Statik- bu bölüm teorik mekanik kuvvetlerin etkisi altındaki maddi cisimlerin denge koşullarının incelendiği .

Statikte denge durumu, tüm parçaların içinde bulunduğu bir durum olarak anlaşılır. mekanik sistem hareketsizdir (sabit bir koordinat sistemine göre). Statik yöntemleri hareketli cisimlere uygulanabilir ve onların yardımıyla dinamik problemlerini incelemek mümkün olsa da, statik çalışmanın temel nesneleri sabit mekanik cisimler ve sistemlerdir.

Kuvvet bir cismin diğeri üzerindeki etkisinin bir ölçüsüdür. Kuvvet, vücut yüzeyinde bir uygulama noktası olan bir vektördür. Kuvvet etkisi altında, serbest bir cisim, kuvvet vektörü ile orantılı ve cismin kütlesi ile ters orantılı bir ivme alır.

Etki ve tepkinin eşitliği yasası

Birinci cismin ikinciye uyguladığı kuvvet, mutlak değerde eşittir ve ikinci cismin birinciye uyguladığı kuvvetin tersidir.

Kürlenme prensibi

Deforme olabilen cisim dengedeyse, cismin kesinlikle rijit olduğu düşünülürse dengesi bozulmayacaktır.

Malzeme noktası statiği

Dengede olan bir maddesel nokta düşünün. Üzerine n kuvvet etki etsin, k = 1, 2, ..., n.

Maddesel bir nokta dengedeyse, üzerine etki eden kuvvetlerin vektör toplamı sıfıra eşittir:
(1) .

Dengede, bir noktaya etki eden kuvvetlerin geometrik toplamı sıfıra eşittir.

geometrik yorumlama... İkinci vektörün başlangıcı birinci vektörün sonuna, üçüncü vektörün başlangıcı ikinci vektörün sonuna yerleştirilirse ve bu işleme devam edilirse, sonuncunun sonu, n -th vektör, ilk vektörün başlangıcıyla hizalanacaktır. Yani, kenarlarının uzunlukları vektörlerin modüllerine eşit olan kapalı bir geometrik şekil elde ederiz. Tüm vektörler aynı düzlemdeyse, kapalı bir çokgen elde ederiz.

Seçmek genellikle uygundur dikdörtgen koordinat sistemi Oxyz. O zaman koordinat eksenindeki tüm kuvvet vektörlerinin izdüşümlerinin toplamı sıfıra eşittir:

Bir vektör tarafından verilen herhangi bir yönü seçerseniz, kuvvet vektörlerinin bu yöndeki izdüşümlerinin toplamı sıfıra eşittir:
.
(1) denklemini bir vektörle skaler olarak çarpalım:
.
İşte vektörlerin skaler çarpımı ve.
Vektörün yönüne izdüşümü aşağıdaki formülle belirlenir:
.

Rijit gövde statiği

Bir noktaya göre kuvvet momenti

Kuvvet momentinin belirlenmesi

Bir güç anı cisme A noktasında, sabit O merkezine göre uygulanan, vektörlerin vektör ürününe eşit bir vektör olarak adlandırılır ve:
(2) .

geometrik yorumlama

Kuvvet momenti, OH omzu ile F kuvvetinin çarpımına eşittir.

Vektörlerin çizim düzleminde yer almasına izin verin. Vektör ürününün özelliğine göre vektör, vektörlere dik ve yani çizim düzlemine diktir. Yönü doğru vida kuralı ile belirlenir. Şekilde, moment vektörü bize yöneliktir. Mutlak tork değeri:
.
O zamandan beri
(3) .

Geometriyi kullanarak, kuvvet momentinin farklı bir yorumunu verebilirsiniz. Bunu yapmak için, kuvvet vektörü boyunca düz bir AH çizgisi çizin. O merkezinden OH dikini bu çizgiye bırakıyoruz. Bu dikmenin uzunluğuna denir. güçlü omuz... Sonra
(4) .
O zaman formül (3) ve (4) eşdeğerdir.

Böylece, kuvvet momentinin mutlak değeri O merkezine göre eşittir omuz başına kuvvet bu kuvvet, seçilen merkez O'ya göredir.

Moment hesaplanırken, kuvveti iki bileşene ayırmak genellikle uygundur:
,
nerede . Kuvvet O noktasından geçer. Bu nedenle, momenti sıfırdır. Sonra
.
Mutlak tork değeri:
.

Dikdörtgen koordinat sisteminde moment bileşenleri

O noktasında ortalanmış bir dikdörtgen koordinat sistemi Oxyz seçersek, kuvvet momenti aşağıdaki bileşenlere sahip olacaktır:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Seçilen koordinat sisteminde A noktasının koordinatları şunlardır:
.
Bileşenler, sırasıyla eksenler etrafındaki kuvvet momentinin değerlerini temsil eder.

Merkeze göre kuvvet momentinin özellikleri

Bu merkezden geçen kuvvetin O merkezi etrafındaki momenti sıfıra eşittir.

Kuvvetin uygulama noktası kuvvet vektöründen geçen bir doğru boyunca hareket ettirilirse, bu hareketle moment değişmeyecektir.

Vücudun bir noktasına uygulanan kuvvetlerin vektör toplamından gelen moment, aynı noktaya uygulanan kuvvetlerin her birinden gelen momentlerin vektör toplamına eşittir:
.

Aynısı, devam çizgileri bir noktada kesişen kuvvetler için de geçerlidir.

Kuvvetlerin vektör toplamı sıfır ise:
,
o zaman bu kuvvetlerin momentlerinin toplamı, momentlerin hesaplandığı merkezin konumuna bağlı değildir:
.

bir çift kuvvet

bir çift kuvvet- bunlar, vücudun farklı noktalarına uygulanan, mutlak değerde eşit ve zıt yönlere sahip iki kuvvettir.

Bir çift kuvvet, yarattıkları an ile karakterize edilir. Çifte dahil olan kuvvetlerin vektör toplamı sıfıra eşit olduğundan, çift tarafından oluşturulan moment, momentin hesaplandığı noktaya bağlı değildir. Statik denge açısından, çifte dahil olan kuvvetlerin doğası önemsizdir. Belirli bir değere sahip olan bir kuvvet momentinin vücuda etki ettiğini belirtmek için bir çift kuvvet kullanılır.

Belirli bir eksen etrafındaki kuvvet momenti

Genellikle, seçilen bir noktaya göre kuvvet momentinin tüm bileşenlerini bilmemiz gerekmediği, ancak yalnızca seçilen eksene göre kuvvet momentini bilmemiz gerektiği durumlar vardır.

O noktasından geçen eksen etrafındaki kuvvet momenti, kuvvet momentinin vektörünün O noktasına göre eksen yönüne izdüşümüdür.

Eksene göre kuvvet momentinin özellikleri

Bu eksenden geçen kuvvetin eksen etrafındaki momenti sıfıra eşittir.

Bu eksene paralel bir kuvvetin bir eksen etrafındaki momenti sıfırdır.

Eksene göre kuvvet momentinin hesaplanması

A noktasında cisme bir kuvvet etki etsin. Bu kuvvetin O'O' eksenine göre momentini bulalım.

Dikdörtgen bir koordinat sistemi oluşturalım. Oz ekseninin O'O ′ ′ ile çakışmasına izin verin. A noktasından OH dikini O'O ′ 'ye bırakıyoruz. Öküz eksenini O ve A noktalarından geçirin. Oy eksenini Ox ve Oz'a dik çizin. Kuvveti, koordinat sisteminin eksenleri boyunca bileşenlere ayıralım:
.
Kuvvet O'O ′ ' eksenini kesiyor. Bu nedenle, momenti sıfırdır. Kuvvet O'O' eksenine paraleldir. Bu nedenle, momenti de sıfırdır. Formül (5.3) ile şunu buluruz:
.

Bileşenin, merkezi O noktası olan daireye teğetsel olarak yönlendirildiğine dikkat edin. Vektörün yönü sağ vida kuralı ile belirlenir.

Katı bir cisim için denge koşulları

Dengede, cisme etki eden tüm kuvvetlerin vektör toplamı sıfırdır ve bu kuvvetlerin rastgele bir durağan merkeze göre momentlerinin vektör toplamı sıfırdır:
(6.1) ;
(6.2) .

Kuvvet momentlerinin hesaplandığı O merkezinin keyfi olarak seçilebileceğini vurguluyoruz. O noktası cisme ait olabilir veya onun dışında olabilir. Genellikle hesaplamaları kolaylaştırmak için O merkezi seçilir.

Denge koşulları başka bir şekilde formüle edilebilir.

Dengede, rastgele bir vektör tarafından verilen herhangi bir yöndeki kuvvetlerin izdüşümlerinin toplamı sıfıra eşittir:
.
Rasgele bir O'O ′ ′ ekseni etrafındaki kuvvetlerin momentlerinin toplamı da sıfıra eşittir:
.

Bazen bu koşullar daha uygundur. Eksenleri seçerek hesaplamaları daha basit hale getirebileceğiniz zamanlar vardır.

Vücut ağırlık merkezi

En önemli kuvvetlerden birini ele alalım - yerçekimi kuvveti. Burada kuvvetler vücudun belirli noktalarında uygulanmaz, ancak hacmine sürekli olarak dağıtılır. Sonsuz küçük hacimli vücudun her bir parçası için ΔV, yerçekimi kuvveti etki eder. Burada ρ, cismin maddesinin yoğunluğu, yerçekimi ivmesidir.

Vücudun sonsuz küçük bir bölümünün kütlesi olsun. Ve bu bölümün konumunu A k noktası belirlesin. Denge denklemlerinde (6) yer alan yerçekimi kuvveti ile ilgili nicelikleri bulalım.

Vücudun tüm bölümleri tarafından oluşturulan yerçekimi kuvvetlerinin toplamını bulalım:
,
vücut ağırlığı nerede Böylece, vücudun sonsuz küçük parçalarının yerçekimi kuvvetlerinin toplamı, tüm vücudun yerçekiminin bir vektörü ile değiştirilebilir:
.

Seçilen O merkezine göre yerçekimi momentlerinin toplamını keyfi bir şekilde bulalım:

.
Burada adlandırılan C noktasını tanıttık. ağırlık merkezi vücut. O noktası merkezli bir koordinat sisteminde ağırlık merkezinin konumu aşağıdaki formülle belirlenir:
(7) .

Bu nedenle, statik denge belirlenirken, vücudun tek tek bölümlerinin yerçekimi kuvvetlerinin toplamı, sonuç ile değiştirilebilir.
,
konumu formül (7) ile belirlenen C gövdesinin kütle merkezine uygulanır.

Farklı ağırlık merkezi konumu geometrik şekiller ilgili referans kitaplarında bulunabilir. Vücudun bir ekseni veya simetri düzlemi varsa, ağırlık merkezi bu eksen veya düzlemde bulunur. Yani bir kürenin, dairenin veya dairenin ağırlık merkezleri, bu şekillerin dairelerinin merkezlerindedir. ağırlık merkezleri dikdörtgen paralel yüzlü, dikdörtgen veya kare de merkezlerinde bulunur - köşegenlerin kesişme noktalarında.

Düzgün (A) ve doğrusal (B) dağıtılmış yük.

Ayrıca, kuvvetlerin vücudun belirli noktalarında uygulanmadığı, ancak yüzeyi veya hacmi üzerinde sürekli olarak dağıldığı zaman yerçekimine benzer durumlar vardır. Bu tür kuvvetlere denir dağıtılmış kuvvetler veya .

(Şekil A). Ayrıca, yerçekimi durumunda olduğu gibi, arsanın ağırlık merkezine uygulanan miktarın bileşke kuvveti ile değiştirilebilir. Şekil A'daki diyagram bir dikdörtgen olduğundan, diyagramın ağırlık merkezi merkez - C noktasındadır: | klima | = | CB |.

(Şekil B). Ayrıca bir sonuç ile değiştirilebilir. Sonucun değeri, diyagramın alanına eşittir:
.
Uygulama noktası parselin ağırlık merkezidir. Yüksekliği h olan bir üçgenin ağırlık merkezi tabandan uzaktadır. Bu yüzden .

sürtünme kuvvetleri

kayma sürtünmesi... Vücudun düz bir yüzeyde olmasına izin verin. Ve yüzeyin vücuda etki ettiği yüzeye dik olan kuvvet olsun (basınç kuvveti). Daha sonra kayma sürtünme kuvveti yüzeye paralel ve yana doğru yönlendirilerek cismin hareketini engeller. En büyük değeri şuna eşittir:
,
burada f sürtünme katsayısıdır. Sürtünme katsayısı boyutsuzdur.

yuvarlanma sürtünmesi... Yuvarlatılmış gövdenin yuvarlanmasına veya yüzeyde yuvarlanmasına izin verin. Ve yüzeyin vücuda etki ettiği yüzeye dik olan basınç kuvveti olsun. Daha sonra, yüzeyle temas noktasında cismin üzerine, cismin hareket etmesini engelleyen bir anlık sürtünme kuvveti etki eder. en büyük değer sürtünme momenti şuna eşittir:
,
burada δ yuvarlanma sürtünme katsayısıdır. Uzunluk boyutuna sahiptir.

Referanslar:
S. M. Targ, Teorik mekanikte kısa bir kurs, " Yüksek Lisans", 2010.

Nokta kinematiği.

1. Teorik mekaniğin konusu. Temel soyutlamalar.

teorik mekanikmekanik hareketin genel yasalarının ve maddi cisimlerin mekanik etkileşiminin incelendiği bir bilimdir.

mekanik hareketBir cismin başka bir cisme göre uzayda ve zamanda meydana gelen hareketine denir.

mekanik etkileşim mekanik hareketlerinin doğasını değiştiren maddi cisimlerin böyle bir etkileşimi denir.

Statik - Bu, kuvvet sistemlerini eşdeğer sistemlere dönüştürme yöntemlerinin incelendiği ve bir katıya uygulanan kuvvetlerin dengesi için koşulların oluşturulduğu teorik mekaniğin bir dalıdır.

Kinematik - bu, çalışan teorik mekaniğin bir dalıdır. üzerlerine etki eden kuvvetlerden bağımsız olarak, malzeme cisimlerinin uzayda geometrik bir bakış açısıyla hareketi.

dinamikler - bu, üzerlerine etki eden kuvvetlere bağlı olarak, uzaydaki maddi cisimlerin hareketini inceleyen bir mekaniği bölümüdür.

Teorik mekanikte çalışma nesneleri:

maddi nokta,

malzeme noktaları sistemi,

Kesinlikle sağlam.

Mutlak uzay ve mutlak zaman birbirinden bağımsızdır. mutlak uzay - üç boyutlu, homojen, durağan Öklid uzayı. mutlak zaman - Geçmişten geleceğe sürekli akar, homojendir, uzayın her noktasında aynıdır ve maddenin hareketine bağlı değildir.

2. Kinematik konusu.

Kinematik - bu, mekaniğin bulunduğu bölümdür. geometrik özellikler cisimlerin ataletlerini (yani kütlelerini) ve üzerlerine etki eden kuvvetleri hesaba katmadan hareketi

Hareket halindeki bir cismin (veya noktanın) cisimle konumunu, verilen cismin hareketinin incelendiği cisimle ilgili olarak belirlemek için, cisimle birlikte oluşturan bazı koordinat sistemleri katı bir şekilde bağlanır. referans çerçevesi.

Kinematiğin ana görevi belirli bir cismin (nokta) hareket yasasını bilmek, hareketini karakterize eden tüm kinematik nicelikleri (hız ve ivme) belirlemektir.

3. Bir noktanın hareketini belirleme yöntemleri

· Doğal yol

Şu bilinmelidir:

Nokta hareket yörüngesi;

Saymanın başlangıcı ve yönü;

Belirli bir yörünge boyunca bir noktanın hareket yasası (1.1) şeklindedir.

· koordinat yolu

Denklemler (1.2), M noktasının hareket denklemleridir.

M noktasının yörünge denklemi, zaman parametresi hariç tutularak elde edilebilir. « T » denklemlerden (1.2)

· vektör yolu

(1.3) Bir noktanın hareketini belirlemenin koordinat ve vektör yöntemleri arasındaki ilişki (1.4)

Koordinat ve arasındaki ilişki doğal yollar nokta hareketi atamaları

Denklemlerden (1.2) zamanı hariç tutarak bir noktanın yörüngesini belirleyin;

-- bir yörünge boyunca bir noktanın hareket yasasını bulun (yayın diferansiyeli için ifadeyi kullanın)

Entegrasyondan sonra, belirli bir yörünge boyunca bir noktanın hareket yasasını elde ederiz:

Bir noktanın hareketini belirlemenin koordinat ve vektör yöntemleri arasındaki ilişki denklem (1.4) ile belirlenir.

4. Vektör yönteminde bir noktanın hızının belirlenmesi hareketin belirtilmesi.

Zaman anında izin verTnoktanın konumu yarıçap vektörü tarafından belirlenir ve zaman anındaT 1 - yarıçap vektörü, daha sonra bir süre için nokta hareket edecektir.

(1.5) ortalama nokta hızı, vektör, vektörün yanı sıra yönlendirilir

Belirli bir zamanda nokta hızı

Zamanda belirli bir anda bir noktanın hızını elde etmek için, sınıra geçiş yapmak gerekir.

(1.6)

(1.7)

Belirli bir zamanda bir noktanın hız vektörü yarıçap vektörünün zaman içindeki ilk türevine eşittir ve belirli bir noktada yörüngeye teğet olarak yönlendirilir.

(birim¾ m / s, km / s)

Ortalama ivme vektörü vektörle aynı yöne sahipΔ v , yani yörüngenin içbükeyliğine yöneliktir.

Belirli bir zamanda bir noktanın ivme vektörü hız vektörünün birinci türevine veya noktanın yarıçap vektörünün zamana göre ikinci türevine eşittir.

(ölçü birimi -)

Vektör, noktanın yoluna göre nasıl konumlandırılır?

Düz çizgi hareketinde vektör, noktanın hareket ettiği düz çizgi boyunca yönlendirilir. Bir noktanın yörüngesi düz bir eğri ise, o zaman ivme vektörü ve cp vektörü bu eğrinin düzleminde yer alır ve onun içbükeyliğine doğru yönlendirilir. Yörünge bir düzlem eğrisi değilse, cp vektörü yörüngenin içbükeyliğine doğru yönlendirilecek ve şu noktada yörüngeye teğet geçen düzlemde uzanacaktır.m ve bitişik bir noktada teğete paralel düz bir çizgi1 . V nokta ne zaman sınır1 için çabalar m bu düzlem, sözde temas eden düzlemin konumunu işgal eder. Bu nedenle, genel durumda, ivme vektörü temas eden düzlemde bulunur ve eğrinin içbükeyliğine doğru yönlendirilir.

teorik mekanik- bu, mekanik hareketin temel yasalarını ve maddi cisimlerin mekanik etkileşimini belirleyen bir mekaniğin bölümüdür.

Teorik mekanik, cisimlerin zaman içindeki hareketlerinin (mekanik hareketler) incelendiği bilimdir. Mekaniğin diğer dallarına (elastisite teorisi, malzemelerin direnci, plastisite teorisi, mekanizmalar ve makineler teorisi, hidro-aerodinamik) ve birçok teknik disipline temel teşkil eder.

mekanik hareket zamanla değişir mi karşılıklı pozisyon maddi bedenler alanında.

mekanik etkileşim- bu, mekanik hareketin değişmesinin veya vücut parçalarının göreceli konumunun değişmesinin bir sonucu olarak böyle bir etkileşimdir.

Rijit gövde statiği

Statik- bu, katı cisimlerin denge sorunları ve bir kuvvet sisteminin buna eşdeğer diğerine dönüşümü ile ilgilenen teorik mekaniğin bir bölümüdür.

Statiğin temel kavramları ve yasaları
• kesinlikle sağlam(katı, cisim) herhangi bir nokta arasındaki mesafenin değişmediği maddi bir cisimdir.
• Malzeme noktası Sorunun koşullarına göre boyutları ihmal edilebilecek bir cisimdir.
• Serbest gövde Hareketi herhangi bir kısıtlamaya tabi olmayan bir cisimdir.
• Serbest olmayan (bağlı) gövde Hareketine kısıtlamalar getirilmiş bir cisimdir.
• Bağlantılar- bunlar, söz konusu nesnenin hareketini engelleyen cisimlerdir (vücut veya cisimler sistemi).
• iletişim reaksiyonu Bir bağın katı bir cisim üzerindeki etkisini karakterize eden bir kuvvettir. Katı bir cismin bağa uyguladığı kuvveti bir etki olarak düşünürsek, bağ tepkimesi bir tepkidir. Bu durumda, bağa kuvvet - etki, katıya ise bağ reaksiyonu uygulanır.
• Mekanik sistem Birbiriyle bağlantılı cisimler veya malzeme noktaları kümesidir.
• Sağlam konumu ve noktalar arasındaki mesafe değişmeyen mekanik bir sistem olarak kabul edilebilir.
• Kuvvet Bir malzeme gövdesinin diğeri üzerindeki mekanik hareketini karakterize eden bir vektör miktarıdır.
  Vektör olarak kuvvet, uygulama noktası, etki yönü ve mutlak değer ile karakterize edilir. Kuvvet modülünün ölçü birimi Newton'dur.
• Eylem hattını zorla Kuvvet vektörünün yönlendirildiği düz bir çizgidir.
• konsantre güç- bir noktada uygulanan kuvvet.
• Dağıtılmış kuvvetler (dağıtılmış yük)- bunlar cismin hacminin, yüzeyinin veya uzunluğunun tüm noktalarına etki eden kuvvetlerdir.
  Dağıtılmış yük, bir hacim birimine (yüzey, uzunluk) etki eden kuvvet tarafından belirlenir.
  Dağıtılmış yükün boyutu N / m 3'tür (N / m 2, N / m).
• Dış güç Söz konusu mekanik sisteme ait olmayan bir cisimden hareket eden bir kuvvettir.
• Manevi güç Bir mekanik sistemin maddi bir noktasına diğerinden etki eden bir kuvvettir. maddi nokta incelenen sisteme aittir.
• Kuvvet sistemi mekanik bir sisteme etki eden kuvvetler kümesidir.
• Düz kuvvetler sistemi Etki çizgileri aynı düzlemde olan bir kuvvetler sistemidir.
• Mekansal kuvvetler sistemi Eylem çizgileri aynı düzlemde olmayan bir kuvvetler sistemidir.
• Yakınsak kuvvetler sistemi Eylem çizgileri bir noktada kesişen bir kuvvetler sistemidir.
• Keyfi kuvvetler sistemi Eylem çizgileri bir noktada kesişmeyen bir kuvvetler sistemidir.
• Eşdeğer kuvvet sistemleri- bunlar, birbirinin yerine geçmesi vücudun mekanik durumunu değiştirmeyen kuvvet sistemleridir.
  Kabul edilen atama:.
• Denge- bu, kuvvetlerin etkisi altındaki cismin sabit kaldığı veya düz bir çizgide düzgün hareket ettiği bir durumdur.
• Dengeli kuvvetler sistemi Serbest bir katıya uygulandığında mekanik durumunu değiştirmeyen (dengesini bozmayan) bir kuvvetler sistemidir.
  .
• Bileşke kuvvet Vücut üzerindeki etkisi, kuvvetler sisteminin hareketine eşdeğer olan bir kuvvettir.
  .
• güç anı Bir kuvvetin dönme kabiliyetini karakterize eden bir değerdir.
• bir çift kuvvetİki paralel, eşit büyüklükte, zıt yönde yönlendirilmiş kuvvetlerden oluşan bir sistemdir.
  Kabul edilen atama:.
  Bir çift kuvvetin etkisi altında vücut dönecektir.
• Eksen kuvveti projeksiyonu Kuvvet vektörünün başlangıcından ve sonundan bu eksene çizilen dikler arasına alınmış bir doğru parçası.
  Doğru parçasının yönü eksenin pozitif yönü ile çakışıyorsa izdüşüm pozitiftir.
• Uçağa projeksiyonu zorla Kuvvet vektörünün başlangıcından ve sonundan bu düzleme çizilen dikler arasına alınmış bir düzlem üzerinde bir vektördür.
• Kanun 1 (atalet kanunu). Yalıtılmış bir malzeme noktası hareketsizdir veya eşit ve doğrusal bir şekilde hareket eder.
  Maddi bir noktanın düzgün ve doğrusal hareketi, eylemsizliğe göre harekettir. Maddi bir noktanın denge durumu altında ve sağlam sadece durgunluk durumunu değil, aynı zamanda eylemsizliğe göre hareketi de anlayın. Katı için var Farklı çeşit atalet hareketi, örneğin, katı bir cismin sabit bir eksen etrafında düzgün dönüşü.
• Kanun 2. Katı bir cisim, ancak bu kuvvetler eşit büyüklükte ve ortak hareket çizgisi boyunca zıt yönlerde yönlendirilmişse, iki kuvvetin etkisi altında dengededir.
  Bu iki kuvvete dengeleyici kuvvetler denir.
  Genel olarak, bu kuvvetlerin uygulandığı rijit cisim hareketsiz ise kuvvetlere dengeleme denir.
• Kanun 3. Katı bir cismin durumunu bozmadan (burada "durum" kelimesi bir hareket veya dinlenme durumu anlamına gelir) karşı dengeleme kuvvetleri ekleyebilir ve bırakabilir.
  Sonuç. Katı bir cismin durumunu bozmadan, hareket çizgisi boyunca cismin herhangi bir noktasına kuvvet aktarılabilir.
  Katı bir cismin durumunu bozmadan biri diğeriyle değiştirilebilirse, iki kuvvet sistemine eşdeğer denir.
• Kanun 4. Bir noktaya uygulanan, aynı noktaya uygulanan iki kuvvetin bileşkesi, büyüklük olarak bu kuvvetler üzerine kurulmuş paralelkenarın köşegenine eşittir ve bu yönde yönlendirilir.
  köşegenler.
  Sonucun modülü şuna eşittir:
  
• Yasa 5 (etki ve tepkinin eşitliği yasası)... İki cismin birbirine etki ettiği kuvvetler büyüklük olarak eşittir ve bir düz çizgi boyunca zıt yönlere yönlendirilir.
  Unutulmamalıdır ki eylem- vücuda uygulanan kuvvet B, ve karşı tepki- vücuda uygulanan kuvvet A farklı bedenlere bağlı oldukları için dengeli değildirler.
• Kural 6 (sertleşme yasası)... Katı olmayan bir cismin dengesi katılaştığında bozulmaz.
  Unutulmamalıdır ki, bir katı için gerekli ve yeterli olan denge koşulları, buna karşılık gelen katı olmayan için gereklidir, ancak yeterli değildir.
• Yasa 7 (bağlardan kurtulma yasası). Serbest olmayan bir katı cisim, bağların etkisini bağların karşılık gelen tepkileriyle değiştirerek zihinsel olarak bağlardan kurtulmuşsa özgür olarak kabul edilebilir.

Bağlantılar ve tepkileri
• Yumuşak yüzey destek yüzeyinin normali boyunca hareketi sınırlar. Reaksiyon yüzeye dik olarak yönlendirilir.
• Mafsallı hareketli destek vücudun normal boyunca referans düzlemine göre hareketini sınırlar. Reaksiyon, destek yüzeyine normal boyunca yönlendirilir.
• Mafsallı sabit destek dönme eksenine dik bir düzlemde herhangi bir harekete karşı koyar.
• Mafsallı ağırlıksız çubuk vücudun bar çizgisi boyunca hareketine karşı koyar. Reaksiyon, çubuğun çizgisi boyunca yönlendirilecektir.
• Kör sonlandırma düzlemdeki herhangi bir hareketi ve dönüşü engeller. Eylemi, iki bileşen şeklinde temsil edilen bir kuvvet ve bir momente sahip bir çift kuvvet ile değiştirilebilir.

Kinematik

Kinematik- uzayda ve zamanda meydana gelen bir süreç olarak mekanik hareketin genel geometrik özelliklerini inceleyen teorik mekaniğin bir bölümü. Hareketli nesneler geometrik noktalar veya geometrik cisimler olarak kabul edilir.

Kinematiğin temel kavramları
• Bir noktanın (cismin) hareket yasası Bir noktanın (cismin) uzaydaki konumunun zamana bağımlılığıdır.
• nokta yörünge- bu geometrik yer uzayda bir noktanın hareketi sırasındaki konumu.
• Nokta (vücut) hızı- Bu, uzaydaki bir noktanın (cismin) konumunun zaman içindeki değişiminin bir özelliğidir.
• Nokta (gövde) ivmesi- Bu, bir noktanın (cismin) hızının zaman içindeki değişiminin bir özelliğidir.

Bir noktanın kinematik özelliklerinin belirlenmesi
• nokta yörünge
  Vektör referans çerçevesinde, yörünge şu ifadeyle tanımlanır:.
  Referans koordinat sisteminde yörünge, bir noktanın hareket yasasına göre belirlenir ve ifadelerle tanımlanır. z = f (x, y)- uzayda veya y = f(x)- uçakta.
  Doğal referans çerçevesinde, yörünge önceden belirlenir.
• Bir vektör koordinat sisteminde bir noktanın hızını belirleme
  Bir vektör koordinat sisteminde bir noktanın hareketini belirtirken, hareketin zaman aralığına oranına bu zaman aralığındaki hızın ortalama değeri denir.
  Zaman aralığı sonsuz küçük bir değer olarak alındığında, belirli bir zamanda hız değeri elde edilir (anlık hız değeri): .
  Ortalama hız vektörü noktanın hareketi yönünde vektör boyunca yönlendirilir, anlık hız vektörü noktanın hareketi yönünde yörüngeye teğetsel olarak yönlendirilir.
  Çıktı: bir noktanın hızı, hareket yasasının zamana göre türevine eşit bir vektör miktarıdır.
  Türev özelliği: herhangi bir miktarın zamana göre türevi, bu miktarın değişim oranını belirler.
• Bir koordinat sistemindeki bir noktanın hızını belirleme
  Nokta koordinatları değişim oranları:
  .
  Dikdörtgen koordinat sistemine sahip bir noktanın tam hızının modülü şuna eşit olacaktır:
  .
  Hız vektörünün yönü, yön açılarının kosinüsleri tarafından belirlenir:
  ,
  hız vektörü ve koordinat eksenleri arasındaki açılar nerede.
• Doğal referans çerçevesinde bir noktanın hızını belirleme
  Doğal referans çerçevesinde bir noktanın hızı, bir noktanın hareket yasasının bir türevi olarak belirlenir:.
  Önceki sonuçlara göre, hız vektörü, noktanın hareket yönünde yörüngeye teğet olarak yönlendirilir ve eksenlerde sadece bir izdüşüm ile belirlenir.

Sert gövde kinematiği
• Katıların kinematiğinde iki ana görev çözülür:
  1) hareket görevi ve bir bütün olarak vücudun kinematik özelliklerinin belirlenmesi;
  2) vücudun noktalarının kinematik özelliklerinin belirlenmesi.
• Katı bir cismin öteleme hareketi
  Öteleme hareketi, vücudun iki noktasından çizilen düz bir çizginin orijinal konumuna paralel kaldığı bir harekettir.
  teorem: öteleme hareketi sırasında, vücudun tüm noktaları aynı yörüngeler boyunca hareket eder ve zamanın her anında büyüklük ve yönde aynı hız ve ivmeye sahiptir..
  Çıktı: katı bir cismin öteleme hareketi, noktalarından herhangi birinin hareketi ile belirlenir ve bu nedenle, hareketinin görevi ve çalışması, noktanın kinematiğine indirgenir..
• Sabit bir cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketi
  Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketi, cisme ait iki noktanın tüm hareket süresi boyunca hareketsiz kaldığı rijit bir cismin hareketidir.
  Gövdenin konumu dönme açısına göre belirlenir. Açı birimi radyandır. (Rayan, yay uzunluğu yarıçapa eşit olan bir dairenin merkez açısıdır, dairenin toplam açısı şunları içerir: 2π radyan.)
  Kanun döner hareket sabit bir eksen etrafında cisimler.
  Açısal hız ve açısal ivme bedeni farklılaşma yöntemiyle tanımlarız:
  - açısal hız, rad / s;
  - açısal ivme, rad / s².
  Gövdeyi eksene dik bir düzlemle keserseniz, dönme eksenindeki noktayı seçin. İLE BİRLİKTE ve keyfi bir nokta m sonra nokta m nokta etrafında tarif edecek İLE BİRLİKTE daire yarıçapı r... Sırasında dt bir açı boyunca temel bir dönüş meydana gelirken, nokta m yörünge boyunca bir mesafede hareket edecek .
  Doğrusal hız modülü:
  .
  Nokta ivmesi m bilinen bir yörünge ile, bileşenleri tarafından belirlenir:
  ,
  nerede .
  Sonuç olarak, formülleri elde ederiz.
  teğetsel ivme: ;
  normal hızlanma: .

dinamikler

dinamikler- Bu, maddi cisimlerin mekanik hareketlerinin, bunlara neden olan nedenlere bağlı olarak incelendiği teorik mekaniğin bir bölümüdür.

Dinamiğin temel kavramları
• Eylemsizlik Bir dinlenme veya tekdüzelik durumunu sürdürmek için maddi cisimlerin mülkiyeti mi? düz hareket dış güçler bu durumu değiştirene kadar.
• Ağırlık Vücut ataletinin nicel bir ölçüsüdür. Kütlenin ölçü birimi kilogramdır (kg).
• Malzeme noktası Bu problem çözülürken boyutları ihmal edilen kütleli bir cisimdir.
• Mekanik sistemin ağırlık merkezi- koordinatları formüllerle belirlenen geometrik nokta:
  
  nerede m k, x k, y k, z k- kütle ve koordinatlar k mekanik sistemin -inci noktası, m Sistemin kütlesidir.
  Homojen bir yerçekimi alanında, kütle merkezinin konumu, ağırlık merkezinin konumu ile çakışır.
• Bir malzeme gövdesinin eksen etrafındaki eylemsizlik momenti Dönme eylemsizliğinin nicel bir ölçüsüdür.
  Maddesel bir noktanın eksen etrafındaki eylemsizlik momenti, noktanın kütlesinin, noktanın eksenden uzaklığının karesiyle çarpımına eşittir:
  .
  Sistemin (gövdenin) eksen etrafındaki atalet momenti, tüm noktaların atalet momentlerinin aritmetik toplamına eşittir:
  
• Maddi bir noktanın eylemsizlik kuvveti Hızlanma modülü ile nokta kütlenin çarpımına büyüklük olarak eşit olan ve ivme vektörünün karşısına yönlendirilen bir vektör miktarı:
• Maddi bir cismin eylemsizlik kuvveti Vücudun kütle merkezinin ivme modülü ile vücut kütlesinin çarpımına modül olarak eşit ve kütle merkezinin ivme vektörünün karşısına yönlendirilmiş bir vektör miktarı mı:,
  vücudun kütle merkezinin ivmesi nerede.
• Temel Kuvvet İtkisi Bir vektör miktarı sonsuz küçük bir zaman aralığında kuvvet vektörünün ürününe eşit mi? dt:
  .
  Δt için toplam kuvvet darbesi, temel darbelerin integraline eşittir:
  .
• Temel güç çalışması skaler mi dA skaler proi'ye eşit

herhangi bir Eğitim Kursu fizik çalışması mekanikle başlar. Teorik değil, uygulamalı ve hesaplamalı değil, eski güzel klasik mekanikle. Bu mekaniğe Newton mekaniği de denir. Efsaneye göre, bilim adamı bahçede yürüyordu, bir elmanın düştüğünü gördü ve onu evrensel yerçekimi yasasını keşfetmeye iten bu fenomendi. Elbette, yasa her zaman var olmuştur ve Newton ona yalnızca insanların anlayabileceği bir biçim vermiştir, ancak değeri paha biçilemez. Bu yazıda Newton mekaniğinin yasalarını mümkün olduğunca ayrıntılı olarak açıklamayacağız, ancak her zaman işinize yarayabilecek temel bilgileri, temel bilgileri, tanımları ve formülleri ana hatlarıyla belirteceğiz.

Mekanik, maddi cisimlerin hareketini ve aralarındaki etkileşimleri inceleyen bir bilim olan fiziğin bir dalıdır.

Kelimenin kendisi var Yunan kökenli ve "makine yapma sanatı" olarak tercüme edilir. Ancak makinelerin yapımından önce hala Ay gibiyiz, bu yüzden atalarımızın ayak izlerini takip edeceğiz ve ufka açılı olarak atılan taşların hareketini ve bir yükseklikten kafalara düşen elmaları inceleyeceğiz. H.

Fizik eğitimi neden mekanikle başlar? Tamamen doğal olduğu için, termodinamik dengeden başlamamak mı?!

Mekanik en eski bilimlerden biridir ve tarihsel olarak fizik çalışmaları tam olarak mekaniğin temellerinden başlamıştır. Zaman ve mekan çerçevesi içine yerleştirilen insanlar, aslında, tüm arzularıyla başka bir şeyden yola çıkamazlardı. Hareket eden bedenler dikkatimizi ilk çevirdiğimiz şeydir.

Hareket nedir?

Mekanik hareket, zaman içinde cisimlerin uzayda birbirlerine göre konumlarındaki bir değişikliktir.

Bu tanımdan sonra oldukça doğal olarak bir referans çerçevesi kavramına geliyoruz. Vücutların uzaydaki konumlarını birbirine göre değiştirme. Buradaki anahtar kelimeler: birbirine göre ... Sonuçta, bir arabadaki yolcu, yolun kenarında duran bir kişiye göre belirli bir hızda hareket eder ve yanındaki koltukta komşusuna göre durur ve bir yolcuya göre farklı bir hızda hareket eder. onları sollayan araba.

Bu nedenle, hareketli nesnelerin parametrelerini normal olarak ölçmek ve kafa karıştırmamak için ihtiyacımız var. referans çerçevesi - birbirine sıkı bir şekilde bağlı referans gövdesi, koordinat sistemi ve saat. Örneğin, dünya güneş merkezli bir referans çerçevesinde güneşin etrafında hareket eder. Günlük yaşamda, neredeyse tüm ölçümlerimizi Dünya ile ilişkili jeosantrik bir referans çerçevesinde gerçekleştiririz. Dünya, arabaların, uçakların, insanların, hayvanların hareket ettiği bir referans vücuttur.

Bir bilim olarak mekaniğin kendi görevi vardır. Mekaniğin görevi, herhangi bir zamanda bir cismin uzaydaki konumunu bilmektir. Başka bir deyişle, mekanik, hareketin matematiksel bir tanımını oluşturur ve bunlar arasındaki bağlantıları bulur. fiziksel özellikler karakterize ediyor.

Daha ileri gitmek için “kavramına ihtiyacımız var” maddi nokta ”. Fizik diyorlar - kesin bilim ancak fizikçiler tam da bu kesinlik üzerinde anlaşmak için kaç tane yaklaşıklık ve varsayım yapılması gerektiğini biliyorlar. Hiç kimse maddi bir nokta görmedi veya ideal gazın kokusunu almadı, ama öyleler! Onlarla yaşamak çok daha kolay.

Maddi nokta, bu problem bağlamında boyutu ve şekli ihmal edilebilecek bir cisimdir.

Klasik mekaniğin bölümleri

Mekanik birkaç bölümden oluşur

• Kinematik
• dinamikler
• Statik

Kinematik fiziksel bir bakış açısından, vücudun nasıl hareket ettiğini tam olarak inceler. Başka bir deyişle, bu bölüm, nicel özellikler hareket. Hızı, yolu bulun - tipik görevler kinematik

dinamikler neden böyle hareket ettiği sorusunu çözer. Yani cisme etki eden kuvvetleri dikkate alır.

Statik kuvvetlerin etkisi altındaki cisimlerin dengesini inceler, yani şu soruyu cevaplar: neden hiç düşmüyor?

Klasik mekaniğin uygulanabilirlik sınırları.

klasik mekanik artık her şeyi açıklayan bir bilim olduğunu iddia etmiyor (geçen yüzyılın başında her şey tamamen farklıydı) ve net bir uygulanabilirlik çerçevesine sahip. Genel olarak klasik mekaniğin kanunları, büyüklük (makrokozmos) olarak alışık olduğumuz dünya için geçerlidir. Klasik olanın yerini aldığında, parçacık dünyası durumunda çalışmayı bırakırlar. Kuantum mekaniği... Ayrıca klasik mekanik, cisimlerin hareketinin ışık hızına yakın bir hızda gerçekleştiği durumlarda geçerli değildir. Bu gibi durumlarda, göreceli etkiler belirginleşir. Kabaca söylemek gerekirse, kuantum ve göreli mekanik - klasik mekanik çerçevesinde, bu, vücudun boyutlarının büyük ve hızın küçük olduğu özel bir durumdur. Bununla ilgili daha fazla bilgiyi makalemizden öğrenebilirsiniz.

Genel olarak konuşursak, kuantum ve relativistik etkiler hiçbir zaman hiçbir yere gitmezler; ayrıca, ışık hızından çok daha düşük bir hızla makroskopik cisimlerin olağan hareketi sırasında meydana gelirler. Başka bir şey de bu etkilerin etkisinin o kadar küçük olması ki en doğru ölçümlerin ötesine geçmiyor. Böylece klasik mekanik temel önemini hiçbir zaman kaybetmeyecektir.

keşfetmeye devam edeceğiz fiziksel temeller Aşağıdaki makalelerde mekanik. Mekaniği daha iyi anlamak için, en zor görevin karanlık noktasını bireysel olarak kimin aydınlattığına her zaman dönebilirsiniz.

Kuvvet. Kuvvetler sistemi. Kesinlikle katı bir cismin dengesi

Mekanikte kuvvet, malzeme gövdelerinin mekanik etkileşiminin bir ölçüsü olarak anlaşılır, bunun sonucunda etkileşen cisimler birbirlerine hızlanma verebilir veya deforme olabilir (şekillerini değiştirebilir). Kuvvet vektörel bir büyüklüktür. Sayısal bir değer veya modül, uygulama noktası ve yön ile karakterize edilir. Kuvvetin uygulama noktası ve yönü, kuvvetin etki çizgisini belirler. Şekil, kuvvetin A noktasına nasıl uygulandığını göstermektedir. AB Segmenti = F kuvvet modülü. LM doğrusuna kuvvetin hareket doğrusu denir. Israr. SI kuvvet ölçümü. Newton'da (N). Ayrıca 1MN = 10 6 N, 1 kN = 10 3 N vardır. Kuvveti ayarlamanın 2 yolu vardır: doğrudan tanımlama ve vektör ile (koordinat eksenlerindeki izdüşüm yoluyla). F = F x i + F y j + F z k, burada F x, F y, F z, kuvvetin koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleridir ve i, j, k birim birim vektörlerdir. kesinlikle sağlam vücut vücut m-du 2 mesafesinin noktalarının durduğu nokta. kuvvetlerin onun üzerindeki etkisi ne olursa olsun değişmez.

Birkaç kuvvetin (F 1, F 2, ..., F n) kombinasyonuna bir kuvvetler sistemi denir. Vücudun durumunu ihlal etmeden, bir kuvvet sistemi (F 1, F 2, ..., F n) başka bir sistem (P 1, P 2, ..., P n) ve mengene ile değiştirilebilirse tersi, o zaman bu tür kuvvet sistemlerine eşdeğer denir. Bu sembolik olarak şu şekilde gösterilir: (F 1, F 2, ..., F n) ~ (P 1, P 2, ..., P n). Ancak bu, iki kuvvet sisteminin vücut üzerinde aynı etkiye sahip olması durumunda bunların eşdeğer olacağı anlamına gelmez. Eşdeğer sistemler aynı sistem durumuna neden olur. Kuvvetler sistemi (F 1, F 2, ..., F n) bir R kuvvetine eşdeğer olduğunda, R denir. sonuç. Ortaya çıkan kuvvet, tüm bu kuvvetlerin eyleminin yerini alabilir. Ancak her kuvvet sisteminin bir sonucu yoktur. Eylemsiz koordinat sisteminde eylemsizlik yasası yerine getirilir. Bu, özellikle, ilk anda hareketsiz olan cismin, üzerine hiçbir kuvvet etki etmezse bu durumda kalacağı anlamına gelir. Üzerinde bir kuvvetler sisteminin (F 1, F 2, ..., F n) etkisi altında kesinlikle katı bir cisim hareketsiz kalırsa, bu sisteme dengeli veya sıfıra eşdeğer bir kuvvetler sistemi denir: ( F 1, F 2,..., Fn) ~ 0. Bu durumda cismin dengede olduğu söylenir. Matematikte iki vektör paralel, aynı yöne yönlendirilmiş ve mutlak değerde eşitse eşit kabul edilir. İki kuvvetin denkliği için bu yeterli değildir ve F ~ P ilişkisi hala F = P eşitliğinden çıkmaz. Vektör olarak eşitse ve vücudun bir noktasına uygulanırsa iki kuvvet eşdeğerdir.

Statik aksiyomlar ve sonuçları

Vücut, kuvvet etkisi altında ivme kazanır ve hareketsiz olamaz. İlk aksiyom, kuvvetler sisteminin dengeleneceği koşulları belirler.

aksiyom 1. Kesinlikle rijit bir cisme uygulanan iki kuvvet, ancak ve ancak mutlak değerde eşit olmaları, bir düz çizgi boyunca hareket etmeleri ve zıt yönlerde yönlendirilmeleri durumunda dengelenecektir (sıfıra eşdeğerdir).... Bu, iki kuvvetin etkisi altında kesinlikle rijit bir cisim duruyorsa, bu kuvvetlerin büyüklükleri eşittir, bir düz çizgide hareket eder ve zıt yönlerde yönlendirilir. Tersine, eşit büyüklükteki iki kuvvet, kesinlikle katı bir cisme zıt yönlerde bir düz çizgi boyunca etki ediyorsa ve cisim ilk anda hareketsiz durumdaysa, cismin dinlenme durumu aynı kalacaktır.

İncirde. 1.4 şu ilişkileri sağlayan dengeli F 1, F 2 ve P 1, P 2 kuvvetlerini gösterir: (F 1, F 2) ~ 0, (P 1, P 2) ~ 0. Statik ile ilgili bazı problemler çözülürken, ağırlığı ihmal edilebilecek rijit çubukların uçlarına uygulanan kuvvetlerin dikkate alınması gerekir ve çubukların dengede olduğu bilinmektedir. Formüle edilen aksiyomdan, böyle bir çubuğa etkiyen kuvvetler, çubuğun uçlarından geçen, zıt yönlerde ve modül olarak birbirine eşit olan düz bir çizgi boyunca yönlendirilir (Şekil 1.5, a). Aynısı, çubuğun ekseni kavisli olduğunda da geçerlidir (Şekil 1.5, b).

Aksiyom 2. Kesinlikle rijit bir cismin durumunu bozmadan, kuvvetler ancak ve ancak dengeli bir sistem oluşturuyorlarsa, özellikle de bu sistem bir düz çizgi üzerinde hareket eden ve yönlendirilen eşit büyüklükte iki kuvvetten oluşuyorsa, kuvvetler uygulanabilir veya atılabilir. zıt yönlerde. Bu aksiyom bir sonucu ima eder: cismin durumunu bozmadan, kuvvetin uygulama noktası eylem çizgisi boyunca aktarılabilir.Gerçekten, FA kuvvetinin A noktasına uygulanmasına izin verin (Şekil 1.6, a). FB = FA (Şekil 1.6, b) olduğunu varsayarak, FA kuvvetinin etki çizgisinde B noktasında iki dengeli kuvvet FB ve F "B uygularız. Ardından, aksiyom 2'ye göre, FA ~ FA'ya sahip olacağız, FB, F` B) F А ve FB kuvvetleri de dengeli bir kuvvetler sistemi oluşturduğundan (aksiyom 1), o zaman aksiyom 2'ye göre atılabilirler (Şekil 1.6, c).Böylece, FA ~ FA, FB, F` B) ~ FB veya FA ~ FB, sonucu kanıtlayan.Bu sonuç, kesinlikle katı bir cisme uygulanan kuvvetin kayan bir vektör olduğunu gösterir.Hem aksiyomlar hem de kanıtlanmış sonuç, deforme olabilen cisimlere uygulanamaz. özellikle, kuvvetin uygulama noktasının etki çizgisi boyunca aktarılması, stresle deforme olmuş vücut durumunu değiştirir.

Aksiyom 3.Vücudun durumunu değiştirmeden, noktalarından birine uygulanan iki kuvvet, aynı noktada uygulanan ve onlara eşit olan bir bileşke kuvvet ile değiştirilebilir. geometrik toplam(kuvvetlerin paralelkenarı aksiyomu). Bu aksiyom iki koşul oluşturur: 1) bir noktaya uygulanan iki F 1 ve F 2 kuvveti (Şekil 1.7), bir sonuca sahiptir, yani bir kuvvete (F 1, F 2) ~ R eşdeğerdir; 2) aksiyom, R = F 1 + F 2 bileşke kuvvetinin modülünü, uygulama noktasını ve yönünü tamamen belirler. (1.5) Başka bir deyişle, elde edilen R, kenarları F 1 ve F ile çakışan bir paralelkenar köşegen olarak oluşturulabilir. 2. Bileşiğin modülü, R = (F 1 2 + F 2 2 + 2F l F 2 cosa) 1/2 eşitliği ile belirlenir, burada a, F 1 ve F 2 vektörleri arasındaki açıdır. Üçüncü aksiyom herhangi bir cisim için geçerlidir. Statiğin ikinci ve üçüncü aksiyomları, bir kuvvet sisteminden ona eşdeğer başka bir sisteme geçmeyi mümkün kılar. Özellikle, herhangi bir R kuvvetini iki, üç vb. bileşenlere ayırmayı, yani R kuvvetinin bileşkesi olduğu başka bir kuvvet sistemine geçmeyi mümkün kılarlar. Örneğin, aynı düzlemde R ile uzanan iki yön ayarlayarak, köşegenin R kuvvetini temsil ettiği bir paralelkenar oluşturabilirsiniz. Daha sonra paralelkenarın kenarları boyunca yönlendirilen kuvvetler, R kuvvetinin olduğu bir sistem oluşturacaktır. sonuç olacaktır (Şekil 1.7). Uzayda da benzer bir yapı yapılabilir. Bunu yapmak için, aynı düzlemde olmayan R kuvvetinin uygulama noktasından üç düz çizgi çizmek ve üzerlerine, R kuvvetini temsil eden bir köşegen ve kenarları boyunca yönlendirilmiş bir paralel boru oluşturmak yeterlidir. bu düz çizgiler (Şekil 1.8).

Aksiyom 4 (Newton'un 3. Yasası). İki cismin etkileşim kuvvetleri eşit büyüklüktedir ve zıt yönlerde bir düz çizgi boyunca yönlendirilir.İki cisim arasındaki etkileşim kuvvetlerinin, farklı cisimlere uygulandıkları için dengeli bir kuvvetler sistemi oluşturmadığına dikkat edin. Eğer cisim I cisim II'ye P kuvveti ile etki ediyorsa ve cisim II cisim I üzerine F kuvveti ile etki ediyorsa (Şekil 1.9), bu kuvvetler büyüklük olarak eşittir (F = P) ve zıt yönlerde bir düz çizgi boyunca yönlendirilir, yani, F = –Р. F ile Güneş'in Dünya'yı çektiği kuvveti gösterirsek, o zaman Dünya Güneş'i aynı modülle, ancak zıt yönlü kuvvetle çeker - F. Bir cisim bir düzlem boyunca hareket ettiğinde, ona bir sürtünme kuvveti T uygulanacaktır. , harekete zıt yönde yönlendirilir. Bu, sabit düzlemin vücuda etki ettiği kuvvettir. Dördüncü aksiyoma göre, cisim düzlemde aynı kuvvetle hareket eder, ancak yönü T kuvvetinin tersi olacaktır.

İncirde. 1.10 sağa doğru hareket eden bir cismi göstermektedir; sürtünme kuvveti T hareketli gövdeye uygulanır ve kuvvet T "= –T - düzleme. Hala Şekil 1.11'de gösterilen dinlenme sistemini düşünün, a. Bir B temeli üzerine monte edilmiş bir motor A'dan oluşur, bu da taban C üzerinde bulunur. Yerçekimi kuvvetleri F 1 ve F 2 sırasıyla motor ve temel üzerinde etki eder. Kuvvetler ayrıca şunları da etkiler: F 3 - A gövdesinin B gövdesi üzerindeki etki kuvveti (bu A gövdesinin ağırlığına eşit); F`z - B gövdesinin A gövdesi üzerindeki ters etkisinin kuvveti; F 4, A ve B gövdelerinin C tabanı üzerindeki etki kuvvetidir (toplam ağırlığına eşittir) A ve B gövdeleri); F` 4, C tabanının B gövdesi üzerindeki ters etkisinin kuvvetidir. Bu kuvvetler Şekil 1.11, b, c, d'de gösterilmiştir. 4 aksiyomuna göre F 3 = –F` 3, F 4 = –F` 4 ve bu etkileşim kuvvetleri verilen F 1 ve F 2 kuvvetleri tarafından belirlenir. Etkileşim kuvvetlerini bulmak için aksiyom 1'den hareket etmek gerekir. A gövdesi (Şekil 1.11,6) F s = –F 1 olmalıdır, bu, F 3 = F 1 anlamına gelir. Aynı şekilde, B gövdesinin denge durumundan (Şekil 1.11, c) F'yi takip eder. ` 4 = - (F 2 + F 3) , yani F` 4 = - (F 1 + F 2) ve F 4 = F 1 + F 2.

Aksiyom 5. Deforme olabilen bir cismin dengesi, noktaları rijit bir şekilde bağlanmışsa ve cismin kesinlikle rijit olduğu kabul edilirse bozulmayacaktır. Bu aksiyom, katı olarak kabul edilemeyen cisimlerin dengesi söz konusu olduğunda kullanılır. Bu tür cisimlere uygulanan dış kuvvetler, rijit bir cismin denge koşullarını sağlamalıdır, ancak rijit olmayan cisimler için bu koşullar yalnızca gereklidir, ancak yeterli değildir. Örneğin, kesinlikle katı ağırlıksız bir çubuğun dengesi için, çubuğun uçlarına uygulanan F ve F "kuvvetlerinin, uçlarını birleştiren düz bir çizgi boyunca hareket etmesi, eşit büyüklükte olması ve farklı yönlere yönlendirilmiş olması gerekli ve yeterlidir. Aynı koşullar, ağırlıksız bir ipliğin bir parçasının dengesi için de gereklidir, ancak bir iplik için bunlar yetersizdir - ayrıca, ipliğe etki eden kuvvetlerin gerilmesini gerektirmek gerekir (Şekil 1.12, b), iken bir çubuk için ayrıca sıkıştırıcı olabilirler (Şekil 1.12, a).

Rijit bir cisme uygulanan paralel olmayan üç kuvvetin sıfıra eşdeğerliğini düşünün (Şekil 1.13, a). Paralel olmayan üç kuvvet teoremi. Üç kuvvetin etkisi altında cisim dengedeyse ve iki kuvvetin etki çizgileri kesişiyorsa, tüm kuvvetler aynı düzlemdedir ve etki çizgileri bir noktada kesişir. F 1, F 3 ve F 3 kuvvetlerinden oluşan bir sistemin gövdeye etki etmesine izin verin ve F 1 ve F 2 kuvvetlerinin etki çizgileri A noktasında kesişsin (Şekil 1.13, a). Aksiyom 2'nin sonucuna göre, F 1 ve F 2 kuvvetleri A noktasına aktarılabilir (Şekil 1.13, b) ve Aksiyom 3'e göre bunlar bir R kuvveti ile değiştirilebilir ve (Şekil 1.13, c) R = F1 + F2 ... Böylece, dikkate alınan kuvvetler sistemi iki R ve F 3 kuvvetine indirgenir (Şekil 1.13, c). Teoremin koşullarına göre, cisim dengededir, bu nedenle, aksiyom 1'e göre, R ve F 3 kuvvetleri ortak bir hareket hattına sahip olmalıdır, ancak o zaman üç kuvvetin hepsinin hareket hatları bir noktada kesişmelidir. .

Aktif kuvvetler ve bağların tepkileri

vücut denir Bedava eğer hareketleri hiçbir şeyle sınırlı değilse. Hareketleri başka cisimler tarafından sınırlanan cisme denir. özgür olmayan ve bu cismin hareketlerini sınırlayan cisimler bağlantılar... Temas noktalarında, verilen cisim ve bağlar arasında etkileşim kuvvetleri ortaya çıkar. Bağlantıların belirli bir cisme etki ettiği kuvvetlere denir. bağ reaksiyonları.

Serbest bırakma ilkesi : Bağların etkisinin, verilen cisme uygulanan reaksiyonları ile yer değiştirmesi durumunda, özgür olmayan herhangi bir cisim özgür olarak kabul edilebilir. Statikte, daha sonra kurulacak olan cismin koşulları veya denge denklemlerini kullanarak bağların reaksiyonlarını tam olarak belirlemek mümkündür, ancak çoğu durumda yönleri, bağların özellikleri dikkate alınarak belirlenebilir. Basit bir örnek olarak, Şekil. 1.14 ve M noktası, ağırlığı ihmal edilebilecek bir çubuk vasıtasıyla sabit bir O noktasına bağlanan bir cisim temsil edilir; çubuğun uçlarında serbest dönüşe izin veren menteşeler bulunur. Bu durumda, OM çubuğu gövde için bağlantı görevi görür; M noktasının hareket özgürlüğü üzerindeki kısıtlama, O noktasından sabit bir uzaklıkta olmaya zorlanmasıyla ifade edilir. ... Böylece, çubuğun reaksiyonunun yönü, düz çizgi OM ile çakışmaktadır (Şekil 1.14, b). Benzer şekilde, esnek, uzamaz bir ipliğin tepki kuvveti, iplik boyunca yönlendirilmelidir. İncirde. 1.15, iki ip üzerinde asılı bir cismi ve R1 ve R2 iplerinin reaksiyonlarını göstermektedir. Özgür olmayan bir cisme etki eden kuvvetler iki kategoriye ayrılır. Bir kategori, bağlantılara bağlı olmayan kuvvetlerden, diğeri ise bağlantıların tepkilerinden oluşur. Bu durumda, bağlantı tepkileri pasiftir - bunlar, birinci kategorinin kuvvetleri vücuda etki ettiği için ortaya çıkar. Bağlantılara bağlı olmayan kuvvetlere aktif, bağlantıların tepkilerine pasif kuvvetler denir. İncirde. 1.16 ve üst kısım, AB çubuğunu geren eşit modüllü iki aktif kuvveti F 1 ve F 2 gösterir, alt kısım gerilmiş çubuğun R 1 ve R 2 reaksiyonlarını gösterir. İncirde. 1.16, b, üst kısım çubuğu sıkıştıran aktif F 1 ve F 2 kuvvetlerini gösterir, alt kısım sıkıştırılmış çubuğun R 1 ve R 2 reaksiyonlarını gösterir.

Bağlantı özellikleri

1. Sert bir cisim tamamen pürüzsüz (sürtünmesiz) bir yüzey üzerinde duruyorsa, cismin yüzeyle temas noktası yüzey boyunca serbestçe kayabilir, ancak yüzeyin normali boyunca hareket edemez. Mükemmel pürüzsüz bir yüzeyin reaksiyonu, temas eden yüzeylere ortak bir normal boyunca yönlendirilir (Şekil 1.17, a).Eğer katı bir gövde pürüzsüz bir yüzeye sahipse ve bir uç üzerinde duruyorsa (Şekil 1.17, b), o zaman reaksiyon gövdenin kendi yüzeyine normal boyunca yönlendirilir Katı bir gövde, ucu köşeye dayandırırsa (Şekil 1.17, c), bağlantı ucun hem yatay hem de dikey olarak hareket etmesini engeller. Buna göre, reaksiyon R açısı, değerleri ve yönleri nihai olarak verilen kuvvetler tarafından belirlenen yatay Rx ve dikey Ry olmak üzere iki bileşenle temsil edilebilir.

2. Küresel bir eklem, Şekil 2'de gösterilen cihazdır. 1.18, a, incelenen cismin O noktasını sabit kılar. Küresel temas yüzeyi ideal olarak pürüzsüzse, küresel menteşenin tepkisi bu yüzeye normaldir. Reaksiyon, O menteşesinin merkezinden geçer; reaksiyonun yönü herhangi biri olabilir ve her durumda belirlenir.

Şekilde gösterilen baskı yatağının reaksiyon yönünü önceden belirlemek de imkansızdır. 1.18, b. 3. Silindirik menteşe ile sabitlenmiş destek (Şekil 1.19, a). Böyle bir desteğin reaksiyonu ekseninden geçer ve reaksiyonun yönü herhangi biri olabilir (desteğin eksenine dik bir düzlemde). 4. Silindirik bir menteşe hareketli destek (Şekil 1.19, b), vücudun sabit noktasının dikey boyunca hareketini önler uçak I-I; buna göre böyle bir desteğin tepkisi de bu dik doğrultudadır.

Birkaç katının birleştirilmesiyle oluşturulan mekanik sistemlerde, dış bağlantılar (destekler) ile iç bağlantılar vardır. Bu durumlarda, sistem bazen zihinsel olarak parçalanır ve atılan sadece dış değil, aynı zamanda iç bağlantılar da uygun tepkilerle değiştirilir. Belirli bir cismin bireysel noktaları arasındaki etkileşim kuvvetlerine iç denir ve belirli bir cisme etki eden ve diğer cisimlerin neden olduğu kuvvetlere dış denir.

Statiğin temel görevleri

1. Bir kuvvetler sistemini azaltma sorunu: belirli bir kuvvetler sistemini, ona eşdeğer, en basit başka bir sistemle nasıl değiştirebilirim?

2. Denge sorunu: Belirli bir cisme (veya maddesel noktaya) uygulanan bir kuvvetler sisteminin dengeli bir sistem olabilmesi için hangi koşulları sağlaması gerekir?

İkinci problem genellikle dengenin varlığının bilindiği durumlarda, örneğin cismin dengede olduğunun önceden bilindiği durumlarda ortaya çıkar ve bu da cisme uygulanan kısıtlamalar tarafından sağlanır. Bu durumda denge koşulları cisme uygulanan tüm kuvvetler arasında bir ilişki kurar. Bu koşullar yardımıyla destek reaksiyonlarını belirlemek mümkündür. Yapının mukavemetinin müteakip hesaplanması için bağların (dış ve iç) reaksiyonlarının belirlenmesinin gerekli olduğu akılda tutulmalıdır.

Daha genel bir durumda, birbirine göre hareket edebilen cisimler sistemi düşünüldüğünde, statiğin temel problemlerinden biri olası denge konumlarını belirleme problemidir.

Yakınsak kuvvetler sisteminin bileşkeye indirgenmesi

Sistemi oluşturan tüm kuvvetlerin etki çizgileri bir noktada kesişiyorsa kuvvetlere yakınsak denir. Teoremi ispatlayalım: Yakınsak kuvvetler sistemi, tüm bu kuvvetlerin toplamına eşit olan ve hareket hatlarının kesişme noktasından geçen bir kuvvete (sonuç) eşittir. Kesinlikle rijit bir cisme uygulanan F 1, F 2, F 3, ..., F n yakınsak kuvvetler sistemi verilsin (Şekil 2.1, a). Eylem çizgileri boyunca kuvvetlerin uygulama noktalarını bu çizgilerin kesişme noktasına aktarıyoruz (21, b). Bir noktaya bağlı bir kuvvet sistemimiz var. Verilene eşdeğerdir. F 1 ve F 2'yi toplayın, sonuçlarını elde ederiz: R 2 = F 1 + F 2. R 2'yi F 3'e ekleyin: R 3 = R 2 + F 3 = F 1 + F 2 + F 3. F 1 + F 2 + F 3 +… + F n = R n = R = åF i ekleyin. Ch.t.d. Paralelkenarlar yerine bir kuvvet çokgeni oluşturabilirsiniz. Sistem 4 kuvvetten oluşsun (Şekil 2.2.). F 1 vektörünün sonundan F 2 vektörünü erteleriz. O başlangıcını ve F 2 vektörünün sonunu birleştiren vektör, R 2 vektörü olacaktır. Ardından, başlangıcını F 2 vektörünün sonuna yerleştirerek F 3 vektörünü erteleriz. Sonra O noktasından F 3 vektörünün sonuna giden bir R8 vektörü elde ederiz. F 4 vektörünü de aynı şekilde ekleyin; bu durumda, birinci F1 vektörünün başlangıcından F4 vektörünün sonuna kadar giden vektörün, sonuçtaki R olduğunu elde ederiz. Böyle bir uzaysal çokgene kuvvet poligonu denir. Son kuvvetin sonu birinci kuvvetin başlangıcına denk gelmiyorsa kuvvet çokgeni denir. açık... Bir geometri, sonuçtaki kullanımı bulmak için doğruysa, bu yönteme geometrik denir.

Sonucu belirlemek için analitik yöntemi daha çok kullanırlar. Vektörlerin toplamının belirli bir eksen üzerindeki izdüşümü, vektörlerin terimlerinin aynı eksenindeki izdüşümlerin toplamına eşittir, elde ederiz R x = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx; R y = åF ky = F 1y + F 2y + ... + F ny; Rz = åF kz = F 1z + F 2z + ... + F nz; burada F kx, F ky, F kz, F k kuvvetinin eksen üzerindeki izdüşümleridir ve R x, R y, R z bileşkenin aynı eksenler üzerindeki izdüşümleridir. Ortaya çıkan yakınsak kuvvetler sisteminin koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleri, bu kuvvetlerin karşılık gelen eksenler üzerindeki izdüşümlerinin cebirsel toplamlarına eşittir. Elde edilen R'nin modülü şuna eşittir: R = (R x 2 + R y 2 + R z 2) 1/2. Yön kosinüsleri: cos (x, R) = R x / R, cos (y, R) = R y / R, cos (z, R) = R z / R. Kuvvetler bölgede bulunuyorsa, her şey aynıdır, Z ekseni yoktur.

Yakınsak kuvvetler sistemi için denge koşulları

(F 1, F 2, ..., F n) ~ R => bir yakınsak kuvvetler sisteminin etkisi altındaki bir cismin dengesi için, sonuçlarının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir: R = 0 Bu nedenle, dengeli bir sistemin kuvvet poligonunda yakınsak kuvvetlerde, son kuvvetin sonu, ilk kuvvetin başlangıcı ile çakışmalıdır; bu durumda kuvvet poligonunun kapalı olduğu söylenir (Şekil 2.3). Bu koşul, düzlem kuvvet sistemleri için problemlerin grafiksel çözümünde kullanılır. Vektör eşitliği R = 0, üç skaler eşitliğe eşdeğerdir: R x = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx = 0; R y = åF ky = F 1y + F 2y + ... + F ny = 0; Rz = åF kz = F 1z + F 2z + ... + F nz = 0; burada F kx, F ky, F kz, F k kuvvetinin eksen üzerindeki izdüşümleridir ve R x, R y, R z bileşkenin aynı eksenler üzerindeki izdüşümleridir. Yani, yakınsak kuvvetler sisteminin dengesi için, verilen sistemin tüm kuvvetlerinin izdüşümlerinin her bir koordinat ekseni üzerindeki cebirsel toplamlarının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. Düzlem bir kuvvetler sistemi için, Z ekseni ile ilgili koşul ortadan kalkar.Denge koşulları, verilen bir kuvvetler sisteminin dengede olup olmadığını kontrol etmeyi mümkün kılar.

İki paralel kuvvetin eklenmesi

1) Cismin A ve B noktalarına paralel ve eşit olarak yönlendirilmiş F 1 ve F 2 kuvvetleri uygulansın ve bunların bileşkesini bulmanız gerekir (Şekil 3.1). A ve B noktalarına eşit büyüklükte ve zıt yönlü Q 1 ve Q 2 kuvvetleri uygularız (modülleri herhangi biri olabilir); böyle bir ekleme, aksiyom 2 temelinde yapılabilir. Daha sonra A ve B noktalarında R 1 ve R 2: R 1 ~ (F 1, Q 1) ve R 2 ~ (F 2, Q 2) olmak üzere iki kuvvet elde ederiz. . Bu kuvvetlerin etki çizgileri bir O noktasında kesişir. R 1 ve R 2 kuvvetlerini O noktasına aktaralım ve her birini bileşenlere ayıralım: R 1 ~ (F 1 ', Q 2') ve R 2 ~ (F 2 ', S2'). Yapıdan Q 1 '= Q 1 ve Q 2' = Q 2 olduğu görülebilir, bu nedenle Q 1 '= –Q 2' ve aksiyom 2'ye göre bu iki kuvvet atılabilir. Ayrıca F 1 '= F 1, F 2' = F 2. F 1 've F 2' kuvvetleri tek bir düz çizgide hareket eder ve arzu edilen sonuç olacak olan tek bir R = F 1 + F 2 kuvveti ile yer değiştirebilirler. Sonucun modülü, R = F 1 + F 2'ye eşittir. Bileşiğin etki çizgisi, F 1 ve F 2 etki çizgilerine paraleldir. Oac 1 ve OAC üçgenlerinin yanı sıra Obc 2 ve OBC'nin benzerliğinden şu oranı elde ederiz: F 1 / F 2 = BC / AC. Bu ilişki, ortaya çıkan R'nin uygulama noktasını belirler. Bir yöne yönlendirilen iki paralel kuvvetin sistemi, bu kuvvetlere paralel bir bileşkeye sahiptir ve modülü toplamına eşittir Bu kuvvetlerin modülleri.

2) Cisim üzerine farklı yönlere yönlendirilmiş ve büyüklükleri eşit olmayan iki paralel kuvvetin etki etmesine izin verin. Verilen: F 1, F 2; F1> F2.

R = F 1 + F 2 ve F 1 / F 2 = BC / AC formüllerini kullanarak, F 1 kuvveti, F 1 kuvvetine yönelik F "2 ve R olmak üzere iki bileşene ayrılabilir. F" 2 kuvvetinin B noktasına uygulandığı ortaya çıktı ve F "2 = –F 2 koydu. Böylece, (F l, F 2) ~ (R, F "2, F 2)... kuvvetler F2, F2' sıfıra eşdeğer olarak atılabilir (aksiyom 2), bu nedenle, (F 1, F 2) ~ R, yani, R kuvveti bileşkedir. F 1 kuvvetinin böyle bir genişlemesini sağlayan R kuvvetini tanımlayalım. formüller R = F1 + F2 ve F 1 / F 2 = BC / AC verir R + F 2 '= F 1, R / F 2 = AB / AC (*). bu şu anlama gelir R = F 1 –F 2 '= F 1 + F 2, ve F t ve F 2 kuvvetleri farklı yönlere yönlendirildiğinden, R = F 1 –F 2. Bu ifadeyi ikinci formülde (*) değiştirerek, basit dönüşümlerden sonra F 1 / F 2 = BC / AC elde ederiz. oran, sonuçtaki R'nin uygulama noktasını belirler. Büyüklükleri eşit olmayan iki zıt yönlü paralel kuvvet, bu kuvvetlere paralel bir bileşkeye sahiptir ve modülü, bu kuvvetlerin modüllerindeki farka eşittir.

3) Cisim üzerinde eşit büyüklükte fakat zıt kuvvette iki paralel hareket etsin. Bu sisteme bir çift kuvvet denir ve sembolü ile gösterilir. (F 1, F 2)... F 2 modülünün kademeli olarak arttığını ve F 1 modülünün değerine yaklaştığını varsayalım. O zaman modüllerdeki fark sıfıra ve kuvvetler sistemi (F 1, F 2) - bir çifte eğilim gösterecektir. Bu durumda, | R | Þ0 ve eylem çizgisi bu kuvvetlerin etki çizgilerinden uzaklaşmaktır. Bir çift kuvvet, tek bir kuvvetle değiştirilemeyen dengesiz bir sistemdir. Bir çift kuvvetin sonucu yoktur.

Bir nokta ve eksen etrafındaki kuvvet momenti Bir çift kuvvetin momenti

Bir noktaya (merkeze) göre kuvvet momenti, omuz tarafından kuvvet modülünün ürününe sayısal olarak eşit bir vektördür, yani belirtilen noktadan kuvvetin etki çizgisine en kısa mesafe. Seçilen noktadan geçen düzleme ve kuvvetin etki çizgisine dik olarak yönlendirilir. Kuvvet momenti kol saatinde ise, o an negatiftir ve karşı ise, o zaman pozitiftir. O, kuvvet F momentine göre nokta ise, kuvvet momenti M o (F) sembolü ile gösterilir. F kuvvetinin uygulama noktası O'ya göre r yarıçap vektörü tarafından belirlenirse, o zaman M o (F) = r x F ilişkisi. (3.6) Yani. kuvvet momenti, vektör F tarafından r vektörünün vektör ürününe eşittir. Vektör ürününün modülü M o (F) = rF sin a = Fh, (3.7)'dir, burada h kuvvetin omuzudur. Mo (F) vektörü, r ve F vektörlerinden geçen düzleme dik ve saat yönünün tersine yönlendirilir. Böylece formül (3.6), F kuvvet momentinin modülünü ve yönünü tamamen belirler. Formül (3.7), MO (F) = 2S, (3.8) biçiminde yazılabilir, burada S, ОАВ üçgeninin alanıdır. . x, y, z kuvvetin uygulama noktasının koordinatları olsun, a F x, F y, F z - kuvvetin koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümü. Eğer t Denemeler hakkında. orijinde, ardından kuvvet anı:

Bu, koordinat eksenleri üzerindeki kuvvet momentinin izdüşümlerinin f-mi tarafından belirlendiği anlamına gelir: M ox (F) = yF z –zF y, M oy (F) = zF x –xF z, M oz (F) ) = xF y –yFx (3.10).

Bir kuvvetin bir düzleme izdüşümü kavramını tanıtalım. F kuvveti ve biraz boşluk verilsin. Kuvvet vektörünün başından ve sonundan bu düzleme dik açılar bırakalım (Şekil 3.5). Bir kuvvetin bir düzleme izdüşümü, başlangıcı ve sonu, kuvvetin başlangıcının izdüşümü ve kuvvetin sonunun bu düzleme izdüşümü ile çakışan bir vektördür. F kuvvetinin xOy alanına izdüşümü F xy olacaktır. Kuvvet momenti F xy rel. О (z = 0 ise, F z = 0 ise M o (F xy) = (xF y –yF x) k olacaktır. Bu moment z ekseni boyunca yönlendirilir ve z ekseni üzerindeki izdüşümü, O.Te, M Oz (F) = M Oz noktasına göre F kuvvet momentinin aynı ekseni üzerindeki izdüşümle tam olarak çakışır ( F xy) = xF y –yF x. (3.11). Aynı sonuç, F kuvvetinin xOy düzlemine paralel herhangi bir başka düzleme yansıtılmasıyla da elde edilebilir. Bu durumda, eksenin düzlemle kesişme noktası farklı olacaktır (O 1'i belirtin). Ancak eşitliğin (3.11) sağ tarafında yer alan tüm x, y, F x, F y değerleri değişmeden kalacaktır: M Oz (F) = M Olz (F xy). Bir nokta etrafındaki kuvvet momentinin o noktadan geçen bir eksene izdüşümü, eksen üzerinde bir noktanın seçimine bağlı değildir. M Oz (F) yerine M z (F) yazıyoruz. Momentin bu izdüşümüne, z ekseni etrafındaki kuvvet momenti denir. Hesaplamalardan önce, F kuvveti düzleme eksene dik olarak yansıtılır. М z (F) = М z (F xy) = ± F xy h (3.12). h-omuz. Saat yönünde ise, +, - karşı. Annemi hesaplamak için. yapmanız gereken kuvvetler: 1) eksen üzerinde rastgele bir nokta seçin ve eksene dik bir düzlem oluşturun; 2) bu düzleme bir kuvvet yansıtın; 3) h kuvvetinin izdüşümünün omuzunu belirleyin. Eksen etrafındaki kuvvet momenti, karşılık gelen işaretle alınan, omzundaki kuvvetin izdüşümü modülünün çarpımına eşittir. (3.12)'den eksene göre kuvvet momentinin sıfır olduğu sonucu çıkar: 1) kuvvetin eksene dik düzleme izdüşümü sıfır olduğunda, yani kuvvet ve eksen paralel olduğunda; 2) h çıkıntısının omzu sıfıra eşit olduğunda, yani kuvvetin etki çizgisi eksenle kesiştiğinde. Veya: eksen etrafındaki kuvvet momenti, ancak ve ancak kuvvetin ve eksenin etki çizgisi aynı düzlemdeyse sıfırdır.

Bir çift anı kavramını tanıtalım. Bir çifti oluşturan kuvvetlerin momentlerinin toplamının keyfi bir noktaya göre ne olduğunu bulalım. O uzayda keyfi bir nokta olsun (Şekil 3.8) ve F ve F "bir çift oluşturan kuvvetlerdir. O zaman M o (F) = OAxF, M o (F") = OBxF ", buradan M o (F) + M o (F ") = ОАxF + OBxF", ancak F "= - F olduğundan, M 0 (F) + M 0 (F") = OAxF – ОBхF = (ОА– OB) xF. Alma ОА –ОВ = VA eşitliğini hesaba katarak, sonunda şunu buluyoruz: M 0 (F) + M 0 (F ") = BAхF. Yani, bir çifti oluşturan kuvvetlerin momentlerinin toplamı, momentlerin alındığı noktanın konumuna bağlı değildir. BAxF vektör ürününe çiftin momenti denir. Çiftin momenti M (F, F ") ve M (F, F") = BAxF = ABxF " veya M = BAxF = ABxF" sembolü ile gösterilir. (3.13). Çiftin momenti, çiftin düzlemine dik bir vektördür, büyüklük olarak çiftin omzundaki çiftin kuvvetlerinden birinin modülünün çarpımına eşittir (yani, doğrular arasındaki en kısa mesafe). çifti oluşturan kuvvetlerin hareketi) ve çiftin "dönüşünün" saat yönünün tersine gittiği yöne doğru yönlendirilir. h çiftin omzu ise, o zaman M (F, F ") = hF. Kuvvet çiftinin sistemi dengelemesi için gereklidir: ​​çiftin momenti = 0 veya omuz = 0.

çift ​​teoremleri

Teorem 1.Aynı düzlemde bulunan iki çift, bu iki çiftin momentlerinin toplamına eşit bir momentle, aynı düzlemde bulunan bir çift ile değiştirilebilir. ... Yerleştirme için, iki çift (F 1, F` 1) ve (F 2, F` 2) (Şekil 3.9) düşünün ve tüm kuvvetlerin uygulama noktalarını etki çizgileri boyunca sırasıyla A ve B noktalarına aktarın. . Aksiyom 3'e göre kuvvetler ekleyerek, R = F 1 + F 2 ve R "= F` 1 + F` 2, ancak F" 1 = –F 1 ve F` 2 = –F 2 elde ederiz. Bu nedenle, R = –R ", yani R ve R" kuvvetleri bir çift oluşturur. Bu çiftin momenti: M = M (R, R ") = BAxR = BAx (F 1 + F 2) = BAxF 1 + BAxF 2. (3.14) Bir çifti oluşturan kuvvetler doğrular boyunca aktarıldığında eylemlerinden, çiftin ne omuzu ne de dönüş yönü değişmez, bu nedenle çiftin momenti de değişmez.Dolayısıyla, BAxF 1 = M (F 1, F "1) = M 1, BAxF 2 = M (F 2, f` 2) = M 2 ve formül (З.14) M = M 1 + M 2, (3.15) p.t.d şeklini alacaktır. İki açıklama yapalım. 1. Çifti oluşturan kuvvetlerin etki çizgileri paralel olabilir. Teorem bu durumda da geçerliliğini korur. 2. Ekleme işleminden sonra, Açıklama 1'e dayanarak M (R, R ") = 0 olduğu ortaya çıkabilir, bundan iki çift (F 1, F` 1, F 2, F` 2) kümesinin çıktığı sonucu çıkar. ~ 0.

Teorem 2.Momentleri eşit olan iki çift eşdeğerdir. Bir (F 1, F` 1) çifti, I düzlemindeki bir cisme M 1 momenti ile etki etsin. Bu çiftin, yalnızca М 2 momenti М 1'e eşitse, II düzleminde bulunan başka bir çift (F 2, F` 2) ile değiştirilebileceğini gösterelim. I ve II düzlemlerinin paralel olması gerektiğine dikkat edin, özellikle çakışabilirler. Gerçekten de, M1 ve M2 momentlerinin paralelliğinden, momentlere dik olan çiftlerin hareket düzlemlerinin de paralel olduğu sonucu çıkar. Yeni bir çifti (F 3, F` 3) dikkate alalım ve her iki çifti de II düzlemine yerleştirerek (F 2, F` 2) çiftiyle birlikte vücuda uygulayalım. Bunu yapmak için, aksiyom 2'ye göre, M 3 momentli bir çift (F 3, F` 3) seçmeniz gerekir, böylece uygulanan kuvvetler sistemi (F 2, F` 2, F 3, F` 3) dengelidir. F 3 = –F` 1 ve F` 3 = –F 1 koyduk ve bu kuvvetlerin uygulama noktalarını A ve B noktalarının A 1 ve B 1 projeksiyonları ile II düzlemine eşleştirdik (bkz. Şekil 3.10). Yapıya uygun olarak şunları elde edeceğiz: M 3 ​​= –M 1 veya M 1 = M 2 olduğu dikkate alınarak, M2 + M3 = 0,(F 2, F` 2, F 3, F` 3) ~ 0 alırız. Böylece, (F 2, F` 2) ve (F 3, F` 3) çiftleri karşılıklı olarak dengelidir ve vücuda bağlanmaları durumunu (aksiyom 2) ihlal etmez, yani (F 1, F` 1) ~ (F 1, F` 1, F 2, F` 2, F 3, F` 3). (3.16). Öte yandan, bir yöne yönlendirilen paralel kuvvetlerin toplanması kuralına göre F1 ve F3 kuvvetleri ile F`1 ve F`3 kuvvetleri toplanabilir. Mutlak değerde eşittirler, bu nedenle bileşkeleri R ve R "ABB 1 A 1 dikdörtgeninin köşegenlerinin kesişiminde uygulanmalıdır, ayrıca mutlak değerde eşittirler ve zıt yönlere yönlendirilirler. sıfıra eşdeğer bir sistem oluşturur.Yani , (F 1, F` 1, F 3, F` 3) ~ (R, R ") ~ 0. Şimdi (F 1, F` 1, F 2, F` 2, F 3, F` 3) ~ (F 2, F` 2) yazabiliriz.(3.17). (3.16) ve (3.17) bağıntılarını karşılaştırarak, (F 1, F` 1) ~ (F 2, F` 2) vb. elde ederiz. Bu teoremden, hareket düzleminde bir çift kuvvetin hareket ettirilebileceği ve döndürülebileceği, paralel bir düzleme aktarılabileceği sonucu çıkar; bir çiftte, yalnızca çiftin dönüş yönünü ve momentinin modülünü koruyarak kuvvetleri ve omzu aynı anda değiştirebilirsiniz. (F 1 sa 1 = F 2 sa 2).

Teorem 3. Kesişen düzlemlerde yer alan iki çift, bir çifte eşdeğerdir ve momenti, verilen iki çiftin momentlerinin toplamına eşittir.(F 1, F` 1) ve (F 2, F` 2) çiftlerinin sırasıyla kesişen I ve II düzlemlerinde olmasına izin verin. Teorem 2'nin sonucunu kullanarak, her iki çifti de I ve II düzlemlerinin kesişme çizgisi üzerinde bulunan AB koluna (Şekil 3.11) getiriyoruz. Dönüştürülen çiftleri (Q 1, Q` 1) ve (Q 2, Q` 2) ile gösterelim. Bu durumda eşitlikler sağlanmalıdır: M 1 = M (Q 1, Q` 1) = M (F 1, F` 1) ve M 2 = M (Q 2, Q` 2) = M (F 2 , F` 2 ). Aksiyom 3'e göre sırasıyla A ve B noktalarında uygulanan kuvvetleri toplayalım. Sonra R = Q 1 + Q 2 ve R "= Q` 1 + Q` 2 elde ederiz. Q` 1 = –Q 1 ve Q` 2 = –Q 2 olduğunu hesaba katarak, şunu elde ederiz: R = –R" . Böylece, iki çiftli bir sistemin bir çifte (R, R ") eşdeğer olduğunu kanıtladık. Bu çiftin M momentini bulun. M (R, R") = BAxR, ancak R = Q 1 + Q 2 ve M (R , R ") = BAx (Q 1 + Q 2) = BAxQ 1 + BAxQ 2 = M (Q 1, Q` 1) + M (Q 2, Q` 2) = M (F 1, F" 1) + M (F 2, F` 2) veya M = M 1 + M 2, yani teorem kanıtlanmıştır.

Sonuç: Bir çiftin anı serbest bir vektördür ve bir çiftin kesinlikle katı bir cisim üzerindeki hareketini tamamen belirler. Deforme olabilen cisimler için çiftler teorisi uygulanamaz.

Bir çiftler sisteminin en basit biçimine indirgenmesi.Bir çiftler sisteminin dengesi

Momentleri eşit olan, uzayda keyfi olarak yerleştirilmiş n çift (F 1, F 1`), (F 2, F` 2) ..., (F n, F` n) sistemi verilsin. M 1, M 2. .., M n. İlk iki çift, M * 2: M * 2 = M 1 + M 2 anında bir çift (R 1, R` 1) ile değiştirilebilir. Elde edilen çifti (R 1, R` 1) (F 3, F` 3) çiftiyle toplarız, ardından M * 3: M * 3 = momentiyle yeni bir çift (R 2, R` 2) elde ederiz. M * 2 + M 3 = M 1 + M 2 + M 3. Çiftlerin momentlerini ardışık olarak toplamaya devam ederek, M = M 1 + M 2 + ... + M n = åM k. (3.18) momenti ile elde edilen son çifti (R, R ") elde ederiz. çiftler sistemi, momenti tüm çiftlerin momentlerinin toplamına eşit olan bir çifte indirgenir. Şimdi ikinci statik problemini çözmek, yani üzerinde bulunduğu vücut için denge koşullarını bulmak kolaydır. çiftler sistemi hareket eder.Çiftler sisteminin sıfıra eşit olması, yani iki dengeli kuvvete indirgenmesi için, ortaya çıkan çiftin momentinin 0'a eşit olması gerekli ve yeterlidir. formül (3.18)'den vektör biçiminde aşağıdaki denge koşulunu elde ederiz: М 1 + М 2 + М 3 + ... + М n = 0. (3.19).

Koordinat eksenlerine izdüşümlerde, denklem (3.19) üç skaler denklem verir. Tüm çiftler aynı düzlemde bulunduğunda denge koşulu (3.19) basitleştirilir. Bu durumda, tüm momentler bu düzleme diktir ve bu nedenle denklem (3.19) sadece bir eksene, örneğin çiftler düzlemine dik bir eksene yansıtmak için yeterlidir. Z ekseni olsun (Şekil 3.12). Sonra (3.19) denkleminden şunu elde ederiz: М 1Z + М 2Z + ... + М nZ = 0. Çiftin dönüşü saat yönünün tersine z ekseninin pozitif yönünden ve M Z = –M dönüş yönünün tersinden görülüyorsa M Z = M olduğu açıktır. Bu durumların her ikisi de Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.12.

Paralel Kuvvet Transferi Lemi

lemmayı kanıtlayalım:Rijit bir cismin herhangi bir noktasına uygulanan bir kuvvet, bu cismin herhangi bir başka noktasına uygulanan aynı kuvvete ve momenti bu kuvvetin yeni uygulama noktasına göre momentine eşit olan bir çift kuvvete eşittir. . Katı bir cismin A noktasına bir F kuvveti uygulansın (Şekil 4.1). Şimdi vücudun B noktasına sıfıra eşdeğer iki F "ve F²- kuvvetinden oluşan bir sistem uyguluyoruz ve F" = F'yi (dolayısıyla F "= - F) seçiyoruz. Ardından F ~ (F, F) kuvveti ", F "), çünkü (F ", F") ~ 0. Ancak diğer yandan, kuvvetler sistemi (F, F ", F") F "kuvvetine ve bir çift kuvvete ( F, F"); bu nedenle, F kuvveti F "kuvvetine ve kuvvet çiftine (F, F ") eşittir. Çiftin momenti (F, F") M = M'ye (F, F) eşittir. ") = BAxF, yani BM = MB (F) noktasına göre F kuvvetinin momentine eşittir. Böylece paralel kuvvet transferindeki lemma ispatlanmış olur.

Statik temel teoremi

Keyfi bir kuvvetler sistemi (F 1, F 2, ..., F n) verilsin. Bu kuvvetlerin toplamı F = åF k, kuvvetler sisteminin ana vektörü olarak adlandırılır. Herhangi bir direğe göre kuvvetlerin momentlerinin toplamına, bu direğe göre düşünülen kuvvetler sisteminin ana momenti denir.

Statiğin ana teoremi (Poinsot teoremi ):Genel durumda herhangi bir uzaysal kuvvet sistemi, cismin bir noktasına (referans merkezi) uygulanan ve bu kuvvetler sisteminin ana vektörüne eşit bir kuvvetten ve bir çift kuvvetten oluşan eşdeğer bir sistemle değiştirilebilir. momenti, seçilen referans merkezine göre tüm kuvvetlerin ana momentine eşittir.О, koordinatların orijini olarak alınan referans merkezi olsun, r 1, r 2, r 3, ..., rn, F 1, F 2, F 3 kuvvetlerinin uygulama noktalarının karşılık gelen yarıçap vektörleridir, ..., F n bu sistemi oluşturan kuvvetlerdir (Şekil 4.2, a). F 1, Fa, F 3, ..., F n kuvvetlerini O noktasına aktaralım. Bu kuvvetleri yakınsak olarak toplayalım; bir kuvvet elde ederiz: F о = F 1 + F 2 +… + F n = åF k, bu ana vektöre eşittir (Şekil 4.2, b). Ancak F 1, F 2, ..., F n kuvvetlerinin O noktasına sıralı aktarımıyla, her seferinde karşılık gelen kuvvet çiftini (F 1, F "1), (F 2, F" 2), ..., ( F n, F "n). Bu çiftlerin momentleri sırasıyla O noktasına göre bu kuvvetlerin momentlerine eşittir: M 1 = M (F 1, F” 1) = r 1 x F 1 = M o (F 1), M 2 = M (F 2, F "2) = r 2 x F 2 = M yaklaşık (F 2), ..., M p = M (F n, F" n ) = rnx F n = M yaklaşık (F n). Çiftler sistemini en basit forma indirgeme kuralına göre, belirtilen tüm çiftler bir çift ile değiştirilebilir. Momenti, sistemin O noktasına göre tüm kuvvetlerinin momentlerinin toplamına eşittir, yani ana momente eşittir, çünkü formüllere (3.18) ve (4.1) göre sahip olduğumuz (Şekil 4.2, c) M 0 = M 1 + M 2 + .. . + М n = М о (F 1) + М о (F 2) + ... + М о (F n) == åМ о (F k) = år kx F k. Uzayda keyfi olarak konumlandırılan kuvvetler sistemi, keyfi olarak seçilen bir referans merkezinde F o = åF k (4.2) kuvveti ve M 0 = åM 0 (F k) = år momentli bir kuvvet çifti ile değiştirilebilir. kx F k. (4.3). Teknikte, gücü veya çifti değil, anlarını belirlemek genellikle daha kolaydır. Örneğin, bir elektrik motorunun özelliği, statorun rotora etki ettiği kuvveti değil, torku içerir.

Mekansal kuvvetler sistemi için denge koşulları

Teorem.Mekânsal kuvvetler sisteminin dengesi için, ana vektör ve ana nokta Bu sistem sıfırdı. yeterlilik: F o = 0 olduğunda, O indirgeme merkezinde uygulanan yakınsak kuvvetler sistemi sıfıra eşittir ve Mo = 0 olduğunda, kuvvet çiftleri sistemi sıfıra eşittir. Bu nedenle, orijinal kuvvetler sistemi sıfıra eşittir. İhtiyaç: Verilen kuvvet sistemi sıfıra eşit olsun. Sistemi iki kuvvete getirdiğimizde, Q ve P kuvvetler sisteminin (Şekil 4.4) sıfıra eşit olması gerektiğini, dolayısıyla bu iki kuvvetin ortak bir etki çizgisine sahip olması ve Q = –P eşitliğinin sağlanması gerektiğini not ediyoruz. . Ancak bu, P kuvvetinin etki çizgisi O noktasından geçerse, yani h = 0 ise olabilir. Bu, ana momentin sıfır olduğu anlamına gelir (M o = 0). Çünkü Q + P = 0, a Q = F o + P ", sonra F o + P" + P = 0 ve sonuç olarak, F o = 0. Gerekli ve yeterli koşullar, bulundukları uzamsal kuvvet sistemine eşittir. form: F o = 0 , M o = 0 (4.15),

veya, koordinat eksenleri üzerindeki projeksiyonlarda, Fox = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx = 0; F Oy = åF ky = F 1y + F 2y + ... + F ny = 0; F oz = åF kz = F 1z + F 2z +… + F nz = 0 (4.16). M Ox = åM Ox (F k) = M Ox (F 1) + M ox (F 2) + ... + M Ox (F n) = 0, M Oy = åM Oy (F k) = M oy ( F 1) + M oy (F 2) + ... + M oy (F n) = 0, M oz = åM Oz (F k) = M Oz (F 1) + M oz (F 2) + .. + M oz (F n) = 0. (4.17)

O. 6 seviyeli problem çözerken 6 bilinmeyen bulabilirsiniz. Not: Bir çift kuvvet, bir bileşkeye indirgenemez.Özel durumlar: 1) Paralel kuvvetlerin uzaysal sisteminin dengesi. Z ekseninin kuvvet etki çizgilerine paralel olmasına izin verin (Şekil 4.6), o zaman x ve y üzerindeki kuvvetlerin izdüşümleri 0 olur (F kx = 0 ve F ky = 0) ve sadece F oz kalır. Anlara gelince, sadece M ox ve M oy kalır ve M oz yoktur. 2) Düzlemsel bir kuvvetler sisteminin dengesi. Geriye ur-I F ox, F oy ve M oz anları kalıyor (Şekil 4.7). 3) Paralel kuvvetlerden oluşan bir düzlem sisteminin dengesi. (şekil 4.8). Sadece 2 ur-I kalır: F oy ve M oz ur-th dengesi kurulurken hayaletin merkezi için herhangi bir nokta seçilebilir.

Düz bir kuvvetler sistemini en basit biçimine indirgemek

Bir düzlemde bulunan bir kuvvetler sistemi (F 1, F 2, ..., F n) düşünün. Oxy koordinat sistemini kuvvetlerin konum düzlemi ile birleştirelim ve referans merkezi olarak orijinini seçerek, söz konusu kuvvetler sistemini ana vektöre eşit bir F 0 = åF k, (5.1) kuvvetine indirgeyelim. ve momenti M 0 = åM 0 (F k), (5.2) ana momentine eşit olan bir çift kuvvete, burada M o (F k), merkeze göre F k kuvvet momentidir. referans O. Kuvvetler bir plakada yer aldığından, F o kuvveti de bu düzlemdedir. Mo çiftinin momenti bu düzleme dik yönlendirilir, çünkü çiftin kendisi, söz konusu kuvvetlerin eylemine bölünmüştür. Bu nedenle, bir düzlem kuvvetler sistemi için ana vektör ve ana moment her zaman birbirine diktir (Şekil 5.1). Moment, çiftin "dönüşü" saat yönünün tersine gerçekleşirse, artı işaretiyle alınan, çifti oluşturan kuvvetlerden birinin değeri ile çiftin omzunun ürününe eşit olan cebirsel değer M z ile tamamen karakterize edilir. , ve saat yönünde oklar oluşursa bir eksi işareti ile. Örneğin, (F 1, F` 1) ve (F 2, F` 2) (Şekil 5.2) olmak üzere iki çift verilsin; o zaman bu tanıma göre elimizde M z (F 1, F` 1) = h 1 F 1, MZ (F 2, F "2) = - h 2 F 2 var. Bir noktaya göre kuvvet momenti düzleme dik bir eksende bu noktaya göre moment vektörü kuvvetlerinin izdüşümüne eşit, yani karşılık gelen işaretle alınan omuz başına kuvvet modülünün ürününe eşit bir cebirsel miktar. Şekil 5.3'te gösterilen durumlar için , a ve b sırasıyla M oz (F 1) = hF 1 , M oz (F 2) = - hF 2 (5.4) olacaktır.Formül (5.3) ve (5.4)'deki z indeksi şu şekilde tutulur: momentlerin cebirsel yapısını gösterir.Bir çiftin moment modülleri ve kuvvet momenti aşağıdaki gibi gösterilir: М (F , F ") = | М z (F, F`) |, М о (F) = | М Оz (F) |. M oz = åM oz (F z) elde ederiz. Ana vektörün analitik tespiti için aşağıdaki formüller kullanılır: F ox = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx, F oy = åF ky = F 1y, + F 2y +… + F ny, F o = (F 2 öküz + F 2 oy) 1/2 = ([åF kx] 2 + [åF ky] 2) 1/2 (5.8); cos (x, F o) = F ox / F o, cos (y, F o) = F Oy / F o. (5.9). Ve ana an M Оz = åM Oz (F k) = å (x k F ky –y k F kx), (5.10), burada x k, y k, F k kuvvetinin uygulama noktasının koordinatlarıdır.

Bir düzlem kuvvetler sisteminin asal vektörü sıfıra eşit değilse, verilen kuvvetler sisteminin bir kuvvete eşdeğer olduğunu, yani bileşkeye indirgendiğini ispatlayalım. Fo ≠ 0, MOz ≠ 0 olsun (Şekil 5.4, a). Şekildeki yay oku. 5.4, ​​ancak MOz anıyla bir çifti sembolik olarak gösteriyor. Momenti ana momente eşit olan bir çift kuvvet, büyüklük olarak Fo ana vektörüne eşit, yani F1 = F'1 = Fo olan iki F1 ve F'1 kuvveti şeklinde temsil ediyoruz. Bu durumda, çifti oluşturan kuvvetlerden (F`1) birini indirgeme merkezine uygulayacağız ve onu Fo kuvvetinin yönünün tersine yönlendireceğiz (Şekil 5.4, b). O zaman Fo ve F'1 kuvvetler sistemi sıfıra eşittir ve reddedilebilir. Bu nedenle, verilen kuvvetler sistemi, 01 noktasına uygulanan tek bir F1 kuvvetine eşdeğerdir; bu kuvvet sonuçtur. Sonuç R harfi ile gösterilecektir, yani. F1 = R. Açıkça, önceki O indirgeme merkezinden bileşke hareket çizgisine h mesafesi |MOz | = hF1 = hFo, yani. h = | MOz | / Fo. H mesafesi O noktasından ertelenmelidir, böylece kuvvet çiftinin (F1, F`1) momenti MOz ana momenti ile çakışır (Şekil 5.4, b). Kuvvetler sisteminin belirli bir merkeze indirgenmesinin bir sonucu olarak, aşağıdaki durumlar meydana gelebilir: (1) Fo ≠ 0, MOz ≠ 0. Bu durumda, kuvvetler sistemi bir kuvvete (sonuç olarak) indirgenebilir. Şek. 5.4, ​​​​c (2) Fo ≠ 0, MOz = 0. Bu durumda, kuvvetler sistemi, verilen referans merkezinden geçen bir kuvvete (sonuç olarak) indirgenir. (3) Fo = 0, MOz ≠ 0. Bu durumda, kuvvetler sistemi bir çift kuvvete eşdeğerdir. (4) Fo = 0, MOz = 0. Bu durumda ele alınan kuvvetler sistemi sıfıra eşittir, yani sistemi oluşturan kuvvetler karşılıklı olarak dengelenir.

Varignon teoremi

Varignon teoremi. Düz kuvvetler sistemi bir bileşiğe indirgenirse, bu bileşiğin herhangi bir noktaya göre momenti, verilen sistemin tüm kuvvetlerinin aynı noktaya göre momentlerinin cebirsel toplamına eşittir. Kuvvetler sisteminin O noktasından geçen R bileşkesine indirgendiğini varsayalım. Şimdi indirgeme merkezi olarak başka bir O1 noktasını alalım. Bu noktaya göre ana moment (5.5), tüm kuvvetlerin momentlerinin toplamına eşittir: M O1Z = åM o1z (F k) (5.11). Öte yandan, O indirgeme merkezi için asal moment sıfıra eşit olduğundan (M Oz = 0) M O1Z = M Olz (R), (5.12)'ye sahibiz. (5.11) ve (5.12) bağıntılarını karşılaştırarak, M O1z (R) = åM OlZ (F k) elde ederiz; (5.13) h.t.d. Varignon teoremi kullanılarak, sonucun hareket çizgisinin denklemi bulunabilir. Elde edilen R 1'in, x ve y koordinatlarıyla (Şekil 5.5) bir O 1 noktasında uygulanmasına izin verin ve F o asal vektörü ve M Oya asal momenti, orijindeki referans merkezinde biliniyor. R 1 = F o olduğundan, x ve y eksenleri boyunca bileşkenin bileşenleri R lx = F Ox = F Ox i ve R ly = F Oy = F oy j'ye eşittir. Varignon'un teoremine göre, bileşkenin orijine göre momenti, orijindeki referans merkezindeki asal momente eşittir, yani Moz = M Oz (R 1) = xF Oy –yF Ox. (5.14). M Oz, F Ox ve F oy değerleri, sonucun uygulama noktası hareket çizgisi boyunca aktarıldığında değişmez, bu nedenle denklem (5.14)'deki x ve y koordinatları mevcut olarak görüntülenebilir. sonucun hareket çizgisinin koordinatları. Böylece denklem (5.14), bileşkenin hareket çizgisinin denklemidir. F ox ≠ 0 için y = (F oy / F ox) x– (M oz / F ox) olarak yeniden yazılabilir.

Bir düzlem kuvvetler sistemi için denge koşulları

Kuvvetler sisteminin dengesi için gerekli ve yeterli bir koşul, ana vektörün ve ana momentin sıfıra eşit olmasıdır. Bir düzlem kuvvetler sistemi için, bu koşullar F o = åF k = 0, M Oz = åM oz (F k) = 0, (5.15) biçimini alır; burada O, kuvvetlerin etki düzleminde keyfi bir noktadır. . F ox = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx = 0, P ox = åF ky = F 1y + F 2y +… + F ny = 0, М Оz = åM Oz (F k) = M oz (F 1) + M oz (F 2) + ... + M oz (F n) = 0, yani. düzlem bir kuvvetler sisteminin dengesi için, iki koordinat ekseni üzerindeki tüm kuvvetlerin izdüşümlerinin cebirsel toplamlarının ve tüm kuvvetlerin rastgele bir noktaya göre momentlerinin cebirsel toplamının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. Denge denkleminin ikinci şekli, tek bir doğru üzerinde yer almayan herhangi bir üç noktaya göre tüm kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamlarının sıfıra eşit olmasıdır.; åM Az (F k) = 0, åM Bz (F k) = 0, åM Cz (F k) = 0, (5.17), burada A, B ve C belirtilen noktalardır. Bu eşitlikleri sağlama ihtiyacı (5.15) koşullarından kaynaklanmaktadır. Yeter ki onların yeterliliğini kanıtlayalım. Tüm eşitliklerin (5.17) sağlandığını varsayalım. A noktasındaki referans merkezindeki ana momentin sıfıra eşitliği, ya sistem sonuca (R ≠ 0) indirgenirse ve hareket çizgisi A noktasından geçerse veya R = 0 ise mümkündür; benzer şekilde, B ve C noktalarına göre asal momentin sıfıra eşit olması, ya R ≠ 0 ve sonucun her iki noktadan da geçtiği ya da R = 0 olduğu anlamına gelir. Ancak sonuç tüm bu üç A, B ve C noktasından geçemez (şart olarak, tek bir doğru üzerinde bulunmazlar). Sonuç olarak, eşitlikler (5.17) sadece R = 0 için mümkündür, yani kuvvetler sistemi dengededir. A, B ve C noktaları tek bir doğru üzerinde bulunuyorsa, bu durumda (5.17) koşullarının yerine getirilmesi denge için yeterli bir koşul olmayacaktır, - bu durumda sistem bir bileşiğe, etki çizgisine indirgenebilir. bu noktalardan geçer.

Düzlem bir kuvvetler sistemi için üçüncü denge denklemi biçimi

Bir düzlem kuvvetler sistemi için denge denklemlerinin üçüncü biçimi, herhangi iki noktaya göre sistemin tüm kuvvetlerinin momentlerinin cebirsel toplamlarının sıfıra ve tüm kuvvetlerin izdüşümlerinin cebirsel toplamının sıfıra eşitliğidir. seçilen iki noktadan geçen düz çizgiye dik olmayan bir eksen üzerine sistemin; åМ Аz (F k) = 0, åМ Bz (F k) = 0, åF kx = 0 (5,18) (x ekseni А В segmentine dik değildir.) Kuvvetler dengesi için bu eşitliklerin gerekliliği doğrudan koşullardan (5.15) çıkar. Bu şartların gerçekleşmesinin kuvvetler dengesi için yeterli olduğundan emin olalım. İlk iki eşitlikten, önceki durumda olduğu gibi, kuvvetler sisteminin bir bileşkesi varsa, hareket çizgisinin A ve B noktalarından geçtiği sonucu çıkar (Şekil 5.7). O zaman bileşiğin AB doğru parçasına dik olmayan x ekseni üzerindeki izdüşümü sıfırdan farklı olacaktır. Ancak bu olasılık, R x = åF hx) olduğu için üçüncü denklem (5.18) tarafından hariç tutulmuştur. Sonuç olarak, sonuç sıfıra eşit olmalıdır ve sistem dengededir. Eğer x ekseni AB parçasına dik ise, bu durumda sistem, etki çizgisi A ve B noktalarından geçen bir bileşkeye sahip olabileceğinden, denklem (5.18) yeterli denge koşulları olmayacaktır. denge denklemleri sistemi, bir moment denklemi ve iki projeksiyon denklemi veya iki moment denklemi ve bir projeksiyon denklemi veya üç moment denklemi içerebilir. Tüm kuvvetlerin etki çizgileri y eksenine paralel olsun (Şekil 4.8). O zaman dikkate alınan paralel kuvvetler sistemi için denge denklemleri åF ky = 0, åM Oz (F k) = 0 olacaktır. (5.19). åM Az (F k) = 0, åM Bz (F k) = 0, (5.20) ve A ve B noktaları y eksenine paralel düz bir çizgi üzerinde uzanmamalıdır. Rijit bir cisme etki eden kuvvetler sistemi, hem yoğun (yalıtılmış) kuvvetlerden hem de dağıtılmış kuvvetlerden oluşabilir. Çizgi boyunca, yüzey boyunca ve cismin hacmi üzerinde dağıtılan kuvvetleri ayırt edin.

Kayma sürtünmesi varlığında vücut dengesi

İki gövde I ve II (Şekil 6.1) birbiriyle etkileşirse, A noktasında dokunursa, o zaman her zaman, örneğin gövde II'nin yanından hareket eden ve gövde I'e uygulanan RA reaksiyonu iki bileşene ayrılabilir. : NA, A noktasında temas eden cisimlerin yüzeyine ortak normal boyunca yönlendirilir ve T A, teğet düzlemde uzanır. N A bileşenine normal reaksiyon denir, T A kuvvetine kayma sürtünme kuvveti denir - bu, I cismin II cismi üzerinde kaymasını önler. Aksiyom 4'e (Newton'un üçüncü yasası) uygun olarak, cisim I'in yanından II. cisim üzerine eşit büyüklükte ve zıt yönlü bir tepki kuvveti etki eder. Teğet düzleme dik olan bileşenine normal basınç kuvveti denir. Sürtünme kuvveti T A = 0, eğer temas eden yüzeyler tamamen pürüzsüzse. Gerçek koşullarda yüzeyler pürüzlüdür ve çoğu durumda sürtünme kuvveti ihmal edilemez. Maksimum sürtünme kuvveti, normal basınçla yaklaşık olarak orantılıdır, yani T max = fN. (6.3) - Amonton-Coulomb yasası. F katsayısına kayma sürtünme katsayısı denir. Değeri, temas eden yüzeylerin alanına değil, malzemeye ve temas eden yüzeylerin pürüzlülük derecesine bağlıdır. Sürtünme kuvveti ancak kritik bir durum varsa f-le T = fN ile hesaplanabilir. Diğer durumlarda, sürtünme kuvveti ur-th eşitlerinden belirlenmelidir. Şekil R reaksiyonunu göstermektedir (burada aktif kuvvetler cismi sağa doğru hareket ettirme eğilimindedir). Sınırlayıcı reaksiyon R ile yüzeyin normali arasındaki j açısına sürtünme açısı denir. tgj = T maks / N = f.

Sınırlayıcı reaksiyon R'nin tüm olası yönlerinin yeri, konik bir yüzey oluşturur - bir sürtünme konisi (Şekil 6.6, b). Sürtünme katsayısı f tüm yönlerde aynıysa, sürtünme konisi dairesel olacaktır. Sürtünme katsayısının f cismin olası hareketinin yönüne bağlı olduğu durumlarda, sürtünme konisi dairesel olmayacaktır. Aktif kuvvetlerin sonucu ise. sürtünme konisinin içindeyse, modülü artırılarak vücudun dengesi bozulamaz; cismin hareket etmeye başlaması için, F aktif kuvvetlerinin bileşkesinin sürtünme konisinin dışında olması gereklidir (ve yeterlidir). Esnek cisimlerin sürtünmesini düşünün (Şekil 6.8). Euler'in formülü, Q kuvvetini dengeleyebilecek en küçük P kuvvetini bulmaya yardımcı olur. P = Qe -fj *. Ayrıca, Q kuvveti ile birlikte sürtünme direncini yenebilecek bir P kuvvetini de bulabilirsiniz. Bu durumda, Euler formülünde sadece f'nin işareti değişecektir: P = Qe fj *.

Yuvarlanma sürtünmesi varlığında vücut dengesi

Üzerine bir yatay aktif kuvvet S etki ettiğinde yatay bir düzlem üzerinde duran bir silindiri (silindiri) düşünün; bunun yanı sıra, yerçekimi P kuvvetinin yanı sıra normal reaksiyon N ve sürtünme kuvveti T de etki eder (Şekil 6.10, a). Yeterince küçük bir kuvvet modülü S ile silindir hareketsiz kalır. Ancak bu gerçek, Şekil 2'de gösterilen kuvvetlerin uygulanmasından memnun kalınırsa açıklanamaz. 6.10, bir. Bu şemaya göre, М Сz = –Sr silindirine etki eden tüm kuvvetlerin ana momenti sıfır olmadığı ve denge koşullarından biri sağlanmadığı için denge imkansızdır. Bu tutarsızlığın nedeni, bu cismi kesinlikle katı olarak hayal etmemiz ve silindirin generatrix boyunca yüzeye dokunduğunu varsaymamızda yatmaktadır. Teori ve deney arasındaki belirtilen tutarsızlığı ortadan kaldırmak için, kesinlikle katı bir gövde hipotezini terk etmek ve gerçekte silindirin ve C noktasına yakın düzlemin deforme olduğunu ve belirli bir sonlu temas alanı olduğunu hesaba katmak gerekir. Genişlik. Sonuç olarak, silindir sağ tarafında soldan daha güçlü bir şekilde bastırılır ve tam reaksiyon R, C noktasının sağına uygulanır (bkz. Şekil 6.10, b'deki C1 noktası). Etki eden kuvvetlerin ortaya çıkan şeması statik olarak tatmin edicidir, çünkü çiftin momenti (S, T) çiftin momenti (N, P) ile dengelenebilir. İlk şemadan farklı olarak (Şekil 6.10, a), silindire М T = Nh (6.11) momentiyle bir çift kuvvet uygulanır. Bu momente yuvarlanan sürtünme momenti denir. h = Sr /, burada h, C'den C 1'e olan mesafedir. (6.13). Aktif kuvvet S'nin modülündeki bir artışla, h mesafesi artar. Ancak bu mesafe temas yüzey alanı ile ilgilidir ve bu nedenle süresiz olarak artamaz. Bu, S kuvvetindeki bir artışın bir dengesizliğe yol açacağı bir durumun geleceği anlamına gelir. Mümkün olan maksimum h değerini d harfi ile gösterelim. d değeri silindirin yarıçapı ile orantılıdır ve farklı malzemeler için farklıdır. Bu nedenle, eğer denge gerçekleşirse, şu koşul yerine getirilir: h<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде М т <=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения M T max =dN пропорционален силе нормального давления.

Paralel Kuvvetlerin Merkezi

Paralel kuvvetler sistemini bileşiğe indirgeme koşulları, bir F ≠ 0 eşitsizliğine indirgenir. Bu paralel kuvvetlerin etki çizgileri aynı anda aynı açıyla döndürüldüğünde, bu kuvvetlerin uygulama noktaları değişmeden kalırsa ve kuvvetlerin etki çizgilerinin dönüşleri paralel eksenler etrafında meydana gelirse, ortaya çıkan R'ye ne olur. Bu koşullar altında, belirli bir kuvvetler sisteminin bileşkesi aynı anda aynı açıyla döndürülür ve dönme, paralel kuvvetlerin merkezi olarak adlandırılan sabit bir nokta etrafında gerçekleşir. Bu ifadenin ispatına geçelim. Düşünülen paralel kuvvetler sistemi F 1, F 2, ..., F n için, ana vektörün sıfıra eşit olmadığını, dolayısıyla bu kuvvetler sisteminin bileşkeye indirgendiğini varsayalım. О 1 noktası bu bileşkenin hareket çizgisinin herhangi bir noktası olsun. Şimdi r, seçilen O kutbuna göre 0 1 noktasının yarıçap vektörü olsun ve r k, F k kuvvetinin uygulama noktasının yarıçap vektörü olsun (Şekil 8.1). Varignon teoremine göre, sistemin tüm kuvvetlerinin 0 1 noktasına göre momentlerinin toplamı sıfıra eşittir: å (r k –r) xF k = 0, yani, år k xF k –årxF k = år k xF k –råF k = 0. Bir birim vektör e tanıtıyoruz, o zaman herhangi bir F k kuvveti F k = F * ke şeklinde temsil edilebilir (burada F * k = F h, eğer F h kuvvetinin yönleri ve e vektörü çakışırsa ve F * k = –F h, eğer F k ve e birbirine zıt ise); åF k = eåF * k. Şunu elde ederiz: år k xF * k e – rxeåF * k = 0, buradan [år k F * k –råF * k] xe = 0. Son eşitlik, kuvvetlerin herhangi bir yönü için (yani, birim vektör e'nin yönü) yalnızca birinci faktörün sıfır olması koşuluyla sağlanır: år k F * k –råF * k = 0. Bu vadinin, kuvvetlerin hareket çizgileri döndürüldüğünde konumunu değiştirmeyen, bileşkenin uygulama noktasını belirleyen yarıçap vektörü r ile ilgili olarak benzersiz bir çözümü vardır. Bu nokta paralel kuvvetlerin merkezidir. Paralel kuvvetlerin merkezinin yarıçap vektörünü rc aracılığıyla belirtmek: rc = (år k F * k) / (åF * k) = (r 1 F * 1 + r 2 F * 2 +… + rn F * n) / (F * 1 + F * 2 + ... + F * n). x c, y c, z c - paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatları, a x k, y k, z k - keyfi bir kuvvet F k'nin uygulama noktasının koordinatları; daha sonra paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatları formüllerden bulunabilir:

xc = (xk F * k) / (F * k) = (x 1 F * 1 + x 2 F * 2 +… + xn F * n) / (F * 1 + F * 2 +… + F * n ), yc = (yk F * k) / (F * k) =

= (y 1 F * 1 + y 2 F * 2 +… + y n F * n) / (F * 1 + F * 2 +… + F * n), zc =

= (z k F * k) / (åF * k) = (z 1 F * 1 + z 2 F * 2 +… + z n F * n) / (F * 1 + F * 2 +… + F * n)

x k F * k, y k F * k, z k F * k ifadelerine, yOz, xOz, xOy koordinat düzlemlerine göre sırasıyla belirli bir kuvvet sisteminin statik momentleri denir. Koordinatların orijini paralel kuvvetlerin merkezinde seçilirse, x c = y c = z c = 0 olur ve verilen kuvvetler sisteminin statik momentleri sıfıra eşittir.

ağırlık merkezi

Yerçekimi alanında bulunan keyfi şekle sahip bir gövde, koordinat düzlemlerine paralel bölümlere temel hacimlere bölünebilir (Şekil 8.2). Vücudun boyutunu Dünya'nın yarıçapına kıyasla ihmal edersek, her bir temel hacme etki eden yerçekimi kuvvetleri birbirine paralel olarak kabul edilebilir. DV k ile, M k noktasında ortalanmış temel bir paralelyüzün hacmini (bkz. Şekil 8.2) ve bu elemana etki eden yerçekimi kuvvetini DP k ile gösteririz. Daha sonra bir hacim elemanının ortalama özgül ağırlığına DP k / DV k oranı denir. Paralel boruyu М k noktasına daraltarak, ortalama özgül ağırlık g (x k, y k, z k) = lim DVk®0 (8.10) olarak vücudun belirli bir noktasındaki özgül ağırlığı elde ederiz. Bu nedenle, özgül ağırlık, koordinatların bir fonksiyonudur, yani. g = g (x, y, z). Cismin geometrik özellikleri ile birlikte cismin her noktasındaki özgül ağırlığın da verildiğini varsayacağız. Vücudun temel hacimlere bölünmesine dönelim. Gövde yüzeyinde sınır oluşturan öğelerin hacimlerini hariç tutarsak, bir dizi paralel borudan oluşan kademeli bir gövde elde edebilirsiniz. Her paralel yüzün merkezine ağırlık kuvveti DP k = g k DV k uygularız; burada g h, gövdenin paralel yüzün merkeziyle çakışan noktasındaki özgül ağırlıktır. Bu şekilde oluşturulan n paralel yerçekimi kuvvetleri sistemi için, paralel kuvvetlerin merkezi r (n) = (år k DP k) / (åDP k) = (r 1 DP 1 + r 2 DP 2 +… bulunabilir. + rn DP n) / (DP 1 + DP 2 +… + DP n). Bu formül, bir C n noktasının konumunu belirler. Ağırlık merkezi, п®µ'daki C n noktaları için sınır noktası olan bir noktadır.