Arytmetyka ogólna. Znaczenie słowa „arytmetyka”

Co to jest „arytmetyka”? Jak dane słowo jest napisane poprawnie. Koncepcja i interpretacja.

arytmetyka sztuka obliczeń z dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Krótka historia arytmetyki. Od czasów starożytnych praca z liczbami została podzielona na dwie części różne obszary: jeden był bezpośrednio związany z właściwościami liczb, drugi był związany z techniką liczenia. Przez „arytmetykę” w wielu krajach rozumie się zwykle tę ostatnią dziedzinę, która jest niewątpliwie najstarszą gałęzią matematyki. Najwyraźniej największą trudność dla starożytnych kalkulatorów sprawiała praca z ułamkami. Można to zobaczyć na papirusie Ahmesa (zwanym również papirusem Rinda), starożytnej egipskiej pracy o matematyce z około 1650 roku p.n.e. Wszystkie ułamki wymienione w papirusie, z wyjątkiem 2/3, mają licznik równy 1. Trudność w posługiwaniu się ułamkami jest również zauważalna podczas studiowania starożytnych babilońskich tabliczek klinowych. Wydaje się, że zarówno starożytni Egipcjanie, jak i Babilończycy dokonywali obliczeń za pomocą pewnego rodzaju liczydła. Nauka o liczbach przeszła znaczny rozwój wśród starożytnych Greków, począwszy od Pitagorasa, około 530 rpne. Jeśli chodzi o samą technikę obliczeniową, znacznie mniej zrobili w tym obszarze Grecy. Rzymianie, którzy żyli później, przeciwnie, praktycznie nie wnieśli żadnego wkładu do nauki o liczbach, ale w oparciu o potrzeby szybko rozwijającej się produkcji i handlu ulepszyli liczydło jako urządzenie liczące. Niewiele wiadomo o narodzinach indyjskiej arytmetyki. Dopiero niektóre późniejsze prace nad teorią i praktyką operacji na liczbach sprowadzają się do nas, napisane po ulepszeniu indyjskiego systemu pozycyjnego przez uwzględnienie w nim zera. Kiedy dokładnie to się stało, nie wiemy na pewno, ale to właśnie wtedy położono podwaliny pod nasze najczęstsze algorytmy arytmetyczne (patrz też LICZBY I SYSTEMY NUMERYCZNE). Indyjski system liczbowy i pierwsze algorytmy arytmetyczne przyjęli Arabowie. Najwcześniejszy istniejący arabski podręcznik arytmetyki został napisany przez al-Khwarizmi około 825 roku. Używa on i wyjaśnia obszernie cyfry indyjskie. Podręcznik ten został później przetłumaczony na łacinę i wywarł znaczący wpływ na Europę Zachodnią. Zniekształcona wersja nazwy al-Chwarizmi sprowadziła się do nas w słowie „algorytm”, które po zmieszaniu z greckim słowem arithmos przekształciło się w termin „algorytm”. Arytmetyka indo-arabska stała się sławna w Zachodnia Europa głównie dzięki pracy L. Fibonacciego Księga liczydła (Liber abaci, 1202). Metoda Abacist oferowała uproszczenia podobne do korzystania z naszego systemu pozycyjnego, przynajmniej do dodawania i mnożenia. Abazi zostały zastąpione algorytmami wykorzystującymi zero oraz arabską metodę dzielenia i pierwiastka kwadratowego. Jeden z pierwszych podręczników do arytmetyki, którego autor jest nam nieznany, ukazał się w Treviso (Włochy) w 1478 roku. Zajmował się obliczeniami przy wykonywaniu transakcji handlowych. Podręcznik ten stał się prekursorem wielu późniejszych podręczników do arytmetyki. Do początku XVII wieku. w Europie opublikowano ponad trzysta takich podręczników. W tym czasie algorytmy arytmetyczne zostały znacznie ulepszone. W wiekach 16-17. Pojawiły się symbole arytmetyczne, takie jak =, +, -, *, „root” i /. Uważa się, że ułamki dziesiętne wynalazł S. Stevin w 1585 r., logarytmy - J. Napier w 1614 r., suwak logarytmiczny - W. Outread w 1622 r. Nowoczesne analogowe i cyfrowe urządzenia obliczeniowe zostały wynalezione w połowie XX wieku. Zobacz także MATEMATYKA; HISTORIA MATEMATYKI; TEORIA LICZB; SERIA. Mechanizacja obliczeń arytmetycznych. Wraz z rozwojem społeczeństwa pojawiła się potrzeba szybszych i dokładniejszych obliczeń. Ta potrzeba dała początek czterem niezwykłym wynalazkom: cyfrom indoarabskim, cyfrom dziesiętnym, logarytmom i nowoczesnym maszynom obliczeniowym. W rzeczywistości najprostsze urządzenia liczące istniały przed nadejściem współczesnej arytmetyki, ponieważ w starożytności na liczydle wykonywano elementarne operacje arytmetyczne (w Rosji używano do tego celu liczydła). Za najprostsze współczesne urządzenie liczące można uznać suwak, czyli dwie skale logarytmiczne przesuwające się jedna po drugiej, co umożliwia mnożenie i dzielenie, sumowanie i odejmowanie segmentów skal. Za wynalazcę pierwszej mechanicznej maszyny sumującej uważa się B. Pascala (1642). Później w tym samym stuleciu G. Leibniz (1671) w Niemczech i S. Morland (1673) w Anglii wynaleźli maszyny do mnożenia. Maszyny te stały się prekursorami komputerów stacjonarnych (maszyny dodające) XX wieku, które umożliwiały szybkie i dokładne wykonywanie operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. W 1812 r. angielski matematyk Charles Babbage przystąpił do stworzenia projektu maszyny do obliczania tablic matematycznych. Choć prace nad projektem trwały wiele lat, pozostał on niedokończony. Niemniej jednak projekt Babbage'a posłużył jako bodziec do stworzenia nowoczesnych komputerów elektronicznych, których pierwsze przykłady pojawiły się około 1944 roku. Szybkość tych maszyn była niesamowita: z ich pomocą, w ciągu minut lub godzin, można było rozwiązać problemy, które wcześniej wymagały wielu lat ciągłych obliczeń, nawet z wykorzystaniem dodawania maszyn. Istotę sprawy można wyjaśnić na przykładzie konkretnego problemu arytmetycznego, na przykład obliczenia liczby p (stosunku obwodu koła do jego średnicy). Pierwsze systematyczne próby obliczenia p znajdują się u Archimedesa (ok. 240 pne). Używając bardzo niedoskonałego systemu liczbowego, po długiej pracy był w stanie obliczyć p z dokładnością odpowiadającą naszemu nowoczesny system liczenie do dwóch miejsc po przecinku. Korzystając z metody Archimedesa L. van Zeilen (1540-1610), poświęcając temu znaczną część swojego życia, zdołał obliczyć p z dokładnością do 35 miejsc po przecinku. W 1873 roku, po piętnastu latach pracy, W. Shanks uzyskał wartość p z 707 cyframi, ale później okazało się, że począwszy od 528 cyfry, do jego obliczeń wkradły się błędy. W 1958 r. komputer IBM obliczył 707 cyfr p w 40 sekund i kontynuując dalsze obliczenia, otrzymał 10 000 cyfr w ciągu 100 minut. Zobacz także KOMPUTER; LICZBA PI. Cały liczby dodatnie... Podstawą naszego rozumienia liczb są intuicyjne pojęcia zbioru, korespondencja między zbiorami i nieskończona sekwencja rozróżnialnych znaków lub dźwięków. Znajomy ciąg symboli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... jest niczym innym jak nieskończoną sekwencją znaków rozróżnialnych i nieskończoną sekwencją rozróżnialnych dźwięków ( lub słowa ) "jeden", "dwa", "trzy", "cztery", "pięć", "sześć", "siedem", "osiem", "dziewięć", "dziesięć", "jedenaście", "dwanaście" ,..dopasowanie określonych znaków. Dowolny zbiór, którego wszystkie elementy można umieścić w korespondencji jeden do jednego z elementami pewnego początkowego segmentu naszego nieskończonego ciągu symboli, nazywamy zbiorem skończonym. W tym przypadku ostatni symbol segmentu wskazuje liczbę elementów w zestawie. Na przykład zbiór pozycji, które można umieścić w korespondencji jeden do jednego z początkowym segmentem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, jest skończonym zbiorem zawierającym 8 („osiem”) pozycji. Symbol 8 wskazuje „liczbę” elementów w oryginalnym zestawie. Numer ten jest symbolem lub etykietą przypisaną do danego zestawu. Wszystkim tym i tylko tym zestawom, które można umieścić w korespondencji jeden-do-jednego z danym zestawem, przypisuje się tę samą etykietę. Jednoznaczną definicję etykiety dla dowolnego zbioru skończonego nazywamy „przeliczaniem” elementów tego zbioru, a same etykiety nazywamy naturalnymi lub dodatnimi liczbami całkowitymi (patrz też LICZBA; TEORIA ZBIORÓW). Niech A i B będą dwoma skończonymi zbiorami bez Pospolite elementy i niech A zawiera n elementów, a B zawiera m elementów. Wtedy zbiór S, składający się ze wszystkich elementów zbioru A i B razem wziętych, jest zbiorem skończonym zawierającym, powiedzmy, s elementy. Na przykład, jeśli A składa się z elementów (a, b, c), zbiór B składa się z elementów (x, y), to zbiór S = A + B i składa się z elementów (a, b, c, x, y) . Liczba s nazywana jest sumą liczb n i m i piszemy ją tak: s = n + m. W tym zapisie liczby n i m nazywane są terminami, operacja znajdowania sumy nazywana jest dodawaniem. Symbol operacji „+” jest odczytywany jako „plus”. Zbiór P, składający się ze wszystkich uporządkowanych par, w których pierwszy element jest wybrany ze zbioru A, a drugi ze zbioru B, jest zbiorem skończonym zawierającym, powiedzmy, p elementów. Na przykład, jeśli, jak poprzednio, A = (a, b, c), B = (x, y), to P = AґB = ((a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)). Liczba p nazywana jest iloczynem liczb a i b i zapisujemy ją tak: p = a * b lub p = a * b. Liczby a i b w iloczynie nazywane są czynnikami, operacja znajdowania iloczynu nazywana jest mnożeniem. Symbol operacji ґ jest odczytywany jako „mnożony przez”. Można wykazać, że z tych definicji wynikają następujące podstawowe prawa dodawania i mnożenia liczb całkowitych: - prawo przemienności dodawania: a + b = b + a; - prawo łączności dodawania: a + (b + c) = (a + b) + c; - prawo przemienności mnożenia: a * b = b * a; - prawo łączności mnożenia: a * (b * c) = (a * b) * c; - prawo rozdzielności: aґ (b + c) = (a * b) + (a * c). Jeśli a i b są dwiema dodatnimi liczbami całkowitymi i jeśli istnieje dodatnia liczba całkowita c taka, że a = b + c, to mówimy, że a jest większe od b (zapisano to tak: a> b) lub że b jest mniejsze niż a ( jest napisane tak: bb lub a

Arytmetyka to ta gałąź matematyki, której przedmiotem badań są liczby, ich własności i relacje.

Jego nazwa ma pochodzenie greckie: w języku starożytnej Grecji słowo „ niemiarowość„(Wymawia się również jako” arytmos") Znaczy" numer».

Arytmetyka studiuje zasady obliczeń i najprostsze własności liczb. W tej części, zwanej teorią liczb (lub wyższą arytmetyką), badane są własności poszczególnych liczb całkowitych.

Arytmetyka jest ściśle związana z teorią liczb, algebrą i geometrią i jest jedną z głównych nauk matematycznych, a także najstarszą z nich.

Głównymi przedmiotami arytmetyki są operacje na liczbach, ich własności, a także zestawy liczb... Ponadto zajmuje się arytmetykami takimi zagadnieniami jak powstanie i rozwój pojęcia liczb, miar oraz techniki liczenia.

Operacje na liczbach, które są przedmiotem badań arytmetycznych, to dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mnożenie. Obejmują one również operacje, takie jak ekstrakcja pierwiastków, potęgowanie i rozwiązywanie różnych równań numerycznych.

Ponadto historycznie rozwinął się tak, że operacje arytmetyczne obejmują, oprócz mnożenia, podwajanie; oprócz dzielenia, dzielenie z resztą i przez dwa; sprawdzać; obliczanie sumy geometrycznej i progresje arytmetyczne... Jednocześnie wszystkie operacje arytmetyczne mają swoją hierarchię, w której najwyższy poziom zajmuje wydobywanie pierwiastków i podnoszenie do potęgi, niższy poziom to mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.

Należy zauważyć, że te pomiary i obliczenia matematyczne, które znajdują szeroki praktyczne użycie(na przykład procenty, proporcje itp.) odnoszą się do tzw. niższej arytmetyki, a pojęcie liczby i jej logicznej analizy - do arytmetyki teoretycznej.

Arytmetyka jest w bardzo ścisłym związku z algebrą, której głównym przedmiotem badań są różne operacje na liczbach, które nie uwzględniają ich własności i cech. W tym przypadku ekstrakcja pierwiastków i potęgowanie są techniczną częścią algebry.

Ponieważ w Życie codzienne arytmetyka jest używany prawie wszędzie, wtedy pewna wiedza w tej nauce jest niezbędna absolutnie każdemu. Przez cały okres eksploatacji operacje takie jak liczenie, obliczanie objętości, powierzchni, prędkości, interwałów czasowych i długości muszą być wykonywane bardzo często.

Aby opanować dowolny zawód, musisz mieć podstawową wiedzę arytmetyczną, a dotyczy to zwłaszcza tych specjalności, które są związane z ekonomią, technologią i naukami przyrodniczymi.

Arytmetyka to najbardziej podstawowa, podstawowa gałąź matematyki. Swoje pochodzenie zawdzięcza potrzebom ludzi do liczenia.

Arytmetyka mentalna

Co się nazywa arytmetyka mentalna? Arytmetyka mentalna jest metodą nauczania szybkie sprawdzenie który pochodzi ze starożytności.

Obecnie, w przeciwieństwie do poprzedniego, nauczyciele starają się nie tylko nauczyć dzieci szybkości liczenia, ale także starają się rozwijać myślenie.

Sam proces uczenia się opiera się na wykorzystaniu i rozwoju obu półkul mózgu. Najważniejsze, aby móc z nich korzystać razem, ponieważ wzajemnie się uzupełniają.

Rzeczywiście, lewa półkula odpowiada za logikę, mowę i racjonalność, podczas gdy prawa półkula odpowiada za wyobraźnię.

Program szkoleniowy obejmuje naukę pracy i posługiwania się narzędziem takim jak: liczydło.

Liczydło jest głównym narzędziem w nauce arytmetyki mentalnej, ponieważ uczniowie uczą się z nimi pracować, obracać kostki i rozumieć istotę liczenia. Z biegiem czasu liczydło staje się twoją wyobraźnią, a kursanci je sobie wyobrażają, opierają się na tej wiedzy i rozwiązują przykłady.

Opinie na temat tych metod nauczania są bardzo pozytywne. Jest jedna wada – szkolenie jest płatne i nie każdy może sobie na to pozwolić. Dlatego ścieżka geniusza zależy od sytuacji finansowej.

Matematyka i arytmetyka

Matematyka i arytmetyka to pojęcia ściśle powiązane, a raczej arytmetyka to dział matematyki zajmujący się liczbami i obliczeniami (operacje na liczbach).

Arytmetyka to główna sekcja, a zatem podstawa matematyki. Podstawą matematyki są najważniejsze pojęcia i operacje, które stanowią podstawę, na której budowana jest cała późniejsza wiedza. Główne operacje to: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie.

Arytmetyki zwykle uczy się w szkole od samego początku. od pierwszej klasy. Dzieci opanowują podstawy matematyki.

Dodatek- jest to operacja arytmetyczna, w trakcie której dodawane są dwie liczby, a ich wynikiem będzie nowa - trzecia.

a + b = c.

Odejmowanie- jest to operacja arytmetyczna, podczas której druga liczba jest odejmowana od pierwszej, a wynikiem będzie trzecia.

Wzór dodawania jest wyrażony w następujący sposób: a - b = c.

Mnożenie- jest to akcja, w wyniku której znajduje się suma tych samych warunków.

Wzór na to działanie to: a1 + a2 +… + an = n * a.

Podział Czy podział na równe części liczby lub zmiennej.

Weź udział w kursie „Przyspieszenie liczenia werbalnego, a NIE arytmetyki mentalnej”, aby nauczyć się, jak szybko i poprawnie dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić, podnosić do kwadratu, a nawet pierwiastować. W ciągu 30 dni nauczysz się używać lekkich sztuczek, aby uprościć operacje arytmetyczne. Każda lekcja zawiera nowe techniki, jasne przykłady i pomocne zadania.

Nauczanie arytmetyki

W murach szkoły uczy się arytmetyki. Od pierwszej klasy dzieci zaczynają uczyć się podstawowej i głównej części matematyki - arytmetyki.

Dodawanie liczb

Klasa arytmetyczna 5

W klasie piątej uczeń zaczyna studiować takie tematy jak: liczby ułamkowe, liczby mieszane... Informacje o operacjach z tymi numerami można znaleźć w naszych artykułach na temat odpowiednich operacji.

Liczba ułamkowa Czy stosunek dwóch liczb do siebie lub licznik do mianownika. Liczbę ułamkową można zastąpić operacją dzielenia. Na przykład ¼ = 1: 4.

Pomieszane numery Jest liczbą ułamkową, tylko z podświetleniem cała część... Cała część jest wyróżniona pod warunkiem, że licznik jest większy od mianownika. Na przykład był ułamek: 5/4, można go przekształcić, podświetlając całą część: 1 i ¼.

Przykłady szkoleń:

Zadanie numer 1:

Zadanie numer 2:

Klasa arytmetyczna 6

W szóstej klasie pojawia się temat zamiany ułamków na zapis pisany małymi literami. Co to znaczy? Na przykład, biorąc pod uwagę ułamek ½, będzie on równy 0,5. ¼ = 0,25.

Przykłady można zapisać w tym stylu: 0,25 + 0,73 + 12/31.

Przykłady szkoleń:

Zadanie numer 1:

Zadanie numer 2:

Gry rozwijające liczenie ustne i szybkość liczenia

Są świetne gry, które mogą pomóc Ci rozwinąć Twój wynik, pomóc Ci się rozwinąć zdolność matematyczna i myślenie matematyczne, liczenie werbalne i szybkość liczenia! Możesz grać i rozwijać się! Jesteś zainteresowany? Czytać krótkie artykuły o grach i koniecznie spróbuj sam.

Gra „Szybkie liczenie”

Gra w szybkie liczenie pomoże Ci przyspieszyć liczenie ustne. Istotą gry jest to, że na przedstawionym obrazku będziesz musiał wybrać odpowiedź tak lub nie na pytanie "czy jest 5 identycznych owoców?" Podążaj za swoim celem, a ta gra Ci w tym pomoże.

Gra „Porównania matematyczne”

Gra „Porównania matematyczne” będzie wymagała porównania dwóch liczb naraz. Oznacza to, że musisz jak najszybciej wybrać jedną z dwóch liczb. Pamiętaj, że czas jest ograniczony, a im więcej odpowiesz poprawnie, tym lepiej rozwiną się Twoje umiejętności matematyczne! Spróbujmy?

Szybka gra dodawania

Gra Fast Add to doskonały symulator szybkiego liczenia. Istota gry: to znaczy biorąc pod uwagę pole 4x4. 16 numerów, a nad polem numer siedemnasty. Twój cel: Użyj szesnastu liczb, aby uzyskać 17 za pomocą operacji dodawania. Np. nad polem masz zapisaną liczbę 28, to w polu musisz znaleźć 2 takie liczby, które sumują się do liczby 28. Czy jesteś gotowy, aby spróbować swoich sił? Więc śmiało, trenuj!

Rozwijanie fenomenalnego liczenia ustnego

Właśnie pokonaliśmy wierzchołek góry lodowej, aby lepiej zrozumieć matematykę - zapisz się na nasz kurs: Przyspieszenie liczenia werbalnego - NIE arytmetyki mentalnej.

Na kursie nauczysz się nie tylko dziesiątek technik uproszczonego i szybkiego mnożenia, dodawania, mnożenia, dzielenia, obliczania procentowego, ale także wypracujesz je w zadaniach specjalnych i grach edukacyjnych! Liczenie werbalne wymaga również dużej uwagi i koncentracji, które są aktywnie ćwiczone przy rozwiązywaniu ciekawych problemów.

Szybkie czytanie w 30 dni

Zwiększ szybkość czytania 2-3x w ciągu 30 dni. Od 150-200 do 300-600 słów na minutę lub od 400 do 800-1200 słów na minutę. Kurs wykorzystuje tradycyjne ćwiczenia rozwoju szybkiego czytania, techniki przyspieszające pracę mózgu, metodę stopniowego zwiększania szybkości czytania, psychologię szybkiego czytania oraz pytania uczestników kursu. Odpowiedni dla dzieci i dorosłych czytających do 5000 słów na minutę.

Rozwój pamięci i uwagi u dziecka w wieku 5-10 lat

Cel zajęć: rozwijanie pamięci i uwagi u dziecka, aby łatwiej było mu uczyć się w szkole, aby lepiej zapamiętywał.

Czym jest arytmetyka? Kiedy ludzkość zaczęła używać liczb i pracować z nimi? Gdzie są korzenie takich zwyczajnych pojęć jak liczby, dodawanie i mnożenie, które człowiek uczynił nieodłączną częścią swojego życia i światopoglądu? Starożytne greckie umysły podziwiały takie nauki, jak geometria, jako najpiękniejsze symfonie ludzkiej logiki.

Być może arytmetyka nie jest tak głęboka jak inne nauki, ale co by się z nimi stało, gdyby ktoś zapomniał o elementarnej tabliczce mnożenia? Znany nam logiczne myślenie, posługiwanie się liczbami, ułamkami i innymi narzędziami, nie było łatwe dla ludzi i przez długi czas było niedostępne dla naszych przodków. W rzeczywistości przed rozwojem arytmetyki żadna dziedzina ludzkiej wiedzy nie była prawdziwie naukowa.

Arytmetyka to ABC matematyki

Arytmetyka to nauka o liczbach, z którą każda osoba zaczyna się zapoznać fascynujący świat matematyka. Jak powiedział MV Łomonosow, arytmetyka jest bramą do nauki, która otwiera nam drogę do poznania świata. Ale ma rację, czy można oddzielić wiedzę o świecie od znajomości liczb i liter, matematyki i mowy? Być może w dawnych czasach, ale nie w nowoczesny świat gdzie szybki rozwój nauki i techniki dyktuje własne prawa.

Słowo „arytmetyka” (gr. „arytmos”) pochodzenie greckie, oznacza „liczbę”. Studiuje liczby i wszystko, co może się z nimi kojarzyć. To jest świat liczb: różne działania na liczbach, reguły liczbowe, rozwiązywanie problemów związanych z mnożeniem, odejmowaniem itp.

Główny przedmiot arytmetyki

Podstawą arytmetyki jest liczba całkowita, której właściwości i wzory są uwzględniane w wyższej arytmetyce lub w rzeczywistości wytrzymałość całego budynku - matematyka - zależy od tego, jak poprawne jest podejście do uznania tak małego bloku za liczbę naturalną .

Dlatego na pytanie, czym jest arytmetyka, można odpowiedzieć po prostu: jest to nauka o liczbach. Tak, o znanej siódemce, dziewiątce i całej tej różnorodnej społeczności. I tak jak dobre i mierne wiersze nie mogą być napisane bez elementarnego alfabetu, tak nawet elementarny problem nie może być rozwiązany bez arytmetyki. Dlatego wszystkie nauki rozwinęły się dopiero po rozwoju arytmetyki i matematyki, będąc wcześniej tylko zbiorem założeń.

Arytmetyka to nauka fantomowa

Czym jest arytmetyka - przyroda czy fantom? W rzeczywistości, jak rozumowali starożytni greccy filozofowie, w rzeczywistości nie istnieją ani liczby, ani liczby. To tylko fantom, który powstaje w ludzkim myśleniu przy rozważaniu środowisko z jego procesami. Rzeczywiście, nigdzie nie widzimy czegoś takiego, co można by nazwać liczbą, a raczej liczba jest sposobem ludzkiego umysłu na badanie świata. A może jest to studium siebie od środka? Filozofowie spierają się o to od wielu stuleci, więc nie podejmujemy się wyczerpującej odpowiedzi. Tak czy inaczej arytmetyka zdołała zająć swoje stanowisko tak mocno, że we współczesnym świecie nikogo nie można uznać za przystosowanego społecznie bez znajomości jego podstaw.

Jak pojawiła się liczba naturalna

Oczywiście głównym obiektem, na którym operuje arytmetyka, jest liczba naturalna, taka jak 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... itd. Arytmetyka liczb naturalnych jest wynikiem liczenia pospolitych obiektów, takich jak krowy na łące. Jednak definicja „dużo” lub „mało” przestała kiedyś odpowiadać ludziom i musieli wymyślić doskonalsze techniki liczenia.

Ale prawdziwy przełom nastąpił, gdy myśl ludzka osiągnęła punkt, w którym jedna i ta sama liczba „dwa” może oznaczać 2 kilogramy i 2 cegły i 2 części. Faktem jest, że musisz abstrahować od form, właściwości i znaczenia obiektów, a następnie możesz wykonać pewne czynności z tymi obiektami w postaci liczb naturalnych. Tak narodziła się arytmetyka liczb, która dalej rozwijała się i rozszerzała, zajmując coraz więcej pozycji w życiu społeczeństwa.

Takie dogłębne pojęcia liczb, jak liczby zerowe i ujemne, ułamki, oznaczanie liczb przez liczby i w inny sposób, mają najbogatsze i ciekawa historia rozwój.

Arytmetyka i praktyczni Egipcjanie

Dwaj najdawniejsi towarzysze człowieka w badaniu otaczającego go świata iw rozwiązywaniu codziennych problemów to arytmetyka i geometria.

Uważa się, że historia arytmetyki wywodzi się ze starożytnego Wschodu: w Indiach, Egipcie, Babilonie i Chinach. Tak więc papirus Rinda pochodzenia egipskiego (nazwany tak, ponieważ należał do właściciela o tej samej nazwie), datowany na XX wiek. BC, oprócz innych cennych danych, zawiera rozkład jednego ułamka na sumę ułamków o różnych mianownikach i liczniku równym jeden.

Na przykład: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Ale jaki jest sens tak złożonego rozkładu? Fakt jest taki podejście egipskie nie tolerował abstrakcyjnych refleksji na temat liczb, przeciwnie, obliczenia były dokonywane tylko w celach praktycznych. Oznacza to, że Egipcjanin będzie zajmował się takimi obliczeniami, jak obliczenia, wyłącznie po to, aby na przykład zbudować grobowiec. Konieczne było obliczenie długości żebra konstrukcji, a to zmusiło osobę do usiąść przy papirusie. Jak widać, egipski postęp w obliczeniach był spowodowany raczej masywną budową niż zamiłowaniem do nauki.

Z tego powodu obliczeń znalezionych na papirusach nie można nazwać refleksjami na temat ułamków. Najprawdopodobniej jest to praktyczny szablon, który pomógł w przyszłości rozwiązać problemy z ułamkami. Starożytni Egipcjanie, którzy nie znali tabliczki mnożenia, wykonywali dość długie obliczenia, rozłożone na wiele podzadań. Być może jest to jedno z takich podzadań. Łatwo zauważyć, że obliczenia z takimi półfabrykatami są bardzo pracochłonne i mało obiecujące. Może z tego powodu nie widzimy dużego wkładu. Starożytny Egipt w rozwoju matematyki.

Starożytna Grecja i arytmetyka filozoficzna

Wiele wiedzy o starożytnym Wschodzie z powodzeniem opanowali starożytni Grecy, znani z miłośników abstrakcyjnych, abstrakcyjnych i filozoficznych refleksji. Praktyka interesowała ich nie mniej, ale trudno znaleźć najlepszych teoretyków i myślicieli. Było to korzystne dla nauki, ponieważ nie można zagłębić się w arytmetykę bez oderwania jej od rzeczywistości. Oczywiście możesz pomnożyć 10 krów i 100 litrów mleka, ale daleko nie zajdziesz.

Grecy o głębokich umysłach pozostawili znaczący ślad w historii, a ich prace sprowadzają się do nas:

Euklides i początki.
Pitagoras.
Archimedesa.
Eratostenes.
Zenona.
Anaksagoras.

I oczywiście Grecy, którzy wszystko zamienili w filozofię, a zwłaszcza następcy dzieła pitagorejskiego, byli tak porwani przez liczby, że uważali je za tajemnicę harmonii świata. Liczby zostały tak przebadane i zbadane, że niektórym z nich i ich parom przypisano specjalne właściwości. Na przykład:

Liczby doskonałe to te, które są równe sumie wszystkich ich dzielników, z wyjątkiem samej liczby (6 = 1 + 2 + 3).
Liczby przyjazne to takie liczby, z których jedna jest równa sumie wszystkich dzielników drugiej i odwrotnie (Pitagorejczycy znali tylko jedną taką parę: 220 i 284).

Grecy, którzy uważali, że naukę należy kochać, a nie być z nią dla zysku, osiągnęli wielki sukces badając, grając i dodając liczby. Należy zauważyć, że nie wszystkie ich badania były szeroko wykorzystywane, niektóre z nich pozostały tylko „dla urody”.

Wschodni myśliciele średniowiecza

Podobnie w średniowieczu arytmetyka zawdzięcza swój rozwój współczesnym wschodnim. Indianie przekazali nam liczby, których aktywnie używamy, takie pojęcie jak „zero” i wersję pozycyjną znaną współczesnej percepcji. Po Al-kaszy, która pracowała w Samarkandzie w XV wieku, odziedziczyliśmy, bez której trudno wyobrazić sobie współczesną arytmetykę.

Pod wieloma względami poznanie Europy z dorobkiem Wschodu stało się możliwe dzięki pracy włoskiego naukowca Leonarda Fibonacciego, który napisał książkę „Księga liczydła”, wprowadzającą wschodnie innowacje. Stał się kamieniem węgielnym rozwoju algebry i arytmetyki, badań i działalność naukowa w Europie.

arytmetyka rosyjska

I wreszcie arytmetyka, która znalazła swoje miejsce i zakorzeniła się w Europie, zaczęła rozprzestrzeniać się na ziemie rosyjskie. Pierwsza rosyjska arytmetyka wyszła w 1703 roku - była to książka o arytmetyce Leonty Magnitsky'ego. Przez długi czas był jedynym podręcznikiem nauczania matematyki. Zawiera początkowe momenty algebry i geometrii. Liczby użyte w przykładach w pierwszym rosyjskim podręczniku arytmetyki są arabskie. Chociaż cyfry arabskie spotykano już wcześniej, w rycinach z XVII wieku.

Sama księga jest ozdobiona wizerunkami Archimedesa i Pitagorasa, a na pierwszym arkuszu znajduje się obraz arytmetyczny w postaci kobiety. Zasiada na tronie, pod nią jest napisane po hebrajsku słowo oznaczające imię Boga, a na stopniach prowadzących do tronu wypisane są słowa „podział”, „pomnożenie”, „dodanie” itp. Można tylko wyobraź sobie, jakie znaczenie zostało zdradzone takie prawdy, które są obecnie uważane za powszechne.

Ten 600-stronicowy podręcznik obejmuje zarówno podstawy, jak tabliczka dodawania i mnożenia, jak i zastosowania w nauce nawigacji.

Nic dziwnego, że autor wybrał do swojej książki obrazy greckich myślicieli, ponieważ sam był urzeczony pięknem arytmetyki, mówiąc: „Arytmetyka jest licznikiem, jest sztuka uczciwa, nie do pozazdroszczenia…”. Takie podejście do arytmetyki jest całkiem uzasadnione, ponieważ to właśnie jej powszechne wprowadzenie można uznać za początek szybkiego rozwoju myśli naukowej w Rosji i edukacji ogólnej.

Trudne liczby pierwsze

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma tylko 2 dodatnie dzielniki: 1 i samą siebie. Wszystkie inne liczby, poza 1, nazywane są złożonymi. Przykłady liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11 i wszystkie inne, które nie mają innych dzielników, z wyjątkiem liczby 1 i samej siebie.

Jeśli chodzi o liczbę 1, jest ona na specjalnym koncie - istnieje zgoda, że nie należy jej uważać za prostą ani złożoną. Pozornie prosta liczba pierwsza kryje wiele nierozwiązane tajemnice w sobie.

Twierdzenie Euklidesa mówi, że istnieje nieskończony zbiór liczb pierwszych, a Eratostenes wynalazł specjalne „sito” arytmetyczne, które eliminuje liczby inne niż pierwsze, pozostawiając tylko liczby pierwsze.

Jego istotą jest podkreślenie pierwszej nieprzekreślonej liczby, a następnie wykreślenie tych, które są jej wielokrotnościami. Powtarzamy tę procedurę wiele razy - i otrzymujemy tablicę liczb pierwszych.

Podstawowe twierdzenie arytmetyki

Wśród obserwacji dotyczących liczb pierwszych należy w szczególny sposób wymienić główne twierdzenie arytmetyki.

Główne twierdzenie arytmetyki mówi, że każda liczba całkowita większa niż 1 jest albo liczbą pierwszą, albo można ją rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych do rzędu czynników i w unikalny sposób.

Podstawowe twierdzenie arytmetyki okazało się dość nieporęczne, a jego rozumienie nie przypomina już najprostszych podstaw.

Na pierwszy rzut oka liczby pierwsze są podstawowym pojęciem, ale tak nie jest. Fizyka też kiedyś uważała atom za elementarny, dopóki nie znalazła w nim całego wszechświata. liczby pierwsze poświęcony wspaniałej historii matematyka Don Tsagira „Pierwsze pięćdziesiąt milionów liczb pierwszych”.

Od „trzech jabłek” do praw dedukcyjnych

Tym, co naprawdę można nazwać wzmocnionym fundamentem wszelkiej nauki, są prawa arytmetyki. Nawet w dzieciństwie każdy ma do czynienia z arytmetyką, studiując liczbę nóg i ramion lalek, liczbę kostek, jabłek itp. W ten sposób uczymy się arytmetyki, która następnie przechodzi w bardziej złożone zasady.

Całe nasze życie zapoznaje nas z regułami arytmetyki, które ze wszystkiego, co daje nauka, stały się najbardziej użyteczne dla zwykłego człowieka. Badanie liczb to „arytmetyka dziecięca”, która wprowadza osobę w świat liczb w postaci liczb we wczesnym dzieciństwie.

Wyższa arytmetyka to nauka dedukcyjna, która bada prawa arytmetyki. Większość z nich jest nam znana, chociaż możemy nie znać ich dokładnego sformułowania.

Prawo dodawania i mnożenia

Każdych dwóch liczby naturalne a i b można wyrazić jako sumę a + b, która również będzie liczbą naturalną. Do uzupełnienia mają zastosowanie następujące przepisy:

Przemienność, który mówi, że suma nie zmienia się z permutacji terminów w miejscach lub a + b = b + a.
Asocjacyjny, który mówi, że suma nie zależy od sposobu, w jaki terminy są pogrupowane w miejscach, lub a + (b + c) = (a + b) + c.

Zasady arytmetyki, takie jak dodawanie, należą do podstawowych, ale są stosowane przez wszystkie nauki, nie mówiąc już o życiu codziennym.

Dowolne dwie liczby naturalne a i b można wyrazić w iloczynie a * b lub a * b, który jest również liczbą naturalną. Do produktu mają zastosowanie te same prawa przemienne i asocjacyjne, co do dodawania:

a * b = b * a;
a * (b * c) = (a * b) * c.

Co ciekawe, istnieje prawo łączące dodawanie i mnożenie, zwane także prawem rozdzielczym lub rozdzielczym:

a (b + c) = ab + ac

To prawo faktycznie uczy nas pracy z nawiasami, otwierając je, dzięki czemu możemy pracować z bardziej złożonymi formułami. To właśnie te prawa poprowadzą nas przez dziwaczny i złożony świat algebry.

Prawo porządku arytmetycznego

Logika ludzka korzysta z prawa porządku na co dzień, sprawdzając zegary i licząc rachunki. A jednak i to musi być sformalizowane w postaci konkretnych sformułowań.

Jeśli mamy dwie liczby naturalne a i b, to możliwe są następujące opcje:

a oznacza b lub a = b;
a jest mniejsze niż b lub a< b;
a jest większe niż b lub a> b.

Z trzech opcji tylko jedna może być uczciwa. Podstawowe prawo rządzące porządkiem mówi: Jeśli< b и b < c, то a< c.

Istnieją również prawa, które wiążą kolejność z mnożeniem i dodawaniem: Jeśli< b, то a + c < b+c и ac< bc.

Prawa arytmetyki uczą nas pracować z liczbami, znakami i nawiasami, zamieniając wszystko w harmonijną symfonię liczb.

Pozycyjne i niepozycyjne systemy rachunku różniczkowego

Można powiedzieć, że liczby to język matematyczny, od którego wygody wiele zależy. Istnieje wiele systemów rachunku różniczkowego, które podobnie jak alfabety inne języki, różnią się od siebie.

Rozważmy systemy liczbowe z punktu widzenia wpływu pozycji na wartość ilościową figury na tej pozycji. Na przykład system rzymski jest niepozycyjny, gdzie każda liczba jest zakodowana przez pewien zestaw znaków specjalnych: I / V / X / L / C / D / M. Są one równe odpowiednio liczbom 1. /5/10/50/100/500 / 1000. W takim systemie liczba nie zmienia swojej definicji ilościowej, w zależności od tego, na jakiej pozycji się znajduje: pierwsza, druga itd. Aby uzyskać inne liczby, musisz dodać podstawowe. Na przykład:

DCC = 700.
CCM = 800.

Bardziej znanym nam systemem liczbowym używającym cyfr arabskich jest pozycyjny. W takim systemie cyfra numeru określa liczbę cyfr, na przykład liczby trzycyfrowe: 333, 567 itd. Waga dowolnej cyfry zależy od pozycji, w której znajduje się ta lub inna cyfra, np. cyfra 8 na drugiej pozycji ma wartość 80. Jest to typowe dla systemu dziesiętnego, istnieją inne systemy pozycyjne, np. , binarny.

Arytmetyka binarna

Arytmetyka binarna działa z alfabetem binarnym, który składa się tylko z 0 i 1. A użycie tego alfabetu nazywa się binarnym systemem liczbowym.

Różnica między arytmetyką binarną a arytmetyką dziesiętną polega na tym, że znaczenie pozycji po lewej stronie nie jest już 10, ale 2 razy. Liczby binarne mają postać 111, 1001 itd. Jak należy rozumieć takie liczby? Rozważmy więc liczbę 1100:

Pierwsza cyfra od lewej to 1 * 8 = 8, pamiętając, że czwarta cyfra, co oznacza, że trzeba ją pomnożyć przez 2, otrzymujemy pozycję 8.
Druga cyfra to 1 * 4 = 4 (pozycja 4).
Trzecia cyfra to 0 * 2 = 0 (pozycja 2).
Czwarta cyfra to 0 * 1 = 0 (pozycja 1).
Tak więc nasza liczba 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Oznacza to, że po przejściu na nową cyfrę po lewej stronie jego znaczenie w systemie binarnym jest mnożone przez 2, a w systemie dziesiętnym - przez 10. Taki system ma jedną wadę: jest zbyt duży wzrost cyfr, które są niezbędne do pisania liczb. Przykłady reprezentacji liczby dziesiętne w formie debla można zobaczyć w poniższej tabeli.

Liczby dziesiętne w systemie binarnym pokazano poniżej.

Stosowane są zarówno systemy ósemkowe, jak i szesnastkowe.

Ta tajemnicza arytmetyka

Czym jest arytmetyka, „dwa razy dwa" czy niezbadane tajemnice liczb? Jak widać, arytmetyka na pierwszy rzut oka może wydawać się prosta, ale jej nieoczywista łatwość myli. Dzieci mogą również uczyć się go razem z ciocią Sową z kreskówki „Arytmetyka dziecka” lub zanurzyć się w głęboko naukowych badaniach o niemal filozoficznej naturze. W historii przeszła od liczenia przedmiotów do uwielbienia piękna liczb. Jedno jest pewne: wraz z ustaleniem podstawowych postulatów arytmetyki, cała nauka może polegać na swoim silnym ramieniu.

Z jednej strony to bardzo proste pytanie. Z drugiej strony uczniowie i wielu dorosłych często myli arytmetykę z matematyką i tak naprawdę nie wiedzą, jaka jest różnica między tymi dwoma przedmiotami. Matematyka to najszersze pojęcie, które obejmuje dowolną manipulację liczbami. Arytmetyka to tylko jedna z gałęzi matematyki. Arytmetyka obejmuje znajomość liczb, proste liczenie i operacje na liczbach. Wcześniej w szkołach lekcje nazywano arytmetykami, a dopiero z czasem zaczęto nazywać matematykami, co płynnie przechodzi w algebrę. Zasadniczo algebra zaczyna się, gdy przykłady pokazują nieznane liczby i zamiast nich używają liter. Czyli w prosty sposób operacje z x oraz tak.

Semestr "arytmetyka" pochodzi od greckiego słowa „arytmos” co oznacza „liczbę”. W XIV-XV wieku termin ten został przetłumaczony w Anglii nie do końca poprawnie - "sztuka metryczna", co w gruncie rzeczy oznaczało "sztukę metryczną", pasującą bardziej do geometrii niż prostego liczenia i prostych operacji na liczbach.

Jednym z powodów, dla których szkoły nie stosują pojęcia „arytmetyki”, jest to, że nawet w klasie stopnie podstawowe oprócz liczb uczą się również figury geometryczne i jednostki miary (centymetr, metr itp.), a to już wykracza poza zwykłe liczenie. Niemniej jednak nauka arytmetyki umysłowej pojawia się w życiu dziecka do pewnego stopnia sama, w procesie poznawania otaczającego go świata. Semestr „Arytmetyka mentalna” oznacza umiejętność liczenia w umyśle. Zgadzam się, każdy z nas w pewnym momencie życia uczy się tego i to nie tylko dzięki lekcjom szkolnym.

Obecnie istnieją całe techniki rozwijania umiejętności szybkiego liczenia umysłowego u dzieci. Na przykład szczególnie popularne jest starożytne szkolenie Abacus, które opiera się na umiejętności liczenia na specjalnych kontach (różnią się od zwykłych dziesiątkami). Liczydło przetłumaczone z angielskiego jest "Liczydło", dlatego nazwa techniki brzmi tak samo. Japończycy nazywają tę technikę treningiem Soroban, ponieważ w ich języku „liczba” nazywa się „soroban”.

W arytmetyce istnieją cztery podstawowe operacje — dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Ponadto nie ma znaczenia, czy w przykładzie użyto liczb całkowitych, czy ułamków dziesiętnych i ułamkowych. Możesz zaznajomić dziecko z liczbami od wczesnego dzieciństwa i możesz to zrobić naturalnie i w grze. W tym rodzicom pomoże nie tylko wyobraźnia, ale także wiele specjalnych materiałów edukacyjnych, które można znaleźć w każdym sklepie.

Zgodnie ze współczesnymi wymaganiami dla pierwszej klasy dziecko powinno już liczyć co najmniej w limicie dziesięciu (lub lepiej do 20), a także wykonywać podstawowe operacje ze znanymi liczbami - dodawać je i odejmować. Ważne jest również, aby dziecko mogło porównać, która z liczb jest większa, a która mniejsza, a które liczby są równe. Można więc powiedzieć, że to właśnie arytmetyka, którą dziecko powinno wiedzieć przed wejściem do szkoły.

Takie wymagania są nakładane nie tylko w Rosji, ale na całym świecie, tk. tempo życia przyspiesza, a ilość wiedzy rośnie z dnia na dzień. Co wystarczyło wiedzieć w program nauczania 20-30 lat temu dzisiaj zajmuje nie więcej niż 50% informacji nauczanych przez nauczycieli. Tak czy inaczej, arytmetyka zawsze pozostanie podstawą nauki liczb i liczenia, a także początkowym poziomem matematyki, bez którego nie można studiować więcej trudne zadania i umiejętności.