استاتیک- این بخش است مکانیک نظری، که در آن شرایط تعادل اجسام مادی تحت تأثیر نیروها بررسی می شود.

حالت تعادل، در استاتیک، حالتی است که در آن همه اجزاء هستند سیستم مکانیکیدر حالت استراحت هستند (نسبت به یک سیستم مختصات ثابت). اگرچه روش‌های استاتیک برای اجسام متحرک قابل استفاده است و به کمک آنها می‌توان مسائل دینامیک را بررسی کرد، اما اهداف اصلی مطالعه استاتیک، اجسام و سیستم‌های مکانیکی ساکن هستند.

زوراندازه گیری تأثیر یک بدن بر بدن دیگر است. نیرو بردار است که در سطح بدن نقطه اعمال دارد. تحت تأثیر نیرو، جسم آزاد شتابی متناسب با بردار نیرو و نسبت معکوس با جرم جسم دریافت می کند.

قانون برابری کنش و واکنش

نیرویی که جسم اول بر جسم دوم وارد می کند از نظر قدر مطلق برابر است و در جهت مخالف نیرویی است که جسم دوم بر جسم اول وارد می کند.

اصل پخت

اگر جسم تغییر شکل پذیر در حالت تعادل باشد، اگر جسم کاملاً صلب در نظر گرفته شود، تعادل آن به هم نمی خورد.

استاتیک نقطه مواد

یک نقطه مادی را در نظر بگیرید که در حالت تعادل است. و اجازه دهید n نیرو بر روی آن وارد شود، k = 1، 2، ...، n.

اگر نقطه مادی در حالت تعادل باشد، مجموع بردار نیروهای وارد بر آن برابر با صفر است:
(1) .

در حالت تعادل، مجموع هندسی نیروهای وارد بر یک نقطه برابر با صفر است.

تفسیر هندسی... اگر ابتدای بردار دوم در انتهای بردار اول و ابتدای بردار سوم در انتهای بردار دوم قرار گیرد و سپس این روند ادامه یابد، انتهای بردار آخر، n-ام. بردار با ابتدای اولین بردار تراز خواهد شد. یعنی یک شکل هندسی بسته بدست می آوریم که طول اضلاع آن با مدول بردارها برابر است. اگر همه بردارها در یک صفحه قرار بگیرند، یک چندضلعی بسته به دست می‌آید.

اغلب انتخاب راحت است سیستم مختصات مستطیلی Oxyz. سپس مجموع پیش بینی های تمام بردارهای نیرو روی محور مختصات برابر با صفر است:

اگر هر جهتی را انتخاب کنید که توسط برخی از بردارها داده شده است، مجموع پیش بینی های بردارهای نیرو در این جهت برابر با صفر است:
.
اجازه دهید معادله (1) را به صورت اسکالر در یک بردار ضرب کنیم:
.
در اینجا حاصل ضرب اسکالر بردارها و.
توجه داشته باشید که پیش بینی بردار بر روی جهت بردار با فرمول تعیین می شود:
.

استاتیک بدنه صلب

لحظه نیرو نسبت به یک نقطه

تعیین لحظه نیرو

یک لحظه قدرتاعمال شده به جسم در نقطه A، نسبت به مرکز ثابت O، بردار برابر با حاصلضرب بردارها نامیده می شود و:
(2) .

تفسیر هندسی

ممان نیرو برابر است با حاصل ضرب نیروی F توسط OH شانه.

بگذارید بردارها و در صفحه طراحی قرار گیرند. با توجه به ویژگی حاصلضرب بردار، بردار عمود بر بردارها و یعنی عمود بر صفحه ترسیم است. جهت آن توسط قانون پیچ درست تعیین می شود. در شکل، بردار لحظه به سمت ما است. مقدار گشتاور مطلق:
.
از آن به بعد
(3) .

با استفاده از هندسه، می توانید تفسیر متفاوتی از لحظه نیرو ارائه دهید. برای این کار یک خط مستقیم AH از بردار نیرو رسم کنید. از مرکز O عمود بر این خط را رها می کنیم. طول این عمود را می گویند شانه قدرت... سپس
(4) .
از آنجا که، پس فرمول (3) و (4) معادل هستند.

بدین ترتیب، قدر مطلق لحظه نیروبا توجه به مرکز O برابر است نیروی هر شانهاین نیرو نسبت به مرکز انتخاب شده O.

هنگام محاسبه لحظه، اغلب راحت است که نیرو را به دو جزء تجزیه کنید:
,
جایی که . نیرو از نقطه O عبور می کند. بنابراین لحظه آن صفر است. سپس
.
مقدار گشتاور مطلق:
.

اجزای ممان در یک سیستم مختصات مستطیلی

اگر یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyz را با مرکز نقطه O انتخاب کنیم، ممان نیرو دارای اجزای زیر خواهد بود:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
در اینجا مختصات نقطه A در سیستم مختصات انتخاب شده آمده است:
.
مولفه ها به ترتیب مقادیر لحظه نیرو در مورد محورها را نشان می دهند.

ویژگی های لحظه نیرو نسبت به مرکز

گشتاور مربوط به مرکز O، از نیرویی که از این مرکز می گذرد، برابر با صفر است.

اگر نقطه اعمال نیرو در امتداد خطی که از بردار نیرو می گذرد حرکت کند، با این حرکت لحظه تغییر نخواهد کرد.

گشتاور حاصل از مجموع بردار نیروهای وارد شده به یک نقطه از بدن برابر است با مجموع بردار گشتاورهای هر یک از نیروهای وارد شده به همان نقطه:
.

همین امر در مورد نیروهایی که خطوط ادامه آنها در یک نقطه قطع می شوند صدق می کند.

اگر مجموع بردار نیروها صفر باشد:
,
در این صورت مجموع گشتاورهای این نیروها به موقعیت مرکزی که ممان ها نسبت به آن محاسبه می شوند بستگی ندارد:
.

یکی دو نیرو

یکی دو نیرو- این دو نیرو هستند که در قدر مطلق مساوی و دارای جهت مخالف هستند که به نقاط مختلف بدن اعمال می شوند.

یک جفت نیرو با لحظه ایجاد مشخصه می شود. از آنجایی که مجموع بردار نیروهای وارد شده در جفت برابر با صفر است، گشتاور ایجاد شده توسط جفت به نقطه ای که لنگر به آن محاسبه می شود بستگی ندارد. از نقطه نظر تعادل ایستا، ماهیت نیروهای وارد شده در جفت نامربوط است. از یک جفت نیرو برای نشان دادن اینکه یک لحظه نیرو بر روی بدن اثر می گذارد استفاده می شود که مقدار مشخصی دارد.

گشتاور نیرو حول یک محور معین

اغلب مواردی وجود دارد که ما نیازی به دانستن تمام اجزای ممان نیرو نسبت به یک نقطه انتخابی نداریم، بلکه فقط نیاز به دانستن گشتاور نیرو نسبت به محور انتخاب شده داریم.

گشتاور نیرو حول محوری که از نقطه O عبور می کند، بردار لحظه نیرو، نسبت به نقطه O، بر روی جهت محور است.

خواص گشتاور نیرو حول محور

گشتاور حول محور نیرویی که از این محور می گذرد برابر با صفر است.

گشتاور حول محور از نیروی موازی با این محور صفر است.

محاسبه گشتاور نیرو حول محور

بگذارید نیرویی در نقطه A بر جسم وارد شود. بیایید لحظه این نیرو را در مورد محور O'O پیدا کنیم.

بیایید یک سیستم مختصات مستطیلی بسازیم. اجازه دهید محور Oz با O'O "" منطبق باشد. از نقطه A عمود OH را به O'O ​​"" رها می کنیم. محور Ox را از نقاط O و A رسم کنید. محور Oy را عمود بر Ox و Oz رسم کنید. اجازه دهید نیرو را به اجزایی در امتداد محورهای سیستم مختصات تجزیه کنیم:
.
نیرو از محور O'O' عبور می کند. بنابراین لحظه آن صفر است. نیرو موازی با محور O'O است. بنابراین ممان آن نیز صفر است. با فرمول (5.3) در می یابیم:
.

توجه داشته باشید که جزء مماس به دایره ای است که مرکز آن نقطه O است. جهت بردار توسط قانون پیچ راست تعیین می شود.

شرایط تعادل برای یک جسم صلب

در حالت تعادل، مجموع بردار تمام نیروهای وارد بر جسم صفر و مجموع بردار گشتاورهای این نیروها نسبت به یک مرکز ثابت دلخواه صفر است:
(6.1) ;
(6.2) .

ما تأکید می کنیم که مرکز O، نسبت به آن که گشتاور نیروها محاسبه می شود، می تواند خودسرانه انتخاب شود. نقطه O می تواند متعلق به بدن باشد یا خارج از آن باشد. معمولاً مرکز O برای ساده‌تر کردن محاسبات انتخاب می‌شود.

شرایط تعادل را می توان به شکل دیگری فرموله کرد.

در حالت تعادل، مجموع پیش بینی نیروها در هر جهتی که توسط یک بردار دلخواه داده می شود برابر با صفر است:
.
مجموع گشتاورهای نیرو حول یک محور دلخواه O'O ​​"" نیز برابر با صفر است:
.

گاهی اوقات این شرایط راحت تر است. مواقعی وجود دارد که با انتخاب محورها می توانید محاسبات را ساده تر کنید.

مرکز ثقل بدن

بیایید یکی از مهمترین نیروها را در نظر بگیریم - نیروی گرانش. در اینجا نیروها در نقاط خاصی از بدن اعمال نمی شوند، بلکه به طور مداوم در حجم آن توزیع می شوند. برای هر قسمت از بدن با حجم بی نهایت کم Δ V، نیروی گرانش عمل می کند. در اینجا ρ چگالی ماده بدن است، شتاب گرانش است.

بگذارید جرم یک قسمت بینهایت کوچک از بدن باشد. و نقطه A k موقعیت این بخش را مشخص کند. اجازه دهید کمیت های مربوط به نیروی گرانش را که در معادلات تعادل گنجانده شده است (6) پیدا کنیم.

بیایید مجموع نیروهای گرانشی تشکیل شده توسط تمام قسمت های بدن را پیدا کنیم:
,
وزن بدن کجاست بنابراین، مجموع نیروهای گرانش بخش های بی نهایت کوچک بدن را می توان با یک بردار گرانش کل بدن جایگزین کرد:
.

اجازه دهید مجموع لحظات گرانش را نسبت به مرکز انتخابی O به روش دلخواه پیدا کنیم:

.
در اینجا نقطه C را معرفی کرده ایم که نامیده می شود مرکز گرانشبدن موقعیت مرکز ثقل، در یک سیستم مختصات در مرکز نقطه O، با فرمول تعیین می شود:
(7) .

بنابراین، هنگام تعیین تعادل ایستا، مجموع نیروهای گرانش بخش های جداگانه بدن را می توان با نتیجه جایگزین کرد.
,
به مرکز جرم جسم C که موقعیت آن با فرمول (7) تعیین می شود اعمال می شود.

موقعیت مرکز ثقل برای مختلف شکل های هندسیرا می توان در کتاب های مرجع مربوطه یافت. اگر جسم دارای یک محور یا صفحه تقارن باشد، مرکز ثقل روی این محور یا صفحه قرار دارد. بنابراین، مراکز ثقل یک کره، دایره یا دایره در مرکز دایره های این شکل ها هستند. مراکز ثقل متوازی الاضلاع مستطیلی، مستطیل یا مربع نیز در مراکز آنها قرار دارند - در نقاط تقاطع مورب ها.

بار توزیع شده یکنواخت (A) و خطی (B).

همچنین مواردی مشابه گرانش وجود دارد که نیروها در نقاط خاصی از بدن اعمال نمی شوند، اما به طور مداوم در سطح یا حجم آن توزیع می شوند. چنین نیروهایی نامیده می شوند نیروهای توزیع شدهیا .

(شکل A). همچنین، همانطور که در مورد گرانش، می توان آن را با نیروی حاصل از کمیت اعمال شده در مرکز ثقل کرت جایگزین کرد. از آنجایی که نمودار در شکل A یک مستطیل است، مرکز ثقل نمودار در مرکز آن است - نقطه C: | AC | = | CB |.

(شکل B). همچنین می توان آن را با یک نتیجه جایگزین کرد. مقدار حاصل برابر با مساحت نمودار است:
.
نقطه کاربرد در مرکز ثقل طرح قرار دارد. مرکز ثقل مثلثی با ارتفاع h از قاعده فاصله دارد. از همین رو .

نیروهای اصطکاک

اصطکاک لغزشی... بگذارید بدن روی یک سطح صاف باشد. و نیروی عمود بر سطحی باشد که سطح از آن روی بدنه وارد می شود (نیروی فشار). سپس نیروی اصطکاک لغزشی به موازات سطح و به طرفین هدایت می شود و از حرکت بدنه جلوگیری می کند. بزرگترین مقدار آن برابر است با:
,
که در آن f ضریب اصطکاک است. ضریب اصطکاک بدون بعد است.

اصطکاک نورد... اجازه دهید بدنه گرد روی سطح بغلتد یا می تواند بغلتد. و اجازه دهید نیروی فشار عمود بر سطحی باشد که سطح از آن روی بدنه اثر می کند. سپس یک لحظه نیروهای اصطکاک بر روی بدنه، در نقطه تماس با سطح، وارد می شود که از حرکت بدن جلوگیری می کند. بزرگترین ارزشلحظه اصطکاک برابر است با:
,
جایی که δ ضریب اصطکاک غلتشی است. ابعاد طول دارد.

منابع:
اس ام تارگ، دوره کوتاهی در مکانیک نظری، " دانشکده تحصیلات تکمیلی"، 2010.

سینماتیک نقطه ای

1. مبحث مکانیک نظری. انتزاعات اساسی

مکانیک نظریعلمی است که در آن قوانین کلی حرکت مکانیکی و اندرکنش مکانیکی اجسام مادی مطالعه می شود.

حرکت مکانیکیحرکت یک جسم نسبت به جسم دیگر که در مکان و زمان اتفاق می افتد نامیده می شود.

تعامل مکانیکی چنین برهمکنشی اجسام مادی نامیده می شود که ماهیت حرکت مکانیکی آنها را تغییر می دهد.

استاتیک - این شاخه ای از مکانیک نظری است که در آن روش های تبدیل سیستم نیروها به سیستم های معادل مورد مطالعه قرار می گیرد و شرایط برای تعادل نیروهای وارد شده به یک جامد ایجاد می شود.

سینماتیک - این شاخه ای از مکانیک نظری است که مطالعه می کند حرکت اجسام مادی در فضا از نقطه نظر هندسی بدون توجه به نیروهای وارد بر آنها.

پویایی شناسی - این بخشی از مکانیک است که حرکت اجسام مادی را در فضا بسته به نیروهای وارد بر آنها مطالعه می کند.

موضوعات مورد مطالعه در مکانیک نظری:

نقطه مادی،

سیستم نقاط مادی،

کاملا محکم

مکان مطلق و زمان مطلق مستقل از یکدیگر هستند. فضای مطلق - فضای اقلیدسی سه بعدی، همگن، ثابت. زمان مطلق - از گذشته به آینده پیوسته جریان دارد، همگن است، در تمام نقاط فضا یکسان است و به حرکت ماده بستگی ندارد.

2. مبحث سینماتیک.

سینماتیک - این بخشی از مکانیک است که در آن خواص هندسیحرکت اجسام بدون در نظر گرفتن اینرسی (یعنی جرم) و نیروهای وارد بر آنها

برای تعیین موقعیت یک جسم متحرک (یا نقطه) با جسمی که حرکت جسم مورد نظر در رابطه با آن مورد مطالعه قرار می گیرد، سیستم مختصاتی به طور صلب به هم متصل می شود که همراه با جسم تشکیل می شود. چارچوب مرجع.

وظیفه اصلی سینماتیک دانستن قانون حرکت یک جسم معین (نقطه)، تعیین تمام کمیت های سینماتیکی است که حرکت آن (سرعت و شتاب) را مشخص می کند.

3. روش های تعیین حرکت یک نقطه

· راه طبیعی

باید دانست:

مسیر حرکت نقطه ای؛

شروع و جهت شمارش.

قانون حرکت یک نقطه در طول یک مسیر معین به شکل (1.1)

· راه هماهنگی

معادلات (1.2) معادلات حرکت نقطه M هستند.

معادله مسیر نقطه M را می توان با حذف پارامتر زمان به دست آورد « تی » از معادلات (1.2)

· راه برداری

(1.3) رابطه بین روش های مختصات و برداری برای تعیین حرکت یک نقطه (1.4)

رابطه بین مختصات و راه های طبیعیتکالیف حرکت نقطه ای

مسیر یک نقطه را به استثنای زمان از معادلات (1.2) تعیین کنید.

-- قانون حرکت یک نقطه در طول یک مسیر را پیدا کنید (از عبارت دیفرانسیل کمان استفاده کنید)

پس از ادغام، قانون حرکت یک نقطه را در یک مسیر معین به دست می آوریم:

رابطه بین روش مختصات و بردار تعیین حرکت یک نقطه با رابطه (1.4) تعیین می شود.

4. تعیین سرعت یک نقطه در روش برداری تعیین حرکت.

اجازه دهید در لحظه از زمانتیموقعیت نقطه توسط بردار شعاع و در لحظه زمان تعیین می شودتی 1 - بردار شعاع، سپس برای یک دوره زمانی نقطه حرکت خواهد کرد

(1.5) میانگین سرعت نقطه، بردار و همچنین بردار جهت داده می شود

سرعت نقطه در یک زمان معین

برای به دست آوردن سرعت یک نقطه در یک لحظه معین از زمان، لازم است که عبور را تا حد مجاز انجام دهیم

(1.6)

(1.7)

بردار سرعت یک نقطه در یک زمان معین برابر با اولین مشتق بردار شعاع در زمان است و به صورت مماس بر مسیر در یک نقطه معین هدایت می شود.

(واحد¾ متر بر ثانیه، کیلومتر در ساعت)

بردار شتاب متوسط همان جهت بردار را داردΔ v ، یعنی به سمت تقعر مسیر هدایت می شود.

بردار شتاب یک نقطه در یک زمان معین برابر است با اولین مشتق بردار سرعت یا مشتق دوم بردار شعاع نقطه نسبت به زمان.

(واحد اندازه گیری -)

بردار نسبت به مسیر نقطه چگونه قرار می گیرد؟

در حرکت خط مستقیم، بردار در امتداد خط مستقیمی که نقطه در امتداد آن حرکت می کند هدایت می شود. اگر مسیر یک نقطه منحنی مسطح باشد، بردار شتاب و همچنین بردار cp در صفحه این منحنی قرار دارد و به سمت تقعر آن هدایت می شود. اگر مسیر منحنی صفحه نباشد، بردار cp به سمت تقعر مسیر هدایت می شود و در صفحه ای قرار می گیرد که از مماس بر مسیر در نقطه عبور می کند.م و یک خط مستقیم به موازات مماس در یک نقطه مجاورM 1 . V محدودیت زمانی که نقطهM 1 تلاش می کند م این هواپیما موقعیت هواپیمای به اصطلاح تماسی را اشغال می کند. بنابراین، در حالت کلی، بردار شتاب در صفحه تماس قرار دارد و به سمت تقعر منحنی هدایت می شود.

مکانیک نظری- این بخشی از مکانیک است که قوانین اساسی حرکت مکانیکی و تعامل مکانیکی اجسام مادی را تعیین می کند.

مکانیک نظری علمی است که در آن حرکات اجسام در طول زمان (حرکات مکانیکی) بررسی می شود. این به عنوان پایه ای برای سایر شاخه های مکانیک (نظریه الاستیسیته، مقاومت مواد، تئوری پلاستیسیته، نظریه مکانیزم ها و ماشین ها، هیدرو-آیرودینامیک) و بسیاری از رشته های فنی عمل می کند.

حرکت مکانیکیدر طول زمان تغییر می کند موقعیت متقابلدر فضای اجسام مادی

تعامل مکانیکی- این چنین تعاملی است که در نتیجه حرکت مکانیکی تغییر می کند یا موقعیت نسبی اعضای بدن تغییر می کند.

استاتیک بدنه صلب

استاتیک- این بخشی از مکانیک نظری است که به مسائل تعادل اجسام صلب و تبدیل یک سیستم نیرو به سیستم دیگر معادل آن می پردازد.

مفاهیم و قوانین اساسی استاتیک
• کاملا محکم(جامد، جسم) جسم مادی است که فاصله بین هیچ نقطه ای که در آن تغییر نمی کند.
• نقطه مادیبدنی است که با توجه به شرایط مشکل، ابعاد آن قابل چشم پوشی است.
• بدن آزادجسمی است که حرکت آن هیچ محدودیتی ندارد.
• بدن غیر آزاد (مقید).بدنی است که محدودیت هایی برای حرکت آن اعمال می شود.
• اتصالات- اینها اجسامی هستند که از حرکت جسم مورد نظر (جسم یا سیستم اجسام) جلوگیری می کنند.
• واکنش ارتباطینیرویی است که اثر یک پیوند را بر یک جسم صلب مشخص می کند. اگر نیرویی را که جسم صلب بر روی یک پیوند وارد می کند به عنوان یک عمل در نظر بگیریم، واکنش پیوند یک واکنش است. در این مورد، نیرو - عمل به پیوند اعمال می شود، و واکنش پیوند به جامد اعمال می شود.
• سیستم مکانیکیمجموعه ای از اجسام به هم پیوسته یا نقاط مادی است.
• جامدرا می توان سیستمی مکانیکی دانست که موقعیت و فاصله بین نقاط آن تغییر نمی کند.
• زورکمیت برداری است که عملکرد مکانیکی یک جسم مادی را بر جسم دیگر مشخص می کند.
  نیرو به عنوان یک بردار با نقطه اعمال، جهت عمل و قدر مطلق مشخص می شود. واحد اندازه گیری مدول نیرو نیوتن است.
• خط اقدام اجبارییک خط مستقیم است که بردار نیرو در امتداد آن هدایت می شود.
• قدرت متمرکز- نیروی اعمال شده در یک نقطه
• نیروهای توزیع شده (بار توزیع شده)- اینها نیروهایی هستند که بر تمام نقاط حجم، سطح یا طول بدن وارد می شوند.
  بار توزیع شده توسط نیروی وارد بر واحد حجم (سطح، طول) تنظیم می شود.
  ابعاد بار توزیع شده N / m 3 (N / m 2، N / m) است.
• نیروی خارجینیرویی است که از جسمی وارد می شود که به سیستم مکانیکی در نظر گرفته شده تعلق ندارد.
• قدرت درونینیرویی است که بر نقطه مادی یک سیستم مکانیکی از نقطه دیگر وارد می شود نقطه مادیمتعلق به سیستم مورد بررسی
• سیستم نیرومجموعه ای از نیروهایی است که بر روی یک سیستم مکانیکی اثر می کنند.
• سیستم مسطح نیروهاسیستمی از نیروها است که خطوط عمل آن در یک صفحه قرار دارند.
• سیستم فضایی نیروهاسیستمی از نیروها است که خطوط عمل آن در یک صفحه قرار ندارند.
• سیستم نیروهای همگراسیستمی از نیروهایی است که خطوط عمل آنها در یک نقطه قطع می شود.
• سیستم اختیاری نیروهاسیستمی از نیروها است که خطوط عمل آن در یک نقطه قطع نمی شود.
• سیستم های معادل نیروها- اینها سیستم هایی از نیروها هستند که جایگزینی آنها با دیگری وضعیت مکانیکی بدن را تغییر نمی دهد.
  نام پذیرفته شده:.
• تعادل- این حالتی است که در آن جسم تحت تأثیر نیروها ثابت می ماند یا به طور یکنواخت در یک خط مستقیم حرکت می کند.
• سیستم متوازن نیروهاسیستمی از نیروها است که وقتی بر یک جامد آزاد اعمال می شود، حالت مکانیکی آن را تغییر نمی دهد (از تعادل خارج نمی شود).
  .
• نیروی حاصلهنیرویی است که عمل آن بر بدن معادل عمل سیستم نیروهاست.
  .
• لحظه قدرتمقداری است که توانایی چرخشی یک نیرو را مشخص می کند.
• یکی دو نیرومنظومه ای متشکل از دو نیروی موازی با قدر مساوی و جهت مخالف.
  نام پذیرفته شده:.
  تحت تأثیر یک جفت نیرو، بدن می چرخد.
• طرح ریزی نیروی محورقطعه ای است محصور بین عمودهای رسم شده از ابتدا و انتهای بردار نیرو به این محور.
  اگر جهت پاره خط با جهت مثبت محور منطبق باشد، طرح ریزی مثبت است.
• پرتاب اجباری بر روی هواپیمابردار روی صفحه است که بین عمودهای رسم شده از ابتدا و انتهای بردار نیرو به این صفحه محصور شده است.
• قانون 1 (قانون اینرسی).یک نقطه مادی جدا شده در حال استراحت است یا به طور یکنواخت و مستقیم حرکت می کند.
  حرکت یکنواخت و یکنواخت یک نقطه مادی، حرکت با اینرسی است. تحت حالت تعادل یک نقطه مادی و جامدنه تنها حالت استراحت، بلکه حرکت با اینرسی را نیز درک کنید. برای جامد، وجود دارد انواع مختلفحرکت اینرسی، به عنوان مثال، چرخش یکنواخت یک جسم صلب حول یک محور ثابت.
• قانون 2.یک جسم جامد تحت تأثیر دو نیرو فقط در حالت تعادل است که این نیروها از نظر قدر مساوی باشند و در جهت مخالف در امتداد خط عمل مشترک هدایت شوند.
  این دو نیرو را نیروهای متعادل کننده می نامند.
  به طور کلی، اگر جسم صلبی که این نیروها به آن وارد می شود در حالت سکون باشد، نیروها را متعادل کننده می نامند.
• قانون 3.بدون ایجاد اختلال در وضعیت (کلمه "حالت" در اینجا به معنای حالت حرکت یا استراحت است) یک جسم صلب، می توان نیروهای متوازن را اضافه و رها کرد.
  نتیجه. بدون تخطی از حالت یک جسم صلب، نیرو می تواند در طول خط عمل آن به هر نقطه از بدن منتقل شود.
  دو سیستم نیرو در صورتی معادل نامیده می شوند که یکی از آنها با دیگری جایگزین شود بدون اینکه حالت یک جسم صلب را نقض کند.
• قانون 4.حاصل دو نیروی وارد شده در یک نقطه، اعمال شده در یک نقطه، از نظر بزرگی برابر است با قطر متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی این نیروها، و در امتداد این جهت است.
  مورب ها
  مدول حاصل برابر است با:
  
• قانون 5 (قانون برابری کنش و واکنش)... نیروهایی که دو جسم بر روی یکدیگر وارد می‌کنند از نظر قدر مساوی هستند و در امتداد یک خط مستقیم در جهت مخالف هستند.
  باید در نظر داشت که عمل- نیرویی که به بدن وارد می شود ب، و مقابله- نیرویی که به بدن وارد می شود آمتعادل نیستند، زیرا به بدن های مختلف متصل هستند.
• قانون 6 (قانون سخت شدن)... تعادل جسم غیر جامد هنگام جامد شدن به هم نمی خورد.
  نباید فراموش کرد که شرایط تعادل که برای یک جامد لازم و کافی است، اما برای غیر جامد مربوطه کافی نیست.
• قانون 7 (قانون رهایی از کراوات).یک جسم صلب غیرآزاد را می توان آزاد در نظر گرفت که از نظر ذهنی از پیوندها رها شده باشد و واکنش پیوندها را جایگزین عمل پیوندها کند.

اتصالات و واکنش های آنها
• سطح صافحرکت در امتداد نرمال به سطح تکیه گاه را محدود می کند. واکنش عمود بر سطح هدایت می شود.
• تکیه گاه متحرک مفصلیحرکت بدن را در امتداد نرمال به صفحه مرجع محدود می کند. واکنش در امتداد نرمال به سطح حمایت هدایت می شود.
• پشتیبانی ثابت مفصلیبا هر حرکتی در صفحه عمود بر محور چرخش مقابله می کند.
• میله بدون وزن مفصلیبا حرکت بدن در امتداد خط میله مقابله می کند. واکنش در امتداد خط نوار هدایت می شود.
• خاتمه کوربا هرگونه حرکت و چرخش در هواپیما مقابله می کند. عمل آن را می توان با نیرویی که به شکل دو جزء و یک جفت نیرو با یک لحظه نمایش داده می شود جایگزین کرد.

سینماتیک

سینماتیک- بخشی از مکانیک نظری که خواص هندسی کلی حرکت مکانیکی را به عنوان فرآیندی که در فضا و زمان رخ می دهد بررسی می کند. اجسام متحرک به عنوان نقاط هندسی یا اجسام هندسی در نظر گرفته می شوند.

مفاهیم اساسی سینماتیک
• قانون حرکت یک نقطه (جسم)وابستگی موقعیت یک نقطه (جسم) در فضا به زمان است.
• مسیر نقطه ای- این هست مکان هندسیموقعیت یک نقطه در فضا در طول حرکت آن
• سرعت نقطه (بدنه).- این مشخصه تغییر زمان موقعیت یک نقطه (جسم) در فضا است.
• شتاب نقطه (بدنه).- این مشخصه تغییر زمان سرعت یک نقطه (جسم) است.

تعیین ویژگی های سینماتیکی یک نقطه
• مسیر نقطه ای
  در چارچوب مرجع بردار، مسیر با عبارت: توصیف می شود.
  در سیستم مختصات مرجع، مسیر بر اساس قانون حرکت یک نقطه تعیین می شود و با عبارات توصیف می شود. z = f (x، y)- در فضا، یا y = f (x)- در هواپیما.
  در چارچوب طبیعی مرجع، مسیر از پیش تعیین شده است.
• تعیین سرعت یک نقطه در سیستم مختصات برداری
  هنگام تعیین حرکت یک نقطه در یک سیستم مختصات برداری، نسبت حرکت به بازه زمانی را مقدار متوسط ​​سرعت در این بازه زمانی می نامند.
  با در نظر گرفتن فاصله زمانی به عنوان یک مقدار بی نهایت کوچک، مقدار سرعت در یک زمان معین به دست می آید (مقدار سرعت آنی): .
  بردار سرعت متوسط ​​در امتداد بردار در جهت حرکت نقطه هدایت می شود، بردار سرعت لحظه ای به صورت مماس بر مسیر در جهت حرکت نقطه هدایت می شود.
  خروجی: سرعت یک نقطه یک کمیت برداری برابر با مشتق قانون حرکت نسبت به زمان است.
  ویژگی مشتق: مشتق هر کمیت با توجه به زمان، میزان تغییر این کمیت را تعیین می کند.
• تعیین سرعت یک نقطه در سیستم مختصات
  نرخ تغییر مختصات نقطه:
  .
  مدول سرعت کامل یک نقطه با سیستم مختصات مستطیلی برابر با:
  .
  جهت بردار سرعت توسط کسینوس های زوایای جهت تعیین می شود:
  ,
  زوایای بین بردار سرعت و محورهای مختصات کجا هستند.
• تعیین سرعت یک نقطه در چارچوب طبیعی مرجع
  سرعت یک نقطه در چارچوب طبیعی مرجع به عنوان یک مشتق از قانون حرکت یک نقطه تعیین می شود:.
  با توجه به نتایج قبلی، بردار سرعت به صورت مماس بر مسیر در جهت حرکت نقطه هدایت می شود و در محورها تنها با یک طرح ریزی تعیین می شود.

سینماتیک بدن صلب
• در سینماتیک جامدات دو کار اصلی حل می شود:
  1) وظیفه حرکت و تعیین ویژگی های سینماتیک بدن به عنوان یک کل؛
  2) تعیین ویژگی های سینماتیکی نقاط بدن.
• حرکت انتقالی یک جسم صلب
  حرکت انتقالی حرکتی است که در آن یک خط مستقیم که از دو نقطه بدن کشیده می شود موازی با موقعیت اصلی خود باقی می ماند.
  قضیه: در طول حرکت انتقالی، تمام نقاط بدن در امتداد یک مسیر حرکت می کنند و در هر لحظه از زمان دارای سرعت و شتاب یکسانی در قدر و جهت هستند..
  خروجی: حرکت انتقالی یک جسم صلب با حرکت هر یک از نقاط آن مشخص می شود و بنابراین، کار و مطالعه حرکت آن به سینماتیک نقطه کاهش می یابد..
• حرکت چرخشی یک جسم صلب حول یک محور ثابت
  حرکت چرخشی جسم صلب حول یک محور ثابت حرکت جسم صلب است که در آن دو نقطه متعلق به جسم در تمام مدت حرکت بی حرکت می مانند.
  موقعیت بدن با زاویه چرخش تعیین می شود. واحد زاویه رادیان است. (رادیان زاویه مرکزی دایره ای است که طول قوس آن برابر با شعاع است، زاویه کل دایره شامل 2πرادیان.)
  قانون حرکت چرخشیاجسام حول یک محور ثابت
  سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ایبدن را با روش تمایز تعریف می کنیم:
  - سرعت زاویه ای، راد / ثانیه؛
  - شتاب زاویه ای، راد / ثانیه مربع.
  اگر بدنه را با صفحه ای عمود بر محور برش دهید، نقطه روی محور چرخش را انتخاب کنید. باو یک نکته دلخواه مسپس اشاره کنید ماطراف نقطه را شرح خواهد داد باشعاع دایره آر... در حین dtیک چرخش اولیه از طریق یک زاویه رخ می دهد، در حالی که نقطه مدر طول مسیر در فاصله حرکت خواهد کرد .
  ماژول سرعت خطی:
  .
  شتاب نقطه ای مبا یک مسیر مشخص، توسط اجزای آن تعیین می شود:
  ,
  جایی که .
  در نتیجه فرمول ها را بدست می آوریم
  شتاب مماسی: ;
  شتاب معمولی: .

پویایی شناسی

پویایی شناسی- این بخشی از مکانیک نظری است که در آن حرکات مکانیکی اجسام مادی بسته به دلایلی که باعث ایجاد آنها می شود مورد مطالعه قرار می گیرد.

مفاهیم اساسی دینامیک
• اینرسیخاصیت اجسام مادی برای حفظ حالت استراحت یا یکنواخت است حرکت مستقیمتا زمانی که نیروهای خارجی این حالت را تغییر دهند.
• وزناندازه گیری کمی اینرسی بدن است. واحد اندازه گیری جرم کیلوگرم (کیلوگرم) است.
• نقطه مادیجسمی با جرم است که در حل این مشکل از ابعاد آن غفلت می شود.
• مرکز ثقل سیستم مکانیکی- نقطه هندسی که مختصات آن با فرمول تعیین می شود:
  
  جایی که m k، x k، y k، z k- جرم و مختصات ک-مین نقطه سیستم مکانیکی، مترجرم سیستم است.
  در یک میدان گرانشی همگن، موقعیت مرکز جرم با موقعیت مرکز ثقل منطبق است.
• ممان اینرسی جسم مادی حول محوراندازه گیری کمی اینرسی چرخشی است.
  ممان اینرسی یک نقطه مادی حول محور برابر است با حاصل ضرب جرم نقطه در مجذور فاصله نقطه از محور:
  .
  ممان اینرسی سیستم (جسم) حول محور برابر است با مجموع حسابی گشتاورهای اینرسی همه نقاط:
  
• نیروی اینرسی یک نقطه مادییک کمیت برداری است که از نظر قدر برابر با حاصل ضرب جرم نقطه ای مدول شتاب و در جهت مخالف بردار شتاب است:
• نیروی اینرسی جسم مادیآیا یک کمیت برداری برابر مدول حاصلضرب جرم بدن توسط مدول شتاب مرکز جرم بدن و جهت مخالف بردار شتاب مرکز جرم است:
  شتاب مرکز جرم بدن کجاست.
• تکانه نیروی اولیهیک کمیت برداری برابر با حاصل ضرب بردار نیرو در یک بازه زمانی بی نهایت کوچک است dt:
  .
  کل ضربه نیرو برای Δt برابر است با انتگرال تکانه های اولیه:
  .
• کار ابتدایی قدرتاسکالر است dAبرابر با proi اسکالر

در هر دوره آموزشیمطالعه فیزیک با مکانیک شروع می شود. نه با تئوری، نه با کاربرد و نه محاسباتی، بلکه با مکانیک کلاسیک خوب قدیمی. به این مکانیک مکانیک نیوتنی نیز می گویند. طبق افسانه، دانشمند در حال قدم زدن در باغ، سقوط سیبی را دید و این پدیده بود که او را به کشف قانون گرانش جهانی سوق داد. البته قانون همیشه وجود داشته است و نیوتن فقط شکلی به آن داد که مردم بفهمند، اما شایستگی او گران بها است. در این مقاله، قوانین مکانیک نیوتنی را تا حد امکان با جزئیات شرح نمی دهیم، اما اصول اولیه، دانش پایه، تعاریف و فرمول هایی را که همیشه می تواند در دستان شما باشد را بیان می کنیم.

مکانیک شاخه ای از فیزیک است، علمی که به بررسی حرکت اجسام مادی و برهم کنش بین آنها می پردازد.

خود کلمه دارد منشا یونانیو به عنوان "هنر ساخت ماشین آلات" ترجمه می شود. اما قبل از ساخت ماشین‌ها، ما هنوز مانند ماه هستیم، بنابراین راه اجدادمان را دنبال می‌کنیم و حرکت سنگ‌هایی که در زاویه به افق پرتاب می‌شوند و سیب‌هایی که از ارتفاعی روی سرها می‌افتند را مطالعه می‌کنیم. ساعت

چرا مطالعه فیزیک با مکانیک شروع می شود؟ چون کاملا طبیعیه که از تعادل ترمودینامیکی شروع نکنیم؟!

مکانیک یکی از قدیمی ترین علوم است و از نظر تاریخی مطالعه فیزیک دقیقاً از پایه های مکانیک شروع شد. افراد با قرار گرفتن در چارچوب زمان و مکان، در واقع نمی توانستند با تمام میل خود از چیز دیگری شروع کنند. اجسام متحرک اولین چیزی است که ما به آن توجه می کنیم.

حرکت چیست؟

حرکت مکانیکی تغییر موقعیت اجسام در فضا نسبت به یکدیگر در طول زمان است.

پس از این تعریف است که به طور کاملا طبیعی به مفهوم چارچوب مرجع می رسیم. تغییر موقعیت اجسام در فضا نسبت به یکدیگر.کلمات کلیدی در اینجا: نسبت به یکدیگر ... از این گذشته، یک مسافر در ماشین نسبت به شخصی که در کنار جاده ایستاده است با سرعت مشخصی حرکت می کند و نسبت به همسایه خود روی صندلی کناری خود استراحت می دهد و با سرعت متفاوتی نسبت به مسافر در یک ماشین حرکت می کند. ماشینی که از آنها سبقت می گیرد.

به همین دلیل است که برای اینکه به طور معمول پارامترهای اجسام متحرک را اندازه گیری کنیم و گیج نشویم، نیاز داریم چارچوب مرجع - بدنه مرجع، سیستم مختصات و ساعت کاملاً به هم پیوسته است. به عنوان مثال، زمین به دور خورشید در یک چارچوب مرجع هلیوسنتریک حرکت می کند. در زندگی روزمره، ما تقریباً تمام اندازه گیری های خود را در چارچوب مرجع زمین مرکزی مرتبط با زمین انجام می دهیم. زمین یک جسم مرجع است که نسبت به آن اتومبیل ها، هواپیماها، مردم و حیوانات حرکت می کنند.

مکانیک به عنوان یک علم وظیفه خاص خود را دارد. وظیفه مکانیک این است که در هر زمان موقعیت جسم را در فضا بداند. به عبارت دیگر، مکانیک یک توصیف ریاضی از حرکت می سازد و ارتباط بین آنها را پیدا می کند مقادیر فیزیکیتوصیف آن

برای حرکت بیشتر، به مفهوم " نیاز داریم نقطه مادی ". آنها می گویند فیزیک - علم دقیق، اما فیزیکدانان می دانند که برای توافق در مورد این دقت، چند تقریب و فرض باید انجام شود. هیچ کس تا به حال نقطه مادی را ندیده یا بوی گاز ایده آل را حس نکرده است، اما آنها هستند! فقط زندگی با آنها بسیار ساده تر است.

نقطه مادی جسمی است که در این مشکل می توان از اندازه و شکل آن چشم پوشی کرد.

بخش های مکانیک کلاسیک

مکانیک از چندین بخش تشکیل شده است

• سینماتیک
• پویایی شناسی
• استاتیک

سینماتیکاز نقطه نظر فیزیکی، دقیقاً چگونگی حرکت بدن را مطالعه می کند. به عبارت دیگر، این بخش به ویژگی های کمیجنبش. سرعت، مسیر را پیدا کنید - وظایف معمولیسینماتیک

پویایی شناسیاین سوال را حل می کند که چرا به آن سمت حرکت می کند. یعنی نیروهای وارد بر جسم را در نظر می گیرد.

استاتیکتعادل اجسام تحت عمل نیروها را مطالعه می کند، یعنی به این سوال پاسخ می دهد: چرا اصلا سقوط نمی کند؟

محدودیت های کاربرد مکانیک کلاسیک.

مکانیک کلاسیکدیگر ادعا نمی کند که علمی است که همه چیز را توضیح می دهد (در آغاز قرن گذشته، همه چیز کاملاً متفاوت بود) و چارچوب مشخصی از کاربرد دارد. به طور کلی، قوانین مکانیک کلاسیک برای جهانی که ما به آن عادت کرده ایم از نظر اندازه (کیهان کلان) معتبر است. آنها در مورد جهان ذرات، زمانی که جهان کلاسیک جایگزین می شود، کار نمی کنند مکانیک کوانتومی... همچنین مکانیک کلاسیک در مواردی که حرکت اجسام با سرعتی نزدیک به سرعت نور اتفاق می افتد، کاربردی ندارد. در چنین مواردی، اثرات نسبیتی برجسته می شود. به طور کلی، در چارچوب مکانیک کوانتومی و نسبیتی - مکانیک کلاسیک، این یک مورد خاص است زمانی که ابعاد بدن بزرگ، و سرعت کوچک است. شما می توانید در مورد آن از مقاله ما بیشتر بیاموزید.

به طور کلی، اثرات کوانتومی و نسبیتی هرگز به جایی نمی رسند، بلکه در طول حرکت معمولی اجسام ماکروسکوپی با سرعتی بسیار کمتر از سرعت نور رخ می دهند. نکته دیگر این است که تأثیر این تأثیرات آنقدر کم است که از دقیق ترین اندازه گیری ها فراتر نمی رود. بنابراین، مکانیک کلاسیک هرگز اهمیت اساسی خود را از دست نخواهد داد.

ما به کاوش ادامه خواهیم داد پایه های فیزیکیمکانیک در مقالات زیر برای درک بهتر مکانیک، همیشه می توانید به افرادی مراجعه کنید که به صورت جداگانه بر روی نقطه تاریک دشوارترین کار روشن می شوند.

زور. سیستم نیروها. تعادل یک جسم کاملاً صلب

در مکانیک، نیرو به عنوان معیاری از برهمکنش مکانیکی اجسام مادی درک می شود که در نتیجه اجسام متقابل می توانند به یکدیگر شتاب دهند یا تغییر شکل دهند (شکل خود را تغییر دهند). نیرو یک کمیت برداری است. با یک مقدار عددی یا مدول، نقطه کاربرد و جهت مشخص می شود. نقطه اعمال نیرو و جهت آن خط عمل نیرو را مشخص می کند. شکل نشان می دهد که چگونه نیرو به نقطه A وارد می شود. قطعه AB = مدول نیرو F. خط LM را خط عمل نیرو می گویند. در سیست. اندازه های نیروی SI. بر حسب نیوتن (N). همچنین 1MN = 10 6 N، 1 kN = 10 3 N وجود دارد. 2 راه برای تنظیم نیرو وجود دارد: با توصیف مستقیم و بردار (از طریق طرح ریزی روی محورهای مختصات). F = F x i + F y j + F z k، که در آن F x، F y، F z پیش بینی نیرو روی محورهای مختصات هستند و i، j، k بردارهای واحد هستند. کاملا محکم بدن - بدنکه در آن فاصله m-du 2 نقاط آن متوقف می شود. بدون توجه به تأثیر نیروها بر او، بدون تغییر.

ترکیب چند نیرو (F 1, F 2, ..., F n) را سیستم نیروها می گویند. اگر بدون نقض وضعیت بدن، یک سیستم نیرو (F 1، F 2، ...، F n) را می توان با سیستم دیگری (P 1، P 2، ...، Pn) جایگزین کرد. برعکس، پس چنین سیستم هایی از نیروها معادل نامیده می شوند. این به طور نمادین به صورت زیر نشان داده می شود: (F 1, F 2, ..., F n) ~ (P 1, P 2, ..., P n). با این حال، این بدان معنا نیست که اگر دو سیستم نیرو بر بدن تأثیر یکسانی داشته باشند، آنها معادل خواهند بود. سیستم های معادل باعث ایجاد حالت سیستم یکسان می شوند. هنگامی که سیستم نیروها (F 1، F 2، ...، F n) معادل یک نیروی R باشد، آنگاه R نامیده می شود. حاصل نیروی حاصل می تواند جایگزین عمل همه این نیروها شود. اما هر سیستمی از نیروها نتیجه ای ندارد. در سیستم مختصات اینرسی، قانون اینرسی برآورده می شود. این به ویژه به این معنی است که جسمی که در لحظه اولیه در حالت استراحت است، اگر هیچ نیرویی روی آن وارد نشود، در این حالت باقی خواهد ماند. اگر یک جسم کاملاً صلب تحت تأثیر سیستمی از نیروها (F 1، F 2، ...، F n) بر روی آن در حالت سکون باقی بماند، این سیستم متعادل یا سیستمی از نیروها معادل صفر نامیده می شود: F 1، F 2، ..، F n) ~ 0. در این حالت گفته می شود که بدن در حالت تعادل است. در ریاضیات، دو بردار اگر موازی، در جهت یکسان و از نظر قدر مطلق مساوی باشند، مساوی در نظر گرفته می شوند. برای هم ارزی دو نیرو، این کافی نیست و رابطه F ~ P هنوز از برابری F = P ناشی نمی شود. دو نیرو اگر از نظر بردار مساوی باشند و به یک نقطه از جسم اعمال شوند، معادل هستند.

بدیهیات استاتیک و پیامدهای آن

بدن تحت تأثیر نیرو شتاب می گیرد و نمی تواند در حال استراحت باشد. اصل اول شرایطی را تعیین می کند که در آن سیستم نیروها متعادل می شود.

اصل 1. دو نیروی اعمال شده به یک جسم کاملا صلب متعادل (معادل صفر) خواهند بود اگر و فقط در صورتی که از نظر قدر مطلق برابر باشند، در امتداد یک خط مستقیم عمل کنند و در جهت مخالف هدایت شوند.... این بدان معنی است که اگر یک جسم کاملاً صلب تحت تأثیر دو نیرو در حال سکون باشد، این نیروها از نظر قدر مساوی هستند، در یک خط مستقیم عمل می کنند و در جهت مخالف هدایت می شوند. برعکس، اگر دو نیروی با قدر مساوی بر روی یک جسم کاملاً صلب در امتداد یک خط مستقیم در جهات مخالف وارد شوند و جسم در لحظه اولیه در حالت سکون باشد، آنگاه حالت سکون جسم باقی خواهد ماند.

در شکل 1.4 نیروهای متعادل F 1 ، F 2 و P 1 ، P 2 را نشان می دهد که روابط را برآورده می کند: (F 1 ، F 2) ~ 0 ، (P 1 ، P 2) ~ 0. هنگام حل برخی از مسائل استاتیک، باید نیروهای وارد شده به انتهای میله های صلب را در نظر گرفت که وزن آن ها قابل چشم پوشی است و مشخص است که میله ها در حالت تعادل هستند. از اصل فرمول بندی شده، نیروهای وارد بر چنین میله ای در امتداد یک خط مستقیم که از انتهای میله می گذرد، در جهت مخالف و در مدول برابر با یکدیگر هدایت می شوند (شکل 1.5، a). هنگامی که محور میله منحنی باشد نیز همینطور است (شکل 1.5، ب).

اصل 2. بدون تخطی از حالت یک جسم کاملا صلب، نیروها را می توان در صورتی که و تنها در صورتی که یک سیستم متعادل را تشکیل می دهند، به آن اعمال یا دور انداخت، به ویژه اگر این سیستم از دو نیروی مساوی از نظر بزرگی تشکیل شده باشد که در یک خط مستقیم و جهت دار عمل می کنند. در جهت مخالفاین اصل متضمن یک نتیجه است: بدون نقض وضعیت جسم، نقطه اعمال نیرو را می توان در امتداد خط عمل آن منتقل کرد.در واقع، اجازه دهید نیروی F A به نقطه A اعمال شود (شکل 1.6، a). ما در نقطه B در خط عمل نیروی FA دو نیروی متعادل FB و F "B را اعمال می کنیم، با این فرض که FB = FA (شکل 1.6، b). سپس طبق اصل 2، FA ~ FA خواهیم داشت. از آنجایی که نیروهای FA و FB نیز یک سیستم متعادل از نیروها را تشکیل می دهند (اصل 1)، پس طبق اصل 2 می توان آنها را کنار گذاشت (شکل 1.6، c). بنابراین، FA ~ FA، FB, F` B) ~ FB یا FA ~ FB که نتیجه را ثابت می کند. این نتیجه نشان می دهد که نیروی اعمال شده به یک جسم کاملاً صلب یک بردار لغزنده است. به ویژه، انتقال نقطه اعمال نیرو در امتداد خط عمل آن، شرایط بدن تغییر شکل یافته تنش را تغییر می دهد.

اصل 3.بدون تغییر وضعیت جسم، دو نیروی وارد شده به یکی از نقاط آن را می توان با یک نیروی حاصل در همان نقطه و برابر با آنها جایگزین کرد. جمع هندسی(اصول متوازی الاضلاع نیروها). این اصل دو حالت را ایجاد می کند: 1) دو نیروی F 1 و F 2 (شکل 1.7) که به یک نقطه اعمال می شود، یک نتیجه دارند، یعنی معادل یک نیرو هستند (F 1, F 2) ~ R. 2) اصل موضوع مدول، نقطه اعمال و جهت نیروی حاصل را به طور کامل تعیین می کند. 2. مدول حاصل با برابری R = (F 1 2 + F 2 2 + 2F l F 2 cosa) 1/2 تعیین می شود، که در آن a زاویه بین این بردارهای F 1 و F 2 است. اصل سوم برای هر جسمی قابل اجرا است. بدیهیات دوم و سوم استاتیک امکان عبور از یک سیستم نیرو به سیستم دیگر معادل آن را فراهم می کند. به ویژه، تجزیه هر نیروی R را به دو، سه و غیره امکان پذیر می کنند، یعنی به سیستم دیگری از نیروها که نیروی R حاصل آن است، منتقل می شود. به عنوان مثال، با تنظیم دو جهت که با R در یک صفحه قرار دارند، می توانید متوازی الاضلاع بسازید که در آن قطر نشان دهنده نیروی R باشد. سپس نیروهایی که در امتداد اضلاع متوازی الاضلاع هستند، سیستمی را تشکیل می دهند که نیروی R برای آن وارد می شود. حاصل خواهد بود (شکل 1.7). ساخت و ساز مشابهی را می توان در فضا انجام داد. برای انجام این کار، کافی است سه خط مستقیم از نقطه اعمال نیروی R که در یک صفحه قرار ندارند ترسیم کنید و بر روی آنها یک موازی شکل با قطری که نیروی R را نشان می دهد و با لبه هایی که در امتداد آنها قرار دارند بسازید. خطوط مستقیم (شکل 1.8).

اصل 4 (قانون سوم نیوتن). نیروهای برهمکنش دو جسم از نظر قدر مساوی هستند و در امتداد یک خط مستقیم در جهت مخالف هدایت می شوند.توجه داشته باشید که نیروهای برهمکنش بین دو جسم، سیستمی از نیروهای متعادل را تشکیل نمی‌دهند، زیرا بر اجسام مختلف اعمال می‌شوند. اگر جسم I روی جسم II با نیروی P و جسم II روی جسم I با نیروی F وارد شود (شکل 1.9)، این نیروها از نظر قدر برابر هستند (F = P) و در امتداد یک خط مستقیم در جهات مخالف هدایت می شوند. یعنی F = –Р. اگر نیرویی را که خورشید با آن زمین را جذب می کند با F نشان دهیم، آنگاه زمین خورشید را با همان مدول، اما نیروی خلاف جهت آن جذب می کند - F. وقتی جسم در امتداد صفحه حرکت می کند، نیروی اصطکاک T به آن وارد می شود. ، در جهت مخالف حرکت هدایت می شود. این نیرویی است که با آن صفحه ثابت روی بدنه اثر می گذارد. بر اساس اصل چهارم، جسم با همان نیرو بر روی صفحه عمل می کند، اما جهت آن مخالف نیروی T خواهد بود.

در شکل 1.10 جسمی را نشان می دهد که به سمت راست حرکت می کند. نیروی اصطکاک T به جسم متحرک اعمال می شود، و نیروی T "= –T - به هواپیما اعمال می شود. سیستم استراحت را که در شکل 1.11 نشان داده شده است، در نظر بگیرید، a. شامل یک موتور A است که بر روی پایه B نصب شده است. که به نوبه خود روی پایه C قرار دارد. نیروهای گرانش F 1 و F 2 به ترتیب بر روی موتور و شالوده اثر می گذارند. نیروها نیز تأثیر می گذارند: F 3 - نیروی عمل جسم A بر جسم B (این است برابر با وزن جسم A؛ F`z - نیروی عمل معکوس جسم B بر روی جسم A؛ F 4 نیروی عمل اجسام A و B بر پایه C است (برابر وزن کل است. اجسام A و B)؛ F` 4 نیروی عمل معکوس پایه C بر جسم B است. این نیروها در شکل 1.11، b، c، d نشان داده شده است. طبق اصل 4 F 3 = –F` 3، F 4 = –F` 4، و این نیروهای برهمکنش توسط نیروهای داده شده F 1 و F 2 تعیین می شوند. برای یافتن نیروهای اندرکنش، باید از اصل 1 اقدام کرد. جسم A (شکل 1.11،6) باید F s = –F 1 باشد، به این معنی که F 3 = F 1. به همین ترتیب، از وضعیت تعادل جسم B (شکل 1.11، ج) F را دنبال می کند. ` 4 = - (F 2 + F 3) , یعنی F` 4 = - (F 1 + F 2) و F 4 = F 1 + F 2.

اصل 5. اگر نقاط آن به طور صلب به هم متصل شده باشند و بدنه کاملاً صلب در نظر گرفته شود، تعادل جسم تغییر شکل پذیر نقض نمی شود.این اصل در مورد تعادل اجسامی که نمی توان آنها را صلب در نظر گرفت استفاده می شود. نیروهای خارجی اعمال شده به چنین اجسامی باید شرایط تعادل یک جسم صلب را برآورده کنند، اما برای اجسام غیر صلب این شرایط فقط ضروری هستند، اما کافی نیستند. به عنوان مثال، برای تعادل یک میله کاملاً جامد بدون وزن، لازم و کافی است که نیروهای F و F وارد شده به انتهای میله در امتداد یک خط مستقیم که انتهای آن را به هم وصل می کند عمل کنند، از نظر بزرگی برابر و در جهت های مختلف هدایت شوند. شرایط یکسانی برای تعادل بخشی از یک نخ بی وزن نیز لازم است، اما برای یک نخ کافی نیست - علاوه بر این لازم است که نیروهای وارد بر رزوه کششی باشند (شکل 1.12، b)، در حالی که برای یک میله آنها همچنین می توانند فشاری باشند (شکل 1.12، a).

مورد معادل صفر سه نیروی غیر موازی اعمال شده به یک جسم صلب را در نظر بگیرید (شکل 1.13، a). قضیه سه نیروی غیر موازی. اگر تحت تأثیر سه نیرو، جسم در حالت تعادل باشد و خطوط عمل دو نیرو متقاطع شوند، همه نیروها در یک صفحه قرار می گیرند و خطوط عمل آنها در یک نقطه قطع می شود.اجازه دهید سیستمی متشکل از سه نیروی F 1، F 3 و F 3 بر روی بدنه اثر بگذارد، و خطوط عمل نیروهای F 1 و F 2 در نقطه A قطع شوند (شکل 1.13، a). با توجه به نتیجه اصل 2، نیروهای F 1 و F 2 را می توان به نقطه A منتقل کرد (شکل 1.13، b)، و طبق اصل 3، می توان آنها را با یک نیروی R جایگزین کرد، و (شکل 1.13، ج) R = F 1 + F 2 ... بنابراین، سیستم نیروهای در نظر گرفته شده به دو نیروی R و F 3 کاهش می یابد (شکل 1.13، ج). با توجه به شرایط قضیه، جسم در حالت تعادل است، بنابراین، طبق اصل 1، نیروهای R و F 3 باید دارای یک خط عمل مشترک باشند، اما سپس خطوط عمل هر سه نیرو باید در یک نقطه قطع شوند. .

نیروهای فعال و واکنش پیوندها

بدن نامیده می شود رایگاناگر حرکاتش با چیزی محدود نشود. جسمی که حرکات آن توسط اجسام دیگر محدود شود نامیده می شود غیر رایگان، و اجسام محدود کننده حرکات این بدن هستند اتصالات... در نقاط تماس، نیروهای برهمکنش بین جسم داده شده و پیوندها بوجود می آیند. نیروهایی که اتصالات بر روی یک جسم معین عمل می کنند نامیده می شوند واکنش های پیوند.

اصل آزادی : هر جسم غیرآزاد را می‌توان آزاد در نظر گرفت اگر عمل پیوندها با واکنش‌های اعمال شده روی جسم معین جایگزین شود.در استاتیک می توان با استفاده از شرایط یا معادلات تعادل جسم که بعداً مشخص خواهد شد، واکنش پیوندها را به طور کامل تعیین کرد، اما جهت آنها را در بسیاری از موارد با در نظر گرفتن خواص پیوندها می توان تعیین کرد. به عنوان یک مثال ساده، شکل. 1.14، و جسمی نشان داده شده است که نقطه M آن به وسیله میله ای به نقطه ثابت O متصل است که وزن آن قابل چشم پوشی است. انتهای میله دارای لولاهایی است که امکان چرخش آزاد را فراهم می کند. در این مورد، میله OM به عنوان اتصال بدنه عمل می کند. محدودیت در آزادی حرکت نقطه M در این واقعیت بیان می شود که مجبور است در فاصله ثابتی از نقطه O قرار گیرد. بنابراین، جهت واکنش میله با خط مستقیم OM منطبق است (شکل 1.14، b). به همین ترتیب، نیروی واکنش یک نخ منعطف و غیر قابل امتداد باید در امتداد نخ هدایت شود. در شکل 1.15 جسمی را نشان می دهد که روی دو رشته آویزان است و واکنش های رشته های R1 و R2 را نشان می دهد. نیروهای وارد بر جسم غیرآزاد به دو دسته تقسیم می شوند. یک دسته توسط نیروهایی که به اتصالات وابسته نیستند و دسته دیگر توسط واکنش های اتصالات تشکیل می شود. در این مورد، واکنش های اتصالات غیرفعال است - آنها به این دلیل به وجود می آیند که نیروهای دسته اول روی بدن عمل می کنند. نیروهایی که به اتصالات وابسته نیستند فعال و واکنش های اتصالات را نیروهای غیرفعال می نامند. در شکل 1.16، و بالا دو نیروی فعال F 1 و F 2 با مدول مساوی را نشان می دهد، میله AB را کشیده، پایین واکنش های R 1 و R 2 میله کشیده را نشان می دهد. در شکل 1.16، b، بالا نیروهای فعال F 1 و F 2 را نشان می دهد که میله را فشرده می کند، پایین واکنش های R 1 و R 2 میله فشرده را نشان می دهد.

خواص پیوند

1. اگر یک جسم صلب بر روی یک سطح کاملاً صاف (بدون اصطکاک) قرار گیرد، آنگاه نقطه تماس بدن با سطح می تواند آزادانه در امتداد سطح بلغزد، اما نمی تواند در جهت عادی به سطح حرکت کند. واکنش یک سطح کاملاً صاف در امتداد یک نرمال مشترک به سطوح تماس هدایت می شود (شکل 1.17، a). در امتداد نرمال به سطح بدنه هدایت می شود.اگر یک جسم جامد به نوک گوشه متصل شود (شکل 1.17، ج)، آنگاه اتصال از حرکت نوک به صورت افقی و عمودی جلوگیری می کند. بر این اساس، زاویه واکنش R را می توان با دو جزء - Rx افقی و Ry عمودی نشان داد، که مقادیر و جهات آنها در نهایت توسط نیروهای داده شده تعیین می شود.

2. اتصال کروی دستگاهی است که در شکل نشان داده شده است. 1.18، a، که نقطه O جسم مورد نظر را ثابت می کند. اگر سطح تماس کروی به طور ایده آل صاف باشد، واکنش لولا کروی به این سطح طبیعی است. واکنش از مرکز لولا O عبور می کند. جهت واکنش می تواند هر کدام باشد و در هر مورد تعیین می شود.

همچنین نمی توان از قبل جهت واکنش یاتاقان رانش نشان داده شده در شکل را تعیین کرد. 1.18، ب. 3. تکیه گاه ثابت لولای استوانه ای (شکل 1.19، a). واکنش چنین تکیه گاهی از محور آن می گذرد و جهت واکنش می تواند هر کدام باشد (در یک صفحه عمود بر محور تکیه گاه). 4. تکیه گاه متحرک لولای استوانه ای (شکل 1.19، ب) از حرکت نقطه ثابت بدنه در امتداد عمود بر هواپیما I-I; بر این اساس، واکنش چنین تکیه گاهی نیز جهت این عمود را دارد.

در سیستم های مکانیکی که از اتصال چند جامد تشکیل می شوند، اتصالات داخلی با اتصالات خارجی (تکیه کننده) وجود دارد. در این موارد، سیستم گاهی از نظر ذهنی از هم پاشیده می شود و ارتباطات دور ریخته شده نه تنها بیرونی، بلکه درونی نیز با واکنش های مناسب جایگزین می شود. نیروهای برهمکنش بین نقاط منفرد یک جسم معین، درونی و نیروهایی که بر جسم معین وارد می شوند و توسط اجسام دیگر ایجاد می شوند، خارجی نامیده می شوند.

وظایف اساسی استاتیک

1. مشکل کاهش یک سیستم نیرو: چگونه می توان یک سیستم معین از نیروها را با سیستم دیگری، ساده ترین، معادل آن جایگزین کرد؟

2. مسئله تعادل: سیستمی از نیروهای اعمال شده به جسم معین (یا نقطه مادی) چه شرایطی را باید برآورده کند تا بتواند یک سیستم متعادل باشد؟

مشکل دوم اغلب در مواردی مطرح می شود که تعادل وجود دارد، به عنوان مثال، زمانی که از قبل مشخص شود که بدن در تعادل است، که توسط محدودیت های اعمال شده بر بدن ایجاد می شود. در این حالت، شرایط تعادل بین تمام نیروهای وارد شده به بدن رابطه برقرار می کند. با کمک این شرایط می توان واکنش های حمایتی را تعیین کرد. باید در نظر داشت که تعیین واکنش پیوندها (خارجی و داخلی) برای محاسبه بعدی استحکام سازه ضروری است.

در حالت کلی تر، وقتی سیستمی از اجسام که می توانند نسبت به یکدیگر حرکت کنند در نظر گرفته می شود، یکی از مشکلات اصلی استاتیک، مشکل تعیین موقعیت های تعادلی احتمالی است.

کاهش سیستم نیروهای همگرا به نتیجه

نیروها همگرا نامیده می شوند که خطوط عمل تمام نیروهایی که سیستم را تشکیل می دهند در یک نقطه قطع شوند. بیایید قضیه را ثابت کنیم: سیستم نیروهای همگرا معادل یک نیرو (نتیجه) است که برابر است با مجموع همه این نیروها و از نقطه تلاقی خطوط عمل آنها می گذرد. اجازه دهید سیستمی از نیروهای همگرا F 1، F 2، F 3، ...، F n که بر یک جسم کاملاً صلب اعمال می شود، داده شود (شکل 2.1، a). نقاط اعمال نیروها را در امتداد خطوط عمل آنها به نقطه تلاقی این خطوط منتقل می کنیم (21، b). ما یک سیستم نیرو گرفتیم که به یک نقطه متصل است. معادل داده شده است. F 1 و F 2 را اضافه کنید، نتیجه آنها را می گیریم: R 2 = F 1 + F 2. R 2 را به F 3 اضافه کنید: R 3 = R 2 + F 3 = F 1 + F 2 + F 3. F 1 + F 2 + F 3 +… + F n = R n = R = åF i را اضافه کنید. Ch.t.d. به جای متوازی الاضلاع، می توانید یک چند ضلعی قدرت بسازید. اجازه دهید سیستم از 4 نیرو تشکیل شده باشد (شکل 2.2.). از انتهای بردار F 1 بردار F 2 را به تعویق می اندازیم. بردار اتصال شروع O و انتهای بردار F 2 بردار R 2 خواهد بود. در مرحله بعد، بردار F 3 را با قرار دادن ابتدای آن در انتهای بردار F 2 به تعویق می اندازیم. سپس یک بردار R 8 دریافت می کنیم که از نقطه O به انتهای بردار F 3 می رود. بردار F 4 را به همین ترتیب اضافه کنید. در این حالت، به این نتیجه می رسیم که بردار که از ابتدای اولین بردار F 1 به انتهای بردار F 4 می رود، برآیند R است. چنین چندضلعی فضایی را چند ضلعی نیرو می نامند. اگر انتهای آخرین نیرو با ابتدای نیروی اول منطبق نباشد، چند ضلعی توان نامیده می شود. باز کن... اگر یک هندسه برای یافتن کاربرد حاصل درست باشد، به این روش هندسی می گویند.

برای تعیین نتیجه بیشتر از روش تحلیلی استفاده می کنند. طرح ریزی مجموع بردارها بر روی یک محور معین برابر است با مجموع برآمدگی ها در همان محور از شرایط بردارها، R x = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx را به دست می آوریم. R y = åF ky = F 1y + F 2y + ... + F ny; R z = åF kz = F 1z + F 2z + ... + F nz; که در آن F kx، F ky، F kz برآمدگی های نیروی F k روی محور هستند، و Rx، Ry، Rz پیش بینی های حاصل بر روی همان محورها هستند. پیش بینی های سیستم حاصل از نیروهای همگرا بر روی محورهای مختصات برابر است با مجموع جبری پیش بینی این نیروها بر روی محورهای مربوطه. مدول R حاصل برابر است با: R = (R x 2 + R y 2 + R z 2) 1/2. کسینوس های جهت عبارتند از: cos (x، R) = R x / R، cos (y، R) = R y / R، cos (z، R) = R z / R. اگر نیروها در منطقه قرار داشته باشند، پس همه چیز یکسان است، هیچ محور Z وجود ندارد.

شرایط تعادل برای سیستم نیروهای همگرا

(F 1, F 2, ..., F n) ~ R => برای تعادل جسم تحت تأثیر سیستم نیروهای همگرا لازم و کافی است که حاصل آنها برابر با صفر باشد: R = 0 بنابراین، در چندضلعی نیروی یک سیستم متوازن نیروهای همگرا، انتهای آخرین نیرو باید با آغاز نیروی اول منطبق باشد. در این مورد، گفته می شود که چند ضلعی نیرو بسته است (شکل 2.3). این شرط در حل گرافیکی مسائل برای سیستم های سطح نیرو استفاده می شود. برابری برداری R = 0 معادل سه برابری اسکالر است: R x = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx = 0. R y = åF ky = F 1y + F 2y + ... + F ny = 0; R z = åF kz = F 1z + F 2z + ... + F nz = 0; که در آن F kx، F ky، F kz برآمدگی های نیروی F k روی محور هستند، و Rx، Ry، Rz پیش بینی های حاصل بر روی همان محورها هستند. یعنی برای تعادل سیستم نیروها همگرا، لازم و کافی است که مجموع جبری پیش بینی های تمام نیروهای سیستم داده شده بر روی هر یک از محورهای مختصات برابر با صفر باشد. برای یک سیستم سطحی از نیروها، شرایط مرتبط با محور Z ناپدید می‌شود. شرایط تعادل این امکان را فراهم می‌آورد که آیا یک سیستم معین از نیروها در حالت تعادل است یا خیر.

جمع دو نیروی موازی

1) اجازه دهید نیروهای موازی و مساوی F 1 و F 2 به نقاط A و B جسم اعمال شوند و باید نتیجه آنها را پیدا کنید (شکل 3.1). ما به نقاط A و B نیروی مساوی از نظر بزرگی و جهت مخالف Q 1 و Q 2 اعمال می کنیم (مدول آنها می تواند هر باشد). چنین جمعی را می توان بر اساس اصل 2 انجام داد. سپس در نقاط A و B دو نیروی R 1 و R 2 دریافت می کنیم: R 1 ~ (F 1, Q 1) و R 2 ~ (F 2, Q 2). . خطوط عمل این نیروها در نقطه ای O همدیگر را قطع می کنند. بیایید نیروهای R 1 و R 2 را به نقطه O منتقل کنیم و هر یک را به اجزای تجزیه کنیم: R 1 ~ (F 1 ', Q 2') و R 2 ~ (F 2 ', Q 2'). از ساختار می توان دریافت که Q 1 ‘= Q 1 و Q 2’ = Q 2، بنابراین، Q 1 ‘= –Q 2’ و این دو نیرو، طبق اصل 2، می توانند کنار گذاشته شوند. علاوه بر این، F 1 '= F 1, F 2' = F 2. نیروهای F 1 'و F 2' در یک خط مستقیم عمل می کنند و می توان آنها را با یک نیروی R = F 1 + F 2 جایگزین کرد که نتیجه مطلوب خواهد بود. مدول حاصل برابر با R = F 1 + F 2 است. خط عمل حاصل با خطوط عمل F 1 و F 2 موازی است. از شباهت مثلث های Oac 1 و OAC، و همچنین Obc 2 و OBC، نسبت را به دست می آوریم: F 1 / F 2 = BC / AC. این رابطه نقطه اعمال R حاصل را تعیین می کند. سیستم دو نیروی موازی که در یک جهت هدایت می شوند دارای موازی نتیجه ای با این نیروها و مدول آن است. برابر با مجموع استماژول های این نیروها

2) بگذارید دو نیروی موازی بر روی جسم وارد شوند که در جهات مختلف هستند و از نظر قدر مساوی نیستند. داده شده: F 1, F 2; F 1> F 2.

با استفاده از فرمول های R = F 1 + F 2 و F 1 / F 2 = BC / AC، نیروی F 1 را می توان به دو جزء F "2 و R به سمت نیروی F 1 هدایت کرد. معلوم شد که نیروی F" 2 به نقطه B اعمال می شود، و F "2 = –F 2 را وارد می کنیم. بنابراین، (F l, F 2) ~ (R, F "2, F 2)... نیروها F 2، F 2 'می توان آن را به عنوان معادل صفر کنار گذاشت (اصول 2)، بنابراین، (F 1, F 2) ~ R، یعنی نیروی R حاصل است. اجازه دهید نیروی R را که چنین انبساط نیروی F 1 را برآورده می کند، تعریف کنیم. فرمول ها R = F 1 + F 2و F 1 / F 2 = قبل از میلاد / AC می دهد R + F 2 '= F 1, R / F 2 = AB / AC (*). این دلالت می کنه که R = F 1 –F 2 '= F 1 + F 2و از آنجایی که نیروهای F t و F 2 در جهات مختلف هدایت می شوند، بنابراین R = F 1 –F 2. با جایگزینی این عبارت به فرمول دوم (*)، پس از تبدیل های ساده F 1 / F 2 = BC / AC به دست می آوریم. این نسبت نقطه اعمال R حاصل را تعیین می کند. دو نیروی موازی با جهت مخالف که از نظر قدر مساوی نیستند دارای یک موازی حاصل با این نیروها هستند و مدول آن برابر است با اختلاف مدول این نیروها.

3) اجازه دهید دو موازی بر روی جسم عمل کنند که از نظر قدر مساوی هستند، اما از نظر نیرو مخالف. این سیستم یک جفت نیرو نامیده می شود و با علامت نشان داده می شود (F 1, F 2)... فرض کنید که مدول F 2 به تدریج افزایش می یابد و به مقدار مدول F 1 نزدیک می شود. سپس تفاوت ماژول ها به صفر و سیستم نیروها (F 1, F 2) به یک جفت می رسد. در این صورت | R | Þ0 و خط عمل آن دور شدن از خطوط عمل این نیروها است. یک جفت نیرو یک سیستم نامتعادل است که با یک نیرو نمی توان آن را جایگزین کرد. یک جفت نیرو نتیجه ای ندارد.

گشتاور نیرو حول یک نقطه و محور لحظه ی یک جفت نیرو

گشتاور نیرو نسبت به یک نقطه (مرکز) بردار عددی برابر با حاصل ضرب مدول نیروی توسط شانه است، یعنی کوتاهترین فاصله از نقطه مشخص شده تا خط عمل نیرو. عمود بر صفحه ای که از نقطه انتخاب شده و خط عمل نیرو می گذرد هدایت می شود. اگر لحظه نیرو روی ساعت عقربه باشد، لحظه منفی و اگر مخالف باشد، مثبت است. اگر O نقطه نسبت به لحظه نیروی F باشد، ممان نیرو با نماد M o (F) نشان داده می شود. اگر نقطه اعمال نیروی F با بردار شعاع r نسبت به O تعیین شود، آنگاه رابطه M o (F) = r x F. (3.6) یعنی. ممان نیرو برابر است با حاصلضرب بردار r توسط بردار F. مدول حاصلضرب بردار M o (F) = rF sin a = Fh، (3.7) است که در آن h شانه نیرو است. بردار Mo (F) عمود بر صفحه ای که از بردارهای r و F می گذرد و در خلاف جهت عقربه های ساعت است. بنابراین فرمول (3.6) مدول و جهت گشتاور نیروی F را به طور کامل تعیین می کند. فرمول (3.7) را می توان به شکل MO (F) = 2S، (3.8) نوشت که در آن S مساحت مثلث ОАВ است. . اجازه دهید x، y، z مختصات نقطه اعمال نیرو باشد، a F x، F y، F z - پیش بینی نیرو بر روی محورهای مختصات. اگر t. درباره تلاش می کند. در مبدأ، سپس لحظه نیرو:

این بدان معنی است که پیش بینی گشتاور نیرو بر روی محورهای مختصات توسط f-mi تعیین می شود: M ox (F) = yF z –zF y، M oy (F) = zF x –xF z، M oz (F ) = xF y –yF x (3.10).

اجازه دهید مفهوم پرتاب نیرو به یک صفحه را معرفی کنیم. اجازه دهید نیروی F و مقداری فاصله داده شود. اجازه دهید از ابتدا و انتهای بردار نیرو به این صفحه عمود بریزیم (شکل 3.5). تابش نیرو بر روی صفحه برداری است که ابتدا و انتهای آن با برآمدگی ابتدا و انتهای آن نیرو بر روی این صفحه منطبق است. پیش بینی نیروی F بر روی ناحیه xOy F xy خواهد بود. لحظه نیروی F xy rel. m. О (اگر z = 0، F z = 0) M o (F xy) = (xF y –yF x) k خواهد بود. این گشتاور در امتداد محور z هدایت می شود و برآمدگی آن بر روی محور z دقیقاً منطبق بر روی همان محور گشتاور نیروی F نسبت به نقطه O.Te، M Oz (F) = M Oz ( F xy) = xF y –yF x. (3.11). همین نتیجه را می توان با اعمال نیروی F به هر صفحه موازی با صفحه xOy به دست آورد. در این حالت، نقطه تقاطع محور با صفحه متفاوت خواهد بود (O 1 را نشان دهید). با این حال، تمام مقادیر x، y، F x، F y موجود در سمت راست برابری (3.11) بدون تغییر باقی می‌مانند: M Oz (F) = M Olz (F xy). طرح ریزی یک لحظه نیرو در مورد یک نقطه به محوری که از آن نقطه می گذرد به انتخاب نقطه ای در محور بستگی ندارد. به جای M Oz (F) M z (F) می نویسیم. به این طرح گشتاور، گشتاور نیرو حول محور z می گویند. قبل از محاسبات، نیروی F بر روی صفحه، عمود بر محور، اعمال می شود. М z (F) = М z (F xy) = ± F xy h (3.12). h- شانه. اگر در جهت عقربه های ساعت باشد، آنگاه +، در مقابل -. برای محاسبه مامان. نیروهایی که شما نیاز دارید: 1) یک نقطه دلخواه در محور را انتخاب کنید و یک صفحه عمود بر محور بسازید. 2) یک نیرو بر روی این صفحه بفرستید. 3) شانه پیش بینی نیروی h را تعیین کنید. گشتاور نیرو حول محور برابر است با حاصل ضرب مدول پیش بینی نیرو بر روی شانه آن که با علامت مربوطه گرفته می شود. از (3.12) نتیجه می شود که گشتاور نیرو نسبت به محور صفر است: 1) زمانی که برآمدگی نیرو بر روی صفحه عمود بر محور صفر باشد، یعنی زمانی که نیرو و محور موازی باشند. 2) هنگامی که شانه برآمدگی h برابر با صفر است، یعنی زمانی که خط عمل نیرو محور را قطع می کند. یا: گشتاور نیرو حول محور صفر است اگر و فقط اگر خط عمل نیرو و محور در یک صفحه باشند.

اجازه دهید مفهوم لحظه یک جفت را معرفی کنیم. بیایید دریابیم که مجموع گشتاورهای نیروهایی که یک جفت را تشکیل می دهند، نسبت به یک نقطه دلخواه، چقدر است. فرض کنید O یک نقطه دلخواه در فضا باشد (شکل 3.8)، و F و F "نیروهایی هستند که یک جفت را تشکیل می دهند. سپس M o (F) = OAxF، M o (F") = OBxF "، از آنجا M o (F) + M o (F ") = ОАxF + OBxF، اما از آنجا که F "= - F، پس M 0 (F) + M 0 (F") = OAxF – ОBхF = (ОА– OB) xF. با در نظر گرفتن برابری ОА –ОВ = VA، در نهایت می یابیم: M 0 (F) + M 0 (F ") = BAхF. یعنی مجموع گشتاورهای نیروهایی که یک جفت را تشکیل می دهند به موقعیت نقطه ای که ممان ها نسبت به آن گرفته شده است بستگی ندارد. حاصلضرب برداری BAxF را ممان جفت می گویند. ممان جفت با نماد M (F, F ") و M (F, F") = BAxF = ABxF "یا M = BAxF = ABxF" نشان داده می شود. (3.13). ممان جفت بردار عمود بر صفحه جفت است، برابر قدر حاصل ضرب مدول یکی از نیروهای جفت روی شانه جفت (یعنی کوتاهترین فاصله بین خطوط عمل نیروهایی که جفت را تشکیل می دهند) و در جهتی هدایت می شود که از آن "چرخش" جفت در خلاف جهت عقربه های ساعت قابل مشاهده است. اگر h شانه جفت باشد، M (F, F ") = hF. برای اینکه جفت نیرو در سیستم تعادل ایجاد کند، لازم است: لحظه جفت = 0، یا شانه = 0.

قضایای زوج

قضیه 1.دو جفت که در یک صفحه قرار دارند را می توان با یک جفت در یک صفحه جایگزین کرد، با گشتاوری برابر با مجموع گشتاورهای این دو جفت. ... برای داکینگ دو جفت (F 1, F` 1) و (F 2, F` 2) (شکل 3.9) را در نظر بگیرید و نقاط اعمال همه نیروها را در امتداد خطوط عمل آنها به ترتیب به نقاط A و B منتقل کنید. . با اضافه کردن نیروها مطابق اصل 3، R = F 1 + F 2 و R "= F` 1 + F` 2 را بدست می آوریم، اما F" 1 = –F 1 و F` 2 = –F 2. بنابراین، R = –R "، یعنی نیروهای R و R" یک جفت را تشکیل می دهند. ممان این جفت: M = M (R, R ") = BAxR = BAx (F 1 + F 2) = BAxF 1 + BAxF 2. (3.14) وقتی نیروهایی که یک جفت را تشکیل می دهند در طول خطوط منتقل شوند. از عمل آنها، نه شانه و نه جهت چرخش جفت تغییر نمی کند، بنابراین، ممان جفت نیز تغییر نمی کند. 2 = M (F 2، f` 2) = M 2، و فرمول (З.14) به شکل M = M 1 + M 2، (3.15) p.t.d خواهد بود. بیایید دو نکته را بیان کنیم. 1. خطوط عمل نیروهایی که جفت را تشکیل می دهند ممکن است موازی باشند. قضیه در این مورد نیز معتبر است. 2. پس از جمع، می توان معلوم کرد که M (R, R ") = 0؛ بر اساس تبصره 1، از این نتیجه می شود که مجموعه دو جفت (F 1، F` 1، F 2، F` 2) ~ 0.

قضیه 2.دو جفت با گشتاورهای مساوی معادل هستند. اجازه دهید یک جفت (F 1, F` 1) روی جسمی در صفحه I با ممان M 1 عمل کند. اجازه دهید نشان دهیم که این جفت را می توان با جفت دیگری (F 2, F` 2) که در صفحه II قرار دارد جایگزین کرد، اگر فقط گشتاور М 2 برابر با М 1 باشد. توجه داشته باشید که صفحات I و II باید موازی باشند، به ویژه، آنها می توانند منطبق باشند. در واقع، از موازی بودن گشتاورهای M 1 و M 2 نتیجه می شود که سطوح عمل جفت ها، عمود بر ممان ها، نیز موازی هستند. اجازه دهید یک جفت جدید (F 3, F` 3) را در نظر بگیریم و آن را همراه با جفت (F 2, F` 2) روی بدنه اعمال کنیم و هر دو جفت را در صفحه II قرار دهیم. برای انجام این کار، با توجه به اصل 2، باید یک جفت (F 3, F` 3) با ممان M 3 انتخاب کنید تا سیستم اعمال نیروها (F 2, F` 2, F 3, F` 3) متعادل است F 3 = –F` 1 و F` 3 = –F 1 را قرار می دهیم و نقاط اعمال این نیروها را با برجستگی های A 1 و B 1 نقاط A و B روی صفحه II مطابقت می دهیم (شکل 3.10 را ببینید). مطابق با ساخت، ما خواهیم داشت: M 3 ​​= –M 1 یا با در نظر گرفتن M 1 = M 2، M 2 + M 3 = 0،دریافت می کنیم (F 2، F` 2، F 3، F` 3) ~ 0. بنابراین، جفت‌های (F 2, F` 2) و (F 3, F` 3) متقابلاً متعادل هستند و اتصال آنها به بدن حالت آن را نقض نمی‌کند (اصول 2) بنابراین (F 1, F` 1) ~ (F 1, F` 1, F 2, F` 2, F 3, F` 3). (3.16). از سوی دیگر، نیروهای F 1 و F 3 و همچنین F` 1 و F` 3 را می توان با توجه به قاعده جمع نیروهای موازی هدایت شده در یک جهت اضافه کرد. آنها از نظر قدر مطلق مساوی هستند، بنابراین حاصل R و R آنها باید در محل تلاقی قطرهای مستطیل ABB 1 A 1 اعمال شود، علاوه بر این، آنها از نظر قدر مطلق برابر هستند و در جهت مخالف هستند. این بدان معنی است که آنها یک سیستم معادل صفر را تشکیل می دهند. اکنون می توانیم بنویسیم (F 1, F` 1, F 2, F` 2, F 3, F` 3) ~ (F 2, F` 2). (3.17). با مقایسه روابط (3.16) و (3.17)، (F 1، F` 1) ~ (F 2، F` 2) و غیره را بدست می آوریم. از این قضیه نتیجه می شود که یک جفت نیرو را می توان در صفحه عمل خود حرکت داد و چرخاند و به صفحه موازی منتقل کرد. در یک جفت، می توانید به طور همزمان نیروها و شانه را تغییر دهید و فقط جهت چرخش جفت و مدول لحظه آن را حفظ کنید. (F 1 h 1 = F 2 h 2).

قضیه 3. دو جفت که در صفحات متقاطع قرار دارند معادل یک جفت هستند که ممان آن برابر است با مجموع گشتاورهای دو جفت داده شده.اجازه دهید جفت (F 1, F` 1) و (F 2, F` 2) به ترتیب در صفحات متقاطع I و II قرار گیرند. با استفاده از نتیجه قضیه 2، هر دو جفت را به بازوی AB می آوریم (شکل 3.11)، واقع در خط تقاطع صفحات I و II. اجازه دهید جفت های تبدیل شده را با (Q 1, Q` 1) و (Q 2, Q` 2) نشان دهیم. در این مورد، برابری ها باید برآورده شوند: M 1 = M (Q 1, Q` 1) = M (F 1, F` 1) و M 2 = M (Q 2, Q` 2) = M (F 2 ، F` 2). با توجه به اصل 3، نیروهای اعمال شده در نقاط A و B را به ترتیب اضافه می کنیم. سپس R = Q 1 + Q 2 و R "= Q` 1 + Q` 2 را بدست می آوریم. با در نظر گرفتن Q` 1 = –Q 1 و Q` 2 = –Q 2، به دست می آوریم: R = –R" . بنابراین، ما ثابت کردیم که یک سیستم از دو جفت معادل یک جفت است (R, R ") لحظه M این جفت را پیدا کنید. M (R , R ") = BAx (Q 1 + Q 2) = BAxQ 1 + BAxQ 2 = M (Q 1، Q` 1) + M (Q 2، Q` 2) = M (F 1، F" 1) + M (F 2، F` 2)، یا M = M 1 + M 2، یعنی قضیه ثابت می شود.

نتیجه گیری: ممان یک جفت یک بردار آزاد است و به طور کامل عمل یک جفت را بر روی یک جسم کاملا صلب مشخص می کند. برای اجسام تغییر شکل پذیر، تئوری جفت ها قابل اجرا نیست.

تقلیل یک سیستم از جفت به ساده ترین شکل آن تعادل یک سیستم از جفت

اجازه دهید سیستمی از n جفت (F 1, F 1`), (F 2, F` 2) ..., (F n, F` n) داده شود که به طور دلخواه در فضا قرار دارند که گشتاورهای آن برابر است با M 1، M 2. ..، M n. دو جفت اول را می توان با یک جفت (R 1, R` 1) با لحظه M * 2: M * 2 = M 1 + M 2 جایگزین کرد. جفت حاصل (R 1, R` 1) را با جفت (F 3, F` 3) اضافه می کنیم ، سپس یک جفت جدید (R 2, R` 2) با لحظه M * 3: M * 3 = بدست می آوریم. M * 2 + M 3 = M 1 + M 2 + M 3. با ادامه افزودن متوالی گشتاورهای جفت ها، آخرین جفت حاصل (R, R") را با ممان M = M 1 + M 2 + ... + M n = åM k به دست می آوریم (3.18). سیستم جفت به یک جفت تقلیل می‌یابد که ممان آن برابر است با مجموع گشتاورهای همه جفت‌ها. اکنون حل مسئله دوم استاتیک آسان است، یعنی یافتن شرایط تعادل برای جسمی که در آن قرار دارد. سیستم جفت ها عمل می کند. برای اینکه سیستم جفت ها معادل صفر شود یعنی به دو نیروی متوازن تقلیل یابد، لازم است و کافی است که ممان جفت حاصل برابر 0 باشد. از فرمول (3.18) شرایط تعادل زیر را به صورت برداری بدست می آوریم: М 1 + М 2 + М 3 + ... + М n = 0. (3.19).

در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات، معادله (3.19) سه معادله اسکالر را به دست می دهد. شرایط تعادل (3.19) زمانی ساده می شود که همه جفت ها در یک صفحه قرار گیرند. در این حالت، تمام گشتاورها بر این صفحه عمود هستند و بنابراین معادله (3.19) برای بیرون آمدن فقط بر روی یک محور، به عنوان مثال، یک محور عمود بر صفحه جفت کافی است. بگذارید محور z باشد (شکل 3.12). سپس از رابطه (3.19) به دست می آید: М 1Z + М 2Z + ... + М nZ = 0. واضح است که اگر چرخش جفت از جهت مثبت محور z در خلاف جهت عقربه های ساعت دیده شود M Z = M و در خلاف جهت چرخش M Z = –M. هر دوی این موارد در شکل نشان داده شده است. 3.12.

لم انتقال نیروی موازی

اجازه دهید لم را ثابت کنیم:نیرویی که در هر نقطه از جسم صلب وارد می شود معادل همان نیرویی است که در هر نقطه دیگر از این جسم وارد می شود و یک جفت نیرو که ممان آن برابر است با ممان این نیرو نسبت به نقطه اعمال جدید. .اجازه دهید نیروی F در نقطه A یک جسم صلب اعمال شود (شکل 4.1). اکنون در نقطه B جسم، سیستمی متشکل از دو نیروی F "و F²-، معادل صفر اعمال می کنیم، و F" = F را انتخاب می کنیم (از این رو، F "= - F). سپس نیروی F ~ (F, F) را انتخاب می کنیم. "، F")، زیرا (F "، F") ~ 0. اما، از طرف دیگر، سیستم نیروها (F, F ", F") معادل نیروی F "و یک جفت نیرو است ( F, F")؛ بنابراین، نیروی F معادل نیروی F "و جفت نیرو (F, F") است. گشتاور جفت (F, F") برابر است با M = M (F, F). ") = BAxF، یعنی برابر با ممان نیروی F نسبت به نقطه BM = MB (F) بنابراین، لم انتقال نیرو موازی ثابت می شود.

قضیه اساسی استاتیک

اجازه دهید یک سیستم دلخواه از نیروها (F 1، F 2، ...، F n) داده شود. مجموع این نیروها F = åF k بردار اصلی سیستم نیروها نامیده می شود. مجموع گشتاورهای نیروها نسبت به هر قطب را ممان اصلی سیستم نیروهای در نظر گرفته شده نسبت به این قطب می گویند.

قضیه اصلی استاتیک (قضیه پوینسو ):هر سیستم فضایی نیرو در حالت کلی را می توان با یک سیستم معادل متشکل از یک نیروی اعمال شده در نقطه ای از بدن (مرکز مرجع) و برابر با بردار اصلی سیستم داده شده نیرو و یک جفت نیرو جایگزین کرد. که ممان آن برابر است با ممان اصلی تمام نیروها نسبت به مرکز مرجع انتخاب شده.فرض کنید О مرکز مرجع در نظر گرفته شده به عنوان مبدأ مختصات، r 1، r 2، r 3، ...، rn بردارهای شعاع متناظر نقاط اعمال نیروهای F 1، F 2، F 3 هستند، ...، F n که نیروهای این سیستم را تشکیل می دهند (شکل 4.2، a). اجازه دهید نیروهای F 1, F a, F 3, ..., F n را به نقطه O منتقل کنیم. یک نیرو دریافت می کنیم: F о = F 1 + F 2 +… + F n = åF k که برابر است با بردار اصلی (شکل 4.2، b). اما با انتقال متوالی نیروهای F 1، F 2، ...، F n به نقطه O، هر بار جفت نیرو مربوطه را بدست می آوریم (F 1، F "1)، (F 2، F" 2)، ...، ( F n, F "n) ممان این جفت ها به ترتیب برابر ممان این نیروها نسبت به نقطه O است: M 1 = M (F 1, F” 1) = r 1 x F 1 = M o (F 1)، M 2 = M (F 2، F "2) = r 2 x F 2 = M در مورد (F 2)، ...، M p = M (F n، F" n ) = rnx F n = M در حدود (F n). بر اساس قانون کاهش سیستم جفت به ساده ترین شکل، تمام جفت های نشان داده شده را می توان با یک جفت جایگزین کرد. ممان آن برابر است با مجموع گشتاورهای تمام نیروهای سیستم نسبت به نقطه O، یعنی برابر است با ممان اصلی، زیرا طبق فرمول های (3.18) و (4.1) داریم (شکل 4.2، ج) M 0 = M 1 + M 2 + .. . + М n = М о (F 1) + М о (F 2) + ... + М о (F n) == åМ о (F k) = år kx F k. سیستم نیروها که به طور دلخواه در فضا قرار گرفته اند، می توانند در یک مرکز مرجع که به طور دلخواه انتخاب شده است با نیروی F o = åF k (4.2) و یک جفت نیرو با ممان M 0 = åM 0 (F k) = år جایگزین شود. kx F k. (4.3). در تکنیک، اغلب آسان تر است که نه قدرت یا جفت، بلکه لحظات آنها را تنظیم کنید. برای مثال، مشخصه یک موتور الکتریکی شامل نیرویی که استاتور بر روی روتور وارد می کند نیست، بلکه شامل گشتاور می شود.

شرایط تعادل برای سیستم فضایی نیروها

قضیه.برای تعادل سیستم فضایی نیروها لازم و کافی است که بردار اصلی و نکته اصلیاین سیستم صفر بود. کفایت: هنگامی که F o = 0، سیستم نیروهای همگرا اعمال شده در مرکز کاهش O معادل صفر است و زمانی که Mo = 0، سیستم جفت نیروها معادل صفر است. بنابراین، سیستم اصلی نیروها معادل صفر است. نیاز:اجازه دهید سیستم داده شده از نیروها معادل صفر باشد. با رساندن سیستم به دو نیرو، توجه می کنیم که سیستم نیروهای Q و P (شکل 4.4) باید معادل صفر باشد، بنابراین، این دو نیرو باید یک خط عمل مشترک داشته باشند و برابری Q = –R باید برآورده شود. . اما این می تواند در صورتی باشد که خط عمل نیروی P از نقطه O عبور کند، یعنی اگر h = 0 باشد. این بدان معنی است که ممان اصلی صفر است (M o = 0). زیرا Q + P = 0، a Q = F o + P "، سپس F o + P" + P = 0، و در نتیجه، F o = 0. شرایط لازم و کافی برابر است با سیستم فضایی نیروهای آنها. فرم: F o = 0، M o = 0 (4.15)،

یا در پیش بینی ها روی محورهای مختصات، Fox = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx = 0; F Oy = åF ky = F 1y + F 2y + ... + F ny = 0; F oz = åF kz = F 1z + F 2z +… + F nz = 0 (4.16). M Ox = åM Ox (F k) = M Ox (F 1) + M ox (F 2) + ... + M Ox (F n) = 0, M Oy = åM Oy (F k) = M oy ( F 1) + M oy (F 2) + ... + M oy (F n) = 0، M oz = åM Oz (F k) = M Oz (F 1) + M oz (F 2) + .. . + M oz (F n) = 0. (4.17)

که هنگام حل مسائل، با داشتن 6 سطح، می توانید 6 مجهول پیدا کنید. نکته: یک جفت نیرو را نمی توان به یک نتیجه کاهش داد.موارد خاص: 1) تعادل سیستم فضایی نیروهای موازی. اجازه دهید محور Z موازی با خطوط عمل نیرو باشد (شکل 4.6)، سپس پیش بینی نیروها بر روی x و y 0 است (F kx = 0 و F ky = 0)، و فقط F oz باقی می ماند. در مورد لحظه ها فقط M ox و M oy باقی می مانند و M oz غایب است. 2) تعادل سیستم هواپیمای نیروها. ur-I F ox، F oy و لحظه M oz باقی می مانند (شکل 4.7). 3) تعادل سیستم صفحه ای از نیروهای موازی. (شکل 4.8). فقط 2 ur-I باقی می ماند: F oy و M oz. هنگام ایجاد تعادل ur-th، هر نقطه ای را می توان برای مرکز شبح انتخاب کرد.

کاهش یک سیستم مسطح نیروها به ساده ترین شکل آن

سیستمی از نیروها (F 1، F 2، ...، F n) را در یک صفحه در نظر بگیرید. اجازه دهید سیستم مختصات Oxy را با صفحه مکان نیروها ترکیب کنیم و با انتخاب مبدا آن به عنوان مرکز مرجع، سیستم نیروهای مورد نظر را به یک نیروی F 0 = åF k، (5.1) برابر با بردار اصلی کاهش دهیم. و به یک جفت نیرو که ممان آن برابر با ممان اصلی M 0 = åM 0 (F k)، (5.2) است که در آن M o (F k) گشتاور نیروی F k نسبت به مرکز است. مرجع O. از آنجایی که نیروها در یک صفحه قرار دارند، نیروی F o نیز در این صفحه قرار دارد. گشتاور جفت M o عمود بر این صفحه است، زیرا خود جفت به عمل نیروهای مورد نظر تقسیم می شود. بنابراین، برای یک سیستم صفحه ای از نیروها، بردار اصلی و ممان اصلی همیشه بر یکدیگر عمود هستند (شکل 5.1). لحظه به طور کامل با مقدار جبری M z، برابر با حاصل ضرب شانه جفت با مقدار یکی از نیروهایی که جفت را تشکیل می دهند، با علامت مثبت گرفته می شود، اگر "چرخش" جفت در خلاف جهت عقربه های ساعت اتفاق بیفتد، و با علامت منفی، اگر فلش های جهت عقربه های ساعت رخ دهد. به عنوان مثال، اجازه دهید دو جفت، (F 1, F` 1) و (F 2, F` 2) داده شود (شکل 5.2). سپس، طبق این تعریف، M z (F 1, F` 1) = h 1 F 1، MZ (F 2, F "2) = - h 2 F 2 داریم. گشتاور نیرو نسبت به یک نقطه برابر است با یک کمیت جبری برابر با طرح نیروهای بردار گشتاور نسبت به این نقطه روی یک محور عمود بر صفحه، یعنی برابر با حاصل ضرب مدول نیرو در هر شانه، با علامت مربوطه گرفته شده است. برای موارد نشان داده شده در شکل 5.3. , a و b به ترتیب M oz (F 1) = hF 1 , M oz (F 2) = - hF 2 (5.4) خواهد بود.شاخص z در فرمول های (5.3) و (5.4) به منظور حفظ می شود. جبری بودن ممان ها را نشان می دهد مدول ممان یک جفت و ممان نیرو به صورت زیر نشان داده می شود: М (F , F ") = | М z (F, F`) |, М о (F) = | М Оz (F) |. ما M oz = åM oz (F z) بدست می آوریم. برای تعیین تحلیلی بردار اصلی، از فرمول های زیر استفاده می شود: F ox = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx، F oy = åF ky = F 1y، + F 2y +… + F ny، F o = (F 2 ox + F 2 oy) 1/2 = ([åF kx] 2 + [åF ky] 2) 1/2 (5.8); cos (x، F o) = F ox / F o، cos (y، F o) = F Oy / F o. (5.9). و گشتاور اصلی M Оz = åM Oz (F k) = å (x k F ky –y k F kx)، (5.10) است که x k، y k مختصات نقطه اعمال نیروی F k هستند.

اجازه دهید ثابت کنیم که اگر بردار اصلی یک سیستم صفحه ای از نیروها برابر با صفر نباشد، آنگاه سیستم نیروها معادل یک نیرو است، یعنی به نتیجه کاهش می یابد. بگذارید Fo ≠ 0، MOz ≠ 0 (شکل 5.4، a). فلش قوس در شکل. 5.4، اما به طور نمادین یک زوج را با لحظه MOz به تصویر می کشد. یک جفت نیرو که ممان آن برابر با ممان اصلی است، به صورت دو نیروی F1 و F`1 برابر با بردار اصلی Fo را نشان می دهیم، یعنی F1 = F`1 = Fo. در این حالت، یکی از نیروهای (F`1) را که جفت را تشکیل می دهد به مرکز کاهش اعمال می کنیم و آن را در جهت مخالف جهت نیروی Fo هدایت می کنیم (شکل 5.4، b). سپس سیستم نیروهای Fo و F`1 معادل صفر است و قابل رد است. بنابراین، سیستم داده شده از نیروها معادل یک نیروی منفرد F1 است که به نقطه 01 اعمال می شود. این نیرو نتیجه است. حاصل با حرف R نشان داده می شود، یعنی. F1 = R. بدیهی است که فاصله h از مرکز کاهش قبلی O تا خط عمل حاصل را می توان از شرط | MOz | = hF1 = hFo، یعنی. h = | MOz | / Fo. فاصله h باید از نقطه O به تعویق بیفتد تا ممان جفت نیرو (F1, F`1) با گشتاور اصلی MOz منطبق شود (شکل 5.4، b). در نتیجه کاهش سیستم نیروها به یک مرکز معین، موارد زیر ممکن است رخ دهد: (1) Fo ≠ 0، MOz ≠ 0. در این حالت، سیستم نیروها را می توان به یک نیرو (نتیجه) کاهش داد. نشان داده شده در شکل 5.4، c. (2) Fo ≠ 0، MOz = 0. در این حالت، سیستم نیروها به یک نیرو (نتیجه) کاهش می یابد که از مرکز مرجع داده شده عبور می کند. (3) Fo = 0، MOz ≠ 0. در این حالت سیستم نیروها معادل یک جفت نیرو است. (4) Fo = 0، MOz = 0. در این حالت، سیستم نیروهای در نظر گرفته شده معادل صفر است، یعنی نیروهایی که سیستم را تشکیل می دهند متقابل هستند.

قضیه واریگنون

قضیه واریگنون اگر سیستم مسطح نیروها در نظر گرفته شده به یک نتیجه تقلیل یابد، آنگاه گشتاور این برآیند نسبت به هر نقطه برابر است با مجموع جبری گشتاورهای تمام نیروهای سیستم داده شده نسبت به همان نقطه.فرض کنید که سیستم نیروها به نتیجه R که از نقطه O می گذرد تقلیل می یابد. اکنون نقطه O 1 دیگری را به عنوان مرکز کاهش در نظر می گیریم. گشتاور اصلی (5.5) نسبت به این نقطه برابر است با مجموع گشتاورهای همه نیروها: M O1Z = åM o1z (F k) (5.11). از طرف دیگر، ما M O1Z = M Olz (R)، (5.12) داریم زیرا گشتاور اصلی مرکز کاهش O برابر با صفر است (M Oz = 0). با مقایسه روابط (5.11) و (5.12)، M O1z (R) = åM OlZ (F k) را به دست می آوریم. (5.13) h.t.d. با استفاده از قضیه Varignon می توان معادله خط عمل حاصل را پیدا کرد. اجازه دهید R 1 حاصل در نقطه ای O 1 با مختصات x و y اعمال شود (شکل 5.5) و بردار اصلی F o و گشتاور اصلی M Oya در مرکز مرجع در مبدا شناخته می شوند. از آنجایی که R 1 = F o، اجزای حاصل در امتداد محور x و y برابر است با R lx = F Ox = F Ox i و R ly = F Oy = F oy j. با توجه به قضیه Varignon، گشتاور حاصل نسبت به مبدأ برابر است با ممان اصلی در مرکز مرجع در مبدا، یعنی Moz = M Oz (R 1) = xF Oy –yF Ox. (5.14). مقادیر M Oz، F Ox و F oy هنگامی که نقطه اعمال حاصل در امتداد خط عمل آن منتقل می شود، تغییر نمی کند، بنابراین، مختصات x و y در معادله (5.14) را می توان به عنوان مختصات فعلی مشاهده کرد. از خط عمل حاصل. بنابراین، معادله (5.14) معادله خط عمل حاصل است. برای F ox ≠ 0، می توان آن را به صورت y = (F oy / F ox) x– (M oz / F ox) بازنویسی کرد.

شرایط تعادل برای سیستم هواپیمای نیروها

شرط لازم و کافی برای تعادل سیستم نیروها برابری بر صفر بردار اصلی و ممان اصلی است. برای یک سیستم صفحه ای از نیروها، این شرایط به شکل F o = åF k = 0، M Oz = åM oz (F k) = 0، (5.15)، که در آن O یک نقطه دلخواه در صفحه عمل نیروها است. . دریافت می کنیم: F ox = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx = 0، P ox = åF ky = F 1y + F 2y +… + F ny = 0، М Оz = åM Oz (F k) = M oz (F 1) + M oz (F 2) + ... + M oz (F n) = 0، i.e. برای تعادل یک سیستم سطحی نیروها، لازم و کافی است که مجموع جبری پیش بینی همه نیروها روی دو محور مختصات و مجموع جبری گشتاورهای همه نیروها نسبت به یک نقطه دلخواه برابر با صفر باشد. شکل دوم معادله تعادل برابری با صفر مجموع جبری گشتاورهای همه نیروها نسبت به هر سه نقطه ای است که روی یک خط مستقیم قرار ندارند.; åM Az (F k) = 0، åM Bz (F k) = 0، åM Cz (F k) = 0، (5.17)، که در آن A، B و C نقاط نشان داده شده هستند. نیاز به ارضای این برابری ها از شرایط (5.15) ناشی می شود. بیایید کفایت آنها را ثابت کنیم. فرض کنید که همه برابری ها (5.17) برآورده می شوند. تساوی صفر لحظه اصلی در مرکز مرجع در نقطه A ممکن است، یا اگر سیستم به نتیجه کاهش یابد (R≠ 0) و خط عمل آن از نقطه A عبور کند، یا R = 0. به طور مشابه، برابری صفر ممان اصلی با توجه به نقاط B و C به این معنی است که R≠ 0 و حاصل از هر دو نقطه عبور می کنند، یا R = 0. اما حاصل نمی تواند از هر سه نقطه A، B و C عبور کند (به شرطی که روی یک خط مستقیم قرار نگیرند). در نتیجه، تساوی (5.17) فقط برای R = 0 امکان پذیر است، یعنی سیستم نیروها در تعادل است. توجه داشته باشید که اگر نقاط A، B و C روی یک خط مستقیم قرار گیرند، تحقق شرایط (5.17) شرط کافی برای تعادل نخواهد بود، - در این حالت، سیستم را می توان به یک نتیجه، خط عمل کاهش داد. که از این نقاط می گذرد.

شکل سوم معادلات تعادل برای سیستم هواپیمای نیروها

شکل سوم معادلات تعادل برای یک سیستم هواپیمای نیروها برابری به صفر مجموع جبری گشتاورهای تمام نیروهای سیستم نسبت به هر دو نقطه و برابری صفر مجموع جبری پیش بینی همه نیروها است. سیستم بر روی محوری که عمود بر خط مستقیمی که از دو نقطه انتخاب شده می گذرد نیست. åМ Аz (F k) = 0، åМ Bz (F k) = 0، åF kx = 0 (5.18) (محور x عمود بر پاره A В نیست) ضرورت این برابری ها برای موازنه نیروها مستقیماً از شرایط (5.15) پیروی می کند. بیایید مطمئن شویم که تحقق این شرایط برای تعادل قوا کافی است. از دو برابر اول، مانند مورد قبلی، چنین بر می آید که اگر سیستم نیروها دارای نتیجه باشد، خط عمل آن از نقاط A و B می گذرد (شکل 5.7). سپس برآمده بر روی محور x که بر پاره AB عمود نیست، غیر صفر خواهد بود. اما این احتمال توسط معادله سوم (5.18) منتفی است زیرا R x = åF hx). در نتیجه، حاصل باید برابر با صفر باشد و سیستم در حالت تعادل باشد. اگر محور x بر پاره AB عمود باشد، معادلات (18/5) شرایط تعادل کافی نخواهند داشت، زیرا در این حالت سیستم می تواند نتیجه ای داشته باشد که خط عمل آن از نقاط A و B می گذرد. ​​بنابراین، سیستم معادلات تعادل می تواند شامل یک معادله گشتاور و دو معادله برآمدگی، یا دو معادله گشتاور و یک معادله برآمدگی، یا سه معادله گشتاور باشد. بگذارید خطوط عمل همه نیروها با محور y موازی باشند (شکل 4.8). سپس معادلات تعادل برای سیستم نیروهای موازی در نظر گرفته شده åF ky = 0، åM Oz (F k) = 0 خواهد بود. (5.19). åM Az (F k) = 0، åM Bz (F k) = 0، (5.20) و نقاط A و B نباید روی یک خط مستقیم موازی با محور y قرار بگیرند. سیستم نیروهای وارد بر یک جسم صلب می تواند هم از نیروهای متمرکز (منزوی) و هم از نیروهای توزیع شده تشکیل شده باشد. بین نیروهای توزیع شده در طول خط، در امتداد سطح و بیش از حجم بدن تمایز قائل شوید.

تعادل بدن در حضور اصطکاک لغزشی

اگر دو جسم I و II (شکل 6.1) با یکدیگر تعامل داشته باشند و در نقطه A تماس داشته باشند، همیشه واکنش RA که مثلاً از سمت بدن II عمل می کند و روی بدن I اعمال می شود، می تواند به دو جزء تجزیه شود. : NA که در امتداد نرمال مشترک به سطح اجسام در تماس در نقطه A و T A که در صفحه مماس قرار دارند هدایت می شود. جزء N A واکنش عادی نامیده می شود، نیروی T A نیروی اصطکاک لغزشی نامیده می شود - از لغزش جسم I بر روی جسم II جلوگیری می کند. مطابق با اصل 4 (قانون سوم نیوتن)، جسم II از سمت جسم I توسط نیروی عکس العملی برابر با قدر و جهت مخالف عمل می کند. جزء آن عمود بر صفحه مماس نیروی فشار عادی نامیده می شود. اگر سطوح تماس کاملاً صاف باشند، نیروی اصطکاک T A = 0. در شرایط واقعی، سطوح ناهموار هستند و در بسیاری از موارد نمی توان از نیروی اصطکاک چشم پوشی کرد. حداکثر نیروی اصطکاک تقریباً متناسب با فشار معمولی است، یعنی T max = fN. (6.3) - قانون آمونتون-کولن. ضریب f را ضریب اصطکاک لغزشی می گویند. مقدار آن به مساحت سطوح تماس بستگی ندارد، بلکه به مواد و درجه زبری سطوح در تماس بستگی دارد. نیروی اصطکاک را می توان با f-le T = fN فقط در صورت وجود یک مورد بحرانی محاسبه کرد. در موارد دیگر، نیروی اصطکاک باید از ur-th برابر تعیین شود. شکل واکنش R را نشان می دهد (در اینجا نیروهای فعال تمایل دارند بدن را به سمت راست حرکت دهند). زاویه j بین واکنش محدود کننده R و حالت عادی به سطح را زاویه اصطکاک می گویند. tgj = T max / N = f.

مکان تمام جهات ممکن واکنش محدود کننده R یک سطح مخروطی - یک مخروط اصطکاک را تشکیل می دهد (شکل 6.6، ب). اگر ضریب اصطکاک f در همه جهات یکسان باشد، مخروط اصطکاک دایره ای خواهد بود. در مواردی که ضریب اصطکاک f به جهت حرکت احتمالی جسم بستگی دارد، مخروط اصطکاک دایره ای نخواهد بود. اگر حاصل نیروهای فعال. در داخل مخروط اصطکاک قرار دارد، سپس با افزایش مدول آن، تعادل بدن را نمی توان به هم زد. برای اینکه جسم شروع به حرکت کند، لازم است (و کافی است) که حاصل نیروهای فعال F خارج از مخروط اصطکاک باشد. اصطکاک اجسام قابل انعطاف را در نظر بگیرید (شکل 6.8). فرمول اویلر به یافتن کوچکترین نیروی P که قادر به متعادل کردن نیروی Q است کمک می کند. P = Qe -fj *. شما همچنین می توانید چنین نیروی P را پیدا کنید که بتواند بر مقاومت اصطکاکی همراه با نیروی Q غلبه کند. در این حالت، فقط علامت f در فرمول اویلر تغییر می کند: P = Qe fj *.

تعادل بدن در حضور اصطکاک غلتشی

یک استوانه (غلتک) را در نظر بگیرید که روی یک صفحه افقی قرار دارد، زمانی که یک نیروی فعال افقی S بر روی آن وارد می شود. علاوه بر آن، نیروی گرانش P، ​​و همچنین واکنش عادی N و نیروی اصطکاک T نیز عمل می کند (شکل 6.10، a). با مدول نیروی S به اندازه کافی کوچک، سیلندر در حالت استراحت باقی می ماند. اما اگر با معرفی نیروهای نشان داده شده در شکل راضی باشد این واقعیت قابل توضیح نیست. 6.10، الف. طبق این طرح، تعادل غیرممکن است، زیرا لحظه اصلی تمام نیروهای وارد بر سیلندر М Сz = –Sr غیر صفر است و یکی از شرایط تعادل برآورده نمی شود. دلیل این اختلاف در این واقعیت نهفته است که ما این جسم را کاملاً جامد تصور می کنیم و فرض می کنیم که استوانه با سطح در امتداد ژنراتیکس تماس دارد. برای از بین بردن اختلاف ذکر شده بین تئوری و آزمایش، لازم است که فرضیه یک جسم کاملاً صلب را کنار بگذاریم و در نظر بگیریم که در واقع استوانه و صفحه نزدیک به نقطه C تغییر شکل داده اند و یک ناحیه تماس محدود وجود دارد. عرض در نتیجه، در سمت راست آن، سیلندر با شدت بیشتری نسبت به سمت چپ فشرده می شود و واکنش کامل R در سمت راست نقطه C اعمال می شود (نقطه C 1 را در شکل 6.10، b ببینید). طرح حاصل از نیروهای عمل کننده از نظر استاتیکی رضایت بخش است، زیرا گشتاور جفت (S, T) را می توان با لحظه جفت (N, P) متعادل کرد. برخلاف طرح اول (شکل 6.10، a)، یک جفت نیرو با ممان М T = Nh (6.11) به سیلندر اعمال می شود. این لحظه را ممان اصطکاکی غلتشی می نامند. h = Sr / که h فاصله C تا C 1 است. (6.13). با افزایش مدول نیروی فعال S، فاصله h افزایش می یابد. اما این فاصله مربوط به سطح تماس است و بنابراین نمی تواند به طور نامحدود افزایش یابد. این بدان معناست که وقتی افزایش نیروی S منجر به عدم تعادل شود، حالتی ایجاد می شود. اجازه دهید حداکثر مقدار ممکن h را با حرف d نشان دهیم. مقدار d متناسب با شعاع سیلندر است و برای مواد مختلف متفاوت است. بنابراین، اگر تعادل برقرار شود، آنگاه شرط تحقق می یابد: h<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде М т <=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения M T max =dN пропорционален силе нормального давления.

مرکز نیروهای موازی

شرایط کاهش سیستم نیروهای موازی به نتیجه به یک نابرابری F ≠ 0 کاهش می یابد. اگر نقاط اعمال این نیروها بدون تغییر باقی بمانند و چرخش خطوط عمل نیروها حول محورهای موازی اتفاق بیفتد وقتی خطوط عمل این نیروهای موازی به طور همزمان با یک زاویه بچرخند چه اتفاقی برای R حاصل می افتد. در این شرایط، برآیند یک سیستم معین از نیروها نیز به طور همزمان با همان زاویه می چرخد ​​و چرخش حول نقطه ای ثابت که مرکز نیروهای موازی نامیده می شود، رخ می دهد. اجازه دهید به اثبات این گفته بپردازیم. فرض کنید برای سیستم در نظر گرفته شده از نیروهای موازی F 1، F 2، ...، F n، بردار اصلی برابر با صفر نباشد، بنابراین، این سیستم نیروها به نتیجه کاهش می یابد. نقطه О 1 هر نقطه از خط عمل این نتیجه باشد. اکنون r بردار شعاع نقطه 0 1 نسبت به قطب انتخاب شده O است و r k بردار شعاع نقطه اعمال نیروی F k است (شکل 8.1). بر اساس قضیه وارینیون، مجموع گشتاورهای تمام نیروهای سیستم نسبت به نقطه 0 1 برابر با صفر است: å (r k –r) xF k = 0، یعنی år k xF k –årxF k = år k xF k –råF k = 0. ما یک واحد بردار e را معرفی می کنیم، سپس هر نیروی F k را می توان به شکل F k = F * ke نشان داد (که در آن F * k = F h، اگر جهت نیروی F h و بردار e منطبق باشند، و F * k = –F h، اگر F k و e مخالف یکدیگر باشند). åF k = eåF * k. دریافت می کنیم: år k xF * k e – rxeåF * k = 0، از آنجا [år k F * k –råF * k] xe = 0. آخرین برابری برای هر جهت نیروها (یعنی جهت بردار واحد e) فقط در شرایطی برآورده می شود که اولین عامل صفر باشد: år k F * k –råF * k = 0. این دره با توجه به بردار شعاع r دارای راه حل منحصر به فردی است که نقطه اعمال برآیند را مشخص می کند که با چرخش خطوط عمل نیروها موقعیت خود را تغییر نمی دهد. این نقطه مرکز نیروهای موازی است. نشان دادن بردار شعاع مرکز نیروهای موازی از طریق rc: rc = (år k F * k) / (åF * k) = (r 1 F * 1 + r 2 F * 2 + ... + rn F * n ) / (F * 1 + F * 2 + ... + F * n). فرض کنید x c، y c، z c - مختصات مرکز نیروهای موازی، a x k، y k، z k - مختصات نقطه اعمال یک نیروی دلخواه F k. سپس مختصات مرکز نیروهای موازی را می توان از فرمول ها پیدا کرد:

xc = (xk F * k) / (F * k) = (x 1 F * 1 + x 2 F * 2 +… + xn F * n) / (F * 1 + F * 2 +… + F * n ، yc = (yk F * k) / (F * k) =

= (y 1 F * 1 + y 2 F * 2 +… + y n F * n) / (F * 1 + F * 2 +… + F * n)، z c =

= (z k F * k) / (åF * k) = (z 1 F * 1 + z 2 F * 2 +… + z n F * n) / (F * 1 + F * 2 +… + F * n)

عبارات x k F * k، y k F * k، z k F * k به ترتیب نسبت به صفحات مختصات yOz، xOz، xOy، گشتاورهای ساکن یک سیستم معین نیرو نامیده می شوند. اگر مبدأ مختصات در مرکز نیروهای موازی انتخاب شود، آنگاه x c = y c = z c = 0، و گشتاورهای ساکن سیستم داده شده نیرو برابر با صفر است.

مرکز ثقل

بدنه ای با شکل دلخواه، واقع در میدان گرانش، می تواند توسط بخش های موازی با صفحات مختصات به حجم های اولیه تقسیم شود (شکل 8.2). اگر اندازه جسم را در مقایسه با شعاع زمین نادیده بگیریم، نیروهای گرانشی وارد بر هر حجم اولیه را می توان موازی با یکدیگر در نظر گرفت. ما با DV k حجم یک متوازی الاضلاع ابتدایی را که در مرکز نقطه M k قرار دارد (نگاه کنید به شکل 8.2) و نیروی گرانش وارد بر این عنصر را با DP k نشان می دهیم. سپس میانگین وزن مخصوص یک عنصر حجمی نسبت DP k / DV k نامیده می شود. با انقباض متوازی الاضلاع به نقطه М k، وزن مخصوص را در یک نقطه معین از بدن به عنوان حد وزن مخصوص متوسط ​​g (x k, y k, z k) = lim DVk®0 (8.10) بدست می آوریم. بنابراین، وزن مخصوص تابعی از مختصات است، یعنی. g = g (x، y، z). فرض می کنیم که همراه با ویژگی های هندسی جسم، وزن مخصوص در هر نقطه از بدن نیز آورده شده است. بیایید به تقسیم بدن به حجم های ابتدایی برگردیم. اگر حجم آن عناصری را که در سطح بدن قرار دارند حذف کنیم، می توانید یک بدن پلکانی، متشکل از مجموعه ای از متوازی الاضلاع بدست آورید. ما به مرکز هر متوازی الاضلاع نیروی گرانش DP k = g k DV k را اعمال می کنیم، که در آن g h وزن مخصوص در نقطه ای از بدن است که با مرکز متوازی الاضلاع منطبق است. برای سیستمی متشکل از n نیروی گرانش موازی که به این ترتیب تشکیل شده است، می توان مرکز نیروهای موازی r (n) = (år k DP k) / (åDP k) = (r 1 DP 1 + r 2 DP 2 +… + rn DP n) / (DP 1 + DP 2 +… + DP n). این فرمول موقعیت یک نقطه C n را تعیین می کند. مرکز ثقل نقطه ای است که نقطه محدودی برای نقاط C n در ®µ است.