Золотий перетин равлик. Числа Фібоначчі: ненудні математичні факти

Числа Фібоначчі - елементи числової послідовності.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, в якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел. Назва по імені середньовічного математика Леонардо Пізанського (або Фібоначчі), який жив і працював торговцем і математиком в італійському місті Пізі. Він один із найславетніших європейських вчених свого часу. Серед його найбільших досягнень - запровадження арабських цифр, які замінили римські. Fn \u003d Fn-1 + Fn-2

Математичний ряд асимптотично (тобто наближаючись все повільніше і повільніше) прагне до постійного відношенню. Однак це ставлення ірраціонально; воно має нескінченну, непередбачувану послідовність десяткових значень, які вишиковуються після нього. Воно ніколи не може бути виражено точно. Якщо кожне число, яке є частиною ряду, розділити на попереднє значення (наприклад, 13- ^ 8 або 21 -з), результат дії виразиться в відношенні, яке коливається навколо ірраціонального числа 1,61803398875, трохи більше або трохи менше сусідніх відносин ряду. Ставлення ніколи, до нескінченності, що не буде точним до останньої цифри (навіть при використанні самих потужних комп'ютерів, створених в наш час). Заради стислості, будемо використовувати в якості відносини Фібоначчі число 1,618 і просимо читачів не забувати про цю похибки.

Числа Фібоначчі мають важливе значення і під час виконання аналізу Алгоритм Евкліда для визначення найбільшого спільного дільника двох чисел. Числа Фібоначчі відбуваються в формулу про діагоналі трикутником Паскаля (біноміальних коефіцієнтів).

Числа Фібоначчі виявилися пов'язаними з «золотим перетином».

Про золотий перетин знали ще в стародавньому Єгипті і Вавилоні, в Індії і Китаї. Що ж таке «золотий перетин»? Відповідь невідомий досі. Числа Фібоначчі дійсно актуальні для теорії практики в наш час. Підйом значущості стався в 20 столітті і триває досі. Використання чисел Фібоначчі в економіці і інформатики та привернуло маси людей до їх вивчення.

Методика мого дослідження полягала у вивченні спеціалізованої літератури та узагальненні отриманої інформації, а так само проведення власних досліджень і виявлений властивостей чисел та сфери їх використання.

В ході наукових дослідження визначила саме поняття чисел Фібоначчі, їх властивості. Так само я з'ясувала цікаві закономірності в живій природі, безпосередньо в будові насіння соняшнику.

На соняшнику насіння шикуються в спіралі, причому кількості спіралей, що йдуть в іншу сторону, різні - вони є послідовними числами Фібоначчі.

На цьому соняшнику 34 і 55.

Те ж спостерігається і на плодах ананаса, де спіралей буває 8 і 14. З унікальною властивістю чисел Фібоначчі пов'язані листя кукурудзи.

Дробу виду a / b, відповідні гвинтоподібно розташуванню листя ніг стеблинки рослини, часто є відносинами послідовних чисел Фібоначчі. Для ліщини це відношення дорівнює 2/3, для дуба-3/5, для тополі 5/8, для верби 8/13 і т. Д.

Розглядаючи розташування листя на стеблі рослин можна помітити, що між кожними парами листя (А і С) третя розташоване в місці золотого перерізу (В)

Ще цікава властивість числа Фібоначчі є, що твір і приватне двох будь-яких різних чисел Фібоначчі, відмінних від одиниці, ніколи не є числом Фібоначчі.

В результаті дослідження я прийшла до наступних висновків: числа Фібоначчі - унікальна арифметична прогресія, Що з'явилася в 13 столітті нашої ери. Дане прогресія не втрачає своєї актуальності, що і підтвердилося в ході моїх досліджень. Число Фібоначчі зустрічаються не те і в програмуванні та економічних прогнозах, в живопису, архітектурі і музиці. Картини таких відомих художників, як Леонардо да Вінчі, Мікеланджело, Рафаеля і Боттічеллі приховують в собі магію золотого перетину. Навіть І. І. Шишкін використовував золотий перетин в своїй картині «Сосновий гай».

У це складно повірити, але золотий перетин зустрічається і в музичних творах таких великих композиторів, як Моцарт, Бетховен, Шопен і т. Д.

Числа Фібоначчі зустрічається і в архітектурі. Наприклад, золотий перетин використовувалося при будівництві Парфенона і собору Паризької Богоматері

Я виявила, що Числа Фібоначчі використовуються і в наших краях. Наприклад, лиштви будинків, фронтони.

Ви чули коли-небудь, що математику називають «царицею всіх наук»? Чи згодні ви з таким твердженням? Поки математика залишається для вас набором нудних завдань в підручнику, навряд чи можна відчути красу, універсальність і навіть гумор цієї науки.

Але є в математиці такі теми, які допомагають зробити цікаві спостереження за звичайними для нас речами і явищами. І навіть спробувати проникнути за завісу таємниці створення нашого Всесвіту. У світі є цікаві закономірності, які можуть бути описані за допомогою математики.

Представляємо вам числа Фібоначчі

числами Фібоначчі називають елементи числової послідовності. У ній кожне наступне число в ряду виходить підсумовуванням двох попередніх чисел.

Приклад послідовності: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Записати це можна так:

F 0 \u003d 0, F 1 \u003d 1, F n \u003d F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Можна починати ряд чисел Фібоначчі і з негативних значень n. При цьому послідовність в такому випадку є двосторонньою (тобто охоплює негативні і позитивні числа) І прямує до нескінченності в обох напрямках.

Приклад такої послідовності: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Формула в цьому випадку виглядає так:

F n \u003d F n + 1 - F n + 2 або інакше можна так: F -n \u003d (-1) n + 1 Fn.

Те, що ми зараз знаємо під назвою «числа Фібоначчі», було відомо древнеиндийским математикам задовго до того, як ними стали користуватися в Європі. А з цією назвою взагалі один суцільний історичний анекдот. Почнемо з того, що сам Фібоначчі при житті ніколи не називав себе Фібоначчі - це ім'я стали застосовувати до Леонардо Пізанського тільки через кілька століть після його смерті. Але давайте про все по порядку.

Леонардо Пізанський, він же Фібоначчі

Син торговця, який став математиком, а згодом отримав визнання нащадків в якості першого великого математика Європи періоду Середніх століть. Не в останню чергу завдяки числах Фібоначчі (які тоді, нагадаємо, ще так не називалися). Які він на початку XIII століття описав у своїй праці «Liber abaci» ( «Книга абака», 1202 рік).

Подорожую разом з батьком на Схід, Леонардо вивчав математику у арабських вчителів (а вони в ті часи були в цій справі, та й у багатьох інших науках, одними з кращих фахівців). Праці математиків Античності і Стародавній Індії він прочитав в арабських перекладах.

Як випливає осмисливши всі прочитане і підключивши власний допитливий розум, Фібоначчі написав кілька наукових трактатів з математики, включаючи вже згадану вище «Книгу абака». Крім неї створив:

«Practica geometriae» ( «Практика геометрії», 1220 рік);
«Flos» ( «Квітка», 1225 рік - дослідження, присвячене кубічним рівнянням);
«Liber quadratorum» ( «Книга квадратів», 1225 рік - завдання про невизначених квадратних рівняннях).

Був великим любителем математичних турнірів, тому в своїх трактатах багато уваги приділяв розбору різних математичних задач.

Про життя Леонардо залишилося вкрай мало біографічних відомостей. Що ж стосується імені Фібоначчі, під яким він увійшов в історію математики, то воно закріпилося за ним тільки в XIX столітті.

Фібоначчі і його завдання

Після Фібоначчі залишилася велика кількість завдань, які були дуже популярні серед математиків і в наступні століття. Ми з вами розглянемо задачу про кроликів, в рішенні якої і використовуються числа Фібоначчі.

Кролики - не тільки цінне хутро

Фібоначчі поставив такі умови: існує пара новонароджених кроликів (самець і самка) такої цікавої породи, що вони регулярно (починаючи з другого місяця) дають потомство - завжди одну нову пару кроликів. Теж, як можна здогадатися, самця і самку.

Ці умовні кролики поміщені в замкнутий простір і з захопленням розмножуються. Обумовлюється також, що жоден кролик не вмирає від якої-небудь загадкової кролячій хвороби.

Треба обчислити, скільки кроликів ми отримаємо через рік.

На початку 1 місяця у нас 1 пара кроликів. В кінці місяця вони спаровуються.
Другий місяць - у нас вже 2 пари кроликів (у пара - батьки + 1 пара - їх потомство).
Третій місяць: Перша пара народжує нову пару, друга пара спаровується. Разом - 3 пари кроликів.
Четвертий місяць: Перша пара народжує нову пару, друга пара часу не втрачає і теж народжує нову пару, третя пара поки тільки злучається. Разом - 5 пар кроликів.

Число кроликів в n-ий місяць \u003d число пар кроликів з попереднього місяця + число новонароджених пар (їх стільки ж, скільки пар кроликів було за 2 місяці до справжнього моменту). І все це описується формулою, яку ми вже навели вище: F n \u003d F n-1 + F n-2.

Таким чином, отримуємо рекуррентную (пояснення про рекурсії - нижче) числову послідовність. В якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Продовжувати послідовність можна довго: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Але оскільки ми задали конкретний термін - рік, нас цікавить результат, отриманий на 12-му «ходу». Тобто 13-ий член послідовності: 377.

Відповідь в завданню: 377 кроликів буде отримано при дотриманні всіх заявлених умов.

Одне з властивостей послідовності чисел Фібоначчі дуже цікаво. Якщо взяти дві послідовні пари з ряду і розділити більше число на менше, результат буде поступово наближатися до золотого перетину (Прочитати про нього докладніше ви зможете далі в статті).

Якщо говорити мовою математики, «Межа відносин a n + 1до a nдорівнює золотого перетину ».

Ще завдання з теорії чисел

Знайдіть число, яке можна розділити на 7. Крім того, якщо розділити його на 2, 3, 4, 5, 6, в залишку вийде одиниця.
Знайдіть квадратне число. Про нього відомо, що якщо додати до нього 5 або відняти 5, знову вийде квадратне число.

Відповіді на ці завдання ми пропонуємо вам пошукати самостійно. Свої варіанти ви можете залишати нам в коментарях до цієї статті. А ми потім підкажемо, вірними чи були ваші обчислення.

Пояснення про рекурсії

рекурсія - визначення, опис, зображення об'єкта або процесу, в якому міститься сам цей об'єкт або процес. Тобто, по суті, об'єкт або процес є частиною самого себе.

Рекурсія знаходить широке застосування в математиці і інформатиці, і навіть в мистецтві і масовій культурі.

Числа Фібоначчі визначаються за допомогою рекурентного співвідношення. для числа n\u003e 2 n-е число дорівнює (N - 1) + (n - 2).

Пояснення про золотий переріз

Золотий перетин - розподіл цілого (наприклад, відрізка) на такі частини, які співвідносяться з наступним принципом: Велика частина відноситься до меншої так само, як і вся величина (наприклад, сума двох відрізків) до більшої частини.

Перша згадка про золотий переріз можна зустріти у Евкліда в його трактаті «Начала» (приблизно 300 років до н.е.). У контексті побудови правильного прямокутника.

Звичний нам термін в 1835 році ввів в обіг німецький математик Мартін Ом.

Якщо описувати золотий перетин приблизно, воно являє собою пропорційне ділення на дві нерівні частини: приблизно 62% і 38%. У числовому вираженні золотий перетин являє собою число 1,6180339887 .

Золотий перетин знаходить практичне застосування в образотворчому мистецтві (Картини Леонардо да Вінчі та інших живописців Ренесансу), архітектурі, кінематографі ( «Броненосець« Потьомкін »С. Езенштейна) та інших областях. Довгий час вважалося, що золотий перетин - найбільш естетична пропорція. Таку думку популярно і сьогодні. Хоча за результатами досліджень візуально більшість людей не сприймають таку пропорцію найбільш вдалим варіантом і вважають занадто витягнутої (непропорційною).

довжина відрізка з = 1, а = 0,618, b = 0,382.
ставлення з до а = 1, 618.
ставлення здо b = 2,618

А тепер повернемося до чисел Фібоначчі. Візьмемо два наступних один за одним члена з його послідовності. Розділимо більше число на менше і отримаємо приблизно 1,618. А тепер задіємо той же більшу кількість і наступний за ним член ряду (тобто ще більше число) - їхнє ставлення рано 0,618.

Ось приклад: 144, 233, 377.

233/144 \u003d 1,618 і 233/377 \u003d 0,618

До речі, якщо ви спробуєте виконати той же експеримент з числами з початку послідовності (наприклад, 2, 3, 5), нічого не вийде. Ну майже. Правило золотого перетину майже не дотримується для початку послідовності. Але зате в міру просування вздовж ряду і зростання чисел працює відмінно.

І для того, щоб обчислити весь ряд чисел Фібоначчі, досить знати три члена послідовності, що йдуть один за одним. Можете переконатися в цьому самі!

Золотий прямокутник і спіраль Фібоначчі

Ще одну цікаву паралель між числами Фібоначчі і золотим перетином дозволяє провести так званий «золотий прямокутник»: його боку співвідносяться в пропорції 1,618 до 1. Але ж ми вже знаємо, що за число 1,618, вірно?

Наприклад, візьмемо два послідовних члена ряду Фібоначчі - 8 і 13 - і побудуємо прямокутник з наступними параметрами: ширина \u003d 8, довжина \u003d 13.

А потім розіб'ємо великий прямокутник на менші. Обов'язкова умова: довжини сторін прямокутників повинні відповідати числам Фібоначчі. Тобто довжина сторони більшого прямокутника повинна бути дорівнює сумі сторін двох менших прямокутників.

Так, як це виконано на цьому малюнку (для зручності фігури підписані латинськими літерами).

До речі, будувати прямокутники можна і в зворотному порядку. Тобто почати побудову з квадратів зі стороною 1. До яких, керуючись озвученим вище принципом, добудовуються фігури зі сторонами, рівними числам Фібоначчі. Теоретично продовжувати так можна нескінченно довго - адже і ряд Фібоначчі формально нескінченний.

Якщо з'єднати плавною лінією кути отриманих на малюнку прямокутників, отримаємо логарифмічну спіраль. Вірніше, її окремий випадок - спіраль Фібоначчі. Вона характеризується, зокрема, тим, що не має меж і не змінює форми.

Подібна спіраль часто зустрічається в природі. Раковини молюсків - один з найяскравіших прикладів. Більш того, спіральну форму мають деякі галактики, які можна розглядати з Землі. Якщо ви звертаєте увагу на прогнози погоди по телевізору, то могли помітити, що подібну спіральну форму мають циклони при зйомці їх із супутників.

Цікаво, що і спіраль ДНК підпорядковується правилу золотого перетину - відповідну закономірність можна угледіти в інтервалах її вигинів.

Такі дивовижні «збіги» не можуть не дивувати і не породжувати розмови про якийсь єдиному алгоритмі, якому підпорядковуються всі явища в житті Всесвіту. Тепер ви розумієте, чому ця стаття називається саме так? І двері у які дивовижні світи здатна відкрити для вас математика?

Числа Фібоначчі в живій природі

Зв'язок чисел Фібоначчі і золотого перетину наводить на думки про цікавих закономірності. Настільки цікавих, що виникає спокуса спробувати відшукати подібні числах Фібоначчі послідовності в природі і навіть в ході історичних подій. І природа дійсно дає привід для подібного роду припущень. Але чи всі в нашому житті можна пояснити і описати за допомогою математики?

Приклади живої природи, які можуть бути описані за допомогою послідовності Фібоначчі:

порядок розташування листя (і гілок) у рослин - відстані між ними співвідносяться з числами Фібоначчі (філлотаксису);

розташування насіння соняшнику (насіння розташовуються двома рядами спіралей, закручених в різному напрямку: один ряд за годинниковою стрілкою, інший - проти);

розташування лусочок соснових шишок;
пелюстки квітів;
осередки ананаса;
співвідношення довжин фаланг пальців на людській руці (приблизно) і т.д.

Завдання з комбінаторики

Числа Фібоначчі знаходять широке застосування при вирішенні задач з комбінаторики.

комбінаторика - це розділ математики, який займається дослідженням вибірки нікого заданого числа елементів з позначеного безлічі, перерахуванням і т.п.

Давайте розглянемо приклади завдань з комбінаторики, розрахованих на рівень старшої школи (джерело - http://www.problems.ru/).

Завдання №1:

Льоша піднімається по сходах з 10 сходинок. За один раз він стрибає вгору або на одну сходинку, або на дві сходинки. Скількома способами Льоша може піднятися по сходах?

Число способів, якими Льоша може піднятися на сходи з n сходинок, позначимо а n.Звідси слідує що a 1 = 1, a 2 \u003d 2 (адже Льоша стрибає або на одну, або через дві сходинки).

Обумовлено також, що Льоша стрибає по сходах з n\u003e 2 сходинок. Припустимо, з першого разу він стрибнув на дві сходинки. Значить, за умовою задачі, йому потрібно застрибнути ще на n - 2 сходинки. Тоді кількість способів закінчити підйом описується як a n-2. А якщо вважати, що в перший раз Льоша стрибнув тільки на одну сходинку, тоді кількість способів закінчити підйом опишемо як a n-1.

Звідси отримуємо таке рівність: a n \u003d a n-1 + a n-2 (Виглядає знайомо, чи не так?).

Раз ми знаємо a 1і a 2і пам'ятаємо, що сходинок за умовою завдання 10, обчислювальні по порядку всі а n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Відповідь: 89 способів.

Завдання №2:

Потрібно знайти кількість слів довжиною в 10 букв, які складаються тільки з букв «а» і «б» і не повинні містити дві літери «б» поспіль.

позначимо за a n кількість слів довжиною в nбукв, які складаються тільки з букв «а» і «б» і не містять двох букв «б» поспіль. значить, a 1= 2, a 2= 3.

У послідовності a 1, a 2, <…>, a nми висловимо кожен наступний її член через попередні. Отже, кількість слів довжиною в nбукв, які до того ж не містять подвоєною літери «б» і починаються з літери «а», це a n-1. А якщо слово довжиною в nбукв починається з букви «б», логічно, що наступна буква в такому слові - «а» (адже двох «б» бути не може за умовою завдання). Отже, кількість слів довжиною в nбукв в цьому випадку позначимо як a n-2. І в першому, і в другому випадку далі може слідувати будь-яке слово (довжиною в n - 1і n - 2 букв відповідно) без подвоєних «б».

Ми змогли обгрунтувати, чому a n \u003d a n-1 + a n-2.

обчислимо тепер a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8\u003d 144. І отримаємо знайому нам послідовність Фібоначчі.

Відповідь: 144.

Завдання №3:

Уявіть, що існує стрічка, розбита на клітини. Вона йде вправо і триває нескінченно довго. На першу клітку стрічки помістимо коника. На який би з клітин стрічки він не знаходився, він може переміщатися тільки вправо: чи на одну клітку, або на дві. Скільки існує способів, якими коник може дострибати від початку стрічки до n-ої клітини?

Позначимо число способів переміщення коника по стрічці до n-ої клітини як a n. В такому випадку a 1 = a 2 \u003d 1. Також в n + 1-у клітку коник може потрапити або з n-ої клітини, або перестрибнувши її. Звідси a n + 1 = a n - 1 + a n. Звідки a n = F n - 1.

відповідь: F n - 1.

Ви можете і самі скласти подібні завдання і спробувати вирішити їх на уроках математики разом з однокласниками.

Числа Фібоначчі в масовій культурі

Зрозуміло, таке незвичайне явище, Як числа Фібоначчі, не може не привертати увагу. Є все-таки в цій строго вивіреної закономірності щось привабливе і навіть таємниче. Не дивно, що послідовність Фібоначчі так чи інакше «засвітилася» в багатьох творах сучасної масової культури самих різних жанрів.

Ми вам розповімо про деякі з них. А ви спробуйте пошукати самі ще. Якщо знайдете, поділіться з нами в коментарях - нам теж цікаво!

Числа Фібоначчі згадуються в бестселері Дена Брауна «Код да Вінчі»: послідовність Фібоначчі служить кодом, за допомогою якого головні герої книги відкривають сейф.
В американському фільмі 2009 року «Пан Ніхто» в одному з епізодів адреса будинку являє собою частину послідовності Фібоначчі - 12358. Крім цього, в іншому епізоді головний герой повинен зателефонувати за телефонним номером, який по суті - та ж, але злегка перекручена (зайва цифра після цифри 5) послідовність: 123-581-1321.
У серіалі 2012 року «Зв'язок» головний герой, хлопчик, що страждає аутизмом, здатний розрізняти закономірності в відбуваються в світі події. В тому числі за допомогою чисел Фібоначчі. І управляти цими подіями також за допомогою чисел.
Розробники java-ігри для мобільних телефонів Doom RPG помістили на одному з рівнів секретну двері. Хто відкриває її код - послідовність Фібоначчі.
У 2012 році російська рок-група «Сплін» випустила концептуальний альбом «Обман зору». Восьмий трек носить назву «Фібоначчі». У віршах лідера групи Олександра Васильєва обіграна послідовність чисел Фібоначчі. На кожен з дев'яти послідовних членів припадає відповідна кількість рядків (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Вирушив у дорогу склад

1 Клацнув один суглоб

1 Здригнувся один рукав

2 Все, діставайте стафф

Все, діставайте стафф

3 Проханням про окропі

Поїзд йде до річки

Поїзд йде в тайзі<…>.

лимерик (короткий вірш певної форми - зазвичай це п'ять рядків, з певною схемою римування, жартівливе за змістом, в якому перша і остання рядок повторюються або частково дублюють один одного) Джеймса Ліндона також використовує відсилання до послідовності Фібоначчі як гумористичного мотиву:

Щільна їжа дружин Фібоначчі

Тільки на користь їм йшла, не інакше.

Важили дружини, згідно чутці,

Кожна - як попередні дві.

підводимо підсумки

Ми сподіваємося, що змогли розповісти вам сьогодні багато цікавого і корисного. Ви, наприклад, тепер можете пошукати спіраль Фібоначчі в навколишньому вас природі. Раптом саме вам вдасться розгадати «секрет життя, Всесвіту і взагалі».

Користуйтесь формулою для чисел Фібоначчі при вирішенні задач з комбінаторики. Ви можете спиратися на приклади, описані в цій статті.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Останнім часом, працюючи в індивідуальних і групових процесах з людьми, я повертався до думок про об'єднання всіх процесів (кармічних, психічних, фізіологічних, духовних, трансформаційних і ін.) В одне.

Друзі за завісою все ширше розкривали образ багатомірного Людини і взаємозв'язку всього у всьому.

Внутрішнє спонукання підштовхнуло мене повернутися до старих досліджень з цифрами і ще раз переглянути книгу Друнвало Мельхіседека " стародавня таємниця квітки життя ".

В цей час в кінотеатрах показували фільм "Код да Вінчі". Я не маю наміру обговорювати якість, цінність і істинність цього фільму. Але момент з кодом, коли цифри стали стрімко прокручуватися, став для мене одним з ключових в цьому фільмі.

Інтуїція підказувала мені про те, що варто звернути увагу на числову послідовність Фібоначчі і Золотий Перетин. Якщо ви заглянете в Інтернет з метою знайти що-небудь про Фібоначчі, то на вас обрушиться лавина інформації. Ви дізнаєтеся, що про цю послідовності знали в усі часи. Вона представлена \u200b\u200bв природі і космосі, в техніці і науці, в архітектурі і живопису, в музиці і пропорціях в тілі людини, в ДНК і РНК. Багато дослідників цієї послідовності прийшли до думки, що ключові події в житті людини, держави, цивілізації також підпорядковані закону золотого перетину.

Створюється враження, що Людині дана фундаментальна підказка.

Тоді виникає думка, що Людина усвідомлено може застосувати принцип Золотого Перетини для відновлення здоров'я та корекції долі, тобто упорядкування процесів, що відбуваються у власній всесвіту, розширення Свідомості, повернення в Добробут.

Разом згадаємо послідовність Фібоначчі:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

Кожне наступне число утворюється шляхом складання двох попередніх:

1 + 1 \u003d 2, 1 + 2 \u003d 3, 2 + 3 \u003d 5 і т.д.

Тепер я пропоную кожне число ряду привести до однієї цифри: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

Ось що у нас вийшло:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

послідовність з 24 чисел, яка знову повторюється з 25-го:

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

Чи не здається вам дивним або закономірним, що

в добі - 24 години,
космічних будинків - 24,
ниток ДНК - 24,
24 старця з Бого-Зірки Сіріус,
повторювана послідовність в ряді Фібоначчі - 24 цифри.

Якщо вийшла послідовність записати в такий спосіб,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

то ми побачимо, що 1-е і 13-е число послідовності, 2-е і 14-е, 3-е і 15-е, 4-е і 16-е ... 12-е і 24-е в сумі дають 9 .

3 3 6 9 6 6 3 9

При тестуванні цих числових рядів у нас вийшов:

Дитячий Принцип;
Батьківський Принцип;
Материнський Принцип;
Принцип Єдності.

Матриця Золотого Перетини

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Практичне застосування ряду Фібоначчі

Один мій друг висловив намір індивідуально попрацювати з ним на тему розвитку своїх можливостей і здібностей.

Несподівано на самому початку в процес прийшов Саї Баба і запросив слідувати за ним.

Ми стали підніматися вгору всередині Божественної Монада одного і, вийшовши з неї через Причинне Тіло, опинилися в іншій реальності на рівні Космічного Будинки.

Хто вивчав праці Марка і Елізабет Клер Профет, знають вчення про Космічних Часах, яке їм передала Мати Марія.

На рівні Космічного Будинки Юрій побачив коло, що володіє внутрішнім центром з 12-ю стрілками.

Старець, який зустрів нас на цьому рівні, сказав, що перед нами Божественні Годинники і 12-ть стрілок уособлюють 12-ть (24) Проявів Божественних Аспектів ... (можливо Творців).

Що стосується Космічних Часів, то вони розташовувалися під Божественними за принципом енергетичної вісімки.

- В якому режимі по відношенню до тебе знаходяться Божественні Годинники?

- Стрілки у Часів стоять, немає руху.До мене приходять зараз думки про те, що багато еонів років тому я відмовився від Божественного Свідомості і пішов іншим шляхом, шляхом Мага. Всі мої магічні артефакти і амулети, які у мене і в мені скупчилися за безліч втілень, на цьому рівні виглядають як дитячі брязкальця. На тонкому плані вони являють собою образ магічних енергетичних одягу.

- Завершено.Проте, я благословляю мій магічний досвід.Проживання цього досвіду щиро спонукало мене повернутися до першоджерела, до цілісності.Мені пропонують зняти з себе магічні артефакти і встати в центр Часів.

- Що необхідно зробити, щоб активувати Божественні Годинники?

- З'явився знову Саї Баба і пропонує висловити намір про з'єднання Срібної Струни з Годинами. Ще він каже, що у тебе є якийсь числовий ряд. Він - ключ до активації. Перед внутрішнім поглядом виникає образ Людини Леонарда да Вінчі.

- 12 разів.

- Прошу богоцентріровать весь процес і направляю дію енергії числового ряду на активацію Божественних Часів.

Читаю вголос 12 раз

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

У процесі читання стрілки на Часах пішли.

За срібною струні пішла енергія, яка з'єднала всі рівні Юріної Монада, а також - земну і небесну енергії ...

Найнесподіваніше в цьому процесі було те, що на Часах з'явилися чотири Сутності, які є деякими частинами Єдиного Цілого з Юрою.

Під час спілкування з'ясувалося, що колись сталося поділ Центральної Душі, і кожна частина вибрала свою область у всесвіті для реалізації.

Було прийнято рішення про інтеграцію, що і сталося в центрі Божественних Часів.

Результатом цього процесу стало створення на цьому рівні Спільного Кристала.

Після цього, я згадав, що Саї Баба якось говорив про якийсь Плані, який передбачає з'єднання спочатку двох сутностей в одне, потім чотирьох і так далі за бінарним принципом.

Безумовно, що цей числовий ряд не є панацеєю. Це всього лише інструмент, що дозволяє швидко провести необхідну роботу з людиною, співналаштуватися його вертикально з різними рівнями Буття.

Чи не втратьте. Підпишіться і отримайте посилання на статтю собі на пошту.

Вам, звичайно ж, знайома ідея про те, що математика є найголовнішою з усіх наук. Але багато хто може з цим не погодитися, тому що часом здається, що математика - це лише завдання, приклади і тому подібна нудьга. Однак математика може запросто показати нам знайомі речі з абсолютно незнайомою боку. Мало того - вона навіть може розкрити таємниці світобудови. Як? Давайте звернемося до чисел Фібоначчі.

Що таке числа Фібоначчі?

Числа Фібоначчі є елементами числової послідовності, де кожне наступне за допомогою підсумовування двох попередніх, наприклад: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ... Як правило, записується така послідовність формулою: F 0 \u003d 0, F 1 \u003d 1, F n \u003d F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

Числа Фібоначчі можуть починатися і з негативних значень «n», але в такому випадку послідовність буде двосторонньою - вона буде охоплювати і позитивні і негативні числа, Прагнучи до нескінченності в двох напрямках. Прикладом такої послідовності може послужити: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, а формула буде: F n \u003d F n + 1 - F n + 2 або ж F -n \u003d (-1) n + 1 Fn.

Творцем чисел Фібоначчі є один з перших математиків Європи середніх віків по імені Леонардо Пізанський, якого, власне і знають, як Фібоначчі - це прізвисько він отримав через багато років після своєї смерті.

За життя Леонардо Пізанський дуже любив математичні турніри, у зв'язку з чим в своїх роботах ( «Liber abaci» / «Книга абака», 1 202; «Practica geometriae» / «Практика геометрії», 1220, «Flos» / «Квітка», 1225 рік - дослідження на тему кубічних рівнянь і «Liber quadratorum» / «Книга квадратів», 1225 - завдання про невизначених квадратних рівняннях) дуже часто розбирав всілякі математичні завдання.

Про життєвому шляху самого Фібоначчі відомо вкрай мало. Але достеменно відомо те, що його завдання користувалися величезною популярністю в математичних колах в наступні століття. Одну з таких ми і розглянемо далі.

Завдання Фібоначчі з кроликами

Для виконання завдання автором були поставлені такі умови: є пара новонароджених кроленят (самка і самець), що відрізняються цікавою особливістю - з другого місяця життя вони виробляють нову пару кроликів - теж самку і самця. Кролики знаходяться в замкнутому просторі і постійно розмножуються. І жоден кролик не вмирає.

завдання: Визначити кількість кроликів через рік.

Рішення:

У нас є:

Одна пара кроликів на початку першого місяця, яка злучається в кінці місяця
Дві пари кроликів у другому місяці (перша пара і потомство)
Три пари кроликів в третьому місяці (перша пара, потомство першої пари з минулого місяця і нове потомство)
П'ять пар кроликів в четвертому місяці (перша пара, перше і друге потомство першої пари, третє потомство першої пари і перше потомство другої пари)

Кількість кроликів в місяць «n» \u003d кількості кроликів минулого місяця + кількість нових пар кроликів, іншими словами, вищеназвана формула: F n \u003d F n-1 + F n-2. Звідси виходить рекуррентная числова послідовність (Про рекурсії ми скажемо далі), де кожне нове число відповідає сумі двох попередніх чисел:

1 місяць: 1 + 1 \u003d 2

2 місяць: 2 + 1 \u003d 3

3 місяць: 3 + 2 \u003d 5

4 місяць: 5 + 3 \u003d 8

5 місяць: 8 + 5 \u003d 13

6 місяць: 13 + 8 \u003d 21

7 місяць: 21 + 13 \u003d 34

8 місяць: 34 + 21 \u003d 55

9 місяць: 55 + 34 \u003d 89

10 місяць: 89 + 55 \u003d 144

11 місяць: 144 + 89 \u003d 233

12 місяць: 233+ 144 \u003d 377

І ця послідовність може тривати нескінченно довго, але з огляду на, що завданням є дізнатися кількість кроликів після закінчення року, виходить 377 пар.

Тут важливо зазначити, що одним з властивостей чисел Фібоначчі є те, що якщо зіставити дві послідовні пари, а потім розділити велику на меншу, то результат буде рухатися у напрямку до золотого перетину, про який ми також скажемо нижче.

Поки ж пропонуємо вам ще два завдання по числах Фібоначчі:

Визначити квадратне число, про який відомо тільки, що якщо відняти від нього 5 або додати до нього 5, то знову вийде квадратне число.
Визначити число, що ділиться на 7, але за умови, що поділивши його на 2, 3, 4, 5 або 6 в залишку буде 1.

Такі завдання не тільки стануть відмінним способом розвитку розуму, а й цікавим дозвіллям. Про те, як вирішуються ці завдання, ви також можете дізнатися, пошукавши інформацію в Інтернеті. Ми ж не будемо загострювати на них увагу, а продовжимо нашу розповідь.

Що ж таке рекурсія і золотий перетин?

рекурсія

Рекурсія є описом, визначенням або зображенням будь-якого об'єкта або процесу, в якому є сам цей об'єкт або процес. Інакше кажучи, об'єкт або процес можна назвати частиною самого себе.

Рекурсія широко використовується не тільки в математичній науці, але також і в інформатиці, масовій культурі і мистецтві. Застосовується до числам Фібоначчі, можна сказати, що якщо число дорівнює «n\u003e 2», то «n» \u003d (n-1) + (n-2).

Золотий перетин

Золотий перетин є поділом цілого на частини, співвідносні за принципом: більше відноситься до меншого аналогічно тому, як загальна величина відноситься до більшої частини.

Вперше про золотий переріз згадує Евклід (трактат «Начала» прим. 300 років до н.е.), кажучи і побудові правильного прямокутника. Однак більш звичне поняття було введено німецьким математиком Мартіном Омом.

Приблизно золотий перетин можна представити в якості пропорційного розподілу на дві різні частини, наприклад, на 38% і 68%. Чисельне ж вираз золотого перетину дорівнює приблизно +1,6180339887.

На практиці золотий перетин використовується в архітектурі, образотворчому мистецтві (подивіться роботи), кіно та інших напрямках. Протягом довгого часу, втім, як і зараз, золотий перетин вважалося естетичної пропорцією, хоча більшістю людей воно сприймається непропорційним - витягнутим.

Ви можете спробувати оцінити золотий перетин самі, керуючись такими пропорціями:

Довжина відрізка a \u003d 0,618
Довжина відрізка b \u003d 0,382
Довжина відрізка c \u003d 1
Співвідношення c і a \u003d 1,618
Співвідношення c і b \u003d 2,618

Тепер же можна застосувати золотий перетин до чисел Фібоначчі: беремо два сусідніх члена його послідовності і ділимо більше на менше. Отримуємо приблизно 1,618. Якщо ж візьмемо той же найбільше число і поділимо його на наступне більше за ним, то отримаємо приблизно 0,618. Спробуйте самі: «пограйте» з числами 21 і 34 або якимись іншими. Якщо ж провести цей досвід з першими числами послідовності Фібоначчі, то такого результату вже не буде, тому що золотий перетин «не працює» на початку послідовності. До речі, щоб визначити всі числа Фібоначчі, потрібно знати всього лише три перших послідовних числа.

І на закінчення ще трохи їжі для розуму.

Золотий прямокутник і спіраль Фібоначчі

«Золотий прямокутник» - це ще одна взаємозв'язок між золотим перетином і числами Фібоначчі, тому що співвідношення його сторін одно 1,618 до 1 (згадуйте число 1,618!).

Ось приклад: беремо два числа з послідовності Фібоначчі, наприклад 8 і 13, і креслимо прямокутник із шириною 8 см і довжиною 13 см. Далі розбиваємо основний прямокутник на дрібні, але їх довжина і ширина повинна відповідати числам Фібоначчі - довжина однієї грані великого прямокутника повинна дорівнювати двом довжинам межі меншого.

Після цього з'єднуємо плавною лінією кути всіх наявних у нас прямокутників і отримуємо окремий випадок логарифмічною спіралі - спіраль Фібоначчі. Її основними властивостями є відсутність кордонів і зміна форм. Таку спіраль можна часто зустріти в природі: найяскравішими прикладами є раковини молюсків, циклони на зображеннях з супутника і навіть ряд галактик. Але більш цікавим є те, що цим же правилом підпорядковується і ДНК живих організмів, адже ви пам'ятаєте, що воно має спиралевидную форму?

Ці та багато інших «випадкові» збіги навіть сьогодні збурюють свідомість вчених і наводять на думку про те, що все у Всесвіті підпорядковане єдиним алгоритмом, причому, саме математичного. І ця наука криє в собі величезну кількість зовсім ненудних таємниць і загадок.

Числа Фібоначчі - числова послідовність, де кожний наступний член ряду дорівнює сумі двох попередніх, тобто: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025, .. 3478759200, 5628750625, .. 260993908980000, .. 422297015649625, .. 19581068021641812000, .. Вивченням складних і дивовижних властивостей чисел ряду Фібоначчі займалися самі різні професійні вчені і любителі математики.

У 1997 році кілька дивних особливостей ряду описав дослідник Володимир Михайлов, який був переконаний, що Природа (в тому числі і людина) розвивається за законами, які закладені в цій числової послідовності.

Чудовим властивістю числового ряду Фібоначчі є те, що в міру збільшення чисел ряду ставлення двох сусідніх членів цього ряду асимптотично наближається до точної пропорції Золотого перетину (1: 1,618) - основі краси і гармонії в навколишньому нас природі, в тому числі і в людських відносинах.

Відзначимо, що сам Фібоначчі відкрив свій знаменитий ряд, розмірковуючи над завданням про кількість кроликів, які протягом одного року повинні народитися від однієї пари. У нього вийшло, що в кожному наступному місяці після другого число пар кроликів в точності слід цифровому ряду, яке нині носить його ім'я. Тому не випадково, що і сам людина влаштована по ряду Фібоначчі. Кожен орган влаштований відповідно до внутрішньої, або зовнішньої подвійністю.

Числа Фібоначчі залучили математиків своєю особливістю виникати в найнесподіваніших місцях. Помічено, наприклад, що відносини чисел Фібоначчі, взятих через одне, відповідають кутку між сусідніми листами на стеблі рослин, точніше, вони кажуть, яку частку обороту становить цей кут: 1/2 - для в'яза та липи, 1/3 - для бука, 2/5 - для дуба і яблуні, 3/8 - для тополі і троянди, 5/13 - для верби і мигдалю і т. д. Ці ж числа ви знайдете під час підрахунку насіння в спіралях соняшнику, в кількості променів, що відбиваються від двох дзеркал, в кількості варіантів маршрутів переповзання бджоли від однієї стільники до іншої, у багатьох математичних іграх і фокусах.

У чому різниця між спіралями золотого перетину і спіраллю Фібоначчі? Спіраль золотого перетину ідеальна. Вона відповідає Першоджерела гармонії. Ця спіраль не має ні початку, ні кінця. Вона нескінченна. Спіраль Фібоначчі має початок, від якого вона починає "розкрутку". Це дуже важлива властивість. Воно дозволяє Природі після чергового замкнутого циклу здійснювати будівництво нової спіралі з "нуля".

Слід сказати, що спіраль Фібоначчі може бути подвійний. Існують численні приклади цих подвійних спіралей, що зустрічаються всюди. Так, спіралі соняшників завжди співвідносяться з рядом Фібоначчі. Навіть у звичайній соснової шишки можна побачити цю подвійну спіраль Фібоначчі. Перша спіраль йде в одну сторону, друга - в іншу. Якщо порахувати число лусочок в спіралі, що обертається в одному напрямку, і число лусочок в інший спіралі, можна побачити, що це завжди два послідовних числа ряду Фібоначчі. Число цих спіралей 8 і 13. У подсолнухах зустрічаються пари спіралей: 13 і 21, 21 і 34, 34 і 55, 55 і 89. І відхилень від цих пар не буває! ..

У Людини в наборі хромосом соматичної клітини (їх 23 пари) джерелом спадкових хвороб є 8, 13 і 21 пари хромосом ...

Але чому в Природі саме цей ряд грає вирішальну роль? На це питання може дати вичерпну відповідь концепція потрійності, що визначає умови її самозбереження. При порушенні «балансу інтересів» тріади одним з її «партнерів», «думки» двох інших «партнерів» повинні бути скориговані. Особливо наочно концепція потрійності проявляється у фізиці, де з кварків побудували «майже» все елементарні частинки. Якщо згадати, що відносини дрібних зарядів кваркових частинок складають ряд, а це і є перші члени ряду Фібоначчі, які необхідні для формування інших елементарних частинок.

Можливо, що спіраль Фібоначчі може відігравати вирішальну роль і в формуванні закономірності обмеженості і замкнутості ієрархічних просторів. Дійсно, уявімо, що на якомусь етапі еволюції спіраль Фібоначчі досягла досконалості (вона стала не відрізняється від спіралі золотого перетину) і з цієї причини частка повинна трансформуватися в наступну «категорію».

Ці факти ще раз підтверджують, що закон про подвійність дає не тільки якісні, а й кількісні результати. Вони змушують замислитися над тим, що навколишній нас Макросвіт і Мікросвіт еволюцірует по одним і тим же законам - законам ієрархії, і що ці закони єдині для живої і для неживої матерії.

Все це свідчить про те, що ряд чисел Фібоначчі є якийсь зашифрований закон природи.

Цифровий код розвитку цивілізації можна визначити за допомогою різних методів в нумерології. Наприклад, за допомогою приведення складних чисел до однозначних (наприклад, 15 є 1 + 5 \u003d 6 і т.д.). Проводячи подібну процедуру складання з усіма складними числами Фібоначчі Михайлов отримав наступний ряд цих чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, потім все повторюється 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8, .. і повторюється знову і знову ... Цей ряд також має властивості ряду Фібоначчі, кожен нескінченно наступний член дорівнює сумі попередніх. Наприклад, сума 13-го і 14-го членів дорівнює 15, тобто 8 і 8 \u003d 16, 16 \u003d 1 + 6 \u003d 7. Виявляється, що цей ряд періодичний, з періодом в 24 члена, після чого, весь порядок цифр повторюється. Отримавши цей період, Михайлов висунув цікаве припущення - чи не є набір з 24 цифр своєрідним цифровим кодом розвитку цивілізації? Опубліковано