Teorijska mehanika kolegij predavanja. Predavanje iz tehničke mehanike

1 slajd

Tečaj predavanja iz teorijske mehanike Dinamika (I dio) Bondarenko A.N. Moskva - 2007. Elektronički tečaj napisan je na temelju predavanja autora za studente koji su studirali na specijalnostima SZD, PGS i SDM na NIIZhT i MIIT (1974.-2006.). Studijski materijal je u skladu kalendarski planovi u obujmu od tri semestra. Da biste u potpunosti implementirali efekte animacije tijekom prezentacije, morate koristiti preglednik Power Point koji nije niži od ugrađenog Microsoft Officea operacijski sustav Windows-XP Professional. Komentari i sugestije možete poslati na e-mail: [e-mail zaštićen]... Moskovsko državno sveučilište za željezničko inženjerstvo (MIIT) Odsjek za teorijsku mehaniku Znanstveno-tehnički centar za transportne tehnologije

2 slajd

Sadržaj Predavanje 1. Uvod u dinamiku. Zakoni i aksiomi dinamike materijalne točke. Osnovna jednadžba dinamike. Diferencijalne i prirodne jednadžbe gibanja. Dva glavna zadatka dinamike. Primjeri rješavanja izravnog problema dinamike Predavanje 2. Rješenje inverznog problema dinamike. Opće upute na rješenje inverznog problema dinamike. Primjeri rješavanja inverznog problema dinamike. Kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu, bez obzira na otpor zraka. Predavanje 3. Pravocrtne vibracije materijalne točke. Uvjet za nastanak vibracija. Klasifikacija vibracija. Slobodne vibracije bez uzimanja u obzir sila otpora. Prigušene oscilacije. Smanjenje fluktuacija. Predavanje 4. Prisilne oscilacije materijalne točke. Rezonancija. Učinak otpora kretanju tijekom prisilnih vibracija. Predavanje 5. Relativno gibanje materijalne točke. Sile inercije. Posebni slučajevi kretanja za različite vrste prijenosnih pokreta. Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu i kretanje tijela. Predavanje 6. Dinamika mehaničkog sustava. Mehanički sustav. Vanjske i unutarnje sile. Središte mase sustava. Teorem o gibanju središta mase. Zakoni o očuvanju. Primjer rješavanja zadatka pomoću teorema o gibanju središta mase. Predavanje 7. Impuls moći. Količina kretanja. Teorem o promjeni količine gibanja. Zakoni o očuvanju. Eulerov teorem. Primjer rješavanja problema korištenja teorema o promjeni količine gibanja. Trenutak zamaha. Teorem o promjeni kutnog momenta .. Predavanje 8. Zakoni održanja. Elementi teorije momenata tromosti. Kinetički moment krutog tijela. Diferencijalna jednadžba rotacija krutog tijela. Primjer rješavanja zadatka o korištenju teorema o promjeni kutnog momenta sustava. Osnovna teorija žiroskopa. Preporučena literatura 1. Yablonskiy A.A. Kolegij teorijske mehanike. 2. dio. M .: postdiplomske studije... 1977. 368 s. 2. Meshchersky I.V. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike. M .: Znanost. 1986 416 s. 3. Zbirka zadataka za seminarski radovi/ Ed. A.A. Yablonski. M.: Viša škola. 1985. 366 str. 4. Bondarenko A. N. " Teorijska mehanika u primjerima i problemima. Dinamika ”(elektronički priručnik www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

3 slajd

Predavanje 1. Dinamika je grana teorijske mehanike koja proučava mehaničko gibanje s najopćenitijeg stajališta. Kretanje se razmatra u vezi sa silama koje djeluju na predmet. Dio se sastoji od tri dijela: Dinamika materijalne točke Dinamika mehaničkog sustava Analitička mehanika ■ Dinamika točke – proučava kretanje materijalne točke uzimajući u obzir sile koje uzrokuju to kretanje. Glavni objekt je materijalna točka - materijalno tijelo s masom čije se dimenzije mogu zanemariti. Osnovne pretpostavke: - postoji apsolutni prostor (ima čisto geometrijska svojstva koja ne ovise o materiji i njenom kretanju. - postoji apsolutno vrijeme (ne ovisi o materiji i njenom kretanju). Otuda slijedi: - postoji apsolutno nepokretni referentni okvir - vrijeme ne ovisi o kretanju referentnog okvira - mase pokretnih točaka ne ovise o kretanju referentnog okvira. Ove pretpostavke se koriste u klasičnoj mehanici, koju su stvorili Galileo i Newton. Još uvijek ima prilično široko polje primjene, budući da mehanički sustavi koji se razmatraju u primijenjenim znanostima nemaju tako velike mase i brzine kretanja, za što je potrebno uzeti u obzir njihov utjecaj na geometriju prostora, vremena, gibanje, kako se to radi u relativističkoj mehanici (teoriji relativnosti).njihovo dinamičko međudjelovanje Radnje pod utjecajem raznih sila. ■ Zakon tromosti (Galileo-Newtonov zakon) - Izolirana materijalna točka, tijelo zadržava stanje mirovanja ili jednoliko pravocrtno gibanje sve dok ga primijenjene sile ne prisile da promijeni ovo stanje. To podrazumijeva ekvivalentnost stanja mirovanja i gibanja po inerciji (Galileov zakon relativnosti). Referentni okvir u odnosu na koji je zakon inercije ispunjen naziva se inercijskim. Svojstvo materijalne točke da nastoji zadržati brzinu svog kretanja (svoje kinematičko stanje) nepromijenjenom naziva se inercija. ■ Zakon proporcionalnosti sile i ubrzanja (Osnovna jednadžba dinamike - Newtonov II zakon) - Ubrzanje koje se materijalnoj točki daje silom izravno je proporcionalno sili i obrnuto proporcionalno masi ove točke: ili Ovdje je m masa točke (mjera inercije), izmjerena u kg, brojčano jednaka težina podijeljena s ubrzanjem uslijed gravitacije: F je djelujuća sila, mjerena u N (1 N daje ubrzanje od 1 m/s2 točki s masa 1 kg, 1 N = 1/9. 81 kg-s). ■ Dinamika mehaničkog sustava – proučava gibanje skupa materijalnih točaka i čvrstih tijela, ujedinjenih općim zakonima interakcije, uzimajući u obzir sile koje uzrokuju to gibanje. ■ Analitička mehanika – proučava gibanje neslobodnih mehaničkih sustava koristeći opće analitičke metode. 1

4 slajd

Predavanje 1 (nastavak - 1.2) Diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne točke: - diferencijalna jednadžba gibanja točke u vektorskom obliku. - diferencijalne jednadžbe gibanja točke u koordinatnom obliku. Taj se rezultat može dobiti formalnom projekcijom vektorske diferencijalne jednadžbe (1). Nakon grupiranja, vektorska relacija se rastavlja u tri skalarne jednadžbe: U koordinatnom obliku: Koristimo odnos vektora radijusa s koordinatama i vektora sile s projekcijama: ili: Zamijenimo ubrzanje točke u vektorskoj postavci gibanja u osnovna jednadžba dinamike: Prirodne jednadžbe gibanja materijalne točke dobivaju se projekcijom vektorske diferencijalne jednadžbe gibanja na prirodne (pomične) koordinatne osi: ili: - prirodne jednadžbe gibanja točke. ■ Osnovna jednadžba dinamike: - odgovara vektorskoj metodi zadavanja gibanja točke. ■ Zakon neovisnosti djelovanja sila - Ubrzanje materijalne točke pod djelovanjem više sila jednako je geometrijskom zbroju ubrzanja točke od djelovanja svake od sila posebno: ili vrijedi Zakon za bilo koje kinematičko stanje tijela. Sile interakcije, koje se primjenjuju na različite točke (tijela), nisu uravnotežene. ■ Zakon jednakosti djelovanja i reakcije (III Newtonov zakon) - Svakoj akciji odgovara jednaka po veličini i suprotno usmjerena reakcija: 2

5 slajd

Dva glavna problema dinamike: 1. Izravni problem: Zadano je gibanje (jednadžbe gibanja, putanja). Potrebno je odrediti sile pod čijim djelovanjem dolazi do određenog kretanja. 2. Inverzni problem: Sile pod čijim djelovanjem dolazi do gibanja. Potrebno je pronaći parametre gibanja (jednadžbe gibanja, putanju gibanja). Oba problema rješavaju se osnovnom jednadžbom dinamike i njezinom projekcijom na koordinatne osi. Ako se razmatra gibanje neslobodne točke, tada se, kao u statici, koristi princip slobode od veza. Kao rezultat reakcije, veze su uključene u sastav sila koje djeluju na materijalnu točku. Rješenje prvog problema povezano je s operacijama diferencijacije. Rješenje inverznog problema zahtijeva integraciju odgovarajućih diferencijalnih jednadžbi, a to je mnogo teže od diferencijacije. Inverzni problem je složeniji od izravnog problema. Razmotrimo rješenje izravnog problema dinamike na primjerima: Primjer 1. Kabina dizala težine G podiže se sajlom s ubrzanjem a. Odredite napetost kabela. 1. Odabiremo objekt (kabina dizala se progresivno kreće i može se smatrati materijalnom točkom). 2. Odbacimo spoj (kabel) i zamijenimo ga reakcijom R. 3. Sastavimo osnovnu jednadžbu dinamike: Odredimo reakciju sajle: Odredimo napetost sajle: Uz ravnomjerno kretanje kabine ay = 0 i napetost sajle jednaka je težini: T = G. Kada se sajla pukne, T = 0 i akceleracija kabine jednaka je akceleraciji sile teže: ay = -g. 3 4. Projicirajmo osnovnu jednadžbu dinamike na os y: y Primjer 2. Točka mase m giba se duž horizontalne površine (Oxy ravnina) prema jednadžbama: x = a coskt, y = b coskt. Odrediti silu koja djeluje na točku. 1. Odaberite objekt (materijalnu točku). 2. Odbaciti vezu (ravninu) i zamijeniti reakcijom N. 3. Sustavu sila dodati nepoznatu silu F. 4. Sastaviti osnovnu jednadžbu dinamike: 5. Projektirati osnovnu jednadžbu dinamike na osi x, y : Odredite projekcije sile: Modul sile: Kosinus smjera : Dakle, veličina sile je proporcionalna udaljenosti točke od središta koordinata i usmjerena je prema središtu duž linije koja povezuje točku sa središtem. Putanja točke je elipsa sa središtem u ishodištu: O r Predavanje 1 (nastavak - 1.3)

6 slajd

Predavanje 1 (nastavak 1.4) Primjer 3: Teret težine G ovješen je na sajlu duljine l i kreće se po kružnoj stazi u vodoravnoj ravnini određenom brzinom. Kut odstupanja kabela od vertikale je jednak. Odredite napetost užeta i brzinu opterećenja. 1. Odaberite objekt (teret). 2. Odbacimo spoj (kabel) i zamijenimo reakcijom R. 3. Sastavimo osnovnu jednadžbu dinamike: Iz treće jednadžbe određujemo reakciju kabela: Određujemo napetost kabela: Zamijenimo vrijednost kabelska reakcija, normalno ubrzanje u drugu jednadžbu i odredite brzinu opterećenja: 4. Projicirajte dinamiku osnovne jednadžbe na osovinu, n, b: Primjer 4: Automobil težine G kreće se po konveksnom mostu (radijus zakrivljenosti je R) brzinom V. Odrediti pritisak automobila na most. 1. Odabiremo objekt (automobil, zanemarujemo dimenzije i smatramo ga točkom). 2. Odbacimo vezu (hrapava površina) i zamijenimo je reakcijama N i silom trenja Ffr. 3. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 4. Osnovnu jednadžbu dinamike projiciramo na os n: Odavde određujemo normalnu reakciju: Određujemo pritisak automobila na most: Odavde možemo odrediti brzinu odgovara nultom pritisku na mostu (Q = 0): 4

7 slajd

Predavanje 2 Nakon zamjene pronađenih vrijednosti konstanti dobivamo: Dakle, pod djelovanjem istog sustava sila materijalna točka može izvršiti čitavu klasu gibanja određena početnim uvjetima. Polazne koordinate uzimaju u obzir ishodište točke. Početna brzina, dana projekcijama, uzima u obzir učinak sila koje djeluju na točku prije nego što stignu u ovu dionicu na njezino kretanje duž razmatranog dijela putanje, t.j. početno kinematičko stanje. Rješenje inverznog problema dinamike - U općem slučaju, gibanje točke sile koja djeluje na točku su varijable koje ovise o vremenu, koordinatama i brzini. Gibanje točke opisuje se sustavom od tri diferencijalne jednadžbe drugog reda: Nakon integracije svake od njih, postojat će šest konstanti C1, C2,…., C6: Vrijednosti konstanti C1, C2,… ., C6 se nalaze iz šest početnih uvjeta pri t = 0: Primjer rješenja 1 inverzni problem: Slobodna materijalna točka mase m giba se pod djelovanjem sile F, konstantne veličine i veličine. ... U početnom trenutku brzina točke bila je v0 i podudarala se u smjeru sa silom. Odrediti jednadžbu gibanja točke. 1. Sastavite osnovnu jednadžbu dinamike: 3. Smanjite redoslijed derivacije: 2. Odaberite kartezijanski referentni okvir, usmjeravajući os x duž smjera sile i projicirajte osnovnu jednadžbu dinamike na ovu os: ili xyz 4. Odvojite varijable: 5. Izračunajte integrale obje strane jednadžbe : 6. Predstavljamo projekciju brzine kao derivaciju koordinate s obzirom na vrijeme: 8. Izračunajte integrale obje strane jednadžbe jednadžba: 7. Odvojite varijable: 9. Za određivanje vrijednosti konstanti C1 i C2 koristimo početne uvjete t = 0, vx = v0, x = x0: Kao rezultat, dobivamo jednadžbu uniforme gibanje (duž x-osi): 5

8 slajd

Opće upute za rješavanje izravnog i inverznog problema. Postupak rješavanja: 1. Sastavljanje diferencijalne jednadžbe gibanja: 1.1. Odaberite koordinatni sustav - pravokutni (fiksni) s nepoznatom putanjom gibanja, prirodni (pokretni) s poznatom putanjom, na primjer, kružnica ili ravna linija. V potonji slučaj može se koristiti jedna pravocrtna koordinata. Poravnajte ishodište s početnim položajem točke (na t = 0) ili s ravnotežnim položajem točke, ako postoji, na primjer, kada točka vibrira. 6 1.2. Nacrtajte točku u položaju koji odgovara proizvoljnom trenutku u vremenu (za t> 0) tako da koordinate budu pozitivne (s> 0, x> 0). U ovom slučaju također pretpostavljamo da je projekcija brzine u ovom položaju također pozitivna. U slučaju oscilacija, projekcija brzine mijenja predznak, na primjer, nakon povratka u ravnotežni položaj. Ovdje treba pretpostaviti da se u razmatranom trenutku vremena točka udaljava od ravnotežnog položaja. Ova je preporuka važna u budućnosti kada se radi sa silama otpora ovisnim o brzini. 1.3. Oslobodite materijalnu točku od veza, zamijenite njihovo djelovanje reakcijama, dodajte aktivne sile. 1.4. Zapišite osnovni zakon dinamike u vektorskom obliku, projicirajte na odabrane osi, izrazite zadane ili reaktivne sile u terminima vremenskih varijabli, koordinata ili brzina, ako ovise o njima. 2. Rješenje diferencijalnih jednadžbi: 2.1. Smanjite derivaciju ako se jednadžba ne svodi na kanonski (standardni) oblik. na primjer: ili 2.2. Podijelite varijable, na primjer: ili 2.4. Izračunajte neodređene integrale na lijevoj i desnoj strani jednadžbe, na primjer: 2.3. Ako u jednadžbi postoje tri varijable, promijenite varijable, na primjer: i zatim podijelite varijable. Komentar. Umjesto kalkulacije neodređeni integrali mogu se izračunati određeni integrali s promjenjivom gornjom granicom. Donje granice predstavljaju početne vrijednosti varijabli (početne uvjete). Tada nije potrebno zasebno određivanje konstante, koja se automatski uključuje u rješenje, na primjer: Koristeći početne uvjete, na primjer, t = 0 , vx = vx0, odrediti konstantu integracije: 2.5. Izrazite brzinu u smislu derivacije koordinata u vremenu, na primjer, i ponovite odlomke 2.2 - 2.4. Napomena. Ako se jednadžba svede na kanonski oblik, koji ima standardno rješenje, tada se koristi ovo gotovo rješenje. Integracijske konstante se još uvijek nalaze iz početnih uvjeta. Vidi, na primjer, oklijevanje (predavanje 4, str. 8). Predavanje 2 (nastavak 2.2)

9 slajd

Predavanje 2 (nastavak 2.3) Primjer 2 rješavanja inverznog problema: Sila ovisi o vremenu. Teret težine P počinje se kretati po glatkoj horizontalnoj površini pod djelovanjem sile F čija je vrijednost proporcionalna vremenu (F = kt). Odrediti put koji je prešao teret u vremenu t. 3. Sastaviti osnovnu jednadžbu dinamike: 5. Smanjiti red derivacije: 4. Projicirati osnovnu jednadžbu dinamike na os x: ili 7 6. Odvojiti varijable: 7. Izračunati integrale obje strane jednadžba: 9. Predstavimo projekciju brzine kao vremensku derivaciju koordinate: 10. Izračunaj integrale obje strane jednadžbe: 9. Odvoji varijable: 8. Odredi vrijednost konstante C1 od početne uvjet t = 0, vx = v0 = 0: Kao rezultat dobivamo jednadžbu gibanja (duž x-osi), koja daje vrijednost prijeđene udaljenosti za vrijeme t: 1. Odaberemo referentni okvir ( Kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Predmet gibanja uzimamo kao materijalnu točku (tijelo se giba translatorno), oslobađamo ga veze (referentne ravnine) i zamjenjujemo reakcijom (normalna reakcija glatka površina) : 11. Odrediti vrijednost konstante C2 iz početnog uvjeta t = 0, x = x0 = 0: Primjer 3 rješavanja inverznog problema: Sila ovisi o koordinati. Materijalna točka mase m izbačena je prema gore s površine Zemlje brzinom v0. Zemljina gravitacija obrnuto je proporcionalna kvadratu udaljenosti od točke do težišta (centra Zemlje). Odrediti ovisnost brzine o udaljenosti y do središta Zemlje. 1. Odabiremo referentni okvir (kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 3. Osnovnu jednadžbu dinamike projiciramo na y-os: ili Koeficijent od proporcionalnost se može pronaći korištenjem težine točke na površini Zemlje: R Stoga diferencijal jednadžba izgleda ovako: ili 4. Smanjite red derivacije: 5. Napravite promjenu varijable: 6. Odvojite varijable: 7. Izračunajte integrale obje strane jednadžbe: 8. Zamijenite granice: Kao rezultat, dobivamo izraz za brzinu kao funkciju y-koordinate: Maksimalna brzina leta na visini može se naći izjednačavanjem brzine s nula: Maksimalna visina leta kada nazivnik nestane: Dakle, pri postavljanju Zemljinog polumjera i gravitacijskog ubrzanja dobiva se II kozmička brzina:

10 slajd

Predavanje 2 (nastavak 2.4) Primjer 2 rješavanja inverznog zadatka: Sila ovisi o brzini. Brod mase m imao je brzinu v0. Otpor vode kretanju plovila proporcionalan je brzini. Odredite vrijeme tijekom kojeg će se brzina brodice smanjiti za polovicu nakon gašenja motora, kao i udaljenost koju je brod priješao do potpunog zaustavljanja. 8 1. Biramo referentni okvir (kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Predmet gibanja uzimamo kao materijalnu točku (brod se kreće naprijed), oslobađamo ga veza (vode) i zamijeniti ga reakcijom (uzgojna sila - Arhimedova sila), a također i silom otpora kretanju. 3. Dodajte aktivnu silu (gravitaciju). 4. Sastaviti osnovnu jednadžbu dinamike: 5. Projicirati osnovnu jednadžbu dinamike na os x: ili 6. Smanjiti red derivacije: 7. Odvojiti varijable: 8. Izračunati integrale obiju strana od jednadžba: 9. Zamijenite granice: Dobiva se izraz koji povezuje brzinu i vrijeme t, odakle možete odrediti vrijeme kretanja: Vrijeme kretanja tijekom kojeg će brzina pasti za polovicu: Zanimljivo je primijetiti da kada se brzina približi nuli vrijeme kretanja teži beskonačnosti, tj konačna brzina ne može biti nula. Nije li to "perpetual motion"? Međutim, prijeđena udaljenost do stajališta je konačna vrijednost. Da bismo odredili prijeđenu udaljenost, okrenemo se izrazu dobivenom nakon snižavanja reda derivacije i izvršimo promjenu varijable: Nakon integracije i zamjene granica, dobivamo: Prijeđenu udaljenost do zaustavljanja: ■ Kretanje točka bačena pod kutom prema horizontu u jednoličnom gravitacijskom polju bez uzimanja u obzir otpora zraka Eliminirajući vrijeme iz jednadžbi gibanja, dobivamo jednadžbu putanje: Vrijeme leta određuje se izjednačavanjem koordinate y s nulom: Domet leta određuje se zamjenom vremena leta:

11 slajd

Predavanje 3 Pravolinijske oscilacije materijalne točke - Oscilatorno gibanje materijalne točke događa se pod uvjetom: postoji sila vraćanja koja teži vratiti točku u ravnotežni položaj za svako odstupanje od tog položaja. 9 Postoji sila koja obnavlja, ravnotežni položaj je stabilan. Nema povratne sile, ravnotežni položaj je nestabilan. Nema obnavljajuće sile, ravnotežni položaj je indiferentan. Uvijek je usmjerena na ravnotežni položaj, vrijednost je izravno proporcionalna linearnom istezanju (skraćenju) opruge, jednaka odstupanju tijela od ravnotežnog položaja: c je koeficijent krutosti opruge, brojčano jednak sili pod kojim opruga mijenja svoju duljinu za jedan, mjereno u N / m u sustavu SI. x y O Vrste vibracija materijalne točke: 1. Slobodne vibracije (bez uzimanja u obzir otpora medija). 2. Slobodne vibracije uzimajući u obzir otpor medija (prigušene vibracije). 3. Prisilne vibracije. 4. Prisilne vibracije uzimajući u obzir otpor medija. ■ Slobodne vibracije – nastaju pod utjecajem samo obnavljajuće sile. Zapišimo osnovni zakon dinamike: Odaberite koordinatni sustav sa središtem u ravnotežnom položaju (točka O) i projicirajte jednadžbu na x-os: Smanjimo rezultirajuću jednadžbu na standardni (kanonski) oblik: Ova jednadžba je homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda, čiji je oblik rješenja određen korijenima karakteristike jednadžbe dobivene univerzalnom zamjenom: Korijeni karakteristične jednadžbe su imaginarni i jednaki: Opće rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik: Brzina točke: Početni uvjeti: Definirajte konstante: Dakle, jednadžba slobodnih oscilacija ima oblik: Jednadžba se može prikazati jednočlanim izrazom: - početna faza. Nove konstante a i - povezane su s konstantama C1 i C2 relacijama: Odredimo a i: Uzrok pojave slobodnih oscilacija je početni pomak x0 i/ili početna brzina v0.

12 slajd

10 Predavanje 3 (nastavak 3.2) Prigušene oscilacije materijalne točke - Oscilatorno gibanje materijalne točke događa se uz prisutnost povratne sile i sile otpora gibanju. Određuje se ovisnost sile otpora kretanju o pomaku ili brzini fizičke prirode okolina ili veza koja ometa kretanje. Najjednostavnija ovisnost je linearna ovisnost o brzini (viskozni otpor): - koeficijent viskoznosti xy O Osnovna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na os: Dovedemo jednadžbu u standardni oblik: gdje Karakteristična jednadžba ima korijeni: Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima drugačiji oblik ovisno o vrijednostima korijena: 1.n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - slučaj velike viskozne otpornosti: - pravi korijeni, različiti. ili - ove funkcije su aperiodične: 3. n = k: - realni višestruki korijeni. ove funkcije su također aperiodične:

13 slajd

Predavanje 3 (nastavak 3.3) Klasifikacija rješenja slobodnih oscilacija. Načini spajanja opruga. Ekvivalentna krutost. y y 11 Dif. jednadžba Karakter. jednadžba Korijeni karakter. jednadžbe Rješenje diferencijalne jednadžbe Graf nk n = k

14 slajd

Predavanje 4 Prisilne vibracije materijalne točke - Uz povratnu silu djeluje i sila koja se periodično mijenja, nazvana remetirajuća sila. Uznemirujuća sila može biti različite prirode. Na primjer, u određenom slučaju, inercijski učinak neuravnotežene mase m1 rotacionog rotora uzrokuje harmonično promjenjive projekcije sile: Osnovna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na os: Dovedemo jednadžbu na standardni oblik: 12 Rješenje ove nehomogene diferencijalne jednadžbe sastoji se od dva dijela x = x1 + x2: x1 je opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, a x2 je posebno rješenje nehomogena jednadžba: Odabiremo određeno rješenje u obliku desne strane: Rezultirajuća jednakost mora biti zadovoljena za bilo koji t. Tada: ili Dakle, uz istodobno djelovanje sila koje obnavljaju i remete, materijalna točka vrši složeno oscilatorno gibanje, koje je rezultat zbrajanja (superpozicije) slobodnih (x1) i prisilnih (x2) oscilacija. Ako str< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (prisilne oscilacije visoke frekvencije), tada je faza titranja suprotna fazi sile koja ometa:

15 slajd

Predavanje 4 (nastavak 4.2) 13 Dinamički koeficijent je omjer amplitude prisilnih vibracija i statičkog otklona točke pod djelovanjem konstantne sile H = const: Amplituda prisilnih vibracija: Statički otklon može se naći iz jednadžba ravnoteže: Ovdje: Dakle: Dakle, na str< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (visoka frekvencija prisilnih vibracija) dinamički faktor: Rezonancija – nastaje kada se frekvencija prisilnih vibracija poklopi s frekvencijom prirodnih vibracija (p = k). To se najčešće događa pri pokretanju i zaustavljanju rotacije loše uravnoteženih rotora pričvršćenih na elastične ovjese. Diferencijalna jednadžba oscilacija s jednakim frekvencijama: Posebno rješenje u obliku desne strane ne može se uzeti, jer dobivate linearno ovisno rješenje (vidi opće rješenje). Opće rješenje: Zamjena u diferencijalnoj jednadžbi: Uzmite određeno rješenje u obliku i izračunajte derivacije: Tako se dobiva rješenje: ili Prisilne oscilacije u rezonanciji imaju amplitudu koja se neograničeno povećava proporcionalno vremenu. Učinak otpora kretanju tijekom prisilnih vibracija. Diferencijalna jednadžba u prisutnosti viskoznog otpora ima oblik: Opće rješenje se bira iz tablice (predavanje 3, stranica 11), ovisno o omjeru n i k (vidi). Uzimamo određeno rješenje u obliku i izračunavamo derivacije: Zamjena u diferencijalnoj jednadžbi: Izjednačavanje koeficijenata na istom trigonometrijske funkcije dobivamo sustav jednadžbi: Podizanjem obje jednadžbe na stepen i zbrajanjem dobivamo amplitudu prisilnih vibracija: Dijeljenjem druge jednadžbe s prvom dobivamo fazni pomak prisilnih vibracija: Dakle, jednadžba gibanje za prisilne vibracije, uzimajući u obzir otpor kretanju, na primjer< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 slajd

Predavanje 5 Relativno gibanje materijalne točke - Pretpostavimo da se pokretni (neinercijski) koordinatni sustav Oxyz giba po određenom zakonu u odnosu na stacionarni (inercijalni) koordinatni sustav O1x1y1z1. Gibanje materijalne točke M (x, y, z) u odnosu na pokretni sustav Oxyz je relativno, u odnosu na stacionarni sustav O1x1y1z1 je apsolutno. Gibanje mobilnog sustava Oxyz u odnosu na stacionarni sustav O1x1y1z1 je prijenosno gibanje. 14 z x1 y1 z1 O1 xy M xyz O Osnovna jednadžba dinamike: Apsolutno ubrzanje točke: Zamijenite apsolutno ubrzanje točke u osnovnu jednadžbu dinamike: Prenesite pojmove s translacijskim i Coriolisovim ubrzanjem na desnu stranu: Preneseni članovi imaju dimenziju sila i smatraju se odgovarajućim inercijskim silama, jednakima: Tada se relativno gibanje točke može smatrati apsolutnim, ako djelujućim silama dodamo translacijske i Coriolisove sile tromosti: U projekcijama na os gibljivog koordinatnog sustava imamo: rotacija je jednolika, tada je εe = 0: 2. Translacijsko krivuljasto gibanje: Ako je gibanje pravocrtno, onda =: Ako je gibanje pravocrtno i jednoliko, tada je sustav gibanja inercijalan i relativni kretanje se može smatrati apsolutnim: gibanje (načelo relativnosti klasične mehanike). Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu tijela - Pretpostavimo da je tijelo u ravnoteži na površini Zemlje na proizvoljnoj geografskoj širini φ (paralelno). Zemlja se oko svoje osi okreće od zapada prema istoku kutnom brzinom: polumjer Zemlje je oko 6370 km. S R - puna reakcija neglatka površina. G je sila gravitacije Zemlje prema centru. F - centrifugalna sila inercije. Uvjet relativne ravnoteže: Rezultanta sila privlačenja i inercije je sila gravitacije (težina): Veličina sile gravitacije (težine) na Zemljinoj površini jednaka je P = mg. Centrifugalna sila inercije je mali djelić sile gravitacije: Odstupanje sile gravitacije od smjera sile gravitacije također je malo: Dakle, utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu tijela izuzetno je mali. i ne uzima se u obzir u praktičnim proračunima. Maksimalna vrijednost sile inercije (pri φ = 0 - na ekvatoru) iznosi samo 0,00343 vrijednosti sile gravitacije

17 slajd

Predavanje 5 (nastavak 5.2) 15 Utjecaj Zemljine rotacije na gibanje tijela u gravitacijskom polju Zemlje - Stavimo da tijelo pada na Zemlju s određene visine H iznad Zemljine površine na geografskoj širini φ. Odaberimo pokretni referentni okvir koji je kruto povezan sa Zemljom, usmjeravajući osi x, y tangencijalno na paralelu i na meridijan: Jednadžba relativnog gibanja: centrifugalna sila inercija naspram gravitacije. Dakle, sila gravitacije se poistovjećuje sa silom gravitacije. Osim toga, vjerujemo da je sila gravitacije usmjerena okomito na površinu Zemlje zbog malog otklona, ​​kao što je gore razmotreno. Coriolisovo ubrzanje je jednako i usmjereno paralelno s y-osi prema zapadu. Coriolisova inercijska sila jednaka je suprotnom smjeru. Projicirajmo jednadžbu relativnog gibanja na os: Rješenje prve jednadžbe daje: Početni uvjeti: Rješenje treće jednadžbe daje: Početni uvjeti: Treća jednadžba ima oblik: Početni uvjeti: Njeno rješenje daje: Dobiveno rješenje pokazuje da tijelo pri padu skreće prema istoku. Izračunajmo vrijednost ovog odstupanja, npr. pri padu s visine od 100 m. Vrijeme pada nalazi se iz rješenja druge jednadžbe: Dakle, utjecaj Zemljine rotacije na gibanje tijela je iznimno mali za praktične visine i brzine i ne uzima se u obzir u tehničkim izračunima. Rješenje druge jednadžbe također podrazumijeva postojanje brzine duž y-osi, koja bi također trebala uzrokovati i uzrokovati odgovarajuće ubrzanje i Coriolisovu inercijsku silu. Utjecaj ove brzine i sile tromosti povezane s njom na promjenu gibanja bit će čak i manji od razmatrane Coriolisove inercijalne sile povezane s okomitom brzinom.

18 slajd

Predavanje 6 Dinamika mehaničkog sustava. Sustav materijalnih točaka ili mehanički sustav - Skup materijalnih ili materijalnih točaka ujedinjenih općim zakonima interakcije (položaj ili kretanje svake od točaka ili tijela ovisi o položaju i kretanju svih ostalih) Sustav slobodnih točaka - čije kretanje nije ograničeno nikakvim vezama (na primjer, planetarni sustav, u kojem se planeti smatraju materijalnim točkama). Sustav neslobodnih točaka ili neslobodni mehanički sustav – kretanje materijalnih točaka ili tijela ograničeno je ograničenjima koja su nametnuta sustavu (na primjer, mehanizam, stroj itd.). 16 Sile koje djeluju na sustav. Uz dosadašnju klasifikaciju sila (aktivne i reaktivne sile), uvodi se nova klasifikacija sila: 1. Vanjske sile (e) - djeluju na točke i tijela sustava iz točaka ili tijela koja nisu dio ovog sustav. 2. Unutarnje sile (i) - sile interakcije između materijalnih točaka ili tijela uključenih u ovaj sustav. Jedna te ista sila može biti i vanjska i unutarnja sila. Sve ovisi o tome koji se mehanički sustav razmatra. Na primjer: U sustavu Sunca, Zemlje i Mjeseca sve su gravitacijske sile između njih unutarnje. Kada se promatra sustav Zemlja i Mjesec, gravitacijske sile koje se primjenjuju sa Sunca su vanjske: C Z L Na temelju zakona djelovanja i reakcije, svakoj unutarnjoj sili Fk odgovara druga unutarnja sila Fk ', jednaka po veličini i suprotna po smjer. Iz ovoga proizlaze dva izvanredna svojstva unutarnjih sila: Glavni vektor svih unutarnjih sila sustava jednak je nuli: Glavni moment svih unutarnjih sila sustava u odnosu na bilo koje središte jednak je nuli: Ili u projekcijama na koordinatu osi: Napomena. Iako su ove jednadžbe slične jednadžbama ravnoteže, nisu, budući da se unutarnje sile primjenjuju na različite točke ili tijela sustava i mogu uzrokovati da se te točke (tijela) pomiču jedna u odnosu na drugu. Iz ovih jednadžbi proizlazi da unutarnje sile ne utječu na gibanje sustava koji se promatra kao cjelina. Središte mase sustava materijalnih točaka. Za opisivanje gibanja sustava u cjelini uvodi se geometrijska točka, nazvana središte mase, čiji je radijus vektor određen izrazom, gdje je M masa cijelog sustava: Ili u projekcijama na koordinatu osi: Formule za središte mase slične su formulama za težište. Međutim, koncept centra mase je općenitiji jer nije povezan s gravitacijskim silama ili silama gravitacije.

19 slajd

Predavanje 6 (nastavak 6.2) 17 Teorem o gibanju središta mase sustava - Razmotrimo sustav od n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku točku osnovnu jednadžbu dinamike: ili Zbrojimo ove jednadžbe nad svim točkama: Na lijevoj strani jednadžbe uvodimo mase pod znakom derivacije i zamjenjujemo zbroj derivacija derivacijom zbroj: Iz definicije središta mase: Zamjena u rezultirajuću jednadžbu: Nakon uklanjanja mase sustava izvan predznaka derivacije dobivamo ili: Umnožak mase sustava i ubrzanja njegovog središta, masa je jednaka glavnom vektoru vanjskih sila. U projekcijama na koordinatne osi: Središte mase sustava giba se poput materijalne točke s masom jednakom masi cijelog sustava, na koju se primjenjuju sve vanjske sile koje djeluju na sustav. Posljedice iz teorema o gibanju središta mase sustava (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava jednak nuli, Re = 0, tada je brzina središte mase je konstantno, vC = const (središte mase giba se jednoliko pravolinijsko - zakon održanja gibanja središta mase). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na x-os jednaka nuli, Rxe = 0, tada je brzina središta mase duž x-osi konstantna, vCx = const (središte mase giba se jednoliko duž osi). Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. Primjer: Dvije osobe mase m1 i m2 nalaze se u čamcu mase m3. U početnom trenutku čamac s ljudima mirovao je. Odredi kretanje čamca ako se osoba težine m2 pomaknula na pramac čamca na udaljenosti a. 3. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava jednak nuli, Re = 0, a u početnom trenutku brzina centra mase je nula, vC = 0, tada je vektor radijusa od središte mase ostaje konstantno, rC = const (središte mase miruje – zakon održanja položaja središta mase). 4. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na os x nula, Rxe = 0, a u početnom trenutku brzina centra mase duž ove osi je nula, vCx = 0, tada koordinata središta mase duž x osi ostaje konstantna, xC = const (središte mase se ne giba duž ove osi). Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. 1. Predmet gibanja (čamac s ljudima): 2. Odbacujemo veze (voda): 3. Zamijenimo vezu reakcijom: 4. Dodajte aktivne sile: 5. Zapišite teorem o središtu mase: Projektirajte na x -os: O Odredite koliko daleko promijeniti sjedala do osobe mase m1 tako da čamac ostane na mjestu: Čamac će se pomaknuti za udaljenost l u suprotnom smjeru.

20 slajd

Predavanje 7 Impuls sile - mjera mehaničke interakcije, koja karakterizira prijenos mehaničkog kretanja sa strane sila koje djeluju na točku u određenom vremenskom razdoblju: 18 do točke sila u istom vremenskom intervalu: Pomnožite s dt: Integrirati ćemo u zadanom vremenskom intervalu: Količina pomicanja točke je mjera mehaničkog kretanja, određena vektorom jednakim umnošku mase točke i vektorom njezine brzine: Teorem o promjeni količina gibanja sustava - Razmotrimo sustav n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku točku osnovnu jednadžbu dinamike: ili Broj gibanja sustava materijalnih točaka je geometrijski zbroj iznosa kretanja materijalnih točaka: Po definiciji središta mase: Vektor količine gibanja sustava jednak je umnošku mase cijelog sustava vektorom brzine središta mase sustava. Zatim: U projekcijama na koordinatne osi: Derivat vektora količine gibanja sustava s obzirom na vrijeme jednaka je glavnom vektoru vanjskih sila sustava. Zbrojimo ove jednadžbe nad svim točkama: Na lijevoj strani jednadžbe uvodimo mase pod znakom derivacije i zamjenjujemo zbroj derivacija derivacijom zbroja: Iz definicije količine gibanja sustava : U projekcijama na koordinatne osi:

21 slajd

Eulerov teorem - Primjena teorema o promjeni momenta gibanja sustava kontinuirani medij(voda) . 1. Odabiremo volumen vode u krivolinijskom kanalu turbine kao objekt gibanja: 2. Odbacujemo ograničenja i zamjenjujemo njihovo djelovanje reakcijama (Rpov - rezultanta površinskih sila) 3. Dodajemo aktivne sile (Rpov - rezultanta volumenskih sila): 4. Zapišite teorem o promjeni količine gibanja sustava: Količina gibanja vode u trenucima t0 i t1 predstavlja se kao zbroj: Promjena količine gibanja vode u vremenu interval: Promjena količine kretanja vode za beskonačno mali vremenski interval dt:, gdje je F1 F2 Uzimajući umnožak gustoće, površine poprečnog presjeka i brzine za drugu masu dobivamo: Zamjena diferencijala količine gibanja sustava u teorem promjene dobivamo: Posljedice iz teorema o promjeni količine gibanja sustava (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava jednak nuli, Re = 0, tada je vektor količine gibanja konstantan, Q = const je zakon održanja količine gibanja sustava). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na os x jednaka nuli, Rxe = 0, tada je projekcija količine gibanja sustava na os x konstantna, Qx = konst. Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. Predavanje 7 (nastavak 7.2) Primjer: Granata mase M, koja je letjela brzinom v, eksplodirala je na dva dijela. Brzina jednog od ulomaka mase m1 porasla je u smjeru gibanja na vrijednost v1. Odredite brzinu druge krhotine. 1. Predmet kretanja (granata): 2. Objekt je slobodan sustav, veze i njihove reakcije su odsutne. 3. Dodajte aktivne sile: 4. Zapišite teorem o promjeni količine gibanja: Projektirajte na os: β Odvojite varijable i integrirajte: Desni integral je praktički nula, jer vrijeme eksplozije t

22 slajd

Predavanje 7 (nastavak 7.3) 20 Kutni moment točke ili kutni moment gibanja u odnosu na određeno središte je mjera mehaničkog gibanja, određena vektorom jednakim vektorskom umnošku vektora radijusa materijalne točke pomoću vektor njegovog zamaha: Kinetički moment sustava materijalnih točaka u odnosu na određeno središte je geometrijski zbroj momenata broja gibanja svih materijalnih točaka u odnosu na isto središte: U projekcijama na os: U projekcijama na os: Teorem o promjeni kutne količine gibanja sustava - Razmotrimo sustav od n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku točku osnovnu jednadžbu dinamike: ili Zbrojimo ove jednadžbe po svim točkama: Zamijenimo zbroj derivacija derivacijom zbroja: Izraz u zagradama je moment momenta zamaha sustava. Odavde: Svaki od vektora jednakosti množimo s radijus vektorom s lijeve strane: Pogledajmo je li moguće pomaknuti predznak derivacije izvan vektorskog umnoška: Tako smo dobili: Derivat kutnog momenta sustava u odnosu na neko središte u vremenu jednak je glavnom momentu vanjskih sila sustava u odnosu na isto središte. U projekcijama na koordinatne osi: Derivat kutnog momenta sustava u odnosu na određenu os u vremenu jednak je glavnom momentu vanjskih sila sustava u odnosu na istu os.

23 slajd

Predavanje 8 21 ■ Posljedice iz teorema o promjeni kutne količine gibanja sustava (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu vektor glavnog momenta vanjskih sila sustava u odnosu na neko središte jednak na nulu, MOe = 0, tada je vektor kutnog momenta sustava u odnosu na istu središnju konstantu, KO = const je zakon održanja kutnog momenta sustava). 2. Ako je u vremenskom intervalu glavni moment vanjskih sila sustava u odnosu na os x jednak nuli, Mxe = 0, tada je kutni moment sustava u odnosu na os x konstantan, Kx = const. Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. 2. Moment tromosti krutog tijela oko osi: Moment tromosti materijalne točke oko osi jednak je umnošku mase točke s kvadratom udaljenosti točke od osi. Trenutak tromosti krutog tijela oko osi jednak je zbroju umnožaka mase svake točke s kvadratom udaljenosti te točke do osi. ■ Elementi teorije momenata tromosti - Kada se kruto tijelo rotira, mjera tromosti (otpora promjeni gibanja) je moment tromosti oko osi rotacije. Razmotrimo osnovne pojmove definicije i metode izračunavanja momenata tromosti. 1. Moment tromosti materijalne točke oko osi: Prilikom prijelaza s diskretne male mase na beskonačno malu masu točke, granica takvog zbroja određena je integralom: aksijalnim momentom tromosti krutog tijela. tijelo. Osim aksijalnog momenta tromosti krutog tijela, postoje i druge vrste momenata tromosti: centrifugalni moment tromosti krutog tijela. polarni moment tromosti krutog tijela. 3. Teorem o momentima tromosti krutog tijela oko paralelnih osi - formula za prijelaz na paralelne osi: Moment tromosti oko izvorne osi Statički momenti tromosti oko izvornih osi Masa tijela Udaljenost između osi z1 i z2 Dakle: Ako os z1 prolazi kroz središte mase, tada su statički momenti jednaki nuli:

24 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.2) 22 Moment tromosti homogenog štapa konstantnog presjeka oko osi: xz L Odaberemo elementarni volumen dV = Adx na udaljenosti x: x dx Elementarna masa: Izračunati moment tromosti oko središnje osi (prolazi kroz težište), dovoljno je promijeniti položaj osi i postaviti granice integracije (-L / 2, L / 2). Ovdje ćemo demonstrirati formulu za prijelaz na paralelne osi: zS 5. Moment tromosti homogenog čvrstog cilindra oko osi simetrije: H dr r Odaberimo elementarni volumen dV = 2πrdrH (tanki cilindar polumjera r): Elementarna masa: Ovdje smo koristili formulu za volumen cilindra V = πR2H. Za izračunavanje momenta tromosti šupljeg (debelog) cilindra dovoljno je postaviti granice integracije od R1 do R2 (R2> R1): 6. Moment inercije tankog cilindra oko osi simetrije (t

25 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.3) 23 ■ Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela oko osi: Napišimo teorem o promjeni kutnog momenta krutog tijela koje rotira oko fiksne osi: Kinetički moment rotacionog krutog tijela tijelo je: Moment vanjskih sila oko osi rotacije jednak je momentu (reakcije i sila bez momenta gravitacije): Zamijenite kutni moment i moment u teoremu Primjer: Dvije osobe iste težine G1 = G2 vise na uže bačeno preko čvrstog bloka težine G3 = G1 / 4. U nekom trenutku, jedan od njih se počeo penjati po užetu relativnom brzinom u. Odredite brzinu dizanja svakog od ljudi. 1. Odaberite objekt gibanja (blok s ljudima): 2. Odbacite veze (noseći uređaj bloka): 3. Zamijenite vezu s reakcijama (ležaj): 4. Dodajte aktivne sile (gravitaciju): 5. Napišite niz teorem o promjeni kinetičkog momenta sustava u odnosu na osi rotacije bloka: R Budući da je moment vanjskih sila jednak nuli, kutni moment mora ostati konstantan: U početnom trenutku vremena t = 0, došlo je do ravnoteže i Kz0 = 0. Nakon početka kretanja jedne osobe u odnosu na uže, cijeli se sustav počeo kretati, ali sustav kutnog momenta mora ostati jednak nuli: Kz = 0. Kinetički moment sustava je zbroj kinetičkih momenata ljudi i bloka: Ovdje je v2 brzina druge osobe, jednaka brzini sajle, Primjer: Odredite period malih slobodnih oscilacija homogenog štapa mase M i duljine l, obješen jednim krajem na fiksnu os rotacije. Ili: U slučaju malih oscilacija sinφ φ: Period titranja: Moment inercije šipke:

26 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.4 - dodatni materijal) 24 ■ Osnovna teorija žiroskopa: Žiroskop je kruto tijelo koje rotira oko osi materijalne simetrije, čija je jedna od točaka nepomična. Slobodni žiroskop je fiksiran tako da mu središte mase ostaje nepomično, a os rotacije prolazi kroz središte mase i može zauzeti bilo koji položaj u prostoru, t.j. os rotacije mijenja svoj položaj kao i os vlastite rotacije tijela tijekom sfernog gibanja. Glavna pretpostavka aproksimativne (elementarne) teorije žiroskopa je da se vektor kutnog momenta (kutnog momenta) rotora pretpostavlja da je usmjeren duž vlastite osi rotacije. Dakle, unatoč činjenici da u općem slučaju rotor sudjeluje u tri rotacije, u obzir se uzima samo kutna brzina vlastite rotacije ω = dφ / dt. Razlog tome je što u Moderna tehnologija rotor žiroskopa rotira se kutnom brzinom reda 5000-8000 rad/s (oko 50.000-80.000 o/min), dok su druge dvije kutne brzine povezane s precesijom i nutacijom vlastite osi rotacije desecima tisuća puta manja od ove brzine. Glavno svojstvo slobodnog žiroskopa je da os rotora održava stalan smjer u prostoru u odnosu na inercijski (zvjezdani) referentni okvir (demonstriran Foucaultovim njihalom, koji drži ravninu ljuljanja nepromijenjenom u odnosu na zvijezde, 1852). To proizlazi iz zakona održanja kutnog momenta u odnosu na središte mase rotora, pod uvjetom da se zanemari trenje u ležajevima osovina ovjesa rotora, vanjskih i unutarnjih okvira: Djelovanje sile na os slobodnog žiroskopa. U slučaju primjene sile na os rotora, moment vanjskih sila u odnosu na središte mase nije jednak nuli: sila, a u smjeru vektora momenta te sile, t.j. neće se okretati oko x-osi (unutarnji ovjes), već oko y-osi (vanjski ovjes). Kada se sila prekine, os rotora će ostati u nepromijenjenom položaju koji odgovara posljednjem trenutku sile, jer od ovog trenutka, moment vanjskih sila ponovno postaje jednak nuli. U slučaju kratkotrajnog djelovanja sile (udara), os žiroskopa praktički ne mijenja svoj položaj. Dakle, brza rotacija rotora daje žiroskopu sposobnost suprotstavljanja slučajnim utjecajima koji teže promjeni položaja osi rotacije rotora, te pod stalnim djelovanjem sile održava položaj ravnine okomite na djelujuća sila, u kojem leži os rotora. Ova svojstva se koriste u radu inercijskih navigacijskih sustava.

Predavanja iz teorijske mehanike

Dinamika točaka

Predavanje 1

Osnovni pojmovi dinamike

U poglavlju Dinamika proučava se kretanje tijela pod djelovanjem sila koje se na njih primjenjuju. Stoga, pored pojmova koji su uvedeni u odjeljku Kinematika, ovdje je potrebno koristiti nove pojmove koji odražavaju specifičnosti djelovanja sila na različita tijela i reakcije tijela na te utjecaje. Razmotrimo glavne od ovih koncepata.

a) snaga

Sila je kvantitativni rezultat utjecaja drugih tijela na određeno tijelo. Sila je vektorska veličina (slika 1).

Točka A početka vektora sile F pozvao točka primjene sile... Pravica MN na kojoj se nalazi vektor sile naziva se linija djelovanja sile. Duljina vektora sile, mjerena na određenoj skali, naziva se brojčana vrijednost ili modul vektora sile... Modul sile se označava kao ili. Djelovanje sile na tijelo očituje se ili u njegovoj deformaciji, ako je tijelo nepomično, ili u davanju ubrzanja kada se tijelo kreće. Na tim manifestacijama sile temelji se uređaj različitih uređaja (silamjera ili dinamometara) za mjerenje sila.

b) sustav sila

Skup sila koje se razmatraju oblici sustav snaga. Svaki sustav koji se sastoji od n sila može se zapisati u sljedećem obliku:

c) slobodno tijelo

Tijelo koje se može kretati u prostoru u bilo kojem smjeru, a da ne doživi izravnu (mehaničku) interakciju s drugim tijelima naziva se besplatno ili izolirani... Djelovanje jednog ili drugog sustava sila na tijelo može se razjasniti samo ako je ovo tijelo slobodno.

d) rezultantna sila

Ako bilo koja sila ima isti učinak na slobodno tijelo kao određeni sustav sila, tada se ta sila naziva rezultanta ovog sustava sila... Ovo je napisano kako slijedi:

,

što znači ekvivalencija djelovanje na jedno te isto slobodno tijelo rezultanta i neki sustav n sila.

Prijeđimo sada na razmatranje složenijih koncepata vezanih uz kvantitativno određivanje rotacijskih učinaka sila.

e) moment sile oko točke (centra)

Ako se tijelo pod djelovanjem sile može rotirati oko neke fiksne točke O (slika 2), tada se za kvantificiranje ovog rotacijskog učinka uvodi fizička veličina koja se naziva moment sile oko točke (centra).

Zove se ravnina koja prolazi kroz zadanu fiksnu točku i liniju djelovanja sile ravnina djelovanja sile... Na slici 2 to je ravnina OAV.

Moment sile u odnosu na točku (središte) je vektorska veličina jednaka vektorskom proizvodu radijus vektora točke primjene sile vektorom sile:

( 1)

Prema pravilu vektorskog množenja dvaju vektora, njihov vektorski umnožak je vektor okomit na ravninu položaja vektora faktora (u ovom slučaju ravninu trokuta OAB), usmjeren u smjeru iz kojeg je najkraći rotacija prvog vektora faktora prema drugom vektoru je faktor vidljivo na kazaljci na satu (slika 2). Ovim redoslijedom vektora faktora vektorskog produkta (1) rotacija tijela pod djelovanjem sile bit će vidljiva prema kazaljki sata (slika 2) Budući da je vektor okomit na ravninu djelovanja sile, njezin položaj u prostoru određuje položaj ravnine djelovanja sile.u odnosu na središte jednaka je udvostručenoj površini OAV i može se odrediti formulom:

, (2)

gdje veličinah, jednaka najkraćoj udaljenosti od zadane točke O do linije djelovanja sile, naziva se rame sile.

Ako položaj ravnine djelovanja sile u prostoru nije bitan za karakteristiku rotacijskog djelovanja sile, tada se u ovom slučaju karakterizira rotacijsko djelovanje sile, umjesto vektora momenta sile. koristi se algebarski moment sile:

(3)

Algebarski moment sile u odnosu na dano središte jednak je umnošku modula sile po njegovom ramenu, uzetom sa predznakom plus ili minus. U ovom slučaju pozitivni moment odgovara rotaciji tijela pod djelovanjem zadane sile prema kazaljki sata, a negativni moment odgovara rotaciji tijela duž kazaljke sata. Iz formula (1), (2) i (3) slijedi da moment sile u odnosu na točku jednak je nuli samo ako je rame ove silehjednaka nuli... Takva sila ne može rotirati tijelo oko određene točke.

f) Moment sile oko osi

Ako se tijelo pod djelovanjem sile može rotirati oko neke fiksne osi (na primjer, rotacija okvira vrata ili prozora u šarkama kada su otvoreni ili zatvoreni), tada se za kvantificiranje ovog rotacijskog učinka uvodi fizička veličina koja Zove se moment sile oko date osi.

z

 b F xy

Slika 3 prikazuje dijagram u skladu s kojim se određuje moment sile u odnosu na os z:

Kut  čine dva okomita smjera z i na ravnine trokuta O ab i OAV, respektivno. Budući da  O ab je projekcija OAV na xy ravninu, tada prema teoremu o stereometriji o projekciji ravne figure na ovu ravninu imamo:

gdje predznak plus odgovara pozitivnoj vrijednosti cos, tj. oštrim kutovima , a znak minus odgovara negativnoj vrijednosti cos, tj. tupim kutovima , što je posljedica smjera vektora. Zauzvrat, SO ab=1/2abh, gdje h  ab ... Veličina segmenta ab jednaka je projekciji sile na ravninu xy, t.j. . ab = F xy .

Na temelju navedenog, kao i jednakosti (4) i (5), definiramo moment sile u odnosu na os z na sljedeći način:

Jednakost (6) nam omogućuje da formuliramo sljedeću definiciju momenta sile u odnosu na bilo koju os: Moment sile u odnosu na danu os jednak je projekciji na ovu os vektora momenta te sile u odnosu na bilo koju os. točka ove osi i definira se kao umnožak projekcije sile na ravninu okomitu na ovu os, uzet sa znakom plus ili minus na ramenu ove projekcije u odnosu na točku presjeka osi s ravninom projekcije . U ovom slučaju, predznak trenutka smatra se pozitivnim ako je, gledajući iz pozitivnog smjera osi, rotacija tijela oko ove osi vidljiva na kazaljci sata. Inače, moment sile oko osi uzima se negativnim. Budući da je ovu definiciju momenta sile oko osi prilično teško zapamtiti, preporuča se zapamtiti formulu (6) i sl. 3, koja objašnjava ovu formulu.

Iz formule (6) proizlazi da moment sile oko osi je nula ako paralelna je s osi (u ovom slučaju njena projekcija na ravninu okomitu na os je nula), ili linija djelovanja sile siječe os (tada rame projekcije h=0). To u potpunosti odgovara fizičkom značenju momenta sile oko osi kao kvantitativne karakteristike rotacijskog učinka sile na tijelo koje ima os rotacije.

g) tjelesna težina

Odavno je uočeno da pod djelovanjem sile tijelo postupno dobiva brzinu i nastavlja se kretati ako se sila ukloni. To svojstvo tijela, da se odupru promjeni njihovog kretanja, zvalo se tromosti ili tromosti tijela. Kvantitativna mjera inertnosti tijela je njegova masa. Osim, masa tijela je kvantitativna mjera djelovanja gravitacijskih sila na dano tijelo što je masa tijela veća, to je veća gravitacijska sila koja djeluje na tijelo. Kao što je prikazano niže, NS Ove dvije definicije tjelesne težine su povezane.

Ostatak pojmova i definicija dinamike bit će razmotren kasnije u odjeljcima gdje se prvi put pojavljuju.

2. Veze i reakcije veze

Ranije u odjeljku 1, točka (c), dan je koncept slobodnog tijela, kao tijela koje se može kretati u prostoru u bilo kojem smjeru, a da nije u izravnom kontaktu s drugim tijelima. Većina stvarnih tijela koja nas okružuju u izravnom je kontaktu s drugim tijelima i ne mogu se kretati u jednom ili drugom smjeru. Tako se, na primjer, tijela na površini stola mogu kretati u bilo kojem smjeru, osim u smjeru okomitom na površinu stola prema dolje. Vrata sa šarkama mogu se rotirati, ali se ne mogu translati itd. Tijela koja se ne mogu kretati u prostoru u jednom ili drugom smjeru nazivaju se nije besplatno.

Sve što ograničava kretanje danog tijela u prostoru naziva se ograničenjima. To može biti bilo koja druga tijela koja sprječavaju kretanje ovog tijela u nekim smjerovima ( fizičke veze); u širem smislu, to mogu biti neki uvjeti nametnuti kretanju tijela, ograničavajući to kretanje. Dakle, možete postaviti uvjet da se kretanje materijalne točke događa duž zadane krivulje. U ovom slučaju, veza je određena matematički u obliku jednadžbe ( jednadžba ograničenja). U nastavku će se detaljnije raspravljati o pitanju vrsta poveznica.

Većina veza nametnutih tijelima su praktički fizičke veze. Stoga se postavlja pitanje interakcije ovog tijela i povezanosti nametnute ovom tijelu. Na ovo pitanje odgovara aksiom o međudjelovanju tijela: Dva tijela djeluju jedno na drugo silama jednakim po veličini, suprotnog smjera i smještene na istoj pravoj liniji. Te se sile nazivaju interakcijske sile. Sile interakcije primjenjuju se na različita tijela koja djeluju. Tako, na primjer, kada zadano tijelo i veza međusobno djeluju, jedna od interakcijskih sila se primjenjuje sa strane tijela na spoj, a druga sila interakcije se primjenjuje sa strane veze na ovo tijelo. Ova posljednja moć se zove snagom reakcije veze ili jednostavno, komunikacijska reakcija.

Pri rješavanju praktičnih zadataka dinamike potrebno je znati pronaći smjer reakcija raznih vrsta veza. U tome ponekad može pomoći opće pravilo određivanja smjera reakcije veze: Reakcija veze je uvijek usmjerena suprotno od smjera u kojem ta veza sprječava kretanje danog tijela. Ako se ovaj smjer može definitivno naznačiti, tada će reakcija veze biti određena smjerom. Inače, smjer reakcije veze je neizvjestan i može se pronaći samo iz odgovarajućih jednadžbi gibanja ili ravnoteže tijela. Detaljnije pitanje o vrstama veza i smjeru njihovih reakcija treba proučiti u udžbeniku: S.M. Targ Kratki tečaj teorijske mehanike "Gimnazija", M., 1986. Poglavlje 1, §3.

U odjeljku 1, točka (c), rečeno je da se učinak bilo kojeg sustava sila može u potpunosti odrediti samo ako se ovaj sustav sila primijeni na slobodno tijelo. Budući da većina tijela, u stvarnosti, nije slobodna, onda se radi proučavanja kretanja tih tijela postavlja pitanje kako ta tijela učiniti slobodnima. Na ovo pitanje je odgovoreno aksiom veza predavanja na filozofija kod kuće. Predavanja bili... socijalna psihologija i etnopsihologije. 3. Teorijski Ishodi U socijaldarvinizmu je bilo...

Teorijski Mehanika

Vodič za učenje >> Fizika

Sažetak predavanja na predmet TEORIJSKI MEHANIKA Za studente specijalnosti: 260501,65 ... - redoviti Sažetak predavanja sastavljeno na temelju: L.V. Butorin, E.B. Busygin. Teorijski Mehanika... Priručnik za obuku...

Teorijska mehanika- ovo je dio mehanike, koji postavlja osnovne zakone mehaničkog gibanja i mehaničke interakcije materijalnih tijela.

Teorijska mehanika je znanost u kojoj se proučavaju gibanja tijela tijekom vremena (mehanička kretanja). Služi kao osnova za druge grane mehanike (teorija elastičnosti, otpora materijala, teorija plastičnosti, teorija mehanizama i strojeva, hidroaerodinamika) i mnoge tehničke discipline.

Mehaničko kretanje- ovo je promjena tijekom vremena u relativnom položaju materijalnih tijela u prostoru.

Mehanička interakcija- to je takva interakcija uslijed koje se mijenja mehaničko kretanje ili se mijenja relativni položaj dijelova tijela.

Statika krutog tijela

Statika- ovo je dio teorijske mehanike, koji se bavi problemima ravnoteže krutih tijela i transformacije jednog sustava sila u drugi, njemu ekvivalentan.

Osnovni pojmovi i zakoni statike
• Apsolutno solidno(čvrsto tijelo, tijelo) je materijalno tijelo, udaljenost između bilo koje točke u kojem se ne mijenja.
• Materijalna točka Je li tijelo čije se dimenzije, prema uvjetima problema, mogu zanemariti.
• Slobodno tijelo Je tijelo čije kretanje nije podložno ikakvim ograničenjima.
• Neslobodno (vezano) tijelo Je li tijelo s ograničenjima nametnutim njegovom kretanju.
• Veze- to su tijela koja sprječavaju kretanje predmeta koji se razmatra (tijela ili sustava tijela).
• Komunikacijska reakcija Je sila koja karakterizira učinak veze na kruto tijelo. Ako silu kojom kruto tijelo djeluje na vezu smatramo djelovanjem, onda je reakcija veze reakcija. U ovom slučaju sila - djelovanje se primjenjuje na vezu, a reakcija veze se primjenjuje na kruto tijelo.
• Mehanički sustav Je skup međusobno povezanih tijela ili materijalnih točaka.
• Čvrsto može se smatrati mehaničkim sustavom čiji se položaj i udaljenost između točaka ne mijenjaju.
• Sila Je vektorska veličina koja karakterizira mehaničko djelovanje jednog materijalnog tijela na drugo.
  Silu kao vektor karakterizira točka primjene, smjer djelovanja i apsolutna vrijednost. Jedinica mjere za modul sile je Newton.
• Linija prisilne akcije Je ravna linija duž koje je usmjeren vektor sile.
• Koncentrirana snaga- sila primijenjena u jednoj točki.
• Raspodijeljene sile (raspodijeljeno opterećenje)- to su sile koje djeluju na sve točke volumena, površine ili duljine tijela.
  Raspodijeljeno opterećenje je postavljeno silom koja djeluje na jedinicu volumena (površinu, duljinu).
  Dimenzija raspoređenog opterećenja je N / m 3 (N / m 2, N / m).
• Vanjska sila Je li sila koja djeluje iz tijela koje ne pripada razmatranom mehaničkom sustavu.
• Unutarnja snaga Je li sila koja djeluje na materijalnu točku mehaničkog sustava iz druge materijalne točke koja pripada sustavu koji se razmatra.
• Sustav sile Je skup sila koje djeluju na mehanički sustav.
• Ravni sustav sila To je sustav sila čije linije djelovanja leže u istoj ravnini.
• Prostorni sustav snaga Je sustav sila čije linije djelovanja ne leže u istoj ravnini.
• Sustav konvergirajućih sila Je sustav sila čije se linije djelovanja sijeku u jednoj točki.
• Samovoljni sustav sila Je sustav sila čije se linije djelovanja ne sijeku u jednoj točki.
• Ekvivalentni sustavi sila- to su sustavi sila čija zamjena jedne drugima ne mijenja mehaničko stanje tijela.
  Prihvaćena oznaka:.
• Ravnoteža- to je stanje u kojem tijelo pod djelovanjem sila ostaje nepomično ili se giba jednoliko pravocrtno.
• Uravnotežen sustav snaga Je sustav sila koji, kada se primijeni na slobodnu krutu tvar, ne mijenja svoje mehaničko stanje (ne debalansira).
  .
• Rezultirajuća sila Je li sila čije je djelovanje na tijelo jednako djelovanju sustava sila.
  .
• Trenutak snage Je vrijednost koja karakterizira sposobnost rotacije sile.
• Par sila Sustav je dviju paralelnih, jednakih po veličini, suprotno usmjerenih sila.
  Prihvaćena oznaka:.
  Pod djelovanjem para sila tijelo će se rotirati.
• Projekcija sile osi Je li segment zatvoren između okomica povučenih s početka i kraja vektora sile na ovu os.
  Projekcija je pozitivna ako se smjer odsječka pravca poklapa s pozitivnim smjerom osi.
• Projekcija sile na ravninu Je vektor na ravnini, zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu ravninu.
• Zakon 1 (zakon inercije). Izolirana materijalna točka miruje ili se kreće ravnomjerno i pravocrtno.
  Jednoliko i pravocrtno gibanje materijalne točke je gibanje po inerciji. Stanje ravnoteže između materijalne točke i krutog tijela shvaća se ne samo kao stanje mirovanja, već i kao gibanje po inerciji. Za solidne, postoje različite vrste inercijalno gibanje, na primjer, ravnomjerna rotacija krutog tijela oko fiksne osi.
• Zakon 2.Čvrsto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dviju sila samo ako su te sile jednake po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž zajedničke crte djelovanja.
  Ove dvije sile nazivaju se silama ravnoteže.
  Općenito, sile se nazivaju balansirajućim ako kruto tijelo na koje se te sile primjenjuju miruje.
• Zakon 3. Bez narušavanja stanja (riječ "stanje" ovdje znači stanje gibanja ili mirovanja) krutog tijela, može se dodavati i ispuštati protuteža.
  Posljedica. Bez narušavanja stanja krutog tijela, sila se može prenijeti duž njegove linije djelovanja na bilo koju točku u tijelu.
  Dva sustava sila nazivaju se ekvivalentnima ako se jedan od njih može zamijeniti drugim bez narušavanja stanja krutog tijela.
• Zakon 4. Rezultanta dviju sila primijenjenih u jednoj točki, primijenjene u istoj točki, jednaka je po veličini dijagonali paralelograma izgrađenog na tim silama i usmjerena je duž ove
  dijagonale.
  Modul rezultante je jednak:
  
• Zakon 5 (zakon jednakosti akcije i reakcije)... Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž jedne ravne crte.
  Treba imati na umu da akcijski- sila primijenjena na tijelo B, i protuakcija- sila primijenjena na tijelo A nisu uravnoteženi, budući da su vezani za različita tijela.
• Zakon 6 (zakon otvrdnjavanja)... Ravnoteža nečvrstog tijela se ne narušava kada se skrutne.
  Ne treba zaboraviti da su uvjeti ravnoteže, koji su nužni i dovoljni za kruto tijelo, nužni, ali ne i dovoljni za odgovarajuće nečvrsto.
• Zakon 7 (zakon oslobađanja od veza). Neslobodno kruto tijelo može se smatrati slobodnim ako je mentalno oslobođeno veza, zamjenjujući djelovanje veza odgovarajućim reakcijama veza.

Veze i njihove reakcije
• Glatka površina ograničava kretanje duž normale na površinu potpore. Reakcija je usmjerena okomito na površinu.
• Zglobni pokretni oslonac ograničava kretanje tijela duž normale na referentnu ravninu. Reakcija je usmjerena duž normale na površinu potpore.
• Zglobni fiksni oslonac suprotstavlja se svakom kretanju u ravnini okomitoj na os rotacije.
• Zglobni bestežinski štap suprotstavlja se kretanju tijela duž linije šipke. Reakcija će biti usmjerena duž linije trake.
• Slijepi prekid suprotstavlja se svakom kretanju i rotaciji u ravnini. Njegovo djelovanje može se zamijeniti silom predstavljenom u obliku dvije komponente i parom sila s momentom.

Kinematika

Kinematika- dio teorijske mehanike koji se bavi općom geometrijska svojstva mehaničko kretanje, kao proces koji se odvija u prostoru i vremenu. Pokretni objekti smatraju se geometrijskim točkama ili geometrijskim tijelima.

Osnovni pojmovi kinematike
• Zakon gibanja točke (tijela) Je li ovisnost položaja točke (tijela) u prostoru o vremenu.
• Putanja točke Je li geometrijski položaj točke u prostoru tijekom njenog kretanja.
• Brzina točke (tijela).- Ovo je karakteristika promjene u vremenu položaja točke (tijela) u prostoru.
• Točkasto (tjelesno) ubrzanje- Ovo je karakteristika promjene u vremenu brzine točke (tijela).

Određivanje kinematičkih karakteristika točke
• Putanja točke
  U vektorskom referentnom okviru putanja se opisuje izrazom:.
  U referentnom koordinatnom sustavu putanja je određena prema zakonu gibanja točke i opisana je izrazima z = f (x, y)- u svemiru, ili y = f (x)- u avionu.
  U prirodnom referentnom okviru, putanja je unaprijed određena.
• Određivanje brzine točke u vektorskom koordinatnom sustavu
  Prilikom zadavanja kretanja točke u vektorskom koordinatnom sustavu, omjer kretanja i vremenskog intervala naziva se prosječna vrijednost brzine u tom vremenskom intervalu:.
  Uzimajući vremenski interval kao beskonačno malu vrijednost, vrijednost brzine se dobiva u danom trenutku (trenutna vrijednost brzine): .
  Vektor prosječne brzine usmjeren je duž vektora u smjeru kretanja točke, vektor trenutne brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke.
  Izlaz: brzina točke je vektorska veličina jednaka derivaciji zakona gibanja s obzirom na vrijeme.
  Svojstvo derivata: derivacija bilo koje veličine s obzirom na vrijeme određuje brzinu promjene ove veličine.
• Određivanje brzine točke u koordinatnom sustavu
  Stope promjene koordinata točaka:
  .
  Modul pune brzine točke s pravokutnim koordinatnim sustavom bit će jednak:
  .
  Smjer vektora brzine određen je kosinusima smjernih kutova:
  ,
  gdje su kutovi između vektora brzine i koordinatnih osi.
• Određivanje brzine točke u prirodnom referentnom okviru
  Brzina točke u prirodnom referentnom okviru određuje se kao derivacija zakona gibanja točke:.
  Prema prethodnim zaključcima, vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke i u osi je određen samo jednom projekcijom.

Kinematika krutog tijela
• U kinematici čvrstih tijela rješavaju se dva glavna zadatka:
  1) zadatak kretanja i određivanje kinematičkih karakteristika tijela u cjelini;
  2) određivanje kinematičkih karakteristika točaka tijela.
• Translacijsko gibanje krutog tijela
  Translacijsko gibanje je kretanje u kojem ravna crta povučena kroz dvije točke tijela ostaje paralelna sa svojim izvornim položajem.
  Teorema: tijekom translacijskog gibanja, sve točke tijela kreću se po istim putanjama i u svakom trenutku imaju istu brzinu i ubrzanje po veličini i smjeru.
  Izlaz: translacijsko kretanje krutog tijela određeno je kretanjem bilo koje njegove točke, u vezi s čime se zadatak i proučavanje njegovog kretanja svodi na kinematiku točke.
• Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne osi
  Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne osi je kretanje krutog tijela u kojem dvije točke koje pripadaju tijelu ostaju nepomične tijekom cijelog vremena kretanja.
  Položaj tijela određen je kutom rotacije. Jedinica za kut je radijana. (Radijan je središnji kut kružnice čija je duljina luka jednaka polumjeru, ukupni kut kružnice sadrži 2π radijani.)
  Zakon rotacijskog gibanja tijela oko fiksne osi.
  Kutna brzina i kutno ubrzanje tijela određuju se metodom diferencijacije:
  - kutna brzina, rad / s;
  - kutno ubrzanje, rad/s².
  Ako tijelo režete ravninom okomitom na os, odaberite točku na osi rotacije S i proizvoljna točka M onda pokažite Mće opisati oko točke S polumjer kruga R... Tijekom dt dolazi do elementarne rotacije kroz kut, dok točka M kretat će se duž putanje na udaljenosti .
  Modul linearne brzine:
  .
  Točkasto ubrzanje M s poznatom putanjom, određen je njegovim komponentama:
  ,
  gdje .
  Kao rezultat, dobivamo formule
  tangencijalno ubrzanje: ;
  normalno ubrzanje: .

Dinamika

Dinamika- Ovo je dio teorijske mehanike u kojem se proučavaju mehanička kretanja materijalnih tijela, ovisno o razlozima koji ih uzrokuju.

Osnovni pojmovi dinamike
• Inercija- to je svojstvo materijalnih tijela da održavaju stanje mirovanja ili jednoliko pravocrtno gibanje sve dok vanjske sile ne promijene ovo stanje.
• Težina Je kvantitativna mjera inercije tijela. Jedinica mjere za masu je kilogram (kg).
• Materijalna točka Je tijelo s masom, čije se dimenzije zanemaruju pri rješavanju ovog problema.
• Težište mehaničkog sustava- geometrijska točka čije su koordinate određene formulama:
  
  gdje m k, x k, y k, z k- masa i koordinate k-ta točka mehaničkog sustava, m Je masa sustava.
  U homogenom gravitacijskom polju položaj središta mase poklapa se s položajem težišta.
• Moment tromosti materijalnog tijela oko osi Je kvantitativna mjera rotacijske inercije.
  Trenutak tromosti materijalne točke oko osi jednak je umnošku mase točke s kvadratom udaljenosti točke od osi:
  .
  Trenutak tromosti sustava (tijela) oko osi jednak je aritmetičkom zbroju momenata tromosti svih točaka:
  
• Sila tromosti materijalne točke Je li vektorska veličina jednaka po veličini umnošku mase točke na modul akceleracije i usmjerena suprotno vektoru ubrzanja:
• Sila tromosti materijalnog tijela Je li vektorska veličina jednaka po modulu umnošku mase tijela po modulu akceleracije središta mase tijela i usmjerena suprotno vektoru akceleracije središta mase:,
  gdje je akceleracija centra mase tijela.
• Impuls elementarne sile Je li vektorska veličina jednaka umnošku vektora sile za beskonačno mali vremenski interval dt:
  .
  Ukupni impuls sile za Δt jednak je integralu elementarnih impulsa:
  .
• Elementarni rad snage Je skalar dA jednak skalarnom proi

državna autonomna institucija

Kalinjingradska regija

profesionalnim obrazovna organizacija

Visoka škola za usluge i turizam

Tečaj predavanja s primjerima praktični zadaci

"Osnove teorijske mehanike"

po discipliniTehnička mehanika

za studente3 tečaj

specijaliteti20.02.04. Sigurnost od požara

Kalinjingrad

ODOBRENO

Zamjenik ravnatelja za UR GAU KO VET KSTN. Mjasnikova

ODOBRENO

Metodičko vijeće GAU KO POO KST

SMATRANO

Na sastanku PCC-a

Urednički tim:

Kolganova A.A., metodologinja

Falaleeva A.B., profesorica ruskog jezika i književnosti

Tsvetaeva L.V., predsjednica PCC-aopće matematičke i prirodoslovne discipline

Sastavio:

I.V. Nezvanova nastavnik GAU KO VET KST

Sadržaj

1. Teorijske informacije

1. Teorijske informacije

1. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Dinamika: osnovni pojmovi i aksiomi

1. Teorijske informacije

1. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Bibliografija

Statika: osnovni pojmovi i aksiomi.

1. Teorijske informacije

Statika - dio teorijske mehanike, koji razmatra svojstva sila koje se primjenjuju na točke krutog tijela i uvjete za njihovu ravnotežu. Glavni ciljevi:

1. Transformacije sustava sila u ekvivalentne sustave sila.

2. Određivanje uvjeta ravnoteže za sustave sila koje djeluju na kruto tijelo.

Materijalna točka naziva najjednostavnijim modelom materijalnog tijela

bilo kojeg oblika, čije su dimenzije dovoljno male i koji se može uzeti kao geometrijska točka imajući određenu masu. Svaki skup materijalnih točaka naziva se mehanički sustav. Apsolutno čvrsto tijelo je mehanički sustav čiji se udaljenosti između točaka ne mijenjaju nikakvim interakcijama.

Sila Mjera je mehaničke interakcije materijalnih tijela jedno s drugim. Sila je vektorska veličina, jer je određena s tri elementa:

brojčana vrijednost;

smjer;

točka primjene (A).

Jedinica mjere za silu je Newton (N).

Slika 1.1

Sustav sila je kombinacija sila koje djeluju na tijelo.

Uravnotežen (jednak nuli) sustav sila naziva se sustav koji, primijenjen na tijelo, ne mijenja svoje stanje.

Sustav sila koje djeluju na tijelo može se zamijeniti jednom rezultantom, koja djeluje kao sustav sila.

Aksiomi statike.

Aksiom 1: Ako se na tijelo primijeni uravnoteženi sustav sila, ono se giba jednoliko i pravocrtno ili miruje (zakon inercije).

Aksiom 2: Apsolutno kruto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dviju sila ako i samo ako su te sile jednake po veličini, djeluju u jednoj ravnoj liniji i usmjerene su u suprotnim smjerovima. Slika 1.2

Aksiom 3: Mehaničko stanje tijela neće biti poremećeno ako se sustavu sila koje na njega djeluju pridodaju ili oduzmu uravnoteženi sustav sila.

Aksiom 4: Rezultanta dviju sila primijenjenih na tijelo jednaka je njihovom geometrijskom zbroju, odnosno izražena je u veličini i smjeru dijagonalom paralelograma izgrađenog na tim silama kao na stranicama.

Slika 1.3.

Aksiom 5: Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo uvijek su jednake po veličini i usmjerene duž jedne ravne u suprotnim smjerovima.

Slika 1.4.

Vrste veza i njihove reakcije

Linkovi nazivaju se svaka ograničenja koja ometaju kretanje tijela u prostoru. Tijelo, nastojeći pod djelovanjem primijenjenih sila izvršiti gibanje koje je otežano vezom, djelovat će na njega nekom silom tzv. sila pritiska na komunikaciju ... Prema zakonu jednakosti djelovanja i reakcije, veza će na tijelo djelovati istim modulom, ali suprotno usmjerenom silom.
Zove se sila kojom ta veza djeluje na tijelo, sprječavajući jedno ili drugo kretanje jačina reakcije (reakcije) veze .
Jedna od glavnih odredbi mehanike je princip oslobađanja obveznica : svako neslobodno tijelo može se smatrati slobodnim ako odbacimo veze i zamijenimo njihovo djelovanje reakcijama veza.

Reakcija veze usmjerena je u smjeru suprotnom od onog gdje veza ne dopušta kretanje tijela. Glavne vrste veza i njihove reakcije prikazane su u tablici 1.1.

Tablica 1.1

Vrste veza i njihove reakcije

Naziv komunikacije

Simbol

1

glatka površina (podrška) - površina (oslonac), trenje na kojem se dano tijelo može zanemariti.
Uz besplatnu podršku, reakcijavođen okomito na tangentu povučenu kroz točkuA tjelesni kontakt1 s potpornom površinom2 .

2

Konac (fleksibilan, nerastegljiv). Veza, izvedena u obliku nerastavljive niti, ne dopušta tijelu da se odmakne od točke ovjesa. Stoga je reakcija niti usmjerena duž niti do točke njezina ovjesa.

3

Štap bez težine - štap čija se težina može zanemariti u usporedbi s percipiranim opterećenjem.
Reakcija bestežinskog zglobnog pravolinijskog štapa usmjerena je duž osi štapa.

4

Pomična šarka, šarka pomična potpora. Reakcija je usmjerena duž normale na površinu potpore.

7

Kruti završetak. U ravnini krutog završetka nalazit će se dvije komponente reakcije, i moment para silašto sprječava okretanje grede1 u odnosu na točkuA .
Kruto fiksiranje u prostoru oduzima tijelu 1 svih šest stupnjeva slobode - tri pomaka duž koordinatnih osi i tri rotacije oko tih osi.
U prostornom krutom završetku bit će tri komponente, , i tri momenta para sila.

Sustav konvergirajućih sila

Sustav konvergirajućih sila naziva se sustavom sila čije se linije djelovanja sijeku u jednoj točki. Dvije sile koje konvergiraju u jednoj točki, prema trećem aksiomu statike, mogu se zamijeniti jednom silom -rezultantna .
Glavni vektor sustava sila - vrijednost jednaka geometrijskom zbroju sila sustava.

Rezultantni ravninski sustav konvergirajućih sila može se odreditigrafički i analitički.

Zbrajanje sustava sila . Zbrajanje ravnog sustava konvergentnih sila provodi se ili sukcesivnim zbrajanjem sila s konstrukcijom međurezultante (slika 1.5), ili konstruiranjem poligona sila (sl. 1.6).

Slika 1.5 Slika 1.6

Projekcija sile osi - algebarska veličina jednaka umnošku modula sile na kosinus kuta između sile i pozitivnog smjera osi.
ProjekcijaFx(slika 1.7) osovinske sile NSpozitivan ako je kut α oštar, negativan ako je kut α tup. Ako snagaje okomita na os, tada je njegova projekcija na os nula.

Slika 1.7

Projekcija sile na ravninu oh- vektor , zatvoren između projekcija početka i kraja silena ovu ravninu. Oni. projekcija sile na ravninu je vektorska veličina koju karakterizira ne samo brojčana vrijednost, već i smjer u ravninioh (Slika 1.8).

Slika 1.8

Zatim projekcijski modul u avionu oh bit će jednako:

Fxy = F cosα,

gdje je α kut između smjera sile i njegovu projekciju.
Analitički način postavljanja sila . Za analitički način određivanja snagepotrebno je odabrati koordinatni sustavOhyz, u odnosu na koji će se odrediti smjer sile u prostoru.
Vektor koji prikazuje snagu, može se nacrtati ako su poznati modul te sile i kutovi α, β, γ koje sila tvori s koordinatnim osi. TočkaA primjena sile odvojeno postavljenim svojim koordinatamaNS, na, z... Možete postaviti jačinu njegovih projekcijaFx, Fy, Fzna koordinatnim osovinama. Modul sile u ovom slučaju određuje se formulom:

a kosinusi smjera su:

, .

Analitički način zbrajanja sila : projekcija vektora zbroja na neku os jednaka je algebarskom zbroju projekcija članova vektora na istu os, tj. ako:

zatim , , .
Znajući Rx, Ry, Rz, možemo definirati modul

i kosinus smjera:

, , .

Slika 1.9

Za ravnotežu sustava konvergirajućih sila potrebno je i dovoljno da rezultanta tih sila bude jednaka nuli.
1) Uvjet geometrijske ravnoteže za konvergentni sustav sila : za ravnotežu sustava konvergirajućih sila potrebno je i dovoljno da poligon snage izgrađen od tih sila,

je zatvoren (kraj vektora posljednjeg člana

sila se mora kombinirati s početkom vektora prvog člana sile). Tada će glavni vektor sustava sila biti jednak nuli ()
2) Uvjeti analitičke ravnoteže . Modul glavnog vektora sustava sila određuje se formulom. = 0. Ukoliko , tada radikalni izraz može biti jednak nuli samo ako svaki član istovremeno nestane, t.j.

Rx= 0, Ry= 0, R z = 0.

Slijedom toga, za ravnotežu prostornog sustava konvergirajućih sila potrebno je i dovoljno da zbroji projekcija tih sila na svaku od tri koordinate osi budu jednaki nuli:

Za ravnotežu ravnog sustava konvergirajućih sila potrebno je i dovoljno da zbroji projekcija sila na svaku od dvije koordinatne osi budu jednaki nuli:

Zbrajanje dviju paralelnih sila usmjerenih u jednom smjeru.

Slika 1.9

Dvije paralelne sile usmjerene u jednom smjeru svode se na jednu rezultantnu silu, paralelnu s njima i usmjerenu u istom smjeru. Veličina rezultante jednaka je zbroju veličina tih sila, a točka njezine primjene C dijeli udaljenost između linija djelovanja sila iznutra na dijelove obrnuto proporcionalne veličinama tih sila, tj.

B A C

R = F 1 + F 2

Zbrajanje dviju nejednakih paralelnih sila usmjerenih u suprotnim smjerovima.

Dvije protuparalelne sile koje nisu jednake po veličini svode se na jednu rezultantnu silu paralelnu s njima i usmjerenu prema većoj sili. Veličina rezultante jednaka je razlici veličina tih sila, a točka njezine primjene, C, dijeli udaljenost između linija djelovanja sila izvana na dijelove obrnuto proporcionalne veličinama tih sila, tj. je

Par sila i moment sile u odnosu na točku.

Trenutak moći u odnosu na točku O naziva se, uzet s odgovarajućim predznakom, umnožak veličine sile na udaljenosti h od točke O do pravca djelovanja sile ... Ovaj proizvod se uzima sa znakom plus ako je snaga teži rotirati tijelo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a sa predznakom - ako je sila teži rotaciji tijela u smjeru kazaljke na satu, tj ... Duljina okomice h naziva serame snage točka O. Učinak djelovanja sile t.j. kutna akceleracija tijela je veća, što je veća vrijednost momenta sile.

Slika 1.11

Uz par prednosti naziva se sustav koji se sastoji od dvije jednake po veličini paralelne sile usmjerene u suprotnim smjerovima. Udaljenost h između linija djelovanja sila naziva separ ramena . Trenutak par sila m (F, F") je umnožak veličine jedne od sila koje čine par na ramenu para, uzete s odgovarajućim predznakom.

Piše se ovako: m (F, F") = ± F × h, pri čemu se umnožak uzima sa znakom plus, ako par sila teži rotirati tijelo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i sa znakom minus, ako je par sila sile nastoje rotirati tijelo u smjeru kazaljke na satu.

Teorem o zbroju momenata sila para.

Zbroj momenata sila para (F, F") u odnosu na bilo koju točku 0, uzet u ravnini djelovanja para, ne ovisi o izboru ove točke i jednak je momentu par.

Teorem ekvivalentnog para. Posljedice.

Teorema. Dva para, čiji su momenti međusobno jednaki, ekvivalentna su, t.j. (F, F ") ~ (P, P")

Posljedica 1 ... Par sila može se prenijeti na bilo koje mjesto u ravnini svog djelovanja, kao i zarotirati pod bilo kojim kutom i promijeniti rame i veličinu sila para, uz zadržavanje momenta para.

Posljedica 2. Par sila nema rezultantu i ne može se uravnotežiti jednom silom koja leži u ravnini para.

Slika 1.12

Zbrajanje i uvjet ravnoteže za sustav parova na ravnini.

1. Teorem o zbrajanju parova koji leže u istoj ravnini. Sustav parova, proizvoljno smještenih u istoj ravnini, može se zamijeniti jednim parom, čiji je moment jednak zbroju momenata tih parova.

2. Teorem o ravnoteži sustava parova na ravnini.

Da bi apsolutno kruto tijelo mirovalo pod djelovanjem sustava parova, proizvoljno smještenih u jednoj ravnini, potrebno je i dovoljno da zbroj momenata svih parova bude jednak nuli, tj.

Težište

Gravitacija - rezultanta sila privlačenja na Zemlju, raspoređena po cijelom volumenu tijela.

Težište tijela - to je takva točka nepromjenjivo povezana s ovim tijelom kroz koju prolazi linija djelovanja sile gravitacije ovog tijela u bilo kojem položaju tijela u prostoru.

Metode za pronalaženje težišta

1. Metoda simetrije:

1.1. Ako homogeno tijelo ima ravninu simetrije, onda težište leži u ovoj ravnini

1.2. Ako homogeno tijelo ima os simetrije, onda težište leži na toj osi. Težište jednoličnog tijela okretanja leži na osi rotacije.

1.3 Ako homogeno tijelo ima dvije osi simetrije, tada je težište u točki njihova presjeka.

2. Način cijepanja: Tijelo se cijepa na najmanji broj dijelova čiji su sile gravitacije i položaj težišta poznati.

3. Metoda negativnih masa: Prilikom određivanja težišta tijela sa slobodnim šupljinama treba koristiti metodu pregradnje, ali masu slobodnih šupljina treba smatrati negativnom.

Koordinate težišta ravne figure:

Položaji težišta jednostavnih geometrijskih likova mogu se izračunati pomoću poznatih formula. (Slika 1.13)

Bilješka: Težište simetrije figure nalazi se na osi simetrije.

Težište šipke je na sredini visine.

1.2. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Primjer 1: Teret je okačen na šipku i u ravnoteži. Odredite napore u štapu. (slika 1.2.1)

Riješenje:

Sile koje nastaju u šipkama za pričvršćivanje jednake su po veličini silama kojima šipke podupiru opterećenje. (5. aksiom)

Određujemo moguće smjerove reakcija veza "krutih štapova".

Sile su usmjerene duž štapova.

Slika 1.2.1.

Oslobodimo točku A od veza, zamjenjujući djelovanje veza njihovim reakcijama. (Slika 1.2.2)

Konstrukciju s poznatom silom započinjemo crtanjem vektoraFu nekom razmjeru.

Od kraja vektoraFcrtati linije paralelne s reakcijamaR 1 iR 2 .

Slika 1.2.2

Crte koje se križaju stvaraju trokut. (Slika 1.2.3.). Poznavajući mjerilo konstrukcija i mjerenjem duljine stranica trokuta, moguće je odrediti veličinu reakcija u štapićima.

Za točnije izračune možete koristiti geometrijske odnose, posebno teorem sinusa: omjer stranice trokuta i sinusa suprotnog kuta je konstantna vrijednost

za ovaj slučaj:

Slika 1.2.3

Komentar: Ako se smjer vektora (reakcija veze) na zadanoj shemi i u trokutu sila ne podudara, tada reakcija na shemi treba biti usmjerena u suprotnom smjeru.

Primjer 2: Analitički odredite veličinu i smjer rezultantnog ravnog sustava sila koje se konvergiraju.

Riješenje:

Slika 1.2.4

1. Odredite projekciju svih sila sustava na Ox (slika 1.2.4)

Algebarskim zbrajanjem projekcija dobivamo projekciju rezultante na os Ox.

Znak označava da je rezultanta usmjerena ulijevo.

2. Odredite projekciju svih sila na os Oy:

Algebarskim zbrajanjem projekcija dobivamo projekciju rezultante na os Oy.

Znak označava da je rezultanta usmjerena prema dolje.

3. Odredite modul rezultante vrijednostima projekcija:

4. Odredite vrijednost kuta rezultante s osi Ox:

i vrijednost kuta s Oy osi:

Primjer 3: Izračunajte zbroj momenata sila u odnosu na točku O (slika 1.2.6).

OA= AB= VD = DE = CB = 2m

Slika 1.2.6

Riješenje:

1. Moment sile u odnosu na točku brojčano je jednak umnošku modula i ramena sile.

2. Moment sile jednak je nuli ako linija djelovanja sile prolazi kroz točku.

Primjer 4: Odredite položaj težišta figure prikazane na slici 1.2.7

Riješenje:

Podijelimo sliku na tri:

1-pravokutnik

A 1 = 10 * 20 = 200 cm 2

2-trokut

A 2 = 1/2 * 10 * 15 = 75 cm 2

3-krug

A 3 =3,14*3 2 = 28,3 cm 2

CG na slici 1: x 1 = 10 cm, y 1 = 5 cm

CG na slici 2: x 2 = 20 + 1/3 * 15 = 25 cm, y 2 = 1/3 * 10 = 3,3 cm

CG na slici 3: x 3 = 10 cm, y 3 = 5 cm

Slično, y s = 4,5 cm

Kinematika: osnovni pojmovi.

Osnovni kinematički parametri

Putanja - crta ocrtana materijalnom točkom pri kretanju u prostoru. Putanja može biti ravna i zakrivljena, ravna i prostorna.

Jednadžba putanje za gibanje ravnine: y =f ( x)

Prijeđena udaljenost. Put se mjeri duž puta u smjeru vožnje. Oznaka -S, mjerne jedinice - metri.

Jednadžba gibanja točke Je jednadžba koja određuje položaj pokretne točke kao funkciju vremena.

Slika 2.1

Položaj točke u svakom trenutku vremena može se odrediti udaljenosti koja se prijeđe duž putanje od neke fiksne točke, koja se smatra ishodištem (slika 2.1). Ovaj način postavljanja gibanja naziva seprirodnim ... Dakle, jednadžba gibanja može se predstaviti kao S = f (t).

Slika 2.2

Položaj točke može se odrediti i ako su njene koordinate poznate kao funkcija vremena (slika 2.2). Zatim, u slučaju gibanja po ravnini, moraju se dati dvije jednadžbe:

Kada prostorno kretanje dodaje se treća koordinataz= f 3 ( t)

Ovaj način specificiranja kretanja naziva seKoordinirati .

Brzina putovanja Je vektorska veličina koja u ovom trenutku karakterizira brzinu i smjer kretanja duž putanje.

Brzina je vektor u svakom trenutku usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru smjera kretanja (slika 2.3).

Slika 2.3

Ako točka prijeđe jednake udaljenosti u jednakim vremenskim razdobljima, tada se kretanje nazivauniforma .

Prosječna brzina na putu ΔSodređuje se prema:

gdjeΔS- put prijeđen u vremenu Δt; Δ t- vremenski interval.

Ako točka putuje nejednakim putovima u jednakim vremenskim intervalima, tada se kretanje nazivaneravnomjeran ... U ovom slučaju brzina je promjenjiva veličina i ovisi o vremenuv= f( t)

Brzina u ovom trenutku definirana je kao

Točkasto ubrzanje je vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene brzine u veličini i smjeru.

Brzina točke pri kretanju od točke M1 do točke Mg mijenja se po veličini i smjeru. Prosječno ubrzanje u tom vremenskom razdoblju

Ubrzanje u ovom trenutku:

Obično se radi praktičnosti razmatraju dvije međusobno okomite komponente ubrzanja: normalna i tangencijalna (slika 2.4)

Normalno ubrzanje a n , karakterizira promjenu brzine uzduž

smjer i definira se kao

Normalno ubrzanje je uvijek okomito na brzinu prema središtu luka.

Slika 2.4

Tangencijalno ubrzanje a t , karakterizira promjenu brzine u veličini i uvijek je usmjeren tangencijalno na putanju; kod ubrzanja njegov se smjer poklapa sa smjerom brzine, a pri usporavanju je usmjeren suprotno od smjera vektora brzine.

Puna vrijednost ubrzanja definirana je kao:

Analiza vrsta i kinematičkih parametara kretanja

Ujednačeno kretanje – ovo kretanje konstantnom brzinom:

Za ravno, ravnomjerno kretanje:

Za zakrivljeno, ujednačeno kretanje:

Zakon ravnomjernog gibanja :

Ekvivalentno kretanje – ovo je gibanje s konstantnim tangencijalnim ubrzanjem:

Za pravolinijsko jednako gibanje

Za krivolinijsko gibanje jednake varijable:

Zakon jednakog gibanja:

Kinematički grafovi

Kinematički grafovi - ovo su grafikoni promjena puta, brzine i ubrzanja u odnosu na vrijeme.

Ujednačeno kretanje (slika 2.5)

Slika 2.5

Ekvivalentno kretanje (slika 2.6)

Slika 2.6

Najjednostavniji pokreti krutog tijela

Translacijsko kretanje naziva se kretanje krutog tijela, u kojem svaka ravna linija na tijelu tijekom kretanja ostaje paralelna sa svojim početnim položajem (slika 2.7)

Slika 2.7

U translacijskom gibanju sve se točke tijela gibaju na isti način: brzine i ubrzanja u svakom trenutku su jednake.

Narotacijsko gibanje sve točke tijela opisuju kružnicu oko zajedničke nepomične osi.

Fiksna os oko koje se okreću sve točke tijela naziva seos rotacije.

Samo za opisivanje rotacijskog gibanja tijela oko fiksne osikutni parametri. (slika 2.8)

φ - kut rotacije tijela;

ω – kutna brzina, određuje promjenu kuta rotacije po jedinici vremena;

Promjena kutna brzina u vremenu je određen kutnim ubrzanjem:

2.2. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Primjer 1: Zadana je jednadžba gibanja točke. Odredite brzinu točke na kraju treće sekunde kretanja i prosječnu brzinu za prve tri sekunde.

Riješenje:

1. Jednadžba brzine

2. Brzina na kraju treće sekunde (t=3 c)

3. Prosječna brzina

Primjer 2: Prema zadanom zakonu gibanja odredite vrstu gibanja, početnu brzinu i tangencijalno ubrzanje točke, vrijeme zaustavljanja.

Riješenje:

1. Vrsta kretanja: jednaka varijabla ()
2. Pri usporedbi jednadžbi očito je da

- početni put, prijeđen prije početka brojanja 10m;

- početna brzina 20m/s

- konstantno tangencijalno ubrzanje

- ubrzanje je negativno, dakle, kretanje je usporeno, ubrzanje je usmjereno u smjeru suprotnom brzini kretanja.

3. Možete definirati vrijeme u kojem će brzina točke biti nula.

3.Dinamika: osnovni pojmovi i aksiomi

Dinamika - dio teorijske mehanike, u kojem se uspostavlja veza između gibanja tijela i sila koje na njih djeluju.

U dinamici se rješavaju dvije vrste problema:

odrediti parametre kretanja za zadane sile;

odrediti sile koje djeluju na tijelo, prema zadanim kinematičkim parametrima gibanja.

Pod, ispodmaterijalna točka podrazumijevaju određeno tijelo koje ima određenu masu (tj. sadrži određenu količinu materije), ali nema linearne dimenzije (beskonačno mali volumen prostora).
Izolirano smatra se materijalna točka na koju druge materijalne točke ne utječu. V stvarnom svijetu izolirane materijalne točke, poput izoliranih tijela, ne postoje, ovaj koncept je uvjetovan.

Tijekom translacijskog gibanja sve se točke tijela gibaju na isti način, pa se tijelo može uzeti kao materijalna točka.

Ako su dimenzije tijela male u usporedbi s putanjom, ono se može smatrati i materijalnom točkom, dok se točka poklapa s težištem tijela.

Tijekom rotacijskog gibanja tijela, točke se možda neće kretati na isti način, u ovom slučaju se neke odredbe dinamike mogu primijeniti samo na pojedinačne točke, a materijalni objekt se može smatrati skupom materijalnih točaka.

Stoga se dinamika dijeli na dinamiku točke i dinamiku materijalnog sustava.

Aksiomi dinamike

Prvi aksiom ( princip inercije): in Svaka izolirana materijalna točka nalazi se u stanju mirovanja ili jednolikog i pravocrtnog gibanja sve dok je primijenjene sile ne izvedu iz tog stanja.

Ovo stanje se zove državainercija. Uklonite točku iz ovog stanja, t.j. da bi joj dala malo ubrzanja, vanjska sila može.

Svako tijelo (točka) posjedujeinercija. Tjelesna masa je mjera inercije.

Po masi se zovukoličina tvari u volumenu tijela, u klasičnoj mehanici smatra se konstantnom vrijednošću. Jedinica mjere za masu je kilogram (kg).

Drugi aksiom (Drugi Newtonov zakon je osnovni zakon dinamike)

F = ma

gdjeT - masa točke, kg;a - ubrzanje točke, m / s 2 .

Ubrzanje koje se materijalnoj točki daje silom proporcionalno je veličini sile i podudara se sa smjerom sile.

Gravitacija djeluje na sva tijela na Zemlji, daje tijelu ubrzanje sile teže usmjereno prema središtu Zemlje:

G = mg,

gdjeg - 9,81 m/s², ubrzanje gravitacije.

Treći aksiom (Treći Newtonov zakon): cmulje interakcije dvaju tijela jednake su veličine i usmjerene duž jedne ravne crte u različitim smjerovima.

U interakciji, akceleracije su obrnuto proporcionalne masama.

Četvrti aksiom (zakon neovisnosti djelovanja sila): toSvaka sila sustava sila djeluje onako kako bi djelovala sama.

Ubrzanje koje točki daje sustav sila jednako je geometrijskom zbroju akceleracija koje svaka sila daje točki zasebno (slika 3.1):

Slika 3.1

Koncept trenja. Vrste trenja.

Trenje- otpor koji proizlazi iz kretanja jednog grubog tijela po površini drugog. Prilikom klizanja tijela nastaje trenje klizanja, dok se kotrljanje - trenje ljuljanja.

Trenje klizanja

Slika 3.2.

Razlog je mehanički zahvat izbočina. Sila otpora kretanju tijekom klizanja naziva se sila trenja klizanja (slika 3.2)

Zakoni trenja klizanja:

1. Sila trenja klizanja izravno je proporcionalna sili normalnog pritiska:

gdjeR- sila normalnog tlaka, usmjerena okomito na potpornu površinu;f- koeficijent trenja klizanja.

Slika 3.3.

U slučaju kretanja tijela duž nagnute ravni (slika 3.3)

Trenje kotrljanja

Otpor kotrljanja povezan je s međusobnom deformacijom tla i kotača te je znatno manje trenje klizanja.

Za jednoliko kotrljanje kotača mora se primijeniti silaF dv (Slika 3.4)

Uvjet kotrljanja kotača je da moment kretanja ne smije biti manji od momenta otpora:

Slika 3.4.

Primjer 1: Primjer 2: Na dvije materijalne točke s masomm 1 = 2 kg im 2 = 5 kg, primjenjuju se iste sile. Usporedite vrijednosti brže.

Riješenje:

Prema trećem aksiomu, dinamika ubrzanja obrnuto je proporcionalna masama:

Primjer 3: Odredite rad sile teže pri pomicanju tereta od točke A do točke C po nagnutoj ravnini (slika 3. 7). Sila gravitacije tijela je 1500N. AB = 6 m, BC = 4 m. Primjer 3: Odrediti rad sile rezanja za 3 min. Brzina rotacije obratka 120 o/min, promjer izratka 40 mm, sila rezanja 1kN. (Slika 3.8)

Riješenje:

1. Rad u rotacijskom kretanju:

2. Kutna brzina 120 o/min

Slika 3.8.

3. Broj okretaja za dano vrijeme jez= 120 * 3 = 360 rev.

Kut rotacije za to vrijeme je φ = 2πz= 2 * 3,14 * 360 = 2261 rad

4. Radite u 3 okreta:W= 1 * 0,02 * 2261 = 45,2 kJ

Bibliografija

Olofinskaya, V.P. "Tehnička mehanika", Moskva "Forum" 2011

Erdedi A.A. Erdedi N.A. Teorijska mehanika. Otpornost materijala.- Rn-D; Feniks, 2010

U svakom akademskom kolegiju studij fizike počinje mehanikom. Ne s teoretskom, ne s primijenjenom i ne računskom, već s dobrom starom klasičnom mehanikom. Ova mehanika se također naziva Newtonovom mehanikom. Prema legendi, znanstvenik je šetao vrtom, vidio kako jabuka pada, a upravo ga je taj fenomen potaknuo na otkriće zakona univerzalne gravitacije. Naravno, zakon je oduvijek postojao, a Newton mu je samo dao oblik koji ljudi razumiju, ali njegova je zasluga neprocjenjiva. U ovom članku nećemo što detaljnije opisivati ​​zakone Newtonove mehanike, već ćemo iznijeti osnove, osnovna znanja, definicije i formule koje vam uvijek mogu igrati na ruku.

Mehanika je grana fizike, znanost koja proučava kretanje materijalnih tijela i međudjelovanja među njima.

Sama riječ je grčkog porijekla i prevedena je kao "umjetnost građenja strojeva". Ali prije izgradnje strojeva, mi smo još uvijek poput Mjeseca, pa ćemo ići stopama naših predaka, te ćemo proučavati kretanje kamenja bačenog pod kutom prema horizontu i jabuka koje padaju na glave s visine od h.

Zašto studij fizike počinje s mehanikom? Zato što je potpuno prirodno, a ne krenuti od termodinamičke ravnoteže?!

Mehanika je jedna od najstarijih znanosti, a povijesno je proučavanje fizike počelo upravo od temelja mehanike. Smješteni u okvire vremena i prostora, ljudi, zapravo, nisu mogli krenuti od nečega drugog, uz svu svoju želju. Pokretna tijela prva su stvar na koju skrećemo pažnju.

Što je kretanje?

Mehaničko kretanje je promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo tijekom vremena.

Nakon ove definicije sasvim prirodno dolazimo do koncepta referentnog okvira. Promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo. Ključne riječi ovdje: jedni prema drugima ... Uostalom, putnik u automobilu se kreće u odnosu na osobu koja stoji uz cestu određenom brzinom, i odmara se u odnosu na svog susjeda na sjedalu pored njega i kreće se različitom brzinom u odnosu na putnika u auto koji ih sustiže.

Zato nam je potrebno, kako bismo normalno mjerili parametre pokretnih objekata i ne bismo se zbunili referentni okvir - kruto međusobno povezano referentno tijelo, koordinatni sustav i sat. Na primjer, Zemlja se kreće oko Sunca u heliocentričnom referentnom okviru. U svakodnevnom životu gotovo sva naša mjerenja provodimo u geocentričnom referentnom okviru povezanom sa Zemljom. Zemlja je referentno tijelo u odnosu na koje se kreću automobili, avioni, ljudi, životinje.

Mehanika, kao znanost, ima svoju zadaću. Zadaća mehanike je u svakom trenutku znati položaj tijela u prostoru. Drugim riječima, mehanika konstruira matematički opis gibanja i pronalazi veze između njih fizičke veličine karakterizirajući ga.

Da bismo krenuli dalje, potreban nam je koncept “ materijalna točka ”. Kažu fizika - egzaktna znanost, ali fizičari znaju koliko je aproksimacija i pretpostavki potrebno napraviti da bi se složili upravo o toj točnosti. Nitko nikada nije vidio materijalnu točku ili osjetio idealan plin, ali jesu! Samo je puno lakše živjeti s njima.

Materijalna točka je tijelo čija se veličina i oblik mogu zanemariti u kontekstu ovog problema.

Odjeljci klasične mehanike

Mehanika se sastoji od nekoliko dijelova

• Kinematika
• Dinamika
• Statika

Kinematika s fizičke točke gledišta, proučava točno kako se tijelo kreće. Drugim riječima, ovaj dio se bavi kvantitativnim karakteristikama kretanja. Pronađite brzinu, put - tipični zadaci kinematika

Dinamika rješava pitanje zašto se tako kreće. To jest, razmatra sile koje djeluju na tijelo.

Statika proučava ravnotežu tijela pod djelovanjem sila, odnosno odgovara na pitanje: zašto uopće ne pada?

Granice primjenjivosti klasične mehanike

Klasična mehanika više ne tvrdi da je znanost koja sve objašnjava (početkom prošlog stoljeća sve je bilo potpuno drugačije), i ima jasan okvir primjenjivosti. Općenito, zakoni klasične mehanike vrijede za svijet na koji smo navikli u smislu veličine (makrokozmosa). Oni prestaju raditi u slučaju svijeta čestica, kada kvantna mehanika zamjenjuje onu klasičnu. Također, klasična mehanika je neprimjenjiva na slučajeve kada se kretanje tijela događa brzinom bliskom brzini svjetlosti. U takvim slučajevima dolazi do izražaja relativistički učinak. Grubo rečeno, u okviru kvantne i relativističke mehanike – klasične mehanike, ovo je poseban slučaj kada su dimenzije tijela velike, a brzina mala.

Općenito govoreći, kvantni i relativistički efekti nikada ne idu nikamo; oni se također događaju tijekom običnog gibanja makroskopskih tijela brzinom mnogo manjom od brzine svjetlosti. Druga je stvar što je učinak ovih učinaka toliko mali da ne ide dalje od najtočnijih mjerenja. Dakle, klasična mehanika nikada neće izgubiti svoju temeljnu važnost.

Nastavit ćemo istraživati fizičke temelje mehanike u sljedećim člancima. Za bolje razumijevanje mehanike, uvijek se možete obratiti našim autorima koji su pojedinačno rasvijetlili tamnu točku najtežeg zadatka.