La estereometría es una parte importante. curso general Geometría, que considera las características de las figuras espaciales. Una de estas figuras es un prisma cuadrangular. Este artículo describirá la pregunta con más detalle cómo calcular el volumen del prisma de cuadrangular.

¿Cuál es el prisma de cuadrangular?

Obviamente, antes de llevar la fórmula para el volumen del prisma de un cuadrangular, es necesario dar una definición clara de esta forma geométrica. Bajo tales prismas, se entiende un poliedro tridimensional, que está limitado por dos cuadrangulares idénticos arbitrarios que se encuentran en aviones paralelos y cuatro paralelogramas.

Los cuadrados paralelos norados se llaman las bases de la figura, y cuatro paralelogramas son los lados. Debe explicarse aquí que los paralelogramas también son cuadrángulos, pero las bases no siempre son paralelogramas. Un ejemplo de un cuadrángulo irregular, que puede ser la base del prisma, se muestra a continuación en la figura.

Cualquier prisma cuadrangular consta de 6 lados, 8 vértices y 12 costillas. Hay prismas cuadrangulares. especies diferentes. Por ejemplo, la cifra puede estar inclinada o recta, incorrecta y correcta. Además, en el artículo mostramos cómo el volumen del prisma es cuadrangial, teniendo en cuenta su tipo.

Prisma inclinado con base incorrecta.

Esta es la forma más asimétrica de un prisma cuadrangular, por lo que el cálculo de su volumen será relativamente difícil. Determinar el volumen de la figura permite la siguiente expresión:

El símbolo así aquí está indicado por el área base. Si esta base es un rombo, un paralelogramo o un rectángulo, luego calcula el valor de lo que es fácil. Entonces, para el rombo y el paralelogramo de la fórmula:

donde A es el lado de la base, HA es la longitud de la base de altura desde la parte superior de la base.

Si la base no es polígono derecho (ver arriba), entonces su área debe dividirse en más figuras simples (Por ejemplo, triángulos), calcule su área y encuentre su suma.

En la fórmula para el volumen, el símbolo H está indicado por la altura del prisma. Es la longitud del segmento perpendicular entre las dos bases. Dado que el prisma está inclinado, entonces el cálculo de la altura H debe llevarse a cabo utilizando la longitud del borde lateral B y los ángulos dwarfrani entre las caras laterales y la base.

Figura propia y su volumen.

Si la base del prisma cuadrangular es el cuadrado, y la figura en sí será recta, entonces se llama adecuada. Se debe explicar que el prisma directo se llama cuando todos sus lados laterales son rectángulos y cada uno de ellos es perpendicular a los terrenos. La cifra correcta se muestra a continuación.

El volumen del prisma cuadrangular correcto se puede calcular mediante la misma fórmula que el volumen de forma incorrecta. Debido a que la base es la plaza, entonces su área se calcula simplemente:

La altura del prisma H es igual a la longitud del borde lateral B (el lado del rectángulo). Luego, el volumen del prisma correcto del cuadrangular se puede calcular de acuerdo con la siguiente fórmula:

El prisma adecuado con la base cuadrada se llama paralelepípedo rectangular. Esto paralelepípedo en caso de igualdad de las partes A y B se convierte en un cubo. El volumen de este último se calcula, por lo que:

Las fórmulas registradas para el volumen V indican que cuanto más alta sea la simetría de la figura, menor parámetros lineales requerido para calcular este valor. Entonces, en el caso del prisma correcto, el número requerido de parámetros es dos, y en el caso de Cuba, uno.

Tarea con la figura correcta.

Habiendo considerado la cuestión de encontrar el volumen del prisma de un cuadrangular desde el punto de vista de la teoría, aplicamos el conocimiento adquirido en la práctica.

Se sabe que el paralelepípedo correcto tiene una longitud diagonal de la base, igual a 12 cm. La longitud de la diagonal de su lado es de 20 cm. Es necesario calcular la cantidad de paralelepípedo.

Denote la diagonal base con el símbolo DA, y la diagonal de la cara lateral: el símbolo de DB. Para expresiones justas de Diagonal DA:

En cuanto al valor DB, es una diagonal rectangular con los lados de A y B. Para ella, puedes escribir las siguientes igualdad:

db2 \u003d a2 + b2 \u003d\u003e

b \u003d √ (db2 - a2)

Sustituyendo la expresión encontrada a la última igualdad para A, obtenemos:

b \u003d √ (DB2 - DA2 / 2)

Ahora puede sustituir las fórmulas resultantes en la expresión para el volumen de la figura correcta:

V \u003d A2 * B \u003d DA2 / 2 * √ (DB2 - DA2 / 2)

Reemplazo de números DA y DB de la condición del problema, llegamos a la respuesta: v ≈ 1304 cm3.

Definición.

Este es un hexágono, cuyos bases son dos. cuadrados igualesy las caras laterales son iguales rectángulos

Costilla - Este es el lado común de dos caras laterales adyacentes.

Prisma de altura - Este es un segmento, perpendicular a las razones del prisma.

Prisma diagonal - Cortar la conexión de dos vértices de bases que no pertenecen a una cara.

Avión diagonal - Un plano que pasa a través de la diagonal del prisma y sus costillas.

Sección diagonal - Fronteras de la intersección del prisma y el plano diagonal. La sección diagonal del prisma cuadrangular correcto es un rectángulo.

Sección transversal perpendicular (sección ortogonal) - Esta es la intersección del prisma y el plano realizado perpendicular a sus bordes laterales.

Elementos del prisma cuadrangular derecho.

La figura muestra los dos prismas cuadrangulares derechos que están indicados por las letras correspondientes:

• Las bases de ABCD y 1 B 1 C 1 d 1 son iguales y paralelas entre sí
• Caras laterales AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C y CC 1 D 1 D, cada una de las cuales es un rectángulo
• Superficie lateral: la suma del área de todas las caras laterales del prisma.
• Superficie completa: la suma de las áreas de todas las bases y las caras laterales (la suma de la superficie lateral y el área base)
• Bordes laterales AA 1, BB 1, CC 1 y DD 1.
• DIAGONAL B 1 D
• DIAGONAL DIGONAL BD.
• Sección diagonal BB 1 D 1 D
• Sección perpendicular A 2 B 2 C 2 D 2.

Propiedades del prisma cuadrangular derecho.

• Los terrenos son dos cuadrados iguales.
• Las bases son paralelas entre sí.
• Las luces laterales son rectángulos
• Las caras laterales son iguales entre sí.
• Caras laterales perpendiculares a los terrenos.
• Los bordes laterales son paralelos entre ellos y iguales.
• Sección transversal perpendicular perpendicular a todos los bordes laterales y paralelo a los terrenos.
• Esquinas de la sección perpendicular - directo
• La sección diagonal del prisma cuadrangular correcto es un rectángulo.
• Perpendicular (sección ortogonal) paralela a los terrenos

Fórmulas para el prisma cuadrangular correcto.

Instrucciones para resolver problemas.

Al resolver tareas en el tema " prisma cuadrangular adecuado"Se entiende que:

Prisma adecuado - Prisma en la base de los cuales se encuentra el polígono derecho, y las costillas laterales son perpendiculares a los planos básicos. Es decir, el prisma cuadrangular correcto contiene en su base. cuadrado. (Vea las propiedades anteriores del prisma cuadrangular derecho) Nota. Esto es parte de la lección con las tareas de la geometría (sección de estereometría - prisma). Aquí están las tareas que causan dificultades para resolver. Si necesita resolver la tarea de la geometría, que no está aquí, escriba sobre ello en el foro. Para designar una extracción de raíz cuadrada en soluciones de tareas, se utiliza un símbolo.√ .

Una tarea.

En el prisma de cuatro grados derecho, el área base es de 144 cm 2, y la altura es de 14 cm. Encuentra el prisma diagonal y la superficie completa.

Decisión.
El cuadrángulo correcto es un cuadrado.
En consecuencia, el lado base será igual.

√144 \u003d 12 cm.
Desde donde la base diagonal del prisma rectangular correcto será igual a
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonal del prisma correcto forma una diagonal de la base y la altura del prisma. triángulo rectángulo. En consecuencia, según el teorema de Pythagora, la diagonal de un prisma cuadrangular correcto dado será igual a:
√ ((12√2) 2 + 14 2) \u003d 22 cm

Respuesta: 22 cm

Una tarea

Determine la superficie completa del prisma cuadrangular correcto, si su diagonal es de 5 cm, y la diagonal de la cara lateral es de 4 cm.

Decisión.
Dado que, en la base del prisma cuadrangular correcto, hay un cuadrado, luego el lado de la base (denotamos como a) encontraremos en el teorema de Pythagora:

A 2 + A 2 \u003d 5 2
2a 2 \u003d 25
a \u003d √12.5

La altura de la cara lateral (denotamos cómo H) será igual a:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
H 2 + 12.5 \u003d 16
H 2 \u003d 3.5
H \u003d √3.5

El área de superficie total será igual a la suma del lado de la superficie lateral y el área doble de la base.

S \u003d 2a 2 + 4ah
S \u003d 25 + 4√12,5 * √3.5
S \u003d 25 + 4√43,75
S \u003d 25 + 4√ (175/4)
S \u003d 25 + 4√ (7 * 25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Respuesta: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

El prisma es una figura gruesa geométrica, características y propiedades de las cuales se estudian en las escuelas secundarias. Como regla general, al estudiar, considera tales valores como el volumen y la superficie. En este artículo, revelaremos una pregunta ligeramente diferente: le damos un método para determinar la longitud de las diagonales del prisma en el ejemplo de una figura cuadrangular.

¿Qué figura se llama prisma?

En geometría se da siguiente definición PROM: Esta es una figura a granel, limitada por dos identificaciones poligonales, que son paralelas entre sí, y algunos de los paralelogramas. La siguiente figura muestra un ejemplo de un prisma apropiado. esta definición.

Vemos que dos pentágonos rojos son iguales entre sí y están en dos planos paralelos. Cinco paralelogramas rosados \u200b\u200bcombinan estos pentágonos en un objeto sólido, un prisma. Dos pentágonos se llaman las bases de la figura, y sus paralelogramas son caras laterales.

Los prismas son rectos e inclinados, que también se llaman rectangular y ricol. La diferencia entre ellos se encuentra en las esquinas entre las caras de la base y el lado. Para un prisma rectangular, todas estas esquinas son 90 O.

En el número de partes o vértices del polígono, habla sobre los prismas de triangular, pentagonal, cuadrangular, etc. Además, si este polígono es correcto, y el prisma en sí es recto, entonces tal figura se llama la correcta.

El prisma dado en la figura anterior es un pentagonal inclinado. Cuanto menor sea el prisma directo pentagonal, que es correcto.

Todos los cálculos, incluido el método para determinar las diagonales del prisma, lo conveniente para realizar precisamente las cifras correctas.

¿Qué elementos caracterizan el prisma?

Los elementos de la figura llaman a los componentes que lo forman. Específicamente, se pueden distinguir tres tipos principales de artículos para el prisma:

• vértices;
• cara o lado;
• costillas

Se considera que los terrenos y los planos laterales que representan los paralelogramas en el caso general se consideran caras. En un prisma, cada lado se relaciona con uno de los dos tipos: este es un polígono o paralelogramo.

Las costillas PROMS son aquellos segmentos que limitan cada lado de la figura. Al igual que la cara, las costillas también tienen dos tipos: pertenecientes a la superficie y la superficie lateral o relacionadas solo con la superficie lateral. Primero siempre el doble de más grande que el segundo, independientemente del tipo de prisma.

Los vértices son los puntos de intersección de los tres bordes del prisma, dos de los cuales se encuentran en el plano de la base, y el tercero, pertenece a dos caras laterales. Todas las cumbres del prisma están en los planos de la base de la figura.

Los números de los elementos descritos están asociados con una sola igualdad que tiene la siguiente forma:

P \u003d b + c - 2.

Aquí R es el número de costillas, en - vértices, desde los lados. Esta igualdad se llama el teorema de Euler para el poliedro.

La figura muestra el prisma adecuado triangular. Todos pueden calcular que tiene 6 vértices, 5 lados y 9 costillas. Estas cifras son consistentes con el teorema de Euler.

Prisma diagonal

Después de tales propiedades, como el volumen y el área de la superficie, se encuentra a menudo información sobre la duración de una u otra diagonal de la figura considerada, que se encuentra a menudo en las tareas de geometría, que se administra, o debe encontrarse en Otros parámetros bien conocidos. Considera lo que son diagonalmente del prisma.

Todas las diagonales se pueden dividir en dos tipos:

1. Caras intermitentes. Conectan los no picos de un polígono en la base del prisma, o el paralelogramo de superficie lateral. El valor de las longitudes de dichas diagonales se determina en función del conocimiento de las longitudes de las costillas correspondientes y los ángulos entre ellos. Las propiedades de los triángulos siempre se utilizan para determinar las diagonales de los paralelogramas.
2. Mentir dentro del volumen del prisma. Estas diagonales conectan los vértices inhomópicos de dos bases. Estas diagonales resultan estar completamente dentro de la figura. Sus longitudes calculan son algo más complicadas que para el tipo anterior. La técnica de cálculo implica los registros de las longitudes de las costillas y la base, y los paralelogramas. Para los prismas directos y correctos, el cálculo es relativamente simple, ya que se lleva a cabo utilizando el teorema de Pitágoras y las propiedades de las funciones trigonométricas.

Lados diagonales de un prisma directo cuadrangular.

La figura anterior muestra cuatro prismas directos idénticos, y se administran los parámetros de sus costillas. En los prismas de diagonal A, diagonal B y diagonal, la diagonal de tres caras diferentes se representa con una línea de barra roja. Dado que el prisma es una línea recta con una altura de 5 cm, y su base está representada por un rectángulo con lados de 3 cm y 2 cm, entonces no es difícil encontrar diagonales marcados. Para hacer esto, use el teorema de Pythagora.

La longitud diagonal de la base del prisma (diagonal A) es igual a:

D A \u003d √ (3 2 +2 2) \u003d √13 ≈ 3.606 cm.

Para la cara lateral de las cárceles, la diagonal es igual a (ver diagonal B):

D B \u003d √ (3 2 +5 2) \u003d √34 ≈ 5,831 cm.

Finalmente, la longitud de otra diagonal lateral es igual a (ver diagonal C):

D c \u003d √ (2 2 +5 2) \u003d √29 ≈ 5.385 cm.

Duración de la diagonal interna.

Ahora calculamos la longitud de la diagonal del prisma cuadrangular, que se representa en la figura anterior (diagonal D). No es tan difícil de hacer, si observamos que es un hipotenoise triángulo, en el que la elevación del prisma (5 cm) y la diagonal D a, representados en la figura en la parte superior de la izquierda (diagonal A). Entonces obtengamos:

D d \u003d √ (D A 2 +5 2) \u003d √ (2 2 +3 2 +5 2) \u003d √38 ≈ 6,164 cm.

Prisma cuadrangular adecuado

La diagonal del prisma correcto, cuya base es la plaza, se calcula de la misma manera que en el ejemplo anterior. La fórmula correspondiente tiene la forma:

D \u003d √ (2 * A 2 + C 2).

Donde A y C son las longitudes del lado de la base y la costilla lateral, respectivamente.

Tenga en cuenta que al calcular, solo usamos el teorema de Pythagore. Para determinar las longitudes de las diagonales de los prismas correctos con una gran cantidad de vértices (pentagonales, hexagonales, etc.), ya es necesario aplicar funciones trigonométricas.

EN programa escolar A la tasa de estereometría, el estudio de las figuras de volumen generalmente comienza con un cuerpo geométrico simple: un prisma de poliedro. El papel de sus fundamentos se realiza 2. polígono igualMentir en aviones paralelos. Una ocasión especial es el prisma de cuatro nacidos correcto. Sus bases son 2 cuadriculadores regulares idénticos, que son perpendiculares a los lados que tienen la forma de los paralelogramas (o rectángulos, si el prisma no es oblicuo).

Como se ve el prisma

Los prismas de cuatro grados correctos se denominan un hexágono, en las bases de las cuales hay 2 cuadrados, y las caras laterales están representadas por rectángulos. Un nombre similar para esta forma geométrica es un paralelepípedo recto.

El dibujo, que muestra el prisma de cuatro disparadores, se muestra a continuación.

En la foto también puedes ver los elementos más importantes de los que consiste. cuerpo geométrico . Ellos son considerados:

A veces, el concepto de sección se puede encontrar en las tareas de geometría. La definición sonará así: la sección es todos los puntos del cuerpo volumétrico que pertenecen al plano de seguridad. La sección transversal es perpendicular (cruza las costillas de la forma en un ángulo de 90 grados). Para un prisma rectangular, también se considera una sección transversal diagonal (el número máximo de secciones que se pueden construir - 2), pasando a través de 2 costillas y la diagonal de la base.

Si la sección transversal se dibuja de tal manera que el plano secante no es paralelo a ni los conceptos básicos ni las caras laterales, como resultado, se obtiene un prisma truncado.

Para encontrar los elementos prismáticos dados, se utilizan varias relaciones y fórmulas. Algunos de ellos son conocidos por la tasa de planimetría (por ejemplo, para encontrar el área del prisma, es suficiente recordar el cuadrado del cuadrado de la plaza).

Área de superficie y volumen.

Para determinar el volumen del prisma en la fórmula, debe conocer el área de su fundación y altura:

V \u003d sosn · h

Dado que la base del prisma correcto de cuatro cabezas es el cuadrado de la fiesta. apuedes grabar una fórmula en un más detallado:

V \u003d a² · h

Si estamos hablando de Cuba, el premio correcto con una longitud, ancho y altura igual, el volumen se calcula de la siguiente manera:

Para entender cómo encontrar el área de la superficie lateral del prisma, es necesario imaginar su debano.

Desde el dibujo se puede ver que la superficie lateral está formada por 4 rectángulos iguales. Su área se calcula como un producto del perímetro de la base a la altura de la figura:

Sbok \u003d posh · h

Teniendo en cuenta que el perímetro de la plaza es igual P \u003d 4A,la fórmula toma la forma:

Sbok \u003d 4a · h

Para Cuba:

Sbok \u003d 4A ²

Para calcular el área de la superficie completa del prisma, debe agregar 2 áreas de base al área lateral:

SPLE \u003d SBO + 2SH

Con referencia al primo correcto de cuatro nacidos, la fórmula tiene la forma:

SPEF \u003d 4A · H + 2A²

Para Cuba Superficie Square:

SPEF \u003d 6A²

Conocer el volumen o área de superficie, puede calcular elementos individuales del cuerpo geométrico.

Encontrar elementos prisma

A menudo, hay tareas en las que se administra o conoce el tamaño del área de la superficie lateral, donde es necesario determinar la longitud del lado de la base o la altura. En tales casos, las fórmulas se pueden mostrar:

• longitud del lado de la base: a \u003d sbok / 4h \u003d √ (v / h);
• longitud de altura o costillas laterales: h \u003d SBOK / 4A \u003d V / A²;
• Área de la Fundación: Sosn \u003d v / h;
• lado lateral: Sbo. Gr \u003d sbo / 4.

Para determinar qué área hay una sección diagonal, debe conocer la longitud de la diagonal y la altura de la figura. Para cuadrado d \u003d A√2. Por lo tanto:

Sadiag \u003d ah√2

Para calcular la diagonal del prisma, se utiliza la fórmula:

dRIZ \u003d √ (2A² + H²)

Para entender cómo aplicar las relaciones resultantes, puede practicar y resolver varias tareas simples.

Ejemplos de tareas con soluciones.

Aquí hay algunas tareas encontradas en los exámenes finales del gobierno en matemáticas.

Ejercicio 1.

La caja tiene la forma del prisma de cuatro grados derecho, la arena es Messenger. La altura de su nivel es de 10 cm. ¿Cuál es el nivel de arena, si lo mueve al contenedor de la misma forma, pero con una longitud de la base 2 veces más?

Debería estar discutiendo de la siguiente manera. La cantidad de arena en el primer y segundo contenedor no cambió, es decir, coincide con ellos. Puede designar la longitud de la base para UNA.. En este caso, para la primera casilla, el volumen de la sustancia será:

V₁ \u003d ha² \u003d 10a²

Para la segunda caja, la longitud base es 2a.Pero la altura del nivel de arena es desconocida:

V₂ \u003d h (2a) ² \u003d 4ha²

En la medida en V₁ \u003d v₂., Puedes equiparar expresiones:

10a² \u003d 4ha²

Después de cortar ambas partes de la ecuación en A², resulta:

Como resultado nuevo nivel La arena será h \u003d 10/4 \u003d 2.5 cm.

Tarea 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ - El prisma correcto. Se sabe que bd \u003d ab₁ \u003d 6√2. Encuentra el área de la superficie del cuerpo completo.

Para que sea más fácil entender qué artículos se conocen, puede representar una figura.

Dado que estamos hablando del prisma correcto, podemos concluir que hay un cuadrado con una diagonal de 6√2 en la base. La diagonal de la cara lateral tiene la misma magnitud, por lo tanto, la cara lateral también tiene la forma de un cuadrado igual a la base. Resulta que las tres dimensiones: la longitud, la anchura y la altura son iguales. Se puede concluir que ABCDA₁B₁C₁D₁ es un cubo.

La longitud de cualquier borde se determina a través de la famosa diagonal:

a \u003d D / √2 \u003d 6√2 / √2 \u003d 6

El área de superficie total está ubicada por la fórmula para el cubo:

SPEF \u003d 6A² \u003d 6 · 6² \u003d 216

Tarea 3.

La habitación es reparada en la habitación. Se sabe que su piso tiene una forma cuadrada con un área de 9 m². La altura de la habitación es de 2,5 m. ¿Cuál es el costo más pequeño de la sala de pegado con papel tapiz, si 1 m² cuesta 50 rublos?

Dado que el piso y el techo son cuadrados, es decir, los cuatro disparadores correctos, y sus paredes son perpendiculares a las superficies horizontales, se puede concluir que es prisma adecuado. Es necesario determinar el área de su superficie lateral.

La longitud de la habitación es a \u003d √9 \u003d 3 metro.

El fondo de pantalla será guardado. Sbok \u003d 4 · 3 · 2,5 \u003d 30 m².

El costo más pequeño del papel tapiz para esta sala será 50 · 30 \u003d 1500 rublos.

Por lo tanto, para resolver problemas en un prisma rectangular, es suficiente para poder calcular el área y el perímetro del cuadrado y el rectángulo, así como a poseer las fórmulas para encontrar el volumen y la superficie.

Cómo encontrar un área de cubo

Con este video, todos podrán familiarizarse independientemente con el tema "El concepto de un poliedro. Prisma. Superficie la superficie prisma. Durante la ocupación, el profesor dirá que existen tales formas geométricas como poliedro y prisma, darán las definiciones apropiadas y explicarán su esencia en ejemplos específicos.

Con esta lección, todos podrán familiarizarse independientemente con el tema "El concepto de un poliedro. Prisma. Superficie la superficie prisma.

Definición. La superficie formada por polígonos y limitando un poco de cuerpo geométrico se llamará una superficie multifacética o un poliedro.

Considere los siguientes ejemplos de poliedros:

1. tetraedro A B C D. - Esta es una superficie compuesta por cuatro triángulos: A B C, Adb., BDC. y ADC.(Figura 1).

Higo. uno

2. paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - Esta es una superficie compuesta por seis paralelogramas (Fig. 2).

Higo. 2.

Los elementos principales del poliedro son facetas, costillas, vértices.

Las caras son polígonos que constituyen un poliedro.

Las costillas son ilustraciones.

Los vértices son los extremos de las costillas.

Considerar tetraedro A B C D.(Figura 1). Indicamos sus elementos principales.

Cara: Triangulos ABC, ADB, BDC, ADC.

Costillas: Au, au, sol, dc, ANUNCIO, Bd..

Verbers: A B C D.

Considerar paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Figura 2).

Cara: Pollograma AA 1 D 1 D, D 1 DSS 1, BB 1 C 1 C, AA 1 en 1 V, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.

Costillas: Automóvil club británico 1 , cama y desayuno 1 , Ss 1 , DD 1, AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC.

Verbers: A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1.

Un importante caso privado de un poliedro es el prisma.

Abse 1 en 1 c 1 (Fig. 3).

Higo. 3.

Triángulos iguales A B C y 1 en 1 s 1 ubicado en aviones paralelos α y β para que las costillas AA 1, BB 1, SS 1 Paralelo.

Es decir Abse 1 en 1 c 1- Prism triangular, si:

1) triángulos A B C y 1 en 1 s 1 igual.

2) triángulos A B C y 1 en 1 s 1 Ubicado en aviones paralelos α y β: A B C║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) costilla AA 1, BB 1, SS 1 Paralelo.

A B C y 1 en 1 s 1 - La fundación del prisma.

AA 1, BB 1, SS 1 - Costillas laterales Prism.

Si desde un punto arbitrario H1. un plano (por ejemplo, β) omite perpendicular Nn 1. En el plano α, entonces este perpendicular se llama la altura del prisma.

Definición. Si las costillas laterales son perpendiculares a las bases, entonces el prisma se llama directamente, y de lo contrario inclinado.

Considerar un prisma triangular Abse 1 en 1 c 1 (Fig. 4). Este prisma es recto. Es decir, sus costillas son perpendiculares a los terrenos.

Por ejemplo, la costilla AA 1. Perpendicular al plano A B C. Borde AA 1. Es la altura de este prisma.

Higo. cuatro

Tenga en cuenta que el lado AA 1 en 1 V Perpendicular a los terrenos A B C y 1 en 1 s 1Porque pasa por perpendicular. AA 1. a los terrenos.

Ahora considera el prisma inclinado. Abse 1 en 1 c 1 (Fig. 5). Aquí el borde lateral no es perpendicular al plano de la Fundación. Si sales del punto Un 1. perpendicular A 1 N. sobre el A B CEsta perpendicular será la altura del prisma. Tenga en cuenta que el segmento Un. - Esta es la proyección del segmento. AA 1. En el avión A B C.

Luego el ángulo entre lo directo. AA 1. y avión A B C Es el ángulo entre la recta. AA 1. y ella Un. Proyección en el plano, es decir, el ángulo. Un 1 an..

Higo. cinco

Considerar un prisma cuadrangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 6). Considera cómo resulta.

1) Cuadrángulo A B C D. igual al cuadrilátero A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Cuadranglos A B C D.y A 1 B 1 C 1 D 1 A B C║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Cuadranglos A B C D.y A 1 B 1 C 1 D 1ubicado para que las costillas laterales sean paralelas, es decir: AA 1 ║VV 1 ║SS 1 ║DD 1.

Definición. El prisma diagonal es un segmento que conecta dos vértices que no pertenecen a una cara.

Por ejemplo, AC 1. - Diagonal del prisma cuadrangular. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Definición. Si la costilla lateral AA 1. Perpendicular al plano de la base, entonces tal prisma se llama directamente.

Higo. 6.

Un caso especial de un prisma de cuatro grados es un paralelepípedo conocido previamente. Paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1representa en la FIG. 7.

Considera cómo funciona:

1) Hay figuras iguales en las bases. En este caso, iguales paralelogramas. A B C D. y A 1 B 1 C 1 D 1: A B C D. = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) paralelogramo A B C D. y A 1 B 1 C 1 D 1 LA en aviones paralelos α y β: A B C║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Pollograma A B C D. y A 1 B 1 C 1 D 1 Ubicado de tal manera que las costillas laterales son paralelas entre sí: AA 1 ║VV 1 ║SS 1 ║DD 1.

Higo. 7.

Desde el punto Un 1. Inferior perpendicular Un. En el avión A B C. Sección A 1 N. Es una altura.

Considere cómo se organiza el prisma hexagonal (Fig. 8).

1) Basado en los hexágonos iguales. A B C D E F. y A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: A B C D E F.= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) aviones de hexágono A B C D E F. y A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1paralelamente, es decir, las bases se encuentran en aviones paralelos: A B C║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) hexágonos A B C D E F. y A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1ubicado para que todas las costillas laterales sean paralelas a: AA 1 ║vv 1 ... ║ff 1.

Higo. ocho

Definición. Si hay algún borde lateral perpendicular al plano de la base, entonces dicho prisma hexagonal se llama directamente.

Definición. El prisma directo se llama correcto si sus bases son los polígonos correctos.

Considerar el prisma triangular correcto Abse 1 en 1 c 1.

Higo. nueve

Prisma triangular Abse 1 en 1 c 1- correcto, significa que hay triángulos regulares en los terrenos, es decir, todos los lados de estos triángulos son iguales. Además, este prisma es recto. Entonces, el borde lateral perpendicular al plano base. Esto significa que todas las caras laterales son rectángulos iguales.

Entonces, si el prisma triangular. Abse 1 en 1 c 1- En ese mismo momento:

1) borde lateral perpendicular al plano de la base, es decir, altura: AA 1. ⊥ A B C.

2) Basado en el triángulo derecho: Δ A B C - correcto.

Definición. La superficie total del prisma es la suma del área de todas sus caras. Denota S lleno.

Definición. El área de la superficie lateral es la suma del área de todas las caras laterales. Denota Lado.

El prisma tiene dos bases. Luego el área de la superficie completa del prisma:

S completo \u003d s lado + 2s tierra.

El área de superficie lateral del prisma directo es igual al producto del perímetro de la base a la altura del prisma.

Prueba gastaremos en el ejemplo de un prisma triangular.

Dano: Abse 1 en 1 c 1 - Prism directo, es decir. AA 1. ⊥ A B C.

AA 1 \u003d H.

Probar: S bock \u003d r haches ∙ h.

Higo. 10

Evidencia.

Prisma triangular Abse 1 en 1 c 1 - Directo, significa. AA 1 en 1 V, AA 1 con 1 C, BB 1 C 1 C -rectángulos

Encontramos la superficie lateral como la suma del área de rectángulos. AA 1 en 1 V, AA 1 con 1 S, BB 1 1 S:

S lado \u003d ab ∙ h + sol ∙ H + sa ∙ h \u003d (ab + sol + ca) ∙ h \u003d P osp ∙ H.

Obtenemos S lado \u003d p wasp ∙ h,q.E.D.

Nos reunimos con Polyhedra, Prism, sus variedades. Probó el teorema sobre la superficie lateral del prisma. En la siguiente lección, resolveremos las tareas para un prisma.

1. Geometría. 10-11 Clase: Libro de texto para estudiantes instituciones educativas generales (Básico I. niveles de perfil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ª edición, revisada y complementada - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p. : ILLINOIS.
2. Geometría. 10-11 Clase: Libro de texto para la educación general instituciones educacionales / Sharygin I. F. - M.: Drop, 1999. - 208 C.: IL.
3. Geometría. Grado 10: Libro de texto para instituciones de educación general con estudio en profundidad y perfil de Matemáticas / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6ª edición, estereotipo. - M.: Caída, 008. - 233 p. : ILLINOIS.

1. Yaclass ().
2. Shkolo.ru ().
3. Vieja escuela ().
4. WikiHow ().

1. ¿Cuál es el número mínimo de caras puede tener un prisma? ¿Cuántos vértices, las costillas tienen tal prisma?
2. ¿Hay un prisma que tiene 100 costillas exactamente?
3. El borde lateral está inclinado al plano base en un ángulo de 60 °. Encuentra la altura del prisma si el borde lateral es de 6 cm.
4. En directo prisma triangular Todas las costillas son iguales. El área de su superficie lateral es de 27 cm 2. Encuentra la superficie completa del prisma.