مبانی تئوری ارتعاشات سیستم های مکانیکی. مبانی تئوری ارتعاش

وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه
ایالت اوختا دانشگاه فنی

VC. خگای، د.ن. لویتسکی،
او خرین، ع.س. پوپوف

مبانی تئوری ارتعاش
سیستم های مکانیکی
آموزش

مورد تایید انجمن آموزشی و روش شناسی دانشگاه ها
در آموزش عالی نفت و گاز به عنوان آموزشی
کتابچه راهنمای دانشجویان دانشگاه های نفت و گاز در حال تحصیل
در تخصص 090800, 170200, 553600

UDC 534.01
X-35
مبانی تئوری نوسانات سیستم های مکانیکی / V.K. هگای،
D.N. لویتسکی، O.N. خرین، ع.س. پوپوف - Ukhta: USTU, 2002 .-- 108 p.
شابک 5-88179-285-8
این آموزش اصول اولیه تئوری نوسانات سیستم های مکانیکی را که بر اساس دوره عمومی مکانیک نظری... توجه ویژه ای به کاربرد معادلات لاگرانژ دوم می شود
ردیف این کتابچه راهنمای کاربر شامل شش فصل است که هر فصل به نوع خاصی از ارتعاش اختصاص دارد. یک فصل به مبانی تئوری پایداری حرکت و تعادل سیستم های مکانیکی اختصاص دارد.
برای تسلط بهتر مطالب نظری، در دفترچه راهنما، داده شده است
تعداد زیادی مثال و مشکلات از زمینه های مختلف فناوری.
این کتاب برای دانشجویان رشته های مکانیک در نظر گرفته شده است که دوره مکانیک نظری را به طور کامل مطالعه می کنند.
همچنین می تواند برای دانشجویان سایر تخصص ها مفید باشد.
داوران: گروه مکانیک نظری، سن پترزبورگ
آکادمی جنگلداری دولتی (رئیس گروه، دکترای علوم فنی، پروفسور YA Dobrynin)؛ رئیس بخش حفاری یکپارچه SeverNIPIGaz، کاندیدای علوم فنی، دانشیار Yu.M. گرژبرگ.

3
فهرست مطالب
پیشگفتار ................................................ ................................................ ................. 4
فصل اول. اطلاعات مختصراز مکانیک تحلیلی .......................................... 5
1.1 انرژی بالقوه سیستم ...................................... .................................. 5
1.2. انرژی جنبشی سیستم ...................................... .................................. 6
1.3. عملکرد اتلاف کننده ...................................................... ...................................... هشت
1.4. معادله لانگرانژ ...................................................... ................................................ نه
1.5. نمونه هایی برای تهیه معادلات لانگرانژ از نوع دوم ............................ 11
فصل دوم. ثبات حرکت و تعادل سیستم های محافظه کار ......... ۲۰
2.1. معرفی ................................................. ................................................ ................... بیست
2.2. توابع لیاپانوف معیار سیلوستر ................................................ ............. 21
2.3. معادله حرکت آشفته ...................................... .................. 23
2.4. قضیه لیاپانوف در مورد پایداری حرکت ...................................... .. .......... 26
2.5. قضیه لاگرانژ در مورد پایداری یک تعادل
سیستم محافظه کار ...................................... ................................................ 29
2.6. ثبات تعادل یک سیستم محافظه کار با یک
میزان آزادی ............................................... ................................................. ............ سی
2.7. نمونه هایی از پایداری تعادل یک سیستم محافظه کار ................................... 31
فصل سوم. ارتعاشات آزاد سیستم با یک درجه آزادی ................. 39
3.1. ارتعاشات رایگان یک سیستم محافظه کارانه
با یک درجه آزادی ...................................... ................................................. 39
3.2. ارتعاشات آزاد یک سیستم با یک درجه آزادی در حضور
نیروهای مقاومت متناسب با سرعت ...................................... ........... 42
3.3. نمونه هایی از ارتعاشات آزاد سیستم با یک درجه آزادی ............. ۴۶
فصل چهارم. نوسانات اجباری یک سیستم با یک درجه آزادی ........... 59
4.1. نوسانات اجباری یک سیستم با یک درجه آزادی
در مورد یک نیروی مزاحم دوره ای .......................................... ................... 59
4.2. پدیده رزونانس ...................................... .................................................. .. .... 63
4.3. پدیده ضرب و شتم ...................................... ................................................. ....... 66
4.4. عامل دینامیک ................................................ ................................ 68
4.5. نمونه هایی از ارتعاشات اجباری سیستم
با یک درجه آزادی ...................................... ................................................. 70
فصل پنجم نوسانات آزاد یک سیستم با دو درجه آزادی ................ 78
5.1. معادلات دیفرانسیل نوسانات آزاد یک سیستم با دو
درجات آزادی و راه حل کلی آنها ...................................... ...................... 78
5.2. فرم های خود ................................................ ................................................ 80
5.3. مثال هایی برای ارتعاش آزاد سیستم با دو درجه آزادی ............ 81
فصل ششم. نوسانات اجباری یک سیستم با دو درجه آزادی ........ ۹۳
6.1. معادلات دیفرانسیل نوسانات اجباری سیستم و آنها
تصمیم مشترک ................................................ ................................................ ................. 93
6.2. لرزش گیر دینامیک ................................................ ................................ 95
6.3. نمونه هایی از ارتعاشات اجباری یک سیستم با دو درجه آزادی ... ۹۸
فهرست کتابشناختی ...................................... ...................................... 107

4
پیشگفتار
در مرحله کنونی توسعه دبیرستاناشکال و اشکال پژوهشی آموزش در حال وارد شدن به عمل تدریس است.
فرآیندهای دینامیکی در ماشین‌ها و مکانیزم‌ها هم برای محاسبه در مرحله طراحی سازه‌های جدید و هم برای تعیین حالت‌های فن‌آوری در حین عملیات از اهمیت تعیین‌کننده‌ای برخوردار هستند. نام بردن از حوزه فناوری که در آن وجود نداشته باشد دشوار است
مسائل موضوعی مطالعه ارتعاشات الاستیک و پایداری تعادل و حرکت سیستم های مکانیکی. آنها نماینده خاصی هستند
اهمیت برای مهندسان مکانیک شاغل در مهندسی مکانیک، حمل و نقل و سایر زمینه های فناوری.
این کتابچه راهنمای برخی از مسائل خاص از تئوری را بررسی می کند
ارتعاشات و پایداری سیستم های مکانیکی اطلاعات نظری
با مثال توضیح داده شده است.
هدف اصلی از این کتابچه راهنمای روش شناختی- پیوند دادن
حوزه کاربرد مکانیک نظری و تحلیلی با مشکلات
بخش های ویژه ای که مهندسان مکانیک را آموزش می دهند.

5
فصل اول. اطلاعات مختصر از ANALYTICAL
مکانیک
I.I. انرژی بالقوه سیستم
انرژی پتانسیل یک سیستم با درجه آزادی، بودن
انرژی موقعیت فقط به مختصات تعمیم یافته بستگی دارد

P = P (q1، q2، .....، qs)،
جایی که q j

(j = 1، 2، K، s) - مختصات تعمیم یافته سیستم.

با در نظر گرفتن انحرافات کوچک سیستم از موقعیت یک استیبل
تعادل، مختصات تعمیم یافته qj را می توان به عنوان کمیت های درجه اول کوچکی در نظر گرفت. با فرض موقعیت تعادلی سیستم
مطابق با مبدأ مختصات تعمیم یافته است، ما بیان انرژی پتانسیل P را در سری Maclaurin در توان های qj گسترش می دهیم.

∂П
1 S S ∂2 П
P = P (Ο) + ∑ (
) 0 q j + ∑∑ (
) 0 qi q j + K.
∂
q
2
∂
q
∂
q
j = 1
i = 1 j = 1
j
من
j
اس

با توجه به اینکه انرژی پتانسیل با دقت تعیین می شود
به مقداری ثابت افزایشی، انرژی پتانسیل در موقعیت تعادل را می توان برابر با صفر در نظر گرفت
P (0) = 0.

در مورد نیروهای محافظه کار، نیروهای تعمیم یافته با فرمول تعیین می شوند

∂П
∂q j

(j = 1، 2، K، s).

از آنجایی که در تعادل سیستم نیروها

(j = 1، 2، K، s)،

سپس شرایط تعادل سیستم محافظه کار نیروها شکل می گیرد

⎛ ∂П
⎜⎜
⎝ ∂q j

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1، 2، K، s)،

⎛ ∂П
∑⎜
j = 1 ⎜ ∂q
⎝ j

⎞
⎟⎟ q j = 0.
⎠0

از این رو،
س

6
سپس برابری (1.2.)، تا درجه دوم کوچکی، شکل می گیرد

1 S S ⎛ ∂2 П
P = ∑∑⎜
2 i = 1 j = 1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ چی ق ج.
⎠0

نشان می دهیم

⎛ ∂2 П
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q ج

⎞
⎟⎟ = cij = c ji،
⎠0

جایی که cij عوامل سختی تعمیم یافته هستند.
بیان نهایی برای انرژی پتانسیل شکل دارد

1 اس اس
П = ∑∑cij qi q j.
2 i = 1 j = 1

از (1.9.) می توان دریافت که انرژی پتانسیل سیستم همگن است تابع درجه دوممختصات تعمیم یافته
1.2. انرژی جنبشی سیستم
انرژی جنبشی یک سیستم متشکل از n نقطه مادی،
برابر است با

1 n
T = ∑mk vk2،
2 k = 1

جایی که mk و vk جرم و سرعت نقطه k سیستم هستند.
هنگام عبور از مختصات تعمیم یافته، این را در نظر خواهیم داشت
_

(k = 1، 2، ...، n)،

R k (q1، q2، ...، qs)

جایی که r k بردار شعاع k-امین نقطه سیستم است.
−

از هویت vk2 = v k ⋅ v k استفاده می کنیم و بردار سرعت را جایگزین می کنیم
−

V k با مقدار آن
_

∂r k
∂q1

∂r k
∂q2

∂r k
∂qs

سپس عبارت انرژی جنبشی (1.10) شکل می گیرد

7
2
2
2

1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS -1، S q S -1 q S)، (1.13)
2

⎛ _
∂ rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k = 1
⎝
n

⎛ _
∂ rk
الاغ = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k = 1
⎝
n

⎞
⎛ _
n
⎟، A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k = 1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟، A12 = ∑ mk k ⋅ k، ...،
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

به عنوان -1، s = ∑ mk
k = 1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS -1 ∂qS

با بسط هر یک از این ضرایب در یک سری مکلارین در توان مختصات تعمیم یافته، به دست می آوریم.

⎛ ∂آیج
Aij = (Aij) 0 + ∑ ⎜
⎜
j = 1 ⎝ ∂A j
اس

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1، 2، ...، s).

شاخص 0 مربوط به مقادیر توابع در موقعیت تعادل است. از آنجایی که ما انحرافات کوچک سیستم را از موقعیت در نظر می گیریم
تعادل، سپس در برابری (1.14) خود را فقط به اولین شرایط ثابت محدود می کنیم

(i = j = 1، 2، ...، s).

آیج = (آیج) 0 = آیج

سپس عبارت انرژی جنبشی (1.13) شکل می گیرد
2
2

⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS -1، S q S -1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

یا به طور کلی

1 اس
T = ∑
2 من = 1

ثابت aij - ضرایب اینرسی تعمیم یافته.
از (1.16) مشاهده می شود که انرژی جنبشی سیستم T یکنواخت است
تابع درجه دوم سرعت های تعمیم یافته

8
1.3. عملکرد اتلاف کننده
در شرایط واقعی، نوسانات آزاد سیستم میرا می شوند، بنابراین
چگونه نیروهای مقاومت روی نقاط آن عمل می کنند. در حضور نیروهای مقاومت، انرژی مکانیکی از بین می رود.
−

فرض کنید که مقاومت نیروهای R k (k = 1, 2, ..., n) عمل می کند
به نقاط سیستم، متناسب با سرعت آنها
_

R k = - μk v k

(k = 1، 2، ...، n)،

جایی که μk ضریب تناسب است.
نیروهای کشش تعمیم یافته برای سیستم هولونومیک با فرمول تعیین می شود
n

Q j R = ∑ Rk
k = 1

∂ rk
∂r
= −∑ μ k vk k
∂q j
∂q j
k = 1
n

(j = 1، 2، ...، s).

زیرا
_

∂ rk
∂ rk
∂ rk
q1 +
q 2 + ... +
qS،
∂q1
∂q2
∂qS

∂ rk
.
∂q j

با در نظر گرفتن (1.18)، نیروهای مقاومت تعمیم یافته (1.17) را به شکل بازنویسی می کنیم.
n

Q = -∑ μκ vκ
آر
j

(j = 1، 2، ...، s).

اجازه دهید یک تابع اتلاف را معرفی کنیم که با فرمول تعیین می شود
n

سپس نیروهای مقاومت تعمیم یافته با فرمول ها تعیین می شوند

(j = 1، 2، ...، s).

با قیاس با انرژی جنبشی سیستم، تابع اتلاف را می توان به عنوان یک تابع درجه دوم همگن نشان داد.
سرعت های تعمیم یافته

1 اس اس
Φ = ∑∑ вij q i q j،
2 i = 1 j = 1

جایی که вij ضرایب اتلاف تعمیم یافته است.
1.4. معادله لاگرانژ از نوع دوم
موقعیت یک سیستم هولونومیک با درجه آزادی s توسط مختصات تعمیم یافته qj (j = 1، 2، ...، s) تعیین می شود.
برای استخراج معادلات لاگرانژ نوع دوم، از حالت کلی استفاده می کنیم
معادله دینامیک
اس

Q و j) δ q j = 0،

جایی که Qj نیروی تعمیم یافته نیروهای فعال مربوط به مختصات تعمیم یافته j است.
Q uj - نیروی تعمیم یافته نیروهای اینرسی مربوط به مختصات تعمیم یافته j.
δ q j - افزایش j -امین مختصات تعمیم یافته.
با توجه به اینکه همه δ q j (j = 1، 2، ...، s) مستقل از یکدیگر هستند،
برابری (1.23) فقط در صورتی معتبر خواهد بود که هر یک از ضرایب در δ q j به طور جداگانه برابر با صفر باشد، یعنی.

Q j + Q و j = 0 (j = 1، 2، ...، s)
یا

(j = 1، 2، ...، s).

اجازه دهید Q uj را بر حسب انرژی جنبشی سیستم بیان کنیم.
با تعریف نیروی تعمیم یافته، داریم

Q و j = ∑ Φ k
k = 1

∂ rk
d vk ∂ r k
= - ∑ mk
⋅
1
=
ک
∂q j
dt ∂q j
n

(j = 1، 2، K، s)،

D vk
جایی که Φ k = - mk a k = - mk
نیروی اینرسی به نقطه ام سیستم است.
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q j
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ - vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q j
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1، q2، ...، qs)،
_

D rk ∂ rk
∂ rk
∂ rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs،
dt
∂q1
∂q2
∂q s
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂q j
⎝

_
_
⎞
∂
د
r
∂
v
ک
ک
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q j
⎠

با جایگزینی مقادیر (1.27) و (1.28) به برابری (1.26)، متوجه می شویم
_
⎛_
∂ vk ∂ r k d ⎜
∂ vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂ vk2
∂
v
د
ک
⎜
⎟ - vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝

⎞
2
⎟ - ∂ vk.
⎟⎟ 2∂q j
⎠

با در نظر گرفتن برابری (1.29)، عبارت (1.25) را می توان به صورت بازنویسی کرد

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
و
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k = 1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
n

∂
−
∂q j

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k = 1
j
⎝
n

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂q j
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k = 1
⎠
n

11
در اینجا در نظر گرفته می شود که مجموع مشتقات برابر است با مشتق جمع،
n m v2
و ∑ k k = T انرژی جنبشی سیستم است.
k = 1
2
با در نظر گرفتن برابری ها (1.24)، در نهایت می یابیم

⎛
د ⎜ ∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝ j

⎞
⎟ - ∂Τ = Q
j
⎟⎟ ∂q j
⎠

(j = 1، 2، K، s).

معادلات (1.30) را معادلات لاگرانژ از نوع دوم می نامند.
تعداد این معادلات برابر است با تعداد درجات آزادی.
اگر نیروهای وارد بر نقاط سیستم دارای پتانسیل باشند، پس
برای نیروهای تعمیم یافته، فرمول زیر معتبر است

∂П
∂q j

(j = 1، 2، K، s)،

جایی که P انرژی پتانسیل سیستم است.
بنابراین، برای سیستم محافظه کار معادله لاگرانژ

کتاب خواننده را با خواص عمومیفرآیندهای نوسانی که در مهندسی رادیو، نوری و سیستم های دیگر و همچنین با روش های مختلف کیفی و کمی مطالعه آنها اتفاق می افتد. توجه قابل توجهی به در نظر گرفتن سیستم های پارامتری، خود نوسانی و سایر سیستم های نوسانی غیرخطی می شود.
مطالعه سیستم‌های نوسانی و فرآیندهای موجود در آنها که در کتاب شرح داده شده‌اند، با روش‌های شناخته شده تئوری نوسانات بدون ارائه و توجیه دقیق خود روش‌ها ارائه شده است. توجه اصلی به روشن شدن ویژگی‌های اساسی مدل‌های نوسانی مورد مطالعه سیستم‌های واقعی با استفاده از مناسب‌ترین روش‌های تحلیل معطوف است.

نوسانات آزاد در مداری با اندوکتانس غیر خطی.
اکنون نمونه دیگری از یک سیستم محافظه کار غیر خطی الکتریکی را در نظر بگیرید، یعنی مداری با اندوکتانس که به جریانی که از آن می گذرد بستگی دارد. این مورد یک آنالوگ مکانیکی غیرنسبیتی روشن و ساده ندارد، زیرا وابستگی خود القایی به جریان برای مکانیک معادل وابستگی جرم به سرعت است.

هنگامی که از هسته های ساخته شده از مواد فرومغناطیسی در سلف ها استفاده می شود، سیستم های الکتریکی از این نوع را ملاقات می کنیم. در چنین مواردی، برای هر هسته داده شده، می توانید رابطه بین صفر مغناطیسی و شار القای مغناطیسی را بدست آورید. منحنی که این رابطه را نشان می دهد منحنی مغناطیسی نامیده می شود. اگر پدیده هیسترزیس را نادیده بگیریم، سیر تقریبی آن را می توان با نمودار نشان داده شده در شکل 1 نشان داد. 1.13. از آنجایی که بزرگی میدان H متناسب با جریان جاری در سیم پیچ است، جریان را می توان در امتداد محور آبسیسا مستقیماً در مقیاس مناسب رسم کرد.

دانلود رایگان کتاب الکترونیکیدر قالبی مناسب، تماشا کنید و بخوانید:
دانلود کتاب Fundamentals of theory of Vibrations Migulin V.V. Medvedev V.I. Mustel E.R. Parygin V.N. 1978 - fileskachat.com دانلود سریع و رایگان.

اصول فیزیک نظری، مکانیک، نظریه میدان، عناصر مکانیک کوانتومی، Medvedev B.V.، 2007
دوره فیزیک، A.P. Ershov، G.V. Fedotovich، V.G. Kharitonov، E.R. Pruuel، D.A. Medvedev
ترمودینامیک فنی با مبانی انتقال حرارت و هیدرولیک، Lashutina N.G.، Makashova O.V.، Medvedev R.M.، 1988

ما قبلاً منشا مکانیک کلاسیک، مقاومت مواد و تئوری الاستیسیته را بررسی کرده ایم. مهمترین جزء مکانیک نیز نظریه نوسانات است. ارتعاشات عامل اصلی تخریب ماشین آلات و سازه ها هستند. تا پایان دهه 1950. 80 درصد از تصادفات تجهیزات به دلیل افزایش ارتعاشات رخ داده است. ارتعاشات همچنین تأثیرات مضری بر افراد مرتبط با عملکرد تجهیزات دارد. آنها همچنین می توانند باعث خرابی سیستم کنترل شوند.

با وجود همه اینها، نظریه نوسانات به عنوان یک علم مستقل تنها در اواخر قرن نوزدهم ظهور کرد. با این حال، محاسبات ماشین آلات و مکانیسم ها تا ابتدا قرن XX در یک محیط ایستا برگزار شد. توسعه مهندسی مکانیک، افزایش قدرت و سرعت موتورهای بخار با کاهش وزن همزمان آنها، ظهور انواع جدیدی از موتورها - موتورهای احتراق داخلی و توربین های بخار منجر به نیاز به محاسبات قدرت با در نظر گرفتن بارهای دینامیکی شد. . به عنوان یک قاعده، مشکلات جدید در تئوری ارتعاشات در فناوری تحت تأثیر حوادث یا حتی فجایع ناشی از افزایش ارتعاشات به وجود آمد.

نوسانات حرکات یا تغییر حالتی هستند که درجات مختلفی از تکرارپذیری دارند.

نظریه نوسان را می توان به چهار دوره تقسیم کرد.

منعادت زنانه- ظهور نظریه نوسانات در چارچوب مکانیک نظری (پایان قرن 16 - پایان قرن 18). مشخصه این دوره ظهور و توسعه دینامیک در آثار گالیله، هویگنس، نیوتن، آلمبرت، اویلر، دی. برنولی و لاگرانژ است.

بنیانگذار نظریه نوسانات لئونارد اویلر بود. در سال 1737، L. Euler به نمایندگی از آکادمی علوم سن پترزبورگ، تحقیقاتی را در مورد تعادل و حرکت یک کشتی آغاز کرد و در سال 1749 کتاب "علم کشتی" او در سن پترزبورگ منتشر شد. در این کار اویلر بود که پایه های نظریه پایداری ایستا و نظریه نوسانات گذاشته شد.

ژان لرون دی آلمبر در آثار متعدد خود مسائل فردی مانند نوسانات کوچک یک جسم در اطراف مرکز جرم و حول محور چرخش را در ارتباط با مشکل تقدم و مهره زمین، نوسانات یک جسم مورد توجه قرار داده است. آونگ، بدنه شناور، فنر و... اما نظریه عمومیتردید d "آلامبرت ایجاد نکرد.

مهمترین کاربرد روش های تئوری ارتعاشات، تعیین آزمایشی سفتی پیچشی سیم بود که توسط چارلز کولن انجام شد. از نظر تجربی، کولن در این مسئله نیز خاصیت هم‌زمانی نوسانات کوچک را ایجاد کرد. این آزمایشگر بزرگ با بررسی میرایی نوسانات به این نتیجه رسید که علت اصلی آن مقاومت هوا نیست، بلکه تلفات ناشی از اصطکاک داخلی در ماده سیم است.

ال. اویلر که پایه‌های نظریه پایداری استاتیکی و نظریه نوسان‌های کوچک را پایه‌گذاری کرد، دالامبر، دی. برنولی و لاگرانژ، کمک زیادی به پایه‌های نظریه نوسانات کرد. مفاهیم دوره و فرکانس نوسانات، حالت های نوسان شکل گرفت، اصطلاح نوسانات کوچک استفاده شد، اصل برهم نهی راه حل ها فرموله شد، سعی شد راه حل به یک سری مثلثاتی گسترش یابد.

اولین مشکلات در تئوری نوسانات، مسائل نوسان یک آونگ و یک ریسمان بود. قبلاً در مورد نوسانات آونگ صحبت کردیم - نتیجه عملی حل این مشکل اختراع ساعت توسط هویگنس بود.

در مورد مشکل ارتعاشات ریسمان، این یکی از مهمترین مسائل در تاریخ توسعه ریاضیات و مکانیک است. بیایید آن را با جزئیات بیشتر در نظر بگیریم.

آکوستیک سیماین یک نخ صاف، نازک و انعطاف پذیر ایده آل با طول محدود ساخته شده از مواد جامد است که بین دو نقطه ثابت کشیده شده است. V تفسیر مدرنمشکل ارتعاشات عرضی یک رشته طول لبه یافتن راه حلی برای معادله دیفرانسیل (1) در مشتقات جزئی کاهش می یابد. اینجا ایکسمختصات نقطه رشته در امتداد طول است و y- جابجایی جانبی آن؛ اچ- کشش رشته، - جرم خطی آن آاین سرعت انتشار موج است. معادله ای مشابه ارتعاشات طولی ستون هوا در لوله را نیز توصیف می کند.

در این حالت، توزیع اولیه انحراف نقاط رشته از یک خط مستقیم و سرعت آنها باید مشخص شود، یعنی. معادله (1) باید شرایط اولیه (2) و شرایط مرزی (3) را برآورده کند.

اولین مطالعات تجربی بنیادی ارتعاشات ریسمان توسط ریاضیدان و مکانیک هلندی آیزاک بکمان (1614-1618) و M. Mersenne انجام شد که تعدادی قانونمندی ایجاد کرد و نتایج خود را در سال 1636 در "کتاب همخوانی ها" منتشر کرد:

قوانین مرسن در سال 1715 توسط شاگرد نیوتن بروک تیلور تأیید شد. او ریسمان را سیستمی از نقاط مادی می داند و مفروضات زیر را می پذیرد: همه نقاط ریسمان به طور همزمان از موقعیت تعادل خود عبور می کنند (منطبق با محور). ایکس) و نیروی وارد بر هر نقطه متناسب با جابجایی آن است yدر مورد محور ایکس... این بدان معنی است که او مسئله را به سیستمی با یک درجه آزادی تقلیل می دهد - معادله (4). تیلور به درستی اولین فرکانس طبیعی (بنیادی) - (5) را دریافت کرد.

D "آلامبرت در سال 1747 برای این مسئله روش کاهش مسئله دینامیک را به مسئله استاتیک (اصل د" آلمبرت) اعمال کرد و معادله دیفرانسیل ارتعاشات یک رشته همگن در مشتقات جزئی (1) را به دست آورد - اولین معادله فیزیک ریاضی او حل این معادله را به صورت مجموع دو تابع دلخواه جستجو کرد (6)

جایی که و - توابع تناوبی دوره 2 ل... هنگام روشن شدن سوال در مورد نوع توابع و e "آلامبر شرایط مرزی (1.2) را در نظر می گیرد، با این فرض که برای
رشته با محور تراز شده است ایکس... معنی این است
در بیانیه مشکل مشخص نشده است.

اویلر یک مورد خاص را در نظر می گیرد که برای
رشته از موقعیت تعادل منحرف شده و بدون سرعت اولیه آزاد می شود. ضروری است که اویلر هیچ محدودیتی بر شکل اولیه رشته اعمال نکند، یعنی. مستلزم آن نیست که بتوان آن را به صورت تحلیلی با در نظر گرفتن هر منحنی که "با دست رسم شود" مشخص کرد. نتیجه نهایی به دست آمده توسط نویسنده: اگر در
شکل رشته با معادله توصیف می شود
، سپس نوسانات به این صورت است (7). اویلر نظرات خود را در مورد مفهوم یک تابع، برخلاف دیدگاه قبلی که آن را تنها به عنوان یک بیان تحلیلی می‌دانست، تجدید نظر کرد. بنابراین، کلاس توابع مورد مطالعه در تحلیل گسترش یافت و اویلر به این نتیجه رسید که "از آنجایی که هر تابعی یک خط مشخص را تعریف می کند، برعکس نیز صادق است - خطوط منحنی را می توان به توابع کاهش داد."

راه حل های به دست آمده توسط دالامبر و اویلر قانون ارتعاشات یک ریسمان را به شکل دو موج که به سمت یکدیگر حرکت می کنند را نشان می دهد.

د.برنولی در مطالعه ارتعاشات ریسمان مسیر متفاوتی را در پیش گرفت و ریسمان را به نقاط مادی که تعداد آنها را بی نهایت می دانست شکست. او مفهوم یک ارتعاش هارمونیک ساده سیستم را معرفی می کند. چنین حرکتی که در آن تمام نقاط سیستم به طور همزمان با فرکانس یکسان، اما با دامنه های متفاوت در نوسان هستند. آزمایش‌هایی که با اجسام صدادار انجام شد، D. Bernoulli را به این ایده سوق داد که عمومی‌ترین حرکت یک سیم عبارت است از اجرای همزمان تمام حرکات موجود برای آن. این به اصطلاح برهم نهی راه حل ها است. بنابراین، در سال 1753، با توجه به ملاحظات فیزیکی، راه حلی کلی برای ارتعاشات ریسمان به دست آورد و آن را به صورت مجموع راه حل های خاصی ارائه کرد که برای هر یک از آنها ریسمان به شکل یک منحنی مشخص خم می شود (8).

در این سری، شکل موج اول نیم سینوسی، دومی یک سینوسی کامل، سومی شامل سه نیم سینوسی و غیره است. دامنه آنها به عنوان تابعی از زمان نشان داده می شود و در اصل مختصات تعمیم یافته سیستم مورد بررسی است. بر اساس حل دی.برنولی، حرکت ریسمان مجموعه ای نامتناهی از ارتعاشات هارمونیک با تناوب است.
... در این حالت تعداد گره ها (نقاط ثابت) یک عدد کمتر از تعداد فرکانس طبیعی است. با محدود کردن سری (8) به تعداد متناهی از جمله، تعداد محدودی از معادلات را برای سیستم پیوسته به دست می آوریم.

با این حال، راه حل D. Bernoulli حاوی یک عدم دقت است - در نظر نمی گیرد که تغییر فاز برای هر هارمونیک از نوسانات متفاوت است.

د.برنولی با ارائه راه حل به صورت سری مثلثاتی از اصل برهم نهی و بسط محلول بر حسب سیستم کامل توابع استفاده کرد. او به درستی معتقد بود که با کمک اصطلاحات مختلف در فرمول (8) می توان آهنگ های هارمونیکی را که سیم همزمان با آهنگ اصلی خود منتشر می کند توضیح داد. او این را به عنوان یک قانون کلی در نظر گرفت که برای هر سیستمی از اجسام که ارتعاشات کوچک انجام می دهند معتبر است. با این حال، انگیزه فیزیکی نمی تواند جایگزین اثبات ریاضی شود، که در آن زمان ارائه نشده بود. به همین دلیل، همکاران راه حل D. Bernoulli را درک نکردند، اگرچه در اوایل سال 1737 C. A. Clairaut از بسط توابع در یک سری استفاده کرد.

حضور دو نفر روش های مختلفحل مشکل ارتعاشات یک رشته در میان دانشمندان برجسته قرن هجدهم نامیده شد. جنجال طوفانی - "اختلاف در مورد رشته". این اختلاف عمدتاً مربوط به این سؤال بود که راه‌حل‌های قابل قبول مسئله، نمایش تحلیلی یک تابع، و اینکه آیا می‌توان یک تابع دلخواه را در قالب یک سری مثلثاتی نشان داد، چه شکلی دارند. در "اختلاف در مورد رشته" یکی از بیشترین مفاهیم مهمتجزیه و تحلیل - مفهوم تابع.

D "آلامبرت و اویلر موافق نبودند که راه حل پیشنهادی دی. برنولی می تواند کلی باشد. به ویژه، اویلر به هیچ وجه نمی توانست موافق باشد که این سری بتواند هر "منحنی آزادانه ترسیم شده" را نشان دهد، همانطور که خود او اکنون این مفهوم را تعریف می کند. از یک تابع

جوزف لوئیس لاگرانژ که وارد بحثی شد، ریسمان را به قوسهای کوچکی با همان طول با جرم متمرکز در مرکز شکست و حل یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی با تعداد محدود درجه آزادی را بررسی کرد. سپس با عبور از حد، لاگرانژ نتیجه ای مشابه نتیجه دی. برنولی به دست آورد، بدون اینکه از قبل فرض کند که راه حل کلی باید مجموع نامتناهی از راه حل های خاص باشد. در عین حال، حل D. Bernoulli را به شکل (9) اصلاح می کند و فرمول هایی برای تعیین ضرایب این سری را نیز استخراج می کند. اگرچه تصمیم بنیانگذار مکانیک تحلیلی تمام الزامات سختگیری ریاضی را برآورده نکرد، اما گامی قابل توجه به جلو بود.

در مورد بسط راه حل در یک سری مثلثاتی، لاگرانژ معتقد بود که این سری برای شرایط اولیه دلخواه واگرا می شود. 40 سال بعد، در سال 1807، J. Fourier دوباره بسط تابع را در یک سری مثلثاتی برای سومین بار یافت و نشان داد که چگونه می توان از آن برای حل مسئله استفاده کرد و بدین وسیله درستی راه حل D. Bernoulli را تأیید کرد. اثبات تحلیلی کامل قضیه فوریه در مورد بسط تابع تناوبی تک مقداری در یک سری مثلثاتی در حساب انتگرالی تادگونتر و در «رساله ای در باب فلسفه طبیعی» توسط تامسون (لرد کلوین) و تتا ارائه شد.

تحقیقات در مورد ارتعاشات آزاد یک ریسمان کشیده بر اساس کار بکمن به مدت دو قرن ادامه داشته است. این وظیفه به عنوان یک محرک قدرتمند برای توسعه ریاضیات عمل کرد. با توجه به نوسانات سیستم های پیوسته، اویلر، d "آلامبرت و دی. برنولی یک رشته جدید ایجاد کردند - فیزیک ریاضی. ریاضی کردن فیزیک، یعنی ارائه آن از طریق تجزیه و تحلیل جدید - بزرگترین شایستگی اویلر، که به لطف آن مسیرهای جدیدی هموار شد. علوم پایه. توسعه منطقینتایج اویلر و فوریه، تعریف شناخته شده یک تابع توسط لوباچفسکی و لژون دیریکله بر اساس ایده تطابق یک به یک دو مجموعه بود. دیریکله همچنین امکان بسط فوریه توابع پیوسته و یکنواخت را ثابت کرد. یک معادله موج یک بعدی نیز به دست آمد و برابری دو راه حل آن برقرار شد که رابطه بین نوسانات و امواج را به صورت ریاضی تایید کرد. این واقعیت که یک رشته ارتعاشی صدا تولید می کند، دانشمندان را بر آن داشت تا درباره هویت فرآیند انتشار صدا و فرآیند ارتعاش یک سیم فکر کنند. همچنین مهمترین نقش شرایط مرزی و اولیه در چنین مسائلی آشکار شد. برای توسعه مکانیک، یک نتیجه مهم استفاده از اصل آلامبر برای نوشتن معادلات دیفرانسیل حرکت بود و برای تئوری نوسانات، این مسئله نیز نقش بسیار مهمی داشت، یعنی اصل برهم نهی و بسط راه حل از نظر حالت های طبیعی نوسانات اعمال شد، مفاهیم اساسی تئوری نوسانات - فرکانس طبیعی و حالت ارتعاش فرموله شد.

نتایج به‌دست‌آمده برای ارتعاشات آزاد یک رشته به عنوان مبنایی برای ایجاد یک نظریه ارتعاشات سیستم‌های پیوسته عمل کرد. مطالعه بیشتر ارتعاشات رشته ها، غشاها، میله های ناهمگن مستلزم یافتن روش های خاصی برای حل ساده ترین معادلات نوع هذلولی درجه دوم و چهارم است.

مشکل ارتعاشات آزاد یک سیم کشیده دانشمندان علاقه مند بود، البته نه برای کاربرد عملی آن، قوانین این ارتعاشات تا حدی برای استادان ساخت آلات موسیقی شناخته شده بود. این توسط سازهای زهی بی نظیر استادانی مانند آماتی، استرادیواری، گوارنر و دیگران که شاهکارهای آنها در قرن هفدهم خلق شده اند، گواه است. علایق بزرگترین دانشمندان درگیر در این کار، به احتمال زیاد، در تمایل به ایجاد یک مبنای ریاضی برای قوانین موجود ارتعاش ریسمان بود. در این شماره، مسیر سنتی هر علمی خود را نشان داد، با ایجاد نظریه ای که قبلاً توضیح می دهد حقایق شناخته شدهتا سپس پدیده های ناشناخته را پیدا و بررسی کند.

IIدوره - تحلیلی(اواخر قرن 18 - اواخر قرن 19). مهم ترین گام در توسعه مکانیک توسط لاگرانژ انجام شد که علم جدیدی را ایجاد کرد - مکانیک تحلیلی. آغاز دوره دوم در توسعه نظریه نوسانات با کار لاگرانژ همراه است. لاگرانژ در کتاب مکانیک تحلیلی خود که در سال 1788 در پاریس منتشر شد، تمام کارهایی را که در قرن هجدهم در مکانیک انجام می شد خلاصه کرد و رویکرد جدیدی برای حل مشکلات آن تدوین کرد. در تئوری تعادل، روش های هندسی استاتیک را کنار گذاشت و اصل جابجایی های ممکن (اصل لاگرانژ) را مطرح کرد. در دینامیک، لاگرانژ با استفاده همزمان از اصل d "آلامبرت و اصل جابجایی های ممکن"، معادله کلی تغییر دینامیک را دریافت کرد که به آن اصل d" آلمبر - لاگرانژ نیز می گویند. سرانجام، او مفهوم مختصات تعمیم یافته را وارد زندگی روزمره کرد و معادلات حرکت را به راحت ترین شکل - معادلات لاگرانژ نوع دوم - به دست آورد.

این معادلات مبنایی برای ایجاد نظریه نوسانات کوچک توصیف شده توسط خطی شد معادلات دیفرانسیلبا ضرایب ثابت خطی بودن به ندرت در یک سیستم مکانیکی ذاتی است، اما در بیشتر موارد نتیجه ساده سازی است. با در نظر گرفتن نوسانات کوچک نزدیک موقعیت تعادل که با سرعت کم انجام می شود، می توان عبارات مرتبه دوم و بالاتر را نسبت به مختصات و سرعت های تعمیم یافته در معادلات حرکت کنار گذاشت.

استفاده از معادلات لاگرانژ نوع دوم برای سیستم های محافظه کارانه

ما سیستم را دریافت می کنیم سمعادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت

, (11)

جایی که منو سی- به ترتیب ماتریس های اینرسی و سختی که اجزای آن ضرایب اینرسی و الاستیک خواهد بود.

راه حل خاصی (11) در فرم جستجو شده است

و یک حالت نوسانی تک هارمونیک با فرکانس را توصیف می کند ک، که برای همه مختصات تعمیم یافته یکسان است. افتراق (12) دو بار نسبت به تیو با جایگزین کردن نتیجه به معادلات (11)، سیستمی از معادلات همگن خطی برای یافتن دامنه ها به صورت ماتریسی به دست می آوریم.

. (13)

از آنجایی که در طول نوسانات سیستم، همه دامنه ها نمی توانند صفر باشند، تعیین کننده برابر با صفر است.

. (14)

معادله فرکانس (14) را معادله سکولار می نامند، زیرا اولین بار توسط لاگرانژ و لاپلاس در نظریه آشفتگی های سکولار عناصر مدارهای سیاره ای مورد توجه قرار گرفت. معادله است سنسبی درجه ، تعداد ریشه های آن برابر با تعداد درجات آزادی سیستم است. این ریشه ها معمولاً به ترتیب صعودی مرتب می شوند، در حالی که طیفی از فرکانس های طبیعی را تشکیل می دهند. به هر ریشه ای مربوط به راه حل خاصی از فرم (12)، مجموعه است سدامنه ها شکل موج را نشان می دهند و جواب کلی مجموع این راه حل ها است.

لاگرانژ بیانیه D. برنولی را ارائه کرد که حرکت نوسانی کلی یک سیستم از نقاط گسسته شامل اجرای همزمان تمام نوسانات هارمونیک آن است، شکل یک قضیه ریاضی با استفاده از نظریه ادغام معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت، ایجاد شده است. توسط اویلر در دهه 1840. و دستاوردهای d "Alambert، که نشان داد چگونه سیستم های چنین معادلاتی یکپارچه می شوند. در این مورد، لازم بود ثابت شود که ریشه های معادله سکولار واقعی، مثبت و مساوی با یکدیگر نیستند.

بنابراین، لاگرانژ در "مکانیک تحلیلی" معادله فرکانس ها را به صورت کلی به دست آورد. در همان زمان، او اشتباهی را که دالامبر در سال 1761 مرتکب شد، تکرار می کند که ریشه های چندگانه معادله سکولار با یک راه حل ناپایدار مطابقت دارد، زیرا در این مورد اصطلاحات سکولار یا سکولار حاوی تیزیر علامت سینوس یا کسینوس نیست. در این رابطه، هم دالامبر و هم لاگرانژ معتقد بودند که معادله فرکانس ها نمی تواند چندین ریشه داشته باشد (پارادوکس d'Alembert - Lagrange). کافی بود لاگرانژ حداقل یک آونگ کروی یا ارتعاشات میله ای را که سطح مقطع آن مثلاً گرد یا مربع است در نظر بگیرد تا مطمئن شود که فرکانس های متعدد در سیستم های مکانیکی محافظه کار امکان پذیر است. اشتباهی که در ویرایش اول کتاب مکانیک تحلیلی انجام شد در ویرایش دوم (1812) که در زمان حیات لاگرانژ منتشر شد و در چاپ سوم (1853) تکرار شد. قدرت علمی آلمبر و لاگرانژ به حدی بود که این اشتباه توسط لاپلاس و پواسون تکرار شد و تنها 100 سال بعد، مستقل از یکدیگر، در سال 1858 توسط K. Weierstrass و در 1859 توسط Osip Ivanovich اصلاح شد. سوموف، که سهم زیادی در توسعه نظریه نوسانات سیستم های گسسته داشت.

بنابراین، برای تعیین فرکانس ها و اشکال نوسانات آزاد یک سیستم خطی بدون مقاومت، حل معادله سکولار (13) ضروری است. اما معادلات درجه بالاتر از پنجم جواب تحلیلی ندارند.

مشکل فقط حل معادله سکولار نبود، بلکه در به میزان بیشتری، تدوین آن، از آنجایی که تعیین کننده بسط یافته (13) دارد
به عنوان مثال، برای سیستمی با 20 درجه آزادی، تعداد عبارت ها 2.4 × 10 18 است، و زمان لازم برای باز کردن چنین تعیین کننده ای برای قدرتمندترین رایانه دهه 1970 است که 1 میلیون عملیات در ثانیه انجام می دهد. حدود 1.5 میلیون سال است، اما برای یک کامپیوتر مدرن "فقط" چند صد سال است.

مسئله تعیین فرکانس ها و اشکال ارتعاشات آزاد را نیز می توان به عنوان یک مسئله جبر خطی در نظر گرفت و به صورت عددی حل کرد. بازنویسی برابری (13) به عنوان

, (14)

توجه داشته باشید که ماتریس ستون خود است بردار ماتریس

, (15)

آ با معنای خودش

حل مسئله مقادیر ویژه و بردارها یکی از جذاب ترین مسائل در تحلیل عددی است. در عین حال، پیشنهاد یک الگوریتم واحد برای حل تمام مشکلاتی که در عمل با آن مواجه می شوند غیرممکن است. انتخاب الگوریتم به نوع ماتریس و همچنین به تعیین همه مقادیر ویژه یا فقط کوچکترین (بزرگترین) یا نزدیک به یک عدد معین بستگی دارد. در سال 1846، کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی یک روش تکراری چرخش را برای حل مشکل کامل مقدار ویژه پیشنهاد کرد. این روش بر اساس یک دنباله نامتناهی از چرخش های ابتدایی است که در حد ماتریس (15) را به یک مورب تبدیل می کند. عناصر مورب ماتریس حاصل، مقادیر ویژه مورد نظر خواهند بود. در این مورد، برای تعیین مقادیر ویژه، لازم است
عملیات حسابی، و برای بردارهای ویژه نیز
عملیات در این راستا، روش در قرن نوزدهم. هیچ کاربردی پیدا نکرد و بیش از صد سال فراموش شد.

گام مهم بعدی در توسعه نظریه ارتعاشات، کار ریلی، به ویژه اثر بنیادی او "نظریه صدا" بود. ریلی در این کتاب به بررسی پدیده های ارتعاشی در مکانیک، آکوستیک و سیستم های الکتریکی از دیدگاهی یکپارچه می پردازد. ریلی متعلق به تعدادی از قضایای اساسی نظریه خطی نوسانات (قضیه های ایستایی و خواص فرکانس های طبیعی) است. ریلی همچنین اصل تقابل را تدوین کرد. با قیاس با انرژی جنبشی و پتانسیل، او تابع اتلاف را معرفی کرد، نام رایلی را دریافت کرد و نشان دهنده نیمی از سرعت اتلاف انرژی است.

در نظریه صدا، ریلی همچنین روشی تقریبی را برای تعیین اولین فرکانس طبیعی یک سیستم محافظه کار پیشنهاد می کند.

, (16)

جایی که
... در این حالت، برای محاسبه حداکثر مقادیر انرژی های پتانسیل و جنبشی، شکل خاصی از ارتعاش گرفته می شود. اگر با حالت اول ارتعاش سیستم مطابقت داشته باشد، مقدار دقیق اولین فرکانس طبیعی را به دست می آوریم، اما در غیر این صورت این مقدار همیشه بیش از حد برآورد می شود. اگر تغییر شکل استاتیکی سیستم به عنوان اولین حالت ارتعاش در نظر گرفته شود، این روش دقتی را ارائه می‌کند که برای تمرین کاملاً قابل قبول است.

بنابراین، در قرن نوزدهم، در آثار سوموف و ریلی، روشی برای ساخت معادلات دیفرانسیل شکل گرفت که حرکات نوسانی کوچک سیستم‌های مکانیکی گسسته را با استفاده از معادلات لاگرانژ از نوع دوم توصیف می‌کرد.

جایی که در نیروی تعمیم یافته است
همه عوامل نیرو باید شامل شوند، به استثنای عوامل الاستیک و اتلافی که توسط توابع پوشش داده شده است آر و پ.

معادلات لاگرانژ (17) به صورت ماتریسی که ارتعاشات اجباری یک سیستم مکانیکی را توصیف می کند، پس از جایگزینی همه توابع به شکل زیر است.

. (18)

اینجا آیا ماتریس میرایی، و
- بردار ستون، به ترتیب، مختصات تعمیم یافته، سرعت و شتاب. تصمیم مشترکاین معادله شامل نوسانات آزاد و همراه است که همیشه نوسانات میرایی و اجباری با فرکانس نیروی مزاحم رخ می دهد. ما خود را محدود به در نظر گرفتن یک راه حل خاص می کنیم که مربوط به نوسانات اجباری است. رایلی به عنوان تحریک، نیروهای تعمیم یافته را در نظر گرفت که بر اساس قانون هارمونیک تغییر می کنند. بسیاری این انتخاب را به سادگی مورد بررسی می‌دانند، اما رایلی توضیح قانع‌کننده‌تری ارائه می‌دهد - بسط سری فوریه.

بنابراین، برای یک سیستم مکانیکی با بیش از دو درجه آزادی، حل سیستم معادلات مشکلات خاصی را ایجاد می کند که با افزایش نظم سیستم، مانند بهمن افزایش می یابد. در حال حاضر در پنج تا شش درجه آزادی، مشکل ارتعاشات اجباری را نمی توان به صورت دستی با روش کلاسیک حل کرد.

در تئوری ارتعاشات سیستم های مکانیکی، ارتعاشات کوچک (خطی) سیستم های گسسته نقش ویژه ای داشتند. نظریه طیفی توسعه یافته برای سیستم های خطی حتی نیازی به ساخت معادلات دیفرانسیل ندارد و برای به دست آوردن یک راه حل، می توان بلافاصله سیستم های معادلات جبری خطی را یادداشت کرد. اگرچه در اواسط قرن نوزدهم روش هایی برای تعیین بردارهای ویژه و مقادیر ویژه (Jacobi) و همچنین حل سیستم معادلات جبری خطی (گاوس) توسعه یافت، کاربرد عملی آنها حتی برای سیستم هایی با تعداد درجه کم. آزادی، مطرح نبود. بنابراین، قبل از ظهور رایانه های به اندازه کافی قدرتمند، روش های مختلفی برای حل مشکل ارتعاشات آزاد و اجباری سیستم های مکانیکی خطی توسعه داده شد. بسیاری از دانشمندان برجسته - ریاضیدانان و مکانیک ها - با این مسائل سروکار داشته اند که در ادامه به آنها پرداخته خواهد شد. ظهور فن آوری محاسباتی قدرتمند نه تنها حل مسائل خطی با ابعاد بزرگ را در یک ثانیه امکان پذیر کرد، بلکه فرآیند کامپایل سیستم های معادلات را نیز خودکار کرد.

بنابراین، در طول قرن هجدهم. در تئوری نوسانات کوچک سیستم‌های با تعداد محدود درجه آزادی و نوسانات سیستم‌های الاستیک پیوسته، طرح‌های فیزیکی اولیه و اصول ضروری برای تجزیه و تحلیل ریاضیچالش ها و مسائل. با این حال، برای ایجاد نظریه ارتعاشات مکانیکی به عنوان یک علم مستقل، فقدان یک رویکرد واحد برای حل مسائل دینامیک وجود داشت و برای توسعه سریعتر آن هیچ نیاز فنی وجود نداشت.

رشد صنعت در مقیاس بزرگ در اواخر قرن 18 و اوایل قرن 19، ناشی از معرفی گسترده ماشین بخار، منجر به جدا شدن مکانیک کاربردی به یک رشته جداگانه شد. اما تا پایان قرن نوزدهم، محاسبات قدرت در حالت ایستا انجام می‌شد، زیرا ماشین‌ها هنوز کم‌مصرف و کند حرکت می‌کردند.

در پایان قرن نوزدهم، با افزایش سرعت و کاهش اندازه ماشین‌ها، غفلت از نوسانات غیرممکن شد. حوادث متعدد ناشی از شروع رزونانس یا شکست خستگی در حین ارتعاشات، مهندسان را مجبور به توجه به فرآیندهای ارتعاشی کرد. از مشکلاتی که در این مدت به وجود آمد، باید به موارد زیر اشاره کرد: ریزش پل ها از قطارهای عبوری، ارتعاشات پیچشی شفت و ارتعاش بدنه کشتی، برانگیخته شده توسط نیروهای اینرسی قطعات متحرک ماشین های نامتعادل.

IIIعادت زنانه- شکل گیری و توسعه نظریه کاربردی نوسانات (1900-1960). توسعه مهندسی مکانیک، بهسازی لوکوموتیوها و کشتی ها، پیدایش توربین های بخار و گاز، موتورهای احتراق داخلی پرسرعت، خودروها، هواپیماها و غیره. نیاز به تحلیل دقیق تری از تنش ها در قطعات ماشین داشت. این توسط الزامات برای استفاده اقتصادی تر از فلز دیکته شد. ساختار سبک وزن باعث ایجاد مشکلات ارتعاشی شده است، که به طور فزاینده ای در مسائل استحکام دستگاه حیاتی می شوند. در آغاز قرن بیستم، تصادفات متعدد به طور قانع کننده ای نشان می دهد که نادیده گرفتن ارتعاشات یا ناآگاهی از آنها چه عواقب فاجعه باری می تواند داشته باشد.

ظهور فناوری جدید، به عنوان یک قاعده، مشکلات جدیدی را برای نظریه نوسانات ایجاد می کند. بنابراین در دهه 30-40. مشکلات جدیدی مانند فلاتر و شیمی در هوانوردی، ارتعاشات خمشی و خمشی-پیچشی محورهای دوار و غیره به وجود آمد که نیازمند توسعه روش‌های جدید برای محاسبه ارتعاشات بود. در اواخر دهه 1920، ابتدا در فیزیک، و سپس در مکانیک، مطالعه نوسانات غیرخطی آغاز شد. در ارتباط با توسعه سیستم های کنترل خودکار و سایر الزامات فنی، از دهه 30، تئوری پایداری حرکت به طور گسترده ای توسعه و اعمال شده است، که اساس آن پایان نامه دکتری A. M. Lyapunov "مشکل عمومی پایداری حرکت" بود.

عدم وجود یک راه حل تحلیلی برای مسائل نظریه نوسانات، حتی در یک محیط خطی، از یک سو، و فناوری کامپیوتر از سوی دیگر، منجر به توسعه تعداد زیادی روش عددی مختلف برای حل آنها شده است. .

نیاز به محاسبه ارتعاشات برای انواع مختلف فناوری منجر به ظهور اولین فناوری در دهه 1930 شد. دوره های آموزشینظریه نوسانات

انتقال به IVعادت زنانه(اوایل دهه 1960 - اکنون) با عصر انقلاب علمی و فناوری مرتبط است و با ظهور فناوری جدید، در درجه اول هوانوردی و فضایی، سیستم های رباتیک مشخص می شود. علاوه بر این، توسعه مهندسی نیرو، حمل و نقل و سایر موارد در وهله اول مشکلات استحکام دینامیکی و قابلیت اطمینان را مطرح کرده است. این به دلیل افزایش سرعت کار و کاهش مصرف مواد با تلاش همزمان برای افزایش طول عمر ماشین‌ها است. در تئوری نوسانات، مسائل بیشتر و بیشتری در یک محیط غیر خطی حل می شوند. در زمینه نوسانات سیستم های پیوسته، تحت تأثیر الزامات هوانوردی و فناوری فضایی، مشکلات دینامیک صفحات و پوسته ها ایجاد می شود.

بیشترین تأثیر بر توسعه تئوری نوسانات در این دوره با ظهور و توسعه سریع فناوری محاسبات الکترونیکی بود که منجر به توسعه روش های عددی برای محاسبه نوسان شد.

حرکت نوسانیبه هر حرکت یا تغییر حالتی گفته می شود که با یک درجه تکرار در زمان مقادیر مقادیر فیزیکی تعیین کننده این حرکت یا حالت مشخص می شود. نوسانات در همه پدیده های طبیعی ذاتی هستند: تشعشعات ضربانی از ستاره ها. سیارات با درجه تناوب بالایی می چرخند منظومه شمسی; بادها ارتعاشات و امواج روی سطح آب را تحریک می کنند. در داخل هر موجود زنده، فرآیندهای مختلف و ریتمیک تکرار شونده به طور مداوم رخ می دهد، به عنوان مثال، قلب انسان با قابلیت اطمینان شگفت انگیز می تپد.

نوسانات در فیزیک برجسته هستند مکانیکیو الکترومغناطیسیبا کمک انتشار نوسانات مکانیکی در چگالی و فشار هوا، که ما آن را به عنوان صدا درک می کنیم، و همچنین نوسانات بسیار سریع در میدان های الکتریکی و مغناطیسی که به عنوان نور درک می کنیم، تعداد زیادی اطلاعات مستقیم در مورد جهان دریافت می کنیم. اطراف ما. نمونه هایی از حرکت نوسانی در مکانیک، نوسان آونگ ها، ریسمان ها، پل ها و غیره است.

نوسانات نامیده می شود تناوبی، اگر مقادیر کمیت های فیزیکی که در جریان نوسانات تغییر می کنند در فواصل منظم تکرار شوند. ساده ترین نوع ارتعاش دوره ای ارتعاش هارمونیک است. نوسانات به نوسانات هارمونیک گفته می شود که در آن تغییر در کمیت نوسانی در طول زمان بر اساس قانون سینوسی (یا کسینوس) اتفاق می افتد:

که در آن x جابجایی از موقعیت تعادل است.

الف - دامنه ارتعاش - حداکثر جابجایی از موقعیت تعادل.

- فرکانس چرخه ای؛

- مرحله اولیه نوسان؛

- فاز نوسان؛ جابجایی را در هر لحظه از زمان تعیین می کند، یعنی. وضعیت سیستم نوسانی را تعیین می کند.

در مورد نوسانات کاملاً هارمونیک، مقادیر A، و به زمان بستگی ندارد

فرکانس چرخه ای مرتبط با دوره T نوسانات و فرکانس نسبت:

(2)

دوره Tنوسانات به نام کوچکترین دوره زمانی که پس از آن مقادیر تمام مقادیر فیزیکی مشخص کننده نوسانات تکرار می شود.

فرکانس ارتعاشات تعداد ارتعاشات کامل در واحد زمان است که بر حسب هرتز (1 هرتز = 1) اندازه گیری می شود.
).

فرکانس چرخه ای از نظر عددی برابر است با تعداد نوسانات انجام شده در 2 ثانیه

نوسانات ناشی از سیستمی که تحت تأثیر نیروهای خارجی متغیر نیست، در نتیجه هر انحراف اولیه این سیستم از حالت تعادل پایدار، نامیده می شود. رایگان(یا خودت).

اگر سیستم محافظه کار باشد، در طول نوسانات اتلاف انرژی رخ نمی دهد. در این حالت ارتعاشات آزاد نامیده می شود بدون میراگر.

سرعت نوسانات نقطه ای به عنوان مشتق تغییر زمانی تعریف می شوند:

(3)

شتاب نقطه نوسان برابر است با مشتق سرعت نسبت به زمان:

(4)

رابطه (4) نشان می دهد که شتاب در حین نوسانات هارمونیک متغیر است، بنابراین، نوسان ناشی از عمل یک نیروی متغیر است.

قانون دوم نیوتن به ما اجازه می دهد تا رابطه بین نیروی F و شتاب را به صورت کلی بنویسیم با ارتعاشات هارمونیک مستطیلی نقطه مادیبا جرم
:

جایی که
, (6)

k - ضریب کشش.

بنابراین نیرویی که باعث ارتعاش هارمونیک می شود متناسب با جابجایی است و بر خلاف جابجایی هدایت می شود. در این رابطه می توان یک تعریف دینامیکی از ارتعاش هارمونیک ارائه داد: هارمونیک ارتعاشی است که توسط نیرویی که مستقیماً متناسب با جابجایی x است و در برابر جابجایی هدایت می شود ایجاد می شود.

نیروی بازگردان می تواند، برای مثال، یک نیروی کشسان باشد. نیروهایی که ماهیت متفاوتی نسبت به نیروهای کشسان دارند، اما شرط (5) را نیز برآورده می کنند، نامیده می شوند شبه الاستیک.

در مورد ارتعاشات مستطیلی در امتداد محور x، شتاب برابر است با:

جایگزینی این عبارت برای افزایش سرعت و معنای قدرت
به قانون دوم نیوتن می رسیم معادله اصلی ارتعاشات هارمونیک مستقیم:

یا
(7)

راه حل این معادله معادله (1) است.

وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه

ایالت کاباردینو-بالکار

دانشگاه آنها را. H. M. BERBEKOVA

مبانی تئوری ارتعاشات

مبانی تئوری، مسائل مربوط به وظایف خانه،

نمونه هایی از راه حل ها

برای دانشجویان رشته های مکانیک دانشگاه ها

نالچیک 2003

داوران:

- دکترای علوم فیزیک و ریاضی، پروفسور، مدیر مؤسسه تحقیقاتی ریاضیات کاربردی و اتوماسیون آکادمی علوم روسیه، محترم. دانشمند فدراسیون روسیه، آکادمیک AMAN.

دکترای علوم فیزیکی و ریاضی، پروفسور، رئیس گروه ریاضیات کاربردی آکادمی کشاورزی دولتی کاباردینو-بالکاریا.

نظریه نوسانات کولتربایف. مبانی تئوری، وظایف برای تکالیف، نمونه هایی از راه حل ها.

کتاب درسی دانشجویان مؤسسات آموزشی عالی فنی شاغل به تحصیل در رشته های آموزشی فارغ التحصیلان 657800 - طراحی و پشتیبانی فناورانه صنایع ماشین سازی، 655800 مهندسی مواد غذایی. -نالچیک: انتشارات KBSU im. ، دهه 20

این کتاب به تشریح مبانی تئوری نوسانات سیستم های مکانیکی خطی و همچنین وظایف تکالیف با مثال هایی از راه حل آنها می پردازد. محتوای تئوری و تکالیف بر دانشجویان مکانیک متمرکز است.

هر دو سیستم گسسته و توزیع شده در نظر گرفته می شوند. تعداد گزینه های نامتناسب برای تکالیف به آنها اجازه می دهد تا برای تعداد زیادی از دانش آموزان استفاده شوند.

این نشریه همچنین می تواند برای معلمان، دانشجویان فارغ التحصیل و متخصصان رشته های مختلف علم و فناوری که به کاربردهای نظریه نوسانات علاقه مند هستند، مفید باشد.

پیشگفتار

کتاب بر اساس دوره نوشته شده است توسط نویسنده خوانده شوددر دانشکده فنی و مهندسی دانشگاه دولتی کاباردینو-بالکاریا برای دانشجویان رشته های مکانیک.

مکانیسم ها و سازه ها فن آوری پیشرفتهآنها اغلب تحت شرایط بارگذاری دینامیکی پیچیده کار می کنند، بنابراین، علاقه ثابت به تئوری نوسانات توسط الزامات عمل پشتیبانی می شود. تئوری ارتعاشات و کاربردهای آن دارای کتابشناسی گسترده است که شامل تعداد قابل توجهی کتاب درسی و کمک آموزشی می باشد. برخی از آنها در کتابشناسی در انتهای این آموزش آورده شده است. تقریباً تمام ادبیات آموزشی موجود برای خوانندگانی در نظر گرفته شده است که این دوره را در حجم زیادی مطالعه می کنند و در زمینه های فعالیت مهندسی تخصص دارند، به هر نحوی که به طور قابل توجهی با پویایی سازه ها مرتبط است. در همین حال، در حال حاضر، همه مهندسین رشته های مکانیک نیاز به تسلط بر تئوری نوسانات را در سطح نسبتا جدی احساس می کنند. تلاش برای برآوردن چنین الزاماتی منجر به معرفی دوره های ویژه با حجم کم در برنامه های آموزشی بسیاری از دانشگاه ها می شود. این آموزش برای پاسخگویی به چنین درخواست هایی طراحی شده است و شامل مبانی تئوری، مسائل تکالیف و مثال هایی برای حل آنها می باشد. این موضوع حجم محدود کتاب درسی، انتخاب محتوای آن و عنوان: «مبانی نظریه ارتعاشات» را توجیه می کند. در واقع، کتاب درسی تنها سؤالات و روش‌های اساسی این رشته را بیان می‌کند. خواننده علاقه مند می تواند از تک نگاری های علمی شناخته شده و وسایل کمک آموزشیدر پایان این نشریه برای مطالعه عمیقنظریه و کاربردهای فراوان آن

این کتاب برای خواننده ای است که در حجم دروس معمولی دانشگاه آموزش دیده است ریاضیات بالاتر، مکانیک نظری و مقاومت مصالح.

در مطالعه چنین درسی مقدار قابل توجهی از تکالیف در قالب درس، کنترل، محاسبه و طراحی، محاسبات و گرافیک و کارهای دیگری که مستلزم صرف زمان زیادی است، صورت می گیرد. کتاب های مشکل موجود و کتابچه های راهنما برای حل مسائل برای این اهداف در نظر گرفته نشده اند. علاوه بر این، یک مصلحت آشکار در ترکیب نظریه و تکالیف در یک نسخه وجود دارد که با محتوای مشترک، تمرکز موضوعی و مکمل یکدیگر متحد می شوند.

دانش آموز در هنگام انجام تکالیف و انجام تکالیف با سؤالات زیادی مواجه می شود که در قسمت نظری رشته بیان نشده یا به اندازه کافی توضیح داده نشده است. او در ارائه مسیر حل مسئله، راه های استدلال برای تصمیم گیری، ساختار و قالب بندی سوابق مشکل دارد.

معلمان نیز مشکلاتی را تجربه می کنند، اما در حال حاضر ماهیت سازمانی دارند. آنها اغلب مجبورند حجم، محتوا و ساختار تکالیف را بازبینی کنند، گزینه های متعددی را برای کارها ترسیم کنند، از صدور به موقع وظایف ناهماهنگ در مقیاس گسترده اطمینان حاصل کنند، مشاوره های متعدد، توضیحات و غیره را انجام دهند.

این راهنما، از جمله، برای کاهش و حذف مشکلات و مشکلات در نظر گرفته شده است از این طبیعتدر زمینه آموزش انبوه این شامل دو وظیفه با توجه به موضوعات آنها است که مهمترین و اساسی ترین سؤالات دوره را پوشش می دهد:

1. نوسانات سیستم های با یک درجه آزادی.

2. نوسانات سیستم های با دو درجه آزادی.

این کارها از نظر حجم و محتوای خود می توانند به کار طراحی و طراحی برای دانشجویان تمام وقت، پاره وقت و پاره وقت یا آزمون برای دانش آموزان تبدیل شوند. فرم خارج از دیواریادگیری.

برای راحتی خوانندگان، کتاب از شماره گذاری مستقل فرمول ها (معادلات) و ارقام درون هر پاراگراف با استفاده از روش معمول استفاده می کند. عدد اعشاریدر داخل پرانتز. ارجاعات در پاراگراف فعلی صرفاً با تعیین چنین عددی انجام می شود. اگر لازم است به فرمول پاراگراف های قبلی مراجعه کنید، شماره پاراگراف و سپس از طریق یک نقطه - شماره خود فرمول را مشخص کنید. بنابراین، برای مثال، نماد (3.2.4) با فرمول (4) در بند 3.2 این فصل مطابقت دارد. ارجاع به فرمول فصول قبل نیز به همین ترتیب، اما با ذکر اول شماره فصل و دوره انجام شده است.

کتاب تلاشی برای برآوردن درخواست هاست آموزش حرفه ایدانش آموزان رشته های خاص نگارنده واقف است که ظاهراً خالی از کاستی نخواهد بود و لذا انتقادات و نظرات احتمالی خوانندگان را برای بهبود چاپ های بعدی با کمال امتنان می پذیرد.

این کتاب همچنین ممکن است برای متخصصان علاقه مند به کاربردهای تئوری نوسانات مفید باشد مناطق مختلففیزیک، مهندسی، ساخت و ساز و سایر زمینه های دانش و فعالیت های تولیدی.

فصلمن

معرفی

1.موضوع نظریه ارتعاشات

یک سیستم خاص در فضا حرکت می کند به طوری که وضعیت آن در هر لحظه از زمان t با مجموعه ای از پارامترها توصیف می شود: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif "width =" 31" height =" 23 src = ">. gif" width = "48" height = "24"> و تأثیرات خارجی. و سپس وظیفه پیش بینی تکامل بیشتر سیستم در زمان است: (شکل 1).

بگذارید یکی از ویژگی های در حال تغییر سیستم، باشد. انواع مشخصی از تغییر آن در زمان وجود دارد: یکنواخت (شکل 2)، غیر یکنواخت (شکل 3)، اساساً غیر یکنواخت (شکل 4).

فرآیند تغییر یک پارامتر که با افزایش و کاهش متناوب چندگانه پارامتر در زمان مشخص می شود، نامیده می شود. فرآیند نوسانییا به سادگی نوساناتنوسانات در طبیعت، فناوری و فعالیت های انسانی گسترده هستند: ریتم مغز، نوسانات آونگ، ضربان قلب، نوسان ستاره ها، نوسانات اتم ها و مولکول ها، نوسانات جریان در مدار الکتریکی، نوسانات دمای هوا، نوسانات قیمت مواد غذایی، ارتعاش صدا، سیم های ارتعاشی یک ساز موسیقی.

موضوع این دوره می باشد ارتعاشات مکانیکیبه عنوان مثال، ارتعاشات در سیستم های مکانیکی.

2. طبقه بندی سیستم های نوسانی

بگذار باشد تو(NS، t) بردار حالت سیستم است، f(NS، t) بردار اعمال روی سیستم از طرف است محیط(عکس. 1). دینامیک سیستم توسط معادله عملگر توصیف می شود

L تو(NS، t) = f(NS، t)، (1)

که در آن عملگر L با معادلات نوسانات و شرایط اضافی(مرز، ابتدایی). در چنین معادله ای، u و f نیز می توانند اسکالر باشند.

ساده ترین طبقه بندی سیستم های نوسانی را می توان توسط آنها انجام داد تعداد درجات آزادی... تعداد درجات آزادی تعداد پارامترهای عددی مستقلی است که به طور منحصر به فرد پیکربندی سیستم را در هر لحظه t تعیین می کند. بر این اساس، سیستم های نوسانی را می توان به یکی از سه کلاس نسبت داد:

1)سیستم هایی با یک درجه آزادی.

2)سیستم هایی با تعداد محدود درجه آزادی... آنها اغلب به عنوان نامیده می شوند سیستم های گسسته.

3)سیستم هایی با تعداد بی نهایت غیرقابل شمارش درجه آزادی (سیستم های پیوسته و توزیع شده).

در شکل 2 تعدادی مثال گویا را برای هر یک از کلاس های آنها نشان می دهد. برای هر طرح، تعداد درجات آزادی به صورت دایره ای نشان داده شده است. آخرین نمودار یک سیستم توزیع شده را به شکل یک تیر قابل تغییر شکل الاستیک نشان می دهد. برای توصیف پیکربندی آن، یک تابع u (x, t) مورد نیاز است، یعنی مجموعه ای بی نهایت از مقادیر u.

هر کلاس از سیستم های نوسانی مدل ریاضی خاص خود را دارد. به عنوان مثال، یک سیستم با یک درجه آزادی با یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم، سیستم های با تعداد محدود درجه آزادی - توسط یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی، سیستم های توزیع شده - با معادلات دیفرانسیل جزئی توصیف می شود.

بسته به نوع عملگر L در مدل (1)، سیستم های نوسانی به دو دسته تقسیم می شوند خطی و غیر خطی... سیستم در نظر گرفته شده است خطیاگر عملگر مربوطه خطی باشد، یعنی شرط را برآورده کند

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif "width =" 20 height = 24 "height =" 24 ">. jpg" width = "569" height = "97">
برای سیستم های خطی، درست است اصل برهم نهی(اصل استقلال عمل نیروها). ماهیت آن بر اساس یک مثال است (fig..gif "width =" 36 "height =" 24 src = "> به شرح زیر است..gif" width = "39" height = "24 src ="> .. gif " width =" 88 "height =" 24 ">.

سیستم های ثابت و غیر ثابت.دارند سیستم های ثابتدر بازه زمانی در نظر گرفته شده، ویژگی ها در زمان تغییر نمی کنند. در غیر این صورت سیستم نامیده می شود غیر ثابتدو شکل بعدی به وضوح نوسانات چنین سیستم هایی را نشان می دهد. در شکل 4 نوسانات را در یک سیستم ساکن در شرایط حالت پایدار نشان می دهد، در شکل. 5- نوسانات در سیستم غیر ساکن.

فرآیندها در سیستم های ثابتبا معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت در زمان، در سیستم های غیر ثابت - با ضرایب متغیر توصیف می شوند.

سیستم های خودمختار و غیر خودمختار. V سیستم های خودمختارتأثیرات خارجی وجود ندارد. فرآیندهای نوسانی در آنها می تواند تنها به دلیل منابع انرژی داخلی یا به دلیل انرژی وارد شده به سیستم در لحظه اولیه زمان رخ دهد. در معادله عملگر (1)، سمت راست به زمان بستگی ندارد، یعنی. f(ایکس، t) = f(ایکس). بقیه سیستم ها هستند غیر خودمختار

سیستم های محافظه کار و غیر محافظه کار. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg "align =" left hspace = 12 "width =" 144 "height =" 55 "> ارتعاشات رایگان ارتعاشات رایگاندر غیاب تأثیر خارجی متغیر، بدون هجوم انرژی از خارج انجام می شود. چنین نوساناتی فقط در سیستم های خودمختار می تواند رخ دهد (شکل 1).

ارتعاشات اجباریچنین نوساناتی در سیستم‌های غیرخود مختار اتفاق می‌افتد و منابع آنها تأثیرات خارجی متغیر است (شکل 2).

ارتعاشات پارامتریکپارامترهای یک سیستم نوسانی می تواند در طول زمان تغییر کند و این می تواند منبع نوسان باشد. چنین ارتعاشی نامیده می شود پارامتریکنقطه بالای تعلیق آونگ فیزیکی (fig..gif "width =" 28 "height =" 23 src = "> که علت نوسانات پارامتریک جانبی است (شکل 5).

خود نوسانات(نوسانات خود برانگیخته). برای چنین نوساناتی، منابع ماهیت غیر نوسانی دارند و خود منابع نیز در سیستم نوسانی قرار می گیرند. در شکل 6 یک توده فنری را نشان می دهد که روی یک تسمه متحرک قرار دارد. دو نیرو بر آن تأثیر می گذارد: نیروی اصطکاک و نیروی کشسانی کشش فنر و با گذشت زمان تغییر می کنند. اولی به تفاوت بین سرعت نوار و جرم بستگی دارد، دومی به بزرگی و علامت تغییر شکل فنر بستگی دارد، بنابراین جرم تحت تأثیر نیروی حاصل است که اکنون به سمت چپ و سپس به سمت چپ هدایت می شود. راست و نوسان می کند.

در مثال دوم (شکل 7)، انتهای چپ فنر با سرعت ثابت v به سمت راست حرکت می کند، در نتیجه فنر بار را در امتداد سطح ساکن حرکت می دهد. وضعیتی شبیه به آنچه در مورد قبلی توضیح داده شد شکل می گیرد و بار شروع به نوسان می کند.

4. سینماتیک فرآیندهای نوسانی دوره ای

اجازه دهید فرآیند با یک متغیر اسکالر مشخص شود، که مثلاً جابجایی است. سپس - سرعت، - شتاب .. gif "width =" 11 height = 17 "height=" 17"> شرط

سپس ارتعاشات نامیده می شود تناوبی(عکس. 1). علاوه بر این، کوچکترین این اعداد نامیده می شود دوره نوسانات... واحد اندازه گیری دوره نوسان اغلب یک ثانیه است که با یا ثانیه نشان داده می شود. همچنین از واحدهای اندازه گیری در دقیقه، ساعت و غیره استفاده می شود. یکی دیگر از ویژگی های مهم فرآیند نوسانی دوره ای این است که فرکانس ارتعاش

تعیین مقدار چرخه های کاملنوسانات در هر 1 واحد زمان (مثلاً در هر ثانیه). این فرکانس بر حسب یا هرتز (Hz) اندازه گیری می شود، به این معنی که 5 سیکل کامل ارتعاش در یک ثانیه انجام می شود. در محاسبات ریاضی تئوری نوسانات، راحت تر است فرکانس زاویه ای

اندازه گیری شده در https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif "width =" 115 height = 24 "height =" 24">.

ساده ترین نوسانات تناوبی، اما بسیار مهم برای ایجاد یک مبنای نظری برای تئوری نوسانات، نوسانات هارمونیک (سینوسی) هستند که طبق قانون متفاوت هستند.

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif "width =" 17 "height =" 17 src = "> - دامنه، - فاز نوسان، - فاز اولیه..gif" عرض = " 196 "height = " 24 ">،

و سپس شتاب

به جای (1)، نماد جایگزین اغلب استفاده می شود

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif "width =" 80 "height =" 21 src = ">. توضیحات (1) و (2) را می توان در فرم ارائه کرد.

بین ثابت های موجود در فرمول های (1)، (2)، (3) به راحتی روابط اثبات شده وجود دارد

استفاده از روش ها و نمایش های تئوری توابع متغیرهای مختلط، توصیف نوسانات را بسیار ساده می کند. در این حالت، مکان مرکزی توسط فرمول اویلر

اینجا https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif "width =" 111 "height =" 28">. (4)

فرمول های (1) و (2) در (4) موجود است. به عنوان مثال، نوسانات سینوسی (1) را می توان به عنوان یک جزء خیالی (4) نشان داد.

و (2) - به صورت جزء واقعی

ارتعاشات پلی هارمونیکمجموع دو ارتعاش هارمونیک با فرکانس های یکسان، یک ارتعاش هارمونیک با فرکانس یکسان خواهد بود.

اصطلاحات می توانند با فرکانس های نابرابر باشند

سپس مجموع (5) تابع تناوبی با نقطه خواهد بود، فقط اگر،،، کجا و اعداد صحیح و کسری غیر قابل تقلیل باشند، عدد گویا... به طور کلی، اگر دو یا چند نوسان هارمونیک دارای فرکانس هایی با نسبت هایی در فرم باشند کسرهای گویا، پس مجموع آنها تناوبی است، اما نوسانات هارمونیک نیست. چنین ارتعاشی نامیده می شود چند هارمونیک.

اگر نوسانات تناوبی هارمونیک نباشند، باز هم اغلب سودمند است که آنها را به عنوان مجموع نوسانات هارمونیک با استفاده از سری فوریه

در اینجا https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif "width =" 15 "height =" 19"> عدد هارمونیک است، مقدار میانگین انحرافات را مشخص می کند، https://pandia. ru/text /78/502/images/image077_14.gif "width =" 139 height = 24 "height =" 24"> - اولین هارمونیک بنیادی، (https://pandia.ru/text/78/502/ images/image080_11. gif "width =" 207 "height =" 24"> فرم ها طیف فرکانسیتردید.

نکته. قضیه دیریکله برای یک تابع تناوبی به عنوان یک دلیل نظری برای امکان نمایش تابعی از یک فرآیند نوسانی توسط سری فوریه عمل می کند:

اگر تابعی بر روی یک قطعه تنظیم شده باشد و به صورت تکه ای پیوسته، تکه تکه و یکنواخت و محدود بر روی آن باشد، سری فوریه آن در تمام نقاط قطعه همگرا می شود https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif "width = "28" height = "23 src ="> مجموع سری فوریه مثلثاتی تابع f (t)، سپس در تمام نقاط تداوم این تابع است.

و در تمام نقاط شکست

بعلاوه،

بدیهی است که فرآیندهای نوسانی واقعی شرایط قضیه دیریکله را برآورده می کنند.

در طیف فرکانس، هر فرکانس مربوط به دامنه Ak و فاز اولیه است https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif "width =" 125 "height =" 33">, .

تشکیل می دهند طیف دامنه https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif "width =" 35 "height =" 24">. یک نمایش بصری از طیف دامنه در شکل 2 آورده شده است.

تعیین طیف فرکانس ها و ضرایب فوریه نامیده می شود تحلیل طیفی... از تئوری سری فوریه، فرمول ها مشخص است