Две в различни степени.

Алфа означава реално число. Знакът за равенство в горните изрази показва, че ако добавите число или безкрайност към безкрайност, нищо няма да се промени, резултатът ще бъде същата безкрайност. Да вземем за пример безкрайното множество естествени числа, то разглежданите примери могат да бъдат представени по следния начин:

За нагледно доказателство за тяхната коректност, математиците са измислили много различни методи. Лично аз гледам на всички тези методи като на танцуващи шамани с тамбури. По същество всички те се свеждат до факта, че или някои от стаите не са заети и се нанасят нови гости, или че някои от посетителите са изхвърлени в коридора, за да направят място за гостите (много човешки). Изложих виждането си за подобни решения под формата на фантастична история за Блондинката. На какво се основават моите разсъждения? Преместването на безкраен брой посетители отнема безкрайно много време. След като освободим първата стая за гост, един от посетителите винаги ще върви по коридора от стаята си до следващата до края на века. Разбира се, факторът време може да бъде глупаво игнориран, но той вече ще е от категорията "законът не е писан за глупаци". Всичко зависи от това, което правим: коригираме реалността, за да съответства на математическите теории или обратно.

Какво е "безкраен хотел"? Безкраен хотел е хотел, който винаги има произволен брой свободни места, без значение колко номера са заети. Ако всички стаи в безкрайния коридор за посетители са заети, има друг безкраен коридор със стаите за гости. Ще има безкраен брой такива коридори. Освен това „безкрайният хотел“ има безкраен брой етажи в безкраен брой сгради на безкраен брой планети в безкраен брой вселени, създадени от безкраен брой богове. Математиците обаче не могат да се дистанцират от обикновените ежедневни проблеми: Бог-Аллах-Буда винаги е само един, хотелът е един, коридорът е само един. Ето математиците и се опитват да манипулират серийните номера на хотелските стаи, убеждавайки ни, че е възможно да „набутаме нещата“.

Ще ви демонстрирам логиката на разсъжденията си на примера на безкраен набор от естествени числа. Първо, трябва да отговорите на много прост въпрос: колко набора от естествени числа има - едно или много? Няма правилен отговор на този въпрос, тъй като сами сме измислили числата, в природата няма числа. Да, природата е отлична в броенето, но за това тя използва други математически инструменти, които не са ни познати. Както си мисли Природата, ще ти кажа друг път. Тъй като сме измислили числата, ние сами ще решим колко набора от естествени числа има. Обмислете и двата варианта, както подобава на истински учен.

Вариант първи. „Нека ни бъде даден“ един единствен набор от естествени числа, който лежи спокойно на рафта. Взимаме този комплект от рафта. Това е, на рафта не са останали други естествени числа и няма къде да се вземат. Не можем да добавим такъв към този набор, тъй като вече го имаме. И ако наистина искаш? Няма проблем. Можем да вземем един от комплекта, който вече сме взели, и да го върнем на рафта. След това можем да вземем единица от рафта и да я добавим към това, което ни е останало. В резултат на това отново получаваме безкраен набор от естествени числа. Можете да напишете всички наши манипулации така:

Записах действията в алгебричната система на нотации и в системата от нотации, възприета в теорията на множествата, с подробно изброяване на елементите на множеството. Индексът показва, че имаме един и единствен набор от естествени числа. Оказва се, че множеството от естествени числа ще остане непроменено само ако се извади от него и добави същата единица.

Вариант две. Имаме много различни безкрайни набори от естествени числа на нашия рафт. Подчертавам - РАЗЛИЧНИ, въпреки че на практика не се различават. Взимаме един от тези комплекти. След това вземаме едно от друго множество естествени числа и го добавяме към множеството, което вече сме взели. Можем дори да добавим два набора от естествени числа. Ето какво получаваме:

Индексите "едно" и "две" показват, че тези елементи принадлежат към различни набори. Да, ако добавите едно към безкрайния набор, резултатът също ще бъде безкраен набор, но няма да е същият като оригиналния набор. Ако добавим още едно безкрайно множество към едно безкрайно множество, резултатът е нов безкраен набор, състоящ се от елементите на първите две множества.

Много естествени числа се използват за броене по същия начин като линийка за измервания. Сега си представете, че добавяте един сантиметър към линийката. Това вече ще бъде различен ред, който не е равен на оригинала.

Можете да приемете или да не приемете моите разсъждения - това е ваша лична работа. Но ако някога се сблъскате с математически проблеми, помислете дали не следвате пътя на фалшивите разсъждения, утъпкани от поколения математици. В крайна сметка, правенето на математика, на първо място, формира у нас стабилен стереотип на мислене и едва след това ни добавя умствени способности (или обратно, лишава ни от свобода на мислене).

неделя, 4 август 2019 г

Пишех постскриптум към статия за и видях този прекрасен текст в Уикипедия:

Четем: „...богат теоретична основаматематиката на Вавилон не е имала холистичен характер и е била сведена до набор от различни техники, лишени от обща система и база от доказателства."

Еха! Колко сме умни и колко добре виждаме недостатъците на другите. Трудно ли ни е да погледнем съвременната математика в същия контекст? Леко перифразирайки горния текст, аз лично получих следното:

Богатата теоретична основа на съвременната математика не е холистична и се свежда до набор от различни раздели, лишени от обща система и база от доказателства.

Няма да отивам далеч, за да потвърдя думите си - има език и условности, които са различни от езика и конвенциите на много други клонове на математиката. Едни и същи имена в различните клонове на математиката могат да имат различни значения. Искам да посветя цяла поредица от публикации на най-очевидните гафове на съвременната математика. Ще се видим скоро.

събота, 3 август 2019 г

Как разделяте набор на подмножества? За да направите това, е необходимо да въведете нова мерна единица, която присъства за някои от елементите на избрания набор. Нека да разгледаме един пример.

Нека имаме много Асъстоящ се от четирима души. Това множество е формирано на базата на "хора" Нека да обозначим елементите на това множество с буквата а, индекс с цифра ще посочи поредния номер на всяко лице в този набор. Нека въведем нова мерна единица "пол" и да я обозначим с буквата б... Тъй като сексуалните характеристики са присъщи на всички хора, ние умножаваме всеки елемент от набора Апо пол б... Забележете, че сега нашето множество „хора“ се превърна в множество „хора с полови характеристики“. След това можем да разделим половите характеристики на мъжки bmи жените bwсексуални характеристики. Сега можем да приложим математически филтър: избираме една от тези полови характеристики, няма значение коя е мъжка или женска. Ако човек го има, тогава го умножаваме по едно, ако няма такъв знак, го умножаваме по нула. И тогава прилагаме обичайната училищна математика. Вижте какво се случи.

След умножение, редукция и пренареждане получихме две подмножества: подмножеството на мъжете Bmи подгрупа жени Bw... Математиците мислят за същото, когато прилагат теорията на множествата на практика. Но те не ни посвещават на детайлите, а дават завършен резултат – „много хора се състоят от подгрупа мъже и подгрупа жени“. Естествено, може да се чудите колко правилно е приложена математиката в горните трансформации? Смея да ви уверя, че всъщност трансформациите са направени правилно, достатъчно е да знаете математическата основа на аритметиката, булевата алгебра и други клонове на математиката. Какво е? Някой друг път ще ви разкажа за това.

Що се отнася до супернаборите, можете да комбинирате два набора в един супернабор, като изберете мерната единица, която присъства за елементите на тези два набора.

Както можете да видите, мерните единици и общата математика правят теорията на множествата нещо от миналото. Показател, че теорията на множествата не е наред е, че за теорията на множествата математиците са измислили собствен езики собствени обозначения. Математиците са правили това, което някога са правили шаманите. Само шаманите знаят как "правилно" да прилагат своите "знания". Те ни учат на това "знание".

Накрая искам да ви покажа как математиците манипулират с.

понеделник, 7 януари 2019 г

През V век пр. н. е. древногръцкият философ Зенон от Елея формулира своите известни апории, най-известната от които е апория „Ахил и костенурката“. Ето как звучи:

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурка и е на хиляда крачки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да избяга това разстояние, костенурката ще изпълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил избяга стотина крачки, костенурката ще изпълзи още десет стъпки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение дойде като логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те, по един или друг начин, са считали за апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават в момента, научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение за същността на парадоксите ... математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи бяха включени в изследването на въпроса ; нито един от тях не се превърна в общоприето решение на въпроса ...„[Уикипедия“, „Апории на Зенон“]. Всички разбират, че са заблудени, но никой не разбира каква е измамата.

От гледна точка на математиката Зенон в своите апории ясно демонстрира прехода от величина към. Този преход предполага приложение вместо константи. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апорията на Зенон. Прилагането на обичайната ни логика ни води в капан. Ние, по инерция на мисленето, прилагаме постоянни мерни единици за време към реципрочното. От физическа гледна точка изглежда като забавяне на времето, докато не спре напълно в момента, в който Ахил се изравни с костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

Ако обърнем логиката, с която сме свикнали, всичко си идва на мястото. Ахил работи с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да се каже „Ахил безкрайно бързо ще настигне костенурката“.

Как можете да избегнете този логичен капан? Останете в постоянни времеви единици и не се връщайте назад. На езика на Зенон това изглежда така:

През времето, през което Ахил ще избяга хиляда крачки, костенурката ще изпълзи стотина стъпки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще избяга още хиляда стъпки, а костенурката ще изпълзи стотина стъпки. Сега Ахил е осемстотин крачки пред костенурката.

Този подход адекватно описва реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за непреодолимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон "Ахил и костенурката". Все още трябва да проучим, преосмислим и решим този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от време тя е в покой и тъй като е в покой във всеки момент от време, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент от времето летящата стрела почива в различни точки от пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на движението му, нито разстоянието до него. За да се определи фактът на движението на автомобила, са необходими две снимки, направени от една и съща точка в различни моменти от време, но е невъзможно да се определи разстоянието от тях. За да определите разстоянието до колата, имате нужда от две снимки, направени едновременно от различни точки в пространството, но не можете да определите факта на движение от тях (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне) . Това, на което искам да обърна специално внимание, е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не трябва да се бъркат, защото предоставят различни възможности за изследване.

сряда, 4 юли 2018 г

Вече ви казах това, с помощта на което шаманите се опитват да подредят "" реалността. Как го правят? Как всъщност става формирането на набор?

Нека разгледаме отблизо определението за множество: „множество различни елементи, мислимо като цяло. „Сега почувствайте разликата между две фрази: „мислима като цяло“ и „мислима като цяло“. Реалността е разбита на отделни елементи („цяло“), от които след това ще се формира множество ( "едно цяло"). В същото време факторът, който позволява обединяването на "цялото" в "единно цяло", се следи внимателно, в противен случай шаманите няма да успеят.знаят предварително кой набор искат да ни демонстрират.

Нека ви покажа процеса с пример. Избираме "червено твърдо вещество в пъпка" - това е нашето "цяло". В същото време виждаме, че тези неща са с лък, но няма лъкове. След това избираме част от "цялото" и оформяме комплект "с лък". Ето как шаманите се хранят, като обвързват своята теория на множеството с реалността.

Сега нека направим малък мръсен трик. Вземете "твърдо в пъпка с лък" и комбинирайте тези "цели" по цвят, като изберете червените елементи. Имаме много "червени". Сега един въпрос за попълване: получените комплекти "с лък" и "червено" са един и същи набор или са два различни комплекта? Само шаманите знаят отговора. По-точно, самите те не знаят нищо, но както се казва, така да бъде.

Този прост пример показва, че теорията на множеството е напълно безполезна, когато става въпрос за реалност. Каква е тайната? Оформили сме набор от "червени твърди в бум с лък". Оформянето става по четири различни мерни единици: цвят (червен), здравина (твърд), грапавост (в пъпка), орнаменти (с лък). Само набор от мерни единици дава възможност да се опишат адекватно реални обекти на езика на математиката... Ето как изглежда.

Буквата "а" с различни индекси означава различни мерни единици. Мерните единици са маркирани в скоби, чрез които "цялото" се разпределя на предварителния етап. Мерната единица, с която се формира комплектът, се изважда от скобите. Последният ред показва крайния резултат - елементът от комплекта. Както можете да видите, ако използваме мерни единици, за да образуваме набор, тогава резултатът не зависи от реда на нашите действия. И това е математика, а не танците на шамани с тамбури. Шаманите могат „интуитивно“ да стигнат до същия резултат, като го аргументират „чрез доказателства“, тъй като мерните единици не са включени в техния „научен“ арсенал.

Много е лесно да използвате единици, за да разделите един или да комбинирате няколко комплекта в един супернабор. Нека разгледаме по-отблизо алгебрата на този процес.

събота, 30 юни 2018 г

Ако математиците не могат да сведат едно понятие до други понятия, тогава те не разбират нищо от математиката. Отговарям: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Отговорът е много прост: числа и единици.

Днес всичко, което не вземаме, принадлежи към някакво множество (както ни уверяват математиците). Между другото, виждали ли сте на челото си в огледалото списък с онези комплекти, към които принадлежите? И не съм виждал такъв списък. Ще кажа повече - нито едно нещо в действителност няма етикет със списък на наборите, към които принадлежи това нещо. Множествата са всички изобретения на шаманите. Как го правят? Нека погледнем малко по-дълбоко в историята и да видим как са изглеждали елементите на набор, преди шаманските математици да ги разделят в своите набори.

Преди много време, когато никой никога не беше чувал за математика и само дърветата и Сатурн имаха пръстени, огромни стада от диви елементи бродят във физически полета (в края на краищата шаманите все още не са измислили математически полета). Изглеждаха нещо подобно.

Да, не се учудвайте, от гледна точка на математиката, всички елементи на множествата са най-подобни на морски таралежи- от една точка, като игли, мерните единици стърчат във всички посоки. За тези, които ви напомням, че всяка мерна единица може да бъде геометрично представена като отсечка с произволна дължина, а числото като точка. Геометрично, всяка стойност може да бъде представена като куп сегменти, стърчащи в различни посоки от една точка. Тази точка е точка нула. Няма да рисувам това геометрично изкуство (без вдъхновение), но можете лесно да си го представите.

Какви мерни единици образуват елемент от множеството? Всеки, който описва този елемент от различни гледни точки. Това са древните мерни единици, които са били използвани от нашите предци и за които всички отдавна са забравили. Това са съвременните мерни единици, които използваме сега. Това също са неизвестни мерни единици, които нашите потомци ще измислят и които ще използват, за да опишат реалността.

Разбрахме геометрията - предложеният модел на елементите на набора има ясно геометрично представяне. Ами физиката? Мерните единици са пряката връзка между математиката и физиката. Ако шаманите не признават мерните единици като пълноценен елемент от математическите теории, това е техен проблем. Аз лично не мога да си представя истинската наука математика без мерни единици. Ето защо в самото начало на моя разказ за теорията на множествата говорих за нея като за каменната ера.

Но да преминем към най-интересното - към алгебрата на елементите на множествата. Алгебрично всеки елемент от множество е продукт (резултат от умножение) на различни количества.Изглежда така.

Умишлено не използвах конвенциите на теорията на множествата, тъй като разглеждахме елемент на множество в естествената му среда преди появата на теорията на множествата. Всяка двойка букви в скоби означава отделна стойност, състояща се от числото, обозначено с буквата " н"и мерни единици, обозначени с буквата" а". Индексите до буквите показват, че числата и мерните единици са различни. Един елемент от множеството може да се състои от безкраен брой величини (доколкото ние и нашите потомци имаме достатъчно въображение). Всяка скоба е геометрично изобразена като отделен сегмент.В примера с морския таралеж едната скоба е една игла.

Как шаманите формират комплекти от различни елементи? Всъщност по единици или числа. Без да разбират нищо от математика, те вземат различни морски таралежи и внимателно ги разглеждат в търсене на онази единствена игла, по която образуват множество. Ако има такава игла, тогава този елемент принадлежи на множеството, ако няма такава игла, това е елемент, който не е от това множество. Шаманите ни разказват басни за мисловни процеси и едно цяло.

Както може би се досещате, един и същи елемент може да принадлежи към много различни набори. По-нататък ще ви покажа как се образуват множества, подмножества и други шамански глупости. Както можете да видите, "не може да има два еднакви елемента в набор", но ако има идентични елементи в набор, такъв набор се нарича "мултимножество". Такава логика на абсурда никога няма да бъде разбрана от разумните същества. Това е нивото на говорещи папагали и обучени маймуни, на които им липсва интелигентност от думата "напълно". Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.

Веднъж инженерите, които са построили моста, са били в лодка под моста по време на изпитанията на моста. Ако мостът се срути, некомпетентният инженер загива под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантлив инженер би построил други мостове.

Колкото и да се крият математиците зад фразата "чур, аз съм в къщата", или по-скоро "математика изучава абстрактни понятия", има една пъпна връв, която неразривно ги свързва с реалността. Тази пъпна връв е пари. Приложимо математическа теориякомплекти на самите математици.

Много добре учихме математика и сега седим на касата и даваме заплати. Идва един математик при нас за парите си. Преброяваме му цялата сума и подреждаме на масата си на различни купчини, в които поставяме банкноти с еднакъв номинал. След това вземаме по една сметка от всяка купчина и връчваме на математика неговия „математически набор от заплата“. Нека обясним математиката, че той ще получи останалите сметки само когато докаже, че множество без еднакви елементи не е равно на множество с еднакви елементи. Тук започва забавлението.

На първо място ще работи логиката на депутатите: „Можете да я приложите към другите, не можете да я приложите към мен!“ По-нататък ще започнем да ни уверяваме, че има различни номера на банкноти на банкноти с еднакъв номинал, което означава, че те не могат да се считат за едни и същи елементи. Добре, нека броим заплатата в монети - на монетите няма цифри. Тук математикът ще започне трескаво да си спомня физиката: различните монети имат различно количество мръсотия, кристалната структура и подредбата на атомите във всяка монета е уникална...

И сега имам най-много интерес Попитайте: къде е линията, отвъд която елементите на мултимножеството се превръщат в елементи от множеството и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, науката не е лежала никъде наблизо.

Вижте тук. Избираме футболни стадиони със същия терен. Площта на полетата е същата, което означава, че имаме мултинабор. Но ако разгледаме имената на едни и същи стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, един и същи набор от елементи е едновременно набор и мултинабор. Как е правилно? И тук математикът-шаман-шулер вади козово асо от ръкава си и започва да ни разказва или за множеството, или за мултимножеството. Във всеки случай той ще ни убеди, че е прав.

За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множеството, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво „мислимо като не едно цяло“ или „немислимо като цяло“.

Таблица със степените на числата от 1 до 10. Онлайн градуси калкулатор. Висококачествена интерактивна таблица и изображения на таблица с оценки.

Калкулатор на степен

номер

Степен

\ начало (подравняване) \ край (подравняване)

С този калкулатор можете онлайн да изчислите силата на всяко естествено число. Въведете числото, степента и натиснете бутона "изчислете".

Таблица с оценки от 1 до 10

Таблица с оценки от 1 до 10

теория

Степен наТова е съкратена нотация за операцията на многократно умножение на число само по себе си. Самото число в този случай се нарича - основна степен, а броят на операциите за умножение е експонент.

a n = a × a ... × a

записът се чете: "A" на степен "n"..

"А" е основата на степента

"N" - степен

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Този израз се чете: 4 на степен 6 или шеста степен на числото четири или повдигнете числото четири на шеста степен.

Изтеглете таблицата на градусите

• Кликнете върху снимката за по-голям изглед.
• Щракнете върху знака "изтегляне", за да запазите снимката на вашия компютър. Изображението ще бъде с с висока резолюцияи с добро качество.

Въведете числото и степента, след което натиснете =.

Таблица на степените

Степенни свойства - 2 части

Таблица на основните степени по алгебра в компактна форма (снимка, удобна за печат), отгоре на числото, отстрани на степента.

Нека разгледаме поредица от числа, първото от които е равно на 1, а всяко следващо е два пъти по-голямо: 1, 2, 4, 8, 16, ... Използвайки експоненти, може да се запише в еквивалентната форма: 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, ... Нарича се съвсем очаквано: последователност от две степени.Изглежда, че в него няма нищо забележително - последователност като последователност, не по-добра и не по-лоша от другите. Въпреки това, той има някои много забележителни свойства.

Несъмнено много читатели са я срещали в класическата история за изобретателя на шаха, който поискал от владетеля като награда за първото поле на шахматната дъска едно зърно пшеница, за второто - две, за третото - четири, и така нататък, като през цялото време удвоявате броя на зърната. Ясно е, че общият им брой е

С= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

Но тъй като това количество е невероятно голямо и многократно надвишава годишната реколта от зърно по света, се оказа, че мъдрецът е откъснал владетеля като лепкав.

Нека обаче сега си зададем друг въпрос: как да изчислим стойността С? Собствениците на калкулатор (или, освен това, компютър) могат да извършат умножения в обозримо бъдеще и след това да добавят получените 64 числа, получавайки отговора: 18 446 744 073 709 551 615. И тъй като количеството на изчисленията е значително, вероятността от грешка е много висока.

Кой е по-хитър може да видите в тази последователност геометрична прогресия... Тези, които не са запознати с тази концепция (или тези, които просто са забравили стандартната формула за сумата на геометричната прогресия), могат да използват следното разсъждение. Нека умножим двете страни на равенството (1) по 2. Тъй като удвояването на степента на две увеличава степента му с 1, получаваме

2С = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Сега изваждаме (1) от (2). От лявата страна, разбира се, получавате 2 С – С = С... От дясната страна ще има масово взаимно унищожаване на почти всички степени на двойка - от 2 1 до 2 63 включително и ще останат само 2 64 - 2 0 = 2 64 - 1. Така че:

S = 2 64 – 1.

Е, изразът стана забележимо по-опростен и сега, като имате калкулатор, който ви позволява да вдигнете на степен, можете да намерите стойността на тази стойност без най-малък проблем.

И ако няма калкулатор - какво да правя? Колона умножава 64 двойки? Какво друго липсваше! Един опитен инженер или приложен математик, за който основният фактор е времето, би могъл бързо оценкаотговора, т.е. намерете го приблизително с приемлива точност. По правило в ежедневието (и в повечето естествени науки) грешка от 2–3% е напълно приемлива, а ако не надвишава 1%, тогава това е просто страхотно! Оказва се, че е възможно да изчислим нашите зърна с такава грешка изобщо без калкулатор, и то само за няколко минути. Как? Сега ще видите.

И така, трябва да намерим произведението на 64 двойки възможно най-точно (ще изхвърлим единицата веднага поради нейната незначителност). Нека ги разделим на отделна група от 4 двойки и още 6 групи по 10 двойки. Произведението на двойки в отделна група е равно на 2 4 = 16. А произведението на 10 двойки във всяка от другите групи е равно на 2 10 = 1024 (проверете кой се съмнява!). Но 1024 е около 1000, т.е. 10 3. Така Стрябва да бъде близо до произведението на 16 на 6 числа, всяко от които е равно на 10 3, т.е. S ≈ 16 10 18 (за 18 = 3 6). Вярно е, че грешката тук все още е твърде голяма: в края на краищата, 6 пъти, когато сменяхме 1024 с 1000, бяхме сбъркани с коефициент 1,024 и като цяло сбъркахме, както е лесно да се види, с коефициент 1,024 6 пъти. Така че сега, умножете 1,024 шест пъти допълнително само по себе си? Не, ще го направим! Известно е, че за броя х, което е многократно по-малко от 1, следната приблизителна формула е валидна с висока точност: (1 + х) н ≈ 1 + xn.

Следователно 1,024 6 = (1 + 0,24) 6 ≈ 1 + 0,24 6 = 1,144. Следователно е необходимо да умножим числото 16 · 10 18, което намерихме, по числото 1,144, което води до 18 304 000 000 000 000 000 и това се различава от верния отговор с по-малко от 1%. Което искахме!

В този случай имахме голям късмет: една от степените на две (а именно десетата) се оказа много близка до една от степените на десет (а именно третата). Това ни позволява бързо да оценим стойността на всяка степен на две, не непременно 64-та. Сред мощностите на други числа това е рядкост. Например 5 10 се различава от 10 7 също с коефициент 1,024, но ... в по-малка посока. Това обаче е същото поле като зрънце: тъй като 2 10 5 10 = 10 10, тогава колко пъти 2 10 надминава 10 3, същия брой пъти 5 10 по-малкоот 10 7.

Друга интересна особеност на разглежданата последователност е, че от всяко естествено число може да се конструира различнимощности на две, по уникален начин. Например за номер на текущата година имаме

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Доказването на тази възможност и уникалност не означава специален труд... Да започнем с възможности.Да предположим, че трябва да представим под формата на сбор от различни степени на две някакво естествено число н... Първо го записваме като сбор нединици. Тъй като едно е 2 0, тогава първоначално нима сума същотомощности на две. След това нека започнем да ги сдвояваме. Сборът от две числа, равни на 2 0, е 2 1, така че резултатът е очевидно по-малкоброят на членовете, равен на 2 1, и вероятно едно число 2 0, ако не е намерил двойка. След това комбинираме същите членове 2 1 по двойки, получавайки още по-малък брой числа 2 2 (и тук е възможна появата на несдвоена степен от две 2 1). След това отново комбинираме равни условия по двойки и т.н. Рано или късно процесът ще приключи, защото броят на равните степени на две след всяко обединение намалява. Когато стане равно на 1, всичко свърши. Остава да се сумират всички получени несдвоени степени на две - и презентацията е готова.

Колкото до доказателствата уникалностпредставяне, методът "чрез противоречие" е много подходящ тук. Нека същото число нуспя да бъде представен във формата двемножества от различни степени на две, които не съвпадат напълно (тоест има степени на две, които са включени в един набор, но не са включени в друг, и обратно). Първо, изхвърлете всички съвпадащи степени на две от двата набора (ако има такива). Получавате две представяния на едно и също число (по-малко или равно на н) като сбор от различни степени на две, и всичкостепени в репрезентациите различно... Във всяко от представянията изберете най-великиястепен. По силата на горното, за две представяния тези степени различно... Представянето, за което тази степен е по-голяма, ще бъде наречено първият, друг - второ... И така, нека в първото представяне най-голямата степен е 2 м, то във втория очевидно не надвишава 2 м-един. Но тъй като (и вече се сблъскахме с това по-горе, като броим зърната на шахматната дъска), равенството е вярно

2м = (2м –1 + 2м –2 + ... + 2 0) + 1,

след това 2 м строго повечесумата от всички степени на две, не повече от 2 м-един. Поради тази причина вече най-голямата степен на две, включени в първото представяне, вероятно е по-голяма от сбора от всичкимощности на две, включени във второто представяне. Противоречие!

Всъщност току-що обосновахме възможността за записване на числа двоиченбройна система. Както знаете, той използва само две цифри - нула и една, като всяко естествено число се записва в двоичната система по уникален начин (например гореспоменатата 2012 г. - като 11 111 011 100). Ако номерираме цифрите (двоични цифри) от дясно наляво, започвайки от нула, тогава числата на тези цифри, в които стоят единиците, ще бъдат просто експонентите на двойките, включени в представянето.

По-малко известно е следното свойство на множеството от неотрицателни цели числа на две. Нека произволно присвоим знак минус на някои от тях, тоест да направим положителните отрицателни. Единственото изискване е, че в резултат както положителни, така и отрицателни числаоказа се безкрайно количество.Например, можете да зададете знак минус на всяка пета степен на две или, да речем, да оставите положителни само числата 2 10, 2 100, 2 1000 и т.н. - има толкова опции, колкото искате.

Изненадващо, но всякакви цялачислото може (и освен това по единствения начин) да бъде представено като сбор от различни термини в нашата "положителна-отрицателна" последователност. И не е много трудно да се докаже (например чрез индукция върху степените на двойки). основна идеядоказателство - наличието на произволно големи по абсолютна стойност както положителни, така и отрицателни термини. Опитайте се сами да завършите доказателството.

Интересно е да се наблюдават последните цифри на членовете на поредицата от степени на две. Тъй като всяко следващо число в поредицата се получава чрез удвояване на предишното, последната цифра на всяко от тях се определя изцяло от последната цифра на предишното число. И тъй като има ограничен брой различни цифри, последователността на последните цифри на степените на две е просто е длъженбъдете периодични! Продължителността на периода, разбира се, не надвишава 10 (тъй като това са числата, които използваме), но това е силно надценена стойност. Нека се опитаме да го оценим, без да изписваме самата последователност. Ясно е, че последните цифри на всички степени на две, започвайки с 2 1, дори... Освен това между тях не може да има нула - защото число, завършващо на нула, се дели на 5, в което не може да се подозира степен на две. И тъй като има само четири четни цифри без нула, тогава дължината на периода не надвишава 4.

Проверката показва, че е така и периодичността се появява почти веднага: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - в пълно съответствие с теорията!

Дължината на периода на последната двойка цифри от последователността от степени на две може да бъде оценена не по-малко успешно. Тъй като всички степени на две, започващи с 2 2, се делят на 4, числата, образувани от последните им две цифри, се делят на 4. Няма повече от двуцифрени числа, делящи се на 4, има само 25 (за едноцифрени числасчитаме нула като предпоследна цифра), но от тях е необходимо да се изхвърлят пет числа, завършващи на нула: 00, 20, 40, 60 и 80. Така периодът може да съдържа не повече от 25 - 5 = 20 числа. Проверката показва, че това е така, периодът започва с числото 2 2 и съдържа двойки числа: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52 и след това отново 04 и т.н.

По същия начин може да се докаже, че дължината на периода на последния мцифрите от последователността от две степени не надвишават 4 5 м-1 (освен това - всъщност тя е равно на 4 5 м-1, но е много по-трудно да се докаже).

И така, на последните цифри на степените на двойка са наложени доста строги ограничения. и какво ще кажеш първиятчисла? Тук ситуацията е на практика обратната. Оказва се, че за всякаквина набор от числа (първото от които не е нула) има степен на две, започвайки с този набор от числа. И такива правомощия на две безкрайно много!Например, има безкраен брой степени на две, започвайки от 2012 г. или, да речем, 3 333 333 333 333 333 333 333.

И ако разгледаме само една първа цифра от различни степени на две - какви стойности може да приеме? Лесно е да се уверите, че всички са от 1 до 9 включително (разбира се, няма нула сред тях). Но кои от тях са по-чести и кои са по-рядко срещани? Някак си човек не може веднага да види причините, поради които едно число трябва да се среща по-често от друго. По-дълбоките размисли обаче показват, че не трябва да се очаква точно една и съща поява на числа. Всъщност, ако първата цифра на която и да е степен на две е 5, 6, 7, 8 или 9, тогава първата цифра от следващата степен на две ще бъде задължителна мерна единица!Следователно трябва да има "пристрастие", поне към единство. Следователно е малко вероятно останалите фигури да бъдат „равно представени“.

Практиката (а именно директното компютърно изчисление за първите няколко десетки хиляди степени на две) потвърждава нашите подозрения. Ето относителната част от първите цифри на степените на две, закръглени до 4 знака след десетичната запетая:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Както можете да видите, с нарастването на числата тази стойност намалява (и следователно една и съща единица е около 6,5 пъти по-вероятно да бъде първата цифра на степените на две, отколкото на девет). Може да изглежда странно, но на практика същото съотношение на числата на първите цифри ще има за почти всяка последователност от степени - не само две, но, да речем, три, пет, осем и като цяло почти всякачисла, включително нецелочислени (единствените изключения са някои "специални" числа). Причините за това са много дълбоки и сложни и за да ги разберете, трябва да знаете логаритмите. За тези, които са запознати с тях, нека отворим завесата: оказва се, че относителната част на степените на две, чиято десетична нотация започва с цифра Ф(за Ф= 1, 2, ..., 9) е lg ( Ф+ 1) - lg ( Ф), където lg е т.нар десетичен логаритъм,равен на степента, до която трябва да се повиши числото 10, за да се получи числото под знака на логаритъма.

Използвайки споменатата по-горе връзка между степени две и пет, А. Канел открива интересно явление. Нека изберем няколко цифри от последователността на първите цифри на степените на две (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) договори ги запишете обратен ред... Оказва се, че тези числа със сигурност ще се срещнат също подред, започвайки от някакво място, в последователността на първите цифри на степените на пет.

Силите на двама също са своеобразен "генератор" за производство на добре познати перфектни числа, които са равни на сбора от всички техни делители, с изключение на самия него. Например числото 6 има четири делителя: 1, 2, 3 и 6. Изхвърлете този, който е равен на числото 6. Има три делителя, чийто сбор е равен на 1 + 2 + 3 = 6. Следователно 6 е перфектно число.

За да получите перфектно число, вземете две последователни степени на две: 2 н–1 и 2 н... Намаляването на най-големия от тях с 1, получаваме 2 н- 1. Оказва се, че ако това е просто число, тогава, умножавайки го по предишната степен на две, образуваме идеалното число 2 н –1 (2н- едно). Например, за П= 3 получаваме началните числа 4 и 8. Тъй като 8 - 1 = 7 е просто число, то 4 · 7 = 28 е перфектно число. Освен това - по едно време Леонард Ойлер доказа, че всичко дориперфектните числа изглеждат точно така. Все още не са открити странни перфектни числа (и малко хора вярват в тяхното съществуване).

Силата на двама има тясна връзка с т.нар по каталунски числа, чиято последователност има вида 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429 ... Те често възникват при решаване на различни комбинаторни задачи. Например, по колко начина може да изпъкна н-gon в триъгълници с несвързани диагонали? Все едно Ойлер установи, че тази стойност е равна на ( н- 1)-ти каталонски номер (означаваме го K n-1), и той също разбра това K n = K n-14 н – 6)/н... Последователността от каталунски числа има много интересни свойства и едно от тях (просто свързано с темата на тази статия) е, че редовите номера на всички нечетни каталонски числа са степени на две!

Силите на двойка често се срещат в различни задачи и не само в условия, но и в отговори. Вземете например някога популярното (и все още не е забравено) Ханойска кула... Това беше името на пъзел играта, изобретена през 19 век от френския математик Е. Лукас. Съдържа три пръта, единият от които е оборудван с ндискове с дупка в средата на всеки. Диаметрите на всички дискове са различни и са подредени в низходящ ред отдолу нагоре, тоест най-големият диск е отдолу (виж фигурата). Оказа се като кула от дискове.

Необходимо е да прехвърлите тази кула на друг прът, като спазвате следните правила: премествайте дисковете стриктно един по един (премахвайки горния диск от всяка пръчка) и винаги поставяйте само по-малкия диск върху по-големия, но не обратно. Въпросът е: какъв е най-малкият брой ходове, необходим за това? (Под движение имаме предвид премахването на диск от един прът и поставянето му на друг.) Отговор: равен е на 2 н- 1, което лесно може да се докаже чрез индукция.

Нека за ндискове, необходимият минимален брой ходове е X n... намирам х н+1. В процеса на работа, рано или късно, ще трябва да премахнете най-големия диск от пръта, върху който първоначално са поставени всички дискове. Тъй като този диск може да се постави само на празен прът (в противен случай той ще "натисне" по-малкия диск, което е забранено), тогава всички горни ндисковете първо трябва да бъдат прехвърлени на третия прът. Това ще изисква поне X nходове. След това прехвърляме най-големия диск на празен прът - ето още един ход. Накрая, за да го "стисне" отгоре с по-малки ндискове, отново ще ви трябват поне X nходове. Така, X n +1 ≥ X n + 1 + X n = 2X n+ 1.От друга страна, описаните по-горе действия показват как можете да се справите със задачата точно 2 X n+ 1 в ходове. Затова най-накрая X n +1 =2X n+ 1. Получава се рекурентна връзка, но за да се приведе в "нормална" форма, трябва също да се намери хедин . Е, лесно е като черупката на круши: х 1 = 1 (просто не може да има по-малко!). Въз основа на тези данни не е трудно да се установи това X n = 2н– 1.

Ето още едно интересно предизвикателство:

Намерете всички естествени числа, които не могат да бъдат представени като сбор от няколко (поне две) последователни естествени числа.

Нека първо проверим най-малките числа. Ясно е, че числото 1 в посочения вид не е представимо. Но всички нечетни, които са по-големи от 1, разбира се, могат да се представят. Всъщност всяко нечетно число, по-голямо от 1, може да бъде записано като 2 к + 1 (к- естествено), което е сборът от две последователни естествени числа: 2 к + 1 = к + (к + 1).

Ами четните числа? Лесно е да се види, че числата 2 и 4 не могат да бъдат представени в необходимия вид. Може би това е така за всички четни числа? Уви, следващото четно число опровергава нашето предположение: 6 = 1 + 2 + 3. Но числото 8 отново се противопоставя. Вярно е, че следните числа отново се поддават на натиска: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, но 16 отново е невъобразимо.

Е, натрупаната информация ни позволява да направим предварителни изводи. Моля, обърнете внимание: не може да бъде представен в посочения формуляр правомощия само на две... Вярно ли е това за останалите числа? Оказва се, да! Всъщност, разгледайте сбора от всички естествени числа от мпреди нприобщаващ. Тъй като всички те, по условие, са поне две, тогава н > м... Както знаете, сборът от последователни членове аритметична прогресия(и ние си имаме работа!) е равно на произведението на полусумата на първия и последния член по техния брой. Половината сума е ( н + м) / 2, а броят на числата е н – м+ 1. Следователно, сборът е ( н + м)(н – м+ 1) / 2. Имайте предвид, че числителят съдържа два фактора, всеки от които строго повече 1, а паритетът им е различен. Оказва се, че сборът от всички естествени числа от мпреди нвключително се дели на нечетно число, по-голямо от 1, и следователно не може да бъде степен на две. Така че сега е ясно защо не беше възможно да се представят степени на две в необходимата форма.

Остава да се уверим в това а не степени на двеможете да си представите. Що се отнася до нечетните числа, ние вече се занимавахме с тях по-горе. Вземете всяко четно число, което не е степен на две. Нека най-голямата степен на две, на която се дели, е 2 а (а- естествен). Тогава, ако числото е разделено на 2 а, ще се окаже вече странночисло по-голямо от 1, което ще запишем в познатия вид - като 2 к+ 1 (к- също естествено). Така че като цяло нашето четно число, което не е степен на две, е равно на 2 а (2к+ 1). Сега нека разгледаме две опции:

1. 2 а+1 > 2к+ 1. Вземете сумата 2 к+ 1 последователни естествени числа, среднотоот които е равно на 2 а... Тогава е лесно да се види това най-малкотоот които е равно на 2 а - к, а най-големият е 2 а + к, а най-малките (и следователно всички останали) са положителни, тоест наистина естествени. Е, и сумата, очевидно, е точно 2 а(2к + 1).
2. 2 а+1 < 2к+ 1. Вземете сумата 2 а+1 последователни естествени числа. Тук не можете да посочите среднотономер, защото броят на числата е четно, но посочете няколко средничисла, които можете: нека бъдат числа ки к+ 1. Тогава най-малкотоот всички числа е к+ 1 – 2а(и също така положителен!), и най-големият е к+ 2а... Техният сбор също е равен на 2 а(2к + 1).

Това е всичко. Така че отговорът е: непредставимите числа са степени на две и те са единствените.

И ето още един проблем (предложен за първи път от В. Произволен, но в малко по-различна формулировка):

Градинската площ е оградена с масивна ограда от N дъски. Според заповедта на леля Поли Том Сойер варосва оградата, но според собствената си система: движейки се през цялото време по посока на часовниковата стрелка, той първо избелва произволна дъска, след това пропуска една дъска и избелва следващата, след това прескача две дъски и избелва следващата, след това пропуска три дъски и избелва следващата и така нататък, като всеки път прескача още една дъска (докато някои дъски могат да бъдат варосани няколко пъти - това не притеснява Том).

Том вярва, че при такава схема рано или късно всички дъски ще бъдат варосани, а леля Поли е сигурна, че поне една дъска ще остане неизбелена, колкото и Том да работи. Под какво N е прав Том и под какво N е права леля Поли?

Описаната система за избелване изглежда доста хаотична, така че в началото може да изглежда, че за всеки (или почтивсеки) нвсяка дъска някой ден ще получи своя дял от вар, т.е. преди всичко, Том е прав. Но първото впечатление е измамно, защото всъщност Том е прав само за значенията. н, които са степени на две. За другите нима дъска, която ще остане завинаги неизбелена. Доказателството на този факт е доста тромаво (въпреки че по принцип не е трудно). Предлагаме на читателя да го направи сам.

Ето какви са те - мощности на две. Изглежда лесно като черупката на круши, но докато копаете... И тук не сме докоснали всички удивителни и мистериозни свойства на тази последователност, а само тези, които хванаха окото. Е, на читателя се дава право самостоятелно да продължи изследванията в тази област. Те несъмнено ще се окажат ползотворни.

Нулево число).
И не само двойки, както беше отбелязано по-рано!
Гладните за подробности могат да прочетат статията на В. Болтянски "Споредностите на двама често започват ли с едно?" („Квант” № 5, 1978 г.), както и статия на В. Арнолд „Статистика на първите цифри на степените на двойка и преразпределението на света” („Квант” № 1, 1998 г.).
Вижте проблема M1599 от "Книгата с проблеми" Quantum "(" Quantum "No 6, 1997).
В момента са известни 43 перфектни числа, най-голямото от които е 2 30402456 (2 30402457 - 1). Съдържа над 18 милионацифри.