Важко назвати таку область техніки, в якій не були б
актуальними є проблеми вивчення пружних коливань та стійкості рівноваги та руху механічних систем. Вони представляють особливу
важливість для інженерів-механіків, що працюють у галузі машинобудування, транспорту та інших галузях техніки.
У посібнику розглянуто деякі окремі питання з теорії
коливань та стійкості механічних систем. Теоретичні відомості
пояснені прикладами.
Основне призначення сьогодення методичного посібника− ув'язати
область додатків теоретичної та аналітичної механіки із завданнями
спеціальних кафедр, які здійснюють підготовку інженерів-механіків.

5
Глава I. КОРОТКІ ВІДОМОСТІ З АНАЛІТИЧНОЇ
МЕХАНІКИ
І.І. Потенційна енергія системи
Потенційна енергія системи з ступенями свободи, будучи
енергією становища, залежить тільки від узагальнених координат

П = П (q1, q2, ....., qs),
де q j

(j = 1, 2,K, s) - узагальнені координати системи.

Розглядаючи малі відхилення системи від становища сталого
рівноваги, узагальнені координати qj можна як величини першого порядку малости. Вважаючи, що положення рівноваги системи
відповідає початку відліку узагальнених координат, розкладемо вираз потенційної енергії П до ряду Маклорена за ступенями qj

∂П
1 S S ∂2 П
П = П (Ο) + ∑ (
)0 q j + ∑∑ (
)0 qi q j + K.
∂
q
2
∂
q
∂
q
j =1
i = 1 j = 1
j
i
j
S

Маючи на увазі, що потенційна енергія визначається з точністю
до деякої адитивної постійної, потенційну енергію в положенні рівноваги можна прийняти рівною нулю
П(0) = 0.

У разі консервативних сил узагальнені сили визначаються формулою

∂П
∂q j

(j = 1, 2, K, s).

Оскільки при рівновазі системи сил

(j = 1, 2,K, s),

То умови рівноваги консервативної системи сил мають вигляд

⎛ ∂П
⎜⎜
⎝ ∂q j

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2,K, s),

⎛ ∂П
∑⎜
j =1 ⎜ ∂q
⎝ j

⎞
⎟⎟ q j = 0.
⎠0

Отже,
s

6
Тоді рівність (1.2.) з точністю до членів другого порядку малості набуває вигляду

1 S S ⎛ ∂2 П
П = ∑∑⎜
2 i = 1 j = 1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ qi q j.
⎠0

Позначимо

⎛ ∂2 П
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ = cij = c ji ,
⎠0

Де cij – узагальнені коефіцієнти жорсткості.
Остаточно вираз потенційної енергії має вигляд

1 S S
П = ∑∑cij qi q j.
2 i = 1 j = 1

З (1.9.) видно, що потенційна енергія системи є однорідною квадратичною функцієюузагальнених координат.
1.2. Кінетична енергія системи
Кінетична енергія системи, що складається з n матеріальних точок,
дорівнює

1 n
T = ∑mk vk2 ,
2 k =1

Де mk і vк - маса і швидкість k-ої точки системи.
При переході до узагальнених координат будемо мати на увазі, що
_

(k = 1, 2,..., n) ,

R k (q1, q2, ..., qs)

Де r k – радіус-вектор k точки точки системи.
−

Скористаємося тотожністю vk2 = v k ⋅ v k та замінимо вектор швидкості
−

V k його значенням
_

∂r k
∂q1

∂r k
∂q2

∂r k
∂qs

Тоді вираз для кінетичної енергії (1.10) набуде вигляду

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1,S q S −1 q S) ,(1.13)
2

⎛ _
∂ rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k =1
⎝
n

⎛ _
∂ rk
Ass = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k =1
⎝
n

⎞
⎛ _
n
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k =1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ mk k ⋅ k ,...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

As −1,s = ∑ mk
k =1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

Розкладаючи кожен із цих коефіцієнтів у ряд Маклорена за ступенями узагальнених координат, отримуємо

⎛ ∂Aij
Aij = (Aij)0 + ∑ ⎜
⎜
j =1 ⎝ ∂A j
S

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2, ..., s).

Індекс 0 відповідає значенням функцій у положенні рівноваги. Оскільки розглядаються малі відхилення системи від становища
рівноваги, то в рівності (1.14) обмежимося лише першими постійними членами

(i = j = 1, 2, ..., s).

Aij = (Aij)0 = aij

Тоді вираз для кінетичної енергії (1.13) набуде вигляду
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

Або у загальному вигляді

1 S
T= ∑
2 i=1

Постійні aij – узагальнені коефіцієнти інерції.
З (1.16) видно, що кінетична енергія системи Т – однорідна
квадратична функція узагальнених швидкостей.

8
1.3. Дисипативна функція
У реальних умовах вільні коливання системи загасають, так
як у її точки діють сили опору. За наявності сил опору відбувається розсіювання механічної енергії.
−

Допустимо, що сили опору R k (k = 1, 2,..., n) , що діють
на точки системи, пропорційні їх швидкостям
_

R k = − µk v k

(k = 1, 2,..., n) ,

Де µ k – коефіцієнт пропорційності.
Узагальнені сили опору для голономної системи визначаємо за формулами
n

Q j R = ∑ Rk
k =1

∂ rk
∂r
= −∑ µ k vk k
∂q j
∂q j
k =1
n

(j = 1, 2, ..., s).

Так як
_

∂ rk
∂ rk
∂ rk
q1 +
q 2 + ... +
qS ,
∂q1
∂q2
∂qS

∂ rk
.
∂q j

Маючи на увазі (1.18), узагальнені сили опору (1.17) перепишемо у вигляді
n

Q = −∑ µκ vκ
R
j

(j = 1, 2, ..., s).

Введемо дисипативну функцію, що визначається формулою
n

Тоді узагальнені сили опору визначаємо за формулами

(j = 1, 2, ..., s).

Дисипативну функцію за аналогією з кінетичною енергією системи можна подати у вигляді однорідної квадратичної функції
узагальнених швидкостей

1 S S
Φ = ∑∑ вij q i q j
2 i = 1 j = 1

Де вij – узагальнені коефіцієнти дисипації.
1.4. Рівняння Лагранжа другого роду
Положення голономної системи, що має s ступенів свободи, визначається s узагальненими координатами qj (j = 1, 2,..., s).
Для виведення рівнянь Лагранжа другого роду скористаємось загальним
рівнянням динаміки
S

Q иj)δ q j = 0 ,

Де Qj – узагальнена сила активних сил, що відповідає j-ій узагальненій координаті;
Q uj – узагальнена сила сил інерції, що відповідає j-ій узагальненій координаті;
δ q j – збільшення j-ої узагальненої координати.
Маючи на увазі, що всі δ q j (j = 1, 2,..., s) між собою незалежні,
рівність (1.23) буде справедливо лише у разі, коли кожен із коефіцієнтів при δ q j окремо дорівнюватиме нулю, тобто.

Q j + Qіj = 0 (j = 1, 2,..., s)
або

(j = 1, 2, ..., s).

Виразимо Q uj через кінетичну енергію системи.
За визначенням узагальненої сили, маємо

Q іj = ∑ Φ k
k =1

∂ rk
d vk ∂ r k
= − ∑ mk
⋅
1
=
k
∂q j
dt ∂q j
n

(j = 1, 2,K, s),

D vk
де Φ k = − mk a k = − mk
- Сила інерції до -ої точки системи.
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q j
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ − vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q j
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1, q2, ..., qs),
_

D rk ∂ rk
∂ rk
∂ rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs ,
dt
∂q1
∂q2
∂q s
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂q j
⎝

_
_
⎞
∂
d
r
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q j
⎠

Підставляючи значення (1.27) та (1.28) у рівність (1.26), знаходимо
_
⎛_
∂ vk ∂ r k d ⎜
∂ vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂ vk2
∂
v
d
k
⎜
⎟ − vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝

⎞
2
⎟ − ∂ vk.
⎟⎟ 2∂q j
⎠

З урахуванням рівності (1.29) вираз (1.25) перепишемо у вигляді

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
і
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k =1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
n

∂
−
∂q j

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k =1
j
⎝
n

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂q j
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k =1
⎠
n

11
Тут враховано, що сума похідних дорівнює похідній від суми,
n m v2
а ∑ k k = T – кінетична енергія системи.
k =1
2
Маючи на увазі рівність (1.24), остаточно знаходимо

⎛
d ⎜ ∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝ j

⎞
⎟ − ∂Τ = Q
j
⎟⎟ ∂q j
⎠

(j = 1, 2, K, s).

Рівняння (1.30) називаються рівняннями Лагранжа другого роду.
Число цих рівнянь дорівнює числу ступенів свободи.
Якщо сили, що діють на точки системи, мають потенціал, то
для узагальнених сил справедлива формула

∂П
∂q j

(j = 1, 2,K, s),

Де П – потенційна енергія системи.
Таким чином, для консервативної системи рівняння Лагранжа

Книга знайомить читача з загальними властивостямиколивальних процесів, що відбуваються в радіотехнічних, оптичних та інших системах, а також з різними якісними та кількісними методами їх вивчення. Значну увагу приділено розгляду параметричних, автоколивальних та інших нелінійних коливальних систем.
Вивчення описаних у книзі коливальних систем та процесів у них наведено відомими методами теорії коливань без докладного викладу та обґрунтування самих методів. Головна увага приділена з'ясуванню важливих особливостей досліджуваних коливальних моделей реальних систем з використанням найбільш адекватних методів аналізу.

Вільні коливання у контурі з нелінійною індуктивністю.
Розглянемо тепер інший приклад електричної нелінійної консервативної системи, саме - контур з індуктивністю, що залежить від струму, що протікає по ньому. Цей випадок немає наочного і простого нерелятивістського механічного аналога, оскільки залежність самоіндукції від струму еквівалентна механіки випадку залежності маси від швидкості.

З електричними системами подібного типу ми зустрічаємося тоді, коли в індуктивностях використовуються осердя з феромагнітного матеріалу. У таких випадках для кожного даного сердечника можна отримати залежність між намагнічуючим нулем та потоком магнітної індукції. Крива, що зображує цю залежність, називається кривою намагнічення. Якщо знехтувати явищем гістерези, то зразковий її хід можна представити графіком, зображеним на рис. 1.13. Так як величина поля Н пропорційна струму, що тече в котушці, то по осі абсцис можна прямо у відповідному масштабі відкладати струм.

Безкоштовно завантажити електронну книгуу зручному форматі, дивитися та читати:
Завантажити книгу Основи теорії коливань, Мігулін В.В., Медведєв В.І., Мустель Є.Р., Паригін В.М., 1978 - fileskachat.com, швидке та безкоштовне скачування.

• Початки теоретичної фізики, Механіка, теорія поля, елементи квантової механіки, Медведєв Б.В., 2007
• Курс фізики, Єршов А.П., Федотович Г.В., Харитонов В.Г., Прууел Е.Р., Медведєв Д.А.
• Технічна термодинаміка з основами теплопередачі та гідравліки, Лашутіна Н.Г., Макашова О.В., Медведєв Р.М., 1988

Ми вже розглянули зародження класичної механіки, опору матеріалів та теорії пружності. Найважливішою складовою механіки є також теорія коливань. Коливання є основною причиною руйнування машин та споруд. Вже до кінця 1950-х років. 80% аварій техніки відбувалося внаслідок підвищених вібрацій. Коливання також шкідливо впливають на людей, пов'язаних з експлуатацією техніки. Вони можуть бути причиною відмови систем управління.

Незважаючи на це теорія коливань виділилася в самостійну науку тільки на рубежі XIX століття. Проте розрахунки машин та механізмів аж до початку XX століття проводилися у статичній постановці. Розвиток машинобудування, зростання потужності та швидкості парових машин при одночасному зниженні їх ваги, поява нових видів двигунів – ДВЗ та парових турбін призвело до необхідності проведення розрахунків міцності з урахуванням динамічних навантажень. Як правило, нові завдання теорії коливань виникали у техніці під впливом аварій або навіть катастроф, що походять від підвищених вібрацій.

Коливаннями називається рух або зміна стану, що має той чи інший ступінь повторюваності.

Теорію коливань можна розділити на чотири періоди.

Iперіод- Зародження теорії коливань у рамках теоретичної механіки (кінець XVI століття - кінець XVIII століття). Цей період характеризується зародженням та розвитком динаміки у працях Галілея, Гюйгенса, Ньютона, д”Аламбера, Ейлера, Д. Бернуллі та Лагранжа.

Основоположником теорії коливань став Леонард Ейлер. У 1737 р. Л. Ейлер за дорученням Санкт-Петербурзької Академії наук почав дослідження про рівновагу і рух корабля і в 1749 його книга «Корабельна наука» була видана в Петербурзі. Саме в цьому творі Ейлера закладено основи теорії статичної стійкості та теорії коливань.

Жан Лерон д"Аламбер у своїх численних працях розглянув окремі завдання, такі як малі коливання тіла навколо центру мас і навколо осі обертання у зв'язку з завданням про прецесію і нутацію Землі, коливання маятника, плаваючого тіла, пружини і т.д. Але загальної теоріїколивань д"Аламбер не створив.

Найважливішим застосуванням методів теорії коливань було експериментальне визначення жорсткості дроту кручення, проведене Шарлем Кулоном. Досвідченим шляхом Кулон встановив також властивість ізохронності малих коливань у цій задачі. Досліджуючи згасання коливань, цей великий експериментатор дійшов висновку у тому, що його причиною не опір повітря, а втрати від внутрішнього тертя у матеріалі дроту.

Великий внесок в основи теорії коливань внесли Л. Ейлер, який заклав основи теорії статичної стійкості та теорії малих коливань, д"Аламбер, Д. Бернуллі і Лагранж. У їх роботах сформувалися поняття періоду і частоти коливань, форми коливань, узвичаївся термін малі коливання , було сформульовано принцип суперпозиції рішень, зроблено спроби розкладання рішення в тригонометричний ряд.

Першими завданнями теорії коливань були завдання коливань маятника та струни. Про коливання маятника ми вже говорили – практичним результатом вирішення цього завдання став винахід Гюйгенсом годинника.

Щодо завдання про коливання струни – то це одне з найважливіших завдань в історії розвитку математики та механіки. Розглянемо її докладніше.

Струна акустикице ідеальна рівна, тонка і гнучка нитка кінцевої довжини із твердого матеріалу, натягнута між двома нерухомими точками. В сучасному трактуваннізавдання про поперечні коливання струни довжини lзводиться до знаходження рішення диференціального рівняння (1) у приватних похідних. Тут x– координата точки струни вздовж довжини, а y– її поперечне усунення; H- Натяг струни, - Її погонна маса. aце швидкість поширення хвилі. Аналогічне рівняння також визначає і поздовжні коливання стовпа повітря у трубі.

У цьому має бути заданий початковий розподіл відхилень точок струни від прямої лінії та його швидкостей, тобто. рівняння (1) має відповідати початковим умовам (2) та граничним умовам (3).

Перші фундаментальні експериментальні дослідження коливань струни провели голландський математик і механік Ісаак Бекман (1614–1618) та М. Мерсенн, який встановив низку закономірностей та опублікував свої результати у 1636 р. у «Книзі про співзвучності»:

Закономірності Мерсенна були 1715 р. теоретично підтверджені учнем Ньютона Бруком Тейлором. Він розглядає струну як систему матеріальних точок і приймає такі припущення: всі точки струни одночасно проходять свої положення рівноваги (збігаються з віссю) x) та сила, що діє на кожну точку, пропорційна її зсуву yщодо осі x. Це означає, що він зводить завдання до системи з рівнем свободи – рівняння (4). Тейлор правильно отримав першу власну частоту (основний тон) – (5).

Д "Аламбер в 1747 р. для цього завдання застосував метод зведення задачі динаміки до завдання статики (принцип д"Аламбера) і отримав диференціальне рівняння коливань однорідної струни в приватних похідних (1) - перше рівняння математичної фізики. Вирішення цього рівняння він шукав у вигляді суми двох довільних функцій (6)

де і - періодичні функції періоду 2 l. У разі з'ясування питання про вид функцій і д"Аламбер враховує граничні умови (1.2), припускаючи, що при
струна збігається з віссю x. Значення ж
у постановці завдання не вказується.

Ейлер розглядає окремий випадок, коли при
струна відхилена від положення рівноваги та відпущена без початкової швидкості. Істотним і те, що Ейлер не накладає жодних обмежень на початкову форму струни, тобто. не вимагає, щоб вона могла бути задана аналітично, розглядаючи будь-яку криву, яка може бути накреслена від руки. Остаточний результат, отриманий автором: якщо при
форма струни описується рівнянням
, то коливання виглядають так (7). Ейлер переглянув свої погляди на поняття функції, на відміну від колишнього уявлення про неї лише як аналітичний вираз. Тим самим було розширено клас функцій, що підлягають вивченню в аналізі, а Ейлер дійшов висновку у тому, що «оскільки будь-яка функція задаватиме певну лінію, то справедливе і зворотне – криві лінії можна зводити до функцій».

Рішення, отримані д"Аламбером і Ейлером, представляють закон коливань струни у вигляді двох хвиль, що біжать назустріч один одному. При цьому вони не зійшлися в питанні про вид функції, що задає лінію вигину.

Д. Бернуллі у вивченні коливань струни пішов іншим шляхом, розбиваючи струну на матеріальні точки, кількість яких вважала нескінченною. Він запроваджує поняття простого гармонійного коливання системи, тобто. такого її руху, коли всі точки системи коливаються синхронно з однаковою частотою, але різними амплітудами. Досвіди, зроблені з тіло, що звучать, навели Д. Бернуллі на думку про те, що найзагальніший рух струни полягає в одночасному скоєнні всіх доступних їй рухів. Це так звана суперпозиція рішень. Таким чином, в 1753 р., виходячи з фізичних міркувань, він отримав загальне рішення для коливань струни, представивши його у вигляді суми приватних рішень, при кожному з яких струна згинається як характерної кривої (8).

У цьому ряду перша форма коливань є половиною синусоїди, друга – ціла синусоїда, третя складається з трьох напівсинусоїд і т.д. Їх амплітуди представляються як функцій часу і, сутнісно, ​​є узагальненими координатами аналізованої системи. Відповідно до рішення Д. Бернуллі рух струни є нескінченним рядом гармонійних коливань з періодами.
. При цьому кількість вузлів (нерухомих точок) на менше номера власної частоти. Обмежуючи ряд (8) кінцевим числом доданків, ми континуальної системи отримаємо кінцеве число рівнянь.

Однак у рішенні Д. Бернуллі міститься неточність – у ньому не враховується, що зрушення фази кожної гармоніки коливань свій.

Д. Бернуллі, представивши рішення у вигляді тригонометричного ряду, використав принцип суперпозиції та розкладання рішення по повній системі функцій. Він справедливо вважав, що за допомогою різних доданків формули (8) можна пояснити гармонійні тони, які струна видає одночасно зі своїм основним тоном. Він розглядав це як загальний закон, справедливий для будь-якої системи тіл, що здійснює малі коливання. Проте фізичне мотивування неспроможна замінити математичного докази, яке тоді представлено був. Через це колеги не зрозуміли рішення Д. Бернуллі, хоча ще 1737 р. К. А. Клеро використав розкладання функцій у ряд.

Наявність двох різних способіврозв'язання задачі про коливання струни викликало серед провідних учених XVIII ст. бурхливу полеміку – «суперечка про струну». Ця суперечка головним чином стосувалася питань про те, який вид мають допустимі розв'язки задачі, про аналітичне представлення функції і чи можна уявити довільну функцію у вигляді тригонометричного ряду. У «суперечці про струну» одержало розвиток одне з самих важливих понятьаналізу - поняття функції.

Д"Аламбер і Ейлер були не згодні з тим, що рішення, запропоноване Д. Бернуллі, може бути спільним. Зокрема, Ейлер ніяк не міг погодитися з тим, що цей ряд може представляти будь-яку "вільно накреслену криву", як він сам тепер визначав поняття функції.

Жозеф Луї Лагранж, вступивши в полеміку, розбив струну на малі дуги однакової довжини з масою, зосередженою у центрі, і досліджував розв'язання системи звичайних диференціальних рівнянь із кінцевим числом ступенів свободи. Переходячи потім до межі, Лагранж отримав результат, аналогічний результату Д. Бернуллі, не постулюючи, однак, наперед те, що загальне рішення має бути нескінченною сумою приватних рішень. При цьому він уточнює рішення Д. Бернуллі, наводячи його у вигляді (9), а також виводить формули визначення коефіцієнтів цього ряду. Хоча рішення засновника аналітичної механіки відповідає всім вимогам математичної суворості, воно було помітним кроком вперед.

Що ж до розкладання рішення на тригонометричний ряд, то Лагранж вважав, що з довільних початкових умовах ряд розходиться. Через 40 років, в 1807 р. Ж. Фур'є знову знайшов розкладання функції в тригонометричний ряд втретє і показав, як можна цим користуватися для вирішення поставленого завдання, підтвердивши цим правильність рішення Д. Бернуллі. Повний аналітичний доказ теореми Фур'є про розкладання однозначної періодичної функції в тригонометричний ряд було наведено в інтегральному обчисленні Тодгентера та в «Трактаті з натуральної філософії» Томсона (лорд Кельвін) та Тет.

Дослідження вільних коливань натягнутої струни тривали два століття, якщо рахувати від робіт Бекмана. Це завдання стало потужним стимулом для розвитку математики. Розглядаючи коливання континуальних систем, Ейлер, д"Аламбер і Д. Бернуллі створили нову дисципліну - математичну фізику. Математизація фізики, тобто виклад її за допомогою нового аналізу - найбільша заслуга Ейлера, завдяки якій були прокладені нові шляхи в науці. Логічним розвиткомрезультатів Ейлера і Фур'є стало відоме визначення функції Лобачевським і Лежен Диріхле, засноване на ідеї взаємно однозначної відповідності двох множин. Діріхле також довів можливість розкладання в ряд Фур'є шматково-безперервної та монотонної функцій. Було також отримано одновимірне хвильове рівняння та встановлено рівноправність двох його рішень, що математично підтвердило зв'язок між коливаннями та хвилями. Те, що струна, що коливається, породжує звук, наштовхнуло вчених на думку про ідентичність процесу поширення звуку і процесу коливання струни. Було також виявлено найважливіша роль граничних та початкових умов у подібних завданнях. Для розвитку механіки важливим результатом стало застосування принципу д"Аламбер для запису диференціальних рівнянь руху, а для теорії коливань це завдання також відіграло дуже важливу роль, а саме, був застосований принцип суперпозиції і розкладання рішення за власними формами коливань, сформульовані основні поняття теорії коливань - власна частота та форма коливань.

Отримані для вільних коливань струни результати послужили основою створення теорії коливань континуальних систем. Подальше ж вивчення коливань неоднорідних струн, мембран, стрижнів вимагало знаходження спеціальних методів на вирішення найпростіших рівнянь гіперболічного типу другого і четвертого порядків.

Завдання про вільні коливання натягнутої струни зацікавило вчених, зрозуміло, не своїм практичним додатком, закони цих коливань були тією чи іншою мірою відомі майстрам, які виготовляють музичні інструменти. Про це свідчать неперевершені струнні інструменти таких майстрів як Аматі, Страдіварі, Гварнері та інших, чиї шедеври були створені ще в XVII столітті. Інтереси найбільших учених, які займалися цим завданням, швидше за все, полягали у прагненні підвести математичну основу під існуючі закони коливань струни. У цьому питанні виявився традиційний шлях будь-якої науки, що починається зі створення теорії, яка вже пояснює відомі факти, щоб потім знаходити та досліджувати непізнані явища.

IIперіод – аналітичний(Кінець XVIII століття - кінець XIX століття). Найважливіший крок у розвитку механіки вдалося зробити Лагранжу, який створив нову науку – аналітичну механіку. Початок другого періоду розвитку теорії коливань пов'язані з роботами Лагранжа. У книзі «Аналітична механіка», виданої Парижі в 1788 р., Лагранж підбив підсумок усьому, що було зроблено в механіці у XVIII столітті, і сформулював новий підхід до вирішення її проблем. У вченні про рівновагу він відмовився від геометричних методів статики та запропонував принцип можливих переміщень (принцип Лагранжа). У динаміці Лагранж, застосувавши одночасно принцип д"Аламбера і принцип можливих переміщень, отримав загальне варіаційне рівняння динаміки, яке також називається принципом д"Аламбера - Лагранжа. Нарешті, він узвичаїв поняття узагальнених координат і отримав рівняння руху у найбільш зручній формі – рівняння Лагранжа II роду.

Ці рівняння стали основою для створення теорії малих коливань, що описуються лінійними диференціальними рівняннямиіз постійними коефіцієнтами. Лінійність рідко притаманна механічній системі, а здебільшого є результатом її спрощення. Розглядаючи малі коливання поблизу положення рівноваги, що здійснюються з малими швидкостями, можна у рівняннях руху відкинути члени другого та вищих порядків щодо узагальнених координат та швидкостей.

Застосовуючи рівняння Лагранжа ІІ роду для консервативних систем

ми отримаємо систему sлінійних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами

, (11)

де Iі C– відповідно матриці інерції та жорсткості, компонентами яких будуть інерційні та пружні коефіцієнти.

Приватне рішення (11) шукається у вигляді

і описує моногармонійний коливальний режим із частотою kоднаковою для всіх узагальнених координат. Диференціюючи (12) двічі по tта підставляючи результат у рівняння (11), отримаємо систему лінійних однорідних рівнянь для знаходження амплітуд у матричній формі

. (13)

Оскільки при коливаннях системи всі амплітуди не можуть дорівнювати нулю, нулю дорівнює визначник

. (14)

Рівняння частот (14) отримало назву вікового рівняння, оскільки вперше його розглянули Лагранж і Лаплас теоретично вікових обурень елементів планетних орбіт. Воно є рівнянням s-й ступеня щодо , Число його коренів дорівнює числу ступенів свободи системи. Ці коріння прийнято розташовувати порядку зростання, у своїй вони утворюють спектрсобственных частот. Кожному кореню відповідає приватне рішення виду (12), сукупність sамплітуд є формою коливань, а загальне рішення – суму цих рішень.

Лагранж надав твердженню Д. Бернуллі у тому, що загальне коливальний рух системи дискретних точок полягає у одночасному скоєнні її гармонійних коливань, вид математичної теореми, скориставшись теорією інтегрування диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами, створеної Ейлером в 40-ті роки XVIII в. і досягненнями д"Аламбера, який показав, як інтегруються системи таких рівнянь. При цьому треба було довести, що корені вікового рівняння речові, позитивні і не рівні між собою.

Таким чином, у «Аналітичній механіці» Лагранж отримав рівняння частот у загальному вигляді. Разом про те він повторює помилку, допущену д"Аламбером в 1761 р., у тому, що кратні коріння вікового рівняння відповідають нестійкому рішенню, оскільки нібито у вирішенні з'являються вікові чи секулярні члени, містять tне під знаком синуса чи косинуса. У зв'язку з цим і д"Аламбер, і Лагранж вважали, що рівняння частот не може мати кратного коріння (парадокс д"Аламбера - Лагранжа). Досить було Лагранжу розглянути хоча б сферичний маятник чи коливання стрижня, переріз якого є, наприклад, круглим чи квадратним, щоб переконатися, що кратні частоти у консервативних механічних системах можливі. Помилка, допущена в першому виданні «Аналітичної механіки» повторилася і в другому виданні (1812), що вийшло ще за життя Лагранжа, і в третьому (1853). Науковий авторитет д "Аламбера і Лагранжа був такий високий, що цю помилку повторили і Лаплас, і Пуассон, а виправили її тільки майже через 100 років незалежно один від одного в 1858 р. К. Вейєрштрасс і в 1859 р. - Осип Іванович Сомов , який зробив великий внесок у розвиток теорії коливань дискретних систем.

Отже, визначення частот і форм вільних коливань лінійної системи без опору необхідно вирішити вікове рівняння (13). Проте рівняння ступеня вище за п'яту аналітичного рішення не мають.

Проблемою було не тільки вирішення вікового рівняння, а й, більшою мірою, складання його, так як розгорнутий визначник (13) має
доданків, наприклад, для системи з 20 ступенями свободи кількість доданків 2,4·10 18 , а час розкриття такого визначника для найпотужнішої ЕОМ 1970-х рр., що виконує 1 млн. операцій на секунду, становить приблизно 1,5 млн. років , А для сучасного комп'ютера «всього» кілька сотень років.

Завдання визначення частот і форм вільних коливань можна також розглядати як завдання лінійної алгебри та вирішувати чисельно. Переписавши рівність (13) у вигляді

, (14)

зауважимо, що матриця-стовпець є власним вектор матриці

, (15)

а її власним значенням.

Вирішення проблеми власних значень та векторів є одним із найпривабливіших завдань чисельного аналізу. У цьому на вирішення всіх завдань, які зустрічаються практично, не можна запропонувати єдиного алгоритму. Вибір алгоритму залежить від виду матриці, а також від того, чи потрібно визначати всі власні значення або найменші (найбільші) або близькі до даного числа. У 1846 р. Карл Густав Якоб Якóбі для вирішення повної проблеми власних значень запропонував ітераційний метод обертань. Метод заснований на такій нескінченній послідовності елементарних обертань, яка в межах перетворює матрицю (15) на діагональну. Діагональні елементи отриманої матриці будуть шуканими власними значеннями. При цьому для визначення власних значень потрібно
арифметичних операцій, а для власних векторів ще
операцій. У зв'язку з цим метод у XIX ст. не знайшов застосування і був забутий більш ніж сто років.

Наступним важливим кроком у розвитку теорії коливань були роботи Релея, особливо його фундаментальна праця «Теорія звуку». У цій книзі Релей з одного погляду розглядає коливальні явища в механіці, акустиці та електричних системах. Релею належить ряд фундаментальних теорем лінійної теорії коливань (теореми про стаціонарність та властивості власних частот). Релей сформулював і принцип взаємності. За аналогією з кінетичною та потенційною енергією він ввів диссипативну функцію, отримала ім'я Релея і є половиною швидкості розсіювання енергії.

У «Теорії звуку» Релей також пропонує наближений метод визначення першої власної частоти консервативної системи

, (16)

де
. При цьому для обчислення максимальних значень потенційної та кінетичної енергії береться деяка форма коливань. Якщо вона збігатиметься з першою формою коливань системи, ми отримаємо точне значення першої власної частоти, а в іншому випадку це значення завжди завищено. Метод дає цілком прийнятну для практики точність, якщо першою формою коливань взяти статичну деформацію системи.

Таким чином, ще в XIX столітті у працях Сомова та Релея сформувалася методика побудови диференціальних рівнянь, що описують малі коливальні рухи дискретних механічних систем за допомогою рівнянь Лагранжа ІІ роду

де на узагальнену силу
повинні бути включені всі силові фактори, за винятком пружних та дисипативних, охоплених функціями R та П.

Рівняння Лагранжа (17) у матричній формі, що описують вимушені коливання механічної системи, після підстановки всіх функцій виглядають так

. (18)

Тут - матриця демпфування, а
- Вектори-стовпці відповідно узагальнених координат, швидкостей і прискорень. Загальне рішенняданого рівняння складається з вільних і супроводжуючих коливань, які завжди є загасаючими і вимушеними коливаннями, що відбуваються з частотою сили, що обурює. Обмежимося розглядом лише приватного рішення, що відповідає вимушеним коливанням. Як порушення Релей розглядав узагальнені сили, що змінюються за гармонійним законом. Багато хто відносив цей вибір до простоти даного випадку, проте Релей наводить більш переконливе пояснення - розкладання в ряд Фур'є.

Таким чином, для механічної системи, що має понад два ступені свободи, рішення системи рівнянь представляє певні труднощі, які лавиноподібно зростають при зростанні порядку системи. Вже за п'яти – шести ступенів свободи завдання про вимушені коливання класичним способом вручну вирішено бути не може.

Теоретично коливань механічних систем малі (лінійні) коливання дискретних систем зіграли особливу роль. Розроблена для лінійних систем спектральна теорія вимагає навіть побудови диференціальних рівнянь, а отримання рішення можна відразу записати системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Хоча в середині XIX століття і були розроблені методи визначення власних векторів і власних значень (Якобі), а також рішення системи лінійних рівнянь алгебри (Гаусс), про практичне їх застосування навіть для систем з невеликим числом ступенів свободи не могло бути й мови. Тому до появи досить потужних ЕОМ було розроблено безліч різних способів вирішення задачі про вільні та вимушені коливання лінійних механічних систем. Багато видатних вчених – математики та механіки займалися цими завданнями, мова про них піде нижче. Поява потужної обчислювальної техніки дозволило у частки секунди вирішувати лінійні завдання великий розмірності, а й автоматизувати сам процес складання систем рівнянь.

Отже, протягом XVIII в. в теорії малих коливань систем з кінцевим числом ступенів свободи та коливань континуальних пружних систем були вироблені основні фізичні схеми та роз'яснені принципи, суттєві для математичного аналізупроблем. Проте задля створення теорії механічних коливань як самостійної науки бракувало єдиного підходи до вирішення завдань динаміки, а швидшого її розвитку був запитів техніки.

Зростання великої промисловості наприкінці XVIII - початку XIX століття, викликане повсюдним використанням парової машини зумовило виділення прикладної механіки в окрему дисципліну. Але до кінця XIX століття розрахунки на міцність велися у статичній постановці, оскільки машини були ще малопотужними та тихохідними.

До кінця XIX століття, зі зростанням швидкостей та зменшенням габаритів машин нехтувати коливаннями стало неможливо. Численні аварії, що походили від настання резонансу або втомного руйнування при коливаннях, змусили інженерів звернути увагу на коливальні процеси. З проблем, що виникли в цей період, слід зазначити наступні: обвалення мостів від поїздів, що проходять, крутильні коливання валопроводів і вібрації суднових корпусів, що збуджуються силами інерції рухомих частин неврівноважених машин.

IIIперіод– становлення та розвиток прикладної теорії коливань (1900–1960-ті рр.). Машинобудування, що розвивається, вдосконалення локомотивів і кораблів, поява парових і газових турбін, швидкохідних ДВС, автомобілів, літаків і т.д. вимагали більш точного аналізу напруги в деталях машин. Це було продиктовано вимогами економного використання металу. Полегшення конструкцій породило проблеми вібрацій, які дедалі частіше стають вирішальними у питаннях міцності машин. На початку XX століття численні аварії переконливо показують, яких катастрофічних наслідків може призвести нехтування вібраціями чи незнання їх.

Поява нової техніки, зазвичай, ставить нові завдання перед теорією коливань. Так у 30-40-ті рр. виникли нові завдання, такі як зривний флаттер та шиммі в авіації, згинальні та згинально-крутильні коливання обертових валів та ін., що вимагало розробки нових методів розрахунків коливань. Наприкінці 20-х років спочатку у фізиці, а потім і в механіці починається дослідження нелінійних коливань. У зв'язку з розвитком систем автоматичного управління та іншими запитами техніки, починаючи з 30-х рр., набула широкого розвитку та застосування теорія стійкості руху, основою якої стала докторська дисертація А. М. Ляпунова «Загальне завдання про стійкість руху».

Відсутність аналітичного вирішення завдань теорії коливань навіть у лінійній постановці, з одного боку, а обчислювальної техніки – з іншого, призвело до розробки великої кількості різноманітних чисельних методів їх вирішення.

Необхідність проведення розрахунків коливань для різних видів техніки призвела до появи в 1930-і роки перших навчальних курсівтеорії коливань.

Перехід до IVперіоду(початок 1960-х років – нині) пов'язаний з епохою НТР та характеризується появою нової техніки, насамперед авіаційної та космічної, робототехнічних систем. Крім того, розвиток енергомашинобудування, транспорту та ін. висунув проблеми динамічної міцності та надійності на перше місце. Це пояснюється зростанням експлуатаційних швидкостей та зниженням матеріаломісткості з одночасним прагненням до підвищення ресурсу машин. Теоретично коливань дедалі більше завдань вирішується у нелінійній постановці. В області коливань континуальних систем під впливом запитів авіаційної та космічної техніки виникають завдання динаміки пластин та оболонок.

Найбільший вплив на розвиток теорії коливань у цьому періоді надає поява та стрімкий розвиток електронної обчислювальної техніки, що зумовило розвиток чисельних методів розрахунків коливань.

Коливальним рухомназивається будь-який рух або зміна стану, що характеризується тим чи іншим ступенем повторюваності у часі значень фізичних величин, що визначають цей рух чи стан. Коливання властиві всім явищам природи: пульсує випромінювання зірок; з високим ступенем періодичності обертаються планети Сонячної системи; вітри збуджують коливання та хвилі на поверхні води; всередині будь-якого живого організму безперервно відбуваються різноманітні процеси, що ритмічно повторюються, наприклад, з дивовижною надійністю б'ється людське серце.

У фізиці виділяються коливання механічніі електромагнітні.За допомогою механічних коливань щільності і тиску повітря, що поширюються, сприймаються нами як звук, а також дуже швидких коливань електричних і магнітних полів, що сприймаються нами як світло, ми отримуємо велику кількість прямої інформації про навколишній світ. Прикладами коливального руху на механіці може бути коливання маятників, струн, мостів тощо.

Коливання називаються періодичнимиякщо значення фізичних величин, що змінюються в процесі коливань, повторюються через рівні проміжки часу. Найпростішим типом періодичних коливань є гармонійні коливання. Гармонічними називаються коливання, при яких зміна величини, що коливається, з часом відбувається за законом синуса (або косинуса):

де x - Зміщення від положення рівноваги;

А – амплітуда коливання – максимальне усунення положення рівноваги;

- циклічна частота;

- Початкова фаза коливання;

- фаза коливання; вона визначає зміщення будь-якої миті часу, тобто. визначає стан коливальної системи.

У разі строго гармонійних коливань величини А, і не залежать від часу.

Циклічна частота пов'язана з періодом Т коливань та частотою співвідношенням:

(2)

Періодом Тколивань називається найменший проміжок часу, після якого повторюються значення всіх фізичних величин, що характеризують коливання.

Частотою коливань називається число повних коливань, що здійснюються за одиницю часу, що вимірюється в герцах (1 Гц = 1
).

Циклічна частота чисельно дорівнює кількості коливань, що здійснюються за 2 секунд.

Коливання, що виникає в системі, що не схильна до дії змінних зовнішніх сил, в результаті якого-небудь початкового відхилення цієї системи від стану стійкої рівноваги, називаються вільними(або власними).

Якщо система консервативна, то при коливаннях немає розсіювання енергії. У цьому випадку вільні коливання називаються незагасаючими.

Швидкість коливання точки визначимо як похідну від зміщення за часом:

(3)

Прискорення коливальної точки і похідної від швидкості за часом:

(4)

Рівняння (4) показує, що прискорення при гармонійних коливаннях – змінне, отже коливання зумовлено дією змінної сили.

Другий закон Ньютона дозволяє у загальному вигляді записати зв'язок між силою F та прискоренням при прямолінійних гармонічних коливаннях матеріальної точкиз масою
:

де
, (6)

до – коефіцієнт пружності.

Таким чином, сила, що викликає гармонійні коливання, пропорційна зсуву і спрямована проти усунення. У зв'язку з цим можна дати динамічне визначення гармонійного коливання: гармонічним називається коливання, що викликається силою, прямо пропорційною зсуву х і спрямованої проти зміщення.

Повертає силою може бути, наприклад, сила пружності. Сили, що мають іншу природу, ніж пружні сили, але також задовольняють умові (5), називаються квазіпружними.

У разі прямолінійних коливань вздовж осі х прискорення одно:

.

Підставивши цей вираз для прискорення та значення сили
у другий закон Ньютона, отримаємо основне рівняння прямолінійних гармонійних коливань:

або
(7)

Рішенням цього рівняння є рівняння (1).

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ ім. Х. М.БЕРБЕКОВА

ОСНОВИ ТЕОРІЇ КОЛИВАНЬ

ОСНОВИ ТЕОРІЇ, ЗАВДАННЯ ДЛЯ ДОМАШНІХ ЗАВДАНЬ,

ПРИКЛАДИ РІШЕНЬ

Для студентів механічних спеціальностей вузів

Нальчик 2003

Рецензенти:

– доктор фізико-математичних наук, професор, директор НДІ прикладної математики та автоматизації РАН, засл. діяч науки РФ, академік Аман.

Доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри прикладної математики Кабардино-Балкарської державної сільськогосподарської академії.

Культербаєв теорії коливань. Основи теорії, завдання домашніх завдань, приклади рішень.

Навчальний посібник для студентів вищих технічних навчальних закладів, які навчаються за напрямами підготовки дипломованих спеціалістів 657800 Конструкторсько-технологічне забезпечення машинобудівних виробництв, 655800 Харчова інженерія. -Нальчик: Видавництво КБГУ ім. , 20с.

У книзі викладено основи теорії коливань лінійних механічних систем, а також наведено завдання для домашніх завдань із прикладами їх вирішення. Зміст теорії та завдання орієнтовані на студентів механічних спеціальностей.

Розглядаються як дискретні, і розподілені системи. Кількість несхожих варіантів для домашніх завдань дозволяє використовувати їх для великого потоку учнів.

Видання може бути корисним також для викладачів, аспірантів та фахівців різних галузей науки і техніки, які виявляють інтерес до додатків теорії коливань.

© Кабардино-Балкарський державний університетім.

Передмова

Книга написана на основі курсу, читаного авторомна інженерно-технічному факультеті Кабардино-Балкарського держуніверситету студентам механічних спеціальностей.

Механізми та конструкції сучасної технікичасто працюють при складних динамічних режимах навантаження, тому постійний інтерес до теорії коливань підтримується запитами практики. Теорія коливань та її застосування мають велику бібліографію, що включає чималу кількість підручників та навчальних посібників. Частина їх наведено у списку літератури наприкінці цього навчального посібника. Майже вся існуюча навчальна література призначена для читачів, які вивчають цей курс у великому обсязі та спеціалізуються у напрямах інженерної діяльності, так чи інакше, суттєво пов'язані з динамікою конструкцій. Тим часом у даний час всі інженери механічних спеціальностей відчувають потребу в оволодінні теорією коливань на досить серйозному рівні. Спроба задовольнити такі вимоги призводить до введення в освітні програми багатьох вузів невеликих за обсягом спеціальних курсів. Даний навчальний посібник покликаний задовольнити саме таким запитам, і містить основи теорії, завдання для домашніх завдань та приклади їх вирішення. Цим обґрунтовано обмежений обсяг підручника, вибір його змісту та назву: «Основи теорії коливань». Справді, у підручнику викладаються лише основні питання та методи дисципліни. Зацікавлений читач може скористатися відомими науковими монографіями та навчальними посібниками, наведеними в кінці даного видання, поглибленого вивченнятеорії та її численних додатків.

Книга розрахована на читача, який має підготовку в обсязі звичайних курсів ВТУ. вищої математики, теоретичної механіки та опору матеріалів.

У вивченні такого курсу істотний обсяг займає виконання домашніх завдань у вигляді курсових, контрольних, розрахунково-проектувальних, розрахунково-графічних та інших робіт, що вимагають досить багато часу. Існуючі задачники та посібники щодо вирішення завдань не призначені для зазначених цілей. Крім того, є явна доцільність у поєднанні в одному виданні теорії та домашніх завдань, об'єднаних загальним змістом, тематичною спрямованістю та доповнюючих один одного.

При виконанні та оформленні домашніх завдань студент стикається з безліччю питань, які не викладаються чи недостатньо пояснюються у теоретичній частині дисципліни; у нього виникають труднощі викладу ходу розв'язання задачі, способів аргументування прийнятих рішень, структурування та оформлення записів.

Зазнають труднощів і викладачі, але вже організаційного характеру. Їм доводиться часто переглядати обсяги, зміст і структуру домашніх завдань, складати численні варіанти завдань, забезпечувати своєчасну видачу завдань у масовому порядку, проводити численні консультації, роз'яснення тощо.

Даний посібник призначений, у тому числі, для зменшення та виключення труднощів та складнощів перерахованого характеруза умов масового навчання. Воно містить два завдання, що по своїй тематиці охоплюють найважливіші та базові питання курсу:

1. Коливання систем із одним ступенем свободи.

2. Коливання систем із двома ступенями свободи.

Ці завдання за своїм обсягом та змістом можуть стати розрахунково-проектувальними роботами для студентів очних, очно-заочних форм навчання або контрольними роботами для студентів заочної форминавчання.

Для зручності читачів у книзі використана автономна нумерація формул (рівнянь) та малюнків усередині кожного параграфу за допомогою звичайного десяткового числав дужках. Посилання в поточному параграфі робиться простою вказівкою такого номера. За необхідності посилання формулу попередніх параграфів, вказується номер параграфа і далі через точку – номер самої формули. Так, наприклад, позначення (3.2.4) відповідає формулі (4) у параграфі 3.2 цього розділу. Посилання на формулу попередніх розділів робиться так само, але із зазначенням на першому місці номера глави та точки.

Книжка є спробою задовольнити запити професійної підготовкистудентів певних напрямів. Автор усвідомлює, що вона, мабуть, не буде вільна від недоліків, і тому прийме з вдячністю можливу критику та зауваження читачів для покращення подальших видань.

Книга може виявитися корисною також фахівцям, які цікавляться додатками теорії коливань у різних областяхфізики, техніки, будівництва та інших галузей знань та виробничої діяльності.

ГлаваI

ВСТУП

1.Предмет теорії коливань

Деяка система переміщається в просторі так, що її стан у кожний момент часу t описується деяким набором параметрів: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif" width="31" =">.gif" width="48" height="24"> і зовнішні дії. І далі завдання у тому, щоб передбачити подальшу еволюцію системи у часі: (рис. 1).

Нехай однією з змін системи системи буде , . Можуть бути різні характерні різновиди його зміни у часі: монотонний (рис. 2), немонотонний (рис. 3), суттєво немонотонний (рис. 4).

Процес зміни параметра, який характеризується багаторазовим почерговим зростанням та зменшенням параметра в часі, називається коливальним процесомабо просто коливаннями.Коливання широко поширені в природі, техніці та людській діяльності: ритми головного мозку, коливання маятника, биття серця, коливання зірок, коливання атомів і молекул, коливання сили струму в електричному ланцюзі, коливання температури повітря, коливання цін на продукти харчування, вібрація звуку, вібрація струни музичного інструменту.

Предметом вивчення даного курсу є механічні коливання, Т. е. коливання в механічних системах.

2. Класифікація коливальних систем

Нехай u(х t) – вектор стану системи, f(х t) – вектор впливів на систему з боку довкілля(Рис. 1). Динаміка системи описується операторним рівнянням

L u(х, t) = f(х, t), (1)

де оператор L задається рівняннями коливань та додатковими умовами(Прикордонними, початковими). У такому рівнянні u та f можуть бути і скалярними величинами.

Найбільш проста класифікація коливальних систем може бути зроблена за їх числу ступенів свободи. Число ступенів свободи – це кількість незалежних числових параметрів, що однозначно визначають конфігурацію системи в будь-який момент часу t. За цією ознакою коливальні системи можна відносити до одного з трьох класів:

1)Системи з одним ступенем свободи.

2)Системи з кінцевим числом ступенів свободи. Вони часто називаються також дискретними системами.

3)Системи з нескінченним незліченним числом ступенів свободи (Континуальні, розподілені системи).

На рис. 2 наведено ряд ілюструючих прикладів щодо кожного їх класів. Для кожної схеми в кружечках вказано число ступенів свободи. На останній схемі представлена ​​розподілена система у вигляді пружної балки, що деформується. Для опису конфігурації потрібна функція u(x, t), тобто нескінченна безліч значень u.

Кожному класу коливальних систем відповідає своя математична модель. Наприклад, система з одним ступенем свободи описується звичайним диференціальним рівнянням другого порядку, системи з кінцевим числом ступенів свободи – системою звичайних диференціальних рівнянь, розподілені системи – диференціальними рівняннями у приватних похідних.

Залежно від типу оператора L моделі (1) коливальні системи діляться на лінійні та нелінійні. Система вважається лінійноїякщо відповідний їй оператор є лінійною, тобто задовольняє умові

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif" width="20 height=24" height="24">.jpg" width="569" height="97">
Для лінійних систем справедливо принцип суперпозиції(Принцип незалежності дії сил). Суть його з прикладу (рис..gif" width="36" height="24 src="> полягає в наступному..gif" width="39" height="24 src=">..gif" width=" 88" height="24">.

Стаціонарні та нестаціонарні системи.У стаціонарних системна аналізованому відрізку часу , властивості у часі змінюються. Інакше система називається нестаціонарними.Наступні два малюнки наочно демонструють коливання у таких системах. На рис. 4 показані коливання в стаціонарній системі при режимі, що встановився, на рис. 5 - коливання у нестаціонарній системі.

Процеси в стаціонарних системахописуються диференціальними рівняннями з коефіцієнтами, постійними у часі, у нестаціонарних системах – зі змінними коефіцієнтами.

Автономні та неавтономні системи.В автономних системахзовнішні дії відсутні. Коливальні процеси в них можуть відбуватися лише за рахунок внутрішніх джерел енергії або за рахунок енергії, повідомленої системі в початковий момент часу. У операторному рівнянні (1) тоді права частина залежить від часу, тобто. f(x, t) = f(x). Інші системи є неавтономними.

Консервативні та неконсервативні системи. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg" align="left hspace=12" width="144" height="55"> Вільні вагання. Вільні коливаннявідбуваються за відсутності змінного зовнішнього впливу, без припливу енергії ззовні. Такі коливання можуть відбуватися лише у автономних системах (рис. 1).

Вимушені коливання.Такі коливання мають місце у неавтономних системах, та його джерелами є змінні зовнішні впливи (рис. 2).

Параметричні коливання.Параметри коливальної системи можуть бути змінені в часі, і це може стати джерелом коливань. Такі коливання називаються параметричними.Верхня точка підвісу фізичного маятника, що спричиняє виникнення поперечних параметричних коливань (рис. 5).

Автоколивання(Самозбуджувальні коливання). У таких коливань джерела мають природу, і при цьому самі джерела включені в коливальну систему. На рис. 6 показана маса на пружині, що лежить на стрічці, що рухається. На неї діють дві сили: сила тертя та пружна сила натягу пружини, і вони змінюються у часі. Перша залежить від різниці швидкостей стрічки та маси, друга від величини та знака деформації пружини, тому маса перебуває під впливом рівнодіючої сили, спрямованої то вліво, то вправо та здійснює коливання.

У другому прикладі (рис. 7) лівий кінець пружини переміщується вправо з постійною швидкістю v, внаслідок чого пружина переміщує вантаж нерухомою поверхнею. Утворюється ситуація, подібна до описаної для попереднього випадку, і вантаж починає коливатися.

4. Кінематика періодичних коливальних процесів

Нехай процес характеризується однією скалярною змінною, що є, наприклад, переміщенням. Тоді - швидкість, - прискорення..gif" width="11 height=17"

,

то коливання називаються періодичними(Рис. 1). При цьому найменше з таких чисел називається періодом коливань. Одиницею виміру періоду коливань є, найчастіше, секунда, що позначається або сек. Використовуються ще одиниці виміру в хвилинах, годинах і т. д. Інший, також важливою характеристикою періодичного коливального процесу є частота коливань

визначальна кількість повних циклівколивань за 1 одиницю часу (наприклад, за секунду). Така частота вимірюється або герцах (Гц), так що означає 5 повних циклів коливань за одну секунду. У математичних викладках теорії коливань зручнішою виявляється кутова частота

,

що вимірюється в https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif" width="115 height=24" height="24">.

Найбільш простими з періодичних коливань, але надзвичайно важливими для побудови теоретичної бази теорії коливань є гармонічні (синусоїдальні) коливання, що змінюються за законом

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif" width="17" height="17 src="> - амплітуда, - фаза коливань, - початкова фаза..gif" width=" 196" height="24">,

а потім і прискорення

Замість (1) часто користуються альтернативним записом

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif" width="80" height="21 src=">. Описи (1) і (2) можуть бути представлені і у вигляді

Між константами у формулах (1), (2), (3) існують легко доведені співвідношення

Використання методів та уявлень теорії функцій комплексних змінних багато в чому спрощує опис коливань. Центральне місце у такому разі займає формула Ейлера

.

Тут https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif" width="111" height="28">.

Формули (1) та (2) містяться у (4). Наприклад, синусоїдальні коливання (1) можна представляти як уявну складову (4)

а (2) - у вигляді речовинної складової

Полігармонійні коливання.Сума двох гармонійних коливань із однаковими частотами буде гармонічним коливанням із тією ж частотою

Доданки могли бути і з неоднаковими частотами

Тоді сума (5) буде періодичною функцією з періодом , лише в тому випадку, якщо , , де і – цілі числа, причому нескоротний дріб, раціональне число. Взагалі ж, якщо два і більше гармонійних коливань мають частоти із співвідношеннями у вигляді раціональних дробів, їх суми є періодичними, але з гармонійними коливаннями. Такі коливання називаються полігармонічними.

Якщо періодичні коливання не гармонічні, то все ж таки їх найчастіше вигідно представляти у вигляді суми гармонічних коливань за допомогою ряду Фур'є

Тут - номер гармоніки, характеризує середнє значення відхилень, https://pandia.ru/text /78/502/images/image077_14.gif" width="139 height=24" height="24"> - перша, основна гармоніка, (https://pandia.ru/text/78/502/images/image080_11). gif" width="207" height="24"> утворює частотний спектрколивань.

П р і м е ч а н е. Теоретичним обґрунтуванням можливості представлення функції коливального процесу поруч Фур'є служить теорема Діріхле для періодичної функції:

Якщо функція задана на сегменті і є на ньому шматково-безперервною, шматково-монотонною та обмеженою, то її ряд Фур'є сходиться у всіх точках сегмента. "28" height="23 src="> – сума тригонометричного ряду Фур'є функції f(t), то у всіх точках безперервності цієї функції

а у всіх точках розриву

.

Крім того,

.

Вочевидь, що реальні коливальні процеси задовольняють умовам теореми Дирихле.

У частотному спектрі кожній частоті відповідає амплітуда Аk і початкова фаза width="125", .

Вони утворюють амплітудний спектр https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif" width="35" .

Визначення спектра частот та коефіцієнтів Фур'є називається спектральним аналізом. З теорії рядів Фур'є відомі формули