Dvije u različitim stupnjevima.

Alfa označava pravi broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima označava da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Uzimajući za primjer beskonačan skup prirodni brojevi, onda se razmatrani primjeri mogu prikazati na sljedeći način:

Za vizualni dokaz njihove ispravnosti, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Osobno na sve te metode gledam kao na plesanje šamana uz tamburaše. U suštini, svi se svode na to da ili neke sobe nisu zauzete i da se useljavaju novi gosti, ili da se dio posjetitelja izbacuje u hodnik da se napravi mjesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u obliku fantastične priče o Plavuši. Na čemu se temelji moje razmišljanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno vrijeme. Nakon što napustimo prvu sobu za gosta, jedan od posjetitelja će uvijek hodati hodnikom od svoje sobe do sljedeće do kraja stoljeća. Naravno, može se glupo zanemariti faktor vremena, ali on će već biti iz kategorije „zakon nije pisan za budale“. Sve ovisi o tome što radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.

Što je "beskrajni hotel"? Beskonačan hotel je hotel koji uvijek ima bilo koji broj slobodnih mjesta, bez obzira koliko je brojeva zauzeto. Ako su sve sobe u beskonačnom hodniku za posjetitelje zauzete, postoji još jedan beskonačni hodnik s sobama za goste. Takvih koridora bit će beskrajan broj. Štoviše, "beskonačni hotel" ima beskonačan broj katova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju svemira stvorenih od beskonačnog broja bogova. Matematičari se, međutim, ne mogu distancirati od uobičajenih svakodnevnih problema: Bog-Allah-Buda je uvijek samo jedan, hotel je jedan, hodnik je samo jedan. Ovdje su matematičari i pokušavaju manipulirati serijskim brojevima hotelskih soba, uvjeravajući nas da je moguće "ugurati stvari".

Pokazat ću vam logiku svog razmišljanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo, morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji točan odgovor na ovo pitanje, budući da smo sami izmislili brojeve, u prirodi nema brojeva. Da, priroda je izvrsna u brojanju, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Kako priroda misli, reći ću vam drugi put. Budući da smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva ima. Razmotrite obje opcije, kako i priliči pravom znanstveniku.

Prva opcija. "Neka nam se da" jedan skup prirodnih brojeva, koji mirno leži na polici. Uzimamo ovaj set s police. To je to, na polici nema drugih prirodnih brojeva i nema ih kamo uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu, jer ga već imamo. A ako baš želite? Nema problema. Možemo uzeti jedan iz seta koji smo već uzeli i vratiti na policu. Nakon toga možemo uzeti jedinicu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet dobivamo beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete napisati ovako:

Zapisao sam radnje u algebarskom notnom sustavu i u sustavu zapisivanja usvojenom u teoriji skupova, s detaljnim nabrajanjem elemenata skupa. Indeks označava da imamo jedan i jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako se od njega oduzme i doda ista jedinica.

Opcija dva. Na našoj polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam – DRUGAČIJE, unatoč tome što se praktički ne razlikuju. Uzimamo jedan od ovih setova. Zatim uzmemo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodamo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak dodati dva skupa prirodnih brojeva. Evo što dobivamo:

Podskripti "jedan" i "dva" označavaju da su ti predmeti pripadali različitim skupovima. Da, ako beskonačnom skupu dodate jedan, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao izvorni skup. Ako jednom beskonačnom skupu dodamo još jedan beskonačan skup, rezultat je novi beskonačan skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.

Puno prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao i ravnalo za mjerenja. Sada zamislite da ravnalu dodate jedan centimetar. Ovo će već biti druga linija, ne jednaka izvorniku.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje obrazloženje - to je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite ne slijedite li put lažnog razmišljanja kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, bavljenje matematikom, prije svega, u nama stvara stabilan stereotip razmišljanja, a tek onda nam dodaje mentalne sposobnosti (ili, naprotiv, lišava nas slobodne misli).

Nedjelja, 4. kolovoza 2019

Pisao sam postscript za članak o i vidio ovaj prekrasan tekst na Wikipediji:

Čitamo: „...bogat teorijske osnove matematika Babilona nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza."

Vau! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Je li nam teško gledati modernu matematiku u istom kontekstu? Malo parafrazirajući gornji tekst, osobno sam dobio sljedeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nije holistička i svedena je na skup različitih dijelova lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza.

Neću ići daleko da potvrdim svoje riječi – ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim posvetiti čitav niz publikacija najočitijim greškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.

Subota, 3. kolovoza 2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Za to je potrebno unijeti novu mjernu jedinicu koja je prisutna za neki od elemenata odabranog skupa. Pogledajmo primjer.

Neka nas bude mnogo A koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na temelju "ljudi" Označimo elemente ovog skupa slovom a, indeks s znamenkom će označavati redni broj svake osobe u ovom skupu. Uvedimo novu mjernu jedinicu "spol" i označimo je slovom b... Budući da su spolne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo A po spolu b... Imajte na umu da je sada naše mnoštvo "ljudi" postalo mnoštvo "ljudi sa spolnim karakteristikama". Nakon toga možemo podijeliti spolne karakteristike na muške bm i žene bw spolne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filtar: odabiremo jednu od ovih spolnih karakteristika, nije važno koja je muška ili ženska. Ako ga osoba ima, onda ga množimo s jedan, ako nema takvog znaka, množimo ga s nulom. A onda primjenjujemo uobičajenu školsku matematiku. Vidi što se dogodilo.

Nakon množenja, redukcije i preuređivanja, dobili smo dva podskupa: podskup ljudi Bm i podskup žena Bw... O istom razmišljaju i matematičari kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali oni nas ne posvećuju detaljima, već daju gotov rezultat – „mnogo ljudi sastoji se od podskupine muškaraca i podskupa žena“. Naravno, možete se zapitati koliko je ispravno matematika primijenjena u gornjim transformacijama? Usuđujem se uvjeravati vas, zapravo, transformacije su napravljene ispravno, dovoljno je poznavati matematičku osnovu aritmetike, Booleovu algebru i druge grane matematike. Što je? Neki drugi put ću ti pričati o tome.

Što se tiče superskupova, možete kombinirati dva skupa u jedan superskup odabirom mjerne jedinice koja je prisutna za elemente ova dva skupa.

Kao što možete vidjeti, mjerne jedinice i uobičajena matematika čine teoriju skupova prošlošću. Indikacija da teorija skupova nije u redu jest da su matematičari smislili teoriju skupova vlastiti jezik i vlastite oznake. Matematičari su radili ono što su nekada činili šamani. Samo šamani znaju "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Oni nas uče tom "znanju".

Na kraju, želim vam pokazati kako matematičari manipuliraju s.

Ponedjeljak, 7. siječnja 2019

U petom stoljeću prije Krista, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Ovako to zvuči:

Recimo, Ahilej trči deset puta brže od kornjače i nalazi se tisuću koraka iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je bilo logičan šok za sve sljedeće generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju u današnje vrijeme, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o biti paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; niti jedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje pitanja..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali nitko ne razumije u čemu je obmana.

Sa stajališta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz od veličine do. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne mjerne jedinice vremena na recipročno. S fizičke točke gledišta, izgleda kao dilatacija vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada je Ahilej u ravnini s kornjačom. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.

Preokrenemo li logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči stalnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta deset je puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskrajno brzo sustići kornjaču“.

Kako možete izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u stalnim vremenskim jedinicama i ne vraćajte se unatrag. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Tijekom vremena tijekom kojeg će Ahilej pretrčati tisuću koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup primjereno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o nenadmašnosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem još moramo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva aporija Zeno govori o letećoj strijeli:

Leteća strijela je nepomična, budući da u svakom trenutku miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, uvijek miruje.

U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela počiva na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu točku. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije, snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali je nemoguće odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali ne možete odrediti činjenicu kretanja iz njih (naravno, još uvijek su vam potrebni dodatni podaci za izračune, pomoći će vam trigonometrija) . Ono na što želim posebno skrenuti pozornost je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje se ne smiju miješati, jer pružaju različite mogućnosti istraživanja.

Srijeda, 4. srpnja 2018

To sam vam već rekao, uz pomoć kojih šamani pokušavaju razvrstati "" stvarnost. Kako to oni rade? Kako se zapravo odvija formiranje skupa?

Pogledajmo pomno definiciju skupa: "skup raznih elemenata, zamisliv u cjelini. "Sada osjetite razliku između dvije fraze:" zamisliv u cjelini "i" zamisliv u cjelini. " stvarnost je razbijena na zasebne elemente ("cjelinu") od kojih će se tada formirati mnoštvo ( "jedna cjelina"). Istodobno se pomno prati faktor koji omogućuje ujedinjavanje "cjeline" u "jedinstvenu cjelinu", inače šamani neće uspjeti.znati unaprijed koji nam skup žele pokazati.

Pokazat ću vam proces na primjeru. Odabiremo "crvenu čvrstu boju u bubuljici" - ovo je naša "cjelina". Istodobno vidimo da su te stvari s mašnom, ali lukova nema. Nakon toga odaberemo dio "cjeline" i formiramo set "s mašnom". Ovako se šamani hrane vezujući svoju teoriju skupova za stvarnost.

Sada napravimo mali prljavi trik. Uzmite "čvrsto u bubuljicu s mašnom" i kombinirajte ove "cjeline" po boji, odabirom crvenih elemenata. Dobili smo puno "crvenih". Sada pitanje koje treba ispuniti: rezultirajući setovi "s mašnom" i "crvenim" isti su skup ili su to dva različita skupa? Samo šamani znaju odgovor. Točnije, oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, neka bude.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada je u pitanju stvarnost. u čemu je tajna? Formirali smo set "crvene čvrste u kvrgu s mašnom". Formiranje se odvijalo prema četiri različite mjerne jedinice: boja (crvena), čvrstoća (puna), hrapavost (u bubuljici), ukrasi (s mašnom). Samo skup mjernih jedinica omogućuje primjereno opisivanje stvarnih objekata jezikom matematike... Ovako to izgleda.

Slovo "a" s različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. U zagradama su istaknute mjerne jedinice kojima se u preliminarnoj fazi dodjeljuje "cjelina". Iz zagrada se vadi mjerna jedinica kojom se formira skup. Posljednji redak prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo mjerne jedinice za formiranje skupa, tada rezultat ne ovisi o redoslijedu naših radnji. A ovo je matematika, a ne ples šamana s tamburicama. Šamani mogu "intuitivno" doći do istog rezultata, argumentirajući ga "očiglednošću", jer mjerne jedinice nisu uključene u njihov "znanstveni" arsenal.

Vrlo je jednostavno koristiti jedinice za podjelu jednog ili kombiniranje nekoliko setova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.

Subota, 30. lipnja 2018

Ako matematičari ne mogu svesti koncept na druge pojmove, onda u matematici ništa ne razumiju. Odgovaram: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Odgovor je vrlo jednostavan: brojevi i jedinice.

Danas sve što ne uzimamo pripada nekom skupu (kako nas matematičari uvjeravaju). Usput, jeste li vidjeli na svom čelu u ogledalu popis onih kompleta kojima pripadate? A takav popis nisam vidio. Reći ću više – niti jedna stvar u stvarnosti nema oznaku s popisom skupova kojima ova stvar pripada. Mnoštvo su sve izumi šamana. Kako to oni rade? Pogledajmo malo dublje u povijest i vidimo kako su izgledali elementi skupa prije nego što su ih šamanski matematičari razdvojili u svoje skupove.

Davno, kada nitko nikad nije čuo za matematiku, a samo su drveće i Saturn imali prstenove, ogromna stada divljih skupnih elemenata lutala su fizičkim poljima (na kraju krajeva, šamani još nisu izmislili matematička polja). Izgledali su otprilike ovako.

Da, nemojte se iznenaditi, s gledišta matematike, svi elementi skupova su najsličniji morski ježevi- iz jedne točke, kao igle, strše mjerne jedinice na sve strane. Za one koje podsjećam da se bilo koja mjerna jedinica može geometrijski prikazati kao segment proizvoljne duljine, a broj kao točka. Geometrijski, bilo koja vrijednost može se predstaviti kao hrpa segmenata koji strše u različitim smjerovima iz jedne točke. Ova točka je točka nula. Neću crtati ovo geometrijsko djelo (bez inspiracije), ali možete ga lako zamisliti.

Koje mjerne jedinice čine element skupa? Svatko tko opisuje ovaj element s različitih stajališta. To su drevne mjerne jedinice koje su koristili naši preci i na koje su svi odavno zaboravili. Ovo su moderne mjerne jedinice koje sada koristimo. To su također nepoznate mjerne jedinice koje će naši potomci izmisliti i kojima će opisati stvarnost.

Shvatili smo geometriju - predloženi model elemenata skupa ima jasan geometrijski prikaz. Što je s fizikom? Mjerne jedinice su izravna veza između matematike i fizike. Ako šamani ne prepoznaju mjerne jedinice kao punopravni element matematičkih teorija, to je njihov problem. Ja osobno ne mogu zamisliti pravu matematičku znanost bez mjernih jedinica. Zato sam na samom početku svoje priče o teoriji skupova o njoj govorio kao o kamenom dobu.

No, prijeđimo na ono najzanimljivije - na algebru elemenata skupova. Algebarski, svaki element skupa je proizvod (rezultat množenja) različitih veličina.To izgleda ovako.

Namjerno nisam koristio konvencije teorije skupova, budući da smo gledali element skupa u njegovom prirodnom staništu prije pojave teorije skupova. Svaki par slova u zagradama označava zasebnu vrijednost, koja se sastoji od broja označenog slovom " n"i mjerne jedinice označene slovom" a". Indeksi pored slova pokazuju da su brojevi i mjerne jedinice različite. Jedan element skupa može se sastojati od beskonačnog broja veličina (koliko mi i naši potomci imamo dovoljno mašte). Svaka zagrada je geometrijski prikazana kao zaseban segment.U primjeru s ježinom jedna zagrada je jedna igla.

Kako šamani formiraju skupove od različitih elemenata? Zapravo, po jedinicama ili brojevima. Ne razumijevajući ništa u matematici, uzimaju različite ježinke i pažljivo ih ispituju u potrazi za tom jedinom iglom, duž koje tvore skup. Ako postoji takva igla, onda ovaj element pripada skupu, ako takve igle nema, to je element koji nije iz ovog skupa. Šamani nam pričaju bajke o misaonim procesima i jedinstvenoj cjelini.

Kao što ste možda pretpostavili, isti element može pripadati vrlo različitim skupovima. Dalje ću vam pokazati kako nastaju skupovi, podskupovi i druge šamanske gluposti. Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Takvu logiku apsurda razumna bića nikada neće razumjeti. To je razina pričajućih papiga i dresiranih majmuna, kojima nedostaje inteligencija od riječi "potpuno". Matematičari djeluju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Jednom su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tijekom ispitivanja mosta. Ako se most srušio, nesposobni inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Kad bi most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer bi gradio druge mostove.

Koliko god se matematičari krili iza fraze "čur, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primjenjivo matematička teorija skupova samim matematičarima.

Matematiku smo jako dobro učili i sad sjedimo na blagajni i dajemo plaće. Dolazi nam matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i složimo na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake hrpe i predajemo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Pojasnimo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će logika zastupnika: "možete to primjenjivati ​​na druge, ne možete primijeniti na mene!" Nadalje, počet ćemo nas uvjeravati da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo plaću u kovanicama – na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma u svakom novčiću je jedinstven...

A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost ovdje nije ležala nigdje u blizini.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istim terenom. Površina polja je ista, što znači da imamo multiset. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobivamo puno, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višeskup u isto vrijeme. Kako je to ispravno? I tu matematičar-šaman-šuller vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multisetu. U svakom slučaju, uvjerit će nas da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani djeluju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvog "zamislivog kao niti jedne cjeline" ili "nezamislivog kao cjeline".

Tablica stupnjeva brojeva od 1 do 10. Online kalkulator stupnjeva. Visokokvalitetne slike interaktivnih tablica i tablica ocjena.

Kalkulator stupnja

Broj

Stupanj

\ započeti (poravnati) \ kraj (poravnati)

Pomoću ovog kalkulatora možete online izračunati snagu bilo kojeg prirodnog broja. Unesite broj, stupanj i kliknite gumb "izračunaj".

Tablica ocjena od 1 do 10

Tablica ocjena od 1 do 10

Teorija

Stupanj od Je skraćeni zapis za operaciju višestrukog množenja broja samim sobom. Sam broj u ovom slučaju se zove - osnovni stupanj, a broj operacija množenja je eksponent.

a n = a × a ... × a

zapis se čita: "A" na "n" stepen.

"A" je baza stupnja

"N" - eksponent

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Ovaj izraz se čita: 4 na stepen 6 ili šesti stepen broja četiri ili podići broj četiri na šesti stepen.

Preuzmite tablicu stupnjeva

• Kliknite na sliku za veći prikaz.
• Kliknite na znak "preuzmi" da biste sliku spremili na svoje računalo. Slika će biti sa visoka rezolucija i u dobroj kvaliteti.

Unesite broj i stupanj, a zatim pritisnite =.

Tablica stupnjeva

Svojstva stupnja - 2 dijela

Tablica osnovnih stupnjeva u algebri u kompaktnom obliku (slika, prikladna za ispis), na vrhu broja, sa strane stupnja.

Razmotrimo niz brojeva, od kojih je prvi jednak 1, a svaki sljedeći dvostruko veći: 1, 2, 4, 8, 16, ... Koristeći eksponente, može se zapisati u ekvivalentnom obliku: 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, ... Zove se sasvim očekivano: niz potencija dvojke.Čini se da u njemu nema ničeg izvanrednog - dosljednost kao slijed, ni bolji ni lošiji od drugih. Međutim, ima neka vrlo izvanredna svojstva.

Nedvojbeno su je mnogi čitatelji upoznali u klasičnoj priči o izumitelju šaha, koji je od vladara kao nagradu za prvo polje šahovnice tražio jedno zrno pšenice, za drugo dva, za treće četiri i tako dalje, cijelo vrijeme udvostručujući broj zrna. Jasno je da je njihov ukupan broj

S= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

No budući da je ta količina nevjerojatno velika i višestruko premašuje godišnju žetvu žitarica diljem svijeta, pokazalo se da je kadulja otrgnula ravnalo kao ljepljivu.

Međutim, postavimo si sada još jedno pitanje: kako izračunati vrijednost S? Vlasnici kalkulatora (ili, štoviše, računala) mogli bi u dogledno vrijeme izvršiti množenje, a zatim dodati dobivena 64 broja, dobivši odgovor: 18 446 744 073 709 551 615. A budući da je količina izračuna znatna, vjerojatnost greške je vrlo velika.

Tko je lukaviji vidi se u ovom nizu geometrijska progresija... Oni koji nisu upoznati s ovim konceptom (ili oni koji su jednostavno zaboravili standardnu ​​formulu za zbroj geometrijske progresije) mogu koristiti sljedeće razmišljanje. Pomnožimo obje strane jednakosti (1) s 2. Budući da udvostručenje stupnja dvojke povećava njegov eksponent za 1, dobivamo

2S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Sada oduzimamo (1) od (2). Na lijevoj strani, naravno, dobivate 2 S – S = S... S desne strane doći će do masovnog međusobnog poništavanja gotovo svih potencija dvojke - od 2 1 do 2 63 uključujući i ostat će samo 2 64 - 2 0 = 2 64 - 1. Dakle:

S = 2 64 – 1.

Pa, izraz je postao osjetno jednostavniji, a sada, s kalkulatorom koji vam omogućuje dizanje na stepen, možete pronaći vrijednost ove vrijednosti bez i najmanjeg problema.

A ako nema kalkulatora - što učiniti? Stupac množi 64 dvojke? Što je još nedostajalo! Iskusni inženjer ili primijenjeni matematičar, kojemu je glavni faktor vrijeme, mogao bi brzo procjena odgovor, tj. pronađite ga približno s prihvatljivom točnošću. U pravilu, u svakodnevnom životu (i u većini prirodne znanosti) pogreška od 2-3% je sasvim prihvatljiva, a ako ne prelazi 1%, onda je ovo jednostavno super! Pokazalo se da je moguće izračunati naša zrna s takvom greškom uopće bez kalkulatora, i to u samo nekoliko minuta. Kako? Sad ćeš vidjeti.

Dakle, moramo što točnije pronaći umnožak 64 dvojke (jedinicu ćemo odmah odbaciti zbog njezine beznačajnosti). Podijelimo ih u zasebnu skupinu od 4 dvojke i još 6 grupa po 10 dvojki. Umnožak dvojki u zasebnoj skupini jednak je 2 4 = 16. A umnožak 10 dvojki u svakoj od ostalih skupina jednak je 2 10 = 1024 (provjeri tko sumnja!). Ali 1024 je oko 1000, t.j. 10 3. Zato S treba biti blizu umnoška 16 sa 6 brojeva, od kojih je svaki jednak 10 3, t.j. S ≈ 16 10 18 (za 18 = 3 6). Istina, pogreška je ovdje još uvijek prevelika: uostalom, 6 puta, kada smo zamijenili 1024 s 1000, pogriješili smo za faktor 1,024, a ukupno smo pogriješili, kao što je lako vidjeti, za faktor 1,024 6 puta. Dakle, pomnožite 1,024 šest puta samo po sebi dodatno? Ne, mi ćemo to učiniti! Poznato je da za broj NS, što je višestruko manje od 1, sljedeća približna formula vrijedi s velikom točnošću: (1 + x) n ≈ 1 + xn.

Stoga je 1,024 6 = (1 + 0,24) 6 ≈ 1 + 0,24 6 = 1,144. Stoga je potrebno broj 16 · 10 18 koji smo pronašli pomnožiti s brojem 1.144, što rezultira 18 304 000 000 000 000 000, a to se od točnog odgovora razlikuje za manje od 1%. Što smo htjeli!

U ovom slučaju, imali smo veliku sreću: jedna od potencija dvojke (naime, deseta) pokazala se vrlo blizu jednoj od potencija desetice (naime, treća). To nam omogućuje da brzo procijenimo vrijednost bilo kojeg stepena dvojke, ne nužno 64. Među moćima drugih brojeva, ovo je rijetko. Na primjer, 5 10 se razlikuje od 10 7 također za faktor 1,024, ali ... u manjem smjeru. Međutim, ovo je isto polje kao bobica: budući da je 2 10 5 10 = 10 10, koliko je puta 2 10 nadmašuje 10 3, isti broj puta 5 10 manji od 107.

Još jedna zanimljiva značajka niza koji se razmatra je da se iz bilo kojeg prirodnog broja može konstruirati razne moći dvojke, na jedinstven način. Na primjer, imamo broj tekuće godine

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Dokazati ovu mogućnost i jedinstvenost ne znači poseban rad... Počnimo s mogućnosti. Pretpostavimo da u obliku zbroja različitih potencija dva trebamo predstaviti neki prirodni broj N... Prvo ga zapisujemo kao zbroj N jedinice. Budući da je jedan 2 0, onda u početku N postoji iznos isto moći dvojke. Zatim ih počnimo upariti. Zbroj dvaju brojeva jednakih 2 0 je 2 1, pa je rezultat očito manje broj članova jednak 2 1, i, eventualno, jedan broj 2 0, ako nije našao par. Zatim, kombiniramo iste članove 2 1 u parove, dobivajući još manji broj brojeva 2 2 (i ovdje je moguća pojava nesparenog stepena dva 2 1). Zatim ponovno kombiniramo jednake pojmove u parovima, i tako dalje. Prije ili kasnije, proces će završiti, jer se broj jednakih potencija dva nakon svake unije smanjuje. Kada postane jednako 1, gotovo je. Ostaje zbrojiti sve rezultirajuće nesparene moći dvojke - i prezentacija je spremna.

Što se tiče dokaza jedinstvenost reprezentacija, metoda "po suprotnosti" ovdje je dobro prikladna. Neka isti broj N uspio predstaviti u obliku dva skupovi različitih potencija dvojke koji se ne podudaraju u potpunosti (to jest, postoje potencije dvojke koji su uključeni u jedan skup, ali nisu uključeni u drugi, i obrnuto). Prvo, odbacite sve podudarne potencije dvojke iz oba skupa (ako ih ima). Dobivate dva prikaza istog broja (manje ili jednako N) kao zbroj raznih potencija dvojke, i svi stupnjevi u reprezentacijama različit... U svakom od prikaza odaberite najveća stupanj. Na temelju gore navedenog, za dva prikaza ovi stupnjevi različit... Nazvat će se zastupljenost za koju je ovaj stupanj veći prvi, drugi - drugi... Dakle, neka je u prvom prikazu najveći stupanj 2 m, onda u drugom očito ne prelazi 2 m-1 . Ali budući da (a to smo već susreli gore, računajući zrna na šahovskoj ploči), jednakost je istinita

2m = (2m –1 + 2m –2 + ... + 2 0) + 1,

zatim 2 m strogo više zbroj svih potencija dvojke ne prelazi 2 m-1 . Zbog toga je već najveći stepen dvojke uključen u prvi prikaz vjerojatno veći od zbroja od svega ovlasti dvojke uključene u drugi prikaz. Kontradikcija!

Zapravo, upravo smo opravdali mogućnost upisivanja brojeva binarni brojevni sustav. Kao što znate, koristi samo dvije znamenke - nulu i jedan, a svaki prirodni broj je zapisan u binarnom sustavu na jedinstven način (na primjer, gore spomenuta 2012. - kao 11 111 011 100). Ako znamenke (binarne znamenke) numeriramo s desna na lijevo, počevši od nule, tada će brojevi onih znamenki u kojima one stoje biti samo eksponenti dvojki uključenih u prikaz.

Manje je poznato sljedeće svojstvo skupa nenegativnih cijelih potencija dvojke. Neka od njih proizvoljno dodijelimo znak minus, odnosno učinimo pozitivne negativnim. Jedini uvjet je da, kao rezultat, i pozitivna i negativni brojevi pokazalo se beskonačna količina. Na primjer, svakom petom stepenu dvojke možete dodijeliti znak minus ili, recimo, ostaviti pozitivne samo brojeve 2 10, 2 100, 2 1000 i tako dalje - opcija ima koliko god želite.

Začudo, ali bilo koji cijeli broj se može (i, štoviše, na jedini način) predstaviti kao zbroj raznih članova u našem "pozitivno-negativnom" nizu. I nije teško to dokazati (na primjer, indukcijom na eksponente dvojki). glavna ideja dokaz - prisutnost proizvoljno velikih u apsolutnoj vrijednosti i pozitivnih i negativnih izraza. Pokušajte sami dovršiti dokaz.

Zanimljivo je promatrati posljednje znamenke članova niza potencija dvojke. Budući da se svaki sljedeći broj u nizu dobiva udvostručenjem prethodnog, posljednja znamenka svakog od njih u potpunosti je određena posljednjom znamenkom prethodnog broja. A budući da postoji ograničen broj različitih znamenki, slijed zadnjih znamenki stepena dvojke je jednostavno je dužan budi periodičan! Duljina razdoblja, naravno, ne prelazi 10 (jer je to koliko brojeva koristimo), ali to je jako precijenjena vrijednost. Pokušajmo to procijeniti bez ispisivanja samog slijeda. Jasno je da posljednje znamenke svih potencija dvojke, počevši od 2 1, čak... Osim toga, među njima ne može biti nula - jer je broj koji završava na nulu djeljiv s 5, u kojem se ne može sumnjati u potencije dvojke. A budući da postoje samo četiri parne znamenke bez nule, tada duljina razdoblja ne prelazi 4.

Provjera pokazuje da je tako, a periodičnost se pojavljuje gotovo odmah: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - u potpunosti u skladu s teorijom!

Ništa manje uspješno se može procijeniti duljina razdoblja zadnjeg para znamenki slijeda potencija dvojke. Budući da su svi potenci dvojke, počevši od 2 2, djeljivi s 4, onda su brojevi formirani od njihove zadnje dvije znamenke djeljivi s 4. Ne postoji više od dvoznamenkastih brojeva djeljivih s 4, postoji samo 25 (za jednoznamenkasti brojevi smatramo nulu kao pretposljednju znamenku), ali od njih je potrebno odbaciti pet brojeva koji završavaju nulom: 00, 20, 40, 60 i 80. Dakle, razdoblje ne može sadržavati više od 25 - 5 = 20 brojeva. Provjera pokazuje da je to tako, razdoblje počinje brojem 2 2 i sadrži parove brojeva: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, pa opet 04, i tako dalje.

Slično se može dokazati da je duljina razdoblja potonjeg m znamenke slijeda potencija dvojke ne prelaze 4 5 m-1 (štoviše - zapravo, ona jednako je 4 5 m-1, ali to je puno teže dokazati).

Dakle, na posljednje brojke potencija dvojke nameću se prilično stroga ograničenja. a kako bi bilo prvi brojevi? Ovdje je situacija praktički suprotna. Ispada da za bilo koji skupa brojeva (od kojih prvi nije nula) postoji stepen dvojke počevši od ovog skupa brojeva. I takve moći dvojke beskrajno mnogo! Na primjer, postoji beskonačan broj potencija dvojke počevši od 2012. ili, recimo, 3 333 333 333 333 333 333 333.

A ako uzmemo u obzir samo jednu prvu znamenku različitih potencija dvojke - koje vrijednosti može poprimiti? Lako je osigurati da su bilo koji od 1 do 9 (naravno, među njima nema nule). Ali koji su češći, a koji rjeđi? Nekako se ne mogu odmah vidjeti razlozi zašto bi se jedan broj trebao pojavljivati ​​češće od drugog. Međutim, dublja razmišljanja pokazuju da ne treba očekivati ​​potpuno isto pojavljivanje brojeva. Doista, ako je prva znamenka bilo kojeg stepena dvojke 5, 6, 7, 8 ili 9, tada će prva znamenka sljedećeg stepena dvojke biti obavezna jedinica! Dakle, mora postojati “pristranost”, barem prema jedinstvu. Slijedom toga, malo je vjerojatno da će ostale brojke biti "jednako zastupljene".

Praksa (naime, izravan računalni izračun za prvih nekoliko desetaka tisuća potencija dvojke) potvrđuje naše sumnje. Ovdje je relativni udio prvih znamenki potencija dva zaokružen na 4 decimale:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Kao što možete vidjeti, s rastom brojeva, ova vrijednost se smanjuje (i stoga je za istu jedinicu oko 6,5 puta veća vjerojatnost da će biti prva znamenka potencija dva nego devet). Možda se čini čudnim, ali praktički isti omjer brojeva prvih znamenki će se dogoditi za gotovo bilo koji slijed stupnjeva - ne samo dva, već, recimo, tri, pet, osam i općenito gotovo bilo koji brojevi, uključujući one koji nisu cijeli (iznimka su samo neki "posebni" brojevi). Razlozi za to su vrlo duboki i složeni, a da biste ih razumjeli, morate poznavati logaritme. Za one koji su upoznati s njima, otvorimo zavjesu: ispada da je relativni udio potencija dvojke, čiji decimalni zapis počinje znamenkom F(za F= 1, 2, ..., 9) je lg ( F+ 1) - lg ( F), gdje je lg tzv decimalni logaritam, jednak eksponentu na koji se broj 10 mora podići da bi se dobio broj pod znakom logaritma.

Koristeći gore spomenutu vezu između potencija dva i pet, A. Kanel je otkrio zanimljiv fenomen. Odaberimo nekoliko znamenki iz niza prvih znamenki potencija dvojke (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) ugovor i upiši ih obrnuti redoslijed... Ispada da će se ti brojevi zasigurno susresti također u nizu, počevši od nekog mjesta, u slijedu prvih znamenki potencija petice.

Moći dvojke također su svojevrsni "generator" za proizvodnju dobro poznatih savršeni brojevi, koji su jednaki zbroju svih njihovih djelitelja, osim samog sebe. Na primjer, broj 6 ima četiri djelitelja: 1, 2, 3 i 6. Odbacite onaj koji je jednak broju 6. Postoje tri djelitelja, čiji je zbroj upravo jednak 1 + 2 + 3 = 6. Stoga je 6 savršen broj.

Da biste dobili savršen broj, uzmite dvije uzastopne potencije od dva: 2 n–1 i 2 n... Smanjujući najveći od njih za 1, dobivamo 2 n- 1. Ispada da ako je ovo prost broj, onda, množeći ga s prethodnim stupnjem dva, formiramo savršeni broj 2 n –1 (2n- 1). Na primjer, za NS= 3 dobivamo početne brojeve 4 i 8. Kako je 8 - 1 = 7 prost broj, onda je 4 · 7 = 28 savršen broj. Štoviše - svojedobno je to sve dokazao Leonard Euler čak savršeni brojevi izgledaju upravo ovako. Neparni savršeni brojevi još nisu otkriveni (i malo ljudi vjeruje u njihovo postojanje).

Moć dva ima blizak odnos s tzv prema katalonskim brojevima, čiji slijed ima oblik 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429 ... Često nastaju pri rješavanju raznih kombinatornih zadataka. Na primjer, na koliko načina može konveksna n-gon u trokute s nepovezanim dijagonalama? Svejedno je Euler otkrio da je ta vrijednost jednaka ( n- 1) katalonski broj (označavamo ga K n-1), a to je i saznao K n = K n-četrnaest n – 6)/n... Niz katalonskih brojeva ima mnoga zanimljiva svojstva, a jedno od njih (samo u vezi s temom ovog članka) je da su redni brojevi svih neparnih katalonskih brojeva potenci dvojke!

Moći dvojke često se nalaze u raznim problemima, i to ne samo u uvjetima, već i u odgovorima. Uzmimo, na primjer, nekad popularnu (i dalje nezaboravnu) Toranj u Hanoju... To je bio naziv slagalice koju je u 19. stoljeću izumio francuski matematičar E. Lucas. Sadrži tri šipke, od kojih je jedna opremljena n diskovi s rupom u sredini svakog. Promjeri svih diskova su različiti, a poredani su silaznim redoslijedom odozdo prema gore, odnosno najveći disk je na dnu (vidi sliku). Ispalo je kao toranj od diskova.

Potrebno je prenijeti ovaj toranj na drugu šipku, poštujući sljedeća pravila: diskove pomicati strogo jedan po jedan (skidajući gornji disk sa bilo koje šipke) i uvijek stavljajte samo manji disk na veći, ali ne i obrnuto. Pitanje je: koji je najmanji broj poteza potreban za to? (Pod potezom podrazumijevamo vađenje diska s jedne šipke i stavljanje na drugu.) Odgovor: jednak je 2 n- 1, što se lako može dokazati indukcijom.

Neka za n diskova, potreban minimalni broj poteza je X n... Pronaći x n+1. U procesu rada, prije ili kasnije, morat ćete ukloniti najveći disk sa šipke, na koji su svi diskovi izvorno stavljeni. Budući da se ovaj disk može staviti samo na praznu šipku (inače će "pritisnuti" manji disk, što je zabranjeno), onda svi gornji n diskovi se prvo moraju prenijeti na treću šipku. To će zahtijevati barem X n potezima. Zatim najveći disk prenosimo na prazan štap - evo još jednog poteza. Na kraju, kako bi ga odozgo "stisnuli" manjim n diskove, opet će vam trebati barem X n potezima. Tako, X n +1 ≥ X n + 1 + X n = 2X n+ 1. S druge strane, gore opisane radnje pokazuju kako se točno možete nositi sa zadatkom 2 X n+ 1 u potezima. Stoga konačno X n +1 =2X n+ 1. Dobivena je rekurentna relacija, ali da bi se ona dovela u "normalan" oblik, potrebno je pronaći i x 1 . Pa, lako je kao ljuštiti kruške: x 1 = 1 (jednostavno ne može biti manje!). Nije teško, na temelju ovih podataka, to otkriti X n = 2n– 1.

Evo još jednog zanimljivog izazova:

Pronađite sve prirodne brojeve koji se ne mogu predstaviti kao zbroj nekoliko (najmanje dva) uzastopna prirodna broja.

Najprije provjerimo najmanje brojeve. Jasno je da broj 1 u naznačenom obliku nije reprezentativan. Ali svi neparni koji su veći od 1 mogu se, naravno, zamisliti. Doista, svaki neparni broj veći od 1 može se zapisati kao 2 k + 1 (k- prirodni), koji je zbroj dva uzastopna prirodna broja: 2 k + 1 = k + (k + 1).

Što je s parnim brojevima? Lako je vidjeti da se brojevi 2 i 4 ne mogu prikazati u traženom obliku. Možda je to slučaj sa svim parnim brojevima? Jao, sljedeći paran broj pobija našu pretpostavku: 6 = 1 + 2 + 3. Ali broj 8 opet prkosi. Istina, sljedeći brojevi opet popuštaju pred jurišom: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, ali 16 je opet nezamislivo.

Pa, akumulirane informacije nam omogućuju da izvučemo preliminarne zaključke. Napomena: nije moguće prikazati u navedenom obliku moći samo dvojke... Je li to istina za ostale brojke? Ispostavilo se, da! Doista, razmotrite zbroj svih prirodnih brojeva iz m prije n uključivo. Budući da su svi, prema uvjetu, barem dva, onda n > m... Kao što znate, zbroj uzastopnih članova aritmetička progresija(a mi se time bavimo!) jednak je umnošku poluzbroja prvog i posljednjeg člana po njihovom broju. Poluzbroj je ( n + m) / 2, a broj brojeva je n – m+ 1. Dakle, zbroj je ( n + m)(n – m+ 1) / 2. Imajte na umu da brojnik sadrži dva faktora, od kojih svaki strogo više 1, a njihov paritet je drugačiji. Ispada da je zbroj svih prirodnih brojeva iz m prije n uključeno je djeljivo s neparnim brojem većim od 1, pa stoga ne može biti potencija dva. Dakle, sada je jasno zašto nije bilo moguće predstaviti stupnjeve dvojke u traženom obliku.

Ostaje se uvjeriti u to ne potencija dvojke možete zamisliti. Što se tiče neparnih brojeva, s njima smo se već pozabavili gore. Uzmi bilo koji paran broj koji nije potencija dva. Neka je najveći stepen dvojke, kojim je djeljiv, 2 a (a- prirodno). Zatim ako se broj podijeli sa 2 a, ispostavit će se već neparan broj veći od 1, koji ćemo napisati u poznatom obliku - kao 2 k+ 1 (k- također prirodno). Dakle, u cjelini, naš paran broj, koji nije stepen dvojke, jednak je 2 a (2k+ 1). Pogledajmo sada dvije opcije:

1. 2 a+1 > 2k+ 1. Uzmi zbroj 2 k+ 1 uzastopni prirodni broj, prosječno od čega je 2 a... Lako je to onda vidjeti najmanje od čega je 2 a - k, a najveći je 2 a + k, a najmanji (a samim tim i svi ostali) su pozitivni, odnosno stvarno prirodni. Pa, a zbroj je, očito, točno 2 a(2k + 1).
2. 2 a+1 < 2k+ 1. Uzmi zbroj 2 a+1 uzastopni prirodni brojevi. Ovdje ne možete odrediti prosječno broj, jer je broj brojeva paran, ali naznačite par srednjih brojevi koje možete: neka budu brojevi k i k+ 1. Zatim najmanje svih brojeva je k+ 1 – 2a(i također pozitivno!), a najveći je k+ 2a... Njihov je zbroj također jednak 2 a(2k + 1).

To je sve. Dakle, odgovor je: nereprezentabilni brojevi su potenci dvojke, i oni su jedini.

I evo još jednog problema (prvi ga je predložio V. Arbitrary, ali u malo drugačijoj formulaciji):

Okućnica je ograđena čvrstom ogradom od N dasaka. Prema nalogu tete Polly, Tom Sawyer bjeli ogradu, ali prema svom vlastitom sustavu: cijelo vrijeme se kreće u smjeru kazaljke na satu, prvo izbijeli proizvoljnu ploču, zatim preskoči jednu dasku i izbijeli drugu, zatim preskoči dvije ploče i izbijeli sljedeću, zatim preskače tri daske i izbijeli sljedeću i tako redom, svaki put preskačući još jednu dasku (dok se neke ploče mogu izbjeliti više puta - Tome to ne smeta).

Tom vjeruje da će s takvom shemom prije ili kasnije sve daske biti zabijeljene, a teta Polly je sigurna da će barem jedna ploča ostati neizbijeljena, koliko god Tom radio. Pod kojim N je Tom u pravu, a pod kojim N je teta Polly u pravu?

Čini se da je opisani sustav izbjeljivanja prilično kaotičan, pa se u početku može činiti da se svakom (ili skoro bilo koji) N svaka će ploča jednog dana dobiti svoj dio vapna, tj. uglavnom, Tom je u pravu. No, prvi dojam vara, jer zapravo, Tom je u pravu samo za značenja. N, što su potencije dvojke. Za druge N postoji ploča koja će zauvijek ostati neizbijeljena. Dokaz ove činjenice prilično je glomazan (iako, u principu, nije težak). Predlažemo čitatelju da to učini sam.

To su oni - moći dvojke. Izgleda jednostavno kao ljuštenje krušaka, ali dok kopate ... I ovdje nismo dotakli sva nevjerojatna i tajanstvena svojstva ovog niza, već samo ona koja su zapela za oko. Pa, čitatelju se daje pravo da samostalno nastavi istraživanja u ovom području. Oni će se nesumnjivo pokazati plodonosnim.

Nulti broj).
I ne samo dvojke, kao što je ranije navedeno!
Oni željni detalja mogu pročitati članak V. Boltyanskyja "Počinju li moći dvojke često s jednim?" ("Quantum" br. 5, 1978.), kao i članak V. Arnolda "Statistika prvih znamenki potencija dvojke i prepodjela svijeta" ("Quant" br. 1, 1998.).
Vidi problem M1599 iz "Knjige problema" Quantum "(" Quantum "br. 6, 1997).
Trenutno su poznata 43 savršena broja, od kojih je najveći 2 30402456 (2 30402457 - 1). Sadrži preko 18 milijuna znamenke.