Основи на теорията на вибрациите на механичните системи. Основи на теорията на вибрациите

Министерство на образованието на Руската федерация
Щат Ухта Технически университет

VC Khegai, D.N. Левицки,
ТОЙ. Харин, A.S. Попов

Основи на теорията на вибрациите
механични системи
Урок

Одобрен от учебно-методическото сдружение на университетите
във висше образование за нефт и газ като образователна
наръчници за студенти от нефтени и газови университети, изучаващи
по специалност 090800, 170200, 553600

УДК 534.01
Х-35
Основи на теорията на трептенията на механичните системи / В.К. Хегай,
Д.Н. Левицки, О.Н. Харин, A.S. Попов. - Ухта: USTU, 2002 .-- 108 с.
ISBN 5-88179-285-8
Урокът разглежда основите на теорията на трептенията на механичните системи, на които се основава общ курс теоретична механика... Особено внимание се отделя на прилагането на уравненията на Лагранж от второто
ред. Ръководството се състои от шест глави, всяка от които е посветена на определен тип вибрации. Една глава е посветена на основите на теорията за устойчивостта на движението и равновесието на механичните системи.
За по-добро овладяване теоретичен материал, в ръководството, дадено
голям брой примери и проблеми от различни области на техниката.
Учебникът е предназначен за студенти от механични специалности, изучаващи изцяло курса по теоретична механика,
може да бъде полезен и за студенти от други специалности.
Рецензенти: Катедра по теоретична механика, Санкт Петербург
Държавна горска академия (ръководител на катедрата, доктор на техническите науки, проф. Я. А. Добринин); Ръководител на отдел „Интегриран сондаж“ в СеверНИПИГаз, к.т.н., доцент Ю.М. Гержберг.

© Държавен технически университет Ухта, 2002 г
© Khegai V.K., Levitsky D.N., Kharin O.N., Popov A.S., 2002
ISBN 5-88179-285-8

3
Съдържание
Предговор ................................................ ................................................................ ................. 4
Глава I. Кратка информацияот аналитичната механика ........................................ 5
1.1 Потенциална енергия на системата ............................................ ........................................ 5
1.2. Кинетична енергия на системата ................................................. ........................................ 6
1.3. Диссипативна функция ................................................ ................................. осем
1.4. уравнение на Ланранж ................................................ ................................................ девет
1.5. Примери за съставяне на уравнения на Ланранж от втори вид ................................. 11
Глава II. Стабилност на движението и баланс на консервативните системи ......... 20
2.1. Въведение ................................................. ................................................................ ................... двадесет
2.2. Функции на Ляпунов. Критерий на Силвестър ................................................ ............. 21
2.3. Уравнението на нарушеното движение ............................................ ........................................ 23
2.4. Теоремата на Ляпунов за стабилността на движението .............................................. ......... 26
2.5. Теорема на Лагранж за устойчивостта на равновесието
консервативна система ................................................ ................................................................ 29
2.6. Стабилността на равновесието на консервативна система с единица
степен на свобода ............................................... ........................................................ ......... тридесет
2.7. Примери за стабилност на равновесието на консервативна система ........................ 31
Глава III. Свободни вибрации на система с една степен на свобода ................. 39
3.1. Свободни вибрации на консервативна система
с една степен на свобода ................................................ ........................................................ 39
3.2. Свободни вибрации на система с една степен на свобода в присъствието
съпротивителни сили, пропорционални на скоростта ............................................ ............ 42
3.3. Примери за свободни вибрации на система с една степен на свобода ............. 46
Глава IV. Принудителни трептения на система с една степен на свобода ........... 59
4.1. Принудителни трептения на система с една степен на свобода
в случай на периодична смущаваща сила ........................................ ................... 59
4.2. Феноменът на резонанса ................................................ .. ................................................ ..... 63
4.3. Феномен на побоя ................................................. ........................................................ ........ 66
4.4. Динамичен фактор ................................................ ................................ 68
4.5. Примери за принудителни вибрации на системата
с една степен на свобода ................................................ ........................................................ 70
Глава V. Свободни трептения на система с две степени на свобода ................ 78
5.1. Диференциални уравнения на свободни трептения на система с две
Степени на свобода и тяхното общо решение .............................................. ................................ 78
5.2. Собствени формуляри ................................................ ................................................................ 80
5.3. Примери за свободно трептене на система с две степени на свобода ............ 81
Глава VI. Принудителни трептения на система с две степени на свобода ........ 93
6.1. Диференциални уравнения на принудителни трептения на системата и техните
общо решение ................................................ ................................................................ ................. 93
6.2. Динамичен амортисьор на вибрациите .................................. .......................... 95
6.3. Примери за принудителни вибрации на система с две степени на свобода ... 98
Библиографски списък ................................................ .............................................. 107

4
Предговор
На настоящия етап на развитие гимназияв учебната практика се въвеждат проблемни и изследователски форми на обучение.
Динамичните процеси в машините и механизмите са от решаващо значение както за изчисляването на етапа на проектиране на нови конструкции, така и за определянето на технологичните режими по време на експлоатация. Трудно е да се назове област на технологиите, в която няма да има
актуални проблеми на изследване на еластичните вибрации и устойчивостта на равновесието и движението на механичните системи. Те представляват специален
значение за машинните инженери, работещи в машиностроенето, транспорта и други области на технологиите.
Наръчникът разглежда някои от специфичните въпроси от теорията
вибрации и стабилност на механичните системи. Теоретична информация
се обясняват с примери.
Основната цел на това методическо ръководство- да се свърже
област на приложение на теоретичната и аналитичната механика с проблеми
специални отдели, които обучават машинни инженери.

5
Глава I. КРАТКА ИНФОРМАЦИЯ ОТ АНАЛИТИЧЕСКИ
МЕХАНИКА
I.I. Потенциална енергия на системата
Потенциалната енергия на система със s степени на свобода, битие
позиционната енергия зависи само от обобщените координати

P = P (q1, q2, ....., qs),
където q j

(j = 1, 2, K, s) - обобщени координати на системата.

Като се имат предвид малките отклонения на системата от позицията на стабилна
равновесни, обобщените координати qj могат да се разглеждат като количества от първи ред на малка степен. Ако приемем, че равновесното положение на системата
съответства на началото на обобщените координати, разширяваме израза за потенциалната енергия P в реда на Маклорен в степени на qj

∂П
1 S S ∂2 П
P = P (Ο) + ∑ (
) 0 q j + ∑∑ (
) 0 qi q j + K.
∂
q
2
∂
q
∂
q
j = 1
i = 1 j = 1
j
и
j
С

Като се има предвид, че потенциалната енергия се определя с точност
към някаква адитивна константа, потенциалната енергия в равновесно положение може да се приеме равна на нула
P (0) = 0.

В случай на консервативни сили обобщените сили се определят по формулата

∂П
∂q j

(j = 1, 2, K, s).

Тъй като при равновесие на системата от сили

(j = 1, 2, K, s),

Тогава условията на равновесие на консервативната система от сили имат формата

⎛ ∂П
⎜⎜
⎝ ∂q j

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2, K, s),

⎛ ∂П
∑⎜
j = 1 ⎜ ∂q
⎝ j

⎞
⎟⎟ q j = 0.
⎠0

следователно,
с

6
Тогава равенството (1.2.), до члена от втори ред на малка, приема формата

1 S S ⎛ ∂2 П
P = ∑∑⎜
2 i = 1 j = 1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ qi q j.
⎠0

Ние обозначаваме

⎛ ∂2 П
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ = cij = c ji,
⎠0

Където cij са обобщени фактори на твърдост.
Крайният израз за потенциалната енергия има формата

1 S S
П = ∑∑cij qi q j.
2 i = 1 j = 1

От (1.9.) се вижда, че потенциалната енергия на системата е хомогенна квадратична функцияобобщени координати.
1.2. Кинетична енергия на системата
Кинетичната енергия на система, състояща се от n материални точки,
е равно на

1 n
T = ∑mk vk2,
2 k = 1

Където mk и vk са масата и скоростта на k-тата точка на системата.
При преминаване към обобщени координати ще имаме предвид това
_

(k = 1, 2, ..., n),

R k (q1, q2, ..., qs)

Където r k е радиус векторът на k-тата точка на системата.
−

Използваме идентичността vk2 = v k ⋅ v k и заменяме вектора на скоростта
−

V k по неговата стойност
_

∂r k
∂q1

∂r k
∂q2

∂r k
∂qs

Тогава изразът за кинетичната енергия (1.10) приема формата

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1, S q S −1 q S), (1.13)
2

⎛ _
∂ rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k = 1
⎝
н

⎛ _
∂ rk
Дупе = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k = 1
⎝
н

⎞
⎛ _
н
⎟, A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k = 1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟, A12 = ∑ mk k ⋅ k, ...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

Тъй като −1, s = ∑ mk
k = 1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

Разгръщайки всеки от тези коефициенти в ред на Маклорен в степени на обобщените координати, получаваме

⎛ ∂Aij
Aij = (Aij) 0 + ∑ ⎜
⎜
j = 1 ⎝ ∂A j
С

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2, ..., s).

Индекс 0 съответства на стойностите на функциите в равновесно положение. Тъй като разглеждаме малки отклонения на системата от позицията
равновесие, то при равенство (1.14) се ограничаваме само до първите постоянни членове

(i = j = 1, 2, ..., s).

Aij = (Aij) 0 = aij

Тогава изразът за кинетичната енергия (1.13) приема формата
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1, S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

Или в общи линии

1 S
T = ∑
2 i = 1

Константи aij - обобщени коефициенти на инерция.
От (1.16) се вижда, че кинетичната енергия на системата T е равномерна
квадратична функция на обобщените скорости.

8
1.3. Диссипативна функция
В реални условия свободните трептения на системата са затихващи, т.е
как действат силите на съпротива върху точките му. При наличие на съпротивителни сили механичната енергия се разсейва.
−

Да приемем, че действащите съпротивителни сили R k (k = 1, 2, ..., n).
към точките на системата, пропорционални на техните скорости
_

R k = - μk v k

(k = 1, 2, ..., n),

Където µ k е коефициентът на пропорционалност.
Обобщените сили на съпротивление за холономната система се определят от формулите
н

Q j R = ∑ Rk
k = 1

∂ rk
∂r
= −∑ µ k vk k
∂q j
∂q j
k = 1
н

(j = 1, 2, ..., s).

Защото
_

∂ rk
∂ rk
∂ rk
q1 +
q 2 + ... +
qS,
∂q1
∂q2
∂qS

∂ rk
.
∂q j

Имайки предвид (1.18), пренаписваме обобщените съпротивителни сили (1.17) във вида
н

Q = −∑ µκ vκ
Р
j

(j = 1, 2, ..., s).

Нека въведем диссипативна функция, която се определя от формулата
н

Тогава обобщените съпротивителни сили се определят по формулите

(j = 1, 2, ..., s).

По аналогия с кинетичната енергия на системата, диссипативната функция може да бъде представена като хомогенна квадратична функция
обобщени скорости

1 S S
Φ = ∑∑ вij q i q j,
2 i = 1 j = 1

Където вij са обобщените коефициенти на разсейване.
1.4. Уравнение на Лагранж от втори вид
Позицията на холономна система със s степени на свобода се определя от s обобщени координати qj (j = 1, 2, ..., s).
За да изведем уравненията на Лагранж от втория вид, използваме общото
динамично уравнение
С

Q и j) δ q j = 0,

Където Qj е обобщената сила на активните сили, съответстваща на j-та обобщена координата;
Q uj - обобщена сила на инерционните сили, съответстваща на j-та обобщена координата;
δ q j - приращение на j -та обобщена координата.
Като се има предвид, че всички δ q j (j = 1, 2, ..., s) са независими едно от друго,
равенството (1.23) ще бъде валидно само в случай, когато всеки от коефициентите при δ q j поотделно е равен на нула, т.е.

Q j + Q и j = 0 (j = 1, 2, ..., s)
или

(j = 1, 2, ..., s).

Нека изразим Q uj чрез кинетичната енергия на системата.
По дефиницията на обобщената сила имаме

Q и j = ∑ Φ k
k = 1

∂ rk
d vk ∂ r k
= - ∑ mk
⋅
1
=
к
∂q j
dt ∂q j
н

(j = 1, 2, K, s),

D vk
където Φ k = - mk a k = - mk
Е силата на инерция към тата точка на системата.
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q j
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ - vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q j
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1, q2, ..., qs),
_

D rk ∂ rk
∂ rk
∂ rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs,
dt
∂q1
∂q2
∂q с
_

⎛ _
г ⎜ ∂ рк
dt ⎜ ∂q j
⎝

_
_
⎞
∂
д
r
∂
v
к
к
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q j
⎠

Замествайки стойностите (1.27) и (1.28) в равенство (1.26), намираме
_
⎛_
∂ vk ∂ r k d ⎜
∂ vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂ vk2
∂
v
д
к
⎜
⎟ - vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝

⎞
2
⎟ - ∂ vk.
⎟⎟ 2∂q j
⎠

Като се вземе предвид равенството (1.29), изразът (1.25) може да се пренапише като

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
и
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k = 1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
н

∂
−
∂q j

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
г⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k = 1
j
⎝
н

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂q j
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k = 1
⎠
н

11
Тук се взема предвид, че сумата от производните е равна на производната на сбора,
n m v2
и ∑ k k = T е кинетичната енергия на системата.
k = 1
2
Имайки предвид равенства (1.24), най-накрая намираме

⎛
г ⎜ ∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝ j

⎞
⎟ - ∂Τ = Q
j
⎟⎟ ∂q j
⎠

(j = 1, 2, K, s).

Уравненията (1.30) се наричат ​​уравнения на Лагранж от втори вид.
Броят на тези уравнения е равен на броя на степените на свобода.
Ако силите, действащи върху точките на системата, имат потенциал, тогава
за обобщените сили е валидна следната формула

∂П
∂q j

(j = 1, 2, K, s),

Където P е потенциалната енергия на системата.
Така за консервативната система на уравнението на Лагранж

Книгата запознава читателя с общи свойстваколебателни процеси, протичащи в радиотехнически, оптични и други системи, както и с различни качествени и количествени методи за тяхното изследване. Значително внимание се отделя на разглеждането на параметрични, автоосцилиращи и други нелинейни осцилаторни системи.
Изследването на осцилаторните системи и процесите в тях, описани в книгата, е дадено от добре познатите методи на теорията на трептенията без подробно представяне и обосновка на самите методи. Основно внимание се отделя на изясняване на основните характеристики на изследваните осцилаторни модели на реални системи с помощта на най-адекватните методи за анализ.

Свободни трептения във верига с нелинейна индуктивност.
Помислете сега за друг пример за електрическа нелинейна консервативна система, а именно верига с индуктивност, която зависи от тока, протичащ през нея. Този случай няма ясен и прост нерелативистичен механичен аналог, тъй като зависимостта на самоиндукцията от тока е еквивалентна за механиката на случая на зависимостта на масата от скоростта.

Срещаме електрически системи от този тип, когато в индукторите се използват сърцевини от феромагнитен материал. В такива случаи за всяко дадено ядро ​​можете да получите връзката между нулата на намагнитване и потока на магнитната индукция. Кривата, изобразяваща тази връзка, се нарича крива на намагнитване. Ако пренебрегнем явлението хистерезис, тогава неговият приблизителен ход може да бъде представен с графиката, показана на фиг. 1.13. Тъй като големината на полето H е пропорционална на тока, протичащ в намотката, токът може да бъде начертан по оста на абсцисата директно в подходящ мащаб.

Безплатно сваляне електронна книгав удобен формат, гледайте и четете:
Изтеглете книгата Основи на теорията на вибрациите, Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустел Е.Р., Паригин В.Н., 1978 - fileskachat.com, бързо и безплатно изтегляне.

• Принципи на теоретичната физика, Механика, теория на полето, елементи на квантовата механика, Медведев Б.В., 2007 г.
• Курс по физика, А. П. Ершов, Г. В. Федотович, В. Г. Харитонов, Е. Р. Прууел, Д. А. Медведев
• Техническа термодинамика с основите на топлопреноса и хидравликата, Лашутина Н.Г., Макашова О.В., Медведев Р.М., 1988 г.

Вече разгледахме произхода на класическата механика, устойчивостта на материалите и теорията на еластичността. Най-важният компонент на механиката е и теорията на трептенията. Вибрациите са основната причина за разрушаването на машини и конструкции. До края на 1950 г. 80% от авариите на оборудването са възникнали поради повишени вибрации. Вибрациите също имат вредно въздействие върху хората, свързани с работата на оборудването. Те също могат да причинят повреди в системата за управление.

Въпреки всичко това теорията на трептенията се появява като самостоятелна наука едва в началото на 19 век. Въпреки това, изчисленията на машини и механизми до началото XX век се провеждаха в статична обстановка. Развитието на машиностроенето, увеличаването на мощността и скоростта на парните двигатели с едновременно намаляване на теглото им, появата на нови видове двигатели - двигатели с вътрешно горене и парни турбини доведе до необходимостта от изчисления на якост, като се вземат предвид динамичните натоварвания . По правило нови проблеми в теорията на вибрациите възникват в технологията под влияние на аварии или дори катастрофи в резултат на повишени вибрации.

Осцилациите са движения или промени в състоянието, които имат различна степен на повторяемост.

Теорията на трептенията може да бъде разделена на четири периода.

азмесечен цикъл- възникването на теорията на трептенията в рамките на теоретичната механика (края на 16 век - края на 18 век). Този период се характеризира с възникването и развитието на динамиката в произведенията на Галилей, Хюйгенс, Нютон, д”Аламберт, Ойлер, Д. Бернули и Лагранж.

Основателят на теорията на трептенията е Леонард Ойлер. През 1737 г. Л. Ойлер от името на Петербургската академия на науките започва изследвания върху равновесието и движението на кораб, а през 1749 г. в Санкт Петербург излиза книгата му „Корабна наука”. Именно в тази работа на Ойлер са положени основите на теорията за статичната стабилност и теорията на трептенията.

Жан Лерон д"Аламбер в многобройните си творби разглежда отделни проблеми, като малки трептения на тяло около центъра на масата и около оста на въртене във връзка с проблема за прецесията и нутацията на Земята, трептения на махало, плаващо тяло, пружина и пр. Но обща теорияколебание d „Аламберт не е създал.

Най-важното приложение на методите на теорията на вибрациите е експерименталното определяне на коравина на усукване на телта, извършено от Чарлз Кулон. Емпирично Кулон установява свойството на изохронизъм на малките трептения и в този проблем. Изследвайки затихването на трептенията, този велик експериментатор стига до заключението, че основната му причина не е въздушното съпротивление, а загубите от вътрешно триене в материала на телта.

Голям принос за основите на теорията на трептенията имат Л. Ойлер, който положи основите на теорията за статичната стабилност и теорията за малките трептения, д'Аламберт, Д. Бернули и Лагранж. формират се понятия за периода и честотата на трептения, режимите на трептене, влиза в употреба терминът малки трептения. , формулиран е принципът на суперпозиция на решенията, правят се опити за разширяване на решението в тригонометричен ред.

Първите проблеми в теорията на трептенията са проблемите за трептенията на махало и струна. Вече говорихме за трептенията на махалото - практическият резултат от решаването на този проблем беше изобретяването на часовника от Хюйгенс.

Що се отнася до проблема за вибрациите на струните, това е един от най-важните проблеми в историята на развитието на математиката и механиката. Нека го разгледаме по-подробно.

Струнна акустикатова е идеална права, тънка и гъвкава нишка с ограничена дължина, изработена от твърд материал, опъната между две фиксирани точки. V съвременна интерпретацияпроблемът за напречните вибрации на струна с дължина лсе свежда до намиране на решение на диференциалното уравнение (1) в частни производни. Тук хЕ координатата на точката на низа по дължината и г- страничното му изместване; Х- напрежение на струните, - неговата линейна маса. атова е скоростта на разпространение на вълната. Подобно уравнение описва и надлъжните вибрации на въздушния стълб в тръбата.

В този случай трябва да се уточни първоначалното разпределение на отклоненията на точките на струната от права линия и техните скорости, т.е. уравнение (1) трябва да удовлетворява началните условия (2) и граничните условия (3).

Първите фундаментални експериментални изследвания на вибрациите на струните са извършени от холандския математик и механик Исак Бекман (1614–1618) и М. Мерсен, които установяват редица закономерности и публикуват резултатите си през 1636 г. в „Книга на съзвучията“:

Законите на Мерсен са теоретично потвърдени през 1715 г. от ученичката на Нютон Брук Тейлър. Той разглежда струната като система от материални точки и приема следните допускания: всички точки на струната едновременно преминават своите равновесни позиции (съвпадат с оста х) и силата, действаща върху всяка точка, е пропорционална на нейното изместване гоколо оста х... Това означава, че той свежда задачата до система с една степен на свобода – уравнение (4). Тейлър правилно получи първата естествена честота (основна) - (5).

D "Alambert през 1747 г. за този проблем прилага метода за свеждане на проблема за динамиката към проблема за статиката (принцип d" Alambert) и получава диференциалното уравнение на вибрациите на хомогенна струна в частни производни (1) - първото уравнение на математическа физика. Той потърси решението на това уравнение под формата на сумата от две произволни функции (6)

където и - периодични функции на период 2 л... При изясняване на въпроса за вида на функциите и e "Аламберт взема предвид граничните условия (1.2), като приема, че за
низът е подравнен с оста х... Смисълът е
не е посочено в изложението на проблема.

Ойлер разглежда специален случай, когато за
струната се отклонява от равновесното положение и се освобождава без начална скорост. Важно е Ойлер да не налага никакви ограничения върху първоначалната форма на струната, т.е. не изисква тя да може да бъде определена аналитично, като се вземе предвид всяка крива, която „може да бъде начертана на ръка“. Крайният резултат, получен от автора: ако при
формата на низа се описва с уравнението
, тогава трептенията изглеждат така (7). Ойлер преразгледа възгледите си за концепцията за функция, за разлика от предишния възглед за нея само като аналитичен израз. Така класът на функциите, които трябва да бъдат изучавани в анализа, е разширен и Ойлер стига до извода, че „тъй като всяка функция ще дефинира определена линия, вярно е и обратното – кривите линии могат да бъдат сведени до функции“.

Решенията, получени от д'Аламбер и Ойлер, представляват закона за вибрациите на струна под формата на две вълни, движещи се една към друга, но те не са съгласни относно формата на функцията, определяща линията на огъване.

Д. Бернули при изучаването на вибрациите на струните пое по различен път, разбивайки струната на материални точки, чийто брой той смята за безкраен. Той въвежда концепцията за проста хармонична вибрация на системата, т.е. такова неговото движение, при което всички точки на системата трептят синхронно с една и съща честота, но с различни амплитуди. Експериментите, проведени със звучащи тела, доведоха Д. Бернули до идеята, че най-общото движение на струната се състои в едновременното изпълнение на всички налични за нея движения. Това е така наречената суперпозиция на решения. Така през 1753 г., изхождайки от физически съображения, той получава общо решение за вибрациите на струните, представяйки го като сбор от частни решения, за всяко от които струната се огъва под формата на характерна крива (8).

В тази серия първата форма на вълната е половин синусоида, втората е цяла синусоида, третата се състои от три полусинусоиди и т.н. Техните амплитуди са представени като функции на времето и по същество са обобщени координати на разглежданата система. Според решението на Д. Бернули, движението на струната е безкрайна поредица от хармонични вибрации с периоди
... В този случай броят на възлите (неподвижните точки) е с един по-малък от броя на собствената честота. Ограничавайки ред (8) до краен брой членове, получаваме краен брой уравнения за непрекъснатата система.

Решението на Д. Бернули обаче съдържа неточност – то не отчита, че фазовото изместване за всеки хармоник от трептения е различно.

Д. Бернули, представяйки решението под формата на тригонометричен ред, използва принципа на суперпозицията и разширяването на решението по отношение на пълната система от функции. Той правилно вярвал, че с помощта на различни термини във формула (8) могат да се обяснят хармоничните тонове, които струната излъчва едновременно с основния си тон. Той счита това за общ закон, валиден за всяка система от тела, извършващи малки вибрации. Физическата мотивация обаче не може да замени математическото доказателство, което не беше представено по това време. Поради това колегите не разбраха решението на Д. Бернули, въпреки че още през 1737 г. C. A. Clairaut използва разширяването на функциите в серия.

Наличието на две различни начинирешението на проблема с вибрациите на струната е наречено сред водещите учени от XVIII век. бурен спор - "спорът за низа". Този спор засягаше основно въпросите каква форма имат допустимите решения на задачата, аналитичното представяне на функция и дали е възможно да се представи произволна функция под формата на тригонометричен ред. В "спора за низа" един от най важни понятияанализ – понятието функция.

D "Аламберт и Ойлер не са съгласни, че решението, предложено от Д. Бернули, може да бъде общо. По-специално, Ойлер не може да се съгласи по никакъв начин, че тази серия може да представлява някаква "свободно начертана крива", тъй като самият той сега определя концепцията на функция.

Джоузеф Луи Лагранж, след като влезе в полемика, разби струната на малки дъги с еднаква дължина с маса, концентрирана в центъра, и изследва решението на система от обикновени диференциални уравнения с краен брой степени на свобода. След това преминавайки до предела, Лагранж получава резултат, подобен на този на Д. Бернули, без обаче предварително да постулира, че общото решение трябва да бъде безкраен сбор от частни решения. В същото време той прецизира решението на Д. Бернули, като го привежда във вида (9), а също така извежда формули за определяне на коефициентите на тази серия. Въпреки че решението на основателя на аналитичната механика не отговаря на всички изисквания на математическата строгост, това е забележима стъпка напред.

Що се отнася до разширяването на решението в тригонометричен ред, Лагранж смята, че редът се разминава при произволни начални условия. 40 години по-късно, през 1807 г., Дж. Фурие отново намира разширяването на функцията в тригонометричен ред за трети път и показва как може да се използва за решаване на задачата, като по този начин потвърждава правилността на решението на Д. Бернули. Пълно аналитично доказателство на теоремата на Фурие за разширяването на еднозначна периодична функция в тригонометричен ред е дадено в интегралното смятане на Тодгьонтер и в "Трактат по естествената философия" от Томсън (лорд Келвин) и Тета.

Изследванията на свободните вибрации на опъната струна се провеждат от два века въз основа на работата на Бекман. Тази задача послужи като мощен стимул за развитието на математиката. Отчитайки колебанията на непрекъснатите системи, Ойлер, д"Аламберт и Д. Бернули създават нова дисциплина - математическа физика. Математизирането на физиката, тоест представянето й чрез нов анализ - най-голямата заслуга на Ойлер, благодарение на което се проправят нови пътища в наука. Логическо развитиерезултатите на Ойлер и Фурие бяха добре познатата дефиниция на функция от Лобачевски и Лежен Дирихле, базирана на идеята за едно към едно съответствие на две множества. Дирихле също доказа възможността за разширяване на Фурие на късове непрекъснати и монотонни функции. Получено е и едномерно вълново уравнение и е установено равенството на двете му решения, което математически потвърждава връзката между трептения и вълни. Фактът, че вибриращата струна генерира звук, накара учените да се замислят за идентичността на процеса на разпространение на звука и процеса на вибриране на струна. Разкрита е и най-важната роля на граничните и началните условия в подобни задачи. За развитието на механиката важен резултат е прилагането на принципа на Аламберт за писане на диференциални уравнения на движение, а за теорията на трептенията този проблем също играе много важна роля, а именно принципът на суперпозицията и разширяването на приложено е решение по отношение на естествените режими на трептене, формулирани са основните понятия на теорията на трептенията - собствена честота и вид на вибрация.

Получените резултати за свободни вибрации на струна послужиха за основа за създаване на теория на вибрациите на непрекъснати системи. По-нататъшното изследване на вибрациите на нехомогенни струни, мембрани, пръти изискваше намиране на специални методи за решаване на най-простите уравнения от хиперболичен тип от втори и четвърти ред.

Проблемът със свободните вибрации на опъната струна интересуваше учените, разбира се, не за практическото му приложение, законите на тези вибрации в една или друга степен бяха известни на майсторите на изработването на музикални инструменти. Това се доказва от ненадминатите струнни инструменти на такива майстори като Амати, Страдивари, Гуарнери и други, чиито шедьоври са създадени през 17 век. Интересите на най-големите учени, участващи в тази задача, най-вероятно се състоят в желанието да се въведе математическа основа за вече съществуващите закони на вибрацията на струните. В този брой се прояви традиционният път на всяка наука, като се започне със създаването на теория, която вече обяснява известни фактиза да намери и изследва непознати явления.

IIпериод - аналитичен(края на 18 век - края на 19 век). Най-важната стъпка в развитието на механиката е наследена от Лагранж, който създава нова наука - аналитичната механика. Началото на втория период в развитието на теорията на трептенията се свързва с работата на Лагранж. В книгата си Аналитична механика, публикувана в Париж през 1788 г., Лагранж обобщава всичко, което е направено в механиката през 18-ти век и формулира нов подход за решаване на нейните проблеми. В теорията на равновесието той изоставя геометричните методи на статиката и предлага принципа на възможните премествания (принципа на Лагранж). В динамиката Лагранж, прилагайки едновременно принципа на d "Аламберт и принципа на възможните премествания, получава общо вариационно уравнение на динамиката, което се нарича още принцип на d" Аламберт - Лагранж. Накрая той въвежда понятието за обобщени координати в ежедневието и получава уравненията на движението в най-удобната форма - уравненията на Лагранж от втори вид.

Тези уравнения станаха основа за създаването на теорията на малките трептения, описани от линейни диференциални уравненияс постоянни коефициенти. Линейността рядко е присъща на механична система, но в повечето случаи е резултат от опростяване. Като се имат предвид малките трептения в близост до положението на равновесие, които се извършват при ниски скорости, е възможно да се отхвърлят членове от втори и по-висок порядък спрямо обобщените координати и скорости в уравненията на движението.

Прилагане на уравненията на Лагранж от втори вид за консервативни системи

получаваме системата слинейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

, (11)

където ази ° С- съответно матриците на инерцията и коравината, чиито компоненти ще бъдат инерционни и еластични коефициенти.

Конкретно решение (11) се търси във формата

и описва монохармоничен осцилаторен режим с честота к, което е едно и също за всички обобщени координати. Диференциране (12) два пъти по отношение на Tи замествайки резултата в уравнения (11), получаваме система от линейни хомогенни уравнения за намиране на амплитудите в матрична форма

. (13)

Тъй като по време на колебанията на системата всички амплитуди не могат да бъдат нула, детерминантата е равна на нула

. (14)

Честотното уравнение (14) се нарича светско уравнение, тъй като за първи път е разгледано от Лагранж и Лаплас в теорията на секуларните смущения на елементите на планетарните орбити. Това е уравнението сотносителна степен , броят на нейните корени е равен на броя на степените на свобода на системата. Тези корени обикновено са подредени във възходящ ред, докато образуват спектър от естествени честоти. На всеки корен съответства на конкретно решение от вида (12), множеството самплитудите представляват формата на вълната, а цялостното решение е сумата от тези решения.

Лагранж даде твърдението на Д. Бернули, че общото осцилаторно движение на система от дискретни точки се състои в едновременното изпълнение на всички нейни хармонични трептения, под формата на математическа теорема, използвайки теорията за интегриране на диференциални уравнения с постоянни коефициенти, създадена от Ойлер през 1840-те години. и постиженията на д"Аламберт, който показа как се интегрират системи от такива уравнения. В този случай беше необходимо да се докаже, че корените на светското уравнение са реални, положителни и не са равни един на друг.

Така в "Аналитична механика" Лагранж получава уравнението на честотите в общ вид. В същото време той повтаря грешката, допусната от д'Аламбер през 1761 г., че множествените корени на светското уравнение съответстват на нестабилно решение, тъй като в този случай светски или светски термини, съдържащи Tне под знака синус или косинус. В тази връзка и д'Аламбер, и Лагранж вярват, че уравнението на честотите не може да има множество корени (парадоксът на д'Аламбер - Лагранж). За Лагранж беше достатъчно да разгледа поне сферично махало или вибрации на пръчка, чието напречно сечение е например кръгло или квадратно, за да се увери, че в консервативните механични системи са възможни множество честоти. Грешката, допусната в първото издание на Аналитична механика, е повторена във второто издание (1812 г.), публикувано приживе на Лагранж, и в третото (1853 г.). Научният авторитет на д'Аламбер и Лагранж е толкова висок, че тази грешка е повторена както от Лаплас, така и от Поасон и е поправена едва почти 100 години по-късно, независимо един от друг, през 1858 г. от К. Вайерщрас и през 1859 г. от Осип Иванович Сомов, който има голям принос в развитието на теорията на трептенията на дискретни системи.

По този начин, за да се определят честотите и формите на свободни трептения на линейна система без съпротивление, е необходимо да се реши световното уравнение (13). Уравненията със степен по-висока от петата обаче нямат аналитично решение.

Проблемът беше не само решението на светското уравнение, но и в в по-голяма степен, неговата компилация, тъй като разширеният детерминант (13) има
термини, например, за система с 20 степени на свобода, броят на термините е 2,4 × 10 18, а времето, необходимо за отваряне на такава детерминанта за най-мощния компютър от 70-те години, извършващ 1 милион операции в секунда, е около 1,5 милиона години, но за съвременния компютър "само" няколкостотин години.

Проблемът за определяне на честотите и формите на свободните вибрации също може да се разглежда като задача на линейна алгебра и да се решава числено. Пренаписване на равенство (13) като

, (14)

имайте предвид, че матрицата на колоните е собствена матричен вектор

, (15)

а по собствен смисъл.

Решаването на проблема със собствените стойности и векторите е един от най-атрактивните проблеми в числения анализ. В същото време е невъзможно да се предложи единен алгоритъм за решаване на всички проблеми, срещани на практика. Изборът на алгоритъма зависи от вида на матрицата, както и от това дали е необходимо да се определят всички собствени стойности или само най-малкото (най-голямото) или близко до дадено число. През 1846 г. Карл Густав Якоб Якоби предлага итеративен метод на ротации за решаване на пълния проблем със собствените стойности. Методът се основава на такава безкрайна последователност от елементарни завъртания, която в предела преобразува матрица (15) в диагонална. Диагоналните елементи на получената матрица ще бъдат желаните собствени стойности. В този случай, за да се определят собствените стойности, е необходимо
аритметични операции, а също и за собствени вектори
операции. В тази връзка методът през XIX век. не намери приложение и беше забравен повече от сто години.

Следващата важна стъпка в развитието на теорията на вибрациите е работата на Рейли, особено неговата фундаментална работа "Теория на звука". В тази книга Рейли разглежда вибрационните явления в механиката, акустиката и електрическите системи от единна гледна точка. Релей принадлежи към редица фундаментални теореми на линейната теория на трептенията (теореми за стационарността и свойствата на собствените честоти). Рейли формулира и принципа на реципрочността. По аналогия с кинетичната и потенциалната енергия той въвежда диссипативната функция, получава името на Релей и представлява половината от скоростта на разсейване на енергията.

В Теорията на звука Рейли предлага и приблизителен метод за определяне на първата естествена честота на консервативна система

, (16)

където
... В този случай, за да се изчислят максималните стойности на потенциалната и кинетичната енергия, се взема определена форма на вибрация. Ако съвпада с първия режим на вибрация на системата, ще получим точната стойност на първата собствена честота, но в противен случай тази стойност винаги е надценена. Методът дава доста приемлива за практиката точност, ако статичната деформация на системата се приеме като първи режим на вибрация.

Така още през 19 век в трудовете на Сомов и Рейли се формира метод за конструиране на диференциални уравнения, описващи малки осцилаторни движения на дискретни механични системи с помощта на уравнения на Лагранж от втори вид

където в обобщената сила
всички фактори на сила трябва да бъдат включени, с изключение на еластичните и разсейващите, обхванати от функциите Р и П.

Уравненията на Лагранж (17) в матрична форма, описващи принудителни вибрации на механична система, след заместване на всички функции изглеждат така

. (18)

Тук Дали демпферната матрица и
- колонни вектори, съответно, на обобщени координати, скорости и ускорения. Общо решениеТова уравнение се състои от свободни и съпътстващи трептения, които винаги са затихващи и принудени трептения, възникващи с честотата на смущаващата сила. Ще се ограничим до разглеждане само на конкретно решение, съответстващо на принудителни флуктуации. Като възбуждане, Рейли разглежда обобщени сили, които варират според хармоничния закон. Мнозина приписват този избор на простотата на разглеждания случай, но Рейли дава по-убедително обяснение – разширяването на редицата на Фурие.

По този начин, за механична система с повече от две степени на свобода, решението на системата от уравнения представлява определени трудности, които се увеличават като лавина с увеличаване на реда на системата. Вече при пет до шест степени на свобода проблемът с принудителните вибрации не може да бъде решен ръчно по класическия метод.

В теорията на вибрациите на механичните системи особена роля играят малките (линейни) вибрации на дискретни системи. Спектралната теория, разработена за линейни системи, дори не изисква изграждането на диференциални уравнения и за да се получи решение, може веднага да се запишат системи от линейни алгебрични уравнения. Въпреки че в средата на 19-ти век са разработени методи за определяне на собствени вектори и собствени стойности (Якоби), както и за решаване на система от линейни алгебрични уравнения (Гаус), тяхното практическо приложение, дори за системи с малък брой градуси на свободата, не можеше да става дума. Ето защо, преди появата на достатъчно мощни компютри, бяха разработени много различни методи за решаване на проблема със свободните и принудителни вибрации на линейни механични системи. Много изключителни учени - математици и механици - са се занимавали с тези проблеми; те ще бъдат разгледани по-долу. Появата на мощна изчислителна технология направи възможно не само решаването на линейни задачи с големи размери за части от секундата, но и автоматизирането на самия процес на компилиране на системи от уравнения.

Така през XVIII век. в теорията на малките трептения на системи с краен брой степени на свобода и трептения на непрекъснати еластични системи са разработени основните физически схеми и принципите, които са от съществено значение за математически анализпроблеми. Въпреки това, за да се създаде теорията на механичните вибрации като независима наука, липсваше единен подход за решаване на проблемите на динамиката и за по-бързото й развитие нямаше технически изисквания.

Разрастването на мащабната индустрия в края на 18 и началото на 19 век, причинено от широкото навлизане на парната машина, доведе до отделянето на приложната механика в отделна дисциплина. Но до края на 19-ти век изчисленията на силата се извършват в статична настройка, тъй като машините все още са с ниска мощност и бавно движещи се.

В края на 19-ти век, с увеличаването на скоростите и намаляването на размера на машините, стана невъзможно да се пренебрегват колебанията. Многобройни аварии в резултат на възникване на резонанс или повреда от умора по време на вибрации принудиха инженерите да обърнат внимание на вибрационните процеси. От проблемите, възникнали през този период, трябва да се отбележи следното: срутване на мостове от преминаващи влакове, усукващи вибрации на вала и вибрации на корпусите на кораби, възбудени от инерционните сили на движещите се части на небалансирани машини.

IIIмесечен цикъл- формирането и развитието на приложната теория на трептенията (1900–1960-те). Развитие на машиностроенето, усъвършенстване на локомотивите и корабите, появата на парни и газови турбини, високоскоростни двигатели с вътрешно горене, автомобили, самолети и др. изисква по-точен анализ на напреженията в машинните части. Това беше продиктувано от изискванията за по-икономично използване на метала. Олекотената конструкция е довела до проблеми с вибрациите, които стават все по-критични по отношение на здравината на машината. В началото на 20-ти век многобройни аварии убедително показват какви катастрофални последици могат да предизвикат пренебрегването на вибрациите или незнанието им.

Появата на нови технологии, като правило, поставя нови проблеми за теорията на трептенията. Така че през 30-40г. възникнаха нови проблеми като трептене на свали и шимми в авиацията, огъващи и огъващо-усукващи вибрации на въртящи се валове и др., което наложи разработването на нови методи за изчисляване на вибрациите. В края на 20-те години на миналия век, първо във физиката, а след това и в механиката, започва изучаването на нелинейните трептения. Във връзка с разработването на системи за автоматично управление и други технически изисквания, започвайки от 30-те години на миналия век, теорията за стабилността на движението е широко разработена и прилагана, в основата на която е докторската дисертация на А. М. Ляпунов "Общият проблем за стабилността на движението".

Липсата на аналитично решение на проблемите на теорията на трептенията, дори в линейна постановка, от една страна, и компютърните технологии, от друга, доведе до разработването на голям брой различни числени методи за тяхното решаване. .

Необходимостта от изчисляване на вибрациите за различни видове технологии доведе до появата през 30-те години на миналия век на първата курсове за обучениетеорията на трептенията.

Преход към IVмесечен цикъл(началото на 60-те години на миналия век – до днес) се свързва с епохата на научно-техническата революция и се характеризира с появата на нови технологии, предимно авиационни и космически, роботизирани системи. В допълнение, развитието на енергетиката, транспорта и други постави проблемите на динамичната здравина и надеждност на първо място. Това се дължи на увеличаване на работните скорости и намаляване на разхода на материали с едновременен стремеж към увеличаване на експлоатационния живот на машините. В теорията на трептенията все повече проблеми се решават в нелинейна настройка. В областта на трептенията на непрекъснатите системи, под влияние на изискванията на авиационната и космическата техника, възникват проблеми с динамиката на плочи и черупки.

Най-голямо влияние върху развитието на теорията на трептенията през този период оказва появата и бързото развитие на електронните изчислителни технологии, което доведе до разработването на числени методи за изчисляване на трептения.

Осцилиращо движениесе нарича всяко движение или промяна на състоянието, характеризиращо се с една или друга степен на повторение във времето на стойностите на физическите величини, които определят това движение или състояние. Трептенията са присъщи на всички природни явления: пулсираща радиация от звезди; планетите се въртят с висока степен на периодичност Слънчева система; ветровете възбуждат вибрации и вълни на повърхността на водата; вътре във всеки жив организъм непрекъснато протичат различни, ритмично повтарящи се процеси, например човешкото сърце бие с удивителна надеждност.

Трептенията се открояват във физиката механичени електромагнитни.С помощта на разпространяващи се механични флуктуации в плътността и налягането на въздуха, които възприемаме като звук, както и много бързи колебания в електрическите и магнитните полета, които възприемаме като светлина, ние получаваме голям брой директна информация за света. около нас. Примери за осцилаторно движение в механиката са трептения на махала, струни, мостове и др.

Трептенията се наричат периодично, ако стойностите на физическите величини, които се променят в хода на трептенията, се повтарят на равни интервали. Най-простият вид периодична вибрация е хармоничната вибрация. Осцилациите се наричат ​​хармонични трептения, при които промяната в осцилиращото количество с течение на времето се извършва съгласно синусоидния (или косинус) закон:

където x е изместването от равновесното положение;

А - амплитуда на вибрация - максимално изместване от равновесното положение;

- циклична честота;

- началната фаза на трептенето;

- фаза на трептене; той определя изместването във всеки един момент от времето, т.е. определя състоянието на осцилаторната система.

В случай на строго хармонични трептения, величините A, и не зависи от времето.

Циклична честота свързани с периода T на трептенията и честотата съотношение:

(2)

Период Тфлуктуации, наречени най-малкият период от време, след който се повтарят стойностите на всички физични величини, характеризиращи флуктуациите.

Честота вибрации е броят на пълните вибрации за единица време, измерен в херци (1 Hz = 1
).

Циклична честота е числено равно на броя на трептенията, извършени в 2 секунди.

Трептенията, възникващи в система, която не е обект на действието на променливи външни сили, в резултат на всяко първоначално отклонение на тази система от състояние на стабилно равновесие, се наричат Безплатно(или своя собствена).

Ако системата е консервативна, тогава не се получава разсейване на енергия по време на трептения. В този случай се наричат ​​свободни вибрации неамортизиран.

Скорост точковите флуктуации се дефинират като производна на изместването във времето:

(3)

Ускорение на осцилиращата точка е равна на производната на скоростта по отношение на времето:

(4)

Уравнение (4) показва, че ускорението по време на хармонични трептения е променливо, следователно трептенето се дължи на действието на променлива сила.

Вторият закон на Нютон ни позволява да запишем в общи линии връзката между силата F и ускорението с праволинейни хармонични вибрации материална точкас маса
:

където
, (6)

k - коефициент на еластичност.

По този начин силата, причиняваща хармонични вибрации, е пропорционална на преместването и е насочена срещу изместването. В тази връзка е възможно да се даде динамична дефиниция на хармоничната вибрация: хармонична е вибрацията, причинена от сила, правопропорционална на преместването x и насочена срещу изместването.

Възстановяващата сила може да бъде например еластична сила. Наричат ​​се сили, които имат различна природа от еластичните сили, но също така отговарят на условие (5). квазиеластичен.

В случай на праволинейни вибрации по оста x, ускорението равно на:

.

Замяна на този израз за ускоряване и значението на силата
във втория закон на Нютон получаваме основното уравнение на праволинейните хармонични вибрации:

или
(7)

Решението на това уравнение е уравнение (1).

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКА ДЪРЖАВА

УНИВЕРСИТЕТ им. Х. М. БЕРБЕКОВА

ОСНОВИ НА ТЕОРИЯТА НА ВИБРАЦИЯТА

ОСНОВИ НА ТЕОРИЯТА, ПРОБЛЕМИ ЗА ДОМАШНИ ЗАДАЧИ,

ПРИМЕРИ ЗА РЕШЕНИЯ

За студенти от механични специалности на университети

Налчик 2003г

Рецензенти:

- доктор на физико-математическите науки, професор, директор на Научноизследователския институт по приложна математика и автоматизация на Руската академия на науките, почитател. учен на Руската федерация, академик на AMAN.

Доктор на физико-математическите науки, професор, ръководител на катедрата по приложна математика на Кабардино-Балкарската държавна селскостопанска академия.

Култербаев теория на трептенията. Основи на теорията, задачи за домашна работа, примери за решения.

Учебник за студенти от висши технически учебни заведения, обучаващи се в областите на обучение на завършилите 657800 - Проектиране и технологично осигуряване на машиностроителните индустрии, 655800 Хранително-вкусова техника. –Налчик: Издателство на КБСУ им. , 20-те години.

Книгата очертава основите на теорията на трептенията на линейните механични системи, както и задачи за домашна работа с примери за тяхното решаване. Теоретичното съдържание и задачите са насочени към студентите по механика.

Разглеждат се както дискретни, така и разпределени системи. Броят на несъответстващите опции за домашна работа позволява те да се използват за голям поток от ученици.

Изданието може да бъде полезно и за преподаватели, аспиранти и специалисти в различни области на науката и технологиите, които се интересуват от приложения на теорията на трептенията.

© Кабардино-Балкариан държавен университеттях.

Предговор

Книгата е написана въз основа на курса, прочетени от авторав инженерно-техническия факултет на Кабардино-Балкарския държавен университет за студенти от механични специалности.

Механизми и конструкции модерна технологияте често работят при сложни динамични условия на натоварване, поради което постоянният интерес към теорията на трептенията се подкрепя от изискванията на практиката. Теорията на вибрациите и нейните приложения имат обширна библиография, включваща значителен брой учебници и учебни помагала. Някои от тях са дадени в библиографията в края на този урок. Почти цялата съществуваща учебна литература е предназначена за читатели, които изучават този курс в големи обеми и се специализират в области на инженерна дейност, по един или друг начин, значително свързани с динамиката на конструкциите. Междувременно в момента всички инженери от механични специалности чувстват нуждата да овладеят теорията на трептенията на доста сериозно ниво. Опитът за задоволяване на тези изисквания води до въвеждането на малки по обем специални курсове в образователните програми на много университети. Този урок е предназначен да обслужва точно такива заявки и съдържа основите на теорията, домашните задачи и примери за решаването им. Това оправдава ограничения обем на учебника, избора на неговото съдържание и заглавието: „Основи на теорията на вибрациите“. Всъщност в учебника са изложени само основните въпроси и методи на дисциплината. Заинтересованият читател може да се възползва от добре познати научни монографии и учебни помагалададено в края на тази публикация за задълбочено проучванетеория и нейните много приложения.

Книгата е предназначена за читател, който има обучение в обема на обикновените университетски курсове висша математика, теоретична механика и якост на материалите.

При изучаването на такъв курс се извършва значително количество домашна работа под формата на курсова работа, контрол, изчисление и проектиране, изчислителна и графична и друга работа, която изисква много време. Съществуващите проблемни книги и ръководства за решаване на проблеми не са предназначени за тези цели. Освен това има ясна целесъобразност да се съчетаят теория и домашна работа в едно издание, обединени от общо съдържание, тематична насоченост и взаимно допълващи се.

При изпълнение и изпълнение на домашни задачи студентът е изправен пред много въпроси, които не са посочени или не са достатъчно обяснени в теоретичната част на дисциплината; изпитва затруднения при представянето на хода на решаване на проблема, начините за аргументиране на взетите решения, структурирането и форматирането на записи.

Учителите също изпитват затруднения, но вече от организационен характер. Често им се налага да преразглеждат обема, съдържанието и структурата на домашната работа, да изготвят множество варианти за задачи, да гарантират навременното издаване на несъответстващи задачи в масов мащаб, да провеждат множество консултации, обяснения и др.

Това ръководство е предназначено, inter alia, да намали и премахне трудностите и трудностите от това естествов контекста на масовото образование. Той съдържа две задачи, според техните теми, обхващащи най-важните и основни въпроси от курса:

1. Трептения на системи с една степен на свобода.

2. Трептения на системи с две степени на свобода.

По своя обем и съдържание тези задачи могат да се превърнат в проектантска и дизайнерска работа за редовни, задочни и задочни студенти или тестове за студенти. задочна формаизучаване на.

За удобство на читателите, книгата използва автономно номериране на формули (уравнения) и цифри във всеки параграф, като се използва обичайното десетично числов скоби. Препратките в рамките на настоящия параграф се правят просто чрез посочване на такъв номер. Ако е необходимо да се обърнете към формулата от предишните параграфи, посочете номера на параграфа и след това чрез точка - номера на самата формула. Така например обозначението (3.2.4) съответства на формулата (4) в параграф 3.2 от тази глава. Позоваването на формулата на предишните глави се прави по същия начин, но с посочване на първо място на номера и периода на глава.

Книгата е опит за задоволяване на исканията професионално обучениестуденти от определени направления. Авторът е наясно, че явно няма да бъде лишен от недостатъци и затова ще приеме с благодарност евентуални критики и коментари от читатели за подобряване на следващите издания.

Книгата може да бъде полезна и на специалисти, които се интересуват от приложения на теорията на трептенията в различни областифизика, инженерство, строителство и други области на знанието и производствената дейност.

Главааз

ВЪВЕДЕНИЕ

1. Предмет на теорията на вибрациите

Определена система се движи в пространството, така че нейното състояние във всеки момент от време t се описва с определен набор от параметри: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif "width =" 31 " височина =" 23 src = ">. gif" ширина = "48" височина = "24"> и външни влияния. И тогава задачата е да се предвиди по-нататъшната еволюция на системата във времето: (фиг. 1).

Нека една от променящите се характеристики на системата е,. Може да има различни характерни разновидности на промяната му във времето: монотонна (фиг. 2), немонотонна (фиг. 3), по същество немонотонна (фиг. 4).

Процесът на промяна на параметър, който се характеризира с многократно алтернативно увеличаване и намаляване на параметъра във времето, се нарича осцилаторен процесили просто флуктуации.Осцилациите са широко разпространени в природата, технологиите и човешката дейност: ритмите на мозъка, трептения на махалото, сърцебиене, трептения на звезди, трептения на атоми и молекули, трептения на тока в електрическа верига, колебания на температурата на въздуха, колебания в цените на храните, вибрация на звука, вибрация на струните на музикален инструмент.

Темата на този курс е механични вибрациит.е. вибрации в механичните системи.

2. Класификация на осцилаторните системи

Нека бъде u(NS, t) е векторът на състоянието на системата, е(NS, t) е векторът на действията върху системата отстрани заобикаляща среда(Фиг. 1). Динамиката на системата се описва с операторното уравнение

Л u(NS, t) = е(NS, t), (1)

където операторът L е даден от уравненията на трептенията и допълнителни условия(граница, начална). В такова уравнение u и f също могат да бъдат скалари.

Най-простата класификация на осцилаторните системи може да се направи от тях брой степени на свобода... Броят на степените на свобода е броят на независимите числови параметри, които еднозначно определят конфигурацията на системата във всеки момент t. На тази основа осцилаторните системи могат да бъдат приписани на един от трите класа:

1)Системи с една степен на свобода.

2)Системи с краен брой степени на свобода... Те често се наричат дискретни системи.

3)Системи с безкраен неизброим брой степени на свобода (непрекъснати, разпределени системи).

На фиг. 2 показва редица илюстративни примери за всеки от техните класове. За всяка схема броят на степените на свобода е посочен в кръгове. Последната диаграма показва разпределена система под формата на еластична деформируема греда. За да се опише неговата конфигурация, е необходима функция u (x, t), тоест безкраен набор от стойности на u.

Всеки клас осцилаторни системи има свой собствен математически модел. Например, система с една степен на свобода се описва с обикновено диференциално уравнение от втори ред, системите с краен брой степени на свобода се описват със система от обикновени диференциални уравнения, а разпределените системи се описват с частни диференциални уравнения .

В зависимост от вида на оператора L в модел (1), осцилаторните системи се разделят на линейни и нелинейни... Системата се разглежда линеенако съответният оператор е линеен, т.е. отговаря на условието

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif "ширина =" 20 височина = 24 "височина =" 24 ">. jpg" ширина = "569" височина = "97">
За линейните системи е вярно принцип на суперпозиция(принципът на независимост на действието на силите). Същността му се основава на пример (fig..gif "width =" 36 "height =" 24 src = "> е както следва..gif" width = "39" height = "24 src ="> .. gif " ширина =" 88 "височина =" 24 ">.

Стационарни и нестационарни системи.Имайте стационарни системиза разглеждания период от време имотите не се изменят във времето. В противен случай системата се извиква нестационарни.Следващите две фигури ясно демонстрират флуктуациите в такива системи. На фиг. 4 показва трептения в стационарна система при стационарни условия, на фиг. 5 - трептения в нестационарна система.

Процеси в стационарни системисе описват с диференциални уравнения с постоянни във времето коефициенти, в нестационарни системи - с променливи коефициенти.

Автономни и неавтономни системи. V автономни системивъншни влияния липсват. Осцилаторните процеси в тях могат да възникнат само поради вътрешни енергийни източници или поради енергията, предадена на системата в началния момент от време. В операторното уравнение (1) тогава дясната страна не зависи от времето, т.е. е(х, t) = е(х). Останалите системи са неавтономен.

Консервативни и неконсервативни системи. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg "align =" left hspace = 12 "width =" 144 "height =" 55 "> Безплатни вибрации. Безплатни вибрациисе извършват при липса на променливо външно влияние, без приток на енергия отвън. Такива флуктуации могат да възникнат само в автономни системи (фиг. 1).

Принудителни вибрации.Такива флуктуации се случват в неавтономни системи, като техните източници са променливи външни влияния (фиг. 2).

Параметрични вибрации.Параметрите на една осцилаторна система могат да се променят с течение на времето и това може да стане източник на трептения. Такива вибрации се наричат параметричен.Горната точка на окачване на физическото махало (фиг..gif "ширина =" 28 "височина =" 23 src = ">, което е причина за странични параметрични трептения (фиг. 5).

Автоколебания(самовъзбуждащи се трептения). За такива трептения източниците имат неколебателен характер, а самите източници са включени в осцилаторната система. На фиг. 6 показва пружинирана маса, лежаща върху движеща се лента. Върху него действат две сили: силата на триене и еластичната сила на опъването на пружината и те се променят с времето. Първият зависи от разликата между скоростите на лентата и масата, вторият от големината и знака на деформацията на пружината, следователно масата е под въздействието на резултантната сила, насочена сега наляво и след това към дясно и осцилира.

Във втория пример (фиг. 7) левият край на пружината се движи надясно с постоянна скорост v, в резултат на което пружината премества товара по неподвижната повърхност. Образува се ситуация, подобна на описаната за предишния случай и товарът започва да се колебае.

4. Кинематика на периодичните колебателни процеси

Нека процесът се характеризира с една скаларна променлива, която е, например, изместване. След това - скорост, - ускорение .. gif "width =" 11 височина = 17 "height =" 17 "> условието

,

тогава вибрациите се наричат периодично(Фиг. 1). Освен това най-малкото от тези числа се нарича период на колебания... Мерната единица за периода на трептене най-често е секунда, обозначена с или сек. Използват се и мерни единици в минути, часове и т.н. Друга, също важна характеристика на периодичния колебателен процес е честота на вибрации

определяне на количество пълни циклифлуктуации за 1 единица време (например за секунда). Тази честота се измерва в херци (Hz), така че това означава 5 пълни цикъла на вибрация за една секунда. При математическите изчисления на теорията на трептенията се оказва по-удобно ъглова честота

,

измерено в https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif "ширина =" 115 височина = 24 "височина =" 24 ">.

Най-простите от периодичните трептения, но изключително важни за изграждането на теоретична основа на теорията на трептенията, са хармоничните (синусоидални) трептения, които варират според закона

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif "width =" 17 "height =" 17 src = "> - амплитуда, - фаза на трептене, - начална фаза..gif" ширина = " 196 "височина =" 24 ">,

и след това ускорение

Вместо (1) често се използва алтернативна нотация

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif "width =" 80 "height =" 21 src = ">. Описания (1) и (2) могат да бъдат представени във формата

Между константите във формули (1), (2), (3) има лесно доказуеми връзки

Използването на методи и представяния на теорията на функциите на комплексните променливи значително опростява описанието на трептенията. В този случай централното място е заето от Формулата на Ойлер

.

Тук https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif "width =" 111 "height =" 28 ">. (4)

Формули (1) и (2) се съдържат в (4). Например синусоидалните трептения (1) могат да бъдат представени като въображаем компонент (4)

и (2) - под формата на реален компонент

Полихармонични вибрации.Сумата от две хармонични вибрации с еднакви честоти ще бъде хармонична вибрация със същата честота

Термините могат да бъдат с неравни честоти

Тогава сумата (5) ще бъде периодична функция с период, само ако,, където и са цели числа и неприводима дроб, рационално число... Като цяло, ако две или повече хармонични трептения имат честоти с съотношения във формата рационални дроби, то техните суми са периодични, но не и хармонични трептения. Такива вибрации се наричат полихармоничен.

Ако периодичните трептения не са хармонични, тогава все още често е изгодно да ги представим като сума от хармонични трептения, използвайки Ред на Фурие

Тук https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif "width =" 15 "height =" 19 "> е хармоничното число, характеризиращо средната стойност на отклоненията, https://pandia. ru/text /78/502/images/image077_14.gif "width =" 139 височина = 24 "height =" 24 "> - първият, основен хармоник, (https://pandia.ru/text/78/502/ images/image080_11. gif "width =" 207 "height =" 24 "> форми честотен спектърколебание.

Забележка: Теоремата на Дирихле за периодична функция служи като теоретично обосноваване на възможността да се представи функция на осцилаторен процес чрез ред на Фурие:

Ако функцията е зададена на сегмент и е непрекъсната на парче, монотонна на парче и ограничена върху него, тогава нейният ред на Фурие се сближава във всички точки на сегмента https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif "width = "28" height = "23 src ="> е сумата от тригонометричния ред на Фурие на функцията f (t), тогава във всички точки на непрекъснатост на тази функция

и във всички точки на прекъсване

.

Освен това,

.

Очевидно реалните осцилаторни процеси удовлетворяват условията на теоремата на Дирихле.

В честотния спектър всяка честота съответства на амплитудата Аk и началната фаза https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif "width =" 125 "height =" 33 ">, .

Те образуват амплитуден спектър https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif "width =" 35 "height =" 24 ">. Визуално представяне на амплитудния спектър е дадено на фиг. 2.

Определяне на спектъра на честотите и коефициентите на Фурие се нарича спектрален анализ... От теорията на редовете на Фурие формулите са известни