В рамках будь-якого навчального курсу вивчення фізики починається з механіки. Чи не з теоретичної, ні з прикладної і не обчислювальної, а зі старої доброї класичної механіки. Цю механіку ще називають механікою Ньютона. За легендою, вчений гуляв по саду, побачив, як падає яблуко, і саме це явище підштовхнуло його до відкриття закону всесвітнього тяжіння. Звичайно, закон існував завжди, а Ньютон лише надав йому зрозумілу для людей форму, але його заслуга - безцінна. У даній статті ми не будемо розписувати закони ньютонівської механіки максимально докладно, але викладемо основи, базові знання, визначення та формули, які завжди можуть зіграти Вам на руку.

Механіка - розділ фізики, наука, що вивчає рух матеріальних тіл і взаємодії між ними.

Саме слово має грецьке походження і перекладається як «мистецтво побудови машин». Але до побудови машин нам ще як до Місяця, тому підемо по стопах наших предків, і будемо вивчати рух каменів, кинутих під кутом до горизонту, і яблук, падаючих на голови з висоти h.

Чому вивчення фізики починається саме з механіки? Тому що це абсолютно природно, не з термодинамічної ж рівноваги його починати ?!

Механіка - одна з найстаріших наук, і історично вивчення фізики почалося саме з основ механіки. Вміщені в рамки часу і простору, люди, по суті, ніяк не могли почати з чогось іншого, при всьому бажанні. Рухомі тіла - перше, на що ми звертаємо свою увагу.

Що таке рух?

Механічний рух - це зміна положення тіл в просторі відносно один одного з плином часу.

Саме після цього визначення ми цілком природно приходимо до поняття системи відліку. Зміна положення тіл в просторі відносно один одного. Ключові слова тут: відносно один одного . Адже пасажир в машині рухається щодо стоїть на узбіччі людину з певною швидкістю, і покоїться щодо свого сусіда на сидінні поруч, і рухається з якоюсь іншою швидкістю щодо пасажира в машині, яка їх обганяє.

Саме тому, для того, щоб нормально вимірювати параметри об'єктів, що рухаються і не заплутатися, нам потрібна система відліку - жорстко пов'язані між собою тіло відліку, система координат і годинника. Наприклад, земля рухається навколо сонця в геліоцентричної системі відліку. У побуті практично всі свої вимірювання ми проводимо в геоцентричної системі відліку, пов'язаної з Землею. Земля - \u200b\u200bтіло відліку, щодо якого рухаються машини, літаки, люди, тварини.

Механіка, як наука, має свою задачу. Завдання механіки - в будь-який момент часу знати положення тіла в просторі. Іншими словами, механіка будує математичний опис руху і знаходить зв'язку між фізичними величинами, Його характеризують.

Для того, щоб рухатися далі, нам знадобиться поняття " матеріальна точка ". Кажуть, фізика - точна наука, Але фізикам відомо, скільки наближень і припущень доводиться робити, щоб узгодити цю саму точність. Ніхто ніколи не бачив матеріальної точки і не нюхав ідеального газу, але вони є! З ними просто набагато легше жити.

Матеріальна точка - тіло, розмірами і формою якого в контексті даного завдання можна знехтувати.

Розділи класичної механіки

Механіка складається з декількох розділів

• кінематика
• динаміка
• статика

кінематиказ фізичної точки зору вивчає, як саме тіло рухається. Іншими словами, цей розділ займається кількісними характеристиками руху. Знайти швидкість, шлях - типові завдання кінематики

динаміка вирішує питання, чому воно рухається саме так. Тобто, розглядає сили, що діють на тіло.

статика вивчає рівновагу тіл під дією сил, тобто відповідає на питання: а чому воно взагалі не падає?

Межі застосування класичної механіки

Класична механіка вже не претендує на статус науки, що пояснює все (на початку минулого століття все було зовсім інакше), і має чіткі рамки застосовності. Взагалі, закони класичної механіки справедливі звичному нам за розміром світі (макросвіт). Вони перестають працювати в разі світу частинок, коли на зміну класичній приходить квантова механіка. Також класична механіка непридатна до випадків, коли рух тіл відбувається зі швидкістю, близькою до швидкості світла. У таких випадках яскраво вираженими стають релятивістські ефекти. Грубо кажучи, в рамках квантової і релятивістської механіки - класична механіка, це окремий випадок, коли розміри тіла великі, а швидкість - мала.

Взагалі кажучи, квантові і релятивістські ефекти ніколи нікуди не діваються, вони мають місце бути і при звичайному русі макроскопічних тіл зі швидкістю, багато меншої швидкості світла. Інша справа, що дія цих ефектів так мало, що не виходить за рамки найточніших вимірювань. Класична механіка, таким чином, ніколи не втратить своєї фундаментальної важливості.

Ми продовжимо вивчення фізичних основ механіки в наступних статтях. Для кращого розуміння механіки Ви завжди можете звернутися до нашим авторам, Які в індивідуальному порядку проллють світло на темну пляму найскладнішого завдання.

Статика - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються умови рівноваги матеріальних тіл, які перебувають під дією сил, а також методи перетворення сил в еквівалентні системи.

Під станом рівноваги, в статиці, розуміється стан, при якому всі частини механічної системи покояться щодо деякої інерціальної системи координат. Одним з базових об'єктів статики є сили і точки їх застосування.

Сила, що діє на матеріальну точку з радіус-вектором з боку інших точок - це міра впливу інших точок на розглянуту точку, в результаті якої вона отримує прискорення щодо інерціальної системи відліку. величина сили визначається за формулою:
,
де m - маса точки - величина, що залежить від властивостей самої точки. Ця формула називається другим законом Ньютона.

Застосування статики в динаміці

Важливою особливістю рівнянь руху абсолютно твердого тіла є те, що сили можна перетворювати в еквівалентні системи. При такому перетворенні рівняння руху зберігають свій вигляд, але систему сил, що діє на тіло можна перетворити в більш просту систему. Так, точку прикладання сили можна переміщати уздовж лінії її дії; сили можна розкладати по правилом паралелограма; сили, прикладені в одній точці можна замінювати їх геометричній сумою.

Прикладом таких перетворень є сила тяжіння. Вона діє на всі точки твердого тіла. Але закон руху тіла не зміниться, якщо розподілену по всіх точках силу тяжіння замінити одним вектором, прикладеним в центрі мас тіла.

Виявляється, що якщо ми до основної системи сил, що діють на тіло, додамо еквівалентну систему, в якій напрямки сил змінені на протилежні, то тіло, під дією цих систем, буде знаходитися в рівновазі. Таким чином, завдання по визначенню еквівалентних систем сил зводиться до задачі на рівновагу, тобто до задачі статики.

Основним завданням статики є встановлення законів перетворення системи сил в еквівалентні системи. Таким чином, методи статики застосовуються не тільки при вивченні тіл, що знаходяться в рівновазі, але і в динаміці твердого тіла, при перетворенні сил в більш прості еквівалентні системи.

Статика матеріальної точки

Розглянемо матеріальну точку, яка знаходиться в рівновазі. І нехай на неї діють n сил, k \u003d 1, 2, ..., n.

Якщо матеріальна точка знаходиться в рівновазі, то векторна сума діючих на неї сил дорівнює нулю:
(1) .

У рівновазі геометрична сума сил, що діють на точку, дорівнює нулю.

геометрична інтерпретація. Якщо в кінець першого вектора помістити початок другого вектора, а в кінець другого вектора помістити початок третього, і далі продовжувати цей процес, то кінець останнього, n -го вектора виявиться поєднаним з початком першого вектора. Тобто ми отримаємо замкнену геометричну фігуру, довжини сторін якого дорівнюють модулям векторів. Якщо все вектори лежать в одній площині, то ми отримаємо замкнутий багатокутник.

Часто буває зручним вибрати прямокутну систему координат Oxyz. Тоді суми проекцій всіх векторів сил на осі координат дорівнюють нулю:

Якщо вибрати будь-який напрямок, що задається деяким вектором, то сума проекцій векторів сил на цей напрямок дорівнює нулю:
.
Помножимо рівняння (1) скалярно на вектор:
.
Тут - скалярний добуток векторів і.
Зауважимо, що проекція вектора на напрямок вектора визначається за формулою:
.

Статика твердого тіла

Момент сили відносно точки

Визначення моменту сили

моментом сили , Яка додається до тіла в точці A, щодо нерухомого центру O, називається вектор, рівний векторному добутку векторів і:
(2) .

геометрична інтерпретація

Момент сили дорівнює добутку сили F на плече OH.

Нехай вектори і розташовані в площині малюнка. Відповідно до властивості векторного добутку, вектор перпендикулярний векторах і, тобто перпендикулярний площині малюнка. Його напрямок визначається правилом правого гвинта. На малюнку вектор моменту спрямований на нас. Абсолютне значення моменти:
.
Оскільки, то
(3) .

Використовуючи геометрію, можна дати іншу інтерпретацію моменту сили. Для цього проведемо пряму AH через вектор сили. З цента O опустимо перпендикуляр OH на цю пряму. Довжину цього перпендикуляра називають пліч-о-сили. тоді
(4) .
Оскільки, то формули (3) і (4) еквівалентні.

Таким чином, абсолютне значення моменту сили щодо центру O одно добутку сили на плече цієї сили відносно обраного центру O.

При обчисленні моменту часто буває зручним розкласти силу на дві складові:
,
де. Сила проходить через точку O. Тому її момент дорівнює нулю. тоді
.
Абсолютне значення моменти:
.

Компоненти моменту в прямокутній системі координат

Якщо вибрати прямокутну систему координат Oxyz з центром в точці O, то момент сили буде мати наступні компоненти:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Тут - координати точки A в обраній системі координат:
.
Компоненти є значення моменту сили відносно осей, відповідно.

Властивості моменту сили відносно центру

Момент щодо центру O, від сили, що проходить через цей центр, дорівнює нулю.

Якщо точку прикладання сили перемістити уздовж лінії, що проходить через вектор сили, то момент, при такому переміщенні, не зміниться.

Момент від векторної суми сил, прикладених до однієї точки тіла, дорівнює векторній сумі моментів від кожної з сил, прикладених до цієї ж точки:
.

Теж саме відноситься і до сил, чиї лінії продовження перетинаються в одній точці.

Якщо векторна сума сил дорівнює нулю:
,
то сума моментів від цих сил не залежить від положення центру, щодо якого обчислюються моменти:
.

пара сил

пара сил - це дві сили, рівні по абсолютній величині і мають протилежні напрямки, прикладені до різних точок тіла.

Пара сил характеризується моментом, який вони створюють. Оскільки векторна сума сил, що входять в пару дорівнює нулю, то створюваний парою момент не залежить від точки, щодо якої обчислюється момент. З точки зору статичної рівноваги, природа сил, що входять в пару, не має значення. Пару сил використовують для того, щоб вказати, що на тіло діє момент сил, що має певне значення.

Момент сили відносно заданої осі

Часто зустрічаються випадки, коли нам не потрібно знати всі компоненти моменту сили відносно обраної точки, а потрібно знати тільки момент сили відносно вибраної осі.

Моментом сили відносно осі, що проходить через точку O - це проекція вектора моменту сили, щодо точки O, на напрям осі.

Властивості моменту сили відносно осі

Момент відносно осі від сили, що проходить через цю вісь дорівнює нулю.

Момент відносно осі від сили, паралельної цієї осі дорівнює нулю.

Обчислення моменту сили відносно осі

Нехай на тіло, в точці A діє сила. Знайдемо момент цієї сили відносно осі O'O ''.

Побудуємо прямокутну систему координат. Нехай вісь Oz збігається з O'O ''. З точки A опустимо перпендикуляр OH на O'O ''. Через точки O і A проводимо вісь Ox. Перпендикулярно Ox і Oz проводимо вісь Oy. Розкладемо силу на складові уздовж осей системи координат:
.
Сила перетинає вісь O'O ''. Тому її момент дорівнює нулю. Сила паралельна осі O'O ''. Тому її момент також дорівнює нулю. За формулою (5.3) знаходимо:
.

Зауважимо, що компонента спрямована по дотичній до окружності, центром якої є точка O. Напрямок вектора визначається правилом правого гвинта.

Умови рівноваги твердого тіла

У рівновазі векторна сума всіх діючих на тіло сил дорівнює нулю і векторна сума моментів цих сил щодо довільного нерухомого центру дорівнює нулю:
(6.1) ;
(6.2) .

Підкреслимо, що центр O, щодо якого обчислюються моменти сил можна вибирати довільним чином. Точка O може, як належати тілу, так і знаходиться за його межами. Зазвичай центр O вибирають так, щоб зробити обчислення простішими.

Умови рівноваги можна сформулювати і іншим способом.

У рівновазі сума проекцій сил на будь-який напрямок, що задається довільним вектором, дорівнює нулю:
.
Також дорівнює нулю сума моментів сил відносно довільної осі O'O '':
.

Іноді такі умови виявляються більш зручними. Бувають випадки, коли за рахунок вибору осей, можна зробити обчислення простішими.

Центр ваги тіла

Розглянемо одну з найважливіших сил - силу тяжіння. Тут сили не додано в певних точках тіла, а безперервно розподілені за його обсягом. На кожну ділянку тіла з нескінченно малим об'ємом Δ V, Діє сила тяжіння. Тут ρ - щільність речовини тіла, - прискорення вільного падіння.

Нехай - маса нескінченно малого ділянки тіла. І нехай точка A k визначає положення цієї ділянки. Знайдемо величини, що відносяться до сили тяжіння, які входять в рівняння рівноваги (6).

Знайдемо суму сил тяжкості, утворену усіма ділянками тіла:
,
де - маса тіла. Таким чином, суму сил тяжкості окремих нескінченно малих ділянок тіла можна замінити одним вектором сили тяжіння всього тіла:
.

Знайдемо суму моментів сил тяжіння, щодо довільним способом обраного центру O:

.
Тут ми ввели точку C, яка називається центром тяжіння тіла. Положення центра ваги, в системі координат з центром в точці O, визначається за формулою:
(7) .

Отже, при визначенні статичної рівноваги, суму сил тяжкості окремих ділянок тіла можна замінити рівнодіючої
,
прикладеної до центру мас тіла C, положення якого визначається формулою (7).

Положення центра ваги для різних геометричних фігур можна знайти у відповідних довідниках. Якщо тіло має вісь або площина симетрії, то центр ваги розташований на цій осі або площини. Так, центри тяжкості сфери, окружності або кола знаходяться в центрах кіл цих фігур. центри ваги прямокутного паралелепіпеда, Прямокутника або квадрата також розташовані в їх центрах - в точках перетину діагоналей.

Рівномірно (А) і лінійно (Б) розподілене навантаження.

Також зустрічаються подібні силі тяжіння випадки, коли сили не додано в певних точках тіла, а безперервно розподілені по його поверхні або обсягу. Такі сили називають розподіленими силами або.

(Малюнок А). Також, як і в випадку з силою тяжіння, її можна замінити рівнодіючої силою величини, яка додається в центрі ваги епюри. Оскільки на малюнку А епюра є прямокутником, то центр ваги епюри знаходиться в її центрі - точці C: | AC | \u003d | CB |.

(Малюнок В). Її також можна замінити рівнодіючої. Величина рівнодіюча дорівнює площі епюри:
.
Точка прикладання знаходиться в центрі ваги епюри. Центр ваги трикутника, висотою h, знаходиться на відстані від підстави. Тому.

сили тертя

тертя ковзання. Нехай тіло знаходиться на плоскій поверхні. І нехай - сила, перпендикулярна поверхні, з якої поверхня діє на тіло (сила тиску). Тоді сила тертя ковзання паралельна поверхні і спрямована в бік, перешкоджаючи руху тіла. Її найбільша величина дорівнює:
,
де f - коефіцієнт тертя. Коефіцієнт тертя є безрозмірною величиною.

тертя кочення. Нехай тіло округлої форми котиться або може котитися по поверхні. І нехай - сила тиску, перпендикулярна поверхні, з якої поверхня діє на тіло. Тоді на тіло, в точці зіткнення з поверхнею, діє момент сил тертя, що перешкоджає руху тіла. найбільша величина моменту тертя дорівнює:
,
де δ - коефіцієнт тертя кочення. Він має розмірність довжини.

Використана література:
С. М. Тарг, Короткий курс теоретичної механіки, « вища школа», 2010.

20-е изд. - М .: 2010.- 416 с.

У книзі викладені основи механіки матеріальної точки, системи матеріальних точок і твердого тіла в обсязі, відповідному програмами технічних вузів. Наведено багато прикладів і завдань, вирішення яких супроводжуються відповідними методичними вказівками. Для студентів очних і заочних технічних вузів.

формат: pdf

Розмір: 14 Мб

Дивитися, скачати: drive.google

ЗМІСТ
Передмова до тринадцятого виданню 3
введення 5
РОЗДІЛ ПЕРШИЙ СТАТИКА ТВЕРДОГО ТІЛА
Глава I. Основні поняття вихідні положення статей 9
41. Абсолютно тверде тіло; сила. Завдання статики 9
12. Вихідні положення статики »11
$ 3. зв'язки та їх реакції 15
Глава II. Додавання сил. Система сходяться сил 18
§4. Геометрично! Спосіб складання сил. Рівнодіюча сходяться сил, розкладання сил 18
f 5. Проекції сили на вісь і на площину, Аналітичний спосіб завдання і складання сил 20
16. Рівновага системи сходяться сіл_. . . 23
17. Рішення задач статики. 25
Глава III. Момент сили відносно центру. Пара сил 31
i 8. Момент сили відносно центру (або точки) 31
| 9. Пара сил. Момент пари 33
f 10 *. Теореми про еквівалентність і про складання пар 35
Глава IV. Приведення системи сил до центру. Умови рівноваги ... 37
f 11. Теорема про паралельне перенесення сили 37
112. Приведення системи сил до даного центру -. , 38
§ 13. Умови рівноваги системи сил. Теорема про момент рівнодіючої 40
Глава V. Плоска система сил 41
§ 14. Алгебраїчні моменти сили і пари 41
115. Приведення плоскої системи сил до найпростішого виду .... 44
§ 16. Рівновага плоскої системи сил. Випадок паралельних сил. 46
§ 17. Рішення задач 48
118. Рівновага систем тел 63
§ 19 *. Статично визначні н статично невизначені системи тел (конструкції) 56 "
f 20 *. Визначення внутрішніх зусиль. 57
§ 21 *. Розподілені сили 58
Е22 *. Розрахунок плоских ферм 61
Глава VI. тертя 64
! 23. Закони тертя ковзання 64
: 24. Реакції шорсткуватих зв'язків. Кут тертя 66
: 25. Рівновага при наявності тертя 66
(26 *. Тертя нитки про циліндричну поверхню 69
1 27 *. Тертя кочення 71
Глава VII. Просторова система сил 72
§28. Момент сили відносно осі. Обчислення головного вектора
і головного моменту системи сил 72
§ 29 *. Приведення просторової системи сил до найпростішого виду 77
§30. Рівновага довільної просторової системи сил. Випадок паралельних сил
Глава VIII. Центр тяжкості 86
§31. Центр паралельних сил 86
§ 32. Силове поле. Центр ваги твердого тіла 88
§ 33. Координати центрів тяжіння однорідних тіл 89
§ 34. Способи визначення координат центрів ваги тіл. 90
§ 35. Центри ваги деяких однорідних тіл 93
РОЗДІЛ ДРУГИЙ КІНЕМАТИКА ТОЧКИ І ТВЕРДОГО ТІЛА
Глава IX. Кінематика 95
§ 36. Введення в кінематику 95
§ 37. Способи завдання руху точки. . 96
§38. Вектор швидкості точки ,. 99
§ 39. Вектор "ткоренія точки 100
§40. Визначення швидкості та прискорення точки при координатному способі завдання руху 102
§41. Рішення задач кінематики точки 103
§ 42. Осі природного тригранника. Числове значення швидкості 107
§ 43. Дотичне і нормальне прискорення точки 108
§44. Деякі окремі випадки руху точки ПО
§45. Графіки руху, швидкості і прискорення точки 112
§ 46. Рішення задач< 114
§47 *. Швидкість і прискорення точки в полярних координатах 116
Глава X. Поступальний і обертальний руху твердого тіла. . 117
§48. Поступальний рух 117
§ 49. Обертальний рух твердого тіла навколо осі. Кутова швидкість і кутове прискорення 119
§50. Рівномірний і равнопеременное обертання 121
§51. Швидкості і прискорення точок обертового тіла 122
Глава XI. Плоскопараллельное рух твердого тіла 127
§52. Рівняння плоскопараллельного руху (руху плоскої фігури). Розкладання руху на поступальний і обертальний 127
§53 *. Визначення траєкторій точок плоскої фігури 129
§54. Визначення швидкостей точок плоскої фігури 130
§ 55. Теорема про проекціях швидкостей двох точок тіла 131
§ 56. Визначення швидкостей точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центру швидкостей. Поняття про центр ваги 132
§57. Рішення задач 136
§58 *. Визначення прискорень точок плоскої фігури 140
§59 *. Миттєвий центр прискорень "*" *
Глава XII *. Рух твердого тіла навколо нерухомої точки і рух вільного твердого тіла 147
§ 60. Рух твердого тіла, що має одну нерухому точку. 147
§61. Кінематичні рівняння Ейлера 149
§62. Швидкості і прискорення точок тіла 150
§ 63. Загальний випадок руху вільного твердого тіла 153
Глава XIII. Складний рух точки 155
§ 64. Відносне, переносне і абсолютне руху 155
§ 65, Теорема про складання швидкостей »156
§66. Теорема про складання прискорень (теорема Коріолнса) 160
§67. Рішення задач 16 *
Глава XIV *. Складний рух твердого тіла 169
§68. Додавання поступальних рухів 169
§69. Додавання обертань навколо двох паралельних осей 169
§70. Циліндричні зубчасті передачі 172
§ 71. Додавання обертань навколо пересічних осей 174
§72. Додавання поступального і обертального рухів. Гвинтовий рух 176
РОЗДІЛ ТРЕТІЙ ДИНАМІКА ТОЧКИ
Глава XV: Введення в динаміку. Закони динаміки 180
§ 73. Основні поняття і визначення 180
§ 74. Закони динаміки. Задачі динаміки матеріальної точки 181
§ 75. Системи одиниць 183
§76. Основні види сил 184
Глава XVI. Диференційне рівняння руху точки. Рішення задач динаміки точки 186
§ 77. Диференціальні рівняння, руху матеріальної точки №6
§ 78. Рішення першої задачі динаміки (визначення сил по заданому руху) 187
§ 79. Рішення основного завдання динаміки при прямолінійній русі точки 189
§ 80. Приклади розв'язання задач 191
§81 *. Падіння тіла в чинять опір середовищі (в повітрі) 196
§82. Рішення основного завдання динаміки, при криволінійному русі точки 197
Глава XVII. Загальні теореми динаміки точки 201
§83. Кількість руху точки. Імпульс сили 201
§ S4. Теорема про зміну кількості руху точки 202
§ 85. Теорема про зміну моменту кількості руху точки (теорема моментів) "204
§86 *. Рух під дією центральної сили. Закон площ .. 266
§ 8-7. Робота сили. потужність 208
§88. Приклади обчислення роботи 210
§89. Теорема про зміну кінетичної енергії точки. "... 213J
Глава XVIII. Невільний і відносний рух точки 219
§90. Невільний рух точки. 219
§91. Относітельнбе рух точки 223
§ 92. Вплив обертання Землі на рівновагу і рух тіл ... 227
§ 93 *. Відхилення падаючої точки від вертикалі внаслідок обертання Землі "230
Глава XIX. Прямолінійні коливання точки. . . 232
§ 94. Вільні коливання без урахування сил опору 232
§ 95. Вільні коливання при в'язкому опорі (затухаючі коливання) 238
§96. Вимушені коливання. Резонаяс 241
Глава XX *. Рух тіла в полі земного тяжіння 250
§ 97. Рух кинутого тіла в полі тяжіння Землі "250
§98. штучні супутники Землі. Еліптичні траєкторії. 254
§ 99. Поняття про невагомості. "Місцеві системи відліку 257
РОЗДІЛ ЧЕТВЕРТИЙ ДИНАМІКА СИСТЕМИ І ТВЕРДОГО ТІЛА
Г я а в а XXI. Введення в динаміку системи. Моменти інерції. 263
§ 100. Механічна система. Сили зовнішні ж внутрішні 263
§ 101. Маса системи. Центр мас 264
§ 102. Момент інерції тіла відносно осі. Радіус інерції. . 265
$ 103. Моменти інерції тіла щодо паралельних осей. Теорема Гюйгенса 268
§ 104 *. Відцентрові моменти інерції. Поняття про головні осях інерції тіла 269
$ 105 *. Момент інерції тіла відносно довільної осі. 271
Глава XXII. Теорема про рух центру мас системи 273
$ 106. Диференціальні рівняння руху системи 273
§ 107. Теорема про рух центру мас 274
$ 108. Закон збереження руху центру мас 276
§ 109. Рішення задач 277
Глава XXIII. Теорема про зміну кількості рухома системи. . 280
$ АЛЕ. Кількість руху системи 280
§111. Теорема про зміну кількості руху 281
§ 112. Закон збереження кількості руху 282
$ 113 *. Додаток теореми до руху рідини (газу) 284
§ 114 *. Тіло змінної маси. Рух ракети 287
Гдаве XXIV. Теорема про зміну моменту кількості руху системи 290
§ 115. Головний момент кількостей руху системи 290
$ 116. Теорема про зміни головного моменту кількостей руху системи (теорема моментів) 292
$ 117. Закон збереження головного моменту кількостей руху. . 294
$ 118. Рішення задач 295
$ 119 *. Додаток теореми моментів до руху рідини (газу) 298
§ 120. Умови рівноваги механічної системи 300
Глава XXV. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. . 301.
§ 121. Кінетична енергія системи 301
$ 122. Деякі випадки обчислення роботи 305
$ 123. Теорема про зміну кінетичної енергії системи 307
$ 124. Рішення задач 310
$ 125 *. Змішані задачі "314
$ 126. Потенційний силове поле і силова функція 317
$ 127, Потенційна енергія. Закон збереження механічної енергії 320
Глава XXVI. "Додаток загальних теорем динаміки твердого тіла 323
$ 12 &. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі ". 323"
$ 129. Фізичний маятник. Експериментальне визначення моментів інерції. 326
$ 130. Плоскопаралдедиюе рух твердого тіла 328
$ 131*. елементарна теорія гіроскопа 334
$ 132 *. Рух твердого тіла навколо нерухомої точки і рух вільного твердого тіла 340
Глава XXVII. Принцип Даламбера 344
$ 133. Принцип Даламбера для точки і механічної системи. . 344
$ 134. Головний вектор і головний момент сил інерції 346
$ 135. Рішення задач 348
$ 136 *, Дідемяческне реакції, що діють на вісь обертового тіла. Уравновешшвяпне обертових тел 352
Глава XXVIII. Принцип можливих переміщень і загальне рівняння динаміки 357
§ 137. Класифікація зв'язків 357
§ 138. Можливі переміщення системи. Число ступенів свободи. . 358
§ 139. Принцип можливих переміщень 360
§ 140. Рішення задач 362
§ 141. Загальне рівняння динаміки 367
Глава XXIX. Умови рівноваги і рівняння руху системи в узагальнених координатах 369
§ 142. Узагальнені координати та узагальнені швидкості. . . 369
§ 143. Узагальнені сили 371
§ 144. Умови рівноваги системи в узагальнених координатах 375
§ 145. Рівняння Лагранжа 376
§ 146. Рішення задач 379
Глава XXX *. Малі коливання системи біля положення стійкої рівноваги 387
§ 147. Поняття про стійкість рівноваги 387
§ 148. Малі вільні коливання системи з одним ступенем свободи 389
§ 149. Малі затухаючі та вимушені коливання системи з одним ступенем свободи 392
§ 150. Малі зведені коливання системи з двома ступенями свободи 394
Глава XXXI. Елементарна теорія удару 396
§ 151. Основне рівняння теорії удару 396
§ 152. Загальні теореми теорії удару 397
§ 153. Коефіцієнт відновлення при ударі 399
§ 154. Удар тіла про нерухому перешкоду 400
§ 155. Прямий центральний удар двох тіл (удар куль) 401
§ 156. Втрата кінетичної енергії при непружного ударі двох тіл. Теорема Карно 403
§ 157 *. Удар по обертається тілу. Центр удару 405
Покажчик 409

Кінематика.

1. Предмет теоретичної механіки. Основні абстракції.

Теоретична механіка- це наука, в якій вивчаються загальні закони механічного руху і механічної взаємодії матеріальних тіл

механічним рухом називається переміщення тіла по відношенню до іншого тіла, що відбувається в просторі і в часі.

механічним взаємодією називається така взаємодія матеріальних тіл, яке змінює характер їх механічного руху.

статика - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються методи перетворення систем сил в еквівалентні системи і встановлюються умови рівноваги сил, прикладених до твердого тіла.

кінематика - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчається рух матеріальних тіл в просторі з геометричної точки зору, незалежно від діючих на них сил.

динаміка - це розділ механіки, в якому вивчається рух матеріальних тіл в просторі в залежності від діючих на них сил.

Об'єкти вивчення в теоретичної механіки:

матеріальна точка,

система матеріальних точок,

Абсолютно тверде тіло.

Абсолютний простір і абсолютний час незалежні одне від іншого. абсолютна простір - тривимірне, однорідне, нерухоме евклидово простір. абсолютна час - тече від минулого до майбутнього безперервно, воно є однорідним, однаково в усіх точках простору і не залежить від руху матерії.

2. Предмет кінематики.

кінематика - це розділ механіки, в якому вивчаються геометричні властивості руху тіл без урахування їх інертності (тобто маси) і діючих на них сил

Для визначення положення тіла, що рухається (або точки) з тим тілом, по відношенню до якого вивчається рух даного тіла, жорстко, пов'язують якусь систему координат, яка разом з тілом утворює систему відліку.

Основне завдання кінематики полягає в тому, щоб, знаючи закон руху даного тіла (точки), визначити всі кінематичні величини, що характеризують його рух (швидкість і прискорення).

3. Способи завдання руху точки

· природний спосіб

Повинно бути відомо:

Траєкторія руху точки;

Початок і напрямок відліку;

Закон руху точки по заданій траєкторії у формі (1.1)

· координатний спосіб

Рівняння (1.2) - рівняння руху точки М.

Рівняння траєкторії точки М можна отримати, виключивши параметр часу « t » з рівнянь (1.2)

· векторний спосіб

(1.3) Зв'язок між координатним і векторних способами завдання руху точки (1.4)

Зв'язок між координатним і природним способами завдання руху точки

Визначити траєкторію точки, виключивши час з рівнянь (1.2);

-- знайти закон руху точки по траєкторії (скористатися виразом для диференціала дуги)

Після інтегрування отримаємо закон руху точки по заданій траєкторії:

Зв'язок між координатним і векторних способами завдання руху точки визначається рівнянням (1.4)

4. Визначення швидкості точки при векторному способі завдання руху.

Нехай в момент часуtстановище точки визначається радіусом-вектором, а в момент часуt 1 - радіусом-вектором, тоді за проміжок часу точка зробить переміщення.

(1.5) середня швидкість точки, направлений вектор також як і вектор

Швидкість точки в даний момент часу

Щоб отримати швидкість точки в даний момент часу, необхідно зробити граничний перехід

(1.6)

(1.7)

Вектор швидкості точки в даний момент часу дорівнює першої похідної від радіуса-вектора за часом і спрямований по дотичній до траєкторії в даній точці.

(одиниця виміру¾ м / с, км / год)

Вектор середнього прискорення має той же напрямок, що і векторΔ v , Тобто, спрямований в бік угнутості траєкторії.

Вектор прискорення точки в даний момент часу дорівнює першої похідної від вектора швидкості або другій похідній від радіуса-вектора точки по часу.

(одиниця виміру - )

Як розташовується вектор по відношенню до траєкторії точки?

При прямолінійному русі вектор направлений вздовж прямої, по якій рухається точка. Якщо траєкторією точки є плоска крива, то вектор прискорення, також як і вектор ср лежить в площині цієї кривої і спрямований в бік її увігнутості. Якщо траєкторія не є плоскою кривою, то вектор ср буде направлений в сторону угнутості траєкторії і буде лежати в площині, що проходить через дотичну до траєкторії в точціМ і пряму, паралельну дотичній в сусідній точціМ 1 . В межі, коли точкаМ 1 прагнути до М ця площина займає положення так званої дотичної площини. Отже, в загальному випадку вектор прискорення лежить в дотичній площині і спрямований в бік угнутості кривої.

Загальні теореми динаміки системи тіл. Теореми про рух центру мас, про зміну кількості руху, про зміну головного моменту кількості руху, про зміну кінетичної енергії. Принципи Даламбера, і можливих переміщень. Загальне рівняння динаміки. Рівняння Лагранжа.

зміст

Робота, яку здійснює сила , Дорівнює скалярному добутку векторів сили і нескінченно малому переміщенню точки її застосування:
,
тобто добутку модулів векторів F і ds на косинус кута між ними.

Робота, яку здійснює момент сил , Дорівнює скалярному добутку векторів моменту і нескінченно малого кута повороту:
.

принцип Даламбера

Суть принципу Даламбера полягає в тому, щоб завдання динаміки звести до завдань статики. Для цього припускають (або це заздалегідь відомо), що тіла системи мають певні (кутові) прискорення. Далі вводять сили інерції і (або) моменти сил інерції, які рівні за величиною і зворотні у напрямку силам і моментам сил, які за законами механіки створювали б задані прискорення або кутові прискорення

Розглянемо приклад. Шлях тіло здійснює поступальний рух і на нього діють зовнішні сили. Далі ми припускаємо, що ці сили створюють прискорення центру мас системи. По теоремі про рух центру мас, центр мас тіла мав би таке ж прискорення, якби на тіло діяла сила. Далі ми вводимо силу інерції:
.
Після цього завдання динаміки:
.
;
.

для обертального руху надходять аналогічним чином. Нехай тіло обертається навколо осі z і на нього діють зовнішні моменти сил M e zk. Ми припускаємо, що ці моменти створюють кутове прискорення ε z. Далі ми вводимо момент сил інерції M І \u003d - J z ε z. Після цього завдання динаміки:
.
Перетворюється в задачу статики:
;
.

Принцип можливих переміщень

Принцип можливих переміщень застосовується для рішень завдань статики. У деяких завданнях, він дає більш короткий рішення, ніж складання рівнянь рівноваги. Особливо це стосується систем зі зв'язками (наприклад, системи тіл, з'єднані нитками і блоками), що складаються з безлічі тіл

Принцип можливих переміщень.
Для рівноваги механічної системи з ідеальними зв'язками необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт всіх діючих на неї активних сил при будь-якому можливому переміщенні системи дорівнювала нулю.

Можливе переміщення системи - це мале переміщення, при якому не порушуються зв'язку, накладені на систему.

ідеальні зв'язку - це зв'язки, які не здійснюють роботи при переміщенні системи. Точніше, сума робіт, що здійснюються самими зв'язками при переміщенні системи дорівнює нулю.

Загальне рівняння динаміки (принцип Даламбера - Лагранжа)

Принцип Даламбера - Лагранжа - це об'єднання принцип Даламбера з принципом можливих переміщень. Тобто, при вирішенні задачі динаміки, ми вводимо сили інерції і зводимо задачу до задачі статики, яку вирішуємо за допомогою принципу можливих переміщень.

Принцип Даламбера - Лагранжа.
При русі механічної системи з ідеальними зв'язками в кожен момент часу сума елементарних робіт всіх прикладених активних сил і всіх сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю:
.
Це рівняння називають загальним рівнянням динаміки.

рівняння Лагранжа

Узагальнені координати q 1, q 2, ..., q n - це сукупність n величин, які однозначно визначають положення системи.

Число узагальнених координат n збігається з числом ступенів свободи системи.

узагальнені швидкості - це похідні від узагальнених координат за часом t.

Узагальнені сили Q 1, Q 2, ..., Q n .
Розглянемо можливе переміщення системи, при якому координата q k отримає переміщення δq k. Решта координати залишаються незмінними. Нехай δA k - це робота, що здійснюються зовнішніми силами при такому переміщенні. тоді
δA k \u003d Q k δq k, або
.

Якщо, при можливому переміщенні системи, змінюються всі координати, то робота, що здійснюються зовнішніми силами при такому переміщенні, має вигляд:
δA \u003d Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Тоді узагальнені сили є приватними похідними від роботи по переміщенням:
.

для потенційних сил з потенціалом Π,
.

рівняння Лагранжа - це рівняння руху механічної системи в узагальнених координатах:

Тут T - кінетична енергія. Вона є функцією від узагальнених координат, швидкостей і, можливо, часу. Тому її приватна похідна також є функцією від узагальнених координат, швидкостей і часу. Далі потрібно врахувати, що координати і швидкості є функціями від часу. Тому для знаходження повної похідної за часом потрібно застосувати правило диференціювання складної функції:
.

Використана література:
С. М. Тарг, Короткий курс теоретичної механіки, «Вища школа», 2010.