Теоретична механична теория на динамиката. Основи на механиката за манекени
Курсът разглежда: кинематиката на точка и твърдо тяло (и от различни гледни точки се предлага да се разгледа проблемът за ориентацията твърдо), класически проблеми на динамиката на механичните системи и динамиката на твърдо тяло, елементи на небесната механика, движение на системи с променлив състав, теория на удара, диференциални уравнения на аналитичната динамика.
В курса са представени всички традиционни раздели на теоретичната механика, но специално внимание е отделено на разглеждането на най-смислените и ценни за теорията и приложенията раздели на динамиката и методите на аналитичната механика; статиката се изучава като раздел динамика, а в раздела кинематика се въвеждат подробно понятията и математическия апарат, необходими за раздела динамика.
Информационни ресурси
Gantmakher F.R. Лекции по аналитична механика. - 3-то изд. - М .: Физматлит, 2001.
Журавлев В.Ф. Основи на теоретичната механика. - 2-ро изд. - М .: Физматлит, 2001; 3-то изд. - М .: Физматлит, 2008.
А. П. Маркеев Теоретична механика. - Москва - Ижевск: Изследователски център "Регулярна и хаотична динамика", 2007г.
Изисквания
Курсът е предназначен за студенти, които притежават апарата за аналитична геометрия и линейна алгебра в рамките на първата година програма на технически университет.
Програма на курса
1. Кинематика на точка
1.1. Кинематични проблеми. Декартова координатна система. Разлагане на вектор в ортонормирана основа. Радиус вектор и координати на точката. Точкова скорост и ускорение. Траектория на движение.
1.2. Естествен триедър. Разширяване на скоростта и ускорението в осите на естествен триедър (теорема на Хюйгенс).
1.3. Криволинейни координати на точка, примери: полярни, цилиндрични и сферични координатни системи. Компоненти на скоростта и проекции на ускорение върху оста на криволинейната координатна система.
2. Методи за настройка на ориентацията на твърдо тяло
2.1. Солиден. Фиксирана координатна система, свързана с тялото.
2.2. Ортогонални ротационни матрици и техните свойства. Теорема за крайния завой на Ойлер.
2.3. Активна и пасивна гледна точка върху ортогоналната трансформация. Добавяне на завои.
2.4. Крайни ъгли на въртене: ъгли на Ойлер и ъгли на самолета. Изразяване на ортогонална матрица чрез ъгли на крайно завъртане.
3. Пространствено движениетвърдо
3.1. Транслационно и въртеливо движение на твърдо тяло. Ъглова скорост и ъглово ускорение.
3.2. Разпределение на точките на скоростите (формулата на Ойлер) и ускоренията (формулата на Ривалс) на твърдо тяло.
3.3. Кинематични инварианти. Кинематичен винт. Моментна спирална ос.
4. Равнопаралелно движение
4.1. Концепцията за плоскопаралелно движение на тялото. Ъглова скорост и ъглово ускорение в случай на плоскопаралелно движение. Незабавен център на скоростите.
5. Сложно движение на точка и твърдо тяло
5.1. Стационарни и движещи се координатни системи. Абсолютно, относително и образно движение на точка.
5.2. Теоремата за събирането на скорости при сложно движение на точка, относителните и преносимите скорости на точка. Теорема на Кориолис за събиране на ускорения при комплексно движение на точка, относително, транслационно и Кориолисово ускорение на точка.
5.3. Абсолютна, относителна и транслационна ъглова скорост и ъглово ускорение на тялото.
6. Движение на твърдо тяло с фиксирана точка (кватернионно представяне)
6.1. Концепцията за комплексни и хиперкомплексни числа. Алгебра на кватерниони. Кватернион продукт. Конюгиран и обратен кватернион, норма и модул.
6.2. Тригонометрично представяне на единичния кватернион. Кватернионен начин за определяне на ротацията на тялото. Теорема за крайния завой на Ойлер.
6.3. Връзката между компонентите на кватерниона в различни бази. Добавяне на завои. Параметри на Родригес-Хамилтън.
7. Изпитна работа
8. Основни понятия за динамиката.
8.1 Импулс, ъглов импулс (ъглов импулс), кинетична енергия.
8.2 Мощност на силите, работа на силите, потенциал и обща енергия.
8.3 Център на масата (център на масата) на системата. Моментът на инерция на системата спрямо оста.
8.4 Моменти на инерция около успоредни оси; Теорема на Хюйгенс – Щайнер.
8.5 Тензор и елипсоид на инерцията. Главни оси на инерция. Свойства на аксиалните инерционни моменти.
8.6 Изчисляване на ъгловия момент и кинетичната енергия на тяло с помощта на тензора на инерцията.
9. Основни теореми на динамиката в инерционни и неинерционни отправни системи.
9.1 Теорема за промяната в импулса на системата в инерциалната система за отчитане. Теорема за движението на центъра на масите.
9.2 Теорема за промяната на ъгловия импулс на системата в инерциалната система за отчитане.
9.3 Теорема за промяната на кинетичната енергия на системата в инерциалната система за отчитане.
9.4 Потенциални, жироскопични и разсейващи сили.
9.5 Основни теореми на динамиката в неинерциални референтни системи.
10. Движението на твърдо тяло с неподвижна точка по инерция.
10.1 Динамични уравнения на Ойлер.
10.2 Случай на Ойлер, първи интеграли от динамични уравнения; постоянна ротация.
10.3 Тълкувания на Poinsot и McCoolug.
10.4 Редовна прецесия в случай на динамична симетрия на тялото.
11. Движението на тежко твърдо тяло с фиксирана точка.
11.1 Обща формулировка на проблема за движението на тежко твърдо тяло наоколо.
фиксирана точка. Динамични уравнения на Ойлер и техните първи интеграли.
11.2 Качествен анализ на движението на твърдо тяло в случая на Лагранж.
11.3 Принудителна редовна прецесия на динамично симетрично твърдо тяло.
11.4 Основната формула на жироскопията.
11.5 Концепцията за елементарната теория на жироскопите.
12. Динамика на точка в централното поле.
12.1 Уравнение на Бине.
12.2 Уравнение на орбитата. Законите на Кеплер.
12.3 Проблемът с разсейването.
12.4 Проблем с две тела. Уравнения на движение. Интеграл от площи, интеграл от енергия, интеграл на Лаплас.
13. Динамика на системи с променлив състав.
13.1 Основни понятия и теореми за промяната на основните динамични величини в системи с променлив състав.
13.2 Движение материална точкапроменлива маса.
13.3 Уравнения на движение на тяло с променлив състав.
14. Теорията на импулсивните движения.
14.1 Основни понятия и аксиоми на теорията на импулсивните движения.
14.2 Теореми за промяната на основните динамични величини при импулсивно движение.
14.3 Импулсивно движение на твърдо тяло.
14.4 Сблъсък на две твърди тела.
14.5 Теореми на Карно.
15. Тест
Резултати от обучението
В резултат на овладяването на дисциплината студентът трябва:
- Зная:
- основните понятия и теореми на механиката и произтичащите от тях методи за изследване на движението на механичните системи;
- да можете да:
- правилно формулиране на задачи от гледна точка на теоретичната механика;
- разработват механични и математически модели, които отразяват адекватно основните свойства на разглежданите явления;
- прилагайте придобитите знания за справяне с подходящите конкретни задачи;
- Собствен:
- умения за решаване на класически задачи по теоретична механика и математика;
- умения за изучаване на задачи по механика и изграждане на механични и математически модели, които адекватно описват различни механични явления;
- умения за практическо използване на методите и принципите на теоретичната механика при решаване на задачи: изчисляване на сила, определяне на кинематичните характеристики на телата при различни начинизадания на движението, определяне на закона за движение на материални тела и механични системи под действието на сили;
- умения за самостоятелно овладяване на нова информация в процеса на производство и научни дейностиизползване на съвременни образователни и информационни технологии;
Общи теореми за динамиката на система от тела. Теореми за движението на центъра на масата, за промяна на импулса, за промяна на основния момент на импулса, за промяна на кинетичната енергия. Принципите на Д'Аламбер и възможни измествания. Общо уравнениевисокоговорители. Уравнения на Лагранж.
СъдържаниеРаботата, която върши силата, е равно на скаларното произведение на векторите на силата и безкрайно малкото изместване на точката на неговото приложение:
,
това е произведението на абсолютните стойности на векторите F и ds от косинуса на ъгъла между тях.
Работата, която върши моментът на силите, е равно на скаларното произведение на векторите на момента и безкрайно малкия ъгъл на въртене:
.
Принцип на Д'Аламбер
Същността на принципа на д'Аламбер е да сведе проблемите на динамиката до проблемите на статиката. За това се приема (или е известно предварително), че телата на системата имат определени (ъглови) ускорения. След това се въвеждат инерционни сили и (или) моменти на инерционни сили, които са равни по големина и противоположни по посока на силите и моментите на силите, които според законите на механиката биха създали определени ускорения или ъглови ускорения
Нека да разгледаме един пример. По пътя тялото прави движение напред и върху него действат външни сили. Освен това приемаме, че тези сили създават ускорението на центъра на масата на системата. Според теоремата за движението на центъра на масата центърът на масата на тялото би имал същото ускорение, ако върху тялото действа сила. След това въвеждаме силата на инерцията:
.
След това проблемът с динамиката:
.
;
.
За въртеливо движение продължете по същия начин. Нека тялото се върти около оста z и върху него действат външните моменти на силите M e zk. Приемаме, че тези моменти създават ъглово ускорение ε z. След това въвеждаме момента на инерционните сили M ˆ = - J z ε z. След това проблемът с динамиката:
.
Превръща се в задача за статика:
;
.
Принципът на възможните премествания
Принципът на възможните премествания се използва за решаване на статични проблеми. В някои задачи той дава по-кратко решение от уравнението на равновесието. Това е особено вярно за системи с ограничения (например системи от тела, свързани с нишки и блокове), състоящи се от много тела
Принципът на възможните премествания.
За баланс механична системаС перфектни връзкинеобходими и достатъчни за сумата елементарна работаот всички действащи върху него активни сили за всяко възможно изместване на системата е равна на нула.
Възможно движение на системата- това е малко изместване, което не нарушава наложените на системата връзки.
Перфектни връзки- това са връзки, които не извършват работа при преместване на системата. По-точно, количеството работа, извършвана от самите връзки, когато системата се движи, е равна на нула.
Общо уравнение на динамиката (принцип на д'Аламбер - Лагранж)
Принципът на д'Аламбер-Лагранж е комбинация от принципа на д'Аламбер с принципа на възможните премествания. Тоест, когато решаваме задачата за динамиката, въвеждаме силите на инерцията и свеждаме проблема до проблема за статиката, който решаваме с помощта на принципа на възможните премествания.
Д'Аламбер - принцип на Лагранж.
Когато механична система с идеални ограничения се движи във всеки момент от времето, сумата от елементарната работа на всички приложени активни сили и всички инерционни сили при всяко възможно движение на системата е равна на нула:
.
Това уравнение се нарича общо уравнение на динамиката.
Уравнения на Лагранж
Обобщени координати q 1, q 2, ..., q n е колекция от n стойности, които еднозначно определят позицията на системата.
Броят на обобщените координати n съвпада с броя на степените на свобода на системата.
Обобщени скоростиса производни на обобщени координати по отношение на времето t.
Обобщени сили Q 1, Q 2, ..., Q n
.
Помислете за възможно движение на системата, при което координатата q k ще получи движение δq k. Останалите координати остават непроменени. Нека δA k е работата, извършена от външни сили по време на такова преместване. Тогава
δA k = Q k δq k, или
.
Ако при възможно движение на системата всички координати се променят, тогава работата, извършена от външни сили по време на такова движение, има формата:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Тогава обобщените сили са частични производни на работата по премествания:
.
За потенциални сили
с потенциал Π,
.
Уравнения на Лагранжса уравненията на движението на механична система в обобщени координати:
Тук T е кинетичната енергия. Това е функция на обобщени координати, скорости и евентуално време. Следователно частната му производна също е функция на обобщени координати, скорости и време. Освен това трябва да вземете предвид, че координатите и скоростите са функции на времето. Следователно, за да се намери общата производна по време, е необходимо да се приложи правилото за диференциране сложна функция:
.
Препратки:
S. M. Targ, Кратък курс по теоретична механика, " висше училище“, 2010 г.
Кинематика
Кинематика на материалната точка
Определяне на скоростта и ускорението на точка според дадените уравнения на нейното движение
Дадени са: Уравнения за движение на точка: x = 12 грях (πt / 6), см; y = 6 cos 2 (πt / 6), см.
Задайте вида на траекторията му и за момента от време t = 1 снамират позицията на точка на траекторията, нейната скорост, общо, тангенциално и нормално ускорения, както и радиуса на кривината на траекторията.
Транслационно и въртеливо движение на твърдо тяло
дадено:
t = 2 s; r 1 = 2 cm, R 1 = 4 cm; r 2 = 6 cm, R 2 = 8 cm; r 3 = 12 cm, R 3 = 16 cm; s 5 = t 3 - 6t (см).
Определете в момент t = 2 скоростите на точки A, C; ъглово ускорение на колело 3; ускорение в точка B и ускорение на персонала 4.
Кинематичен анализ на равнинен механизъм
дадено:
R 1, R 2, L, AB, ω 1.
Намерете: ω 2.
Плоският механизъм се състои от пръти 1, 2, 3, 4 и плъзгач E. Пръчките са свързани с помощта на цилиндрични панти. Точка D се намира в средата на лентата AB.
Дадени са: ω 1, ε 1.
Намерете: скорости V A, V B, V D и V E; ъглови скорости ω 2, ω 3 и ω 4; ускорение a B; ъглово ускорение ε AB връзка AB; позиции на моментни центрове на скорости P 2 и P 3 на връзки 2 и 3 на механизма.
Определяне на абсолютната скорост и абсолютното ускорение на точка
Правоъгълната плоча се върти около фиксирана ос според закона φ = 6 t 2 - 3 t 3... Положителната посока на ъгъла φ е показана на фигурите с дъгова стрелка. Оста на въртене OO 1 лежи в равнината на плочата (плочата се върти в пространството).
Точка M се движи по линията BD върху плочата. Даден е законът за неговото относително движение, т.е. зависимостта s = AM = 40 (т - 2 т 3) - 40(s - в сантиметри, t - в секунди). Разстояние b = 20 см... На фигурата точка M е показана в позиция, в която s = AM > 0 (за с< 0 точка М е от другата страна на точка А).
Намерете абсолютната скорост и абсолютното ускорение на точка M в момент t 1 = 1 s.
Динамика
Интегриране на диференциални уравнения на движение на материална точка под действието на променливи сили
Товар D с маса m, получил начална скорост V 0 в точка А, се движи в извита тръба ABC, разположена във вертикална равнина. На участъка AB, чиято дължина е l, върху товара действат постоянна сила T (посоката й е показана на фигурата) и силата на съпротивление R на средата (модулът на тази сила е R = μV 2, вектор R е насочен обратно на скоростта V на товара).
Товарът, след като приключи движението си по участъка AB, в точка B на тръбата, без да променя стойността на модула на скоростта си, отива към участъка BC. В сечение BC върху товара действа променлива сила F, чиято проекция F x върху оста x е дадена.
Разглеждайки товара като материална точка, намерете закона за неговото движение върху сечението BC, т.е. x = f (t), където x = BD. Не обръщайте внимание на триенето на товара върху тръбата.
Изтеглете решение на проблема
Теорема за промяната на кинетичната енергия на механична система
Механичната система се състои от тежести 1 и 2, цилиндрична ролка 3, двустепенни макари 4 и 5. Телата на системата са свързани чрез резби, навита върху шайбите; участъците на резбата са успоредни на съответните равнини. Ролката (твърд хомогенен цилиндър) се търкаля по референтната равнина без плъзгане. Радиусите на стъпалата на макарите 4 и 5 са съответно R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Масата на всяка макара се счита за равномерно разпределена по нейната външен ръб... Опорните равнини на тежести 1 и 2 са грапави, коефициентът на триене при плъзгане за всеки товар е f = 0,1.
Под действието на силата F, чийто модул се променя по закона F = F (s), където s е преместването на точката на нейното приложение, системата започва да се движи от състояние на покой. Когато системата се движи, върху шайбата 5 действат съпротивителни сили, чийто момент спрямо оста на въртене е постоянен и е равен на M 5.
Определете стойността на ъгловата скорост на макарата 4 в този момент от време, когато преместването s на точката на приложение на силата F стане равно на s 1 = 1,2 m. 
Изтеглете решение на проблема
Приложение на общото уравнение на динамиката за изследване на движението на механична система
За механичната система определете линейното ускорение a 1. Да приемем, че масите на блокове и ролки са разпределени по външния радиус. Въжетата и коланите се считат за безтегловни и неразтегливи; няма приплъзване. Пренебрегвайте триенето при търкаляне и плъзгане. 
Изтеглете решение на проблема
Прилагане на принципа на д'Аламбер за определяне на реакциите на опорите на въртящо се тяло
Вертикалният вал AK, въртящ се равномерно с ъглова скорост ω = 10 s -1, е фиксиран от опорен лагер в точка A и цилиндричен лагер в точка D.
Безтегловен прът 1 с дължина l 1 = 0,3 m е здраво закрепен към вала, в свободния край на който има товар с маса m 1 = 4 kg и хомогенен прът 2 с дължина l 2 = 0,6 m, с маса m 2 = 8 kg. И двата пръта лежат в една и съща вертикална равнина. Точките на закрепване на прътите към вала, както и ъглите α и β са посочени в таблицата. Размери AB = BD = DE = EK = b, където b = 0,4 м. Вземете товара като материална точка.
Като пренебрегнете масата на вала, определете реакцията на упорния лагер и лагера.
Състоянието на равновесие в статиката се разбира като състояние, при което всички части на механична система са в покой спрямо някаква инерционна координатна система. Един от основните обекти на статиката са силите и техните точки на приложение.
Силата, действаща върху материална точка с радиус вектор от други точки, е мярка за влиянието на други точки върху разглежданата точка, в резултат на което тя получава ускорение спрямо инерциалната отправна система. Величината силаопределя се по формулата:
,
където m е масата на точка - стойност, която зависи от свойствата на самата точка. Тази формула се нарича втори закон на Нютон.
Приложение на статиката в динамиката
Важна характеристика на уравненията за движение на абсолютно твърдо тяло е, че силите могат да се трансформират в еквивалентни системи. При такова преобразуване уравненията на движението запазват формата си, но системата от сили, действащи върху тялото, може да се трансформира в по-проста система. Така точката на приложение на силата може да бъде преместена по линията на нейното действие; силите могат да бъдат разположени според правилото на паралелограма; силите, приложени в една точка, могат да бъдат заменени с техния геометричен сбор.
Пример за такива трансформации е силата на гравитацията. Действа върху всички точки на твърдо тяло. Но законът за движение на тялото няма да се промени, ако силата на тежестта, разпределена върху всички точки, бъде заменена с един вектор, приложен в центъра на масата на тялото.
Оказва се, че ако към основната система от сили, действащи върху тяло, добавим еквивалентна система, в която посоките на силите са обърнати, тогава тялото, под действието на тези системи, ще бъде в равновесие. Така проблемът за определяне на еквивалентните системи от сили се свежда до проблема за равновесието, тоест до проблема за статиката.
Основната задача на статикатае установяването на законите за преобразуване на система от сили в еквивалентни системи. По този начин методите на статиката се използват не само при изследване на телата в равновесие, но и в динамиката на твърдо тяло, при преобразуването на силите в по-прости еквивалентни системи.
Статика на материалната точка
Помислете за материална точка, която е в равновесие. И нека върху него действат n сили, k = 1, 2, ..., n.
Ако материална точка е в равновесие, тогава векторната сума на силите, действащи върху нея, е равна на нула:
(1)
.
В баланс геометрична сумасилите, действащи върху точка, са равни на нула.
Геометрична интерпретация... Ако началото на втория вектор се постави в края на първия вектор, а началото на третия се постави в края на втория вектор и след това този процес продължи, тогава краят на последния, n -ти векторът ще бъде подравнен с началото на първия вектор. Тоест получаваме затворена геометрична фигура, чиито дължини на страните са равни на модулите на векторите. Ако всички вектори лежат в една и съща равнина, тогава получаваме затворен многоъгълник.
Често е удобно да избирате правоъгълна координатна система Oxyz. Тогава сумите от проекциите на всички вектори на силата върху координатната ос са равни на нула:
Ако изберете която и да е посока, дадена от някакъв вектор, тогава сумата от проекциите на векторите на силите в тази посока е равна на нула:
.
Нека умножим уравнение (1) скаларно по вектор:
.
Ето скаларното произведение на векторите и.
Имайте предвид, че проекцията на вектора върху посоката на вектора се определя от формулата:
.
Статика на твърдо тяло
Момент на сила спрямо точка
Определяне на момента на сила
Момент на силаприложен към тялото в точка A, спрямо фиксирания център O, се нарича вектор, равен на векторното произведение на векторите и:(2) .
Геометрична интерпретация
Моментът на силата е равен на произведението на силата F от рамото OH.
Нека векторите и са разположени в равнината на чертежа. Според свойството на векторното произведение векторът е перпендикулярен на векторите и т.е. перпендикулярен на равнината на чертежа. Посоката му се определя от правилото на десния винт. На фигурата векторът на момента е насочен към нас. Абсолютна стойност на въртящия момент:
.
От тогава
(3)
.
Използвайки геометрията, можете да дадете различна интерпретация на момента на сила. За да направите това, начертайте права линия AH през вектора на силата. От центъра O пускаме перпендикуляра OH на тази права. Дължината на този перпендикуляр се нарича рамо на силата... Тогава
(4)
.
Тъй като тогава формулите (3) и (4) са еквивалентни.
Поради това, абсолютна стойност на момента на силатапо отношение на центъра O е равно сила на рамотази сила спрямо избрания център O.
При изчисляване на момента често е удобно силата да се разложи на два компонента:
,
където . Силата преминава през точка О. Следователно моментът му е нула. Тогава
.
Абсолютна стойност на въртящия момент:
.
Компоненти на моменти в правоъгълна координатна система
Ако изберем правоъгълна координатна система Oxyz, центрирана в точка O, тогава моментът на сила ще има следните компоненти:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
.
Ето координатите на точка А в избраната координатна система:
.
Компонентите представляват стойностите на момента на силата около осите, съответно.
Свойства на момента на сила спрямо центъра
Моментът около центъра O, от силата, преминаваща през този център, е равен на нула.
Ако точката на приложение на силата се премести по линия, минаваща през вектора на силата, тогава моментът няма да се промени с това движение.
Моментът от векторната сума на силите, приложени към една точка на тялото, е равен на векторната сума на моментите от всяка от силите, приложени към същата точка:
.
Същото важи и за сили, чиито продължаващи линии се пресичат в една точка.
Ако векторната сума на силите е нула:
,
тогава сумата от моментите на тези сили не зависи от положението на центъра, спрямо който се изчисляват моментите:
.
Няколко сили
Няколко сили- това са две сили, равни по абсолютна стойност и с противоположни посоки, приложени към различни точки на тялото.
Двойка сили се характеризира с момента, в който създават. Тъй като векторната сума на силите, включени в двойката, е равна на нула, моментът, създаден от двойката, не зависи от точката, спрямо която се изчислява моментът. От гледна точка на статичното равновесие естеството на силите, включени в двойката, е без значение. Използва се двойка сили, за да се посочи, че върху тялото действа момент на сили, който има определена стойност.
Момент на сила около дадена ос
Често има случаи, когато не е необходимо да знаем всички компоненти на момента на сила спрямо избрана точка, а трябва да знаем само момента на сила спрямо избраната ос.
Моментът на силата около оста, минаваща през точка O, е проекцията на вектора на момента на сила спрямо точка O, върху посоката на оста.
Свойствата на момента на силата около оста
Моментът около оста от силата, преминаваща през тази ос, е равен на нула.
Моментът около една ос от сила, успоредна на тази ос, е нула.
Изчисляване на момента на сила около оста
Нека върху тялото в точка А действа сила. Нека намерим момента на тази сила около оста O'O.
Нека изградим правоъгълна координатна система. Нека оста Oz съвпада с O′O ′ ′. От точка А пускаме перпендикуляра OH към O′O ′ ′. Начертайте оста Ox през точки O и A. Начертайте оста Oy перпендикулярно на Ox и Oz. Нека разложим силата на компоненти по осите на координатната система:
.
Силата пресича оста O′O ′′. Следователно моментът му е нула. Силата е успоредна на оста O'O. Следователно неговият момент също е равен на нула. По формула (5.3) намираме:
.
Обърнете внимание, че компонентът е насочен тангенциално към окръжността, чийто център е точка O. Посоката на вектора се определя от правилото на десния винт.
Условия на равновесие за твърдо тяло
В равновесие, векторната сума на всички сили, действащи върху тялото, е нула, а векторната сума на моментите на тези сили спрямо произволен стационарен център е нула:
(6.1)
;
(6.2)
.
Подчертаваме, че центърът O, спрямо който се изчисляват моментите на силите, може да бъде избран произволно. Точка О може или да принадлежи на тялото, или да е извън него. Обикновено центърът O се избира, за да се опростят изчисленията.
Условията на равновесие могат да се формулират и по друг начин.
При равновесие, сумата от проекциите на силите върху произволен вектор е равна на нула:
.
Сумата от моментите на силите около произволна ос O′O ′ ′ също е равна на нула:
.
Понякога тези условия са по-удобни. Има моменти, когато, като изберете осите, можете да направите изчисленията по-лесни.
Център на тежестта на тялото
Нека разгледаме една от най-важните сили - силата на гравитацията. Тук силите не се прилагат в определени точки на тялото, а се разпределят непрекъснато в неговия обем. За всяка част от тялото с безкрайно малък обем Δ V, действа силата на гравитацията. Тук ρ е плътността на веществото на тялото, е ускорението на гравитацията.
Нека е масата на безкрайно малка част от тялото. И нека точката A k определя позицията на този участък. Нека намерим величините, свързани със силата на гравитацията, които са включени в уравненията на равновесието (6).
Нека намерим сумата от силите на гравитацията, образувани от всички части на тялото:
,
къде е телесното тегло. По този начин сумата от силите на гравитацията на отделни безкрайно малки части на тялото може да бъде заменена с един вектор на гравитацията на цялото тяло:
.
Нека намерим сбора от моментите на тежестта спрямо избрания център O по произволен начин:
.
Тук въведохме точка C, която се нарича център на тежесттатяло. Позицията на центъра на тежестта в координатна система с център в точка O се определя по формулата:
(7)
.
Така че, когато се определя статично равновесие, сумата от силите на гравитацията на отделните части на тялото може да бъде заменена с резултата
,
приложен към центъра на масата на тялото C, чието положение се определя по формула (7).
Позиция на центъра на тежестта за различни геометрични фигуриможе да се намери в съответните справочници. Ако тялото има ос или равнина на симетрия, тогава центърът на тежестта е разположен върху тази ос или равнина. И така, центровете на тежестта на сфера, кръг или кръг са в центровете на кръговете на тези фигури. Центрове на тежестта правоъгълен паралелепипед, правоъгълник или квадрат също са разположени в центровете им - в пресечните точки на диагоналите.
Равномерно (A) и линейно (B) разпределен товар.
Има и случаи, подобни на гравитацията, когато сили не се прилагат в определени точки на тялото, а се разпределят непрекъснато върху неговата повърхност или обем. Такива сили се наричат разпределени силиили .
(Фигура А). Също така, както в случая на гравитацията, тя може да бъде заменена от резултантната сила на количеството, приложено в центъра на тежестта на графика. Тъй като диаграмата на фигура А е правоъгълник, центърът на тежестта на диаграмата е в нейния център - точка C: | AC | = | CB |. (Фигура Б). Може да се замени и с резултант. Стойността на резултата е равна на площта на диаграмата:.
Точката на приложение е в центъра на тежестта на графиката. Центърът на тежестта на триъгълник с височина h е на разстояние от основата. Така .
Сили на триене
Триене на плъзгане... Нека тялото е върху равна повърхност. И нека е силата, перпендикулярна на повърхността, от която повърхността действа върху тялото (сила на натиск). Тогава силата на плъзгане на триене е успоредна на повърхността и насочена встрани, предотвратявайки движението на тялото. Най-голямата му стойност е равна на:
,
където f е коефициентът на триене. Коефициентът на триене е безразмерен.
Триене при търкаляне... Оставете заобленото тяло да се търкаля или може да се търкаля по повърхността. И нека е силата на натиск, перпендикулярна на повърхността, от която повърхността действа върху тялото. Тогава върху тялото, в точката на контакт с повърхността, действат моментни сили на триене, което пречи на тялото да се движи. Най-голяма стойностмоментът на триене е равен на:
,
където δ е коефициентът на триене при търкаляне. Има измерение дължина.
Препратки:
С. М. Тарг, Кратък курс по теоретична механика, "Гимназия", 2010 г.
20-то изд. - М .: 2010. - 416 с.
Книгата описва основите на механиката на материална точка, система от материални точки и твърдо тяло в обем, съответстващ на програмите на техническите университети. Дават се много примери и проблеми, чиито решения са придружени от подходящи насоки... За студенти от редовни и задочни технически университети.
Формат: pdf
Размерът: 14 Mb
Гледайте, изтегляйте: drive.google
СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор към тринадесето издание 3
Въведение 5
ПЪРВИ РАЗДЕЛ СОЛИДНА СТАТИКА
Глава I. Основни понятия Основни разпоредби на членове 9
41. Абсолютно твърдо; сила. Проблеми със статиката 9
12. Изходни позиции на статика „11
$ 3. Облигации и техните реакции 15
Глава II. Добавянето на сили. Система от сближаващи се сили 18
§4. Геометрично! Начинът на добавяне на сили. Резултат от сближаващи се сили, разлагане на силите 18
е 5. Проекции на силата върху оста и равнината, Аналитичен метод за задаване и събиране на сили 20
16. Равновесие на системата от сближаващи се сили_. ... ... 23
17. Решаване на задачи на статиката. 25
Глава III. Момент на сила спрямо центъра. Двойка сили 31
i 8. Момент на сила спрямо центъра (или точката) 31
| 9. Няколко сили. Момент на двойка 33
f 10 *. Теореми за еквивалентност и събиране на двойки 35
Глава IV. Довеждане на системата от сили в центъра. Равновесни условия ... 37
f 11. Теорема за паралелно предаване на сила 37
112. Привеждане на системата от сили в този център -. , 38
§ 13. Условия на равновесие на системата от сили. Теорема за резултатния момент 40
Глава V. Плоска система от сили 41
§ 14. Алгебрични моменти на сила и двойки 41
115. Привеждане на плоската система от сили до най-простата форма .... 44
§ 16. Равновесие на плоска система от сили. Случаят на паралелни сили. 46
§ 17. Решаване на задачи 48
118. Равновесие на системите от тела 63
§ деветнадесет*. Статично определяеми и статично неопределени системи от тела (структури) 56 "
f 20 *. Дефиниция на вътрешните усилия. 57
§ 21 *. Разпределени сили 58
E22 *. Изчисляване на плоски ферми 61
Глава VI. Триене 64
! 23. Закони на триенето на плъзгане 64
: 24. Груби реакции на свързване. Ъгъл на триене 66
: 25. Равновесие при наличие на триене 66
(26 *. Триене на резба върху цилиндрична повърхност 69
1 27 *. Триене при търкаляне 71
Глава VII. Система за пространствена сила 72
§28. Моментът на силата около оста. Изчисляване на главния вектор
и основният момент на системата от сили 72
§ 29 *. Свеждане на пространствената система от сили до най-простата форма 77
§тридесет. Равновесие на произволна пространствена система от сили. Случай с паралелни сили
Глава VIII. Център на тежестта 86
§31. Център на паралелните сили 86
§ 32. Силово поле. Център на тежестта на твърдото тяло 88
§ 33. Координати на центровете на тежестта на еднородни тела 89
§ 34. Методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата. 90
§ 35. Центрове на тежестта на някои еднородни тела 93
РАЗДЕЛ ВТОРИ КИНЕМАТИКА НА ТОЧКАТА И ТВЪРДОТО ТЯЛО
Глава IX. Кинематика на точката 95
§ 36. Въведение в кинематиката 95
§ 37. Методи за уточняване на движението на точка. ... 96
§38. Точков вектор на скоростта,. 99
§ 39. Векторът на „точка на срязване 100
§40. Определяне на скоростта и ускорението на точка в координатния метод за определяне на движение 102
§41. Решаване на задачите на кинематиката точка 103
§ 42. Оси на естествения триедър. Числова стойност на скоростта 107
§ 43. Тангенс и нормално ускорение на точка 108
§44. Някои специални случаи на движение на PO точката
§45. Графики на движение, скорост и ускорение на точка 112
§ 46. Решаване на задачи< 114
§47 *. Точкова скорост и ускорение в полярни координати 116
Глава X. Транслационно и въртеливо движение на твърдо тяло. ... 117
§48. Транслационно движение 117
Раздел 49. Ротационно движениетвърдо тяло около ос. Ъглова скорост и ъглово ускорение 119
§50. Равномерно и равно въртене 121
§51. Скорости и ускорения на точките на въртящо се тяло 122
Глава XI. Равнопаралелно движение на твърдо тяло 127
§52. Уравнения на плоскопаралелно движение (движение на плоска фигура). Разлагане на движението на транслационно и ротационно 127
§53 *. Определяне на траектории на точки от плоска фигура 129
§54. Определяне на скоростите на точките на плоска фигура 130
§ 55. Теорема за проекциите на скоростите на две точки на тяло 131
§ 56. Определяне на скоростите на точките на плоска фигура с помощта на моментния център на скоростите. Разбиране на центроидите 132
§57. Решаване на проблеми 136
§58 *. Определяне на ускорението на точките на плоска фигура 140
§59 *. Център за моментално ускорение "*" *
Глава XII *. Движението на твърдо тяло около фиксирана точка и движението на свободно твърдо тяло 147
§ 60. Движение на твърдо тяло с една неподвижна точка. 147
§61. Кинематични уравнения на Ойлер 149
§62. Скорости и ускорения на точките на тялото 150
§ 63. Общият случай на движение на свободно твърдо тяло 153
Глава XIII. Трудно движение на точки 155
§ 64. Относително, фигуративно и абсолютно движение 155
§ 65, Теоремата за събирането на скорости „156
§66. Теоремата за събирането на ускорения (теорема на Кориолнс) 160
§67. Решаване на проблеми 16 *
Глава XIV *. Сложно движение на твърдо тяло 169
§68. Добавяне на транслационни движения 169
§69. Добавяне на завъртания около две успоредни оси 169
§70. Цилиндрични зъбни колела 172
§ 71. Събиране на завъртания около пресичащи се оси 174
§72. Добавяне на транслационни и ротационни движения. Винтово движение 176
РАЗДЕЛ ТРИ ТОЧКА ДИНАМИКА
Глава XV: Въведение в динамиката. Законите на динамиката 180
§ 73. Основни понятия и определения 180
§ 74. Законите на динамиката. Проблеми на динамиката на материална точка 181
Раздел 75. Системи от блокове 183
§76. Основни сили 184
Глава XVI. Диференциални уравнениядвижение на точката. Решаване на задачи за динамиката на точка 186
§ 77. Диференциални уравнения, движение на материална точка No6
§ 78. Решение на първата задача на динамиката (определяне на силите за дадено движение) 187
§ 79. Решение на основния проблем на динамиката за право движениеточки 189
§ 80. Примери за решаване на задачи 191
§81 *. Падането на тялото в съпротивителна среда (във въздуха) 196
§82. Решение на основния проблем на динамиката с криволинейно движение на точка 197
Глава XVII. Общи теореми на динамиката на точките 201
§83. Количеството движение на точката. Силов импулс 201
§ S4. Теоремата за промяната на импулса на точка 202
§ 85. Теорема за изменението на ъгловия импулс на точка (теорема за моментите) „204
§86 *. Движение под влияние на централна сила. Законът за областите .. 266
§ 8-7. Работа на силата. Мощност 208
§88. Примери за изчислителна работа 210
§89. Теорема за промяната в кинетичната енергия на точка. „... 213J
Глава XVIII. Не е свободно и по отношение на движението на точка 219
§90. Несвободно движение на точка. 219
§91. Относително движение на точката 223
§ 92. Влияние на въртенето на Земята върху равновесието и движението на телата ... 227
§ 93 *. Отклонение на падащата точка от вертикалата поради въртенето на Земята „230
Глава XIX. Праволинейни точкови вибрации. ... ... 232
§ 94. Свободни вибрации без отчитане на силите на съпротивление 232
§ 95. Свободни вибрации с вискозно съпротивление (затихващи вибрации) 238
§96. Принудителни вибрации. Резонаяс 241
Глава ХХ *. Движение на тялото в гравитационно поле 250
§ 97. Движението на хвърлено тяло в гравитационното поле на Земята „250
§98. Изкуствени спътнициЗемята. Елиптични траектории. 254
§ 99. Концепцията за безтегловност. „Локални референтни системи 257
ЧЕТВЪРТИ РАЗДЕЛ СИСТЕМА И ДИНАМИКА НА ТВЪРДОТО ТЯЛО
Глава XXI. Въведение в системната динамика. Моменти на инерция. 263
§ 100. Механична система. Външни сили и вътрешни сили 263
§ 101. Масата на системата. Център на тежестта 264
§ 102. Момент на инерция на тяло спрямо ос. Радиус на въртене. ... 265
$ 103. Моменти на инерция на тяло спрямо успоредни оси. Теорема на Хюйгенс 268
§ 104 *. Центробежни моменти на инерция. Понятия за главните оси на инерция на тялото 269
$105 *. Моментът на инерция на тяло спрямо произволна ос. 271
Глава XXII. Теорема за движението на центъра на масата на системата 273
$ 106. Диференциални уравнения на движението на системата 273
§ 107. Теоремата за движението на центъра на масите 274
$ 108. Закон за запазване на движението на центъра на масата 276
§ 109. Решаване на задачи 277
Глава XXIII. Теоремата за промяната в броя на подвижните системи. ... 280
$ НО. Количество движение на системата 280
§111. Теорема за промяна на импулса 281
§ 112. Закон за запазване на импулса 282
$113 *. Приложение на теоремата към движението на течност (газ) 284
§ 114 *. Тяло с променлива маса. Ракетно движение 287
Гдава XXIV. Теорема за промяната в момента на количествата на движение на системата 290
§ 115. Основен момент на величините на движение на системата 290
$ 116. Теоремата за промяната на главния момент на количествата на движение на системата (теоремата за моментите) 292
$117. Законът за запазване на главния момент на количествата на движение. ... 294
$ 118. Решаване на проблеми 295
$119 *. Прилагане на теоремата за моментите към движението на течност (газ) 298
§ 120. Условия на равновесие на механична система 300
Глава XXV. Теорема за промяната в кинетичната енергия на системата. ... 301.
§ 121. Кинетична енергия на системата 301
$122. Някои случаи на изчислителна работа 305
$ 123. Теорема за промяната на кинетичната енергия на системата 307
$ 124. Решаване на проблеми 310
$125 *. Смесени задачи „314
$ 126. Потенциално силово поле и силова функция 317
$ 127, Потенциална енергия. Закон за запазване на механична енергия 320
Глава XXVI. „Прилагане на общи теореми към динамиката на твърдото тяло 323
$ 12 &. Ротационно движение на твърдо тяло около фиксирана ос ". 323"
$ 129. Физическо махало. Експериментално определяне на инерционните моменти. 326
$130. Равнопаралелно движение на твърдо тяло 328
$ 131*. Елементарна теорияжироскоп 334
$132 *. Движение на твърдо тяло около фиксирана точка и движение на свободно твърдо тяло 340
Глава XXVII. Принцип на Д'Аламбер 344
$ 133. Принцип на Д'Аламбер за точка и механична система. ... 344
$ 134. Основният вектор и Основната точкасили на инерция 346
$ 135. Решаване на задачи 348
$ 136 *, Дидемични реакции, действащи върху оста на въртящо се тяло. Балансиращи невъртящи се тела 352
Глава XXVIII. Принципът на възможните премествания и общото уравнение на динамиката 357
§ 137. Класификация на връзките 357
§ 138. Възможни движения на системата. Броят на степените на свобода. ... 358
Раздел 139. Принципът на възможните движения 360
§ 140. Решаване на задачи 362
§ 141. Общо уравнение на динамиката 367
Глава XXIX. Условия на равновесие и уравнения на движение на системата в обобщени координати 369
§ 142. Обобщени координати и обобщени скорости. ... ... 369
Раздел 143. Обобщени сили 371
§ 144. Условия на равновесие на системата в обобщени координати 375
§ 145. Уравнения на Лагранж 376
§ 146. Решаване на задачи 379
Глава XXX *. Малки трептения на системата около стабилно равновесно положение 387
§ 147. Концепцията за устойчивост на равновесието 387
§ 148. Малки свободни вибрации на система с една степен на свобода 389
§ 149. Малки затихващи и принудителни трептения на система с една степен на свобода 392
§ 150. Малки комбинирани трептения на система с две степени на свобода 394
Глава XXXI. Елементарна теория на удара 396
§ 151. Основното уравнение на теорията на удара 396
§ 152. Общи теореми на теорията на удара 397
§ 153. Коефициент на възстановяване при удар 399
§ 154. Удар на тялото върху фиксирано препятствие 400
§ 155. Пряк централен удар на две тела (удар на топки) 401
§ 156. Загуба на кинетична енергия при нееластичен сблъсък на две тела. Теорема на Карно 403
§ 157 *. Удар в въртящо се тяло. Ударен център 405
Индекс 409
Зареждане...