Міська науково-практична конференція

«Старт в науку»

Знамениті теореми (теорема Піфагора)

Секція «Творча сила

великих відкриттів в математиці »

3.4 Застосування в мобільного зв'язку ............................................................... .26

Висновок ......................................................................................................... 27

Список літератури ............................................................................................. ... 29

Вступ.

Важко знайти людину, у якого ім'я Піфагора асоціювалося б з теоремою Піфагора. Мабуть, навіть ті, хто в своєму житті назавжди розпрощався з математикою, зберігають спогади про «піфагорових штанях». Причина такої популярності теореми Піфагора триєдина: це простота - краса - значимість. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання двох суперечливих начал і надає їй особливу притягальну силу, робить її красивою. Але, крім того, теорема Піфагора має велике значення: вона застосовується в геометрії буквально на кожному кроці, і той факт, що існує близько 500 різних доказів цієї теореми (геометричних, алгебраїчних, механічних і т. Д.), Свідчить про гігантському числі її конкретних реалізацій. Відкриття теореми Піфагором оточене ореолом красивих легенд.

Сьогодні теорема Піфагора виявлена \u200b\u200bу різних приватних завданнях і кресленнях: і в єгипетському трикутнику в папірусі часів фараона Аменемхета першого (бл. 2000 до н. Е.), І у вавилонських клинописних табличках епохи царя Хаммурапі (XVIII ст. До н. Е.) , і в давньоіндійському геометрично-теологічному трактаті VII - V ст. до н. е. «Сульва сутра» ( «Правила мотузки»). У найдавнішому китайському трактаті «Чжоу-бі суань цзинь», час створення якого точно не відомо, стверджується, що в XII в. до н. е. китайці знали властивості єгипетського трикутника, а до VI ст. до н. е. - і загальний вигляд теореми. Незважаючи на все це, ім'я Піфагора настільки міцно сплавилося з теоремою Піфагора, що зараз просто неможливо уявити, що це словосполучення розпадеться. Сьогодні прийнято вважати, що Піфагор дав перший доказ носить його ім'я теореми. На жаль, від цього докази також не збереглося жодних слідів.

За висловом відомого вченого І. Кеплера, «геометрія володіє двома скарбами - теоремою Піфагора і золотим перетином, і якщо перше з них можна порівняти з мірою золота, то друге - з дорогоцінним каменем ...».

Теорема Піфагора - одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її полягає в тому, що з неї або з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії.

Один американський математик, наш сучасник, близько 20 років збирав різні способи доведення теореми Піфагора, і зараз його «колекція» містить близько 300 різних доказів. Це говорить про те, що давня теорема актуальна і цікава людям досі.

У шкільному курсі геометрії за допомогою теореми Піфагора вирішуються тільки математичні задачі. На жаль, питання про практичне застосування теореми Піфагора не розглядається.

В даний час загальне визнання отримало те, що успіх розвитку багатьох галузей науки і техніки залежить від розвитку різних напрямків математики. Важливою умовою підвищення ефективності виробництва є широке впровадження математичних методів в техніку і народне господарство, що передбачає створення нових, ефективних методів якісного і кількісного дослідження, які дозволяють вирішувати завдання, що висуваються практикою.

Об'єкт дослідження: теорема Піфагора.

Предмет дослідження: різні інтерпретації та способи доведення теореми Піфагора, її застосування при вирішенні практичних завдань.

Вивчаючи додаткову літературу з обраної теми, були висунуті гіпотези:

1) існують інші інтерпретації теореми Піфагора;

2) теорема Піфагора застосовується при вирішенні багатьох практичних завдань .

Мета дослідження: уважно вивчивши формулювання теореми Піфагора, проаналізувати докази і використовуючи узагальнення, запропонувати інші інтерпретації теореми Піфагора, а також з'ясувати області застосування теореми Піфагора.

Для досягнення мети були поставлені такі завдання:

1. Провести аналіз історії виникнення теореми Піфагора.

2. Дослідити різні способи докази і розглянути інші інтерпретації теореми Піфагора.

3. Показати практичне застосування теореми Піфагора.

У першому розділі дослідницької роботи розглядаємо історію виникнення теореми Піфагора.

У другому розділі ми розглянемо різні способи доведення теореми Піфагора.

У третьому розділі ми розглянемо різні інтерпретації теореми Піфагора.

Ми розглянемо деякі класичні доведення теореми Піфагора, відомі з давніх трактатів. Зробити це корисно ще й тому, що в сучасних шкільних підручниках дається алгебраїчне доказ теореми. При цьому безслідно зникає первозданна геометрична аура теореми, втрачається та нитка Аріадни, яка вела древніх мудреців до істини, а шлях цей майже завжди опинявся найкоротшим і завжди красивим.

Глава 1. Історія виникнення теореми Піфагора.

1.1. Біографія Піфагора.

Великий вчений Піфагор народився близько 570 р. До н.е. е. на острові Самосі. Батьком Піфагора був Мнесарх, різьбяр по коштовних каменів. А ім'я його матері Піфагора не відомо. За багатьма свідченням Страбона, що народився хлопчик був казково гарний, а незабаром виявив і свої неабиякі здібності. Серед вчителів юного Піфагора традиція називає імена старця Гермодаманта і Ферекида Сіросского (хоча і немає твердої впевненості в тому, що саме Гермодамант і Ферекид були першими вчителями Піфагора). Цілі дні проводив юний Піфагор біля ніг старця Гермодаманта, слухаючи мелодії кіфари і гекзаметром Гомера. Пристрасть до музики і поезії великого Гомера Піфагор зберіг на все життя. І, будучи визнаним мудрецем, оточеним натовпом учнів, Піфагор починав день з співу однієї з пісень Гомера. Ферекид же був філософом і вважався засновником італійської школи філософії. Таким чином, якщо Гермодамант ввів юного Піфагора в коло муз, то Ферекид звернув його розум до логосу. Ферекид направив погляд Піфагора до природи і в ній одній радив бачити свого першого і головного вчителя. Але як би там не було, невгамовному уяві юного Піфагора дуже скоро стало тісно на маленькому Самосі, і він відправляється в Мілет, де зустрічається з іншим вченим - Фалесом. Фалес радить йому відправиться за знаннями в Єгипет, що Піфагор і зробив.

У 548 р. До н.е. е. Піфагор прибув в Навкратис - Самосским колонію, де було, у кого знайти притулок і їжу. Вивчивши мову і релігію єгиптян, він їде в Мемфіс. Незважаючи на рекомендаційний лист фараона, хитромудрі жерці не поспішали розкривати Піфагору свої таємниці, пропонуючи йому складні випробування. Але їх вабить спрагою до знань, Піфагор подолав їх все, хоча за даними розкопок єгипетські жерці багато чому могли його навчити, т. К. В той час єгипетська геометрія була чисто прикладною наукою (удовлетворявшей потреба того часу в рахунку і в вимірі земельних ділянок). Тому, навчившись всьому, що дали йому жерці, він, втікши від них, рушив на батьківщину до Еллади. Однак, виконавши частину шляху, Піфагор вирішується на сухопутну подорож, Під час якого його захопив у полон Камбиз, цар Вавилона, що прямував додому. Не варто драматизувати життя Піфагора в Вавилоні, т. К. Великий володар Кір був терпимий до всього вигнання в неволю. Вавилонська математика була, безперечно, більш розвиненою (прикладом цього може служити позиційна система числення), ніж єгипетська, і Піфагору було чому повчиться. Але в 530 р. До н.е. е. Кір вирушив у похід проти племен в середній Азії. І, користуючись переполохом в місті, Піфагор втік на батьківщину. А на Самосі в той час царював тиран Полікрат. Звичайно ж, Піфагора не влаштовувала життя придворного підлозі раба, і він пішов в печери в околицях Самоса. Після декількох місяців домагань з боку Поликрата, Піфагор переселяється в Кротон. В Кротоні Піфагор заснував щось на кшталт релігійно-етичного братства або таємного чернечого ордену ( «піфагорійці»), члени якого зобов'язувалися вести так званий піфагорійський спосіб життя. Це був одночасно і релігійний союз, і політичний клуб, і наукове товариство. Треба сказати, що деякі з проповідує Піфагором принципів гідні наслідування і зараз.

Минуло 20 років. Слава про братерство рознеслася по всьому світу. Одного разу до Піфагора приходить Килон, людина багата, але злий, бажаючи сп'яну вступити в братство. Отримавши відмову, Килон починає боротьбу з Піфагором, скориставшись підпалом його будинку. При пожежі піфагорійці врятували життя своєму вчителю ціною своєї, після чого Піфагор засумував і невдовзі покінчив життя самогубством.

1.2. Історія виникнення теореми Піфагора.

Зазвичай відкриття теореми Піфагора приписують давньогрецького філософа і математику Піфагору. Але вивчення вавилонських клинописних таблиць і давньокитайських рукописів показало, що це твердження було відомо задовго до Піфагора, можливо, за тисячоліття до нього. Заслуга ж Піфагора полягала в тому, що він відкрив доказ цієї теореми.

Теорему Піфагора називають ще «теоремою нареченої». Справа в тому, що в «Засадах» Евкліда вона ще називається, як «теорема німфи», просто її креслення дуже схожий на бджілку або метелика, а греки їх називали німфами. Але коли араби переводили цю теорему, то подумали, що німфа - це наречена. Ось так і вийшла «теорема нареченої». Крім цього, в Індії, її ще називали «правилом мотузки».

Історичний огляд виникнення теореми почнемо з стародавнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чу-пей. У цьому творі так говориться про пифагоровом трикутнику зі сторонами 3, 4 і 5: «Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли підстава є 3, а висота 4». У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним з креслень індуської геометрії Басхари.

Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 32 + 42 \u003d 52 було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 р. До н.е. е., за часів царя Аменемхета I (згідно папірусу 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або «натягівателі мотузок», будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5. Дуже легко можна відтворити їх спосіб побудови. Візьмемо мотузку довжиною в 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровий смужці на відстані 3м від одного кінця і 4 м від іншого. Прямий кут виявиться укладеним між сторонами довжиною в 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставати зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, застосовуваним усіма теслями. І дійсно, відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад малюнки, що зображають столярну майстерню.

Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, относимом до часу Хаммурабі, т. Е. До 2000 р до н. е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна зробити висновок, що в Дворіччя вміли робити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайней мере, в деяких випадках.

Геометрія у індусів, як і у єгиптян і вавилонян, була тісно пов'язана з культом. Досить імовірно, що теорема про квадраті гіпотенузи була відома в Стародавній Індії вже близько 18 в. до н. е.

У першому російською перекладі евклідових «Почав», зробленому, теорема Піфагора викладена так: «У прямокутних трикутниках квадрат з боку, протилежній прямого кута, дорівнює сумі квадратів зі сторін, що містять прямий кут ».

В даний час відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінне доказ, а інші відмовляють йому і в цій заслузі. Деякі приписують Піфагору доказ, яке Евклід приводить в першій книзі своїх «Почав». З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ в «Засадах» належить самому Евклиду. Як ми бачимо, історія математики майже не зберегла достовірних даних про життя Піфагора і його математичної діяльності. Зате легенда повідомляє навіть найближчі обставини, що супроводжували відкриття теореми. Розповідають, що в честь цього відкриття Піфагор приніс в жертву 100 биків.

Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетській і вавилонській математиці, а з іншого - на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив наступний висновок:

«Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обгрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти, засновані на неясних уявленнях, перетворилися в точну науку ».

Глава 2. Різні способи доведення теореми Піфагора.

2.1. Формулювання і особливості теореми Піфагора.

Теорема Піфагора - одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.

Спочатку теорема встановлювала співвідношення між площами квадратів, побудованих на гіпотенузі і катетах прямокутного трикутника: «У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів».

Алгебраїчна формулювання: «У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів».

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a і b, отримуємо: a2 + b2 \u003d c2.

Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друга формулювання більш елементарна, вона не вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу і вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.

Варто зазначити, що формулювання теореми дана в шкільному підручнику спочатку звучала зовсім не так. Наведемо переклади формулювань теореми Піфагора з різних джерел:

1. У Евкліда ця теорема свідчить: «В прямокутному трикутнику квадрат боку, натягнутою над прямим кутом, дорівнює квадрату на сторонах, що містять прямий кут».

2. Латинський переклад арабського тексту Аннаіріці (близько 900 м н. Е.), Зроблений Герхардом кремонських (початок 12 ст.), Говорить: «У всякому прямокутному трикутнику квадрат, утворений на стороні, натягнутою над прямим кутом, дорівнює сумі двох квадратів , утворених на двох сторонах, що містять прямий кут ».

3. У Geometria Gulmonensis (близько 1400 г.) теорема читається так: «Отже, площа квадрата, виміряного по довгій стороні, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні по двох сторонах його, що прилягає до прямого кута».

4. У першому російською перекладі евклідових «Почав», зробленому з грецького ( «Евклідових почав вісім книг, які містять в собі підставу геометрії», Санкт-Петербург, 1819), теорема Піфагора викладена так: «У прямокутних трикутниках квадрат з боку, протилежній прямому кутку, дорівнює сумі квадратів зі сторін, що містять прямий кут ».

Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, яка встановлює співвідношення між сторонами довільного трикутника, а також відома теорема Піфагора не тільки на площині, а й у просторі: «Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів ».

Також вірно зворотне твердження (зване теоремою зворотної теоремі Піфагора): «Для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, такий що a² + b² \u003d c², існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c ».

Однак, відомо, що вона застосовувалася для вирішення різних завдань задовго до Піфагора стародавніми єгиптянами, вавилонянами, китайцями, індусами і іншими древніми народами.

У другому розділі ми розглянули різні способи доведення теореми Піфагора. Пифагором спочатку був доведений лише окремий випадок теореми: їм розглядався рівнобедрений прямокутний трикутник. Креслення, який використовують для доведення цього випадку, жартома називають «піфагорові штани» і додають: в усі сторони рівні.

Знайомлячись з різними способами доведення теореми Піфагора, ми помітили, що одні з них засновані на властивості равносоставленності фігур, інші - на додаток до рівних фігур, а треті - на властивості рівновеликих фігур (які мають рівні площі). У цій роботі ми розглянули лише кілька способів докази знаменитої теореми, проте їх існує набагато більше.

Вивчивши історію відкриття теореми Піфагора, з'ясувалося, що Піфагор відкрив не саму теорему, а її доказ. Дослідивши різні методи доведення теореми Піфагора, виявилося, що таких доказів величезна кількість і розділити їх можна на наступні:

§ доказ методом добудованих

§ доказ методом розкладання

§ алгебраїчний метод докази

§ векторне доказ

§ доказ за допомогою подібності та ін ..

У третьому розділі ми розглянули кілька елементарних прикладів практичних завдань, в яких при вирішенні застосовується теорема Піфагора.

З'ясувавши практичну значимість теореми Піфагора, виявилося, що теорема має велике застосування в повсякденному житті в різних сферах людської діяльності: астрономії, будівництві, мобільного зв'язку, архітектурі.

Отже, в результаті проведеного дослідження ми знайшли інші інтерпретації теореми Піфагора і з'ясували деякі області застосування теореми. Нами зібрано і оброблено багато матеріалу з літературних джерел та Інтернету по даній темі. Ми вивчили деякі історичні відомості про Піфагора і його теоремі, розглянули ряд історичних завдань на застосування теореми Піфагора. В результаті вирішення поставлених завдань ми прийшли до висновку, що висунуті нами гіпотези знайшли підтвердження. Так, дійсно, за допомогою теореми Піфагора можна вирішувати не тільки математичні задачі. Теорема Піфагора знайшла своє застосування в будівництві та архітектурі, мобільного зв'язку.

Результатом нашої роботи є:

§ придбання навички роботи з літературними джерелами;

§ придбання навички пошуку потрібного матеріалу в інтернеті;

§ ми навчилися працювати з великим об'ємом інформації, відбирати потрібну інформацію.

Список літератури.

1. Алексєєв. Підготовка до ЄДІ: навчально-методичний посібник, М., 2011 року.

2. Болтянский і равносоставленниє фігури. М., 1956.

3. Ван-дер-Варден наука. Математика стародавнього Єгипту, Вавилона і Греції. М., 1959.

4. Ще раз про теорему Піфагора // Навчально-методична газета «Математика, № 4, 2005.

5., Яценко довідник школяра. М., 2008.

6. Теорема Піфагора. М., 1960.

7. Кілька способів доведення теореми Піфагора // Навчально-методична газета Математика, № 24, 2010 року.

8. Вивчаємо геометрію, М., 2007..

9. Ткачова математика. М., 1994.

10. Про теорему Піфагора і способах її докази Г. Глейзер, академік РАО, Москва

11. Теорема Піфагора та піфагорові трійки глава з книги Д. В. Аносова «Погляд на математику і щось з неї»

12. Сайт про теорему Піфагора з великим числом доказів, матеріал взято з книги В. Літцмана.

13. http: // encyklopedia. ***** / bios / nauka / pifagor / pifagor. html

14. http: // moypifagor. ***** / use. htm

15. http: // moypifagor. ***** / literature. htm

На думку Ван-дер-Вардена, дуже ймовірно, що співвідношення в загалом вигляді було відомо в Вавилоні вже близько XVIII століття до н. е.

Приблизно в 400 році до н. е., згідно Проклу, Платон дав метод знаходження піфагорових трійок, що поєднує алгебру і геометрію. Близько в 300 року до н. е. в «Засадах» Евкліда з'явилося найстаріше аксіоматичне доведення теореми Піфагора.

формулювання

Основна формулювання містить алгебраїчні дії - в прямокутному трикутнику, довжини катетів якого рівні a (\\ displaystyle a) і b (\\ displaystyle b), А довжина гіпотенузи - c (\\ displaystyle c), Виконано співвідношення:

.

Можлива і еквівалентна геометрична формулювання, яка вдається до поняття площі фігури: в прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. У такому вигляді теорема сформульована в Засадах Евкліда.

Зворотній теорема Піфагора - твердження про прямоугольности всякого трикутника, довжини сторін якого пов'язані співвідношенням a 2 + b 2 \u003d c 2 (\\ displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) \u003d c ^ (2)). Як наслідок, для будь-якої трійки позитивних чисел a (\\ displaystyle a), b (\\ displaystyle b) і c (\\ displaystyle c), Такий, що a 2 + b 2 \u003d c 2 (\\ displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) \u003d c ^ (2)), Існує прямокутний трикутник з катетами a (\\ displaystyle a) і b (\\ displaystyle b) і гіпотенузою c (\\ displaystyle c).

докази

В науковій літературі зафіксовано не менше 400 доказів теореми Піфагора, що пояснюється як фундаментальне значення для геометрії, так і елементарністю результату. Основні напрямки доказів: алгебраїчне використання співвідношень елементів трикутника (такий, наприклад, популярний метод подібності), метод площ, існують також різні екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Класичне доказ Евкліда направлено на встановлення рівності площ між прямокутниками, освіченими з розсічення квадрата над гипотенузой висотою з прямого кута з квадратами над катетами.

Конструкція, яка використовується для доказу наступна: для прямокутного трикутника з прямим кутом C (\\ displaystyle C), Квадратів над катетами і і квадрата над гипотенузой A B I K (\\ displaystyle ABIK) будується висота C H (\\ displaystyle CH) і продовжує її промінь s (\\ displaystyle s), Який розбиває квадрат над гипотенузой на два прямокутника і. Доказ націлене на встановлення рівності площ прямокутника A H J K (\\ displaystyle AHJK) з квадратом над катетом A C (\\ displaystyle AC); рівність площ другого прямокутника, що становить квадрат над гипотенузой, і прямокутника над іншим катетом встановлюється аналогічним чином.

Рівність площ прямокутника A H J K (\\ displaystyle AHJK) і A C E D (\\ displaystyle ACED) встановлюється через конгруентність трикутників △ A C K \u200b\u200b(\\ displaystyle \\ triangle ACK) і △ A B D (\\ displaystyle \\ triangle ABD), Площа кожного з яких дорівнює половині площі квадратів A H J K (\\ displaystyle AHJK) і A C E D (\\ displaystyle ACED) відповідно в зв'язку з наступним властивістю: площа трикутника дорівнює половині площі прямокутника, якщо у фігур є загальна сторона, а висота трикутника до загальної стороні є іншою стороною прямокутника. Конгруентність трикутників випливає з рівності двох сторін (сторони квадратів) і куту між ними (складеного з прямою кута і кута при A (\\ displaystyle A).

Таким чином, доказом встановлюється, що площа квадрата над гипотенузой, складеного з прямокутників A H J K (\\ displaystyle AHJK) і B H J I (\\ displaystyle BHJI), Дорівнює сумі площ квадратів над катетами.

Доказ Леонардо да Вінчі

До методу площ відноситься також доказ, знайдене Леонардо да Вінчі. Нехай дано прямокутний трикутник △ A B C (\\ displaystyle \\ triangle ABC) з прямим кутом C (\\ displaystyle C) і квадрати A C E D (\\ displaystyle ACED), B C F G (\\ displaystyle BCFG) і A B H J (\\ displaystyle ABHJ) (Див. Рисунок). У цьому доказі на стороні H J (\\ displaystyle HJ) останнього в зовнішню сторону будується трикутник, конгруентний △ A B C (\\ displaystyle \\ triangle ABC), Притому відбитий як щодо гіпотенузи, так і щодо висоти до неї (тобто J I \u003d B C (\\ displaystyle JI \u003d BC) і H I \u003d A C (\\ displaystyle HI \u003d AC)). пряма C I (\\ displaystyle CI) розбиває квадрат, побудований на гіпотенузі на дві рівні частини, оскільки трикутники △ A B C (\\ displaystyle \\ triangle ABC) і △ J H I (\\ displaystyle \\ triangle JHI) рівні з побудови. Доказ встановлює конгруентність чотирикутників C A J I (\\ displaystyle CAJI) і D A B G (\\ displaystyle DABG), Площа кожного з яких, виявляється, з одного боку, яка дорівнює сумі половин площ квадратів на катетах і площі вихідного трикутника, з іншого боку - половині площі квадрата на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Разом, половина суми площ квадратів над катетами дорівнює половині площі квадрата над гипотенузой, що рівносильно геометричній формулюванні теореми Піфагора.

Доказ методом нескінченно малих

Існує кілька доказів, які вдаються до техніки диференціальних рівнянь. Зокрема, Харді приписується доказ, що використовує нескінченно малі збільшення катетів a (\\ displaystyle a) і b (\\ displaystyle b) і гіпотенузи c (\\ displaystyle c), І зберігають подобу з вихідним прямокутником, тобто, щоб забезпечити виконання наступних диференціальних співвідношень:

d a d c \u003d c a (\\ displaystyle (\\ frac (da) (dc)) \u003d (\\ frac (c) (a))), d b d c \u003d c b (\\ displaystyle (\\ frac (db) (dc)) \u003d (\\ frac (c) (b))).

Розділення змінних з них виводиться диференціальне рівняння c d c \u003d a d a + b d b (\\ displaystyle c \\ dc \u003d a \\, da + b \\, db), Інтегрування якого дає співвідношення c 2 \u003d a 2 + b 2 + C o n s t (\\ displaystyle c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2) + \\ mathrm (Const)). Застосування початкових умов a \u003d b \u003d c \u003d 0 (\\ displaystyle a \u003d b \u003d c \u003d 0) визначає константу як 0, що в результаті дає твердження теореми.

Квадратична залежність в остаточній формулі з'являється завдяки лінійної пропорційності між сторонами трикутника і приростами, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від збільшення різних катетів.

Варіації і узагальнення

Подібні геометричні фігури на трьох сторонах

Важливе геометричне узагальнення теореми Піфагора дав Евклід в «Засадах», перейшовши від площ квадратів на сторонах до площ довільних подібних геометричних фігур : Сума площ таких фігур, побудованих на катетах, буде дорівнює площі подібної їм фігури, побудованої на гіпотенузі.

Головна ідея цього узагальнення полягає в тому, що площа подібної геометричної фігури пропорційна квадрату будь-якого свого лінійного розміру і зокрема квадрату довжини будь-якого боку. Отже, для подібних фігур з площами A (\\ displaystyle A), B (\\ displaystyle B) і C (\\ displaystyle C), Побудованих на катетах з довжинами a (\\ displaystyle a) і b (\\ displaystyle b) і гіпотенузі c (\\ displaystyle c) відповідно, має місце співвідношення:

A a 2 \u003d B b 2 \u003d C c 2 ⇒ A + B \u003d a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\\ displaystyle (\\ frac (A) (a ^ (2))) \u003d (\\ frac (B ) (b ^ (2))) \u003d (\\ frac (C) (c ^ (2))) \\, \\ Rightarrow \\, A + B \u003d (\\ frac (a ^ (2)) (c ^ (2) )) C + (\\ frac (b ^ (2)) (c ^ (2))) C).

Так як по теоремі Піфагора a 2 + b 2 \u003d c 2 (\\ displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) \u003d c ^ (2)), То виконано.

Крім того, якщо можливо довести без залучення теореми Піфагора, що для площ трьох подібних геометричних фігур на сторонах прямокутного трикутника виконано співвідношення A + B \u003d C (\\ displaystyle A + B \u003d C), То з використанням зворотного ходу докази узагальнення Евкліда можна вивести доказ теореми Піфагора. Наприклад, якщо на гіпотенузі побудувати конгруетний початкового прямокутний трикутник площею C (\\ displaystyle C), А на катетах - два подібних йому прямокутних трикутника з площами A (\\ displaystyle A) і B (\\ displaystyle B), То виявляється, що трикутники на катетах утворюються в результаті поділу початкового трикутника його висотою, тобто сума двох менших площ трикутників дорівнює площі третього, таким чином A + B \u003d C (\\ displaystyle A + B \u003d C) і, застосовуючи співвідношення для подібних фігур, виводиться теорема Піфагора.

теорема косинусів

Теорема Піфагора - це окремий випадок більш загальної теореми косинусів, яка пов'язує довжини сторін в довільному трикутнику:

a 2 + b 2 - 2 a b cos \u2061 θ \u003d c 2 (\\ displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) -2ab \\ cos (\\ theta) \u003d c ^ (2)),

де - кут між сторонами a (\\ displaystyle a) і b (\\ displaystyle b). Якщо кут дорівнює 90 °, то cos \u2061 θ \u003d 0 (\\ displaystyle \\ cos \\ theta \u003d 0), І формула спрощується до звичайної теореми Піфагора.

довільний трикутник

Існує узагальнення теореми Піфагора на довільний трикутник, що оперує виключно співвідношенням довжин сторін, вважається, що воно вперше було встановлено сабійскім астрономом Сабітом ібн Куррі. У ньому для довільного трикутника зі сторонами в нього вписується трикутник з основою на стороні c (\\ displaystyle c), Вершиною, що збігається з вершиною вихідного трикутника, протилежні стороні c (\\ displaystyle c) і кутами при підставі, рівними кутку θ (\\ displaystyle \\ theta), Протилежного стороні c (\\ displaystyle c). В результаті утворюються два трикутника, подібних вихідного: перший - зі сторонами a (\\ displaystyle a), Далекої від неї бічною стороною вписаного рівнобедреного трикутника, і r (\\ displaystyle r) - частини боку c (\\ displaystyle c); другий - симетрично до нього від сторони b (\\ displaystyle b) зі стороною s (\\ displaystyle s) - відповідною частиною боку c (\\ displaystyle c). В результаті виявляється виконано співвідношення:

a 2 + b 2 \u003d c (r + s) (\\ displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) \u003d c (r + s)),

вироджується в теорему Піфагора при θ \u003d π / 2 (\\ displaystyle \\ theta \u003d \\ pi / 2). Співвідношення є наслідком подібності утворених трикутників:

ca \u003d ar, cb \u003d bs ⇒ cr + cs \u003d a 2 + b 2 (\\ displaystyle (\\ frac (c) (a)) \u003d (\\ frac (a) (r)), \\, (\\ frac (c) (b)) \u003d (\\ frac (b) (s)) \\, \\ Rightarrow \\, cr + cs \u003d a ^ (2) + b ^ (2)).

Теорема Паппа про площі

неевклидова геометрія

Теорема Піфагора виводиться з аксіом геометрії Евкліда і недійсна для неевклідової геометрії - виконання теореми Піфагора рівносильно постулату Евкліда про паралельність.

У неевклідової геометрії співвідношення між сторонами прямокутного трикутника обов'язково буде у формі, відмінній від теореми Піфагора. Наприклад, в сферичної геометрії всі три сторони прямокутного трикутника, які обмежують собою октант одиничної сфери, мають довжину π / 2 (\\ displaystyle \\ pi / 2), Що суперечить теоремі Піфагора.

При цьому теорема Піфагора справедлива в гіперболічної і еліптичної геометрії, якщо вимога про прямоугольности трикутника замінити умовою, що сума двох кутів трикутника має дорівнювати третього.

сферична геометрія

Для будь-якого прямокутного трикутника на сфері радіусом R (\\ displaystyle R) (Наприклад, якщо кут в трикутнику прямий) зі сторонами a, b, c (\\ displaystyle a, b, c) співвідношення між сторонами має вигляд:

cos \u2061 (c R) \u003d cos \u2061 (a R) ⋅ cos \u2061 (b R) (\\ displaystyle \\ cos \\ left ((\\ frac (c) (R)) \\ right) \u003d \\ cos \\ left ((\\ frac (a) (R)) \\ right) \\ cdot \\ cos \\ left ((\\ frac (b) (R)) \\ right)).

Це рівність може бути виведено як особливий випадок сферичної теореми косинусів, яка справедлива для всіх сферичних трикутників:

cos \u2061 (c R) \u003d cos \u2061 (a R) ⋅ cos \u2061 (b R) + sin \u2061 (a R) ⋅ sin \u2061 (b R) ⋅ cos \u2061 γ (\\ displaystyle \\ cos \\ left ((\\ frac ( c) (R)) \\ right) \u003d \\ cos \\ left ((\\ frac (a) (R)) \\ right) \\ cdot \\ cos \\ left ((\\ frac (b) (R)) \\ right) + \\ ch \u2061 c \u003d ch \u2061 a ⋅ ch \u2061 b (\\ displaystyle \\ operatorname (ch) c \u003d \\ operatorname (ch) a \\ cdot \\ operatorname (ch) b). де,

ch (\\ displaystyle \\ operatorname (ch)) - гіперболічний косинус. Ця формула є окремим випадком гіперболічної теореми косинусів, яка справедлива для всіх трикутників: ch \u2061 c \u003d ch \u2061 a ⋅ ch \u2061 b - sh \u2061 a ⋅ sh \u2061 b ⋅ cos \u2061 γ (\\ displaystyle \\ operatorname (ch) c \u003d \\ operatorname (ch) a \\ cdot \\ operatorname (ch) b- \\ operatorname (sh) a \\ cdot \\ operatorname (sh) b \\ cdot \\ cos \\ gamma)

γ (\\ displaystyle \\ gamma),

ch (\\ displaystyle \\ operatorname (ch)) - кут, вершина якого протилежна стороні c (\\ displaystyle c).

Використовуючи ряд Тейлора для гіперболічного косинуса ( ch \u2061 x ≈ 1 + x 2/2 (\\ displaystyle \\ operatorname (ch) x \\ approx 1 + x ^ (2) / 2)) Можна показати, що якщо гіперболічний трикутник зменшується (тобто, коли a (\\ displaystyle a), b (\\ displaystyle b) і c (\\ displaystyle c) прагнуть до нуля), то гіперболічні співвідношення в прямокутному трикутнику наближаються до співвідношення класичної теореми Піфагора.

застосування

Відстань в двовимірних прямокутних системах

Найважливіше застосування теореми Піфагора - визначення відстані між двома точками в прямокутній системі координат: відстань s (\\ displaystyle s) між точками з координатами (A, b) (\\ displaystyle (a, b)) і (C, d) (\\ displaystyle (c, d)) одно:

s \u003d (a - c) 2 + (b - d) 2 (\\ displaystyle s \u003d (\\ sqrt ((a-c) ^ (2) + (b-d) ^ (2)))).

Для комплексних чисел теорема Піфагора дає природну формулу для знаходження модуля комплексного числа - для z \u003d x + y i (\\ displaystyle z \u003d x + yi) він дорівнює довжині

Чи не асоціювалося б з теоремою Піфагора. Навіть ті, хто в своєму житті далекий від математики, продовжують зберігати спогади про "піфагорових штанях" - квадраті на гіпотенузі, рівновеликої двом квадратах на катетах. Причина такої популярності теореми Піфагора ясна: це простота - краса - значимість. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Протиріччя двох начал і надає їй особливу притягальну силу, робить її красивою. Але, крім того, теорема Піфагора має велике значення. Вона застосовується в геометрії буквально на кожному кроці. Існує близько п'ятисот різних доказів цієї теореми, що свідчить про гігантському числі її конкретних реалізацій.

Історичні дослідження датують появу на світ Піфагора приблизно 580 роком до нашої ери. Щасливий батько Мнесарх оточує хлопчика турботами. Можливості дати синові хорошу виховання і освіту у нього були.

Майбутній великий математик і філософ вже в дитинстві виявив великі здібності до наук. У свого першого вчителя Гермодамаса Піфагор отримує знання основ музики та живопису. Для вправи пам'яті Гермодамас змушував його вчити пісні з "Одіссеї" та "Іліади". Перший вчитель прищеплював юному Піфагору любов до природи і її таємниць.

Минуло кілька років, і за порадою свого вчителя Піфагор вирішує продовжити освіту в Єгипті. За допомогою вчителя Піфагору вдається залишити острів Самос. Але поки до Єгипту далеко. Він живе на острові Лесбос у свого родича Зоїла. Там відбувається знайомство Піфагора з філософом Ферекид - іншому Фалеса Мілетського. У Ферекида Піфагор навчається астрології, прогнозу затемнень, таємницям чисел, медицині та іншим обов'язковим на той час наукам.

Потім в Милете він слухає лекції Фалеса і його молодшого колеги і учня Анаксимандра, видатного географа і астронома. Багато важливих знань придбав Піфагор за час свого перебування в Милетской школі.

Перед Єгиптом він на деякий час зупиняється у Фінікії, де, за переказами, вчиться у знаменитих Сидону жерців.

Згідно старовинним легендам, у полоні у Вавилоні Піфагор зустрічався з персидськими магами, прилучився до східної астрології та містики, познайомився з вченням халдейських мудреців. Халдеї познайомили Піфагора зі знаннями, накопиченими східними народами протягом багатьох століть: астрономією та астрологією, медициною та арифметикою.

Дванадцять років пробув в вавілонському полоні Піфагор, доки його не звільнив персидський цар Дарій Гістасп, почувши про знаменитого грека. Піфагору вже шістдесят, він вирішує повернутися на батьківщину, щоб прилучити до накопичених знань свій народ.

З тих пір як Піфагор залишив Грецію, там відбулися великі зміни. Кращі уми, рятуючись від персидського іга, перебралися в Південну Італію, яку тоді називали Великою Грецією, і заснували там міста-колонії Сіракузи, Агрігент, Кротон. Тут і задумує Піфагор створити власну філософську школу.

Досить швидко він завойовує велику популярність серед жителів. Піфагор вміло використовує знання, отримані в мандрах по світу. Згодом вчений припиняє виступи у храмах і на вулицях. Уже в своєму будинку Піфагор вчив медицині, принципам політичної діяльності, Астрономії, математиці, музиці, етиці та багато іншому. З його школи вийшли видатні політичні та державні діячі, Історики, математики та астрономи. Це був не тільки вчитель, а й дослідник. Дослідниками ставали і його учні. Піфагор розвинув теорію музики й акустики, створивши знамениту "пифагорейскую гаму" і провівши основоположні експерименти по вивченню музичних тонів: знайдені співвідношення він висловив на мові математики. У Школі Піфагора вперше висловлена \u200b\u200bгіпотеза про кулястість Землі. Думка про те, що рух небесних тіл підпорядковується певним математичним співвідношенням, ідеї "гармонії світу" і "музики сфер", згодом призвели до революції в астрономії, вперше з'явились саме в Школі Піфагора.

Доклав зусиль вчений і в геометрії. Прокл так оцінював внесок грецького вченого в геометрію: "Піфагор перетворив геометрію, надавши їй форму вільної науки, розглядаючи її принципи чисто абстрактним чином і досліджуючи теореми з нематеріальної, інтелектуальної точки зору. Саме він знайшов теорію ірраціональних кількостей і конструкцію космічних тіл".

У школі Піфагора геометрія вперше оформляється в самостійну наукову дисципліну. Саме Піфагор і його учні першими стали вивчати геометрію систематично - як теоретичне вчення про властивості абстрактних геометричних фігур, а не як збірник прикладних рецептів по землемерию.

Найважливішою науковою заслугою Піфагора вважається систематичне введення докази в математику, і, перш за все, в геометрію. Строго кажучи, тільки з цього моменту математика і починає існувати як наука, а не як зібрання давньоєгипетських і давньовавілонських практичних рецептів. З народженням ж математики зароджується і наука взагалі, бо "жодна людське дослідження не може називатися справжньою наукою, якщо воно не пройшло через математичні докази "(Леонардо да Вінчі).

Так ось, заслуга Піфагора і полягала в тому, що він, мабуть, першим прийшов до наступної думки: в геометрії, по-перше, повинні розглядатися абстрактні ідеальні об'єкти, і, по-друге, властивості цих ідеальних об'єктів повинні встановлюватися не з допомогою вимірювань на кінцевому числі об'єктів, а за допомогою міркувань, справедливих для нескінченного числа об'єктів. Цей ланцюжок міркувань, яка за допомогою законів логіки зводить неочевидні затвердження до відомим або очевидним істинам, і є математичне доказ.

Відкриття теореми Піфагором оточене ореолом красивих легенд. Прокл, коментуючи останнє речення 1 книги "Начал", пише: "Якщо послухати тих, хто любить повторювати древні легенди, то доведеться сказати, що ця теорема походить від Піфагора; розповідають, що він в честь цього відкриття приніс у жертву бика". Втім, більш щедрі билин одного бика перетворили в одну гекатомбу, а це вже ціла сотня. І хоча ще Цицерон помітив, що будь-яке пролиття крові було чуже статуту пифагорейского ордена, легенда ця міцно зрослася з теоремою Піфагора і через дві тисячі років продовжувала викликати гарячі відгуки.

Міністерство освіти і науки РФ

муніципальне загальноосвітній заклад

Леботёрская основна загальноосвітня школа

Чаінскій район Томська область

РЕФЕРАТ

по темі: Піфагор та його теорема

виконали:

учениці 8 класу

Пчелкина Ірина

Макарова Надія

керівник:

Стосунки В.К.,

учитель математики

Введення ....................................... .. .......................................... .. 3

1. З біографії Піфагора ......................................................... ..3

2. Піфагор і піфагорійців .......................................................... ... 4

3. З історії створення теореми ................................................... .. ..5

4. Шість доказів теореми ...................................................... .6

4.1. Давньокитайське доказ ............................................. 6

4.2. Доказ Дж. Гардфілда ............................................. 7.

4.3 Доказ найстаріше ................................................... .. 8.

4.4. Доказ найпростіше ................................................... 9

4.5 Доказ древніх ......................................................... 10

4.6. Доказ Евкліда ...................................................... ..11.

5. Застосування теореми Піфагора ................................................... 12

5.1. Завдання теоретичні ......................................................... ..13

5.2. Завдання практичні (старовинні) .......................................... 14

Висновок ................................................................................. 15

Список літератури ..................................................................... 16

ВСТУП

В цьому навчальному році ми познайомилися з цікавою теоремою, відомою, як виявилося з найдавніших часів:

«Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника рівновеликий сумі квадратів побудованих на катетах».

Зазвичай відкриття цього твердження приписують давньогрецького філософа і математику Піфагору (VI століття до н.е). Але вивчення древніх рукописів показало, що це твердження було відомо задовго до народження Піфагора.

Ми зацікавилися, чому в такому разі її пов'язують з ім'ям Піфагора.

Метою нашого дослідження було: дізнатися, хто такий був Піфагор і яке відношення він має до цієї теореми. Вивчаючи історію теореми, ми вирішили з'ясувати:

o Чи існують інші докази цієї теореми?

o Яке значення цієї теореми в житті людей?

o Яку роль зіграв Піфагор в розвитку математики?

1. З біографії Піфагора

Піфагор Самоський - великий грецький вчений. Його ім'я знайоме кожному школяреві. Якщо попросять назвати одного стародавнього математика, то абсолютна більшість назве Піфагора. Його популярність пов'язана з назвою теореми Піфагора. Хоча зараз вже ми знаємо, що ця теорема була відома в стародавньому Вавилоні за 1200 років до Піфагора, а в Єгипті за 2000 років до нього був відомий прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, 5, ми як і раніше називаємо її по імені цього древнього вченого.

Про життя Піфагора достовірно майже нічого не відомо, але з його ім'ям пов'язано велика кількість легенд.

Піфагор народився в 570 році до н. е на острові Самос. Батьком Піфагора був Мнесарх - різьбяр по коштовних каменів. Мнесарх, за словами Апулея, «славився серед майстрів своїм мистецтвом вирізати геми», але стежили швидше славу, ніж багатство. Ім'я матері Піфагора не збереглося.

Піфагор мав гарну зовнішність, носив довгу бороду, а на голові золоту діадему. Піфагор - це не ім'я, а прізвисько, яке філософ отримав за те, що завжди говорив вірно і переконливо, як грецький оракул. (Піфагор - "переконує промовою".)

Серед вчителів юного Піфагора були старець Гермодамант і Ферекид Сіросского (хоча і немає твердої впевненості в тому, що саме Гермодамант і Ферекид були першими вчителями Піфагора). Цілі дні проводив юний Піфагор біля ніг старця Гермодаманта, слухаючи мелодії кіфари і гекзаметром Гомера. Пристрасть до музики і поезії великого Гомера Піфагор зберіг на все життя. І, будучи визнаним мудрецем, оточеним натовпом учнів, Піфагор починав день з співу однієї з пісень Гомера.

Ферекид же був філософом і вважався засновником італійської школи філософії. Таким чином, якщо Гермодамант ввів юного Піфагора в коло муз, то Ферекид звернув його розум до логосу. Ферекид направив погляд Піфагора до природи і в ній одній радив бачити свого першого і головного вчителя.

Але як би там не було, невгамовному уяві юного Піфагора дуже скоро стало тісно на маленькому Самосі, і він відправляється в Мілет, де зустрічається з іншим вченим - Фалесом. Фалес порадив йому відправитися за знаннями в Єгипет, що Піфагор і зробив.

У 550 році до н. е Піфагор приймає рішення і вирушає до Єгипту. Отже, перед Пифагором відкривається невідома країна і невідома культура. Багато що вражало й дивувало Піфагора в цій країні, і після деяких спостережень за життям єгиптян Піфагор зрозумів, що шлях до знань, охоронюваним кастою жерців, лежить через релігію.

Разом з єгипетськими хлопчиками сів за вапнякові пластинки і він, змужнілий Еллін з чорної кучерявою бородою. Але на відміну від своїх менших товаришів вуха бородатого Елліна були на спині, та й голова стояла на місці. Дуже скоро Піфагор далеко обігнав своїх однокашників. Але школа переписувачів була лише першою сходинкою на шляху до таємного знання.

Після одинадцяти років навчання в Єгипті Піфагор вирушає на батьківщину, де по шляху потрапляє в Вавилонський полон. Там він знайомиться з вавилонської наукою, яка була більш розвинена, ніж єгипетська. Вавилоняни вміли вирішувати лінійні, квадратні і деякі види кубічних рівнянь. Вони успішно застосовували теорему Піфагора більш ніж за 1000 років до Піфагора. Втікши з полону, він не зміг довго залишатися на батьківщині через що панувала там атмосфери насильства і тиранії. Він вирішив переселитися в Кротон (грецька колонія на півночі Італії).

Саме в Кротоні починається найславетніший період в житті Піфагора. Там він заснував щось на кшталт релігійно-етичного братства або таємного чернечого ордену, члени якого зобов'язувалися вести так званий піфагорійський спосіб життя.

2. Піфагор і піфагорійці

Піфагор організував в грецькій колонії на півдні Апенинского півострова релігійно-етичне братство, типу чернечого ордену, який згодом назвуть пифагорейским союзом. Члени союзу повинні були дотримуватися певних принципів: по-перше, прагнути до прекрасного і славному, по-друге, бути корисними, по-третє, прагнути до високого насолоди.

Система морально-етичних правил, заповідана Пифагором своїм учням, була зібрана в своєрідний моральний кодекс піфагорійців «Золоті

вірші », які користувалися великою популярністю в епоху Античності, епоху Середньовіччя і епоху Відродження. Пифагорейская система занять складалася з трьох розділів:

· Вчення про числах - арифметиці,

· Навчання про фігури - геометрії,

· Вчення про будову Всесвіту - астрономії.

Система освіти, закладена Пифагором, проіснувала багато століть.

Піфагорійці вчили, що Бог поклав числа в основу світового порядку. Бог - це єдність, а світ - безліч і складається з протилежностей. Те, що призводить протилежності до єдності і з'єднує все в космос, є гармонія. Гармонія є божественною і полягає в числових виразах. Хто до кінця вивчить гармонію, сам стане божественним і безсмертним.

Музика, гармонія і числа були нерозривно пов'язані в навчанні піфагорійців. Математика і числова містика були фантастично перемішані в ньому. Піфагор вважав, що число є сутність усіх речей і що Всесвіт являє собою гармонійну систему чисел і їх відносин.

Школа Піфагора багато зробила, щоб надати геометрії характер науки. Основною особливістю методу Піфагора було об'єднання геометрії з арифметикою.

Піфагор багато займався пропорціями і прогресіями і, ймовірно, подобою фігур, так як йому приписують рішення задачі: "За даними двом постатям побудувати третю, рівновелику однієї з даних і подібну другий".

Піфагор та його учні ввели поняття про багатокутних, дружніх, досконалі числа і вивчали їх властивості. Арифметика як практика обчислень не цікавила Піфагора, і він з гордістю заявив, що "поставив арифметику вище інтересів торговця".

Піфагор одним з перших вважав, що Земля має форму кулі і є центром Всесвіту, що Сонце, Місяць і планети мають власний рух, відмінне від добового руху нерухомих зірок.

Вчення піфагорійців про рух Землі Микола Коперник сприйняв як передісторію свого геліоцентричної вчення. Недарма церква оголосила систему Коперника "помилковим пифагорейским вченням".

У школі Піфагора відкриття учнів приписувалися вчителю, тому практично неможливо визначити, що зробив сам Піфагор, а що його учні.

Суперечки ведуться навколо пифагорейского союзу вже третє тисячоліття, однак спільної думки так і немає. У піфагорійців було безліч символів і знаків, які були свого роду заповідями: наприклад, «через ваги не йде», тобто НЕ порушуй справедливості; вогню ножем не ворушити », т. е. не зачіпай гнівних людей образливими словами.

Але головним пифагорейским символом -

символом здоров'я і розпізнавальним знаком -

була пентаграма або пифагорейская зірка -

зірчастий п'ятикутник, утворений діагоналями

правильного п'ятикутника.

Членами пифагорейского союзу були жителі багатьох міст Греції.

Свого суспільство піфагорійці приймали і жінок. Союз процвітав більше двадцяти років, а потім почалися гоніння на його членів, багато з учнів були вбиті.

Про смерть самого Піфагора ходило багато різних легенд. Але вчення Піфагора і його учнів жила й надалі.

3. З історії теореми Піфагора

В даний час відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що саме Піфагор першим дав її повноцінне доказ, а інші відмовляють йому і в цій заслузі. Деякі приписують Піфагору доказ, яке Евклід приводить в першій книзі своїх "Почав". З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ в "Засадах" належить самому Евклиду.

Як ми бачимо, історія математики майже не зберегла достовірних конкретних даних про життя Піфагора і його математичної діяльності. Зате легенда повідомляє навіть найближчі обставини, що супроводжували відкриття теореми. Багатьом відомий сонет німецького письменника-романіста Шамиссо:

Історичний огляд теореми Піфагора почнемо з стародавнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чу-пей. У цьому творі так говориться про Піфагора трикутнику зі сторонами 3, 4 і 5:

"Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли підстава є 3, а висота 4" .

Дуже легко можна відтворити їх спосіб побудови. Візьмемо мотузку довжиною в 12 м. І прив'яжемо до неї по кольоровий смужці на відстані 3м. від одного кінця і 4 метри від іншого.

Прямий кут виявиться укладеним між сторонами довжиною в 3 і 4 метри. У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним з креслень індуської геометрії Басхари.

Кантор (Найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 ² + 4 ² \u003d 5² було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 р. До н.е. е., за часів царя Аменемхета I (згідно папірусу 6619 Берлінського музею).

На думку Кантора, гарпедонапти, або "натягівателі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.

Дещо більше було відомо про теорему Піфагора вавилонянам. В одному тексті, относимом до часу Хаммурабі, тобто до 2000 року до нашої ери, наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника; звідси можна зробити висновок, що в Дворіччя вміли робити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайней мере, в деяких випадках.

Геометрія у індусів була тісно пов'язана з культом. Досить імовірно, що теорема про квадраті гіпотенузи була відома в Індії вже близько 8 століття до нашої ери. Поряд з чисто ритуальними приписами, існують і твори геометрично теологічного характеру, звані Сульвасутри. У цих творах, що відносяться до 4 або 5 століття до нашої ери, ми зустрічаємося з побудовою прямого кута за допомогою трикутника зі сторонами 15, 36, 39.

У середні віки теорема Піфагора визначала кордон, якщо не найбільших можливих, то, по крайней мере, хороших математичних знань. Характерний креслення теореми Піфагора, який нині іноді перетворюється школярами, наприклад, в одягненого в мантію професора або людини в циліндрі, в ті часи нерідко вживався як символ математики.

На закінчення наведемо різні формулювання теореми Піфагора в перекладі з грецької, латинської та німецької мов.

Евкліда ця теорема свідчить (дослівний переклад):

"У прямокутному трикутнику квадрат боку, натягнутою над прямим кутом, дорівнює квадрату на сторонах, що містять прямий кут".

Латинський переклад арабського тексту Аннаріціі (Близько 900 року до нашої ери), зроблений Герхардом кремонських (12 століття) говорить (в перекладі):

«У всякому прямокутному трикутнику квадрат, утворений на стороні, натягнутою над прямим кутом, дорівнює сумі двох квадратів, утворених на двох сторонах, що містять прямий кут»

У Geometry Culmonensis (близько 1400года) теорема читається так (в перекладі):

“Отже, площа квадрата, виміряного по довжиною стороні, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні по двох сторонах його, що прилягає до прямого кута "

У російській перекладі евклідових «Почав», теорема Піфагора викладена так:

«У прямокутному трикутнику квадрат з боку, протилежній прямого кута, дорівнює сумі квадратів зі сторін, що містять прямий кут».

Як бачимо, в різних країнах і різними мовами існують різні варіанти формулювання знайомої нам теореми. Створені в різний час і в різних мовах, вони відображають суть однієї математичної закономірності, доказ якої також має кілька варіантів.

4. Шість способів доведення теореми Піфагора

4.1. давньокитайське доказ

На старокитайській кресленні чотири рівних прямокутних трикутника з катетами a , b і гіпотенузою з покладені так, що їх зовнішній контур утворює квадрат зі стороною a + b , А внутрішній - квадрат зі стороною з , Побудований на гіпотенузі

a 2 + 2ab + b 2 \u003d c 2 + 2ab

a 2 + b 2 \u003d c 2

4.2. Доказ Дж. Гардфілда (1882 г.)

Розташуємо два рівних прямокутних трикутника так, щоб катет одного з них був продовженням іншого.

Площа розглянутої трапеції знаходиться як добуток напівсуми підстав на висоту

C іншого боку, площа трапеції дорівнює сумі площ отриманих трикутників:

Прирівнюючи дані вирази, отримуємо:

або з 2 \u003d a 2 + b 2

4.3. найстаріше доказ

(Міститься в одному з творів Бхаскару).

Нехай АВСD квадрат, сторона якого дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника АВЕ (АВ \u003d с, ВЕ \u003d а,

Нехай СК ВЕ \u003d а, DL CK, AM DL

ΔABE \u003d ΔBCK \u003d ΔCDL \u003d ΔAMD,

значить KL \u003d LM \u003d ME \u003d EK \u003d a-b.

4.4. доказ найпростіше

4.5. Доказ древніх індусів [ 2]

Квадрат зі стороною (a + b), можна розбити на частини або як на малюнку а), або як на малюнку b). Ясно, що частини 1,2,3,4 на обох малюнках однакові. А якщо від рівних (площ) відняти рівні, то і залишаться рівні, тобто з 2 \u003d а 2 + b 2 .

Втім, стародавні індуси, яким належить це міркування, як правило, не записували його, а супроводжували лише одним словом:

Дивись!

4.6. доказ Евкліда

Протягом двох тисячоліть найбільш поширеним був доказ теореми Піфагора, придумане Евклидом. Воно поміщено в його знаменитій книзі «Начала».

Евклід опускав висоту BН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить добудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутника, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах.

Креслення, застосовуваний при доказі цієї теореми, жартома називають «піфагорові штани». Протягом довгого часу він вважався одним із символів математичної науки.

Доказ теореми Піфагора учні середніх століть вважали дуже важким і називали його Dons asinorum- ослиний міст, або elefuga- втеча "убогих", так як деякі "убогі" учні, які не мали серйозної математичної підготовки, бігли від геометрії. Слабкі учні, завчити теореми напам'ять, без розуміння, і прозвані тому "ослами", були не в змозі подолати теорему Піфагора, що служила для них начебто непереборного моста. Через креслень, які супроводжують теорему Піфагора, учні називали її також "вітряком", становили вірші на кшталт "Піфагорови штани на всі сторони рівні", малювали карикатури.

5. Застосування теореми Піфагора.

5.1. Завдання теоретичні сучасні

1. Периметр ромба 68 см., А одна з його діагоналей дорівнює 30 см. Знайдіть довжину іншої діагоналі ромба.

2. Гіпотенуза КР прямокутного трикутника КМР дорівнює см., А катет МР дорівнює 4 см. Знайдіть медіану РС.

3. На сторонах прямокутного трикутника побудовано квадрати, причому

S 1 -S 2 \u003d 112 см 2, а S 3 \u003d 400 см 2. Знайдіть периметр трикутника.

4. Дан трикутник АВС, кут С \u003d 90 0, CD AB, AC \u003d 15 см., AD \u003d 9 см.

Знайдіть АВ.

5.2. Завдання практичні старовинні

5. Для кріплення щогли потрібно встановити

4 троса. Один кінець кожного троса повинен кріпитися на висоті 12 м, інший на землі на відстані 5 м від щогли. Чи вистачить 50 м троса для кріплення щогли?

6. Завдання індійського математика XII століття Бхаскару

«На березі річки ріс тополя самотній.

Раптом вітру порив його стовбур надламаний.

Бідний тополя впала. І кут прямий

З за водою річки його стовбур складав.

Запам'ятай тепер, що в тому місці річка

О четвертій лише фута була широка.

Верхівка схилилася біля краю річки.

Залишилося три фути всього від стовбура,

Прошу тебе, скоро тепер мені скажи:

У тополі як велика висота? »

7. Завдання з підручника "Арифметика" Леонтія Магницького [ 19]

"Случ нікому людині до стіни сходи прібраті, стіни ж тоя висота є 117 стоп. І оголить сходи довгота 125 стоп.

І ведати хоче, колико стоп сіючи сходи нижній кінець від стіни отстояті имать. "

8. Завдання з китайської "Математики в дев'яти книгах"

"Є водойму зі стороною в 1 чжан \u003d 10 чи. У центрі його росте очерет, який виступає над водою на 1 чи. Якщо потягнути очерет до берега, то він якраз торкнеться його.

Питається: наскільки глибоко води і яка довжина очерету? "

висновок

Теорема Піфагора настільки відома, що важко уявити собі людину, не чула про неї. Ми вивчили ряд історичних і математичних джерел, в тому числі інформацію в Інтернеті, і побачили, що теорема Піфагора цікава не тільки своєю історією, а й тим, що вона займає важливе місце в житті і науці. Про це свідчать наведені нами в даній роботі різні трактування тексту цієї теореми і шляхи її доказів.

Отже, теорема Піфагора - одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її полягає в тому, що з неї або з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Теорема Піфагора чудова і тим, що сама по собі вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна бачити безпосередньо на кресленні. Але скільки не дивись на прямокутний трикутник, ніяк не побачиш, що між його сторонами є просте співвідношення: c 2 \u003d a 2 + b 2. Тому для її підтвердження часто використовують наочність.

Заслуга ж Піфагора полягала в тому, що він дав повноцінне наукове доведення цієї теореми.

Цікава особистість самого вченого, пам'ять про якого невипадково зберегла ця теорема. Піфагор - чудовий оратор, учитель і вихователь, організатор своєї школи, орієнтованої на гармонію музики і чисел, добра і справедливості, на знання і здоровий спосіб життя. Він цілком може служити прикладом для нас, далеких нащадків.

Література і Інтернет-ресурси:

1. Г.І. Глейзер Історія математики в школі VII - VIII класи, посібник для вчителів, - М: Просвітництво 1982р.

2. І.Я. Демпан, Н.Я. Виленкин «За сторінками підручника математики» Посібник для учнів 5-6 класів, Москва, Просвещение 1989р.

3. І.Г. Зенкевич «Естетика уроку математики», М .: Просвещение 1981р.

4. Войтікова Н.В. "Теорема Піфагора" курсова робота, Анжеро-Судженськ, 1999р.

5. В. Літцман.Теорема Піфагора, М. 1960.

6. А.В. Волошинов «Піфагор» М. 1993.

7. Л. Ф. Пічуріна «За сторінками підручника алгебри» М. 1990.

8. А. Н. Земляков «Геометрія в 10 класі» М. 1986.

9. В. В. Афанасьєв «Формування творчої активності студентів в процесі вирішення математичних задач» Ярославль 1 996.

10. П. І. Алтинов «Тести. Геометрія 7 - 9 кл. » М. 1998.

11. Газета «Математика» 17/1996.

12. Газета «Математика» 3/1997.

13. Н. П. Антонов, М. Я. Вигодський, В. В Нікітін, А. І. Санкин «Збірник завдань з елементарної математики». М. 1963.

14. Г. В. Дорофєєв, М. К. Потапов, Н. Х. Розов «Посібник з математики». М. тисяча дев'ятсот сімдесят три

15. А. І. Щетніков "Пифагорейское вчення про число і величиною". Новосибірськ +1997.

16. «Дійсні числа. Ірраціональні вирази »8 клас. Видавництво Томського університету. Томськ - +1997.

17. М.С. Атанасян "Геометрія" 7-9 клас. М: Просвещение, 1991

18. www.moy pifagor .narod.ru /

19. http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html

20. http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора

21. http://th-pif.narod.ru/history.htm