Ślimak o złotym stosunku. Liczby Fibonacciego: zabawne fakty matematyczne

Liczby Fibonacciego są elementami ciągu liczbowego.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, w których każda kolejna liczba jest równa sumie dwóch poprzednich. Nazwa pochodzi od średniowiecznego matematyka Leonarda z Pizy (lub Fibonacciego), który mieszkał i pracował jako kupiec i matematyk we włoskim mieście Piza. Jest jednym z najbardziej znanych europejskich naukowców swoich czasów. Do jego największych osiągnięć należy wprowadzenie cyfr arabskich w miejsce rzymskich. Fn = Fn-1 + Fn-2

Szereg matematyczny asymptotycznie (to znaczy zbliżający się coraz wolniej) dąży do stałego stosunku. Jednak taka postawa jest irracjonalna; ma nieskończoną, nieprzewidywalną sekwencję wartości dziesiętnych ustawiających się po nim. Nigdy nie da się tego dokładnie wyrazić. Jeśli każda liczba będąca częścią szeregu zostanie podzielona przez poprzednią wartość (na przykład 13-^8 lub 21 -IS), wynik akcji zostanie wyrażony w stosunku, który oscyluje wokół Liczba niewymierna 1,61803398875, nieco więcej lub nieco mniej niż relacje sąsiednich wierszy. Proporcje nigdy, w nieskończoność, nie będą dokładne aż do ostatniej cyfry (nawet w przypadku najpotężniejszych komputerów, jakie kiedykolwiek stworzono). Dla zwięzłości użyjemy 1,618 jako współczynnika Fibonacciego i poprosimy czytelników, aby nie zapomnieli o tej niedokładności.

Liczby Fibonacciego są również ważne podczas analizy algorytmu Euklidesa w celu wyznaczenia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb. Liczby Fibonacciego występują we wzorze na przekątną przez trójkąt Pascala (współczynniki dwumianowe).

Liczby Fibonacciego okazały się być powiązane ze „złotym podziałem”.

Wiedzieli o złotym podziale nawet w Starożytny Egipt oraz Babilon, Indie i Chiny. Co jest " złoty podział"? Odpowiedź jest wciąż nieznana. Liczby Fibonacciego są naprawdę istotne dla teorii praktyki w naszych czasach. Wzrost znaczenia miał miejsce w XX wieku i trwa do dziś. Wykorzystanie liczb Fibonacciego w ekonomii i informatyce przyciągnęło do ich badań rzesze ludzi.

Metodologia moich badań polegała na studiowaniu literatury specjalistycznej i uogólnianiu otrzymanych informacji, a także prowadzeniu własnych badań oraz identyfikowaniu właściwości liczb i zakresu ich wykorzystania.

W trakcie badania naukowe zdefiniował samo pojęcie liczb Fibonacciego, ich własności. Odkryłam też ciekawe wzory w przyrodzie, bezpośrednio w strukturze nasion słonecznika.

Na słoneczniku nasiona są ułożone w spirale, a liczba spiral idących w drugą stronę jest inna – są to kolejne liczby Fibonacciego.

Na tym słoneczniku są 34 i 55.

To samo obserwuje się w owocach ananasa, gdzie spirali jest 8 i 14. Liście kukurydzy kojarzą się z unikalną właściwością liczb Fibonacciego.

Frakcje postaci a/b, odpowiadające spiralnemu układowi liści odnóży łodygi rośliny, są często stosunkami kolejnych liczb Fibonacciego. Dla leszczyny stosunek ten wynosi 2/3, dla dębu - 3/5, dla topoli 5/8, dla wierzby 8/13 itd.

Biorąc pod uwagę ułożenie liści na łodydze roślin, widać, że pomiędzy każdą parą liści (A i C) trzeci znajduje się w miejscu złotego odcinka (B)

Inną interesującą właściwością liczby Fibonacciego jest to, że iloczyn i iloraz dowolnych dwóch różnych liczb Fibonacciego innych niż jedna nigdy nie jest liczbą Fibonacciego.

W wyniku badań doszedłem do: następujące wnioski: Liczby Fibonacciego są unikalne postęp arytmetyczny, który pojawił się w XIII wieku naszej ery. Postęp ten nie traci na aktualności, co zostało potwierdzone w trakcie moich badań. Liczby Fibonacciego nie są takie same w programowaniu i prognozach ekonomicznych, w malarstwie, architekturze i muzyce. Obrazy tak znanych artystów jak Leonardo da Vinci, Michał Anioł, Rafael i Botticelli kryją magię złotego podziału. Nawet I. I. Shishkin użył złotego podziału w swoim obrazie „Pine Grove”.

Trudno w to uwierzyć, ale złoty podział znajduje się również w dziełach muzycznych tak wielkich kompozytorów jak Mozart, Beethoven, Chopin itp.

Liczby Fibonacciego znajdują się również w architekturze. Na przykład złoty podział został użyty przy budowie katedry Partenon i Notre Dame.

Odkryłem, że liczby Fibonacciego są również używane w naszym regionie. Na przykład listwy domów, frontony.

Czy słyszałeś kiedyś, że matematykę nazywa się „królową wszystkich nauk”? Czy zgadzasz się z tym stwierdzeniem? Dopóki matematyka pozostaje dla ciebie zestawem nudnych zadań w podręczniku, trudno ci poczuć piękno, wszechstronność, a nawet humor tej nauki.

Ale są tematy w matematyce, które pomagają w ciekawych obserwacjach wspólnych dla nas rzeczy i zjawisk. A nawet spróbuj przebić się przez zasłonę tajemnic stworzenia naszego Wszechświata. Na świecie istnieją ciekawe wzorce, które można opisać za pomocą matematyki.

Przedstawiamy liczby Fibonacciego

Liczby Fibonacciego wywołaj elementy ciągu liczbowego. W nim każda następna liczba z rzędu jest uzyskiwana przez zsumowanie dwóch poprzednich liczb.

Przykład sekwencji: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Możesz napisać to tak:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Możesz rozpocząć serię liczb Fibonacciego od wartości ujemnych. n... W tym przypadku sekwencja w tym przypadku jest dwustronna (tzn. obejmuje ujemne i liczby dodatnie) i dąży do nieskończoności w obu kierunkach.

Przykład takiej sekwencji: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Formuła w tym przypadku wygląda tak:

Fn = Fn + 1 - Fn + 2 lub w inny sposób możesz to zrobić: F -n = (-1) n + 1 Fn.

To, co teraz znamy jako „liczby Fibonacciego”, było znane starożytnym indyjskim matematykom na długo przed tym, zanim pojawiły się w Europie. I z tą nazwą na ogół jedna ciągła historyczna anegdota. Po pierwsze, sam Fibonacci nigdy za życia nie nazywał siebie Fibonacci - to imię zostało zastosowane do Leonarda z Pizy zaledwie kilka wieków po jego śmierci. Ale porozmawiajmy o wszystkim w porządku.

Leonardo z Pizy, aka Fibonacci

Syn kupca, który został matematykiem, a później został uznany przez potomków za pierwszego głównego matematyka Europy w średniowieczu. Nie tylko dzięki liczbom Fibonacciego (które wtedy, jak pamiętamy, nie były jeszcze tak nazywane). Opisał to na początku XIII wieku w swoim dziele „Liber abaci” („Księga liczydła”, 1202).

Podróżując z ojcem na Wschód, Leonardo studiował matematykę u arabskich nauczycieli (a w tamtych czasach byli w tym biznesie, a także w wielu innych naukach, jednym z najlepszych specjalistów). Dzieła matematyków starożytności i Starożytne Indie czytał w tłumaczeniach arabskich.

Po dokładnym zrozumieniu wszystkiego, co przeczytał i połączeniu własnego dociekliwego umysłu, Fibonacci napisał kilka naukowych traktatów o matematyce, w tym wspomnianą już „Księgę liczydła”. Oprócz niej stworzył:

Practica geometriae (Praktyka geometrii, 1220);
„Flos” („Kwiat”, 1225 - studium równań sześciennych);
"Liber quadratorum" ("Księga kwadratów", 1225 - problemy nieokreśloności) równania kwadratowe).

Był wielkim fanem turniejów matematycznych, dlatego w swoich traktatach poświęcał wiele uwagi analizie różnych problemów matematycznych.

Jest bardzo mało informacji biograficznych o życiu Leonarda. Jeśli chodzi o nazwisko Fibonacci, pod którym wszedł do historii matematyki, to przylgnęło ono do niego dopiero w XIX wieku.

Fibonacci i jego zadania

Po odejściu Fibonacciego duża liczba problemy, które były bardzo popularne wśród matematyków w następnych stuleciach. Rozważymy problem królików, w rozwiązaniu którego zastosowano liczby Fibonacciego.

Króliki to nie tylko cenne futro

Fibonacci postawił następujące warunki: jest para nowonarodzonych królików (samiec i samica) tak ciekawej rasy, że regularnie (od drugiego miesiąca) rodzi potomstwo - zawsze jedną nową parę królików. Również, jak można się domyślić, mężczyzna i kobieta.

Te warunkowe króliki są umieszczane w zamkniętej przestrzeni i rozmnażają się z entuzjazmem. Zastrzeżono również, że żaden królik nie umiera z powodu jakiejś tajemniczej choroby królików.

Musimy obliczyć, ile królików dostaniemy w ciągu roku.

Na początku 1 miesiąca mamy 1 parę królików. Pod koniec miesiąca łączą się w pary.
Drugi miesiąc - mamy już 2 pary królików (para - rodzice + 1 para - ich potomstwo).
Trzeci miesiąc: Pierwsza para rodzi nową parę, druga para kojarzy się. Razem - 3 pary królików.
Czwarty miesiąc: Pierwsza para rodzi nową parę, druga para nie traci czasu i również rodzi nową parę, trzecia para na razie tylko się kryje. Razem - 5 par królików.

Liczba królików w n-ty miesiąc = liczba par królików z poprzedniego miesiąca + liczba nowo narodzonych par (jest taka sama liczba par królików 2 miesiące przed obecnym). A wszystko to opisuje formuła, którą już podaliśmy powyżej: Fn = Fn-1 + Fn-2.

W ten sposób otrzymujemy powtarzające się (wyjaśnienie dotyczące rekurencja- poniżej) ciąg liczbowy. W którym każda następna liczba jest równa sumie dwóch poprzednich:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Możesz kontynuować sekwencję przez długi czas: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>... Ale skoro ustaliliśmy konkretny termin – rok, interesuje nas wynik uzyskany na 12. „przeprowadzce”. Te. 13. członek sekwencji: 377.

Odpowiedź tkwi w problemie: otrzymamy 377 królików, jeśli spełnione zostaną wszystkie podane warunki.

Bardzo interesująca jest jedna z właściwości ciągu Fibonacciego. Jeśli weźmiesz dwie kolejne pary z rzędu i podzielisz większą liczbę przez mniejszą, wynik będzie się stopniowo zbliżał złoty podział(więcej o tym przeczytasz w dalszej części artykułu).

W języku matematyki „Limit relacji za n + 1 W celu NS równy złotemu podziałowi ".

Więcej problemów w teorii liczb

Znajdź liczbę, którą można podzielić przez 7. Ponadto, jeśli podzielisz ją przez 2, 3, 4, 5, 6, reszta to jeden.
Znajdź kwadratową liczbę. Wiadomo o nim, że jeśli dodasz do tego 5 lub odejmiesz 5, ponownie otrzymasz kwadratową liczbę.

Sugerujemy, abyś sam poszukał odpowiedzi na te problemy. Możesz zostawić nam swoje opcje w komentarzach do tego artykułu. A potem powiemy Ci, czy Twoje obliczenia były poprawne.

Wyjaśnienie rekurencji

Rekurencja- definicja, opis, obraz obiektu lub procesu, który zawiera sam obiekt lub proces. Oznacza to, że w istocie przedmiot lub proces jest częścią samego siebie.

Rekurencja jest szeroko stosowana w matematyce i informatyce, a nawet w sztuce i kulturze popularnej.

Liczby Fibonacciego są określane za pomocą relacji rekurencyjnej. Na numer n> 2 n- e numer to (n-1) + (n-2).

Wyjaśnienie Złotego Podziału

Złoty stosunek- podzielenie całości (np. segmentu) na części, które są powiązane według następującej zasady: większa część odnosi się do mniejszej w taki sam sposób jak cała wartość (np. suma dwóch segmentów) do większa część.

Pierwsze wzmianki o złotym podziale można znaleźć u Euklidesa w jego traktacie „Początki” (około 300 pne). W kontekście konstruowania regularnego prostokąta.

Termin znany nam w 1835 roku został wprowadzony do obiegu przez niemieckiego matematyka Martina Ohma.

Jeśli opiszemy złoty podział w przybliżeniu, jest to proporcjonalny podział na dwie nierówne części: około 62% i 38%. Liczbowo złoty podział to liczba 1,6180339887 .

Znaleziska złotego podziału praktyczne użycie w sztuki piękne(obrazy Leonarda da Vinci i innych malarzy renesansowych), architektura, kino ("Pancernik Potiomkin" S. Ezensteina) i inne dziedziny. Przez długi czas uważano, że złoty podział jest najbardziej estetyczną proporcją. Ta opinia jest dziś popularna. Chociaż, zgodnie z wynikami badań, większość osób wizualnie nie postrzega takiej proporcji jako najbardziej udanej opcji i uważa ją za zbyt wydłużoną (nieproporcjonalną).

Długość segmentu z = 1, ale = 0,618, b = 0,382.
Nastawienie z W celu ale = 1, 618.
Nastawienie z W celu b = 2,618

Wróćmy teraz do liczb Fibonacciego. Weźmy z tego ciągu dwa kolejne wyrazy. Podziel większą liczbę przez mniejszą, aby otrzymać około 1,618. A teraz używamy tej samej większej liczby i następnego członka szeregu (czyli jeszcze większej liczby) - ich stosunek wynosi wcześnie 0,618.

Oto przykład: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 i 233/377 = 0,618

Nawiasem mówiąc, jeśli spróbujesz wykonać ten sam eksperyment z liczbami z początku ciągu (na przykład 2, 3, 5), nic nie zadziała. Prawie. Zasada złotego podziału prawie nie jest przestrzegana na początku sekwencji. Ale działa to świetnie, gdy poruszasz się po rzędzie i zwiększasz liczby.

A żeby obliczyć cały ciąg liczb Fibonacciego, wystarczy znać trzy następujące po sobie człony ciągu. Sam się przekonaj!

Złoty prostokąt i spirala Fibonacciego

Kolejna ciekawa paralela między liczbami Fibonacciego a złotym podziałem pozwala narysować tak zwany „złoty prostokąt”: jego boki są skorelowane w proporcji 1,618 do 1. Ale już wiemy, jaka liczba to 1,618, prawda?

Weźmy na przykład dwa kolejne elementy szeregu Fibonacciego - 8 i 13 - i skonstruuj prostokąt o następujących parametrach: szerokość = 8, długość = 13.

A potem podzielimy duży prostokąt na mniejsze. Warunek: długości boków prostokątów muszą odpowiadać liczbom Fibonacciego. Te. długość boku większego prostokąta musi być równa sumie boków dwóch mniejszych prostokątów.

Sposób, w jaki jest to zrobione na tym rysunku (dla wygody liczby są podpisane literami łacińskimi).

Nawiasem mówiąc, możesz również budować prostokąty w Odwrotna kolejność... Te. rozpocząć budowę od kwadratów o boku 1. Do których, kierując się powyższą zasadą, uzupełniane są figury z bokami, równe liczby Fibonacciego. Teoretycznie można to kontynuować w nieskończoność – wszak seria Fibonacciego jest formalnie nieskończona.

Jeśli połączymy rogi prostokątów uzyskanych na rysunku gładką linią, otrzymamy spiralę logarytmiczną. Jego szczególnym przypadkiem jest raczej spirala Fibonacciego. Charakteryzuje się w szczególności tym, że nie ma granic i nie zmienia kształtu.

Podobną spiralę często można znaleźć w przyrodzie. Jednym z najbardziej uderzających przykładów są muszle małży. Co więcej, niektóre galaktyki widoczne z Ziemi mają kształt spiralny. Jeśli zwrócisz uwagę na prognozy pogody w telewizji, być może zauważyłeś, że cyklony mają podobny spiralny kształt, gdy są filmowane z satelitów.

Ciekawe, że helisa DNA przestrzega również zasady złotej sekcji - odpowiedni wzór widać w odstępach jej zagięć.

Takie niesamowite „zbiegi okoliczności” nie mogą nie podniecić umysłów i wywołać rozmów o pewnym zunifikowanym algorytmie, któremu podlegają wszystkie zjawiska w życiu Wszechświata. Teraz rozumiesz, dlaczego ten artykuł nazywa się w ten sposób? A jakie drzwi? niesamowite światy co matematyka może ci ujawnić?

Liczby Fibonacciego w przyrodzie

Związek między liczbami Fibonacciego a złotym podziałem sugeruje kilka interesujących wzorów. Tak ciekawy, że aż kuszące jest znalezienie ciągów podobnych do liczb Fibonacciego w naturze, a nawet w trakcie wydarzenia historyczne... A natura naprawdę rodzi takie założenia. Ale czy wszystko w naszym życiu można wyjaśnić i opisać za pomocą matematyki?

Przykłady dzikich zwierząt, które można opisać za pomocą ciągu Fibonacciego:

kolejność ułożenia liści (i gałęzi) w roślinach – odległości między nimi są skorelowane z liczbami Fibonacciego (filotaksja);

ułożenie nasion słonecznika (nasiona są ułożone w dwa rzędy spiral, skręconych w różnych kierunkach: jeden rząd zgodnie z ruchem wskazówek zegara, drugi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara);

układ łusek szyszek sosnowych;
płatki kwiatów;
komórki ananasa;
stosunek długości paliczków palców ludzkiej dłoni (w przybliżeniu) itp.

Problemy kombinatoryczne

Liczby Fibonacciego są szeroko stosowane w rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

Kombinatoryka- jest to dział matematyki zajmujący się badaniem doboru danej liczby elementów z wyznaczonego zbioru, wyliczeniem itp.

Spójrzmy na przykłady problemów kombinatorycznych zaprojektowanych dla poziomu szkoły średniej (źródło - http://www.problems.ru/).

Zadanie numer 1:

Lesha wchodzi po schodach o 10 stopniach. W pewnym momencie podskakuje o jeden lub dwa stopnie. Na ile sposobów Lesha może wejść po schodach?

Liczba sposobów, z których Lesha może wspiąć się po schodach n kroki, oznaczają oraz n. Stąd wynika, że 1 = 1, 2= 2 (w końcu Lesha skacze jeden lub dwa kroki).

Przewidziano również, że Lesha wskakuje po schodach z n> 2 kroki. Załóżmy, że za pierwszym razem skoczył o dwa stopnie. Tak więc, w zależności od stanu problemu, musi wskoczyć na inny n - 2 kroki. Następnie liczba sposobów na ukończenie wynurzania jest opisana jako a n – 2... A jeśli założymy, że Lesha po raz pierwszy skoczyła tylko o jeden stopień, to ilość sposobów na zakończenie wspinaczki opiszemy jako a n – 1.

Stąd otrzymujemy następującą równość: a n = a n – 1 + a n – 2(wygląda znajomo, prawda?).

Kiedy już wiemy 1 oraz 2 i pamiętaj, że według stanu problemu jest 10 kroków, obliczyliśmy wszystkie w kolejności NS: 3 = 3, 4 = 5, 5 = 8, 6 = 13, 7 = 21, 8 = 34, 9 = 55, 10 = 89.

Odpowiedź: 89 sposobów.

Zadanie nr 2:

Wymagane jest znalezienie liczby słów o długości 10 liter, które składają się tylko z liter „a” i „b” i nie powinny zawierać dwóch liter „b” z rzędu.

Oznaczmy przez NS liczba słów w długości n litery składające się tylko z liter „a” i „b” i nie zawierające dwóch liter „b” z rzędu. Znaczy, 1= 2, 2= 3.

Kolejno 1, 2, <…>, NS będziemy wyrażać każdy kolejny termin poprzez poprzednie. Dlatego liczba słów o długości n litery, które ponadto nie zawierają podwójnej litery „b” i zaczynają się od litery „a”, to jest a n – 1... A jeśli słowo jest długie n litery zaczynają się od litery „b”, logiczne jest, że następna litera w takim słowie to „a” (w końcu nie może być dwóch „b” zgodnie ze stwierdzeniem problemu). Dlatego liczba słów o długości n litery w tym przypadku oznaczamy jako a n – 2... W pierwszym i drugim przypadku dowolne słowo (o długości n - 1 oraz n - 2 litery, odpowiednio) bez podwójnego „b”.

Udało nam się uzasadnić dlaczego a n = a n – 1 + a n – 2.

Policzmy teraz 3= 2+ 1= 3 + 2 = 5, 4= 3+ 2= 5 + 3 = 8, <…>, 10= 9+ 8= 144. I otrzymujemy znajomy ciąg Fibonacciego.

Odpowiedź: 144.

Zadanie nr 3:

Wyobraź sobie, że jest taśma podzielona na komórki. Idzie w prawo i trwa nieskończenie długo. Umieść konika polnego na pierwszym kwadracie wstążki. Niezależnie od tego, na której komórce taśmy się znajduje, może poruszać się tylko w prawo: albo o jedną, albo o dwie. Na ile sposobów konik polny może przeskoczyć od początku wstęgi do? n komórka?

Wyznaczmy liczbę sposobów poruszania konika polnego wzdłuż pasa, aby n komórka jako NS... W tym przypadku 1 = 2= 1. Również w n + 1-tej klatki, z której konik polny może się dostać n-tej celi lub przeskakując nad nią. Stąd za n + 1 = a n - 1 + NS... Gdzie NS = F n - 1.

Odpowiadać: F n - 1.

Możesz samodzielnie tworzyć podobne problemy i próbować je rozwiązywać na lekcjach matematyki z kolegami z klasy.

Liczby Fibonacciego w kulturze popularnej

Oczywiście to niezwykłe zjawisko podobnie jak liczby Fibonacciego, nie może nie przyciągnąć uwagi. W tym ściśle zweryfikowanym wzorze wciąż jest coś atrakcyjnego, a nawet tajemniczego. Nic dziwnego, że ciąg Fibonacciego jest niejako „rozświetlony” w wielu dziełach współczesnej kultury masowej różnych gatunków.

Opowiemy Ci o niektórych z nich. I znowu próbujesz się przeszukać. Jeśli go znajdziesz, podziel się z nami w komentarzach - też jesteśmy ciekawi!

Liczby Fibonacciego są wymienione w bestsellerze Dana Browna Kod Da Vinci: ciąg Fibonacciego służy jako kod, za pomocą którego główni bohaterowie książki otwierają sejf.
W amerykańskim filmie z 2009 roku Mr. Nobody, w jednym z odcinków adres domu jest częścią sekwencji Fibonacciego - 12358. Ponadto w innym odcinku główna postać powinien zadzwonić pod numer telefonu, który jest w zasadzie taki sam, ale nieco zniekształcony (dodatkowa cyfra po numerze 5) sekwencja: 123-581-1321.
W serialu „Komunikacja” z 2012 roku główny bohater, chłopiec z autyzmem, potrafi rozróżniać schematy w wydarzeniach rozgrywających się na świecie. W tym za pomocą liczb Fibonacciego. I zarządzać tymi wydarzeniami również za pomocą liczb.
Twórcy gry java na telefony komórkowe Doom RPG umieszczone na jednym z poziomów tajemne drzwi... Kod, który go otwiera, to ciąg Fibonacciego.
W 2012 roku rosyjska grupa rockowa „Spleen” wydała album koncepcyjny „Optical Illusion”. Ósmy utwór nazywa się „Fibonacci”. W wersetach lidera grupy Aleksandra Wasiliewa grana jest sekwencja liczb Fibonacciego. Dla każdego z dziewięciu kolejnych prętów przypada odpowiednia liczba wierszy (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Pociąg wyruszył

1 Kliknął jeden staw

1 Jeden rękaw wzdrygnął się

2 Wszystko, zdobądź rzeczy

Wszystko, zdobądź rzeczy

3 Prosząc o wrzątek

Pociąg jedzie nad rzekę

Pociąg jedzie w tajgę<…>.

limerick (krótki wiersz o określonej formie - zwykle pięć wierszy, z pewnym schematem rymowania, komiks w treści, w którym pierwszy i ostatni wiersz powtarzają się lub częściowo powielają) Jamesa Lyndona również wykorzystuje odniesienie do ciągu Fibonacciego jako humorystyczny motyw:

Gęste jedzenie Fibonacciego

Tylko na ich korzyść poszli, nie inaczej.

Żony ważyły, zgodnie z plotką,

Każdy jest jak poprzednie dwa.

Podsumowując

Mamy nadzieję, że mogliśmy dziś przekazać Wam wiele interesujących i przydatnych informacji. Na przykład możesz teraz szukać spirali Fibonacciego w otaczającej Cię przyrodzie. Nagle to ty będziesz mógł rozwikłać „tajemnicę życia, wszechświata i w ogóle”.

Użyj wzoru Fibonacciego przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych. Możesz budować na przykładach opisanych w tym artykule.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Ostatnio, pracując w procesach indywidualnych i grupowych z ludźmi, wróciłem do idei połączenia wszystkich procesów (karmicznych, psychicznych, fizjologicznych, duchowych, transformacyjnych itp.) w jeden.

Przyjaciele za zasłoną coraz bardziej ujawniali obraz wielowymiarowego Człowieka i wzajemne połączenie wszystkiego we wszystkim.

Wewnętrzne pragnienie skłoniło mnie do powrotu do starych studiów z liczbami i ponownego przejrzenia księgi Drunvalo Melchizedeka” Starożytna tajemnica kwiat życia ".

W tym czasie w kinach wyświetlany był film „Kod Leonarda da Vinci”. Nie zamierzam dyskutować o jakości, wartości i prawdziwości tego filmu. Ale moment z kodem, kiedy cyfry zaczęły się szybko przewijać, stał się dla mnie jednym z kluczowych momentów w tym filmie.

Intuicja kazała mi zwracać uwagę na ciąg liczb Fibonacciego i Złoty podział. Jeśli poszukasz w Internecie, aby znaleźć coś na temat Fibonacciego, spadnie na Ciebie lawina informacji. Dowiesz się, że ta sekwencja była znana od zawsze. Jest reprezentowana w przyrodzie i przestrzeni, w technologii i nauce, w architekturze i malarstwie, w muzyce i proporcjach ludzkiego ciała, w DNA i RNA. Wielu badaczy tej sekwencji doszło do wniosku, że kluczowe wydarzenia w życiu człowieka, państwa, cywilizacji również podlegają prawu złotego rozdziału.

Wygląda na to, że Człowiek otrzymał fundamentalną wskazówkę.

Wtedy pojawia się myśl, że człowiek może świadomie zastosować zasadę Złotej Sekcji do przywrócenia zdrowia i prawidłowego losu, czyli uporządkowanie procesów zachodzących we własnym wszechświecie, rozszerzenie Świadomości, powrót do Dobrostanu.

Zapamiętajmy razem ciąg Fibonacciego:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

Każda kolejna liczba jest tworzona przez dodanie dwóch poprzednich:

1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5 itd.

Teraz proponuję zredukować każdą liczbę serii do jednej cyfry: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

Oto, co mamy:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

ciąg 24 liczb, który powtarza się ponownie od 25:

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

Czy wydaje ci się to dziwne lub naturalne?

w dzień - 24 godziny,
domy kosmiczne - 24,
nici DNA - 24,
24 starszych z Boskiej Gwiazdy Syriusza,
powtarzająca się sekwencja w serii Fibonacciego - 24 cyfry.

Jeśli wynikowa sekwencja jest napisana w następujący sposób:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

wtedy zobaczymy, że 1. i 13. liczby ciągu, 2. i 14., 3. i 15., 4. i 16. ... 12. i 24. sumują się do 9 ...

3 3 6 9 6 6 3 9

Podczas testowania tych serii liczb otrzymaliśmy:

Zasada dzieciństwa;
Zasada ojcowska;
Zasada matczyna;
Zasada jedności.

Matryca złotej sekcji

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Praktyczne zastosowanie serii Fibonacciego

Mój przyjaciel wyraził chęć współpracy z nim indywidualnie nad rozwojem jego zdolności i zdolności.

Nagle, na samym początku, w proces wszedł Sai Baba i zaprosił go do pójścia za nim.

Zaczęliśmy wznosić się w Boskiej Monadzie przyjaciela i opuściwszy ją przez Ciało Przyczynowe, znaleźliśmy się w innej rzeczywistości na poziomie Kosmicznego Domu.

Ci, którzy studiowali pisma Marka i Elizabeth Claire Prophets, znają nauki Zegara Kosmicznego, które zostały im przekazane przez Matkę Marię.

Na poziomie Kosmicznego Domu Jurij zobaczył okrąg z wewnętrznym środkiem z 12 strzałami.

Starszy, który spotkał nas na tym poziomie, powiedział, że przed nami jest Boski Zegar i 12 wskazówek reprezentuje 12 (24) Manifestacji Boskich Aspektów… (prawdopodobnie Stwórców).

Co do Zegara Kosmicznego, znajdował się on pod Boskim Zegarem na zasadzie ósemki energetycznej.

- W jakim trybie Boski Zegar jest w stosunku do Ciebie?

- Wskazówki Zegara stoją, nie ma ruchu.Teraz przychodzą mi do głowy myśli, że wiele eonów temu porzuciłem Boską Świadomość i poszedłem inną ścieżką, ścieżką Maga. Wszystkie moje magiczne artefakty i amulety, które nagromadziły się we mnie i we mnie przez wiele wcieleń, na tym poziomie wyglądają jak małe grzechotki. Na płaszczyźnie subtelnej reprezentują obraz magicznej odzieży energetycznej.

- Zakończono.Jednak błogosławię moje magiczne doświadczenie.Przeżycie tego doświadczenia szczerze skłoniło mnie do powrotu do pierwotnego źródła, do integralności.Proponowano mi zdjąć moje magiczne artefakty i stanąć pośrodku Zegara.

- Co należy zrobić, aby aktywować Boski Zegar?

- Sai Baba pojawił się ponownie i proponuje wyrazić zamiar połączenia Srebrnej Sznury z Zegarem. Mówi też, że masz jakąś serię liczb. On jest kluczem do aktywacji. W umyśle pojawia się obraz Człowieka Leonarda da Vinci.

- 12 razy.

- Proszę o skupienie całego procesu i pokierowanie działaniem energii seria liczb aby aktywować Boski Zegar.

czytałem na głos 12 razy

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

W trakcie czytania wskazówki zegara zgasły.

Energia poszła wzdłuż srebrnego sznurka, który połączył wszystkie poziomy Monady Juriny, a także energie ziemskie i niebiańskie ...

Najbardziej nieoczekiwaną rzeczą w tym procesie było pojawienie się na Zegarze czterech Esencji, które są niektórymi częściami Jednej Całości z Yurą.

Podczas komunikacji stało się jasne, że kiedyś nastąpił podział Duszy Centralnej, a każda część wybrała do realizacji własny obszar we wszechświecie.

Podjęto decyzję o integracji, która miała miejsce w centrum Boskiej Straży.

Rezultatem tego procesu było stworzenie na tym poziomie Wspólnego Kryształu.

Potem przypomniałem sobie, że Sai Baba mówił kiedyś o pewnym Planie, który zakłada połączenie dwóch pierwszych Aspektów w jeden, potem cztery i tak dalej, zgodnie z zasadą binarną.

Oczywiście ta seria liczb nie jest panaceum. To tylko narzędzie, które pozwala szybko wykonać niezbędną pracę z osobą, aby wyrównać ją w pionie z różne poziomy Istnienie.

Nie zgub tego. Zapisz się i otrzymaj link do artykułu na swoją pocztę.

Znasz oczywiście ideę, że matematyka jest najważniejszą ze wszystkich nauk. Ale wielu może się z tym nie zgodzić, tk. czasami wydaje się, że matematyka to tylko problemy, przykłady i tym podobne nudne rzeczy. Jednak matematyka może z łatwością pokazać nam znajome rzeczy z zupełnie nieznanej strony. Co więcej, może nawet ujawnić tajemnice wszechświata. Jak? Przejdźmy do liczb Fibonacciego.

Czym są liczby Fibonacciego?

Liczby Fibonacciego to elementy ciągu liczbowego, gdzie każda kolejna jest sumą dwóch poprzednich, na przykład: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ... As z reguły sekwencja ta jest zapisana wzorem: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

Liczby Fibonacciego mogą zaczynać się od ujemnych wartości „n”, ale w tym przypadku ciąg będzie dwustronny – obejmie zarówno dodatnie, jak i liczby ujemne dążąc do nieskończoności w dwóch kierunkach. Przykładem takiej sekwencji byłoby: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, a wzór będzie następujący: F n = F n + 1 - F n + 2 lub F -n = (-1) n + 1 Fn.

Twórcą liczb Fibonacciego jest jeden z pierwszych matematyków Europy średniowiecza imieniem Leonardo z Pizy, który w rzeczywistości znany jest jako Fibonacci - przydomek ten otrzymał wiele lat po śmierci.

Za życia Leonardo Pisansky bardzo lubił turnieje matematyczne, dlatego w swoich pracach („Liber abaci” / „Księga liczydła”, 1202; „Practica geometriae” / „Praktyka geometrii”, 1220, „Flos” /"Kwiat", 1225 - badania nad równaniami sześciennymi i "Liber quadratorum", 1225 - problemy nieokreślonych równań kwadratowych) bardzo często analizowano wszelkiego rodzaju problemy matematyczne.

O ścieżka życia niewiele wiadomo o samym Fibonaccim. Wiadomo jednak, że jego problemy cieszyły się w kolejnych stuleciach ogromną popularnością w kręgach matematycznych. Jedną z nich rozważymy poniżej.

Problem Fibonacciego z królikami

Aby zrealizować zadanie, autor postawił następujące warunki: jest para nowonarodzonych królików (samica i samiec), wyróżniająca się ciekawą cechą - od drugiego miesiąca życia rodzą nową parę królików - także samicę i mężczyzna. Króliki przebywają w ograniczonej przestrzeni i stale się rozmnażają. I ani jeden królik nie umiera.

Zadanie: Określ liczbę królików w ciągu roku.

Rozwiązanie:

Mamy:

Jedna para królików na początku pierwszego miesiąca, która kojarzy się pod koniec miesiąca
Dwie pary królików w drugim miesiącu (pierwsza para i potomstwo)
Trzy pary królików w trzecim miesiącu (pierwsza para, potomstwo pierwszej pary z ostatniego miesiąca i nowe potomstwo)
Pięć par królików w czwartym miesiącu (pierwsza para, pierwsze i drugie potomstwo pierwszej pary, trzecie potomstwo pierwszej pary i pierwsze potomstwo drugiej pary)

Liczba królików w miesiącu „n” = liczba królików w ostatnim miesiącu + liczba nowych par królików, czyli powyższy wzór: F n = F n-1 + F n-2. Daje to nawracające ciąg liczb(o rekurencji porozmawiamy później), gdzie każda nowa liczba odpowiada sumie dwóch poprzednich liczb:

1 miesiąc: 1 + 1 = 2

2 miesiące: 2 + 1 = 3

3 miesiąc: 3 + 2 = 5

4 miesiąc: 5 + 3 = 8

5 miesięcy: 8 + 5 = 13

6 miesięcy: 13 + 8 = 21

7 miesięcy: 21 + 13 = 34

8 miesięcy: 34 + 21 = 55

9 miesięcy: 55 + 34 = 89

10 miesięcy: 89 + 55 = 144

11 miesięcy: 144 + 89 = 233

12 miesięcy: 233+ 144 = 377

I ta sekwencja może trwać w nieskończoność, ale biorąc pod uwagę, że zadaniem jest ustalenie liczby królików po roku, otrzymujemy 377 par.

Należy tutaj również zauważyć, że jedną z właściwości liczb Fibonacciego jest to, że jeśli porównasz dwie kolejne pary, a następnie podzielisz większą przez mniejszą, wynik będzie zmierzał w kierunku złotego podziału, o którym również będziemy mówić poniżej.

W międzyczasie oferujemy jeszcze dwa problemy według liczb Fibonacciego:

Określ liczbę kwadratową, o której wiadomo tylko, że jeśli odejmiesz od niej 5 lub dodasz do niej 5, to znowu pojawi się liczba kwadratowa.
Określ liczbę podzielną przez 7, ale pod warunkiem, że dzieląc ją przez 2, 3, 4, 5 lub 6, reszta wynosi 1.

Takie zadania będą nie tylko świetnym sposobem na rozwój umysłu, ale także zabawną rozrywką. Możesz również dowiedzieć się, jak rozwiązuje się te zadania, wyszukując informacje w Internecie. Nie będziemy się na nich skupiać, ale kontynuować naszą historię.

Czym są rekurencja i złoty podział?

Rekurencja

Rekurencja to opis, definicja lub obraz obiektu lub procesu, w którym występuje sam dany obiekt lub proces. Innymi słowy, obiekt lub proces można nazwać częścią samego siebie.

Rekurencja jest szeroko stosowana nie tylko w matematyce, ale także w informatyce, kulturze popularnej i sztuce. W odniesieniu do liczb Fibonacciego możemy powiedzieć, że jeśli liczba to „n> 2”, to „n” = (n-1) + (n-2).

Złoty stosunek

Złoty podział to podział całości na części, które są ze sobą powiązane zgodnie z zasadą: więcej oznacza mniej, tak samo jak całkowita wartość odnosi się do większości.

Po raz pierwszy Euklides wspomina Złoty podział (traktat „Początki” ok. 300 pne), mówiąc o budowie regularnego prostokąta. Jednak bardziej znajomą koncepcję wprowadził niemiecki matematyk Martin Ohm.

Przybliżony złoty podział można przedstawić jako proporcjonalny podział na dwie różne części, na przykład 38% i 68%. Liczbowe wyrażenie złotego podziału to około 1,6180339887.

W praktyce złoty podział jest stosowany w architekturze, sztukach pięknych (patrz prace), kinie i innych dziedzinach. Przez długi czas jednak, tak jak teraz, złoty podział był uważany za proporcję estetyczną, choć większość ludzi postrzega ją jako nieproporcjonalną – wydłużoną.

Możesz spróbować samemu oszacować złoty podział, używając następujących proporcji:

Długość segmentu a = 0,618
Długość segmentu b = 0,382
Długość segmentu c = 1
Stosunek c i a = 1,618
Stosunek c i b = 2,618

Teraz stosujemy złoty podział do liczb Fibonacciego: bierzemy dwa sąsiednie elementy jego ciągu i dzielimy większe przez mniejsze. Dostajemy około 1,618. Jeśli weźmiemy tę samą największą liczbę i podzielimy ją przez następną większą liczbę po niej, otrzymamy około 0,618. Spróbuj sam: "baw się" numerami 21 i 34 lub innymi. Jeśli przeprowadzimy ten eksperyment z pierwszymi liczbami ciągu Fibonacciego, to ten wynik już nie będzie, ponieważ złoty podział „nie działa” na początku sekwencji. Nawiasem mówiąc, aby określić wszystkie liczby Fibonacciego, musisz znać tylko pierwsze trzy kolejne liczby.

I na koniec jeszcze trochę pożywienia dla umysłu.

Złoty prostokąt i spirala Fibonacciego

Złoty prostokąt to kolejna zależność między złotym podziałem a liczbami Fibonacciego, ponieważ jego proporcje wynoszą 1,618 do 1 (pamiętaj o liczbie 1,618!).

Oto przykład: bierzemy dwie liczby z ciągu Fibonacciego, na przykład 8 i 13, i rysujemy prostokąt o szerokości 8 cm i długości 13 cm. Następnie dzielimy główny prostokąt na małe, ale ich długość i szerokość powinny odpowiadać liczbom Fibonacciego - długość jednej ściany dużego prostokąta powinna być równa dwóm długościom ściany mniejszego prostokąta.

Następnie łączymy narożniki wszystkich posiadanych przez nas prostokątów gładką linią i otrzymujemy specjalny przypadek spirali logarytmicznej - spiralę Fibonacciego. Jej główne cechy to brak granic i zmiana form. Taką spiralę często można znaleźć w przyrodzie: najbardziej uderzającymi przykładami są muszle mięczaków, cyklony na zdjęciach satelitarnych, a nawet szereg galaktyk. Ale ciekawsze jest to, że DNA żywych organizmów podlega tej samej zasadzie, bo pamiętasz, że ma kształt spirali?

Te i wiele innych „przypadkowych” zbiegów okoliczności już dziś pobudzają świadomość naukowców i sugerują, że wszystko we Wszechświecie podlega jednemu algorytmowi, w dodatku matematycznemu. A ta nauka kryje w sobie ogromną liczbę zupełnie nudnych tajemnic i tajemnic.

Liczby Fibonacciego - ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz szeregu jest równa sumie dwa poprzednie, czyli: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025, .. 3478759200, 5628750625, .. 260993908980000, .. 422297015649625, .. 19581068021641812000, .. niesamowite właściwości Liczby Fibonacciego były badane przez wielu profesjonalnych naukowców i amatorów matematyki.

W 1997 roku kilka dziwnych cech serii opisał badacz Władimir Michajłow, który był przekonany, że Natura (w tym Człowiek) rozwija się zgodnie z prawami zawartymi w tej sekwencji liczb.

Niezwykłą właściwością szeregu liczb Fibonacciego jest to, że wraz ze wzrostem liczby szeregu, stosunek dwóch sąsiednich członków tej serii asymptotycznie zbliża się do dokładnej proporcji Złotej Sekcji (1: 1,618) - podstawy piękna i harmonii w otaczającą nas przyrodę, także w relacjach międzyludzkich.

Zauważ, że sam Fibonacci otworzył swoją słynną serię, zastanawiając się nad problemem liczby królików, które powinny urodzić się z jednej pary w ciągu jednego roku. Okazało się, że w każdym kolejnym miesiącu po drugim, liczba par królików dokładnie odpowiada serii cyfrowej, która teraz nosi jego imię. Dlatego nie jest przypadkiem, że sam człowiek układa się według szeregu Fibonacciego. Każdy organ jest ułożony zgodnie z wewnętrzną lub zewnętrzną dwoistością.

Liczby Fibonacciego przyciągały matematyków swoją osobliwością do pojawiania się w najbardziej nieoczekiwanych miejscach. Zauważa się na przykład, że stosunki liczb Fibonacciego, brane jedna po drugiej, odpowiadają kątowi między sąsiednimi liśćmi na łodydze rośliny, a dokładniej mówią, jaką część obrotu stanowi ten kąt: 1/2 - dla wiąz i lipa, 1/3 - dla buka, 2/5 - dla dębu i jabłka, 3/8 - dla topoli i róży, 5/13 - dla wierzby i migdałów itp. Te same liczby znajdziesz przy liczeniu nasion w spirale słonecznika, w liczbie promieni odbitych od dwóch luster, w liczbie wariantów drogi pszczoły pełzającej z jednego plastra miodu do drugiego, w wielu gry matematyczne i sztuczki.

Jaka jest różnica między spiralami Golden Ratio a spiralami Fibonacciego? Spirala złotego podziału jest idealna. Odpowiada Pierwotnemu Źródłu harmonii. Ta spirala nie ma początku ani końca. Nie ma końca. Spirala Fibonacciego ma początek, od którego zaczyna się „kręcić”. To bardzo ważna właściwość. Pozwala Naturze, po kolejnym zamkniętym cyklu, zbudować od podstaw nową spiralę.

Należy powiedzieć, że spirala Fibonacciego może być podwójna. Istnieje wiele przykładów takich podwójnych helis, które można znaleźć wszędzie. Tak więc spirale słoneczników zawsze odpowiadają serii Fibonacciego. Nawet w zwykłej szyszce widać tę podwójną spiralę Fibonacciego. Pierwsza spirala idzie w jedną stronę, druga w drugą. Jeśli policzysz liczbę łusek w spirali obracającej się w jednym kierunku, a liczbę łusek w drugiej spirali, zobaczysz, że są to zawsze dwie kolejne liczby szeregu Fibonacciego. Liczba tych spiral to 8 i 13. W słonecznikach są pary spiral: 13 i 21, 21 i 34, 34 i 55, 55 i 89. I nie ma żadnych odchyleń od tych par!..

U człowieka, w zestawie chromosomów komórki somatycznej (są ich 23 pary), źródłem chorób dziedzicznych jest 8, 13 i 21 par chromosomów…

Ale dlaczego ta konkretna seria odgrywa decydującą rolę w Naturze? Wyczerpującą odpowiedź na to pytanie może dać pojęcie potrójności, które określa warunki jej samozachowania. Jeśli „równowaga interesów” triady zostanie naruszona przez jednego z jej „partnerów”, „opinie” pozostałych dwóch „partnerów” muszą zostać skorygowane. Pojęcie potrójności przejawia się szczególnie wyraźnie w fizyce, gdzie „prawie” wszystko cząstki elementarne... Jeśli przypomnimy sobie, że stosunki ładunków ułamkowych cząstek kwarkowych tworzą szereg, a to są pierwsi członkowie szeregu Fibonacciego, które są niezbędne do powstania innych cząstek elementarnych.

Możliwe, że spirala Fibonacciego może odegrać decydującą rolę w ukształtowaniu się wzorca ograniczonych i zamkniętych przestrzeni hierarchicznych. Istotnie, wyobraź sobie, że na pewnym etapie ewolucji spirala Fibonacciego osiągnęła doskonałość (stała się nie do odróżnienia od spirali złotego podziału) iz tego powodu cząstka musi przekształcić się w następną „kategorię”.

Fakty te potwierdzają raz jeszcze, że prawo dualności daje wyniki nie tylko jakościowe, ale także ilościowe. Sprawiają, że myślimy, że otaczający nas Makrokosmos i Mikrokosmos ewoluują zgodnie z tymi samymi prawami – prawami hierarchii, i że te prawa są takie same dla materii żywej i nieożywionej.

Wszystko to wskazuje, że szereg liczb Fibonacciego jest rodzajem zaszyfrowanego prawa natury.

Cyfrowy kod rozwoju cywilizacji można określić różnymi metodami w numerologii. Na przykład, konwertując liczby zespolone na pojedyncze cyfry (na przykład 15 to 1 + 5 = 6 itd.). Przeprowadzając podobną procedurę dodawania ze wszystkimi liczbami zespolonymi szeregu Fibonacciego, Michajłow uzyskał następujący szereg tych liczb: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8 , 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, potem wszystko się powtarza 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8, .. i powtarza się raz za razem... Szereg ten ma również właściwości szeregu Fibonacciego, każdy nieskończenie kolejny człon jest równy sumie poprzednich. Na przykład suma 13 i 14 warunków wynosi 15, tj. 8 i 8 = 16, 16 = 1 + 6 = 7. Okazuje się, że jest to seria okresowa, z okresem 24 członków, po którym powtarza się cała kolejność numerów. Otrzymawszy ten okres, Michajłow wysunął ciekawe założenie - czy zestaw 24 cyfr nie jest rodzajem cyfrowego kodu rozwoju cywilizacji?