وقتی آمار از اصول بیزی منحرف شد، یک آماردان و زیست شناس انگلیسی به نام رونالد ایملر (R.A.) فیشر مسلماً رقیب فکری اصلی توماس بیز بود، علی رغم این واقعیت که او در سال 1890، تقریباً 120 سال پس از مرگش به دنیا آمد. او نشان داد

ریاضیات در مورد سرنوشت قطعیت چه چیزی در علم ارزش بیشتری دارد؟ ظاهرا، این واقعیت است که او می تواند آینده را پیش بینی کند. بر این اساس است که بیشتر مردم «علم» را از «غیرعلم» جدا می کنند. اگر بگویید: "ممکن است به این صورت باشد، اگرچه ممکن است متفاوت باشد"، بر شما وارد می شود

نظریه های چادایف میسون. نویسنده فرانسوی زبان. او سیصد صفحه نوشت که سی صفحه چاپ شد که بسیاری از آنها ده صفحه را خوانده اند. که ده صفحه آن مشکوک به روسوفوبیا است. مجازات شد. " چیزی شبیه یک یادداشت وجود داشت، گویی انحراف از موضوع گفتار:

رویدادها شکل می گیرند گروه کاملاگر حداقل یکی از آنها لزوماً در نتیجه آزمایش رخ دهد و به صورت جفتی ناسازگار باشند.

فرض کنید رویداد آمی تواند تنها همراه با یکی از چندین رویداد ناسازگار جفتی که یک گروه کامل را تشکیل می دهد رخ دهد. ما رویدادها ( من= 1, 2,…, n) فرضیه هاتجربه اضافی (پیشینی). احتمال وقوع رویداد A با فرمول تعیین می شود احتمال کامل :

مثال 16.سه کوزه وجود دارد. کوزه اول شامل 5 توپ سفید و 3 توپ سیاه، دومی شامل 4 توپ سفید و 4 توپ سیاه و سومی حاوی 8 توپ سفید است. یکی از urn ها به صورت تصادفی انتخاب می شود (این می تواند به این معنی باشد که مثلاً از یک کوزه کمکی انتخاب می شود که در آن سه توپ با شماره های 1، 2 و 3 وجود دارد). یک توپ از این کوزه به طور تصادفی کشیده می شود. احتمال اینکه معلوم شود سیاه پوست است چقدر است؟

راه حل.رویداد آ- توپ سیاه حذف می شود. اگر می دانستیم که توپ از کدام کوزه کشیده شده است، می توان احتمال مورد نظر را طبق تعریف کلاسیک احتمال محاسبه کرد. اجازه دهید فرضیات (فرضیه) را در مورد اینکه کدام کوزه برای استخراج توپ انتخاب شده است، معرفی کنیم.

توپ را می توان از اولین کوزه (فرضیه) یا از دومی (فرضیه) یا از سوم (فرضیه) استخراج کرد. از آنجایی که شانس یکسانی برای انتخاب هر یک از کوزه ها وجود دارد، پس.

از این رو نتیجه می شود که

مثال 17.لامپ های برقی در سه کارخانه تولید می شوند. کارخانه اول 30٪ از تعداد کل لامپ های الکتریکی را تولید می کند، دوم - 25٪.
و سومی بقیه است. محصولات گیاه اول حاوی 1٪ لامپ معیوب است، دوم - 1.5٪، سوم - 2٪. این فروشگاه محصولات هر سه کارخانه را دریافت می کند. احتمال معیوب بودن لامپ خریداری شده در فروشگاه چقدر است؟

راه حل.در مورد اینکه لامپ در کدام کارخانه تولید شده است، باید فرضیاتی ایجاد شود. با دانستن این موضوع، می‌توانیم این احتمال را پیدا کنیم که او معیوب است. اجازه دهید نماد رویدادها را معرفی کنیم: آ- لامپ خریداری شده معیوب است - لامپ توسط کارخانه اول ساخته شده است - لامپ توسط کارخانه دوم ساخته شده است.
- لامپ توسط کارخانه سوم تولید می شود.

احتمال مورد نیاز با فرمول احتمال کل پیدا می شود:

فرمول بیز اجازه دهید یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار جفتی (فرضیه ها) باشد. آ– رویداد تصادفی... سپس،

آخرین فرمول، که امکان تخمین بیش از حد احتمالات فرضیه ها را پس از مشخص شدن نتیجه آزمون، که در نتیجه آن رویداد A ظاهر شد، ممکن می سازد، نامیده می شود. فرمول بیز .

مثال 18.به طور متوسط ​​50 درصد از بیماران مبتلا به این بیماری در بیمارستان های تخصصی بستری می شوند به، 30٪ - با بیماری L, 20 % –
با بیماری م... احتمال درمان کامل بیماری کبرای بیماری ها برابر با 0.7 است Lو ماین احتمالات به ترتیب 0.8 و 0.9 هستند. بیمار که در بیمارستان بستری شده بود سالم ترخیص شد. این احتمال را پیدا کنید که این بیمار یک بیماری پزشکی داشته است ک.

راه حل.بیایید فرضیه هایی را معرفی کنیم: - بیمار از یک بیماری رنج می برد به L، - بیمار از بیماری رنج می برد م.

سپس، با شرط مشکل، ما داریم. بیایید یک رویداد را معرفی کنیم آ-بیماری که در بیمارستان بستری شده بود سالم ترخیص شد. با شرط

با فرمول احتمال کل به دست می آوریم:

طبق فرمول بیز.

مثال 19.بگذارید پنج توپ در کوزه وجود داشته باشد و همه فرضیات در مورد تعداد توپ های سفید به همان اندازه امکان پذیر است. یک توپ به طور تصادفی از کوزه برداشته شد، معلوم شد که سفید است. محتمل ترین فرض در مورد ترکیب اولیه کوزه چیست؟

راه حل.اجازه دهید این فرضیه وجود داشته باشد که گوی های سفید در کوزه وجود دارد، یعنی می توان شش فرض را مطرح کرد. سپس، با شرط مشکل، ما داریم.

بیایید یک رویداد را معرفی کنیم آ- توپی که به طور تصادفی گرفته می شود سفید است. بیایید محاسبه کنیم. از آنجایی که با فرمول بیز داریم:

بنابراین محتمل ترین فرضیه این است که

مثال 20.دو مورد از سه عنصر عملکرد مستقل دستگاه محاسباتی شکست خوردند. در صورتی که احتمال شکست عناصر اول، دوم و سوم به ترتیب برابر با 0.2 باشد، احتمال شکست عنصر اول و دوم را بیابید. 0.4 و 0.3.

راه حل.اجازه دهید با نشان دادن آرویداد - دو عنصر ناموفق بود. فرضیه های زیر را می توان مطرح کرد:

- عناصر اول و دوم شکست خورده اند و عنصر سوم عملیاتی است. از آنجایی که عناصر به طور مستقل کار می کنند، قضیه ضرب اعمال می شود:.

از آنجایی که تحت فرضیه ها رویداد آقابل اعتماد است، پس احتمالات مشروط مربوطه برابر با یک است:.

طبق فرمول احتمال کل:

با توجه به فرمول بیز، احتمالی که عنصر اول و دوم شکست خورده است.

هدف کار:برای شکل دادن مهارت های حل مسائل در نظریه احتمال با استفاده از فرمول احتمال کل و فرمول بیز.

فرمول احتمال کل

احتمال رویداد آ، که فقط در صورت ظاهر شدن یکی از رویدادهای ناسازگار می تواند رخ دهد B x، B 2، ...، B p،تشکیل یک گروه کامل، برابر است با مجموع حاصل ضرب احتمالات هر یک از این رویدادها با احتمال مشروط مربوط به رویداد A:

این فرمول نامیده می شود فرمول احتمال کل

احتمال فرضیه ها. فرمول بیز

اجازه دهید رویداد آممکن است در صورت وقوع یکی از رویدادهای ناسازگار رخ دهد B b B 2, ..., B p,تشکیل یک گروه کامل از آنجایی که از قبل معلوم نیست کدام یک از این رویدادها رخ خواهد داد، به آنها فرضیه می گویند. احتمال رویداد آبا فرمول احتمال کل تعیین می شود:

بیایید بگوییم که آزمایشی انجام شد که در نتیجه آن رویداد ظاهر شد آ... لازم است مشخص شود که چگونه آنها تغییر کرده اند (با توجه به اینکه رویداد آقبلاً رخ داده است) احتمالات فرضیه ها. احتمالات شرطی فرضیه ها با فرمول پیدا می شود

در این فرمول، شاخص / = 1.2

این فرمول فرمول بیز نامیده می شود (از نام ریاضیدان انگلیسی که آن را مشتق کرده است؛ در سال 1764 منتشر شد). فرمول بیز به شما امکان می دهد پس از مشخص شدن نتیجه آزمون، احتمالات فرضیه ها را بیش از حد تخمین بزنید، در نتیجه یک رویداد ظاهر شد. آ.

هدف 1.کارخانه نوع خاصی از قطعه را تولید می کند، هر قطعه دارای یک عیب با احتمال 0.05 است. این قطعه توسط یک بازرس بررسی می شود. با احتمال 0.97 عیب را تشخیص می دهد و در صورت عدم مشاهده ایراد، قطعه را به محصول نهایی منتقل می کند. ضمناً ممکن است بازرس به اشتباه قسمتی را که ایراد ندارد رد کند; احتمال این 0.01 است. احتمالات رویدادهای زیر را بیابید: الف - قسمت رد می شود. ب - قسمت رد می شود ولی به اشتباه. ج - قطعه با عیب وارد محصول نهایی می شود.

راه حل

بیایید فرضیه ها را مشخص کنیم:

ن= (یک قطعه استاندارد برای کنترل دریافت می شود)؛

ن= (یک قطعه غیر استاندارد برای کنترل دریافت خواهد شد).

رویداد A =(قسمت رد می شود).

از شرط مسئله، احتمالات را پیدا می کنیم

R N (A) = 0,01; Pfi (A) = 0,97.

با استفاده از فرمول احتمال کل، به دست می آوریم

احتمال اینکه یک قطعه به اشتباه رد شود است

بیایید این احتمال را پیدا کنیم که قطعه با نقص به محصول نهایی منتقل شود:

پاسخ:

هدف 2.محصول توسط یکی از سه کارشناس کالا برای استاندارد بودن بررسی می شود. احتمال اینکه محصول به فروشنده اول برسد 0.25، به دومی - 0.26 و به سومی - 0.49 است. احتمال اینکه محصول توسط کارشناس کالای استاندارد اول شناسایی شود 0.95، دوم - 0.98، سوم - 0.97 است. احتمال اینکه یک آیتم استاندارد توسط بازرس دوم بررسی شده است را بیابید.

راه حل

بیایید رویدادها را مشخص کنیم:

L. =(محصول برای تأیید به فروشنده می رود)؛ / = 1، 2، 3;

B =(محصول استاندارد در نظر گرفته خواهد شد).

با توجه به شرایط مسئله، احتمالات مشخص می شوند:

همچنین احتمالات مشروط شناخته شده است

با استفاده از فرمول Bayes، احتمال اینکه یک محصول استاندارد توسط بازرس دوم بررسی شود را پیدا می کنیم:

پاسخ:"0.263.

وظیفه 3. دو دستگاه اتوماتیک قطعاتی را تولید می کنند که به یک نوار نقاله مشترک می روند. احتمال به دست آوردن یک قطعه غیر استاندارد در دستگاه اول 0.06 و در دوم - 0.09 است. عملکرد دستگاه دوم دو برابر دستگاه اول است. یک قطعه غیر استاندارد از نوار نقاله گرفته شد. احتمال تولید این قطعه توسط ماشین دوم را بیابید.

راه حل

بیایید رویدادها را مشخص کنیم:

A. =(قسمت گرفته شده از نوار نقاله توسط دستگاه / -th تولید می شود). / = 1.2;

V= (شرکت گرفته شده غیر استاندارد خواهد بود).

همچنین احتمالات مشروط شناخته شده است

با استفاده از فرمول احتمال کل، پیدا می کنیم

با استفاده از فرمول بیز، احتمال تولید قطعه غیر استاندارد گرفته شده توسط ماشین دوم را پیدا می کنیم:

پاسخ: 0,75.

وظیفه 4.دستگاهی متشکل از دو واحد در حال آزمایش است که پایایی آن به ترتیب 0.8 و 0.9 است. گره ها مستقل از یکدیگر شکست می خورند. دستگاه از کار افتاد. با در نظر گرفتن این موضوع، احتمال فرضیه ها را بیابید:

• الف) فقط گره اول معیوب است.
• ب) فقط گره دوم معیوب است.
• ج) هر دو گره معیوب هستند.

راه حل

بیایید رویدادها را مشخص کنیم:

D = (گره 7 شکست نخواهد خورد)؛ من = 1,2;

د - رویدادهای متضاد مربوطه؛

آ= (در حین آزمایش دستگاه خراب می شود).

از شرط مسئله بدست می آوریم: P (D) = 0.8; P (L 2) = 0,9.

با خاصیت احتمالات وقایع متضاد

رویداد آبرابر با مجموع حاصل از رویدادهای مستقل است

با استفاده از قضیه جمع احتمالات رویدادهای ناسازگار و قضیه ضرب احتمالات رخدادهای مستقل به دست می آید.

اکنون احتمالات فرضیه ها را می یابیم:

پاسخ:

وظیفه 5.در کارخانه، پیچ و مهره ها بر روی سه دستگاه ساخته می شود که به ترتیب 25، 30 و 45 درصد از کل پیچ ها را تولید می کنند. در تولید ماشین ابزار قراضه به ترتیب 4%، 3% و 2% است. احتمال اینکه پیچی که به طور تصادفی از محصول دریافتی گرفته شده معیوب باشد چقدر است؟

راه حل

بیایید رویدادها را مشخص کنیم:

4 = (پیچ گرفته شده به طور تصادفی در ماشین / -ام ساخته شده است). من = 1, 2, 3;

V= (پیچ که به صورت تصادفی گرفته شود معیوب خواهد بود).

از شرط مسئله، با استفاده از فرمول احتمال کلاسیک، احتمالات فرضیه ها را می یابیم:

همچنین با استفاده از فرمول احتمال کلاسیک، احتمالات شرطی را پیدا می کنیم:

با استفاده از فرمول احتمال کل، پیدا می کنیم

پاسخ: 0,028.

وظیفه 6.مدار الکترونیکی متعلق به یکی از سه طرف با احتمال 0.25 است. 0.5 و 0.25. احتمال اینکه مدار فراتر از عمر سرویس تضمین شده برای هر دسته عمل کند، به ترتیب 0.1 است. 0.2 و 0.4. احتمال اینکه یک طرح تصادفی انتخاب شده فراتر از دوره گارانتی کار کند را بیابید.

راه حل

بیایید رویدادها را مشخص کنیم:

4 = (نمودار به طور تصادفی از حزب r); من = 1, 2, 3;

V= (یک طرح به طور تصادفی انتخاب شده فراتر از دوره گارانتی کار خواهد کرد).

با شرط مسئله، احتمالات فرضیه ها مشخص می شود:

احتمالات مشروط نیز شناخته شده است:

با استفاده از فرمول احتمال کل، پیدا می کنیم

پاسخ: 0,225.

وظیفه 7.این دستگاه شامل دو بلوک است که قابلیت سرویس دهی هر کدام برای عملکرد دستگاه ضروری است. احتمال عملکرد بدون خرابی این واحدها به ترتیب 0.99 و 0.97 می باشد. دستگاه از کار افتاده است. احتمال شکست هر دو واحد را تعیین کنید.

راه حل

بیایید رویدادها را مشخص کنیم:

D = ( بلوک zشکست خواهد خورد)؛ من = 1,2;

آ= (دستگاه از کار خواهد افتاد).

از شرط مسئله با خاصیت احتمالات رویدادهای متضاد، به دست می آوریم: DD) = 1-0.99 = 0.01; DD) = 1-0.97 = 0.03.

رویداد آتنها زمانی رخ می دهد که حداقل یکی از رویدادهای D یا A 2.بنابراین، این رویداد برابر است با مجموع رویدادها آ= D + آ 2 .

با قضیه جمع برای احتمالات رویدادهای مشترک، به دست می آوریم

با استفاده از فرمول Bayes، احتمال خرابی دستگاه به دلیل خرابی هر دو واحد را پیدا می کنیم.

پاسخ:

وظایف برای تصمیم مستقل هدف 1.در انبار استودیو تلویزیون 70 درصد از کینسکوپ های تولید شده توسط کارخانه شماره 1 وجود دارد. بقیه کینسکوپ ها توسط کارخانه شماره 2 ساخته شده اند. احتمال عدم خرابی کینسکوپ در طول دوره گارانتی 0.8 برای کینسکوپ های کارخانه شماره 1 و 0.7 - برای کینسکوپ های کارخانه شماره 2 است. دوره گارانتی را تحمل کرد. احتمال اینکه توسط کارخانه شماره 2 ساخته شده است را بیابید.

هدف 2.قطعات از سه دستگاه اتوماتیک به مجموعه عرضه می شود. مشخص است که دستگاه اول 0.3٪ قراضه می دهد، دوم - 0.2٪، سوم - 0.4٪. اگر از دستگاه اول 1000 قطعه، از دستگاه دوم 2000 و از دستگاه سوم 2500 قطعه دریافت شده باشد، احتمال دریافت قطعه معیوب برای مونتاژ را بیابید.

هدف 3.قطعات مشابه روی دو دستگاه تولید می شود. احتمال استاندارد بودن قطعه تولید شده در دستگاه اول 0.8 و در دستگاه دوم 0.9 است. بهره وری دستگاه دوم سه برابر دستگاه اول است. احتمال اینکه یک قطعه استاندارد به طور تصادفی از نوار نقاله ای که قطعات را از هر دو ماشین دریافت می کند گرفته شود را بیابید.

وظیفه 4.رئیس شرکت تصمیم گرفت از خدمات دو شرکت از سه شرکت حمل و نقل استفاده کند. احتمال تحویل نابهنگام کالا برای شرکت های اول، دوم و سوم به ترتیب 0.05 است. 0.1 و 0.07. با مقایسه این داده ها با داده های مربوط به ایمنی حمل و نقل محموله، رئیس به این نتیجه رسید که انتخاب برابر است و تصمیم گرفت آن را با قرعه انجام دهد. احتمال اینکه محموله ارسال شده به موقع تحویل داده شود را بیابید.

وظیفه 5.این دستگاه شامل دو بلوک است که قابلیت سرویس دهی هر کدام برای عملکرد دستگاه ضروری است. احتمال عملکرد بدون خرابی این واحدها به ترتیب 0.99 و 0.97 می باشد. دستگاه از کار افتاده است. احتمال شکست واحد دوم را تعیین کنید.

وظیفه 6. کارگاه مونتاژ قطعات را از سه دستگاه اتوماتیک دریافت می کند. دستگاه اول 3٪ از ضایعات را می دهد، دوم - 1٪ و سوم - 2٪. اگر از هر دستگاه به ترتیب 500، 200، 300 قطعه دریافت شده باشد، احتمال ورود یک قطعه غیر معیوب به مجموعه را تعیین کنید.

وظیفه 7.این انبار از سه شرکت محصولات دریافت می کند. علاوه بر این، محصولات شرکت اول 20٪، دوم - 46٪ و سوم - 34٪ را تشکیل می دهند. همچنین مشخص است که میانگین درصد محصولات غیر استاندارد برای شرکت اول 5٪، برای دوم - 2٪ و برای سوم - 1٪ است. احتمال اینکه محصولی که به صورت تصادفی گرفته شده توسط شرکت دومی تولید شده باشد را بیابید، در صورتی که استاندارد باشد.

مسئله 8.نقص در محصولات گیاه به دلیل نقص آ 5% است و در میان رد شدگان بر اساس آمحصولات در 10 درصد موارد معیوب هستند آر.و در محصولات بدون عیب آ، کاستی آردر 1% موارد رخ می دهد. احتمال ملاقات با یک نقص را بیابید آردر تمام محصولات

مسئله 9.این شرکت دارای 10 خودروی جدید و 5 خودروی قدیمی است که قبلاً در حال تعمیر بودند. احتمال عملکرد صحیح برای یک ماشین جدید 0.94، برای یک قدیمی - 0.91 است. احتمال اینکه ماشین انتخاب شده به درستی کار کند را پیدا کنید.

مسئله 10.دو سنسور سیگنال‌ها را به یک کانال ارتباطی مشترک ارسال می‌کنند که اولین آنها دو برابر سیگنال دوم ارسال می‌کند. احتمال دریافت سیگنال تحریف شده از سنسور اول 0.01، از دوم - 0.03 است. احتمال دریافت سیگنال تحریف شده در کانال ارتباطی عمومی چقدر است؟

مسئله 11.پنج دسته از محصولات وجود دارد: سه دسته 8 عددی که 6 عدد استاندارد و 2 عدد غیر استاندارد و دو دسته 10 عددی که 7 عدد استاندارد و 3 عدد غیر استاندارد می باشد. یکی از لات ها به صورت تصادفی انتخاب می شود و بخشی از این لات گرفته می شود. احتمال استاندارد بودن قطعه گرفته شده را تعیین کنید.

مسئله 12.مونتاژکننده به طور متوسط ​​50 درصد قطعات را از کارخانه اول، 30 درصد از کارخانه دوم و 20 درصد را از کارخانه سوم دریافت می کند. احتمال اینکه قطعه اول کارخانه با کیفیت عالی باشد 0.7 است. برای قسمت هایی از گیاهان دوم و سوم به ترتیب 0.8 و 0.9. قسمتی که به صورت تصادفی گرفته شد با کیفیت عالی بود. احتمال اینکه قطعه توسط کارخانه اول ساخته شده است را بیابید.

مسئله 13.بازرسی گمرکی خودروها توسط دو بازرس انجام می شود. به طور متوسط ​​از 100 خودرو، 45 خودرو از بازرس اول عبور می کنند. احتمال اینکه وسیله نقلیه ای که مقررات گمرکی را رعایت می کند در هنگام بازرسی توقیف نشود برای بازرس اول 0.95 و برای بازرس دوم 0.85 است. احتمال توقیف خودرویی که مطابق با مقررات گمرکی است را بیابید.

مسئله 14.قطعات مورد نیاز برای مونتاژ دستگاه از دو دستگاه اتوماتیک تهیه می شود که عملکرد آنها یکسان است. اگر یکی از ماشین ها به طور متوسط ​​3٪ از استاندارد را نقض کند و دیگری - 2٪، احتمال دریافت یک قطعه استاندارد برای مونتاژ را محاسبه کنید.

مسئله 15.مربی وزنه برداری محاسبه کرد که برای دریافت امتیاز تیمی در یک وزن معین، ورزشکار باید هالتر 200 کیلوگرمی را فشار دهد. ایوانف، پتروف و سیدوروف برای حضور در این تیم با هم رقابت می کنند. ایوانف در طول تمرین در 7 مورد سعی کرد چنین وزنه ای را بلند کند و در 3 مورد از آنها بلند شد. پتروف 6 بار از 13 امتیاز را افزایش داد و سیدوروف 35 درصد شانس دارد که میله را با موفقیت پشت سر بگذارد. مربی به صورت تصادفی یک ورزشکار را برای پیوستن به تیم قرعه کشی می کند.

• الف) احتمال اینکه ورزشکار منتخب برای تیم امتیاز بگیرد را بیابید.
• ب) تیم هیچ امتیازی دریافت نکرد. احتمال صحبت سیدوروف را پیدا کنید.

مسئله 16.در یک جعبه سفید 12 توپ قرمز و 6 توپ آبی وجود دارد. در سیاه - 15 توپ قرمز و 10 توپ آبی. پرت کردن تاس... اگر تعداد امتیازات مضربی از 3 باشد، توپ به طور تصادفی از کادر سفید گرفته می شود. اگر تعداد دیگری از نقاط بیفتد، توپ به طور تصادفی از جعبه سیاه خارج می شود. احتمال ظاهر شدن یک توپ قرمز چقدر است؟

مسئله 17.لوله های رادیویی در دو جعبه وجود دارد. جعبه اول شامل 12 لامپ است که 1 عدد آن غیر استاندارد است. در 10 لامپ دوم که 1 لامپ غیر استاندارد است. یک لامپ به طور تصادفی از جعبه اول گرفته شد و به جعبه دوم منتقل شد. این احتمال را پیدا کنید که لامپ خارج شده از جعبه دوم به طور تصادفی غیر استاندارد باشد.

مسئله 18.یک توپ سفید را در یک کوزه حاوی دو توپ می اندازند و پس از آن یک توپ به طور تصادفی از آن گرفته می شود. در صورتی که تمام فرضیات ممکن در مورد ترکیب اولیه توپ ها (از نظر رنگ) به یک اندازه امکان پذیر باشد، احتمال سفید شدن توپ حذف شده را پیدا کنید.

مسئله 19.یک قطعه استاندارد در جعبه ای حاوی 3 قسمت یکسان پرتاب می شود و سپس یک قسمت به طور تصادفی بیرون کشیده می شود. در صورتی که تمام فرضیات ممکن در مورد تعداد قطعات استاندارد اولیه در جعبه به یک اندازه محتمل باشد، احتمال حذف یک قطعه استاندارد را پیدا کنید.

مسئله 20.برای بهبود کیفیت ارتباطات رادیویی از دو گیرنده رادیویی استفاده می شود. احتمال دریافت سیگنال توسط هر گیرنده 0.8 است و این رویدادها (دریافت سیگنال توسط گیرنده) مستقل هستند. اگر احتمال عملکرد بدون خرابی در طول جلسه ارتباط رادیویی برای هر گیرنده 0.9 باشد، احتمال دریافت سیگنال را تعیین کنید.