Примери по темата на индикативните уравнения. Уравнения или демонстрационни уравнения
Не се страхувайте от думите ми, вече сте попаднали в този метод в 7 клас, когато изучавам полиноми.
Например, ако имате нужда:
Нека хванем: първото и третото термини, както и второто и четвъртото.
Ясно е, че първата и третата е разликата на квадратите:
и второто и четвъртото имат общ фактор Тройка:
След това първоначалният израз е еквивалентен на това:
Къде да направим общ мултипликатор, вече не представлява труд:
Следователно,
Това е така, по този начин ще направим при решаването на индикативните уравнения: търсене на "общност" сред компонентите и го извадете за скоби, добре, и след това - ако ще бъде, вярвам, че ще вземем \u003d))
Пример № 14.
Правото не е степента на седем (проверих!) И отляво - малко по-добре ...
Можете, разбира се, "забавяне" от първия фактор и от втория, а след това да разберете с получените, но нека го направим разумно.
Не искам да се справям с фракции, които неизбежно се формират, когато "разпределението", така че не е ли по-добре да го понесете?
Тогава темите няма да бъдат: както казват, а вълците са пълни и овцете са в безопасност:
Изчислете израза в скоби.
Магията, магически, тя се оказва, че (изненадващо, макар че какво друго трябва да чакаме?).
След това намалете двете части на уравнението за този мултипликатор. Получаваме:, откъде.
Ето един пример по-сложен (доста малко, истина):
Ето неприятностите! Ние нямаме една обща основа тук!
Не е съвсем ясно какво да правим сега.
И нека да направим това, което можем: Първо прехвърляме "Четири" един начин и "Фиците" на друг:
Сега нека да извадим "общо" отляво и надясно:
И сега какво?
Каква е ползата от такава глупава група? На пръв поглед, изобщо не се вижда, но нека да изглеждаме по-дълбоко:
Е, сега ще го направим, за да имаме само израз, и отдясно - всичко останало.
Как го правим?
Но как: първо се разделят двете части на уравнението (така че ще се отървем от степента на дясната), а след това ще разделим двете части на (така че се отърваме от цифровия фактор отляво).
Най-накрая получавам:
Това е невероятно!
Sleva имаме израз, а правото е просто.
Тогава незабавно заключаваме това
Пример № 15.
Ще го дам резюме (Не се занимавам особено с обяснения), опитвам се да го разбера във всички "тънкости" на решенията.
Сега окончателното закрепване на материала премина.
Самостоятелно решаване на следните 7 задачи (с отговори)
- Ще обобщя скобите: къде
- Първият израз ще бъде представен във формата: разделяме двете части и го получим
- , тогава първоначалното уравнение се превръща в ум: добре, сега намекът търси, където вече сме решили това уравнение!
- Представете си как, както и след това и двете части са призовани, така че ще получите най-простото индикативно уравнение.
- Аз нося скоби.
- Аз нося скоби.
Индикативни уравнения. Средно ниво
Предполагам, че след като прочетох първата статия, в която е казано какви са индикативните уравнения и как да ги решите, вие се сринахте необходим минимум Знания, необходими за решаването на най-простите примери.
Сега ще разбера друг метод за решаване на индикативните уравнения, ...
Метод за въвеждане на нова променлива (или заместител)
Те решават повечето от "трудните" задачи, по темата на индикативните уравнения (и не само уравнения).
Този метод е един от най-често използван на практика. Първо препоръчвам да се запозная с темата.
Както вече сте разбрали от името, същността на този метод е да се въведе такава подмяна на променливата, която индикативното уравнение ще бъде по чудо, че можете лесно да решавате.
Всичко, което ще останете след решението на това много "опростено уравнение" е да се направи "обратна замяна": това е, за да се върне от заменените към замяната.
Нека илюстрираме току-що казано на много прост пример:
Пример 16. Метод на прост замяна
Това уравнение се решава с "Просто заместване"Как е небрежно наречена математика.
Всъщност, замяната тук е най-очевидната. Само заслужава да се види това
Тогава първоначалното уравнение ще се превърне в такова:
Ако допълнително си представите как е абсолютно ясно, че трябва да замените ...
Разбира се, .
Какво ще се превърне в първоначалното уравнение? Но какво:
Можете лесно да го намерите корени без никакви проблеми :.
Какво трябва да направим сега?
Време е да се върнете към изходната променлива.
Какво забравих да посоча?
Това е: когато сменяте известна степен до нова променлива (т.е. при замяна на изгледа), ще се интересувам само положителни корени!
Вие лесно ще отговорите на защо.
Така ние не се интересуваме от вас, но вторият корен е подходящ за нас:
След това, откъде.
Отговор:
Както можете да видите, в предишния пример, замяната беше запитана за нашите ръце. За съжаление това не винаги.
Въпреки това, нека да не отидем директно на тъгата, но да практикуваме друг пример с доста проста замяна
Пример 17. Метод на прост замяна
Ясно е, че най-вероятно ще замени ще бъде заменен (това е най-малката степен, влизащи в нашето уравнение).
Въпреки това, преди въвеждането на замяна, нашето уравнение трябва да "подготви" към него, а именно: ,.
След това можете да замените, в резултат на това ще получа следния израз:
О, ужас: кубично уравнение с перфектно ужасни формули за неговото решение (добре, ако говорим като цяло).
Но нека не веднага се отчайвайте и мислим за това, което правим.
Ще предложа нещо: знаем, че за да получим "красив" отговор, трябва да получим тройка под формата на някаква степен (защо би, а?).
И нека се опитаме да предположим поне един корен на нашето уравнение (ще започна да познавам тройката).
Първо предположение. Не корен. Уви и Ах ...
.
Лявата страна е еднаква.
Правилна част:!
Има! Познайте първия корен. Сега ще отиде по-лесно!
Знаете ли за схемата за разделяне "ъгъл"? Разбира се, вие знаете, приложите го, когато споделяте един номер в друг.
Но малко знаят, че същото може да се направи с полиноми.
Има една прекрасна теорема:
Приложимо за моята ситуация, тя ми казва, че тя е разделена без почивка.
Как е разделението? Ето как:
Аз гледам кой трябва да се размножа
Ясно е, че тогава:
Представям получения израз от ще получа:
Сега, какво трябва да се умножа, за да получа?
Ясно е, че тогава ще получа:
и отново се изразяването на приспадане от останалите:
Е, последната стъпка, домейнът и приспадането от останалия израз:
Ура, дивизията свърши! Какво сме натрупали насаме?
От само себе си: .
След това получиха това разлагане на оригиналния полином:
Разрешаване на второто уравнение:
Той има корени:
След това първоначалното уравнение:
той има три корени:
Последният корен ние, разбира се, го хвърляме, защото е по-малко от нула.
И първите две след заместването ще ни дадат два корени:
Отговор: ..
С този пример не исках да ви плаша!
По-скоро, напротив, поставям го цел да покаже, че поне имахме доста проста замяна, въпреки това тя доведе до доста сложно уравнение, което изискваше някои от нас някои специални умения.
Е, никой не е имунизиран от това. Но заместването в този случай беше доста очевидно.
Пример №18 (с по-малко очевидна подмяна)
Всичко не е ясно какво да се прави: проблемът е, че в нашето уравнение две различни основи и една база не се получават от друга ерекция във всяка (разумна, естествено) степен.
Но какво виждаме?
И двете бази - се различават само в знака и тяхната работа - има разлика в квадратите, равни на едно:
Определение:
Така числата, които са основания в нашия пример са конюгат.
В този случай ще бъде разумна стъпка начертайте двете части на уравнението в номера на конюгата.
Например, тогава лявата част Уравненията ще бъдат равни и правилните.
Ако направите замяна, първоначалното ни уравнение ще стане така:
корените му тогава и помни това, ние го получаваме.
Отговор: ,.
По правило, методът за замяна е достатъчен, за да се реши по-голямата част от индикативните уравнения на "училище".
Следващи задачи увеличено ниво Трудностите се вземат от опциите на EGE.
Три задачи с повишена сложност от опциите на EGE
Вече сте доста компетентни да решавате тези примери. Ще донеса само необходимата замяна.
- Решаване на уравнението:
- Намерете корените на уравнението:
- Решете уравнение :. Намерете всички корени на това уравнение, което принадлежи към сегмента:
И сега кратки обяснения и отговори:
Пример №19.
Достатъчно е да забелязваме това.
Тогава първоначалното уравнение ще бъде еквивалентно на това:
Това уравнение се решава чрез замяна
Допълнителни изчисления го правят сами.
В края на вашата задача тя ще бъде намалена до решаване на най-простия тригонометрични (синус или зависими от косине). Ще анализираме такива примери в други раздели.
Пример номер 20.
Тук можете дори да правите без замяна ...
Достатъчно е да се прехвърли край надясно и да представи и двете бази през степента на степен: и след това незабавно да отидете на квадратното уравнение.
Пример №21.
Също така решен доста стандартен: Представете си как.
След това замяна на квадратното уравнение: тогава
Вече знаете какъв е логаритъмът? Не? След това спешно прочетете темата!
Първият корен, очевидно, не принадлежи към сегмента и вторият - не е ясно!
Но скоро ще разберем!
Оттогава (това е собственост на логаритъма!)
Абонирайте се от двете части, след което получаваме:
Лявата част може да бъде представена като:
и двете части за:
може да се изтегли тогава
След това сравнете:
от тогава:
След това вторият корен принадлежи към желаната пропаст
Отговор:
Както виждаш, изборът на корените на индикативните уравнения изисква достатъчно дълбоко знание Свойства на логаритъмаЗатова ви съветвам да бъдете възможно най-близо, когато решавате индикативните уравнения.
Както разбирате, всичко е свързано с математиката!
Както моят учител по математика каза: "Математика, като история, няма да четете за една нощ."
Като правило, всички сложността при решаването на проблемите на повишеното ниво на сложност е именно подборът на корените на уравнението.
Друг пример за обучение ...
Пример 22.
Ясно е, че самата уравнение е доста проста.
Като направите замяна, ние ще намалим първоначалното си уравнение на следното:
Първо, нека разгледаме първия корен.
Сравнете и след това. (Собственост на логаритмичната функция, когато).
Тогава е ясно, че първият корен не принадлежи към нашата празнина.
Сега вторият корен :. Ясно е, че (тъй като функцията се увеличава).
Остава да се сравни и.
след това в същото време.
Така мога да "почукам колчето" между и.
Този PEG е номерът.
Първият израз е по-малък, а вторият е повече.
След това втори израз повече първи И коренът принадлежи към пропастта.
Отговор:.
В края, нека разгледаме друг пример за уравнението, където заместването е доста нестандартно.
Пример №23 (уравнение с нестандартна замяна!)
Нека веднага започнем с това, което може да се направи, и какво - по принцип е възможно, но е по-добре да не го правите.
Можете - да си представите всичко чрез степени на тройка, двойки и шест.
Къде води това?
Да, нищо няма да доведе до нищо: сместа от степени, а някои ще бъдат доста трудно да се отърват от.
И какво тогава имате нужда?
Нека уведомим това
И какво ще ни даде?
И факта, че можем да намалим решаването на този пример за решаване на доста просто индикативно уравнение!
Първо, нека пренапишем нашето уравнение във формата:
Сега разделяме двете части на полученото уравнение за:
Еврика! Сега можете да замените, получаваме:
Е, сега вашият ред е да решите предизвикателствата на демонстрацията и аз ще им дам само кратко коментари, така че да не се измъкнете от правилния път! Късмет!
Пример номер 24.
Най-трудното!
Заменете тук, за да видите о, като Nemelko! Въпреки това този пример е доста решаването с помощта разпределение на пълен квадрат.
За да го разрешите, е достатъчно да забележите, че:
Тогава тук сте и подмяна:
(Моля, обърнете внимание, че тук, с нашата подмяна, не можем да изхвърлим отрицателен корен !!! и защо, какво мислите?)
Сега за решаването на примера сте останали да решават две уравнения:
И двете са решени от "стандартната замяна" (но втората в един пример!)
Пример №25.
2. Обърнете внимание и направете замяна.
Пример номер 26.
3. Разделяне на номер на взаимно прости фактори и опростяване на произтичащия израз.
Пример номер 27.
4. Поставете числителя и знаменателя на фракцията (или, ако ви харесва повече) и направете замяна или.
Пример №28.
5. Обърнете внимание на номера и - конюгат.
Решение на индикативните уравнения по метода на логаритмика. НАПРЕДНАЛО НИВО
Освен това нека разгледаме друг начин - решение на индикативните уравнения чрез логаритминг.
Не мога да кажа, че решението на индикативните уравнения по този метод е много популярно, но в някои случаи може да ни доведе право решение Нашето уравнение.
Тя е особено използвана за решаване на така наречената " смесени уравнения": Това е, където се намират функции на различни видове.
Пример №29.
като цяло е възможно да се реши само логаритмиката на двете части (например за базата), в която първоначалното уравнение ще се превърне в следното:
Нека разгледаме следния пример:
Ясно е, че според OST логаритмична функция ние се интересуваме само.
Това обаче следва не само от логаритъма на OTZ, но и по друга причина.
Мисля, че няма да бъдете трудно да познаете какво точно.
Нека пролозираме двете части на нашето уравнение, основано на:
Както можете да видите, логаритмиката на нашето оригинално уравнение бързо ни доведе до правилния (и красив!).
Да вземем друг пример за един пример.
Пример номер 30.
Тук също няма нищо ужасно: програмирате и двете страни на уравнението на базата, тогава получаваме:
Ще заменим:
Въпреки това, пропуснахме нещо! Забелязахте ли къде съм пропуснал? В края на краищата:
какво не отговаря на изискването (помислете от мястото, където е дошло!)
Отговор:
Опитайте се самостоятелно да запишете решението на индикативните уравнения по-долу:
И сега да вземете решение с това:
Пример номер 31.
Логаритмизиране на двете части на земята, като се има предвид, че:
(Вторият корен не ни подхожда с оглед на замяната)
Пример номер 32.
Логаритмий въз основа на:
Ние трансформираме произтичащия израз до следната форма:
Индикативни уравнения. Кратко описание и основни формули
Индикативно уравнение
Уравнение на формуляра:
наречен най-простото индикативно уравнение.
Свойства на градуси
Подходи към решението
- Дишане до една и съща база
- Привеждане в същия показател
- Замяна на променливата
- Опростяване на изразяването и използването на едно от горните.
На етапа на подготовка за окончателно изпитване на ученици от гимназията трябва да затегнете знанията по темата "Indeffeed уравнения". Опитът от последните години показва, че тези задачи причиняват някои трудности от учениците. Следователно учениците от гимназията, независимо от тяхното ниво на подготовка, е необходимо внимателно да се привлече теорията, да не помните формулите и да разберете принципа за решаване на такива уравнения. След като успяхме да се справят с този вид задачи, завършилите ще могат да разчитат на висок резултат При преминаване на изпит по математика.
Пригответе се за изпитване на изпит с "Школково"!
При повтаряне на преминалите материали много ученици са изправени пред проблема за намиране на формулите, необходими за решаването на уравненията. Училищният учебник не винаги е под ръка, а изборът на необходимата информация по темата в интернет отнема много време.
Образователният портал "Сколково" предлага на учениците да се възползват от нашата база знания. Ние прилагаме напълно нов метод за подготовка за окончателно тестване. Когато правите на нашия уебсайт, можете да идентифицирате пропуските в знанието и да обърнете внимание на тези задачи, които причиняват най-големите трудности.
Учителите "Школково" събрани, систематизирани и очертали всички необходими за успешни eurchase EGGE. Материал като лесна и достъпна форма.
Основните дефиниции и формули са представени в раздела "Теоретична помощ".
За по-добро усвояване на материала препоръчваме да практикувате задачите. Внимателно възприемайте примери за експоненциални уравнения на тази страница, за да разберете алгоритъма за изчисляване. След това продължете да изпълнявате задачи в раздела "Каталог". Можете да започнете с най-лесните задачи или веднага да се преместите в решаването на сложни индикативни уравнения с няколко неизвестни или. Основата за упражненията на нашия сайт непрекъснато се допълва и актуализира.
Тези примери с показателите, които имат проблеми, позволяват да се добавят към любимите. Така че можете бързо да ги намерите и да обсъдите решението с учителя.
За да преминете изпита, се включете в портала "Школково" всеки ден!
На канал на YouTube нашия сайт сайт, за да бъдете в крак с всички нови уроци по видео.
Първо, нека си спомним основните формули на степените и техните свойства.
Работата на номера а. Самото се случва N пъти, този израз, който можем да записваме като a a ... a \u003d a n
1. A 0 \u003d 1 (a ≠ 0)
3. a n a m \u003d a n + m
4. (a n) m \u003d nm
5. a n b n \u003d (ab) n
7. N / A m \u003d a n - m
Уравнения или демонстрационни уравнения - Това са уравнения, в които променливите са в градуи (или индикатори), а основата е номерът.
Примери за индикативни уравнения:
В този пример Номер 6 е основата, която винаги стои долу, но променлива х. степен или индикатор.
Нека дадем повече примери за индикативните уравнения.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0
Сега ще анализираме как се решават демонстрационните уравнения?
Вземете просто уравнение:
2 x \u003d 2 3
Този пример може да бъде решен дори в ума. Може да се види, че X \u003d 3. В крайна сметка, така че лявата и дясната част трябва да бъде равна на числото 3 вместо x.
Сега да видим как е необходимо да се издаде това решение:
2 x \u003d 2 3
x \u003d 3.
За да се реши такова уравнение, ние премахнахме същите основания (т.е. две) и записани какво остава, тя е степен. Получил желания отговор.
Сега обобщете решението си.
Алгоритъм за решаване на индикативно уравнение:
1. Трябва да проверите същото Фондации на Лий в уравнението отдясно и наляво. Ако основите не са същите като търсите възможности за решаване на този пример.
2. След като основите станат същите, равен степени и решаване на полученото ново уравнение.
Сега пренапишете няколко примера:
Да започнем с прост.
Базите в лявата и дясната част са равни на номер 2, което означава, че можем да отхвърлим и приравняваме техните степени.
x + 2 \u003d 4 Оказа се най-простото уравнение.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2.
Отговор: x \u003d 2
В следващия пример може да се види, че основите са различни. Той е 3 и 9.
3 3X - 9 x + 8 \u003d 0
За да започнем, ние прехвърляме девет на дясната страна, получаваме:
Сега трябва да направите същата основа. Ние знаем, че 9 \u003d 3 2. Ние използваме степента на степен (a n) m \u003d nm.
3 3X \u003d (3 2) x + 8
Получаваме 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16
3 3X \u003d 3 2X + 16 Сега е ясно, че в лявата и дясната страна на основата е същото и равно на тройката, което означава, че можем да ги изхвърлим и приравняваме степените.
3x \u003d 2x + 16 получи най-простото уравнение
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16.
Отговор: x \u003d 16.
Разглеждаме следния пример:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Първо, погледнем към основата, основите са различни две и четири. И трябва да сме същите. Преобразуваме четирите по формулата (a n) m \u003d nm.
4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x
И използвайте една формула a n a m \u003d a n + m:
2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4
Добавяне към уравнение:
2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24
Ние доведохме пример по същите причини. Но ние се намесваме в други числа 10 и 24. Какво да правя с тях? Ако можете да видите, че е ясно, че имаме 2 2 2, това е отговорът - 2 2, можем да извадим скобите:
2 2x (2 4 - 10) \u003d 24
Изчисляваме израза в скоби:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Всички уравнения Delim до 6:
Представете си 4 \u003d 2 2:
2 2x \u003d 2 2 бази са еднакви, изхвърлящи ги и уравняват степените.
2x \u003d 2 Оказа се най-простото уравнение. Разделяме го на 2
x \u003d 1.
Отговор: x \u003d 1.
Разрешаване на уравнението:
9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0
Ние трансформираме:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x
Получаваме уравнението:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0
Основите, които имаме същото, са равни на трима. В този пример може да се види, че първите три градуса два пъти (2x) са по-големи от тези на втория (просто x). В този случай можете да решите метод за замяна. Броят с най-малка степен замени:
След това 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Ние сменяме при уравнение всички степени с кухини на t:
t2 - 12T + 27 \u003d 0
Получаваме квадратно уравнение. Ние решаваме чрез дискриминацията, получаваме:
D \u003d 144-108 \u003d 36
T 1 \u003d 9
T 2 \u003d 3
Връщане към променливата х..
Вземете T 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Това е,
3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2
Намерен един корен. Търсим втория, от t 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Отговор: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.
На сайта можете в раздела за помощ.
Присъединете се към групата
Назад
Внимание! Преглед на слайдовете се използват изключително за информационни цели и може да не предоставя идеи за всички възможности за представяне. Ако си заинтересован тази работаМоля, изтеглете пълната версия.
Вид на урока
: Урок за обобщение и цялостни приложения на знания, умения и умения по темата "Индикативни уравнения и начини за тяхното решаване".Цели Урок.
Оборудване:
Компютърен и мултимедиен проектор.В урока се използват информационни технологии : методическа поддръжка Към урока - представяне в програмата на Microsoft Power Point.
По време на класовете
Всяко умение с трудности се дава
I. Определяне на целта на урока(Слайд номер 2. )
В този урок ще обобщим и обобщете "индикативните уравнения, техните решения". Запознайте се с типично задачите на използването Различни години по тази тема.
Задачите за решаване на индикативни уравнения могат да възникнат във всяка част от задачите на употребата. Отчасти В " обикновено се предлагат да се решат най-простите индикативни уравнения. Отчасти От " Възможно е да се запознаят по-сложни индикативни уравнения, чиято решение обикновено е един от етапите на задачата.
Например ( Слайд номер 3. ).
- EGGE - 2007.
В 4 - Намерете най-голямата стойност на израза x U.където ( х; W.) - Система за решение:
В 1 - решават уравнения:
но) Х. 6 3х. – 36 6 3х. = 0;
б) 4. х. +1 + 8 4 Х.= 3.
В 4 - Намерете стойността на израза x + U.където ( х; W.) - Система за решение:
- EGGE - 2010.
II. Актуализиране на референтните знания. Повторение
(Слайдове номер 4 - 6 Презентации към урока)Той се демонстрира на екрана поддържа теоретичен материал по тази тема.
Обсъждат се следните въпроси:
- Какви уравнения се наричат индикативен?
- Назовете основните начини за тяхното разрешаване. Създават примери за техния вид ( Слайд номер 4. )
- Какво теорем се използва при решаването на най-простите демонстрационни уравнения на формата: и f (x) \u003d a g (x)?
- Какви други методи за решаване на индикативни уравнения съществуват? ( Слайд номер 5. )
(Независимо решаване на предложените уравнения за всеки метод и извършване на самостоятелен тест с помощта на слайда)
- Метод за разлагане на мултипликатори (Въз основа на свойствата на градуси с същите основи, приемане: степента с най-малкия индикатор се изважда от скобата).
- Приемане (умножение) върху индикативен израз, различен от нула, когато решават хомогенни индикативни уравнения .
- Бакшиш:
-
Решаване на уравнения с последните два метода с последващи коментари
(Слайд номер 6. ).
. 4 х.+ 1 – 2 4 х.– 2 = 124, 4 х.– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 х.– 2 62 = 124,4 х.– 2 = 2, 4 х.– 2 = 4 0,5 , х.– 2 = 0,5, x \u003d 2,5 .
2 2 2x - 3 2 х. 5 х - 5 5 2х. \u003d 0 |: 5 2 х.0,2 (2/5) 2x - 3 (2/5) х - 5 = 0,
t \u003d (2/5) x, t. > 0, 2t. 2 - 3 T - 5 = 0, T.= -1(?...), t \u003d. 5/2; 5/2 \u003d (2/5) x, х.= ?...
III. Решаване на задачите на EGGE 2010
Учениците самостоятелно решават задачите, предлагани в началото на урока в началото на урока, използвайки инструкции за решението, проверяват решението им и им отговарят, използвайки представянето ( Слайд номер 7. ). По време на работата се обсъждат опциите и начините на решенията, обръща се внимание на възможните грешки в решаването.
: а) 7 х.- 2 \u003d 49, б) (1/6) 12 - 7 x = 36. Отговор: но) х.\u003d 4, б) х. = 2. : 4 х.2 + 3х. – 2 - 0,5 2x2. + 2х. - 1 \u003d 0. (може да бъде заменен с 0.5 \u003d 4 - 0.5)Решение. ,
х. 2 + 3х. – 2 = -х. 2 - 4х. + 0,5 …
Отговор: х.= -5/2, х. = 1/2.
: 5 5 TG y. + 4 \u003d 5 -tg y. , с COS y.< 0.Забележка към решението
. 5 5 TG. y. + 4 \u003d 5 -tg y. | 5 tg. y. 0,5 5 2g. y. + 4 5 TG y - 1 \u003d 0. Позволявам х.\u003d 5 tg. y. , …
5 tg. y. = -1 (?...), 5 tg. y \u003d.1/5.
От tg. y.\u003d -1 и cos y.< 0, Т. w. II Координатна четвърт
Отговор: w.= 3/4 + 2к., к. Н..
IV. Сътрудничество в борда
Разглежда се задачата на високо ниво на обучение - Слайд номер 8. . С този слайд има диалог на учител и ученици, които допринасят за развитието на решението.
- с какъв параметър но уравнение 2 2. х. – 3 2 х. + но 2 – 4но \u003d 0 има два корена?Нека бъде t.= 2 х. където t. > 0 . Получаване t. 2 – 3t. + (но 2 – 4но) = 0 .
един). Тъй като уравнението има два корена, след това d\u003e 0;
2). Като t. 1,2\u003e 0, тогава t. 1 t. 2\u003e 0, това е но 2 – 4но> 0 (?...).
Отговор: но(- 0.5; 0) или (4; 4.5).
V. Проверка на работата
(Слайд номер 9. )Се изпълняват ученици проверка Относно листата, извършване на самоконтрол и самочувствие за завършена работа, използвайки презентацията, одобрена по темата. Самостоятелно определя за себе си програмата за регулиране и корекция на знанието за приетите грешки в работните тетрадки. Листа с независима работа се предават на учителя за проверка.
Подчертани числа - начално ниво, със звездите - увеличена сложност.
Решение и отговори.
3. 2 х.– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 х.– 1 76 = 19, 2 х.– 1 = 1/4, 2 х.– 1 = 2 – 2 , х.– 1 = -2,
x \u003d -1.
4 * .3 9 x \u003d 2 3 х. 5 Х.+ 5 25 х. | : 25 х. ,
3 (9/25) x \u003d 2 (3/5) Х.+ 5,
3 (9/27) х. = 2 (3/5) х. + 5 = 0,
3 (3/5) 2х. – 2 (3/5) х. - 5 = 0,…, (3/5) х. = -1 (неподходящ),
(3/5) х. = 5, x \u003d -1.
VI. Задача у дома
(Слайд номер 10. )- Повторете § 11, 12.
- На материали EGGE. 2008 - 2010 Изберете задачи по темата и ги решете.
- Начало тестова работа :
Този урок е предназначен за тези, които просто започват да изучават индикативните уравнения. Както винаги, нека започнем с дефиницията и най-простите примери.
Ако прочетете този урок, подозирам, че вече имате поне минимална представа за най-простите уравнения - линейни и квадратни: $ 56X-11 \u003d 0 $; $ (x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ (x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $ и т.н. За да могат да решават такива структури, са абсолютно необходими, за да не се "вися" в темата, за която говорим.
Така че, индикативните уравнения. Веднага ще дам няколко примера:
[((2) ^ (x)) \u003d 4; quad (((5) ^ (2x-3)) \u003d frac (1) (25); quad ((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\ t
Някои от тях могат да изглеждат по-сложни, някои - напротив, твърде прости. Но всички съчетават една важна характеристика: в техните записи има индикативна функция $ f, ляво (x] \u003d ((а) ^ (x)) $. Така въвеждаме определението:
Индикативното уравнение е всяко уравнение, съдържащо индикативна функция, т.е. Изразяване на типа $ ((а) ^ (x)) $. В допълнение към тази функция, такива уравнения могат да съдържат други алгебрични дизайни - полиноми, корени, тригонометрия, логаритми и др.
О, добре. Дефинирани сами. Сега въпросът е: Как да решим всички тези глупости? Отговорът е едновременно прост и сложен.
Нека започнем с добри новини: в собствения ви опит, класове с много студенти мога да кажа, че повечето от тях са индикативни уравнения са много по-лесни от същите логаритми и колкото повече тригонометрията.
Но има и лоши новини: понякога има задачи на "вдъхновение" за всички видове учебници и изпити, а възпаленият им мозък започва да издават такива брутални уравнения, че става проблематично не само за учениците - дори много учители се придържат към такива задачи.
Но ние няма да бъдем тъжни. И обратно към тези три уравнения, които бяха представени в самото начало на разказа. Нека се опитаме да решим всеки от тях.
Първото уравнение: $ ((2) ^ (x)) \u003d $ 4. Е, каква степен трябва да изградите номер 2, за да получите номер 4? Вероятно във втория? В края на краищата, $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 ccot 2 \u003d 4 $ - и получихме правилното числово равенство, т.е. Наистина $ x \u003d $ 2. Е, благодаря, капачка, но това уравнение беше толкова просто, че дори ще реша котката си. :)
Нека разгледаме следното уравнение:
[((5) ^ (2x-3)) \u003d frac (1) (25) \\ t
И тук вече е малко по-трудно. Много ученици знаят, че $ (5) ^ (2)) \u003d $ 25 е таблица за умножение. Някои също подозират, че $ (5) ^ (- 1)) \u003d FRAC (1) (5) $ е по същество определението за отрицателна градуса (по аналогия с формула $ (а) ^ (- n)) \u003d Frac (1) (((а) ^ (n))) $).
И накрая, само любимите предполагам, че тези факти могат да бъдат комбинирани и на изхода, за да получите следния резултат:
[FRAC (1) (25) \u003d FRAC (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2))
Така първоначалното ни уравнение ще пренапише, както следва:
[(((5) ^ (2x-3)) \u003d frac (1) (25) дясно ((5) ^ (2x-3) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\ t
Но това вече е доста решено! Отляво в уравнението има индикативна функция, точно в уравнението е индикативната функция, нищо, но те вече не са никъде. Следователно е възможно да се "изхвърлят" основите и глупако приравняват показателите:
Получи най-простото линейно уравнение, което всеки ученик ще реши буквално в няколко линии. Е, в четири реда:
[Започнете (подравнете) и 2x-3 \u003d -2 \\ t & 2x \u003d 1/1 \\ t (1) (2) \\ t
Ако не разбирате какво се е случило в последните четири реда - не забравяйте да се върнете към темата " линейни уравнения- И повторете го. Тъй като без ясна асимилация на тази тема е твърде рано за индикативните уравнения.
[((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\ t
Е, как да решим това? Първата мисъл: $ 9 \u003d 3 cdot 3 \u003d ((((3) ^ (2)) $, така че първоначалното уравнение може да бъде пренаписано така:
[((ляво ((((3) ^ (2)) вдясно)) ^ (x)) \u003d - 3 \\ t
След това си спомняте, че когато степента се повиши в степента, индикаторите са променливи:
[((ляво ((((3) ^ (2)) дясно)) ^ (x)) \u003d (((3) ^ (2x)) дясно ((3) ^ (2x)) \u003d - (((()) 3) ^ (1)) \\ t
[започнете (подравнете) и 2x \u003d -1 \\ t (1) (2) край (подравняване) \\ t
И тук за такова решение ще бъдем честно заслужени две. Защото ние със спокойствието на покемон изпратим знак "минус", изправен пред първите три, до степента на тази тройка. И така, това е невъзможно. И затова. Погледни различни степени ТРОЙКА:
[начало (матрица) ((3) ^ (1)) \u003d 3 ° ((3) ^ (- 1)) \u003d frac (1) (3) & ((3) ^ (frac (1) \\ t (2)) \u003d SQRT (3) ((3) ^ (2)) \u003d 9 δ (3) ^ (- 2)) \u003d frac (1) (9) & (((3) ^ Frac (1) (3))) \u003d sqrt (3) ((3) ^ (3)) \u003d 27 ° С ((3) ^ (- 3)) \u003d frac (1) (27) & ((3) ^ (- frac (1) (2))) \u003d frac (1) (sqrt (3)) край (matrix) \\ t
Съставянето на този знак, просто не съм извратен: и считал за положителни степени и отрицателни, и дори фракционни ... добре, къде е поне един отрицателно число? Неговата не! И не може да бъде, защото индикативната функция е $ y \u003d ((((а) ^ (x)) $, първо, винаги приемат само положителни стойности (колко единици не се размножават или не са доставяни на два пъти - все пак ще бъдат доставени или не се доставят на два пъти Бъдете положително число), и второ, основата на такава функция е номер $ a $ - по дефиниция е положително число!
Е, как тогава да решите уравнението $ ((9) ^ (x)) \u003d - $ 3? Но по никакъв начин няма: няма корени. И в този смисъл индикативните уравнения са много подобни на квадрат - може да не са корени. Но ако Б. квадратни уравнения Броят на корените се определя от дискриминантния (дискриминантно положително - 2 корени, отрицателни - без корени), тогава всичко зависи от това какво си струва правото на равенство.
По този начин формулираме ключов заключение: най-простото индикативно уравнение на типа $ ((а) ^ (x)) \u003d b $ има корен тогава и само ако $ b gt 0 $. Знаейки този прост факт, можете лесно да определите: има предложен корен уравнение за вас или не. Тези. Струва ли си да го решите или незабавно да запишете, че няма корени.
Това знание все още многократно ще ни помогнете, когато трябва да решите по-сложни задачи. Междувременно текстовете са достатъчни - време е да изучаваме основния алгоритъм за решаване на индикативни уравнения.
Как да решават експоненциални уравнения
Така че, формулираме задачата. Необходимо е да се реши индикативното уравнение:
[(а) ^ (x)) \u003d b, quad a, b gt 0]
Според "наивния" алгоритъм, чрез който имаме по-рано, е необходимо да се представи числото $ b $ като степен от $ a $:
В допълнение, ако има някакъв израз вместо променлива $ x $, ние получаваме ново уравнение, което вече може да бъде решено. Например:
[започнете (подравнете) и (((2) ^ (x)) \u003d 8 дясно ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) дясното радство x \u003d 3; (((3) ^ (- x)) \u003d 81 Радства ((3) ^ (- x)) \u003d (((3) ^ (4)) дясно -x \u003d 4 дясното радство x \u003d -4; ((5) ^ (2x)) \u003d 125 радница ((5) ^ (2x) \u003d (((5) ^ (3)) дясно 2x \u003d 3 дясното радство x \u003d frac (3) ( 2). Край (подравняване) \\ t
И достатъчно странно, тази схема работи в около 90% от случаите. И след това с останалите 10%? Останалите 10% са малко "шизофренични" индикативни уравнения на формата:
[(2) ^ (x)) \u003d 3; quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; quad (((4) ^ (2x) \u003d 11]
Е, каква степен трябва да построите 2, за да получите 3? Първо? И тук не е: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - не е достатъчно. Във втория? Също така няма: $ ((2) ^ (2)) \u003d $ 4 - малко прекалено много. И в което тогава?
Знаейки, че учениците вече вероятно са се досетили: в такива случаи, когато "красиво" не могат да бъдат решени, "тежка артилерия" - логаритми са свързани. Позволете ми да ви напомня, че с помощта на логаритми всяко положително число може да бъде представено като степен на друго положително число (с изключение на едно):
Помнете ли тази формула? Когато казвам на учениците си за логаритъма, винаги го предупреждавам: тази формула (това е основната логаритмична идентичност или, ако желаете, определението за логаритъм) ще го преследва за много дълго време и ще го преследва много дълго и "изскача" най-много неочаквани места. Е, тя се появява. Нека да разгледаме нашето уравнение и за тази формула:
[започнете (подравнете) и ((2) ^ (x)) \u003d 3, (((b) ^ (((log) _ (б)) а)) \\ t \\]
Ако приемем, че $ a \u003d $ 3 е нашият първоначален номер, който стои отдясно, а $ b \u003d $ 2 е самата основа индикативна функцияНа което искаме да донесем дясната страна, ще получим следното:
[Започнете (подравнете) и a \u003d ((b) ^ (((log) _ (b)) а)) дясното радство 3 \u003d ((((2) ^ (((log) _ (2)) 3)); & ((2) ^ (x)) \u003d 3 дясно ((2) ^ (x)) \u003d (((2) ^ ((((((()) _) дясно) ((log) _ (2)) 3. Край (подравняване) \\ t
Получил малко странен отговор: $ x \u003d (((в log) _ (2)) $ 3. В някаква друга задача мнозина ще се засмяха в такъв отговор и започнаха да проверяват своето решение: внезапно имаше грешка някъде? Аз бързам да ви пречупя: не е тук, а логаритъмът в корените на индикативните уравнения е напълно типична ситуация. Затова свикнете. :)
Сега решаваме по аналогия на останалите две уравнения:
[започнете (подравнете) и ((5) ^ (x)) \u003d 15 дял ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ ((((((()) _ (5)) 15)) Радства x \u003d ((log) _ (5)) 15; ((4) ^ (2x)) \u003d 11 дясно (4) ^ (2x)) \u003d (((4) ^ ((((()) _ (4)) 11)) дясно 2x \u003d ( (log) _ (4)) 11 дясното радство x \u003d frac (1) (2) (log) _ (4)) 11. Край (подравняване) \\ t
Това е всичко! Между другото, последният отговор може да бъде написан по друг начин:
Това направихме множител към аргумента на логаритъм. Но никой не ни пречи да направим този множител до земята:
В този случай всичките три опции са правилни - това са просто различни форми на запис на същия номер. Кой да избере и записва в настоящото решение - да реши само вас.
По този начин научихме как да решаваме всички индикативни уравнения на типа $ ((а) ^ (x)) \u003d b $, където числата $ a $ и $ b $ са строго положителни. Въпреки това, суровата реалност на нашия свят е такава, че такива прости задачи ще ви посрещнат много и много рядко. Много по-често ще срещнете нещо подобно:
[начало (подравняване) и ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d (((4) ^ (x + 1)) - 11; ((7) ^ (x + 6)) ccot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (Зх)); & ((100) ^ (x - 1)) ccot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. Край (подравняване) \\ t
Е, как да решим това? Възможно ли е да се реши? И ако е така, как?
Без паника. Всички тези уравнения бързо и просто слизат на тези прости формуличе вече сме разгледали. Просто трябва да знаете, запомнете няколко техники от хода на алгебра. И разбира се, тук не е без правила за работа с степени. За това ще ви кажа сега. :)
Трансформация на индикативни уравнения
Първото нещо, което трябва да се вземе, е: всяко индикативно уравнение, независимо колко трудно е, така или иначе, трябва да бъде сведено до най-простите уравнения - по този начин вече сме разглеждали и които знаем как да решим. С други думи, схемата за решаване на всяко индикативно уравнение е както следва:
- Запишете уравнението на източника. Например: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1) \u003d (((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Направете някаква неразбираема глупост. Или дори няколко коня, които се наричат \u200b\u200b"конвертиране на уравнение";
- На изхода, за да получите най-простите изрази на типа $ (4) ^ (x)) \u003d $ 4 или нещо друго в този дух. Освен това, едно първоначално уравнение може да даде няколко такива изрази наведнъж.
С първия елемент, всичко е ясно - дори котката ми ще може да записва уравнението на листата. С третата точка изглежда, повече или по-малко ясно - вече сме изстенахме такива уравнения.
Но как да бъдем с втория елемент? Какъв вид трансформация? Какво да конвертирате? И как?
Е, нека да разберем. На първо място, ще отбележа следното. Всички индикативни уравнения са разделени на два вида:
- Уравнението се състои от индикативни функции със същата база. Пример: $ ((4) ^ (x)) + (((4) ^ (x - 1)) \u003d (((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Формулата има демонстрационни функции с различни основи. Примери: $ (7) ^ (x + 6)) ccot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ и $ (((100) ^ (x - 1) ) Ccot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 $.
Да започнем с уравненията на първия тип - те са решени най-лесните. И в тяхното решение ще помогнем на такова приемане като разпределение на устойчиви изрази.
Разпределение на стабилен израз
Нека отново погледнем това уравнение:
[((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\ t
Какво виждаме? Четвъртата се издига в различни степени. Но всички тези степени са простите количества от $ x $ променлива с други номера. Следователно е необходимо да се припомнят правилата за работа с градуси:
[започнете (подравнете) и ((а) ^ (x + y)) \u003d ((а) ^ (x)) ccot ((а) ^ (y)); ((a) ^ (xy)) \u003d ((а) ^ (x)): ((а) ^ (y)) \u003d frac ((((а) ^ (x))) ((()) ^ (y))). Край (подравняване) \\ t
Казано по-просто, добавянето на индикатори може да се превърне в работата на градусите и изваждането лесно се превръща в разделение. Нека се опитаме да приложим тези формули до степени от нашето уравнение:
[Започнете (подравнете) и ((4) ^ (x - 1)) \u003d frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d (((4) ^ x)) ccot rrac (1) (4); ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) ccot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) cdot 4. \\ t Край (подравняване) \\ t
Пренаписвам първоначалното уравнение, като вземам предвид този факт и след това събирам всички компоненти отляво:
[започнете (подравнете) и ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) cdot frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) cdot 4 -илевен; (((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) cdot frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) cdot 4 + 11 \u003d 0. Край (подравняване) \\ t
В първите четири компонента има елемент $ ((4) ^ (x)) $ - ще го донеса за скобата:
[Започнете (подравнете) и ((4) ^ (x)) cdot лява (1+ frac (1) (4) -4 дясно) + 11 \u003d 0; ((4) ^ (x)) ccot frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; ((4) ^ (x)) ccot лява (- frac (11) (4) дясно) \u003d - 11. Край (подравняване) \\ t
Остава да се разделят двете части на уравнението за фракцията от $ - Frac (11) (4) $, т.е. По същество се размножават фракцията за пренасочване - $ - frac (4) (11) $. Получаваме:
[Започнете (подравнете) & ((4) ^ (x)) cdot лява (- frac (11) (4) дясно) ccot лява (- frac (4) (11) \\ t ) \u003d - 11 cdot ляво (- frac (4) (11) вдясно); (((4) ^ (x)) \u003d 4; (((4) ^ (x)) \u003d (((4) ^ (1)); & x \u003d 1. Край (подравняване) \\ t
Това е всичко! Ние намалихме първоначалното уравнение на най-простия и получим окончателния отговор.
В същото време, в процеса на решения, открихме (и дори извършени за скобата) Общият мултипликатор $ ((4) ^ (x)) $ е стабилен израз. Тя може да бъде обозначена с нова променлива и можете просто внимателно да изразите и да получите отговора. Във всеки случай, основният принцип за решаване на следното: \\ t
Намерете стабилен израз в уравнението на източника, съдържащо променлива, която лесно се подчертава от всички индикативни функции.
Добрата новина е, че почти всяко индикативно уравнение позволява разпределението на такъв стабилен израз.
Но има лоши новини: такива изрази могат да бъдат много хитри и е доста трудно да ги разпределите. Ето защо ще анализираме друга задача:
[((5) ^ (x + 2)) + ((0.2) ^ (- x - 1)) + 4 ccot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2]
Може би някой сега ще има въпрос: "Паша, какво сте свилили? Тук, различни основи - 5 и 0.2 ". Но нека се опитаме да конвертираме степен с база от 0.2. Например, се отървете от десетичните фракции, като го приведете нормално:
[((0.2) ^ (- x - 1)) \u003d ((((0,2) ^ (- ляво (x + 1 дясно))) \u003d ((лява (лява (FRAC (2) (10) \\ t )) ^ (- наляво (x + 1 вдясно))) \u003d ((ляво (отляво (1) (5))) ^ (- оставено (x + 1 вдясно))) \\ t
Както можете да видите, номер 5 след всичко се появи, нека и двете в знаменателя. В същото време пренаписвате индикатора под формата на отрицателен. И сега си спомняш най-важните правила Работа с степени:
[((а) ^ (- n)) \u003d frac (1) (((а) ^ (n))) дясно ((ляво)) ^ ()) - наляво (x + 1 вдясно))) \u003d ((ляво (4) (1)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ t Чест
Тук, разбира се, леко се втурна. Защото за пълно разбиране на формулата за освобождение от отрицателни показатели е необходимо да се записва така:
[((а) ^ (- n)) \u003d FRAC (1) ((((а) ^ (n))) \u003d ((ляво (frac (1) (а) дясно)) ^ (n )) Радост ((ляво (отляво (1) (5) вдясно)) ^ (- ляво (x + 1] дясно))) \u003d ((ляво))) \u003d ((ляво))) Дясно)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ t
От друга страна, нищо не ни попречи да работим с един изстрел:
[((ляво (отляво (1) (5) вдясно) ^ (- ляво (x + 1] дясно))) \u003d (((((((((((((5) ^ (- 1)) \\ t Вдясно)) ^ (- наляво (x + 1 вдясно))) \u003d (((5) ^ (ляво (-1 дясно) cdot ляво (- ляво (x + 1] дясно) \\ t )) \u003d (((5) ^ (x + 1)) \\ t
Но в този случай трябва да можете да издигнете степен в друга степен (напомнете ви: индикаторите са сгънати). Но аз не трябваше да "превърна" фракциите - може би за някой, който ще бъде по-лесен. :)
Във всеки случай първоначалното индикативно уравнение ще бъде пренаписано като:
[Започнете (подравнете) и ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 ccot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; & ((5) ^ (x + 2)) + 5 ccot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) ccot ((5) ^ (x + 1) \u003d 2; & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2) \u003d 2; Ccot ((5) ^ (X + 2)) \u003d 2; & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. Край (подравняване) \\ t
Така се оказва, че първоначалното уравнение е още по-лесно от разглеждания по-рано: няма нужда да се разпределя постоянен израз - всичко сами са намалели. Остава само да припомни, че $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, откъдето получаваме:
[започнете (подравнете) и ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); & x + 2 \u003d 0; & x \u003d -2. Край (подравняване) \\ t
Това е всичко решение! Получихме окончателния отговор: $ x \u003d -2 $. В същото време бих искал да отбележа едно приемане, което значително ни опростява всички изчисления:
В индикативните уравнения, не забравяйте да се отървете от десетични фракции, Преведете ги на обикновен. Това ще ви позволи да видите същите основи на степените и значително ще опростите решението.
Сега се движат до повече сложни уравненияВ които има различни основи, които изобщо не са сведени един до друг с помощта на степени.
Използвайте свойствата на градуси
Позволете ми да ви напомня, че имаме още две особено сурови уравнения:
[Започнете (подравнете) и (((7) ^ (x + 6)) ccot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (Зх)); & ((100) ^ (x - 1)) ccot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. Край (подравняване) \\ t
Основната трудност тук не е ясно какво да донесе на каква основа. Къде са стабилните изрази? Къде са същите основи? Няма нужда от това.
Но нека се опитаме да отидем по друг начин. Ако няма готови ценности, можете да се опитате да намерите, като постановите причините за мултипликатори.
Нека започнем с първото уравнение:
[Започнете (подравнете) и (((7) ^ (x + 6)) ccot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (Зх)); 11 \u003d 7 ccot 3 дясно ((21) ^ (3x) \u003d ((ляво (7)))) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ t CCOT ((3) ^ (3x)). Край (подравняване) \\ t
Но в края на краищата можете да продължите напротив - компенсиране от числа 7 и 3 номер 21. Особено е лесно да се направи отляво, тъй като индикаторите и двете степени са еднакви:
[начало) & (((((7) ^ (x + 6)) ccot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((ляво)))) ^ (X + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); & ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); & x + 6 \u003d 3x; & 2x \u003d 6; & x \u003d 3. Край (подравняване) \\ t
Това е всичко! Направихте индикатор за степента извън работата и веднага получихте красиво уравнение, което се решава в няколко линии.
Сега ще се справим с второто уравнение. Тук всичко е много по-трудно:
[(((100) ^ (x - 1)) ccot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09]
[((100) ^ (x - 1)) ccot ((ляво (отляво (1))) ^ (1-x)) \u003d frac (9) (100)] \\ t
В този случай фракциите бяха диракотизирани, но ако нещо може да бъде намалено - не забравяйте да намалите. Често, в същото време ще се появят интересни основания, с които вече можете да работите.
Също така, за съжаление, нищо не се появи. Но виждаме, че индикаторите на градуси, които стоят в работата отляво, са противоположни:
Позволете ми да ви напомня: да се отървете от знака "минус" в индикатора, достатъчно е да "обърнете" фракцията. Е, пренапишете оригиналното уравнение:
[Започнете (подравнете) и ((((100) ^ (x - 1)) ccot ((ляво (ляво (FRAC (10) (27)) ^ (x - 1)) \u003d frac (9) \\ t ) (100); (ляво (100) (100) (27))) ^ (x - 1) \u003d frac (9) (100); & (лява (1000) (27) вдясно)) ^ (x - 1)) \u003d frac (9) (100). Край (подравняване) \\ t
Във втория ред ние просто извършихме обща цифра от работата за скоба съгласно правилото $ ((a) ^ (x)) ccot ((b) ^ (x)) \u003d ((ляво (a cdot b вдясно)) ^ (x)) $, а в последния просто умножи номер 100 по фракция.
Сега отразяваме, че номерата, стоящи отляво (в основата) и отдясно, са еднакви. Отколкото? Да, очевидно: те са степени от един и същ номер! Ние имаме:
[Започнете (подравнявате) FRAC (1000) (27) \u003d FRAC ((((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d ((ляво) ) (3) вдясно)) ^ (3)); FRAC (9) (100) \u003d FRAC ((((3) ^ (2))) ((((10) ^ (3))) \u003d ((лява (лява (FRAC (3) (10) \\ t Дясно)) ^ (2)). Край (подравняване) \\ t
Така нашето уравнение ще пренапише, както следва:
[((ляво (ляво (10) (3) вдясно)) ^ (3)) дясно)) ^ (x - 1)) \u003d ((ляво (ляво)) (10) вдясно)) ^ (2)) \\ t
[((ляво (((ляво)) вдясно)) ^ (3)) вдясно)) ^ (x - 1)) \u003d ((()))) ) (3) вдясно)) ^ (3 остави (x - 1 дясно))) \u003d (((ляво)))) ^ (3x-3)) \\ t
В същото време можете да получите и степен със същата основа, за която е достатъчно, за да "обърнете" фракцията:
[(лява (4) (10) вдясно)) ^ (2)) \u003d ((ляво (ляво (FRAC (10) (3)))) ^ (- 2)) \\ t
И накрая, нашето уравнение ще бъде под формата:
[започнете (подравнете) и ((ляво (4) (3))) ^ (3x-3)) \u003d ((ляво (ляво (FRAC (10) (3)) ^ (- 2)); & 3x-3 \u003d -2; & 3x \u003d 1; & X \u003d frac (1) (3). Край (подравняване) \\ t
Това е цялото решение. Неговата основна идея се свежда до факта, че дори по различни причини, ние се опитваме от всякакви истини и несъответствия, за да намалим тези основания за същото. Това се подпомага от елементарни трансформации на уравнения и правила за работа с градуси.
Но какви са правилата и кога да използвате? Как да разберем, че в едно уравнение трябва да споделите двете страни за нещо, а в другото - да поставите основата на индикативната функция за мултипликатори?
Отговорът на този въпрос ще дойде с опит. Опитайте ръката си на първо място на обикновените уравнения, а след това постепенно усложнявайте задачите - и много скоро уменията ви ще бъдат достатъчни, за да разрешат всяко индикативно уравнение от една и съща употреба или всяка независима / тестова работа.
И за да ви помогнем в този твърд въпрос, предлагам изтегляне на набор от уравнения за моя сайт. самостоятелност. За всички уравнения има отговори, така че винаги можете да проверите себе си.
Като цяло ви пожелавам добра тренировка. И ще ви видим в следващия урок - там ще разглобим наистина сложните по-ниски уравнения, където описаните по-горе методи не са достатъчни. И простото обучение също няма достатъчно. :)
Зареждане...