Стереометрията е важна част общ курс Геометрия, която разглежда характеристиките на пространствените фигури. Една от тези цифри е четириъгълна призма. Тази статия ще опише по-подробно въпроса как да се изчисли обемът на призмата на четириъгълно.

Каква е призмата на четириъгълна?

Очевидно, преди да доведе формулата за обема на призмата на четириъгълно, е необходимо да се даде ясна дефиниция на тази геометрична форма. При такива призми се разбира триизмерен полихедрон, който е ограничен от две произволни идентични четириъгълници, разположени в паралелни равнини и четири паралелари.

Паралелни четириъгълници се наричат \u200b\u200bоснови на фигурата и четири паралелограма са страните. Тук трябва да се обясни, че паралелеограмите също са четириъгълници, но основите не винаги са паралелограми. Пример за неправилен четириъгълник, който може да бъде основата на призмата, е показана по-долу на фигурата.

Всяка четириъгълна призма се състои от 6 страни, 8 върха и 12 ребра. Има четириъгълни призми различни видове. Например фигурата може да е наклонена или права, неправилна и правилна. Освен това в статията показваме как обемът на призмата е четиригетин, като се вземат предвид нейния тип.

Наклонена призма с неправилна база

Това е най-асиметричната форма на четириъгълна призма, така че изчисляването на неговия обем ще бъде относително трудно. Определяне на обема на фигурата позволява следното изразяване:

Такавият символ тук е обозначен с базовата зона. Ако тази база е ромб, паралелограма или правоъгълник, след това изчислете стойността на така е лесно. Така че за ромб и паралелограмата на формулата:

къде е базовата страна, ха е дължината на основата на височината от горната част на основата.

Ако базата не е право полигон (виж по-горе), тогава нейната площ трябва да бъде разделена на повече прости фигури (например триъгълници), изчислете своя район и намерете тяхната сума.

Във формулата за силата на звука, символ Н е обозначен с височината на призмата. Това е дължината на перпендикулярния сегмент между двете основи. Тъй като призмата е наклонена, изчисляването на височината Н трябва да се извърши с дължината на страничния ръб В и джуджета между страничните повърхности и основата.

Правилна фигура и нейния обем

Ако основата на четириъгълната призма е квадрат, и самата цифра ще бъде права, тогава тя се нарича правилно. Трябва да се обясни, че директната призма се нарича, когато всичките му страни са правоъгълници и всеки от тях е перпендикулярно на основанията. Правилната цифра е показана по-долу.

Обемът на правилната четириъгълна призма може да се изчисли по същата формула като обема на неправилната форма. Тъй като основата е квадрат, тогава площта му се изчислява просто:

Височината на призма Н е равна на дължината на страничния ръб B (страната на правоъгълника). След това обемът на правилната призма на четириъгълния може да бъде изчислен по следната формула:

Нарича се подходяща призма с квадратна база правоъгълен паралелепипед. Този паралелепипед в случай на равенство на страните А и Б става куб. Обемът на последния се изчислява така:

Записани формули за обем V показват, че колкото по-висока е симетрията на фигурата, толкова по-малка линейни параметри необходими за изчисляване на тази стойност. Така че, в случай на правилната призма, необходимия брой параметри е две, а в случая на Куба - един.

Задача с правилната фигура

След като разгледаме въпроса за намирането на обема на призмата на четириъгълна от гледна точка на теорията, ние прилагаме знанията, придобити на практика.

Известно е, че правилното паралелепипед има диагонална дължина на основата, равна на 12 cm. Дължината на диагонала от него е 20 cm. Необходимо е да се изчисли количеството на паралелепипед.

Определете основния диагонал с символа DA, и диагонала на страничната повърхност - символът dB. За диагонални da справедливи изрази:

Що се отнася до стойността на dB, тя е правоъгълник диагонал със страните на a и b. За нея можете да запишете следните равенства:

dB2 \u003d A2 + B2 \u003d\u003e

b \u003d √ (DB2 - A2)

Заместването на изразяването на последното равенство за A, получаваме:

b \u003d √ (DB2 - DA2 / 2)

Сега можете да замените получените формули в израза за обема на правилната фигура:

V \u003d A2 * B \u003d DA2 / 2 * √ (DB2 - DA2 / 2)

Смяна на номера на DA и DB от състоянието на проблема, ние стигаме до отговора: v ≈ 1304 cm3.

Дефиниция.

Това е шестоъгълник, основите на които са две равни квадратии страничните повърхности са равни правоъгълници

Странично ребро - Това е често срещаната страна на две съседни странични повърхности

Височина призма - това е сегмент, перпендикулярно на причините за призмата

Диагонална призма - намаляване на свързването на два върха на основи, които не принадлежат към едно лице

Диагонална равнина. - самолет, който преминава през диагонала на призмата и нейните странични ребра

Диагонална секция - граници на пресичането на призмата и диагоналната равнина. Диагоналната част на правилната четириъгълна призма е правоъгълник

Перпендикулярно напречно сечение (ортогонална секция) - Това е пресичането на призмата и равнината, извършвани перпендикулярно на неговите странични ръбове

Елементи на дясната четириъгълна призма

Фигурата показва двете десни четириъгълни призми, които са обозначени със съответните букви:

• Основите на ABCD и 1 B 1 C 1 d1 са равни и успоредни един на друг
• Странични повърхности AA 1 d 1 d, AA 1 B 1b, BB 1 C1C и CC '1 d1 D, всеки от които е правоъгълник
• Странична повърхност - сумата на площта на всички странични лица на призмата
• Пълна повърхност - сумата от областите на всички бази и странични повърхности (сумата на страничната повърхност и базовата зона)
• Странични ръбове AA 1, BB 1, CC 1 и DD 1.
• Диагонал b 1 d
• Обвързан диагонал BD.
• Диагонална секция BB 1 d 1 d
• Перпендикулярна секция А2 В2С2 d2.

Свойства на дясната четириъгълна призма

• Основанията са две равни квадрати.
• Базите са успоредни един на друг
• Страничните светлини са правоъгълници
• Страничните повърхности са равни един на друг
• Странични лица, перпендикулярни на основата
• Страничните ръбове са успоредни между себе си и равни
• Перпендикулярно напречно сечение перпендикулярно на всички странични ръбове и успоредно на основанията
• Ъгли на перпендикулярна секция - директно
• Диагоналната част на правилната четириъгълна призма е правоъгълник
• Перпендикулярно (ортогонална секция) успоредно на основанията

Формули за правилната четириъгълна призма

Инструкции за решаване на проблеми

Когато решават задачи по темата " правилна четириъгълна призма"Разбира се, че:

Правилна призма - Призмата в основата на която се намира десният многоъгълник, а страничните ребра са перпендикулярни на базовите равнини. Това означава, че правилната четириъгълна призма съдържа в неговата база. квадрат. (Виж по-горе свойства на дясната четириъгълна призма) Забележка. Това е част от урока със задачите на геометрията (част от стереометрията - призма). Ето задачите, които причиняват затруднения при решаването. Ако трябва да решите задачата на геометрията, която не е тук - пишете за него във форума. За да определите квадратно извличане на корен в решения за задачи, се използва символ.√ .

Задача.

В дясната четиристепенна призма, базовата площ е 144 cm 2, а височината е 14 см. Намерете призмата диагонала и пълната повърхност.

Решение.
Правилният четириъгълник е квадрат.
Съответно, базовата страна ще бъде равна

√144 \u003d 12 cm.
От мястото, където базовата диагонал на правилната правоъгълна призма ще бъде равна на
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагоналът на правилната призма формира диагонал на основата и височината на призмата право триъгълник. Съответно, според теоремата Pythagora, диагоналът на дадена правилен четириъгълна призма ще бъде равен на:
√ ((12√2) 2 + 14 2) \u003d 22 cm

Отговор: 22 cm.

Задача

Определете пълната повърхност на правилната четириъгълна призма, ако нейният диагонал е 5 cm и диагоналът на страничната повърхност е 4 cm.

Решение.
Тъй като в основата на правилната четириъгълна призма има квадрат, тогава страна на основата (обозначаваме като а), ще намерим на теоремата Pythagora:

2 + A 2 \u003d 5 2
2a 2 \u003d 25
a \u003d √12.5.

Тогава височината на страничната повърхност (обозначаваме как H) ще бъде равна на:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
H 2 + 12.5 \u003d 16
H 2 \u003d 3.5
H \u003d √3.5.

Общата повърхностна площ ще бъде равна на сумата от страната на страничната повърхност и двойната площ на основата

S \u003d 2A 2 + 4AH
S \u003d 25 + 4√12,5 * √3.5
S \u003d 25 + 4√43,75
S \u003d 25 + 4√ (175/4)
S \u003d 25 + 4√ (7 * 25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm2.

Отговор: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Призмата е геометрична цифра, характеристиките и свойствата на които са изследвани в гимназиалните училища. Като правило, когато се изучава, разглежда такива стойности като обем и площ. В тази статия ще разкрием малко по-различен въпрос: даваме метод за определяне на дължината на диагоналите на призма при примера на четириъгълна фигура.

Каква фигура се нарича призма?

В геометрията е дадена следваща дефиниция PROM: Това е насипна фигура, ограничена от два полигонала, които са успоредни един на друг, а няколко паралеларами. Фигурата по-долу показва пример за призм това определение.

Виждаме, че два червени петоъгълника са равни един на друг и са в две успоредни равнини. Пет розови паралела комбинират тези пентони в твърд предмет - призма. Две петоъгълници се наричат \u200b\u200bоснови на фигурата, а паралеларът му са странични лица.

Призмите са прав и наклонени, които също се наричат \u200b\u200bправоъгълни и рикол. Разликата между тях се крие в ъглите между основата и страничните лица. За правоъгълна призма всички тези ъгли са 90 o.

В броя на партиите или върховете на полигона говорят за призмите за триъгълни, петоъгълни, четириъгълни и т.н. Освен това, ако този многоъгълник е правилен, и самият призм е прав, тогава такава фигура се нарича правилна.

Призмата, дадена в предишната фигура, е петоъгълна наклонена. Колкото по-ниско е петоъгълната директна призма, която е вярна.

Всички изчисления, включително метода за определяне на диагоналите на призмата, удобно да се изпълняват именно за правилните цифри.

Какви елементи характеризират призмата?

Елементите на фигурата се обаждат на компонентите, които го образуват. По-конкретно, три основни вида артикули могат да бъдат разграничени за призмата:

• върхове;
• лице или страна;
• ребра.

Основанията и страничните самолети, представляващи паралелеограмите в общия случай, се считат за лица. В призма всяка страна се отнася до един от двата вида: или това е многоъгълник или паралелограма.

Ребрата на Proms са тези сегменти, които ограничават всяка страна на фигурата. Подобно на лицето, ребрата също имат два вида: принадлежащи към основата и страничната повърхност или се свързват само към страничната повърхност. Първо винаги два пъти по-голям от втория, независимо от вида на призма.

Версиите са точките на пресичане на трите ръба на призмата, две от които лежат в равнината на основата, а третата - принадлежи към две странични лица. Всички върхове на призмата са в равнините на базата на фигурата.

Числата на описаните елементи са свързани с едно равнопоставеност, имаща следната форма:

P \u003d B + C - 2.

Тук R е броят на ребрата, в края на краищата, от двете страни. Това равенство се нарича теорема за апелация за полиедрона.

Фигурата показва триъгълната подходяща призма. Всеки може да изчисли, че има 6 върха, 5 страни и 9 ребра. Тези цифри са в съответствие с теоремата на Euler.

Диагонална призма

След такива свойства, като обем и площ, информация за дължината на един или друг диагонал на разглежданата фигура, която или дадена е, често се среща в задачите на геометрията, които или дадени, или трябва да бъдат намерени в Други известни параметри. Помислете какво са диагонално от призмата.

Всички диагонали могат да бъдат разделени на два вида:

1. Мигащи лица. Те свързват не-пиковете на многоъгълник в основата на призма, или страничната повърхност паралелар. Стойността на дължините на такива диагонала се определя въз основа на познанията за дължините на съответните ребра и ъглите между тях. Свойствата на триъгълниците винаги се използват за определяне на диагоналите на паралелограмите.
2. Лежи вътре в обема на призмата. Тези диагонали свързват интелигентните върхове на две основи. Тези диагонали се оказват напълно вътре в фигурата. Техните дължини изчисляват малко по-сложни, отколкото за предишния тип. Изчислителната техника включва записи на дължините на ребрата и основата, така и паралеламите. За директни и правилни призми изчислението е сравнително просто, тъй като се извършва с помощта на питагорейската теорема и свойствата на тригонометричните функции.

Диагонални страни на четириъгълна директна призма

Фигура по-горе показва четири идентични директни призми и са дадени параметрите на ребрата им. На призмите на диагонал А, диагонал Б и диагонал, диагоналът от три различни лица е изобразен с бар-червена линия. Тъй като призмата е права линия с височина 5 см, и нейната основа е представена от правоъгълник със страни от 3 см и 2 cm, след това не е трудно да се намерят маркирани диагонали. За да направите това, използвайте теоремата Pythagora.

Диагоналната дължина на призмата (диагонал А) е равна на:

D a \u003d √ (3 2 +2 2) \u003d √13 ≈ 3.606 cm.

За страничното лице на затворите, диагоналът е равен на (виж диагонал Б):

D B \u003d √ (3 2 +5 2) \u003d √34 ≈ 5,831 cm.

Накрая, дължината на друг страничен диагонал е равен на (виж диагонал в):

D c \u003d √ (2 2 +5 2) \u003d √29 ≈ 5.385 cm.

Дължина на вътрешния диагонал

Сега изчисляваме дължината на диагонала на четириъгълната призма, която е изобразена на предишната фигура (диагонално г). Не е толкова трудно да се направи, ако отбележим, че тя е триъгълна хипотеноза, в която призмът (5 см) и диагоналната d а, изобразени във фигурата в горната част на лявата (диагонална а). Тогава получаваме:

D \u003d √ (d a 2 +5 2) \u003d √ (2 2 + 32 +5 2) \u003d √38 ≈ 6,164 cm.

Правилна четириъгълна призма

Диагоналът на правилната призма, основата на който е квадрат, се изчислява по същия начин, както в примера по-горе. Съответната формула има формата:

D \u003d √ (2 * a 2 + с 2).

Където А и С са дължините на страната на основата и съответно реброто.

Обърнете внимание, че когато изчислявате, използвахме само теоремата на Пиртагор. За да се определят дължините на диагоналите на правилните призми с голям брой върхове (петоъгълни, шестоъгълни и т.н.) вече е необходимо да се прилагат тригонометрични функции.

В училищна програма При скоростта на стереометрията изследването на обемните фигури обикновено започва с просто геометрично тяло - полиедронна призма. Ролята на основите му се извършва 2 равен полигонлежи в паралелни самолети. Специален повод е подходящата четириродена призма. Неговите основи са 2 идентични редовни квадратчета, които са перпендикулярни на страните, които имат формата на паралелари (или правоъгълници, ако призмата не е наклонена).

Как изглежда призмата

Правилният четиристепенни призми се нарича шестоъгълник, в основите, от които има 2 квадрата, а страничните повърхности са представени с правоъгълници. Подобно име за тази геометрична форма е права паралелепипед.

Чертежът, който показва четиримесечната призма, е показана по-долу.

На снимката, която можете да видите също най-важните елементи, от които се състои геометрично тяло . Те се считат за:

Понякога концепцията за раздел може да бъде намерена в геометрията. Определението ще звучи така: секцията е всички точки на обемното тяло, принадлежащо към защитената равнина. Напречното сечение е перпендикулярно (пресича ребрата на формата под ъгъл от 90 градуса). За правоъгълна призма се разглежда и диагонално напречно сечение (максималният брой секции, които могат да бъдат конструирани - 2), преминаване през 2 ребра и диагонал на основата.

Ако напречното сечение е изтеглено по такъв начин, че Secant равнината не е успоредна на нито основите, нито страничните повърхности, в резултат на това се получава пресечена призма.

За да намерите дадените призматични елементи, се използват различни отношения и формули. Някои от тях са известни от скоростта на планиране (например, за да намерят областта на призмата, е достатъчно да си припомним квадрата на квадрата на площада).

Повърхност и обем

За да определите обема на призмата във формулата, трябва да знаете областта на нейната основа и височина:

V \u003d sosn · h

Тъй като основата на правилната четириглава призма е площад на партията а.можете да записвате формула в по-подробна:

V \u003d a² · h

Ако говорим за Куба - правилната награда с еднаква дължина, ширина и височина, обемът се изчислява, както следва:

За да се разбере как да се намери страничната повърхност на призмата, е необходимо да си представим деблото.

От чертежа може да се види, че страничната повърхност е съставена от 4 равни правоъгълници. Площта му се изчислява като продукт на периметъра на основата до височината на фигурата:

Sbok \u003d posh · h

Като се има предвид, че периметърът на площада е равен P \u003d 4а,формулата приема формата:

SBOK \u003d 4A · h

За Куба:

SBOK \u003d 4A²

За да се изчисли площта на пълната повърхност на призмата, трябва да добавите 2 базови зони в страничната област:

SPLE \u003d SBO + 2SH

Във връзка с четири родения празна, формулата има формата:

SPEF \u003d 4A · H + 2A²

За куба повърхност на площад:

Spef \u003d 6a²

Знаейки обема или площта, можете да изчислите отделни елементи на геометричното тяло.

Намиране на елементи призма

Често има задачи, при които са дадени или известни размера на страничната повърхност, където е необходимо да се определи дължината на основната страна или височина. В такива случаи могат да се показват формулите:

• странична дължина на фундамента: a \u003d sbok / 4h \u003d √ (v / h);
• дължина на височината или страничните ребра: h \u003d sbok / 4a \u003d v / a²;
• фондация Площ: Sosn \u003d v / h;
• странична страна: SBO. Gr \u003d SBO / 4.

За да определите каква област има диагонална секция, трябва да знаете дължината на диагонала и височината на фигурата. За квадрат d \u003d A√2. Следователно:

Sadiag \u003d AH√2.

За изчисляване на диагонала на призмата, се използва формулата:

driz \u003d √ (2a² + h²)

За да разберете как да приложите получените отношения, можете да практикувате и решавате няколко прости задачи.

Примери за задачи с решения

Ето някои задачи, срещани в правителствените изпити в математиката.

Упражнение 1.

Кутията, която има формата на дясната четиристепенна призма, пясъкът е пратеник. Височината на нейното ниво е 10 cm. Какво е нивото на пясъка, ако го преместите в контейнера от същата форма, но с основна дължина 2 пъти повече?

Тя трябва да се твърди по следния начин. Количеството пясък в първия и втория контейнер не се променя, т.е. то съвпада с тях. Може да определи дължината на основата за А.. В този случай, за първото поле, обемът на веществото ще бъде:

V₁ \u003d ha² \u003d 10a²

За второто поле, основната дължина е 2а.Но височината на нивото на пясъка е неизвестна:

V₂ \u003d H (2a) ² \u003d 4ha²

Дотолкова доколкото V₁ \u003d V₂., Можете да приравните изрази:

10a² \u003d 4ha²

След рязане на двете части на уравнението на A² се оказва:

Като резултат ново ниво Пясък ще бъде h \u003d 10/4 \u003d 2.5 см.

Задача 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ - правилната призма. Известно е, че BD \u003d abs \u003d 6√2. Намерете областта на повърхността на тялото.

За да улесните да разберете кои елементи са известни, можете да изобразявате фигура.

Тъй като говорим за правилната призма, можем да заключим, че има квадрат с диагонал от 6√2 в основата. Диагоналът на страничната повърхност има същата величина, следователно, страничната повърхност също има формата на квадрат, равен на основата. Оказва се, че всичките три измерения - дължина, ширина и височина са равни. Може да се заключи, че ABCDA₁B₁C₁D е куб.

Дължината на всеки ръб се определя чрез известния диагонал:

a \u003d d / √2 \u003d 6√2 / √2 \u003d 6

Общата площ се намира по формулата за куба:

Spef \u003d 6a² \u003d 6 · 6² \u003d 216

Задача 3.

Стаята е ремонтирана в стаята. Известно е, че неговият етаж има квадратна форма с площ от 9 m². Височината на стаята е 2.5 m. Какво е най-малката цена на запитване с тапети, ако 1 m² струва 50 рубли?

Тъй като пода и таванът са квадрати, тоест четири-тригери и стените му са перпендикулярни на хоризонтални повърхности, може да се заключи, че е така правилна призма. Необходимо е да се определи площта на нейната странична повърхност.

Дължината на стаята е a \u003d √9 \u003d 3 м.

Тапети ще бъдат запазени SBOK \u003d 4 · 3 · 2,5 \u003d 30 m².

Най-малката цена на тапета за тази стая ще бъде 50 · 30 \u003d 1500 рубли.

По този начин, за решаване на проблеми на правоъгълна призма, е достатъчно да се изчисли площта и периметъра на квадрата и правоъгълника, както и да притежават формулите за намиране на обем и площ.

Как да намерим район на куба

С това видео всеки ще може самостоятелно да се запознае с темата "Концепцията за полихед. Призма. Повърхностна повърхностна призма. По време на окупацията учителят ще каже, че има такива геометрични форми като полихедрон и призма, ще даде подходящи дефиниции и ще обяснят своята същност на конкретни примери.

С този урок всеки ще може самостоятелно да се запознае с темата "Концепцията на полихедрон. Призма. Повърхностна повърхностна призма.

Дефиниция. Повърхността, съставена от полигони и ограничаваща някакво геометрично тяло, ще се нарича многостранна повърхност или полихедрон.

Помислете за следните примери за Полихедра:

1. Tetrahedron. ABCD. - Това е повърхност, съставена от четири триъгълника: АВС, ADB., BDC. и ADC.(Фиг. 1).

Фиг. един

2. паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 d 1 - Това е повърхност, съставена от шест паралелари (фиг. 2).

Фиг. 2.

Основните елементи на полихедрон са аспекти, ребра, върхове.

Лицата са полигони, съставляващи полихед.

Ребрата са фасада.

Версиците са краищата на ребрата.

Помислете за Tetrahedron. ABCD.(Фиг. 1). Посочваме основните му елементи.

Лице: Триъгълници ABC, ADB, BDC, ADC.

Ребрата: AU, AU, Sun, DC, АД, BD..

Vershins.: A, B, C, D.

Помислете за паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 d 1(Фиг. 2).

Лице: Помограма AA 1 d 1 D, D1 DSS 1, BB 1 C1C, AA 1 в 1 V, ABCD, A 1 B '° С 1 d1.

Ребрата: Аа. 1 , BB. 1 , SS. 1 , DD 1, AD, A 1 D1, B '° C 1, BC, AB, A 1 B1, d' ° С1, DC.

Vershins.: A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D1.

Важен частен случай на полихед е призмата.

ABSE 1 в 1 s 1 (Фиг. 3).

Фиг. 3.

Равни триъгълници АВС и 1 в 1 s 1 разположени в паралелни самолети α и β, така че ребрата AA 1, BB 1, SS 1 Успоредно.

I.e. ABSE 1 в 1 s 1- триъгълна призма, ако:

1) триъгълници АВС и 1 в 1 s 1 равен.

2) триъгълници АВС и 1 в 1 s 1 Намира се в паралелни самолети α и β: АВС║A 1 b 1 c (α ║ β).

3) ребро AA 1, BB 1, SS 1 Успоредно.

АВС и 1 в 1 s 1 - основаването на призмата.

AA 1, BB 1, SS 1 - странични ребра призма.

Ако от произволна точка H 1. една равнина (например, β) пропуска перпендикулярно Nn 1. На равнината α, тогава това перпендикулярно се нарича височина на призмата.

Дефиниция. Ако страничните ребра са перпендикулярни на основите, тогава призмата се нарича права и иначе наклонена.

Помислете за триъгълна призма ABSE 1 в 1 s 1 (Фиг. 4). Тази призма е права. Това означава, че страничните й ребра са перпендикулярни на основанията.

Например, ребро AA 1. Перпендикулярно на равнината АВС. Ръб, край AA 1. е височината на тази призма.

Фиг. четири

Обърнете внимание, че страна AA 1 в 1 V Перпендикулярно на основанията АВС и 1 в 1 s 1защото преминава през перпендикулярно AA 1. към основанията.

Сега разгледайте наклонената призма ABSE 1 в 1 s 1 (Фиг. 5). Тук страничният ръб не е перпендикулярно на равнината на фундамента. Ако отпаднате от точката А 1. перпендикулярно А 1 N. на АВСТова перпендикулярно ще бъде височината на призмата. Имайте предвид, че сегментът Ан. - Това е проекцията на сегмента AA 1. На самолета АВС.

След това ъгълът между директното AA 1. и самолет АВС Това е ъгълът между прав AA 1. и тя Ан. проекция в самолета, т.е. ъгълът А 1 AN..

Фиг. пет

Помислете за четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 d 1 (Фиг. 6). Помислете как се оказва.

1) четириъгълник ABCD. равен на четириъгълника A 1 b 1 c 1 d 1: ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 d 1.

2) Четронгълс ABCD.и A 1 b 1 c 1 d 1 АВС║A 1 b 1 c (α ║ β).

3) Четронгъл ABCD.и A 1 b 1 c 1 d 1разположен е така, че страничните ребра са успоредни, т.е. AA 1 ║vv 1 ║ss 1 ║dd 1.

Дефиниция. Призмата диагонала е сегмент, свързващ два върха, които не принадлежат към едно лице.

Например, AC 1. - диагонал на четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 d 1.

Дефиниция. Ако страничното ребро AA 1. Перпендикулярно на равнината на основата, тогава такава призма се нарича права.

Фиг. 6.

Специален случай на четиристепенна призма е по-рано известен паралелепипед. Паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 d 1изобразява на фиг. 7.

Помислете как работи:

1) Има равни фигури в основата. В този случай равните паралелари ABCD. и A 1 b 1 c 1 d 1: ABCD. = A 1 b 1 c 1 d 1.

2) паралелограма ABCD. и A 1 b 1 c 1 d 1 LA паралелни самолети α и β: АВС║A 1 b 1 c 1 (α ║ β).

3) Помограма ABCD. и A 1 b 1 c 1 d 1 Намира се по такъв начин, че страничните ребра са успоредни помежду си: AA 1 ║vv 1 ║ss 1 ║dd 1.

Фиг. 7.

От точката А 1. По-ниска перпендикулярна Ан. На самолета АВС. Раздел А 1 N. е височина.

Помислете как е подредена шестоъгълната призма (фиг. 8).

1) Въз основа на равни шестоъгълници А Б В Г Д Е. и A 1 b 1 c 1 d1 e 1 f 1: А Б В Г Д Е.= A 1 b 1 c 1 d1 e 1 f 1.

2) шестоъгълни самолети А Б В Г Д Е. и A 1 b 1 c 1 d1 e 1 f 1паралелно, това е, базите са паралелни самолети: АВС║A 1 b 1 c (α ║ β).

3) Hexagons. А Б В Г Д Е. и A 1 b 1 c 1 d1 e 1 f 1разположен е така, че всички странични ребра са успоредни на: AA 1 ║VV 1 ... ║ff 1.

Фиг. Осем

Дефиниция. Ако някакъв страничен ръб, перпендикулярна на равнината на фундамента, тогава такава шестоъгълна призма се нарича права.

Дефиниция. Директната призма се нарича правилно, ако основите му са правилните полигони.

Помислете за правилната триъгълна призма ABSE 1 в 1 s 1.

Фиг. девет

Триъгълна призма ABSE 1 в 1 s 1- Правилно, това означава, че в основата има редовни триъгълници, т.е. всички страни на тези триъгълници са равни. Също така, тази призма е права. Така че, страничният ръб перпендикулярна на базовата равнина. Това означава, че всички странични лица са равни правоъгълници.

Така че, ако триъгълната призма ABSE 1 в 1 s 1- Добре тогава:

1) страничен ръб, перпендикулярно на равнината на фундамента, т.е. височина: AA 1. ⊥ АВС.

2) Въз основа на десния триъгълник: δ АВС - правилно.

Дефиниция. Общата повърхност на призмата е сумата от площта на всичките му лица. Обозначение S Full..

Дефиниция. Страничната повърхност е сумата от площта на всички странични повърхности. Обозначение S SEND..

Призмата има две бази. Тогава площта на пълната повърхност на призмата:

S Full \u003d Side + 2S земя.

Страничната повърхност на директната призма е равна на продукта на периметъра на основата до височината на призмата.

Доказателство ще харчим за примера на триъгълна призма.

Дано.: ABSE 1 в 1 s 1 - Директна призма, т.е. AA 1. ⊥ АВС.

Aa 1 \u003d h.

Докажи: S Bock \u003d R оси ∙ h.

Фиг. 10.

Доказателства.

Триъгълна призма ABSE 1 в 1 s 1 - директно, това означава AA 1 в 1 V, AA 1 с 1 С, BB 1 C 1 C -правоъгълници.

Ние намираме страничната повърхност като сума от областта на правоъгълниците AA 1 в 1 V, AA 1 с 1 S, BB 1 1 S:

S SITEN \u003d AB ∙ H + SUN ∙ H + SA ∙ H \u003d (AB + SUN + CA) ∙ H \u003d P OSP ∙ H.

Получаваме S sistr \u003d p wasp ∙ h,q.E.D.

Срещнахме се с полиедрия, призма, нейните сортове. Докаже теоремата за страничната повърхност на призмата. В следващия урок ще решим задачите за призмата.

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици общи образователни институции (Основно I. нива на профила) / I. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то издание, преработено и допълнено - m.: Mnemozina, 2008. - 288 p. : I Л.
2. Геометрия. 10-11 клас: учебник за общо образование образователни институции / Шарин I. F. - m.: Drop, 1999. - 208 г.: IL.
3. Геометрия. Клас 10: учебник за общообразователни институции с задълбочено и профилно проучване на математиката / д. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то издание, стереотип. - м.: DROP, 008. - 233 p. : I Л.

1. YACLASS ().
2. Shkolo.ru ().
3. Старата школа ().
4. Wikihow ().

1. Какво е минималният брой лица може да има призма? Колко върха, ребрата имат такава призма?
2. Има ли някакъв призм, който има 100 ребра?
3. Стъден ръб е наклонен към основната равнина под ъгъл от 60 °. Намерете височината на призмата, ако страничният ръб е 6 cm.
4. Непряк триъгълна призма Всички ребра са равни. Площта на нейната странична повърхност е 27 cm 2. Намерете пълната повърхност на призмата.