• 1. а)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (\ frac (9 \ pi) (2); \ frac (14 \ pi) (3); \ frac (16 \ pi) (3); \ frac (11 \ pi) (2) \) а)Решете уравнението \ (2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (6) \ right) + \ cos x = \ sqrt (3) \ sin (2x) -1 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на празнината \ (\ вляво \).
  2. а)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (\ pi) (3) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (11 \ pi) (3) \) а)Решете уравнението \ (2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (6) \ right) - \ cos x = \ sqrt (3) \ sin (2x) -1 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ right] \).
  3. а)
     б)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (3 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (4) \) а)Решете уравнението \ (\ sqrt (2) \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (4) \ right) + \ sqrt (2) \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [- \ frac (5 \ pi) (2); - \ pi \ right] \).
  4. а)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (\ frac (7 \ pi) (6); \ frac (3 \ pi) (2); \ frac (5 \ pi) (2) \) а)Решете уравнението \ (\ sqrt (2) \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (4) \ right) + \ sqrt (3) \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [\ pi; \ frac (5 \ pi) (2) \ right] \).
  5. а)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (11 \ pi) (2); - \ frac (16 \ pi) (3); - \ frac (14 \ pi) (3); - \ frac (9 \ pi) (2) \ ) а)Решете уравнението \ (\ sqrt (2) \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (4) \ right) + \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ вляво [- \ frac (11 \ pi) (2); -4 \ pi \ вдясно] \).
  6. а)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (23 \ pi) (6); - \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (2) \) а)Решете уравнението \ (2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (3) \ right) -3 \ cos x = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ вляво [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ вдясно] \).
  7. а)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (3 \ pi) (4) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (\ frac (13 \ pi) (4); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (9 \ pi) (2) \) а)Решете уравнението \ (2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (3) \ right) + \ sqrt (6) \ cos x = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на празнината \ (\ вляво \).
• 1. а)\ ((- 1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (13 \ pi) (4) \) а)Решете уравнението \ (\ sqrt (2) \ sin x + 2 \ sin \ left (2x- \ frac (\ pi) (6) \ right) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     б)
  2. а)
     б)\ (2 \ pi; 3 \ pi; \ frac (7 \ pi) (4) \) а)Решете уравнението \ (\ sqrt (2) \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (4) \ right) - \ sqrt (2) \ sin x = \ sin (2x) +1 \).
     б)Намерете неговите решения, които принадлежат на интервала \ (\ left [\ frac (3 \ pi) (2); 3 \ pi \ right] \).
  3. а)\ (\ pi k, (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (3) \) а)Решете уравнението \ (\ sqrt (3) \ sin x + 2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (6) \ right) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ right] \).
  4. а)\ (\ pi k; (-1) ^ (k) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k; k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (19 \ pi) (6); -3 \ pi; -2 \ pi \) а)Решете уравнението \ (\ sin x + 2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (6) \ right) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ right] \).
  5. а)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k; k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (\ frac (19 \ pi) (6); 3 \ pi; 2 \ pi \) а)Решете уравнението \ (2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (3) \ right) - \ sqrt (3) \ sin x = \ sin (2x) + \ sqrt (3) \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на празнината \ (\ вляво \).
  6. а)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- 3 \ pi; - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (9 \ pi) (4); -2 \ pi \) а)Решете уравнението \ (\ sqrt (6) \ sin x + 2 \ sin \ left (2x- \ frac (\ pi) (3) \ right) = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ вляво [- \ frac (7 \ pi) (2); - 2 \ pi \ вдясно] \).
• 1. а)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (\ frac (7 \ pi) (2); \ frac (9 \ pi) (2); \ frac (14 \ pi) (3) \) а)Решете уравнението \ (\ sqrt (2) \ sin (x + \ frac (\ pi) (4)) + \ cos (2x) = \ sin x -1 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [\ frac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ right] \).
  2. а)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (3 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (17 \ pi) (6) \)а)Решете уравнението \ (2 \ sin (x + \ frac (\ pi) (3)) + \ cos (2x) = \ sin x -1 \).
     б)
  3. а)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (3); - \ frac (7 \ pi) (3) \) а)Решете уравнението \ (2 \ sin (x + \ frac (\ pi) (3)) - \ sqrt (3) \ cos (2x) = \ sin x + \ sqrt (3) \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ right] \).
  4. а)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (4) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (15 \ pi) (4) \) а)Решете уравнението \ (2 \ sqrt (2) \ sin (x + \ frac (\ pi) (6)) - \ cos (2x) = \ sqrt (6) \ sin x +1 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ ляв [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi; \ вдясно] \).
• 1. а)\ ((- 1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k; \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (\ frac (11 \ pi) (3); 4 \ pi; 5 \ pi \) а)Решете уравнението \ (\ sqrt (6) \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (4) \ right) -2 \ cos ^ (2) x = \ sqrt (3) \ cos x-2 \ ).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [\ frac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ right] \).
  2. а)\ (\ pi k; (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (7 \ pi) (4) \) а)Решете уравнението \ (2 \ sqrt (2) \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (3) \ right) +2 \ cos ^ (2) x = \ sqrt (6) \ cos x + 2 \) ...
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [-3 \ pi; \ frac (-3 \ pi) (2) \ right] \).
  3. а)\ (\ frac (3 \ pi) (2) +2 \ pi k, \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k, \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (11 \ pi) (6); - \ frac (7 \ pi) (6) \) а)Решете уравнението \ (2 \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (6) \ right) -2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 x = \ cos x - \ sqrt (3) \).
     б)
  4. а)\ (2 \ pi k; \ frac (\ pi) (2) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (7 \ pi) (2) ;; - \ frac (5 \ pi) (2); -4 \ pi \) а)Решете уравнението \ (\ cos ^ 2 x + \ sin x = \ sqrt (2) \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (4) \ right) \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ вляво [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ вдясно] \).
  5. а)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- 2 \ pi; - \ pi; - \ frac (13 \ pi) (6) \) а)Решете уравнението \ (2 \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (6) \ right) -2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 x = \ cos x -2 \ sqrt (3) \) .
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [- \ frac (5 \ pi) (2); - \ pi \ right] \).
• 1. а)\ (\ pi k; - \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k; - \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (5 \ pi) (6); - 2 \ pi; - \ pi \) а)Решете уравнението \ (2 \ sin ^ 2 x + \ sqrt (2) \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (4) \ right) = \ cos x \).
     б)
  2. а)\ (\ pi k; \ frac (\ pi) (4) +2 \ pi k; \ frac (3 \ pi) (4) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (\ frac (17 \ pi) (4); 3 \ pi; 4 \ pi \) а)Решете уравнението \ (\ sqrt (6) \ sin ^ 2 x + \ cos x = 2 \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (6) \ right) \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [-2 \ pi; - \ frac (\ pi) (2) \ right] \).
• 1. а)\ (\ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (3 \ pi; \ frac (10 \ pi) (3); \ frac (11 \ pi) (3); 4 \ pi; \ frac (13 \ pi) (3) \) а)Решете уравнението \ (4 \ sin ^ 3 x = 3 \ cos \ вляво (x- \ frac (\ pi) (2) \ вдясно) \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ вляво [3 \ pi; \ frac (9 \ pi) (2) \ вдясно] \).
  2. а)
     б)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (11 \ pi) (4); \ frac (13 \ pi) (4); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (15 \ пи) (4) \) а)Решете уравнението \ (2 \ sin ^ 3 \ left (x + \ frac (3 \ pi) (2) \ right) + \ cos x = 0 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ right] \).
• 1. а)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k, \ pm \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (15 \ pi) (4); - \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (13 \ pi) (4); - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (5 \ pi) (2); \) а)Решете уравнението \ (2 \ cos ^ 3 x = \ sin \ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ right) \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ вляво [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ вдясно] \).
  2. а)\ (\ pi k, \ pm \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (19 \ pi) (6); - 3 \ pi; - \ frac (17 \ pi) (6); - \ frac (13 \ pi) (6); - 2 \ pi; \) а)Решете уравнението \ (4 \ cos ^ 3 \ left (x + \ frac (\ pi) (2) \ right) + \ sin x = 0 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ right] \).
• 1. а)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (9 \ pi) (4) \) а)Решете уравнението \ (\ sin 2x + 2 \ sin \ left (2x- \ frac (\ pi) (6) \ right) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ right] \).
• 1. а)\ (\ pi k; (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (11 \ pi) (6) \)а)Решете уравнението \ (2 \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (3) \ right) + \ cos (2x) = 1 + \ sqrt (3) \ cos x \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ right] \).
  2. а)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     б)\ (- 3 \ pi; - \ frac (8 \ pi) (3); - \ frac (7 \ pi) (3); -2 \ pi \)а)Решете уравнението \ (2 \ sqrt (3) \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (3) \ right) - \ cos (2x) = 3 \ cos x -1 \).
     б)Намерете неговите решения, принадлежащи на интервала \ (\ left [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ right] \).

14 : Ъгли и разстояния в пространството

• 1. \ (\ frac (420) (29) \)
     а)
     б)Намерете разстоянието от точка \ (B \) до права \ (AC_1 \), ако \ (AB = 21, B_1C_1 = 16, BB_1 = 12 \).
  2. 12
     а)Докажете, че ъгълът \ (ABC_1 \) е права линия.
     б)Намерете разстоянието от точка \ (B \) до права \ (AC_1 \), ако \ (AB = 15, B_1C_1 = 12, BB_1 = 16 \).
  3. \ (\ frac (120) (17) \) В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на равнината на основата. Точки \ (A \) и \ (B \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точките \ (B_1 \) и \ (C_1 \) върху окръжността на другата основа и \ ( BB_1 \) е генераторът на цилиндъра, а сегментът \ (AC_1 \) пресича оста на цилиндъра.
     а)Докажете, че ъгълът \ (ABC_1 \) е права линия.
     б)Намерете разстоянието от точка \ (B \) до права \ (AC_1 \), ако \ (AB = 8, B_1C_1 = 9, BB_1 = 12 \).
  4. \ (\ frac (60) (13) \) В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на равнината на основата. Точки \ (A \) и \ (B \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точките \ (B_1 \) и \ (C_1 \) върху окръжността на другата основа и \ ( BB_1 \) е генераторът на цилиндъра, а сегментът \ (AC_1 \) пресича оста на цилиндъра.
     а)Докажете, че ъгълът \ (ABC_1 \) е права линия.
     б)Намерете разстоянието от точка \ (B \) до права \ (AC_1 \), ако \ (AB = 12, B_1C_1 = 3, BB_1 = 4 \).
• 1. \ (\ arctan \ frac (17) (6) \) В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на равнината на основата. Точки \ (A \) и \ (B \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точките \ (B_1 \) и \ (C_1 \) върху окръжността на другата основа и \ ( BB_1 \) е генераторът на цилиндъра, а сегментът \ (AC_1 \) пресича оста на цилиндъра.
     а)Докажете, че ъгълът \ (ABC_1 \) е права линия.
     б)Намерете ъгъла между правата \ (AC_1 \) и \ (BB_1 \), ако \ (AB = 8, B_1C_1 = 15, BB_1 = 6 \).
  2. \ (\ arctan \ frac (2) (3) \)В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на основната равнина. Точки \ (A \) и \ (B \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точките \ (B_1 \) и \ (C_1 \) върху окръжността на другата основа и \ ( BB_1 \) е генераторът на цилиндъра, а сегментът \ (AC_1 \) пресича оста на цилиндъра.
     а)Докажете, че ъгълът \ (ABC_1 \) е права линия.
     б)Намерете ъгъла между правата \ (AC_1 \) и \ (BB_1 \), ако \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
• 1. 7.2 В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на основната равнина. Точки \ (A \) и \ (B \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точките \ (B_1 \) и \ (C_1 \) върху окръжността на другата основа и \ ( BB_1 \) е генераторът на цилиндъра, а сегментът \ (AC_1 \) пресича оста на цилиндъра.
     а)
     б)Намерете разстоянието между правите \ (AC_1 \) и \ (BB_1 \), ако \ (AB = 12, B_1C_1 = 9, BB_1 = 8 \).
  2. В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на основната равнина. Точки \ (A \) и \ (B \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точките \ (B_1 \) и \ (C_1 \) върху окръжността на другата основа и \ ( BB_1 \) е генераторът на цилиндъра, а сегментът \ (AC_1 \) пресича оста на цилиндъра.
     а)Докажете, че правите \ (AB \) и \ (B_1C_1 \) са перпендикулярни.
     б)Намерете разстоянието между правите \ (AC_1 \) и \ (BB_1 \), ако \ (AB = 3, B_1C_1 = 4, BB_1 = 1 \).
• 1. В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на основната равнина. Точки \ (A \) и \ (B \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точките \ (B_1 \) и \ (C_1 \) върху окръжността на другата основа и \ ( BB_1 \) е генераторът на цилиндъра, а сегментът \ (AC_1 \) пресича оста на цилиндъра.
     а)Докажете, че правите \ (AB \) и \ (B_1C_1 \) са перпендикулярни.
     б)Намерете площта на страничната повърхност на цилиндъра, ако \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
• 1. В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на основната равнина. Точки \ (A \) и \ (B \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точките \ (B_1 \) и \ (C_1 \) върху окръжността на другата основа и \ ( BB_1 \) е генераторът на цилиндъра, а сегментът \ (AC_1 \) пресича оста на цилиндъра.
     а)Докажете, че правите \ (AB \) и \ (B_1C_1 \) са перпендикулярни.
     б)Намерете общата повърхност на цилиндъра, ако \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
• 1. В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на основната равнина. Точки \ (A \) и \ (B \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точките \ (B_1 \) и \ (C_1 \) върху окръжността на другата основа и \ ( BB_1 \) е генераторът на цилиндъра, а сегментът \ (AC_1 \) пресича оста на цилиндъра.
     а)Докажете, че правите \ (AB \) и \ (B_1C_1 \) са перпендикулярни.
     б)Намерете обема на цилиндъра, ако \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
  2. В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на основната равнина. Точки \ (A \) и \ (B \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точките \ (B_1 \) и \ (C_1 \) върху окръжността на другата основа и \ ( BB_1 \) е генераторът на цилиндъра, а сегментът \ (AC_1 \) пресича оста на цилиндъра.
     а)Докажете, че правите \ (AB \) и \ (B_1C_1 \) са перпендикулярни.
     б)Намерете обема на цилиндъра, ако \ (AB = 7, B_1C_1 = 24, BB_1 = 10 \).
  3. В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на основната равнина. Точки \ (A \) и \ (B \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точките \ (B_1 \) и \ (C_1 \) върху окръжността на другата основа и \ ( BB_1 \) е генераторът на цилиндъра, а сегментът \ (AC_1 \) пресича оста на цилиндъра.
     а)Докажете, че правите \ (AB \) и \ (B_1C_1 \) са перпендикулярни.
     б)Намерете обема на цилиндъра, ако \ (AB = 21, B_1C_1 = 15, BB_1 = 20 \).
• 1. \ (\ sqrt (5) \)В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на основната равнина. Точки \ (A \), \ (B \) и \ (C \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точката \ (C_1 \) се избира върху окръжността на другата основа, и \ (CC_1 \) е генераторът на цилиндъра, а \ (AC \) - диаметърът на основата. Известно е, че ъгълът \ (ACB \) е равен на 30 градуса.
     а)Докажете, че ъгълът между правите \ (AC_1 \) и \ (BC_1 \) е 45 градуса.
     б)Намерете разстоянието от точка B до правата линия \ (AC_1 \), ако \ (AB = \ sqrt (6), CC_1 = 2 \ sqrt (3) \).
• 1. \ (4 \ пи \) В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на основната равнина. Точки \ (A \), \ (B \) и \ (C \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точката \ (C_1 \) се избира върху окръжността на другата основа, и \ (CC_1 \) е генераторът на цилиндъра, а \ (AC \) - диаметърът на основата. Известно е, че ъгълът \ (ACB \) е 30 °, \ (AB = \ sqrt (2), CC_1 = 2 \).
     а)Докажете, че ъгълът между правите \ (AC_1 \) и \ (BC_1 \) е 45 градуса.
     б)Намерете обема на цилиндъра.
  2. \ (16 \ pi \) В цилиндъра, генериращата е перпендикулярна на равнината на основата. Точки \ (A \), \ (B \) и \ (C \) се избират върху окръжността на една от основите на цилиндъра, а точката \ (C_1 \) се избира върху окръжността на другата основа, и \ (CC_1 \) е генераторът на цилиндъра, а \ (AC \) - диаметърът на основата. Известно е, че ъгълът \ (ACB \) е равен на 45 °, \ (AB = 2 \ sqrt (2), CC_1 = 4 \).
     а)Докажете, че ъгълът между правите \ (AC_1 \) и \ (BC \) е 60 градуса.
     б)Намерете обема на цилиндъра.
• 1. \ (2 \ sqrt (3) \) В куба \ (ABCDA_1B_1C_1D_1 \) всички ръбове са 6.
     а)Докажете, че ъгълът между правите \ (AC \) и \ (BD_1 \) е 60 °.
     б)Намерете разстоянието между правите \ (AC \) и \ (BD_1 \).
• 1. \ (\ frac (3 \ sqrt (22)) (5) \)
     а)
     б)Намерете \ (QP \), където \ (P \) е пресечната точка на равнината \ (MNK \) и ръба \ (SC \), ако \ (AB = SK = 6 \) и \ (SA = 8 \).
• 1. \ (\ frac (24 \ sqrt (39)) (7) \) В правилната пирамида \ (SABC \) точките \ (M \) и \ (N \) са средните точки на ръбовете \ (AB \) и \ (BC \), съответно. Точка \ (K \) е маркирана на страничния ръб \ (SA \). Сечението на пирамидата от равнината \ (MNK \) е четириъгълник, чиито диагонали се пресичат в точката \ (Q \).
     а)Докажете, че точката \ (Q \) лежи на височината на пирамидата.
     б)Намерете обема на пирамидата \ (QMNB \), ако \ (AB = 12, SA = 10 \) и \ (SK = 2 \).
• 1. \ (\ arctan 2 \ sqrt (11) \) В правилната пирамида \ (SABC \) точките \ (M \) и \ (N \) са средните точки на ръбовете \ (AB \) и \ (BC \), съответно. Точка \ (K \) е маркирана на страничния ръб \ (SA \). Сечението на пирамидата от равнината \ (MNK \) е четириъгълник, чиито диагонали се пресичат в точката \ (Q \).
     а)Докажете, че точката \ (Q \) лежи на височината на пирамидата.
     б)Намерете ъгъла между равнините \ (MNK \) и \ (ABC \), ако \ (AB = 6, SA = 12 \) и \ (SK = 3 \).
• 1. \ (\ frac (162 \ sqrt (51)) (25) \) В правилната пирамида \ (SABC \) точките \ (M \) и \ (N \) са средните точки на ръбовете \ (AB \) и \ (BC \), съответно. Точка \ (K \) е маркирана на страничния ръб \ (SA \). Сечението на пирамидата от равнината \ (MNK \) е четириъгълник, чиито диагонали се пресичат в точката \ (Q \).
     а)Докажете, че точката \ (Q \) лежи на височината на пирамидата.
     б)Намерете площта на сечението на пирамидата от равнината \ (MNK \), ако \ (AB = 12, SA = 15 \) и \ (SK = 6 \).

15 : Неравенства

• 1. \ ((- \ infty; -12] \ чаша \ вляво (- \ frac (35) (8); 0 \ вдясно] \) Решете неравенството \ (\ log _ (11) (8x ^ 2 + 7) - \ log _ (11) \ left (x ^ 2 + x + 1 \ right) \ geq \ log _ (11) \ left (\ frac (x) (x + 5) +7 \ вдясно) \).
  2. \ ((- \ infty; -50] \ чаша \ вляво (- \ frac (49) (8); 0 \ вдясно] \) Решете неравенството \ (\ log _ (5) (8x ^ 2 + 7) - \ log _ (5) \ left (x ^ 2 + x + 1 \ right) \ geq \ log _ (5) \ left (\ frac (x) (x + 7) +7 \ вдясно) \).
  3. \ ((- \ infty; -27] \ чаша \ вляво (- \ frac (80) (11); 0 \ вдясно] \) Решете неравенството \ (\ log _7 (11x ^ 2 + 10) - \ log _7 \ наляво (x ^ 2 + x + 1 \ вдясно) \ geq \ log _7 \ наляво (\ frac (x) (x + 8)) + 10 \ вдясно) \).
  4. \ ((- \ infty; -23] \ чаша \ вляво (- \ frac (160) (17); 0 \ вдясно] \) Решете неравенството \ (\ log _2 (17x ^ 2 + 16) - \ log _2 \ наляво (x ^ 2 + x + 1 \ вдясно) \ geq \ log _2 \ вляво (\ frac (x) (x + 10)) + 16 \ вдясно) \).
• 1. \ (\ вляво [\ frac (\ sqrt (3)) (3); + \ infty \ вдясно) \)Решете неравенството \ (2 \ log _2 (x \ sqrt (3)) - \ log _2 \ left (\ frac (x) (x + 1) \ right) \ geq \ log _2 \ left (3x ^ 2 + \ frac (1) (x) \ вдясно) \).
  2. \ (\ вляво (0; \ frac (1) (4) \ надясно) \ чаша \ вляво [\ frac (1) (\ sqrt (3)); 1 \ вдясно) \)Решете неравенството \ (2 \ log_3 (x \ sqrt (3)) - \ log_3 \ left (\ frac (x) (1-x) \ right) \ leq \ log_3 \ left (9x ^ (2) + \ frac ( 1) (x) -4 \ вдясно) \).
  3. \ (\ вляво (0; \ frac (1) (5) \ надясно) \ чаша \ вляво [\ frac (\ sqrt (2)) (2); 1 \ вдясно) \) Решете неравенството \ (2 \ log_7 (x \ sqrt (2)) - \ log_7 \ left (\ frac (x) (1-x) \ right) \ leq \ log_7 \ left (8x ^ (2) + \ frac ( 1) (x) -5 \ вдясно) \).
  4. \ (\ вляво (0; \ frac (1) (\ sqrt (5)) \ надясно] \ чаша \ вляво [\ frac (1) (2); 1 \ вдясно) \)Решете неравенството \ (2 \ log_2 (x \ sqrt (5)) - \ log_2 \ left (\ frac (x) (1-x) \ right) \ leq \ log_2 \ left (5x ^ (2) + \ frac ( 1) (x) -2 \ вдясно) \).
  5. \ (\ вляво (0; \ frac (1) (3) \ надясно] \ чаша \ вляво [\ frac (1) (2); 1 \ вдясно) \)Решете неравенството \ (2 \ log_5 (2x) - \ log_5 \ left (\ frac (x) (1-x) \ right) \ leq \ log_5 \ left (8x ^ (2) + \ frac (1) (x) ) -3 \ вдясно) \).
• 1. \ ((0; 1] \ чаша \ чаша \ вляво \)Решете неравенството \ (\ log _5 (4-x) + \ log _5 \ left (\ frac (1) (x) \ right) \ leq \ log _5 \ left (\ frac (1) (x) -x + 3 \ вдясно) \).
• 1. \ ((1; 1,5] \ чаша \ чаша \ чаша [3,5; + \ infty) \)Решете неравенството \ (\ log _5 (x ^ 2 + 4) - \ log _5 \ вляво (x ^ 2-x + 14 \ вдясно) \ geq \ log _5 \ left (1- \ frac (1) (x) \ вдясно) \).
  2. \ ((1; 1,5] \ чаша [4; + \ infty) \)Решете неравенството \ (\ log _3 (x ^ 2 + 2) - \ log _3 \ вляво (x ^ 2-x + 12 \ вдясно) \ geq \ log _3 \ left (1- \ frac (1) (x) \ вдясно) \).
  3. \ (\ вляво (\ frac (1) (2); \ frac (2) (3) \ надясно) \ чаша \ вляво [5; + \ infty \ вдясно) \)Решете неравенството \ (\ log _2 (2x ^ 2 + 4) - \ log _2 \ вляво (x ^ 2-x + 10 \ вдясно) \ geq \ log _2 \ вляво (2- \ frac (1) (x) \ вдясно) \).
• 1. \ ((- 3; -2] \ чаша \)Решете неравенството \ (\ log_2 \ left (\ frac (3) (x) +2 \ right) - \ log_2 (x + 3) \ leq \ log_2 \ left (\ frac (x + 4) (x ^ 2)) \ вдясно) \).
  2. \ ([- 2; -1) \ чаша (0; 9] \)Решете неравенството \ (\ log_5 \ left (\ frac (2) (x) +2 \ right) - \ log_5 (x + 3) \ leq \ log_5 \ left (\ frac (x + 6) (x ^ 2)) \ вдясно) \).
• 1. \ (\ вляво (\ frac (\ sqrt (6)) (3); 1 \ надясно) \ чаша \ вляво (1; + \ infty \ вдясно) \)Решете неравенството \ (\ log _5 (3x ^ 2-2) - \ log _5 x
  2. \ (\ вляво (\ frac (2) (5); + \ infty \ вдясно) \)Решете неравенството \ (\ log_3 (25x ^ 2-4) - \ log_3 x \ leq \ log_3 \ наляво (26x ^ ​​2 + \ frac (17) (x) -10 \ вдясно) \).
  3. \ (\ вляво (\ frac (5) (7); + \ infty \ вдясно) \)Решете неравенството \ (\ log_7 (49x ^ 2-25) - \ log_7 x \ leq \ log_7 \ наляво (50x ^ 2- \ frac (9) (x) +10 \ вдясно) \).
• 1. \ (\ вляво [- \ frac (1) (6); - \ frac (1) (24) \ вдясно) \ чаша (0; + \ infty) \) Решете неравенството \ (\ log_5 (3x + 1) + \ log_5 \ left (\ frac (1) (72x ^ (2)) + 1 \ right) \ geq \ log_5 \ left (\ frac (1) (24x) + 1 \ вдясно) \).
  2. \ (\ вляво [- \ frac (1) (4); - \ frac (1) (16) \ вдясно) \ чаша (0; + \ infty) \) Решете неравенството \ (\ log_3 (2x + 1) + \ log_3 \ left (\ frac (1) (32x ^ (2)) + 1 \ right) \ geq \ log_3 \ left (\ frac (1) (16x) + 1 \ вдясно) \).
• 1. \(1\) Решете неравенството \ (\ log _2 (3-2x) +2 \ log _2 \ left (\ frac (1) (x) \ right) \ leq \ log _2 \ left (\ frac (1) (x ^ (2) ) ) -2x + 2 \ вдясно) \).
  2. \((1; 3] \) Решете неравенството \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ left (2x + \ frac (4) (x-1) \ right) \ geq 2 \ log _2 \ left (\ frac (3x-1) ) ( 2) \ вдясно) \).
  3. \ (\ вляво [\ frac (1+ \ sqrt (5)) (2); + \ infty \ вдясно) \)Решете неравенството \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ left (x ^ 2 + \ frac (1) (x-1) \ right) \ leq 2 \ log _2 \ left (\ frac (x ^ 2 + x-1) (2) \ вдясно) \).
  4. \ (\ вляво [2; + \ infty \ вдясно) \)Решете неравенството \ (2 \ log _2 (x) + \ log _2 \ left (x + \ frac (1) (x ^ 2) \ right) \ leq 2 \ log _2 \ left (\ frac (x ^ 2 + x) (2) \ вдясно) \).
• 1. \ (\ вляво [\ frac (-5+ \ sqrt (41)) (8); \ frac (1) (2) \ вдясно) \) Решете неравенството \ (\ log _3 (1-2x) - \ log _3 \ left (\ frac (1) (x) -2 \ right) \ leq \ log _3 (4x ^ 2 + 6x-1) \).
• 1. \ (\ вляво [\ frac (1) (6); \ frac (1) (2) \ вдясно) \) Решете неравенството \ (2 \ log _2 (1-2x) - \ log _2 \ left (\ frac (1) (x) -2 \ right) \ leq \ log _2 (4x ^ 2 + 6x-1) \) .
• 1. \ ((1; + \ петдесет) \)Решете неравенството \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ left (2x + \ frac (4) (x-1) \ right) \ geq \ log _2 \ left (\ frac (3x-1)) (2 ) \ вдясно) \).
• 1. \ (\ вляво [\ frac (11 + 3 \ sqrt (17)) (2); + \ infty \ вдясно) \) Решете неравенството \ (\ log_2 (4x ^ 2-1) - \ log_2 x \ leq \ log_2 \ наляво (5x + \ frac (9) (x) -11 \ вдясно) \).

18 : Уравнения, неравенства, системи с параметър

• 1. $$ \ вляво (- \ frac (4) (3); - \ frac (3) (4) \ надясно) \ чаша \ наляво (\ frac (3) (4); 1 \ надясно) \ чаша \ вляво ( 1; \ frac (4) (3) \ дясно) $$

     \ (\ left \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) (x + ay-5) (x + ay-5a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 16 \ край (масив ) \ край (матрица) \ дясно. \)

  2. $$ \ вляво (- \ frac (3 \ sqrt (7)) (7); - \ frac (\ sqrt (7)) (3) \ вдясно) \ cup \ left (\ frac (\ sqrt (7)) (3); 1 \ дясно) \ чаша \ ляво (1; \ frac (3 \ sqrt (7)) (7) \ дясно) $$

     \ (\ left \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) (x + ay-4) (x + ay-4a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 9 \ край (масив ) \ край (матрица) \ дясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  3. $$ \ вляво (- \ frac (3 \ sqrt (5)) (2); - \ frac (2 \ sqrt (5)) (15) \ вдясно) \ cup \ left (\ frac (2 \ sqrt (5) )) (15); 1 \ дясно) \ чаша \ ляво (1; \ frac (3 \ sqrt (5)) (2) \ дясно) $$ Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ left \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) (x + ay-7) (x + ay-7a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 45 \ край (масив ) \ край (матрица) \ дясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  4. $$ \ вляво (-2 \ sqrt (2); - \ frac (\ sqrt (2)) (4) \ вдясно) \ чаша \ вляво (\ frac (\ sqrt (2)) (4); 1 \ надясно ) \ чаша \ ляво (1; 2 \ sqrt (2) \ дясно) $$ Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ left \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) (x + ay-3) (x + ay-3a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 8 \ край (масив ) \ край (матрица) \ дясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

• 1. $$ (1- \ sqrt (2); 0) \ чаша (0; 1.2) \ чаша (1.2; 3 \ sqrt (2) -3) $$Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ вляво \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2 + 2 (a-3) x-4ay + 5a ^ 2-6a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ край (масив) \ край (матрица) \ дясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  2. $$ (4-3 \ sqrt2; 1- \ frac (2) (\ sqrt5)) \ чаша (1- \ frac (2) (\ sqrt5); 1+ \ frac (2) (\ sqrt5)) \ чаша (\ frac (2) (3) + \ sqrt2; 4 + 3 \ sqrt2) $$Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ вляво \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4ax + 6x- (2a + 2) y + 5a ^ 2-10a + 1 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ край (масив) \ край (матрица) \ дясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  3. $$ \ вляво (- \ frac (2+ \ sqrt (2)) (3); -1 \ надясно) \ чаша (-1; -0,6) \ cup (-0,6; \ sqrt (2) -2) $ $ Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ вляво \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4 (a + 1) x-2ay + 5a ^ 2 + 8a + 3 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ край (масив) \ край (матрица) \ вдясно \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  4. $$ \ вляво (\ frac (2) (9); 2 \ вдясно) $$ Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ вляво \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4 (a + 1) x-2ay + 5a ^ 2-8a + 4 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ край (масив) \ край (матрица) \ вдясно \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  5. $$ \ ляво (3- \ sqrt2; \ frac (8) (5) \ дясно) \ чаша \ ляво (\ frac (8) (5); 2 \ дясно) \ чаша \ ляво (2; \ frac (3) + \ sqrt2) (2) \ вдясно) $$ Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ вляво \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-6 (a-2) x-2ay + 10a ^ 2 + 32-36a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ край (масив) \ край (матрица) \ вдясно \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  6. $$ (1- \ sqrt2; 0) \ чаша (0; 0,8) \ чаша (0,8; 2 \ sqrt2-2) $$ Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ вляво \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-2 (a-4) x-6ay + 10a ^ 2-8a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ край (масив) \ край (матрица) \ дясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

• 1. $$ (2; 4) \ чаша (6; + \ infty) $$Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ наляво \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 4-y ^ 4 = 10a-24 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = a \ край (масив) \ край (матрица ) \ правилно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  2. $$ (2; 6-2 \ sqrt (2)) \ чаша (6 + 2 \ sqrt (2); + \ infty) $$Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ left \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 4-y ^ 4 = 12a-28 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = a \ край (масив) \ край (матрица ) \ правилно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

• 1. $$ \ вляво (- \ frac (3) (14) (\ sqrt2-4); \ frac (3) (5) \ вдясно] \ чаша \ наляво [1; \ frac (3) (14) (\ sqrt2 +4) \ вдясно) $$Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ left \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 4a-3 | \ край (масив) \ край (матрица) \ вдясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  2. $$ (4-2 \ sqrt (2); \ frac (4) (3)) \ чаша (4; 4 + 2 \ sqrt (2)) $$Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ left \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 2a-4 | \ край (масив) \ край (матрица) \ вдясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  3. $$ (5- \ sqrt (2); 4) \ чаша (4; 5+ \ sqrt (2)) $$Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ left \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = 2a-7 \\ x ^ 2 + y = | a-3 | \ край (масив) \ край (матрица) \ вдясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  4. $$ \ вляво (\ frac (1) (7) (4- \ sqrt2); \ frac (2) (5) \ надясно) \ чаша \ вляво (\ frac (2) (5); \ frac (1) (2) \ вдясно) \ чаша \ вляво (\ frac (1) (2); \ frac (1) (7) (\ sqrt2 + 4) \ вдясно) $$Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ ляво \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 4a-2 | \ край (масив) \ край (матрица) \ вдясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

• 1. $$ \ наляво (\ frac (-2- \ sqrt (2)) (3); -1 \ надясно) \ чаша (-1; -0,6) \ чаша (-0,6; \ sqrt (2) -2) $ $ Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ наляво \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) (x- (2a + 2)) ^ 2+ (ya) ^ 2 = 1 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ край ( масив) \ край (матрица) \ дясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  2. $$ (1- \ sqrt (2); 0) \ чаша (0; 1.2) \ чаша (1.2; 3 \ sqrt (2) -3) $$Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ вляво \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) (x- (3-a)) ^ 2+ (y-2a) ^ 2 = 9 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ край (масив) \ край (матрица) \ дясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

• 1. $$ (- 9,25; -3) \ чаша (-3; 3) \ чаша (3; 9,25) $$ Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ left \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) y = (a + 3) x ^ 2 + 2ax + a-3 \\ x ^ 2 = y ^ 2 \ край (масив) \ край (матрица) \ вдясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  2. $$ (- 4,25; -2) \ чаша (-2; 2) \ чаша (2; 4,25) $$ Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ left \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) y = (a + 2) x ^ 2-2ax + a-2 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ край (масив) \ край (матрица) \ вдясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

  3. $$ (- 4,25; -2) \ чаша (-2; 2) \ чаша (2; 4,25) $$ Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ left \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) y = (a-2) x ^ 2-2ax-2 + a \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ край (масив) \ край (матрица) \ вдясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

• 1. $$ (- \ infty; -3) \ чаша (-3; 0) \ чаша (3; \ frac (25) (8)) $$Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата

     \ (\ вляво \ (\ начало (матрица) \ начало (масив) (lcl) ax ^ 2 + ay ^ 2- (2a-5) x + 2ay + 1 = 0 \\ x ^ 2 + y = xy + x \ край (масив) \ край (матрица) \ вдясно. \)

     Уравнението има точно четири различни решения.

• 1. $$ \ наляво [0; \ frac (2) (3) \ вдясно] $$ Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които уравнението

     \ (\ sqrt (x + 2a-1) + \ sqrt (x-a) = 1 \)

     Има поне едно решение.

19 : Числата и техните свойства

БЛАГОДАРЯ ТИ

проекти

1. "Yagubov.RF" [Учители]
2. "Ягубов.РФ" [Математика]

В задача номер 7 от профила ниво ИЗПОЛЗВАНЕв математиката е необходимо да се демонстрират знания за производните и антипроизводните функции. В повечето случаи простото дефиниране на понятията и разбирането на значенията на производното е достатъчно.

Анализ на типични варианти за задачи № 7 на ЕГЭ по математика от профилно ниво

Първият вариант на задачата (демо версия 2018 г.)

Фигурата показва графиката на диференцируемата функция y = f (x). На абсцисата са отбелязани девет точки: x 1, x 2,…, x 9. Сред тези точки намерете всички точки, в които производната на функцията y = f (x) е отрицателна. В отговора посочете броя на намерените точки.

Алгоритъм за решение:

1. Разгледайте графиката на функцията.
2. Търсим точки, в които функцията намалява.
3. Преброяваме броя им.
4. Записваме отговора.

Решение:

1. На графиката функцията периодично нараства, периодично намалява.

2. При тези интелектуалци, при които функцията намалява, производната има отрицателни стойности.

3. Тези интервали съдържат точките х 3 , х 4 , х 5 , х 9 . Има 4 такива точки.

Вторият вариант на заданието (от Ященко, № 4)

Алгоритъм за решение:

1. Разгледайте графиката на функцията.
2. Разгледайте поведението на функцията във всяка една от точките и знака на производната в тях.
3. Намерете точки в най-голямата стойностпроизводно.
4. Записваме отговора.

Решение:

1. Функцията има няколко интервала на намаляване и нарастване.

2. Където функцията намалява. Производната има знак минус. Сред посочените има такива точки. Но има точки на графиката, където функцията се увеличава. При тях производната е положителна. Това са точки с абциси -2 и 2.

3. Разгледайте графиката в точките с x = -2 и x = 2. В точката x = 2 функцията се изкачва по-стръмно, което означава, че допирателната в тази точка има по-голям наклон. Следователно в точката с абциса 2. Производната има най-голяма стойност.

Третият вариант на заданието (от Яшченко, № 21)

Алгоритъм за решение:

1. Нека приравним уравненията на допирателната и функцията.
2. Опростяваме полученото равенство.
3. Намерете дискриминанта.
4. Определете параметъра а, в който решението е уникално.
5. Записваме отговора.

Решение:

1. Координатите на допирателната точка удовлетворяват и двете уравнения: допирателна и функция. Следователно можем да приравним уравненията. ще получим.

Изпитната програма, както и предишни години, е съставена от материали от основни математически дисциплини. Билетите ще включват математически, геометрични и алгебрични задачи.

Няма промени в KIM USE 2020 по математика на ниво профил.

Особености на изпитните задачи по математика-2020

• Когато се подготвяте за изпита по математика (профил), обърнете внимание на основните изисквания на изпитната програма. Предназначена е за проверка на знанията на задълбочена програма: векторни и математически модели, функции и логаритми, алгебрични уравнения и неравенства.
• Упражнявайте се да решавате задачи поотделно.
• Важно е да покажете нестандартно мислене.

Структура на изпита

Задачи Единен държавен изпит за профилматематикаразделени на два блока.

1. Част - кратки отговори, включва 8 задачи, които проверяват основната математическа подготовка и способността за прилагане на знанията по математика в ежедневието.
2. част -кратко и подробни отговори... Състои се от 11 задачи, 4 от които изискват кратък отговор, а 7 - разширени с обосновката на извършените действия.

• Повишена сложност- задачи 9-17 от втора част на КИМ.
• Високо нивотрудности- задачи 18-19 -. Тази част от изпитните задачи проверява не само нивото на математически познания, но и наличието или отсъствието на творчески подход за решаване на сухи „цифрови“ задачи, както и ефективността на способността за използване на знания и умения като професионален инструмент .

Важно!Следователно, в подготовка за Теория на Единния държавен изпитпо математика, винаги подсилвайте чрез решаване на практически задачи.

Как ще бъдат разпределени точките

Задачите на първата част на КИМ по математика са близки до изпитни тестове начално ниво, Ето защо висока оценканевъзможно е да се набере на тях.

Точките за всяка задача по математика от профилно ниво бяха разпределени по следния начин:

• за верни отговори на задачи No 1-12 - по 1 точка;
• No 13-15 - по 2 бр.;
• No 16-17 - по 3 бр.;
• No 18-19 - по 4 бр.

Продължителност на изпита и правила за провеждане на изпита

За да завършите изпитната работа -2020 назначен ученик 3 часа 55 минути(235 минути).

През това време ученикът не трябва:

• държат се шумно;
• използвайте джаджи и други технически средства;
• отписвам;
• опитвайки се да помогнете на другите или да поискате помощ за себе си.

За такива действия проверяващият може да бъде изгонен от аудиторията.

На Държавен изпитматематика разрешено да донесесамо линийка с вас, останалите материали ще ви бъдат дадени непосредствено преди изпита. издадени на местно ниво.

Ефективна подготовкае решението онлайн тестовепо математика 2020. Изберете и вземете максималния резултат!

Представям решението на 7-ма задача на ОГЕ-2016 по информатика от демонстрационния проект. В сравнение с демонстрацията от 2015 г., задача 7 не се е променила. Това е задача за способността за кодиране и декодиране на информация (Кодиране и декодиране на информация). Отговорът на задача 7 е поредица от букви, които трябва да бъдат написани в полето за отговор.

Екранна снимка 7 на заданието.

Упражнение:

Разузнавачът предаде радиограма в щаба
– – – – – – – –
Тази радиограма съдържа поредица от букви, в които се намират само буквите A, D, ZH, L, T. Всяка буква е кодирана с морзовата азбука. Между буквените кодове няма разделители. Запишете предадената последователност от букви в отговора.
Необходимият фрагмент на морзова азбука е показан по-долу.

Отговор: __

Тази задача се изпълнява най-добре последователно, като се затваря всеки възможен код.
1. (-) - - - - - - -, първите две позиции могат да бъдат само буквата А
2.
а) (-) (-) - - - - - -, следващите три позиции могат да бъдат буквата D
б) (-) (-) - - - - - -, или една позиция е буквата L, но ако вземем следната комбинация (-) (-) (-) - - - - -, (буква Т), тогава няма да избираме повече, което можем (просто няма такива комбинации, започващи с две точки), следователно. ние сме в безизходица и заключаваме, че този път е грешен
3. Връщане към опция а)
(-) (-) (-) - - - - -, това е буквата Ж
4. (-) (-) (-) (-) - - - -, това е буквата L
5. (-) (-) (-) (-) (-) - - -, това е буквата D
6. (-) (-) (-) (-) (-) (-) - - и това е буквата L
7. (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) -, буква А
8. (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-), буква L
9. Събираме всички писма, които получихме: AJLDLAL.

Отговор: AJLDLAL

Средното общо образование

UMK линия G.K. Muravin. Алгебра и начало математически анализ(10-11) (задълбочете.)

Линия UMK Merzlyak. Алгебра и началото на анализа (10-11) (U)

математика

Подготовка за изпита по математика ( ниво профил): задачи, решения и обяснения

Изпитна хартиянивото на профила продължава 3 часа 55 минути (235 минути).

Минимален праг- 27 точки.

Изпитната работа се състои от две части, които се различават по съдържание, сложност и брой задачи.

Определящата характеристика на всяка част от работата е формата на задачи:

• част 1 съдържа 8 задачи (задачи 1-8) с кратък отговор под формата на цяло число или крайна десетична дроб;
• Част 2 съдържа 4 задачи (задачи 9-12) с кратък отговор под формата на цяло число или крайна десетична дроб и 7 задачи (задачи 13-19) с подробен отговор (пълен запис на решението с обосновка на извършените действия).

Панова Светлана Анатолиевна, учител по математика от висша категория на училището, трудов стаж 20 години:

„За да получи свидетелство за училище, завършил трябва да издържи два задължителни изпита ИЗПОЛЗВАЙТЕ формуляредна от които е математика. В съответствие с Концепцията за развитие на математическото образование в Руска федерацияИзпитът по математика е разделен на две нива: основно и специализирано. Днес ще разгледаме опциите за нивото на профила."

Задача номер 1- проверява способността на участниците в ЕГЭ да прилагат уменията, придобити в 5-9 клас по начална математика, в практически дейности... Участникът трябва да има изчислителни умения, да може да работи с рационални числа, да могат да закръглят десетични знаци, може да преобразува една мерна единица в друга.

Пример 1.В апартамента, в който живее Петър, е монтиран разходомер студена вода(брояч). На 1 май измервателният уред показа разход от 172 куб.м. м вода, а на 1 юни - 177 куб. м. Каква сума трябва да плати Петър за студена вода за май, ако цената на 1 кубичен метър. m студена вода е 34 рубли 17 копейки? Дайте отговора си в рубли.

Решение:

1) Нека намерим количеството вода, изразходвана на месец:

177 - 172 = 5 (кубични метра)

2) Нека намерим колко пари ще бъдат платени за изразходваната вода:

34,17 5 = 170,85 (триване)

Отговор: 170,85.

Задача номер 2-е една от най-простите изпитни задачи. Повечето завършили успешно се справят с него, което свидетелства за притежаването на дефиницията на понятието функция. Тип задача номер 2 според кодификатора на изискванията е задача за използване на придобитите знания и умения в практически дейности и Ежедневието... Задача номер 2 се състои от описание с помощта на функции на различни реални връзки между количества и интерпретация на техните графики. Задача номер 2 тества способността за извличане на информация, представена в таблици, диаграми, графики. Завършилите трябва да могат да определят стойността на функция по стойността на аргумента when различни начинизадаване на функция и описание на поведението и свойствата на функцията според нейния график. Необходимо е също така да можете да намерите най-голямото или най-малката стойности построете графики на научените функции. Допуснатите грешки са случайни при четенето на формулировката на проблема, четенето на диаграмата.

# ADVERTISING_INSERT #

Пример 2.Фигурата показва промяната в пазарната стойност на една акция на минна компания през първата половина на април 2017 г. На 7 април бизнесменът придоби 1000 акции от това дружество. На 10 април той продаде три четвърти от закупените акции, а на 13 април продаде всички останали. Колко загуби бизнесменът в резултат на тези операции?

Решение:

2) 1000 3/4 = 750 (акции) - съставляват 3/4 от всички закупени акции.

6) 247500 + 77500 = 325000 (рубли) - бизнесменът получи 1000 акции след продажбата.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (рубли) - бизнесменът загуби в резултат на всички операции.