Teoria mechaniki teoretycznej dynamiki. Podstawy mechaniki dla manekinów

Przedmiot bada: kinematykę punktu i bryły sztywnej (a z różnych punktów widzenia proponuje się rozważyć problem orientacji solidny), klasyczne problemy dynamiki układów mechanicznych i dynamiki ciała sztywnego, elementy mechaniki nieba, ruch układów o zmiennym składzie, teoria uderzenia, równania różniczkowe dynamiki analitycznej.

Kurs prezentuje wszystkie tradycyjne działy mechaniki teoretycznej, przy czym szczególną uwagę zwraca się na rozważenie najbardziej znaczących i wartościowych dla teorii i zastosowań działów dynamiki i metod mechaniki analitycznej; statyka jest badana jako sekcja dynamiki, aw sekcji kinematyki szczegółowo przedstawia się pojęcia i aparat matematyczny niezbędny dla sekcji dynamiki.

Zasoby informacyjne

Gantmakher F.R. Wykłady z mechaniki analitycznej. - 3. ed. - M .: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V.F. Podstawy mechaniki teoretycznej. - wyd. 2 - M .: Fizmatlit, 2001; 3. wyd. - M .: Fizmatlit, 2008.
A.P. Markejew Mechanika teoretyczna. - Moskwa - Iżewsk: Centrum Badawcze „Regular and Chaotic Dynamics”, 2007.

Wymagania

Przedmiot przeznaczony jest dla studentów posiadających aparat geometrii analitycznej i algebry liniowej w ramach studiów pierwszego roku politechniki.

Program kursu

1. Kinematyka punktu
1.1. Problemy kinematyczne. Kartezjański układ współrzędnych. Rozkład wektora w bazie ortonormalnej. Wektor promienia i współrzędne punktu. Prędkość punktowa i przyspieszenie. Trajektoria ruchu.
1.2. Naturalny trójścian. Rozwijanie prędkości i przyspieszenia w osiach naturalnego trójścianu (twierdzenie Huygensa).
1.3. Współrzędne krzywoliniowe punktu, przykłady: układy współrzędnych biegunowych, cylindrycznych i sferycznych. Składowe prędkości i rzuty przyspieszenia na oś krzywoliniowego układu współrzędnych.

2. Metody ustalania orientacji bryły sztywnej
2.1. Solidny. Stały układ współrzędnych powiązany z ciałem.
2.2. Macierze rotacji ortogonalnej i ich własności. Twierdzenie Eulera o skończonym obrocie.
2.3. Aktywny i pasywny punkt widzenia na transformację ortogonalną. Dodawanie tur.
2.4. Ostateczne kąty obrotu: kąty Eulera i kąty samolotu. Wyrażenie macierzy ortogonalnej w postaci kątów obrotu końcowego.

3. Ruch przestrzenny solidny
3.1. Ruch postępowy i obrotowy ciała sztywnego. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe.
3.2. Rozkład prędkości (wzór Eulera) i przyspieszeń (wzór Rivalsa) punktów ciała sztywnego.
3.3. Niezmienniki kinematyczne. Śruba kinematyczna. Chwilowa oś śrubowa.

4. Ruch płaszczyznowo-równoległy
4.1. Pojęcie ruchu ciała płasko-równoległego. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe w przypadku ruchu płasko-równoległego. Natychmiastowe centrum prędkości.

5. Ruch złożony punktu i ciała sztywnego
5.1. Stacjonarne i ruchome układy współrzędnych. Ruch absolutny, względny i figuratywny punktu.
5.2. Twierdzenie o dodawaniu prędkości w ruchu złożonym punktu, prędkości względne i ruchome punktu. Twierdzenie Coriolisa o dodawaniu przyspieszeń podczas ruchu zespolonego punktu, przyspieszeń względnych, translacyjnych i Coriolisa punktu.
5.3. Bezwzględna, względna i translacyjna prędkość kątowa oraz przyspieszenie kątowe ciała.

6. Ruch ciała sztywnego o punkcie stałym (prezentacja czwartorzędowa)
6.1. Pojęcie liczb zespolonych i hiperzłożonych. Algebra kwaternionów. Produkt kwaternionowy. Sprzężony i odwrotny kwaternion, norma i moduł.
6.2. Reprezentacja trygonometryczna kwaternionów jednostkowych. Kwaternionowy sposób określania rotacji ciała. Twierdzenie Eulera o skończonym obrocie.
6.3. Związek między składnikami kwaternionów w różnych podstawach. Dodawanie tur. Parametry Rodriguesa-Hamiltona.

7. Papier egzaminacyjny

8. Podstawowe pojęcia dynamiki.
8.1 Impuls, moment pędu (moment pędu), energia kinetyczna.
8.2 Moc sił, praca sił, energia potencjalna i całkowita.
8.3 Środek masy (środek masy) układu. Moment bezwładności układu względem osi.
8.4 Momenty bezwładności wokół osi równoległych; Twierdzenie Huygensa – Steinera.
8.5 Tensor i elipsoida bezwładności. Główne osie bezwładności. Własności osiowych momentów bezwładności.
8.6 Obliczanie momentu pędu i energii kinetycznej ciała za pomocą tensora bezwładności.

9. Podstawowe twierdzenia o dynamice w inercjalnych i nieinercjalnych układach odniesienia.
9.1 Twierdzenie o zmianie pędu układu w inercjalnym układzie odniesienia. Twierdzenie o ruchu środka masy.
9.2 Twierdzenie o zmianie momentu pędu układu w inercjalnym układzie odniesienia.
9.3 Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej układu w inercjalnym układzie odniesienia.
9.4 Siły potencjalne, żyroskopowe i rozpraszające.
9.5 Podstawowe twierdzenia o dynamice w nieinercjalnych układach odniesienia.

10. Ruch ciała sztywnego o punkcie stałym przez bezwładność.
10.1 Dynamiczne równania Eulera.
10.2 Przypadek Eulera, całki pierwsze z równań dynamicznych; stała rotacja.
10.3 Interpretacje Poinsota i McCooluga.
10.4 Regularna precesja w przypadku dynamicznej symetrii ciała.

11. Ruch ciężkiego sztywnego ciała ze stałym punktem.
11.1 Ogólne sformułowanie problemu ruchu ciała sztywnego ciężkiego wokół.
punkt stały. Dynamiczne równania Eulera i ich całki pierwsze.
11.2 Analiza jakościowa ruchu ciała sztywnego w przypadku Lagrange'a.
11.3 Wymuszona regularna precesja dynamicznie symetrycznego ciała sztywnego.
11.4 Podstawowa formuła żyroskopii.
11.5 Pojęcie elementarnej teorii żyroskopów.

12. Dynamika punktu w polu centralnym.
12.1 Równanie Bineta.
12.2 Równanie orbity. Prawa Keplera.
12.3 Problem rozproszenia.
12.4 Problem dwóch ciał. Równania ruchu. Całka powierzchni, całka energii, całka Laplace'a.

13. Dynamika układów o zmiennym składzie.
13.1 Podstawowe pojęcia i twierdzenia o zmianach podstawowych wielkości dynamicznych w układach o zmiennym składzie.
13.2 Ruch punkt materialny zmienna masa.
13.3 Równania ruchu ciała o zmiennym składzie.

14. Teoria ruchów impulsywnych.
14.1 Podstawowe pojęcia i aksjomaty teorii ruchów impulsywnych.
14.2 Twierdzenia o zmianie podstawowych wielkości dynamicznych podczas ruchu impulsowego.
14.3 Impulsowy ruch ciała sztywnego.
14.4 Zderzenie dwóch ciał sztywnych.
14.5 Twierdzenia Karnota.

15. Test

Wyniki nauki

W wyniku opanowania dyscypliny uczeń musi:

• Wiedzieć:
  • podstawowe pojęcia i twierdzenia mechaniki oraz wynikające z nich metody badania ruchu układów mechanicznych;
• Być w stanie:
  • poprawnie formułować problemy z zakresu mechaniki teoretycznej;
  • opracować modele mechaniczne i matematyczne, które odpowiednio odzwierciedlają podstawowe właściwości rozważanych zjawisk;
  • zastosować zdobytą wiedzę w celu rozwiązania odpowiednich specyficzne zadania;
• Własny:
  • umiejętności rozwiązywania klasycznych problemów mechaniki teoretycznej i matematyki;
  • umiejętności studiowania problemów mechaniki oraz budowy modeli mechanicznych i matematycznych, które adekwatnie opisują różnorodne zjawiska mechaniczne;
  • umiejętności praktycznego wykorzystania metod i zasad mechaniki teoretycznej w rozwiązywaniu problemów: obliczanie sił, wyznaczanie charakterystyk kinematycznych ciał przy różne sposoby zadania ruchu, wyznaczanie prawa ruchu ciał materialnych i układów mechanicznych pod wpływem sił;
  • umiejętności samodzielnego przyswajania nowych informacji w procesie produkcji i działalność naukowa wykorzystanie nowoczesnych technologii edukacyjnych i informacyjnych;

Ogólne twierdzenia o dynamice układu ciał. Twierdzenia o ruchu środka masy, o zmianie pędu, o zmianie głównego momentu pędu, o zmianie energii kinetycznej. Zasady d'Alemberta i możliwe przesunięcia. Ogólne równanie głośniki. Równania Lagrange'a.

Zadowolony

Praca, którą wykonuje moc, jest równy iloczynowi skalarnemu wektorów siły i nieskończenie małemu przemieszczeniu punktu jej przyłożenia:
,
czyli iloczyn wartości bezwzględnych wektorów F i ds przez cosinus kąta między nimi.

Praca, którą wykonuje moment sił, jest równy iloczynowi skalarnemu wektorów momentu i nieskończenie małego kąta obrotu:
.

Zasada d'Alemberta

Istotą zasady d'Alemberta jest sprowadzenie problemów dynamiki do problemów statyki. W tym celu zakłada się (lub z góry wiadomo), że ciała układu mają pewne (kątowe) przyspieszenia. Następnie wprowadza się siły i (lub) momenty bezwładności sił bezwładności równych co do wielkości i przeciwnych w kierunku sił i momentów sił, które zgodnie z prawami mechaniki wytworzyłyby określone przyspieszenia lub przyspieszenia kątowe

Spójrzmy na przykład. Po drodze ciało wykonuje ruch do przodu i działają na niego siły zewnętrzne. Ponadto zakładamy, że siły te powodują przyspieszenie środka masy układu. Zgodnie z twierdzeniem o ruchu środka masy, środek masy ciała miałby takie samo przyspieszenie, gdyby na ciało działała siła. Następnie przedstawiamy siłę bezwładności:
.
Następnie problem z dynamiką:
.
;
.

W przypadku ruchu obrotowego postępuj w ten sam sposób. Niech ciało obraca się wokół osi z i działają na nie zewnętrzne momenty sił M e zk. Zakładamy, że te momenty tworzą przyspieszenie kątowe ε z. Następnie wprowadzamy moment sił bezwładności M И = - J z ε z. Następnie problem z dynamiką:
.
Zamienia się w zadanie statyczne:
;
.

Zasada możliwych przemieszczeń

Zasada możliwych przemieszczeń służy do rozwiązywania problemów statycznych. W niektórych problemach daje rozwiązanie krótsze niż równanie równowagi. Dotyczy to zwłaszcza układów z ograniczeniami (na przykład układów ciał połączonych nitkami i blokami), składających się z wielu ciał

Zasada możliwych przemieszczeń.
Dla równowagi układ mechaniczny z idealne połączenia niezbędne i wystarczające na kwotę praca podstawowa wszystkich sił czynnych działających na niego dla każdego możliwego przemieszczenia układu było równe zero.

Możliwy ruch systemu- jest to niewielkie przemieszczenie, które nie przerywa połączeń nałożonych na system.

Idealne połączenia- są to połączenia, które nie wykonują pracy podczas przenoszenia systemu. Dokładniej, ilość pracy wykonywanej przez same łącza podczas ruchu systemu jest równa zeru.

Ogólne równanie dynamiki (zasada d'Alemberta - Lagrange'a)

Zasada d'Alemberta-Lagrange'a jest połączeniem zasady d'Alemberta z zasadą możliwych przemieszczeń. To znaczy, rozwiązując problem dynamiki, wprowadzamy siły bezwładności i sprowadzamy problem do problemu statyki, który rozwiązujemy na zasadzie możliwych przemieszczeń.

D'Alembert - Zasada Lagrange'a.
Gdy układ mechaniczny z idealnymi ograniczeniami porusza się w każdym momencie czasu, suma pracy elementarnej wszystkich przyłożonych sił czynnych i wszystkich sił bezwładności na dowolne możliwe przemieszczenie układu jest równa zeru:
.
To równanie nazywa się ogólne równanie dynamiki.

Równania Lagrange'a

Uogólnione współrzędne q 1, q 2, ..., q n to zbiór n wartości, które jednoznacznie określają pozycję systemu.

Liczba współrzędnych uogólnionych n pokrywa się z liczbą stopni swobody układu.

Uogólnione prędkości są pochodnymi współrzędnych uogólnionych względem czasu t.

Siły uogólnione Q 1, Q 2, ..., Q n .
Rozważ możliwy ruch układu, w którym współrzędna q k otrzyma ruch δq k. Pozostałe współrzędne pozostają niezmienione. Niech δA k będzie pracą wykonaną przez siły zewnętrzne podczas takiego przemieszczenia. Następnie
δA k = Q k δq k, lub
.

Jeżeli przy możliwym ruchu układu wszystkie współrzędne ulegają zmianie, to praca wykonywana przez siły zewnętrzne podczas takiego ruchu ma postać:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Wtedy siły uogólnione są pochodnymi cząstkowymi pracy nad przemieszczeniami:
.

Do potencjalne siły z potencjałem Π,
.

Równania Lagrange'a są równaniami ruchu układu mechanicznego we współrzędnych uogólnionych:

Tutaj T jest energią kinetyczną. Jest to funkcja uogólnionych współrzędnych, prędkości i ewentualnie czasu. Dlatego jego pochodna cząstkowa jest również funkcją współrzędnych uogólnionych, prędkości i czasu. Ponadto musisz wziąć pod uwagę, że współrzędne i prędkości są funkcjami czasu. Dlatego, aby znaleźć pochodną czasu całkowitego, konieczne jest zastosowanie reguły różniczkowania złożona funkcja:
.

Bibliografia:
S. M. Targ, Krótki kurs mechaniki teoretycznej, Szkoła podyplomowa”, 2010.

Zadowolony

Kinematyka

Kinematyka punktu materiałowego

Wyznaczanie prędkości i przyspieszenia punktu zgodnie z podanymi równaniami jego ruchu

Dane: Równania ruchu punktu: x = 12 grzechów (πt / 6), cm; y = 6 cos 2 (πt / 6), cm.

Ustaw typ jego trajektorii i dla chwili czasu t = 1 s znaleźć położenie punktu na trajektorii, jego prędkość, przyspieszenia całkowite, styczne i normalne, a także promień krzywizny trajektorii.

Ruch postępowy i obrotowy ciała sztywnego

Dany:
t = 2 s; r1 = 2 cm, R1 = 4 cm; r2 = 6 cm, R2 = 8 cm; r3 = 12 cm, R3 = 16 cm; s 5 = t 3 - 6 t (cm).

Wyznacz w czasie t = 2 prędkości punktów A, C; przyspieszenie kątowe koła 3; przyspieszenie punktu B i przyspieszenie personelu 4.

Analiza kinematyczna mechanizmu samolotu

Dany:
R 1, R 2, L, AB, ω 1.
Znajdź: ω 2.

Płaski mechanizm składa się z prętów 1, 2, 3, 4 oraz suwaka E. Pręty połączone są za pomocą cylindrycznych zawiasów. Punkt D znajduje się w środku pręta AB.
Biorąc pod uwagę: ω 1, ε 1.
Znajdź: prędkości V A, V B, V D i V E; prędkości kątowe ω 2, ω 3 i ω 4; przyspieszenie B; przyspieszenie kątowe ε AB link AB; położenia chwilowych środków prędkości P 2 i P 3 ogniw 2 i 3 mechanizmu.

Wyznaczanie bezwzględnej prędkości i bezwzględnego przyspieszenia punktu

Prostokątna płyta obraca się wokół stałej osi zgodnie z prawem φ = 6 t 2 - 3 t 3... Dodatni kierunek kąta φ jest pokazany na rysunkach strzałką łukową. Oś obrotu OO 1 leży w płaszczyźnie płyty (płyta obraca się w przestrzeni).

Punkt M porusza się wzdłuż linii BD na płytce. Podane jest prawo jego względnego ruchu, tj. zależność s = AM = 40 (t - 2 t 3) - 40(s - w centymetrach, t - w sekundach). Odległość b = 20 cm... Na rysunku punkt M jest pokazany w pozycji, w której s = AM > 0 (dla s< 0 punkt M znajduje się po drugiej stronie punktu A).

Znajdź prędkość bezwzględną i przyspieszenie bezwzględne punktu M w czasie t 1 = 1 s.

Dynamika

Całkowanie równań różniczkowych ruchu punktu materialnego pod działaniem sił zmiennych

Ładunek D o masie m, który otrzymał prędkość początkową V0 w punkcie A, porusza się w zakrzywionej rurze ABC usytuowanej w płaszczyźnie pionowej. Na odcinku AB, którego długość wynosi l, na obciążenie oddziałuje stała siła T (jej kierunek pokazano na rysunku) i siła R oporu średniego (moduł tej siły R = μV 2, wektor R jest skierowane przeciwnie do prędkości V obciążenia).

Obciążenie po zakończeniu ruchu na odcinku AB, w punkcie B rury, bez zmiany wartości modułu jego prędkości, przechodzi na odcinek BC. W sekcji BC na ładunek działa zmienna siła F, której rzut F x jest podany na oś x.

Traktując obciążenie jako punkt materialny, znajdź prawo jego ruchu na odcinku BC, tj. x = f (t), gdzie x = BD. Zignoruj ​​tarcie obciążenia na rurze.

Pobierz rozwiązanie problemu

Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej układu mechanicznego

W skład układu mechanicznego wchodzą obciążniki 1 i 2, rolka cylindryczna 3, krążki dwustopniowe 4 i 5. Korpusy układu są połączone gwintami nawiniętymi na krążki; sekcje nici są równoległe do odpowiednich płaszczyzn. Wałek (stały jednorodny cylinder) toczy się po płaszczyźnie odniesienia bez poślizgu. Promienie stopni kół pasowych 4 i 5 wynoszą odpowiednio R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Masę każdego koła pasowego uważa się za równomiernie rozłożoną wzdłuż jego zewnętrzna obręcz ... Płaszczyzny podparcia obciążników 1 i 2 są chropowate, współczynnik tarcia ślizgowego dla każdego obciążenia wynosi f = 0,1.

Pod działaniem siły F, której moduł zmienia się zgodnie z prawem F = F (s), gdzie s jest przemieszczeniem punktu jej przyłożenia, układ zaczyna poruszać się ze stanu spoczynku. Podczas ruchu układu na koło pasowe 5 działają siły oporu, których moment względem osi obrotu jest stały i równy M 5.

Określ wartość prędkości kątowej koła pasowego 4 w momencie, gdy przemieszczenie s punktu przyłożenia siły F staje się równe s 1 = 1,2 m.

Pobierz rozwiązanie problemu

Zastosowanie ogólnego równania dynamiki do badania ruchu układu mechanicznego

Dla układu mechanicznego wyznacz przyspieszenie liniowe a 1. Załóżmy, że masy bloków i rolek są rozłożone wzdłuż zewnętrznego promienia. Liny i pasy są uważane za nieważkie i nierozciągliwe; nie ma poślizgu. Zaniedbać tarcie toczne i ślizgowe.

Pobierz rozwiązanie problemu

Zastosowanie zasady d'Alemberta do wyznaczania reakcji podpór wirującego korpusu

Wał pionowy AK, obracający się jednostajnie z prędkością kątową ω = 10 s -1, jest zamocowany przez łożysko oporowe w punkcie A i łożysko walcowe w punkcie D.

Nieważki pręt 1 o długości l 1 = 0,3 m jest sztywno przymocowany do wału, na wolnym końcu którego znajduje się ładunek o masie m 1 = 4 kg i jednorodny pręt 2 o długości l 2 = 0,6 m, o masie m 2 = 8 kg. Oba pręty leżą w tej samej płaszczyźnie pionowej. W tabeli podano punkty mocowania prętów do wału oraz kąty α i β. Wymiary AB = BD = DE = EK = b, gdzie b = 0,4 m. Przyjmij obciążenie jako punkt materialny.

Pomijając masę wału, określ reakcję łożyska oporowego i łożyska.

Statyka to dział mechaniki teoretycznej, który bada warunki równowagi ciał materialnych pod wpływem sił, a także metody przekształcania sił w układy równoważne.

Stan równowagi w statyce jest rozumiany jako stan, w którym wszystkie części układu mechanicznego znajdują się w spoczynku względem jakiegoś bezwładnościowego układu współrzędnych. Jednym z podstawowych obiektów statyki są siły i ich punkty zastosowania.

Siła działająca na punkt materialny o promieniu od innych punktów jest miarą wpływu innych punktów na rozpatrywany punkt, w wyniku czego otrzymuje przyspieszenie względem układu inercjalnego. wielkość siła określone wzorem:
,
gdzie m jest masą punktu - wartością zależną od właściwości samego punktu. Ta formuła nazywa się drugim prawem Newtona.

Zastosowanie statyki w dynamice

Ważną cechą równań ruchu ciała absolutnie sztywnego jest to, że siły można przekształcić w układy równoważne. Przy takiej transformacji równania ruchu zachowują swoją formę, ale układ sił działających na ciało można przekształcić w układ prostszy. W ten sposób punkt przyłożenia siły można przesuwać wzdłuż linii jej działania; siły można rozłożyć zgodnie z zasadą równoległoboku; siły przyłożone w jednym punkcie można zastąpić ich sumą geometryczną.

Przykładem takich przekształceń jest siła grawitacji. Działa na wszystkie punkty ciała sztywnego. Ale prawo ruchu ciała nie zmieni się, jeśli siła grawitacji rozłożona na wszystkie punkty zostanie zastąpiona jednym wektorem przyłożonym do środka masy ciała.

Okazuje się, że jeśli do głównego układu sił działających na ciało dodamy układ równoważny, w którym kierunki sił są odwrócone, to ciało pod działaniem tych układów znajdzie się w równowadze. Zatem problem wyznaczania równoważnych układów sił sprowadza się do problemu równowagi, czyli do zagadnienia statyki.

Główne zadanie statyki jest ustanowienie praw transformacji układu sił w układy równoważne. Tak więc metody statyki znajdują zastosowanie nie tylko w badaniu ciał w równowadze, ale także w dynamice ciała sztywnego, przy przekształcaniu sił w prostsze układy równoważne.

Statyka punktu materiału

Rozważmy punkt materialny, który jest w równowadze. I niech działają na nią n sił, k = 1, 2, ..., n.

Jeżeli punkt materialny jest w równowadze, to suma wektorowa sił działających na niego jest równa zeru:
(1) .

W równowadze suma geometryczna siły działające na punkt są równe zeru.

Interpretacja geometryczna... Jeżeli początek drugiego wektora jest umieszczony na końcu pierwszego wektora, a początek trzeciego na końcu drugiego wektora, a następnie proces ten jest kontynuowany, to koniec ostatniego, n -tego wektor zostanie wyrównany z początkiem pierwszego wektora. Oznacza to, że otrzymujemy zamkniętą figurę geometryczną, której długości boków są równe modułom wektorów. Jeśli wszystkie wektory leżą na tej samej płaszczyźnie, otrzymujemy zamknięty wielokąt.

Często wygodnie jest wybrać prostokątny układ współrzędnych Oksyz. Wtedy sumy rzutów wszystkich wektorów siły na oś współrzędnych są równe zeru:

Jeśli wybierzesz dowolny kierunek określony przez jakiś wektor, to suma rzutów wektorów siły na ten kierunek jest równa zeru:
.
Pomnóżmy równanie (1) skalarnie przez wektor:
.
Oto iloczyn skalarny wektorów i.
Zauważ, że rzut wektora na kierunek wektora jest określony wzorem:
.

Statyka sztywnego ciała

Moment siły względem punktu

Wyznaczanie momentu siły

Chwila mocy przyłożony do ciała w punkcie A, w stosunku do ustalonego środka O, nazywany jest wektorem równym iloczynowi wektorowemu wektorów i:
(2) .

Interpretacja geometryczna

Moment siły jest równy iloczynowi siły F przez ramię OH.

Niech wektory i znajdują się w płaszczyźnie rysunku. Zgodnie z właściwością produktu wektorowego wektor jest prostopadły do ​​wektorów, to znaczy prostopadły do ​​płaszczyzny rysunku. Jego kierunek jest określony przez właściwą regułę śrubową. Na rysunku wektor momentu jest skierowany na nas. Bezwzględna wartość momentu obrotowego:
.
Od tego czasu
(3) .

Używając geometrii, możesz podać inną interpretację momentu siły. Aby to zrobić, narysuj linię prostą AH przechodzącą przez wektor siły. Od środka O spuszczamy prostopadły OH do tej linii. Długość tej prostopadłej nazywa się ramię siły... Następnie
(4) .
Ponieważ wtedy wzory (3) i (4) są równoważne.

Zatem, wartość bezwzględna momentu siły względem środka O równa się siła na ramię ta siła w stosunku do wybranego środka O.

Przy obliczaniu momentu często wygodnie jest rozłożyć siłę na dwie składowe:
,
gdzie . Siła przechodzi przez punkt O. Dlatego jego moment wynosi zero. Następnie
.
Bezwzględna wartość momentu obrotowego:
.

Komponenty momentu w prostokątnym układzie współrzędnych

Jeżeli wybierzemy prostokątny układ współrzędnych Oxyz wyśrodkowany w punkcie O, to moment siły będzie miał następujące składowe:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Oto współrzędne punktu A w wybranym układzie współrzędnych:
.
Komponenty reprezentują odpowiednio wartości momentu siły wokół osi.

Własności momentu siły względem środka

Moment wokół środka O, od siły przechodzącej przez ten środek, jest równy zero.

Jeżeli punkt przyłożenia siły zostanie przesunięty wzdłuż linii przechodzącej przez wektor siły, to moment ten nie zmieni się wraz z tym ruchem.

Moment z sumy wektorowej sił przyłożonych do jednego punktu ciała jest równy sumie wektorowej momentów z każdej z sił przyłożonych do tego samego punktu:
.

To samo dotyczy sił, których linie kontynuacji przecinają się w jednym punkcie.

Jeżeli suma wektorowa sił wynosi zero:
,
wtedy suma momentów tych sił nie zależy od położenia środka, względem którego obliczane są momenty:
.

Kilka sił

Kilka sił- są to dwie siły o jednakowej wartości bezwzględnej i przeciwnych kierunkach, przyłożone do różnych punktów ciała.

Parę sił charakteryzuje moment, w którym tworzą. Ponieważ suma wektorowa sił zawartych w parze jest równa zeru, moment wytworzony przez parę nie zależy od punktu, względem którego obliczany jest moment. Z punktu widzenia równowagi statycznej charakter sił zawartych w parze nie ma znaczenia. Para sił służy do wskazania, że ​​na ciało działa moment sił, który ma określoną wartość.

Moment siły wokół danej osi

Często zdarza się, że nie musimy znać wszystkich składowych momentu siły względem wybranego punktu, a jedynie wystarczy znać moment siły względem wybranej osi.

Moment siły wokół osi przechodzącej przez punkt O jest rzutem wektora momentu siły względem punktu O na kierunek osi.

Własności momentu siły wokół osi

Moment wokół osi od siły przechodzącej przez tę oś jest równy zero.

Moment wokół osi od siły równoległej do tej osi wynosi zero.

Obliczanie momentu siły wokół osi

Niech siła działa na ciało w punkcie A. Znajdźmy moment tej siły wokół osi O'O''.

Zbudujmy prostokątny układ współrzędnych. Niech oś Oz pokrywa się z O′O ′ ′. Z punktu A opuszczamy prostopadłą OH do O′O ′ ′. Narysuj oś Ox przez punkty O i A. Narysuj oś Oy prostopadłą do Ox i Oz. Rozłóżmy siłę na składowe wzdłuż osi układu współrzędnych:
.
Siła przecina oś O′O ′ ′. Dlatego jego moment wynosi zero. Siła jest równoległa do osi O'O''. Dlatego jego moment jest również zerowy. Według wzoru (5.3) znajdujemy:
.

Zauważ, że komponent jest skierowany stycznie do okręgu, którego środek stanowi punkt O. Kierunek wektora jest określony przez właściwą regułę śrubową.

Warunki równowagi dla ciała sztywnego

W równowadze suma wektorowa wszystkich sił działających na ciało wynosi zero, a suma wektorowa momentów tych sił względem dowolnego stacjonarnego środka wynosi zero:
(6.1) ;
(6.2) .

Podkreślamy, że środek O, względem którego obliczane są momenty sił, można wybrać dowolnie. Punkt O może należeć do ciała lub znajdować się poza nim. Zwykle wybiera się środek O, aby uprościć obliczenia.

Warunki równowagi można sformułować w inny sposób.

W równowadze suma rzutów sił na dowolny kierunek podany przez dowolny wektor jest równa zeru:
.
Suma momentów sił wokół dowolnej osi O′O ′ ′ jest również równa zeru:
.

Czasami te warunki są wygodniejsze. Zdarza się, że wybierając osie można uprościć obliczenia.

Środek ciężkości ciała

Rozważmy jedną z najważniejszych sił - siłę grawitacji. Tutaj siły nie są przykładane w pewnych punktach ciała, ale są stale rozłożone na jego objętości. Dla każdej części ciała o nieskończenie małej objętości V, działa siła grawitacji. Tutaj ρ jest gęstością substancji ciała, jest przyspieszeniem grawitacji.

Niech będzie masą nieskończenie małej części ciała. I niech punkt A k określi położenie tego odcinka. Znajdźmy wielkości związane z siłą grawitacji, które zawarte są w równaniach równowagi (6).

Znajdźmy sumę sił grawitacji utworzonych przez wszystkie części ciała:
,
gdzie jest masa ciała. Zatem sumę sił grawitacyjnych poszczególnych nieskończenie małych części ciała można zastąpić jednym wektorem grawitacji całego ciała:
.

Znajdźmy sumę momentów grawitacyjnych względem wybranego środka O w dowolny sposób:

.
Tutaj wprowadziliśmy punkt C, który nazywa się Środek ciężkości ciało. Położenie środka ciężkości w układzie współrzędnych wyśrodkowanym w punkcie O określa wzór:
(7) .

Tak więc przy wyznaczaniu równowagi statycznej sumę sił grawitacji poszczególnych części ciała można zastąpić wypadkową
,
przyłożony do środka masy ciała C, którego położenie określa wzór (7).

Położenie środka ciężkości dla różnych figury geometryczne można znaleźć w odpowiednich książkach informacyjnych. Jeśli ciało ma oś lub płaszczyznę symetrii, wówczas środek ciężkości znajduje się na tej osi lub płaszczyźnie. Tak więc środki ciężkości kuli, okręgu lub okręgu znajdują się w środkach okręgów tych figur. Środki ciężkości prostokątny równoległościan, prostokąt lub kwadrat również znajdują się w ich środkach - w punktach przecięcia przekątnych.

Obciążenie rozłożone równomiernie (A) i liniowo (B).

Zdarzają się również przypadki podobne do grawitacji, kiedy siły nie działają w pewnych punktach ciała, ale są w sposób ciągły rozłożone na jego powierzchni lub objętości. Takie siły nazywają się siły rozproszone lub .

(Rysunek A). Podobnie jak w przypadku grawitacji, można ją zastąpić siłą wypadkową wielkości przyłożonej w środku ciężkości działki. Ponieważ wykres na rysunku A jest prostokątem, środek ciężkości wykresu znajduje się w jego środku - punkcie C: | AC | = | CB |.

(Rysunek B). Można go również zastąpić wypadkową. Wartość wypadkowej jest równa powierzchni wykresu:
.
Punkt aplikacji znajduje się w środku ciężkości działki. Środek ciężkości trójkąta o wysokości h znajduje się w pewnej odległości od podstawy. Dlatego .

Siły tarcia

Tarcie ślizgowe... Niech ciało będzie na płaskiej powierzchni. I niech będzie siła prostopadła do powierzchni, z której powierzchnia działa na ciało (siła nacisku). Wtedy siła tarcia ślizgowego jest równoległa do powierzchni i skierowana na bok, uniemożliwiając ruch ciała. Jego największa wartość to:
,
gdzie f jest współczynnikiem tarcia. Współczynnik tarcia jest bezwymiarowy.

Tarcie toczne... Niech zaokrąglone ciało toczy się lub może toczyć się po powierzchni. I niech będzie siła nacisku prostopadła do powierzchni, z której ta powierzchnia działa na ciało. Wtedy na ciało w miejscu kontaktu z powierzchnią oddziałuje moment sił tarcia, które uniemożliwiają poruszanie się ciała. Największa wartość moment tarcia jest równy:
,
gdzie δ jest współczynnikiem tarcia tocznego. Ma wymiar długości.

Bibliografia:
S. M. Targ, Krótki kurs mechaniki teoretycznej, „Liceum Ogólnokształcące”, 2010.

20. ed. - M .: 2010.- 416 s.

Książka przedstawia podstawy mechaniki punktu materialnego, układu punktów materialnych i bryły sztywnej w objętości odpowiadającej programom uczelni technicznych. Podano wiele przykładów i problemów, których rozwiązaniom towarzyszą odpowiednie wytyczne... Dla studentów studiów stacjonarnych i niestacjonarnych uczelni technicznych.

Format: pdf

Rozmiar: 14 Mb

Obejrzyj, pobierz: dysk.google

SPIS TREŚCI
Przedmowa do trzynastego wydania 3
Wprowadzenie 5
SEKCJA PIERWSZA SOLIDNA STATYKA
Rozdział I. Podstawowe pojęcia i podstawy przepisów art. 9
41. Absolutnie solidny; zmuszać. Problemy statyczne 9
12. Początkowe pozycje statyki „11
3 USD. Obligacje i ich reakcje 15
Rozdział II. Dodawanie sił. Układ sił zbieżnych 18
§4. Geometrycznie! Sposób dodawania sił. Wypadkowa sił zbieżnych, rozkład sił 18
f 5. Rzuty sił na oś i na płaszczyznę, Metoda analityczna wyznaczania i sumowania sił 20
16. Równowaga układu sił zbieżnych_. ... ... 23
17. Rozwiązywanie problemów statyki. 25
Rozdział III. Moment siły względem środka. Para sił 31
i 8. Moment siły względem środka (lub punktu) 31
| 9. Kilka sił. Para chwila 33
f 10 *. Twierdzenia o równoważności i dodawaniu par 35
Rozdział IV. Sprowadzenie systemu sił do centrum. Warunki równowagi ... 37
f 11. Twierdzenie o równoległym przenoszeniu siły 37
112. Sprowadzenie systemu sił do tego centrum -. , 38
§ 13. Warunki równowagi układu sił. Twierdzenie o momentach wypadkowych 40
Rozdział V Płaski układ sił 41
§ 14. Algebraiczne momenty siły i pary 41
115. Sprowadzenie płaskiego układu sił do najprostszej postaci .... 44
§ 16. Równowaga płaskiego układu sił. Przypadek sił równoległych. 46
§ 17. Rozwiązywanie problemów 48
118. Równowaga układów ciał 63
§ 19*. Statycznie definiowalne i statycznie niewyznaczalne układy ciał (struktur) 56"
f 20 *. Definicja wysiłków wewnętrznych. 57
§ 21*. Siły rozłożone 58
E22 *. Obliczanie kratownic płaskich 61
Rozdział VI. Tarcie 64
! 23. Prawa tarcia ślizgowego 64
: 24. Szorstkie reakcje wiązania. Kąt tarcia 66
: 25. Równowaga w obecności tarcia 66
(26*. Tarcie gwintu na powierzchni cylindrycznej 69
1 27 *. Tarcie toczne 71
Rozdział VII. System sił przestrzennych 72
§28. Moment siły wokół osi. Obliczanie wektora głównego
i główny moment układu sił 72
§ 29*. Sprowadzenie przestrzennego układu sił do najprostszej postaci 77
§trzydzieści. Równowaga dowolnego przestrzennego układu sił. Przypadek sił równoległych
Rozdział VIII. Środek ciężkości 86
§31. Środek sił równoległych 86
§ 32. Pole siłowe. Środek ciężkości korpusu sztywnego 88
§ 33. Współrzędne środków ciężkości ciał jednorodnych 89
§ 34. Metody wyznaczania współrzędnych środków ciężkości ciał. 90
§ 35. Środki ciężkości niektórych ciał jednorodnych 93
SEKCJA DRUGA KINEMATYKA PUNKTU I CIAŁA SOLIDNEGO
Rozdział IX. Kinematyka punktowa 95
§ 36. Wprowadzenie do kinematyki 95
§ 37. Sposoby określania ruchu punktu. ... 96
§38. Wektor prędkości punktu ,. 99
§ 39. Wektor „punktu przecięcia 100
§40. Wyznaczanie prędkości i przyspieszenia punktu w współrzędnej metodzie określenia ruchu 102
§41. Rozwiązywanie zadań kinematyki punkt 103
§ 42. Osie naturalnego trójścianu. Wartość liczbowa prędkości 107
§ 43. Przyspieszenie styczne i normalne punktu 108
§44. Niektóre szczególne przypadki ruchu punktu PO
§45. Wykresy ruchu, prędkości i przyspieszenia punktu 112
§ 46. Rozwiązywanie problemów< 114
§47 *. Prędkość i przyspieszenie punktu we współrzędnych biegunowych 116
Rozdział X. Ruch postępowy i obrotowy ciała sztywnego. ... 117
§48. Ruch postępowy 117
Sekcja 49. Ruch obrotowy ciało sztywne wokół osi. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe 119
§50. Równomierny i równy obrót 121
§51. Prędkości i przyspieszenia punktów wirującego ciała 122
Rozdział XI. Ruch płaszczyznowo-równoległy korpusu sztywnego 127
§52. Równania ruchu płasko-równoległego (ruch figury płaskiej). Rozkład ruchu na translacyjny i obrotowy 127
§53 *. Wyznaczanie trajektorii punktów figury płaskiej 129
§54. Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej 130
§ 55. Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów ciała 131
§ 56. Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej za pomocą chwilowego środka prędkości. Zrozumienie centroidów 132
§57. Rozwiązywanie problemów 136
§58 *. Wyznaczanie przyspieszenia punktów figury płaskiej 140
§59 *. Centrum natychmiastowego przyspieszenia "*" *
Rozdział XII *. Ruch bryły sztywnej wokół punktu stałego i ruch bryły sztywnej swobodnej 147
§ 60. Ruch ciała sztywnego posiadającego jeden punkt stały. 147
§61. Równania kinematyczne Eulera 149
§62. Prędkości i przyspieszenia punktów ciała 150
§ 63. Ogólny przypadek ruchu ciała sztywnego swobodnego 153
Rozdział XIII. Trudny ruch punktowy 155
§ 64. Ruch względny, figuratywny i bezwzględny 155
§ 65, Twierdzenie o dodawaniu prędkości „156
§66. Twierdzenie o dodawaniu przyspieszeń (twierdzenie Coriollsa) 160
§67. Rozwiązywanie problemów 16 *
Rozdział XIV *. Ruch złożony ciała sztywnego 169
§68. Dodanie ruchów translacyjnych 169
§69. Dodawanie obrotów wokół dwóch równoległych osi 169
§70. Koła zębate czołowe 172
§ 71. Dodanie obrotów wokół przecinających się osi 174
§72. Dodawanie ruchów translacyjnych i obrotowych. Ruch śrubowy 176
SEKCJA TRZECIA DYNAMIKA PUNKTOWA
Rozdział XV: Wprowadzenie do dynamiki. Prawa dynamiki 180
§ 73. Podstawowe pojęcia i definicje 180
§ 74. Prawa dynamiki. Problemy dynamiki punktu materialnego 181
Sekcja 75. Układy jednostek 183
§76. Siły podstawowe 184
Rozdział XVI. Równania różniczkowe ruch punktowy. Rozwiązywanie problemów dynamiki punktu 186
§ 77. Równania różniczkowe, ruch punktu materialnego nr 6
§ 78. Rozwiązanie pierwszego problemu dynamiki (wyznaczanie sił dla danego ruchu) 187
§ 79. Rozwiązanie głównego problemu dynamiki ruch prosty punkty 189
§ 80. Przykłady rozwiązywania problemów 191
§81*. Upadek ciała w opornym środowisku (w powietrzu) ​​196
§82. Rozwiązanie głównego problemu dynamiki z ruchem krzywoliniowym punktu 197
Rozdział XVII. Ogólne twierdzenia o dynamice punktów 201
§83. Ilość ruchu punktowego. Impuls siły 201
§ S4. Twierdzenie o zmianie pędu punktu 202
§ 85. Twierdzenie o zmianie momentu pędu punktu (twierdzenie o momentach)”204
§86*. Ruch pod wpływem siły centralnej. Prawo obszarów .. 266
§ 8-7. Praca siły. Moc 208
§88. Przykłady obliczeń pracy 210
§89. Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej punktu. "... 213J
Rozdział XVIII. Nieswobodny i zależny od ruchu punktu 219
§90. Nieswobodny ruch punktu. 219
§91. Względny ruch punktu 223
§ 92. Wpływ ruchu obrotowego Ziemi na równowagę i ruch ciał... 227
§ 93 *. Odchylenie punktu opadania od pionu spowodowane obrotem Ziemi „230
Rozdział XIX. Prostoliniowe drgania punktowe. ... ... 232
§ 94. Drgania swobodne bez uwzględnienia sił oporu 232
§ 95. Drgania swobodne z oporem lepkościowym (drgania tłumione) 238
§96. Wibracje wymuszone. Rezonayas 241
Rozdział XX *. Ruch ciała w polu grawitacyjnym 250
§ 97. Ruch rzuconego ciała w polu grawitacyjnym Ziemi „250
§98. Sztuczne satelity Ziemia. Trajektorie eliptyczne. 254
§ 99. Pojęcie nieważkości „Lokalne układy odniesienia 257
SEKCJA CZWARTA SYSTEM I DYNAMIKA CIAŁA SOLIDNEGO
Rozdział XXI. Wprowadzenie do dynamiki systemu. Momenty bezwładności. 263
§ 100. Układ mechaniczny. Siły zewnętrzne i siły wewnętrzne 263
§ 101. Masa układu. Środek ciężkości 264
§ 102. Moment bezwładności ciała wokół osi. Promień bezwładności. ... 265
103 $. Momenty bezwładności ciała względem osi równoległych. Twierdzenie Huygensa 268
§ 104 *. Odśrodkowe momenty bezwładności. Pojęcia dotyczące głównych osi bezwładności ciała 269
105 USD*. Moment bezwładności ciała wokół dowolnej osi. 271
Rozdział XXII. Twierdzenie o ruchu środka masy układu 273
106 $. Różniczkowe równania ruchu układu 273
§ 107. Twierdzenie o ruchu środka masy 274
108 $. Prawo zachowania ruchu środka masy 276
§ 109. Rozwiązywanie problemów 277
Rozdział XXIII. Twierdzenie o zmianie liczby układów ruchomych. ... 280
ALE. Wielkość ruchu systemu 280
§111. Twierdzenie o zmianie pędu 281
§ 112. Prawo zachowania pędu 282
113 USD*. Zastosowanie twierdzenia do ruchu cieczy (gazu) 284
§ 114 *. Korpus o zmiennej masie. Ruch rakietowy 287
Gdańsk XXIV. Twierdzenie o zmianie momentu wielkości ruchu układu 290
§ 115. Główny moment wielkości ruchu układu 290
116 $. Twierdzenie o zmianie momentu głównego wielkości ruchu układu (twierdzenie o momentach) 292
117 USD. Prawo zachowania momentu głównego wielkości ruchu. ... 294
118 USD. Rozwiązywanie problemów 295
119 USD*. Zastosowanie twierdzenia o momentach do ruchu cieczy (gazu) 298
§ 120. Warunki równowagi układu mechanicznego 300
Rozdział XXV. Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej układu. ... 301.
§ 121. Energia kinetyczna układu 301
122 USD. Niektóre przypadki kalkulacji pracy 305
123 $. Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej układu 307
124 USD. Rozwiązywanie problemów 310
125 USD*. Mieszane problemy „314
126 USD. Potencjalne pole siłowe i funkcja siły 317
127 USD, energia potencjalna. Prawo zachowania energii mechanicznej 320
Rozdział XXVI. „Zastosowanie ogólnych twierdzeń do dynamiki ciała sztywnego 323
12 USD i. Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół osi stałej ". 323"
129 USD. Wahadło fizyczne. Eksperymentalne wyznaczanie momentów bezwładności. 326
130 USD. Ruch płasko-równoległy ciała sztywnego 328
$ 131*. Teoria elementarnażyroskop 334
132 zł*. Ruch ciała sztywnego wokół punktu stałego i ruch ciała swobodnego sztywnego 340
Rozdział XXVII. Zasada d'Alemberta 344
133 USD. Zasada D'Alemberta dla punktu i systemu mechanicznego. ... 344
134 USD. Główny wektor i Głównym punktem siły bezwładności 346
135 USD. Rozwiązywanie problemów 348
136 USD*, Reakcje didemiczne działające na osi wirującego ciała. Wyważanie ciał nieobrotowych 352
Rozdział XXVIII. Zasada możliwych przemieszczeń i ogólne równanie dynamiki 357
§ 137. Klasyfikacja krawatów 357
§ 138. Możliwe ruchy systemu. Liczba stopni swobody. ... 358
§ 139. Zasada możliwych ruchów 360
§ 140. Rozwiązywanie problemów 362
§ 141. Ogólne równanie dynamiki 367
Rozdział XXIX. Warunki równowagi i równania ruchu układu we współrzędnych uogólnionych 369
§ 142. Współrzędne uogólnione i prędkości uogólnione. ... ... 369
Sekcja 143. Siły uogólnione 371
§ 144. Warunki równowagi układu we współrzędnych uogólnionych 375
§ 145. Równania Lagrange'a 376
§ 146. Rozwiązywanie problemów 379
Rozdział XXX*. Małe drgania układu o stabilnej pozycji równowagi 387
§ 147. Pojęcie stabilności równowagi 387
§ 148. Małe drgania swobodne układu o jednym stopniu swobody 389
§ 149. Małe drgania tłumione i wymuszone układu o jednym stopniu swobody 392
§ 150. Małe połączone drgania układu o dwóch stopniach swobody 394
Rozdział XXXI. Elementarna teoria wpływu 396
§ 151. Podstawowe równanie teorii uderzenia 396
§ 152. Ogólne twierdzenia teorii wpływu 397
§ 153. Współczynnik odzysku przy uderzeniu 399
§ 154. Uderzenie ciała w przeszkodę stałą 400
§ 155. Bezpośrednie uderzenie centralne dwóch ciał (uderzenie kul) 401
§ 156. Strata energii kinetycznej podczas zderzenia niesprężystego dwóch ciał. Twierdzenie Carnota 403
§ 157 *. Uderzenie w obracające się ciało. Centrum uderzeniowe 405
Indeks 409