Solución tareas aplicadas se reduce a calcular la integral, pero no siempre es posible hacerlo con exactitud. A veces es necesario conocer el valor de una integral definida con cierto grado de precisión, por ejemplo, hasta una milésima.

Hay problemas cuando sería necesario encontrar el valor aproximado de una determinada integral con la precisión requerida, entonces se utiliza la integración numérica, como el método de Simposna, trapecios, rectángulos. No todos los casos nos permiten calcularlo con cierta precisión.

Este artículo analiza la aplicación de la fórmula de Newton-Leibniz. Esto es necesario para calcular con precisión la integral definida. Será dado ejemplos detallados, consideramos el cambio de variable en una integral definida y encontramos los valores de la integral definida al integrar por partes.

Fórmula de Newton-Leibniz

Definición 1

Cuando la función y = y (x) es continua desde el segmento [a; b], y F (x) es una de las antiderivadas de la función de este segmento, entonces Fórmula de Newton-Leibniz considerado justo. Lo escribimos como ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a).

Esta fórmula se considera la fórmula básica del cálculo integral.

Para probar esta fórmula, es necesario utilizar el concepto de integral con un límite superior de variable disponible.

Cuando la función y = f (x) es continua desde el segmento [a; b], luego el valor del argumento x ∈ a; b, y la integral tiene la forma ∫ a x f (t) d t y se considera que es una función del límite superior. Es necesario tomar la notación de la función tomará la forma ∫ axf (t) dt = Φ (x), es continua, y la desigualdad de la forma ∫ axf (t) dt "= Φ" (x) = f (x) es válido para él.

Arreglamos que el incremento de la función Φ (x) corresponde al incremento del argumento ∆ x, es necesario usar la quinta propiedad principal de la integral definida y obtener

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ ax + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ax + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

donde el valor c ∈ x; x + ∆ x.

Fijemos una igualdad en la forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c). Por la definición de la derivada de una función, es necesario pasar al límite como ∆ x → 0, luego obtenemos una fórmula de la forma Φ "(x) = f (x). Obtenemos que Φ (x) es una de las antiderivadas para una función de la forma y = f (x), ubicada en [a; b]. De lo contrario, la expresión se puede escribir

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, donde el valor de C es constante.

Calculemos F (a) usando la primera propiedad de la integral definida. Entonces obtenemos eso

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, por lo tanto, obtenemos que C = F (a). El resultado se aplica al calcular F (b) y obtenemos:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a), en otras palabras, F (b) = ∫ abf (t) dt + F (a). La igualdad demuestra la fórmula de Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a).

El incremento de la función se toma como F x a b = F (b) - F (a). Con la ayuda de la notación, la fórmula de Newton-Leibniz toma la forma ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a).

Para aplicar la fórmula, es imperativo conocer una de las antiderivadas y = F (x) del integrando y = f (x) del segmento [a; b], calcule el incremento de la antiderivada de este segmento. Considere algunos cálculos de ejemplo utilizando la fórmula de Newton-Leibniz.

Ejemplo 1

Calcula la integral definida ∫ 1 3 x 2 d x usando la fórmula de Newton-Leibniz.

Solución

Considere que el integrando de la forma y = x 2 es continuo desde el segmento [1; 3], entonces también es integrable en este segmento. Según la tabla Integrales indefinidas vemos que la función y = x 2 tiene un conjunto de antiderivadas para todos los valores reales de x, por lo tanto, x ∈ 1; 3 se escribirá como F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C. Es necesario tomar la antiderivada con C = 0, luego obtenemos que F (x) = x 3 3.

Usemos la fórmula de Newton-Leibniz y obtengamos que el cálculo de la integral definida tomará la forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Respuesta:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Ejemplo 2

Calcula la integral definida ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x usando la fórmula de Newton-Leibniz.

Solución

La función dada es continua desde el segmento [- 1; 2], por lo que es integrable en él. Es necesario encontrar el valor de la integral indefinida ∫ x ex 2 + 1 dx usando el método de poner bajo el signo diferencial, entonces obtenemos ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 ex 2 + 1 + C.

Por tanto, tenemos un conjunto de antiderivadas de la función y = x · e x 2 + 1, que son válidas para todo x, x ∈ - 1; 2.

Es necesario tomar la antiderivada en C = 0 y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz. Entonces obtenemos una expresión de la forma

∫ - 1 2 x ex 2 + 1 dx = 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Respuesta:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Ejemplo 3

Calcula las integrales ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x y ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.

Solución

Segmento - 4; - 1 2 indica que la función bajo el signo integral es continua, lo que significa que es integrable. A partir de aquí encontramos el conjunto de antiderivadas de la función y = 4 x 3 + 2 x 2. Lo entendemos

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Es necesario tomar la antiderivada F (x) = 2 x 2 - 2 x, luego, aplicando la fórmula de Newton-Leibniz, obtenemos la integral, la cual calculamos:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Hacemos la transición al cálculo de la segunda integral.

Desde el segmento [- 1; 1] tenemos que el integrando se considera ilimitado, porque lím x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞, entonces se sigue que condición necesaria integrabilidad de un segmento. Entonces F (x) = 2 x 2 - 2 x no es una antiderivada para y = 4 x 3 + 2 x 2 del segmento [- 1; 1], ya que el punto O pertenece al segmento, pero no está incluido en el dominio de definición. Esto significa que hay una integral de Riemann y Newton-Leibniz definida para la función y = 4 x 3 + 2 x 2 del segmento [- 1; 1].

Respuesta: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28, hay una integral de Riemann y Newton-Leibniz definida para la función y = 4 x 3 + 2 x 2 del segmento [- 1; 1].

Antes de usar la fórmula de Newton-Leibniz, necesita saber exactamente sobre la existencia de una integral definida.

Cambio de una variable en una integral definida

Cuando la función y = f (x) está definida y es continua desde el segmento [a; b], luego el conjunto existente [a; b] se considera el rango de valores de la función x = g (z), definido en el segmento α; β con la derivada continua existente, donde g (α) = ay g β = b, de esto obtenemos que ∫ abf (x) dx = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z .

Esta fórmula se usa cuando es necesario calcular la integral ∫ a b f (x) d x, donde la integral indefinida tiene la forma ∫ f (x) d x, se calcula usando el método de sustitución.

Ejemplo 4

Calcule una integral definida de la forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x.

Solución

El integrando se considera continuo en el intervalo de integración, lo que significa que una integral definida tiene lugar para la existencia. Designemos que 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. El valor x = 9, significa que z = 2 9 - 9 = 9 = 3, y para x = 18 obtenemos que z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, entonces g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, obtenemos

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dz

Según la tabla de integrales indefinidas, tenemos que una de las antiderivadas de la función 2 z 2 + 9 toma el valor 2 3 a r c t g z 3. Entonces, aplicando la fórmula de Newton-Leibniz, obtenemos

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Se puede encontrar sin usar la fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z.

Si, en el método de reemplazo, se usa una integral de la forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x, entonces se puede llegar al resultado ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

A partir de aquí realizaremos cálculos usando la fórmula de Newton-Leibniz y calcularemos una integral definida. Lo entendemos

∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctan 2 18 - 9 3 - arctan 2 9 - 9 3 = = 2 3 arctan 3 - arctan 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Los resultados coincidieron.

Respuesta: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integración por partes al calcular una integral definida

Si en el segmento [a; b], las funciones u (x) y v (x) están definidas y son continuas, entonces sus derivadas de primer orden v "(x) · u (x) son integrables, entonces a partir de este intervalo para la función integrable u" (x ) · V (x) la igualdad ∫ abv "(x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - ∫ abu" (x) v (x) dx es verdadera.

Entonces se puede utilizar la fórmula, es necesario calcular la integral ∫ a b f (x) d x, y ∫ f (x) d x fue necesario buscarla mediante integración por partes.

Ejemplo 5

Calcule la integral definida ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x.

Solución

La función x · sen x 3 + π 6 es integrable en el intervalo - π 2; 3 π 2, por lo que es continuo.

Sea u (x) = x, entonces d (v (x)) = v "(x) dx = sin x 3 + π 6 dx, y d (u (x)) = u" (x) dx = dx, y v (x) = - 3 cos π 3 + π 6. De la fórmula ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u" (x) v (x) d x obtenemos

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2-3 cos x 3 + π 6 dx = = - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

El ejemplo se puede resolver de otra forma.

Encuentre el conjunto de antiderivadas de la función x sin x 3 + π 6 por integración por partes usando la fórmula de Newton-Leibniz:

∫ x sin xx 3 + π 6 dx = u = x, dv = sin x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Respuesta: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

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Derivadas de orden superior

Sobre Esta lección aprenderemos a encontrar derivadas de órdenes superiores, así como a escribir formula general Derivado "enésimo". Además, la fórmula de Leibniz para tal derivado y, por demanda popular, derivados de órdenes superiores de función implícitamente especificada... Le sugiero que realice una mini-prueba de inmediato:

Aquí está la función: y aquí está su primera derivada:

En caso de que tenga alguna dificultad / malentendido sobre este ejemplo, comience con dos artículos básicos de mi curso: ¿Cómo encuentro la derivada? y Derivada de una función compleja... Después de dominar las derivadas elementales, te recomiendo que leas la lección. Problemas derivados más simples, en el que nos dimos cuenta, en particular con segunda derivada.

Es fácil adivinar que la segunda derivada es la derivada de la primera derivada:

En principio, la segunda derivada ya se considera una derivada de orden superior.

De manera similar, la tercera derivada es la derivada de la segunda derivada:

La cuarta derivada es la derivada de la tercera derivada:

Quinta derivada: , y es obvio que todas las derivadas de órdenes superiores también serán iguales a cero:

Además de la numeración romana, en la práctica se utilizan a menudo las siguientes designaciones:
, la derivada del orden "n-ésimo" se denota por. En este caso, el superíndice debe ir entre paréntesis.- distinguir la derivada del "juego" en el poder.

A veces se encuentra la siguiente entrada: - derivadas tercera, cuarta, quinta, ..., "n-ésima", respectivamente.

Adelante sin miedo ni duda:

Ejemplo 1

Se da la función. Encontrar .

Solución: ¿qué puedes hacer aquí ... - antes de la cuarta derivada :)

Ya no es habitual poner cuatro guiones, por lo que cambiamos a índices numéricos:

Respuesta:

Bien, ahora pensemos en la siguiente pregunta: ¿qué hacer si, de acuerdo con la condición, necesita encontrar no la cuarta, sino, por ejemplo, la derivada 20? Si para la derivada 3-4-5th (máximo, 6-7º) orden, la decisión se toma con la suficiente rapidez, entonces "llegaremos" a las derivadas de órdenes superiores, oh cuánto tiempo llevará. ¡No escriba, de hecho, 20 líneas! V una situación similar es necesario analizar varias derivadas encontradas, ver el patrón y elaborar una fórmula para la derivada "n-ésima". Entonces, en el Ejemplo # 1, es fácil entender que con cada diferenciación subsecuente, un "triple" adicional "saltará" antes del exponente, y en cualquier paso el grado del "triplete" es igual al número del derivado, por lo tanto:

Donde es un número natural arbitrario.

Y de hecho, si, entonces se obtiene exactamente la primera derivada: , si - entonces 2do: etc. Por lo tanto, la derivada vigésima se determina instantáneamente: - ¡y sin “hojas de un kilómetro de largo”!

Calentamos solos:

Ejemplo 2

Encuentra funciones. Derivada de orden de escritura

Solución y respuesta al final de la lección.

Después de un vigorizante calentamiento, considere más ejemplos complejos, en el que elaboraremos el algoritmo de solución anterior. Para aquellos que lograron familiarizarse con la lección. Límite de secuencia, será un poco más fácil:

Ejemplo 3

Encuentra la función.

Solución: para aclarar la situación, encontramos varias derivadas:

¡No tenemos prisa por multiplicar los números resultantes! ;-)


Quizás eso sea suficiente. ... Incluso me excedí un poco.

En el siguiente paso, es mejor componer la fórmula para la derivada "n-ésima" (siempre que la condición no requiera esto, entonces puede arreglárselas con un borrador)... Para ello, miramos los resultados obtenidos e identificamos los patrones con los que se obtiene cada derivada posterior.

Primero, alternan entre personajes. La alternancia proporciona "Destellador", y dado que la 1ra derivada es positiva, el siguiente factor ingresará a la fórmula general: ... Una opción equivalente también es adecuada, pero personalmente, como optimista, me encanta el signo más =)

En segundo lugar, en el numerador "termina" factorial, y se "retrasa" con respecto al número de la derivada en una unidad:

Y en tercer lugar, la potencia de "dos" crece en el numerador, que es igual al número de la derivada. Lo mismo puede decirse del grado del denominador. Finalmente:

Para fines de prueba, sustituyamos un par de valores "en", por ejemplo, y:

Genial, ahora es solo un pecado cometer un error:

Respuesta:

Una función más simple para decisión independiente:

Ejemplo 4

Encuentra funciones.

Y una tarea más interesante:

Ejemplo 5

Encuentra funciones.

Repitamos el procedimiento:

1) Primero, encontramos varias derivadas. Por lo general, tres o cuatro son suficientes para captar los patrones.

2) Entonces recomiendo encarecidamente compilar (al menos en un borrador) Derivado "enésimo": está garantizado para evitar errores. Pero puedes prescindir, es decir Estime mentalmente y anote inmediatamente, por ejemplo, la derivada vigésima u octava. Además, algunas personas generalmente pueden resolver los problemas en cuestión de forma oral. Sin embargo, debe recordarse que los métodos "rápidos" son complicados y es mejor ir a lo seguro.

3) Encendido etapa final comprobamos la derivada "n-ésima" - tomamos un par de valores "en" (mejores que los vecinos) y realizamos la sustitución. Y aún más confiable es verificar todas las derivadas encontradas anteriormente. Luego lo sustituimos en el valor deseado, por ejemplo, o y peinamos cuidadosamente el resultado.

Solución breve 4 y 5 ejemplos al final de la lección.

En algunas tareas, para evitar problemas, debe hacer algo de magia sobre la función:

Ejemplo 6

Solución: No quiero diferenciar en absoluto la función propuesta, ya que el resultado es una fracción “mala”, lo que complicará mucho el hallazgo de derivadas posteriores.

En este sentido, es recomendable realizar transformaciones preliminares: utilizamos fórmula de diferencia de cuadrados y propiedad de logaritmo :

Otro asunto muy diferente:

Y viejos amigos:

Creo que todo es visible. Tenga en cuenta que la segunda fracción es alterna, pero la primera no. Construimos la derivada del orden:

Control:

Bueno, por belleza, saquemos el factorial de los corchetes:

Respuesta:

Tarea interesante para una solución independiente:

Ejemplo 7

Escribe una fórmula de orden de derivada para una función

Y ahora sobre la inquebrantable garantía mutua, que hasta la mafia italiana envidiará:

Ejemplo 8

Se da la función. Encontrar

La décimo octava derivada en un punto. Solo.

Solución: primero, obviamente, necesitas encontrar. Ir:

Comenzaron desde el seno y llegaron al seno. Está claro que con una mayor diferenciación este ciclo continuará indefinidamente, y surge la siguiente pregunta: ¿cuál es la mejor manera de "llegar" a la derivada dieciocho?

El método "amateur": escriba rápidamente los números de las siguientes derivadas en la columna de la derecha:

Por lo tanto:

Pero esto funciona si el orden de la derivada no es demasiado grande. Si necesita encontrar, digamos, la derivada centésima, entonces debe usar la divisibilidad entre 4. Cien es divisible por 4 sin resto, y es fácil ver que tales números se encuentran en la línea inferior, por lo tanto :.

Por cierto, la derivada 18 también se puede determinar a partir de consideraciones similares:
la segunda línea contiene números que son divisibles por 4 con un resto de 2.

Otro método más académico se basa en periodicidad sinusoidal y fórmulas de reducción... Usamos la fórmula "n-ésima" derivada del seno , en el que simplemente se sustituye el número deseado. Por ejemplo:
(fórmula de reducción ) ;
(fórmula de reducción )

En nuestro caso:

(1) Dado que el seno es una función periódica con un período, el argumento se puede "desenroscar" 4 períodos sin dolor (es decir).

La derivada del orden del producto de dos funciones se puede encontrar mediante la fórmula:

En particular:

No necesitas memorizar nada especialmente, porque cuantas más fórmulas conoces, menos comprendes. Es mucho más útil familiarizarse con binomio Newton, porque la fórmula de Leibniz es muy, muy similar a él. Bueno, aquellos afortunados que obtienen la derivada del séptimo o mayor orden (que, sin embargo, es poco probable) se verá obligado a hacerlo. Sin embargo, cuando se trata de combinatoria- todavía tienes que =)

Encontremos la tercera derivada de la función. Usamos la fórmula de Leibniz:

En este caso: ... Los derivados son fáciles de ajustar verbalmente:

Ahora realizamos cuidadosa y CUIDADOSAMENTE la sustitución y simplificamos el resultado:

Respuesta:

Una tarea similar para una solución independiente:

Ejemplo 11

Buscar funciones

Si en el ejemplo anterior la solución frontal seguía compitiendo con la fórmula de Leibniz, aquí ya será realmente desagradable. Y aún más molesto, en el caso de una derivada de orden superior:

Ejemplo 12

Encuentra la derivada del orden especificado

Solución: la primera y esencial observación es que probablemente no necesite decidir así =) =)

Escribamos las funciones y encontremos sus derivadas hasta el quinto orden inclusive. Supongo que las derivadas de la columna de la derecha se han vuelto orales para usted:

En la columna de la izquierda, las derivadas "en vivo" "terminaron" rápidamente y esto es muy bueno; en la fórmula de Leibniz, tres términos se pondrán a cero:

Volveré a insistir en el dilema que apareció en el artículo sobre derivados complejos: ¿Debería simplificarse el resultado? En principio, puede dejarlo de esta manera: será aún más fácil para el maestro verificarlo. Pero puede exigir que le recuerden la solución. Por otro lado, la simplificación por sí sola está plagada de errores algebraicos. Sin embargo, tenemos una respuesta obtenida de forma "primitiva" =) (ver enlace al principio) y espero que sea correcto:

Genial, todo salió bien.

Respuesta:

Tarea afortunada de auto-resolución:

Ejemplo 13

Para función:
a) encontrar por diferenciación directa;
b) encontrar por la fórmula de Leibniz;
c) calcular.

No, no soy un sádico en absoluto - el punto "a" es bastante simple aquí =)

Pero en serio, una solución "directa" por diferenciación sucesiva también tiene un "derecho a la vida"; en varios casos, su complejidad es comparable a la complejidad de aplicar la fórmula de Leibniz. Úselo si lo considera apropiado; es poco probable que esta sea una razón para no aceptar la tarea.

Una breve solución y respuesta al final del tutorial.

Para subir el párrafo final, debe poder diferenciar funciones implícitas:

Derivadas de orden superior de funciones implícitas

Muchos de nosotros hemos pasado largas horas, días y semanas de nuestra vida estudiando circulos, parábola, hipérbole- y a veces incluso parecía un verdadero castigo. ¡Así que vamos a vengarnos y diferenciarlos adecuadamente!

Comencemos con la parábola de la "escuela" en su posición canónica:

Ejemplo 14

Se da una ecuación. Encontrar .

Solución: el primer paso es familiar:

El hecho de que la función y su derivada se expresen implícitamente no cambia la esencia de la materia, la segunda derivada es la derivada de la 1ra derivada:

Sin embargo, hay reglas del juego: las derivadas de segundo orden y superiores suelen expresarse solo a través de la "x" y "igrek"... Por lo tanto, en la segunda derivada resultante, sustituimos:

La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada:

Del mismo modo, sustituya:

Respuesta:

Hipérbole de "escuela" en posición canónica- por Trabajo independiente:

Ejemplo 15

Se da una ecuación. Encontrar .

¡Repito que la segunda derivada y el resultado deben expresarse solo en términos de "x" / "juego"!

Una breve solución y respuesta al final del tutorial.

Después de las bromas de los niños, veamos el porno alemán @ fiyu, veamos más ejemplos para adultos, de los cuales aprendemos otra solución importante:

Ejemplo 16

Elipseél mismo.

Solución: encuentra la 1ra derivada:

Y ahora detengámonos y analicemos el momento siguiente: ahora tenemos que diferenciar la fracción, que no es nada agradable. En este caso, es, por supuesto, simple, pero en tareas de la vida real, estos dones se han gastado un par de veces. ¿Hay alguna forma de evitar encontrar la complicada derivada? ¡Existe! Tomamos la ecuación y usamos la misma técnica que cuando encontramos la primera derivada - "colgamos" los números primos en ambos lados:

La segunda derivada debe expresarse solo en términos de y, por lo que ahora (ahora) conviene deshacerse de la 1ª derivada. Para hacer esto, sustituimos en la ecuación resultante:

Para evitar dificultades técnicas innecesarias, multiplicamos ambos lados por:

Y solo en la etapa final, elaboramos una fracción:

Ahora miramos la ecuación original y notamos que el resultado obtenido se presta a la simplificación:

Respuesta:

Cómo encontrar el valor de la segunda derivada en cualquier punto (que obviamente pertenece a una elipse), por ejemplo, en el punto ? ¡Muy fácil! Este motivo ya se encontró en la lección sobre ecuación normal: en la expresión de la 2da derivada necesitas sustituir :

Por supuesto, en los tres casos, puede obtener funciones definidas explícitamente y diferenciarlas, pero luego sintonizar mentalmente para trabajar con dos funciones que contienen raíces. En mi opinión, es más conveniente tomar la decisión "implícitamente".

Ejemplo final de una solución de bricolaje:

Ejemplo 17

Buscar función implícitamente especificada

La fórmula de Leibniz se da para calculando el enésimo derivada del producto de dos funciones. Su prueba se da de dos formas. Se considera un ejemplo de cálculo de la derivada del n-ésimo orden.

Contenido

Ver también: Derivada del producto de dos funciones

Fórmula de Leibniz

Usando la fórmula de Leibniz, se puede calcular la derivada de n-ésimo orden del producto de dos funciones. Se parece a esto:
(1) ,
dónde
- coeficientes binomiales.

Los coeficientes binomiales son los coeficientes de expansión del binomio en potencias de y:
.
Además, el número es el número de combinaciones de n a k.

Prueba de la fórmula de Leibniz

Aplicamos la fórmula para la derivada del producto de dos funciones:
(2) .
Reescribamos la fórmula (2) de la siguiente manera:
.
Es decir, creemos que una función depende de la variable x y la otra depende de la variable y. Al final del cálculo, asumimos. Entonces la fórmula anterior se puede escribir así:
(3) .
Dado que la derivada es igual a la suma de los términos, y cada término es el producto de dos funciones, entonces, para calcular las derivadas de órdenes superiores, puede aplicar de manera consistente la regla (3).

Entonces, para la derivada del n-ésimo orden tenemos:

.
Teniendo en cuenta eso y, obtenemos la fórmula de Leibniz:
(1) .

Prueba por inducción

Presentemos la demostración de la fórmula de Leibniz por el método de inducción matemática.

Reescribamos la fórmula de Leibniz:
(4) .
Para n = 1 tenemos:
.
Esta es la fórmula para la derivada del producto de dos funciones. Ella es justa.

Suponga que la fórmula (4) es válida para la derivada de n-ésimo orden. Demostremos que es válido para la derivada n + 1 th orden.

Diferenciar (4):
;



.
Entonces encontramos:
(5) .

Sustituya en (5) y tenga en cuenta que:

.
Esto muestra que la fórmula (4) tiene la misma forma para la derivada n + 1 th orden.

Entonces, la fórmula (4) es válida para n = 1 ... De la suposición de que se cumple, para algún número n = m se sigue que se cumple para n = m + 1 .
La fórmula de Leibniz está probada.

Ejemplo

Calcular la enésima derivada de una función
.

Aplicamos la fórmula de Leibniz
(2) .
En nuestro caso
;
.

Según la tabla de derivadas, tenemos:
.
Aplicamos las propiedades de las funciones trigonométricas:
.
Luego
.
Por tanto, se ve que la diferenciación de la función seno conduce a su desplazamiento por. Luego
.

Encuentra las derivadas de la función.
;
;
;
, .

Dado que en, solo los primeros tres términos de la fórmula de Leibniz son distintos de cero. Encuentra coeficientes binomiales.
;
.

Por la fórmula de Leibniz, tenemos:

.

Ver también:

El texto de la obra se coloca sin imágenes ni fórmulas.
Versión completa El trabajo está disponible en la pestaña "Archivos de trabajo" en formato PDF.

"¡Para mí también, binomio de Newton!»

de la novela "El Maestro y Margarita"

“El triángulo de Pascal es tan simple que incluso un niño de diez años puede escribirlo. Al mismo tiempo, esconde tesoros inagotables y vincula varios aspectos de las matemáticas que a primera vista no tienen nada en común. Entonces propiedades inusuales permítanos considerar el triángulo de Pascal como uno de los esquemas más elegantes de todas las matemáticas "

Martin Gardner.

Objeto del trabajo: para generalizar fórmulas de multiplicación reducida, para mostrar su aplicación a la resolución de problemas.

Tareas:

1) estudiar y sistematizar información sobre este tema;

2) analizar ejemplos de problemas sobre la aplicación del binomio de Newton y fórmulas para la suma y diferencia de grados.

Objetos de investigación: binomio de Newton, fórmulas para la suma y diferencia de grados.

Métodos de búsqueda:

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Relevancia. Una persona a menudo tiene que lidiar con tareas en las que es necesario contar el número de todos formas posibles la ubicación de algunos objetos o el número de todas las formas posibles de realizar una acción. Los diferentes caminos u opciones que una persona tiene que elegir se suman a una amplia variedad de combinaciones. Y toda una sección de matemáticas, llamada combinatoria, está ocupada buscando respuestas a las preguntas: cuántas combinaciones hay en uno u otro caso.

Representantes de muchas especialidades tienen que lidiar con cantidades combinatorias: químico, biólogo, diseñador, despachador, etc. El creciente interés por la combinatoria en los últimos años se debe al rápido desarrollo de la cibernética y la tecnología informática.

Introducción

Cuando quieren enfatizar que el interlocutor exagera la complejidad de los problemas que enfrentó, dicen: "¡Yo también tengo el binomio de Newton!" Dime, aquí está el binomio de Newton, es difícil, ¡pero tienes algunos problemas! Incluso aquellas personas cuyos intereses no tienen nada que ver con las matemáticas han oído hablar del binomio de Newton.

La palabra "binomio" significa un binomio, es decir la suma de dos términos. Las llamadas fórmulas de multiplicación abreviadas se conocen del curso escolar:

( a+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Una generalización de estas fórmulas es una fórmula llamada fórmula binomial de Newton. Usado en la escuela y fórmulas para factorizar la diferencia de cuadrados, la suma y la diferencia de cubos. ¿Generalizan a otros grados? Sí, existen tales fórmulas, a menudo se usan para resolver varios problemas: demostrar divisibilidad, cancelar fracciones, cálculos aproximados.

El estudio de fórmulas de generalización desarrolla el pensamiento deductivo y matemático y las habilidades de pensamiento general.

SECCIÓN 1. BINOM DE FÓRMULA NEWTON

Combinaciones y sus propiedades

Sea X un conjunto que consta de n elementos. Cualquier subconjunto Y del conjunto X que contenga k elementos se denomina combinación de k elementos de n, además, k ≤ n.

El número de diferentes combinaciones de k elementos de n se denota C n k. Uno de las fórmulas más importantes La combinatoria es la siguiente fórmula para el número С n k:

Puede escribirse, después de abreviaturas obvias, de la siguiente manera:

En particular,

Esto es bastante consistente con el hecho de que el conjunto X tiene solo un subconjunto de 0 elementos: el subconjunto vacío.

Los números C n k tienen varias propiedades notables.

La siguiente fórmula es válida: С n k = С n - k n, (3)

El significado de la fórmula (3) es que existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todos los subconjuntos de k-términos de X y el conjunto de todos los subconjuntos de (n - k) términos de X: para establecer esta correspondencia, es suficiente que cada subconjunto Y de k-términos coincida con su complemento en el conjunto X.

La fórmula C 0 n + C 1 n + C 2 n + ... + C n n = 2 n es válida (4)

La suma del lado izquierdo expresa el número de todos los subconjuntos del conjunto X (C 0 n es el número de subconjuntos de 0 términos, C 1 n es el número de subconjuntos de un solo término, etc.).

Para cualquier k, 1≤ k≤ n, la igualdad

C k norte = C norte -1 k + C norte -1 k -1 (5)

Esta igualdad es fácil de obtener usando la fórmula (1). En efecto,

1.2. Derivación de la fórmula binomial de Newton

Considere los poderes del binomio a +B .

n = 0, (a +B ) 0 = 1

n = 1, (a +B ) 1 = 1a + 1B

n = 2,(a +B ) 2 = 1a 2 + 2aB +1 B 2

n = 3,(a +B ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 B + 3aB 2 +1 B 3

n = 4,(a +B ) 4 = 1a 4 + 4a 3 B + 6a 2 B 2 + 4aB 3 +1 B 4

n = 5,(a +B ) 5 = 1a 5 + 5a 4 B + 10a 3 B 2 + 10a 2 B 3 + 5aB 4 + 1 B 5

Tenga en cuenta los siguientes patrones:

El número de miembros del polinomio resultante es uno más que el exponente del binomio;

El exponente del primer término disminuye de n a 0, el exponente del segundo término aumenta de 0 a n;

Los grados de todos los monomios son iguales a los grados del binomio en la condición;

Cada monomio es el producto de la primera y la segunda expresión en varios grados y un cierto número: el coeficiente binomial;

Los coeficientes binomiales equidistantes del comienzo y el final de la expansión son iguales.

La generalización de estas fórmulas es la siguiente fórmula, llamada fórmula binomial de Newton:

(a + B ) norte = C 0 norte a norte B 0 + C 1 norte a norte -1 B + C 2 norte a norte -2 B 2 + ... + C norte -1 norte ab norte -1 + C norte norte a 0 B norte . (6)

En esta fórmula norte puede ser cualquier número natural.

Derivemos la fórmula (6). Primero que nada, escribamos:

(a + B ) norte = (a + B )(a + B ) ... (a + B ), (7)

donde el número de paréntesis a multiplicar es norte... De la regla habitual para multiplicar la suma por la suma, se deduce que la expresión (7) es igual a la suma de todos los productos posibles, que se pueden componer de la siguiente manera: cualquier término en la primera de las sumas a + b multiplicado por cualquier término en la segunda suma a + b, para cualquier término de la tercera suma, etc.

De lo dicho se desprende claramente que el término en la expresión para (a + B ) norte Match (uno a uno) cadenas de longitud n, compuestas de letras a y B. Entre los términos, habrá términos similares; es obvio que tales miembros corresponden a cadenas que contienen el mismo número de letras a... Pero el número de líneas que contienen exactamente k multiplicado por la letra a, es igual a C n k. Por lo tanto, la suma de todos los términos que contienen la letra a por un factor de exactamente k veces es igual a С n k a norte - k B k . Dado que k puede tomar los valores 0, 1, 2,…, n-1, n, la fórmula (6) se sigue de nuestro razonamiento. Tenga en cuenta que (6) se puede escribir más corto: (8)

Aunque la fórmula (6) recibe el nombre de Newton, en realidad se descubrió incluso antes de que Newton (por ejemplo, Pascal lo supiera). El mérito de Newton radica en el hecho de que encontró una generalización de esta fórmula para el caso de indicadores no enteros. Fue I. Newton en 1664-1665. derivó una fórmula que expresa el grado de un binomio para exponentes fraccionarios arbitrarios y negativos.

Los números C 0 n, C 1 n, ..., C n n incluidos en la fórmula (6) generalmente se denominan coeficientes binomiales, que se definen de la siguiente manera:

Se pueden obtener varias propiedades de estos coeficientes a partir de la fórmula (6). Por ejemplo, poniendo a= 1, b = 1, obtenemos:

2 norte = C 0 norte + C 1 norte + C 2 norte + C 3 norte + ... + C norte norte,

aquellos. fórmula (4). Si ponemos a= 1, b = -1, entonces tendremos:

0 = C 0 norte - C 1 norte + C 2 norte - C 3 norte + ... + (-1) norte C norte norte

o C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ....

Esto significa que la suma de los coeficientes de los términos pares de la expansión es igual a la suma de los coeficientes de los términos impares de la expansión; cada uno de ellos es igual a 2 n -1.

Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos de la expansión son iguales. Esta propiedad se sigue de la relación: С n k = С n n - k

Un caso especial interesante

(x + 1) norte = C 0 norte x norte + Do 1 norte x norte-1 + ... + C k norte x norte - k + ... + Do norte norte x 0

o más corto (x +1) n = ∑C n k x n - k.

1.3. Teorema del polinomio

Teorema.

Prueba.

Para obtener un monomio después de expandir los corchetes, debe seleccionar los corchetes de los que se toma, los corchetes de los que se toma, etc. y los paréntesis de los que se toma. El coeficiente de este monomio después de reducir términos similares igual al número formas en que se puede hacer tal elección. El primer paso de la secuencia de opciones puede lograrse de distintas formas, el segundo paso, el tercero, y así sucesivamente, el ésimo paso, de distintas formas. El coeficiente deseado es igual al producto

BLOQUE 2. Derivadas de orden superior.

El concepto de derivados de órdenes superiores.

Sea la función diferenciable en algún intervalo. Entonces su derivada, en general, depende de NS, es decir, es una función de NS... En consecuencia, en relación con él, se puede volver a plantear la cuestión de la existencia de un derivado.

Definición . La derivada de la primera derivada se llama derivada de segundo orden o derivada de segunda y se denota con el símbolo o, es decir

Definición . La derivada de la segunda derivada se denomina derivada de tercer orden o derivada de tercer orden y se indica con el símbolo o.

Definición . Derivadonorte -ésimo orden función es la primera derivada de la derivada (norte -1) -ésimo orden de esta función y se indica con el símbolo o:

Definición . Las derivadas de orden superior a la primera se denominan derivados superiores.

Comentario... Del mismo modo, puede obtener la fórmula norte-ésima derivada de la función:

Segunda derivada de una función dada paramétricamente

Si la función está dada paramétricamente por ecuaciones, entonces para encontrar la derivada de segundo orden es necesario diferenciar la expresión de su primera derivada como función compleja variable independiente.

Desde entonces

y teniendo en cuenta que,

Obtenemos, eso es.

La tercera derivada se puede encontrar de manera similar.

Diferencial de suma, producto y cociente.

Dado que el diferencial se obtiene de la derivada multiplicándolo por el diferencial de la variable independiente, entonces, conociendo las derivadas de la fundamental funciones elementales Además de las reglas para encontrar derivadas, se puede llegar a reglas similares para encontrar diferenciales.

1 0 . La constante diferencial es cero.

2 0 . El diferencial de la suma algebraica de un número finito de funciones diferenciables es igual a la suma algebraica de los diferenciales de estas funciones .

3 0 . Diferencial del producto de dos funciones diferenciables es igual a la suma productos de la primera función por el diferencial de la segunda y segunda funciones por el diferencial de la primera .

Consecuencia. El multiplicador constante se puede tomar fuera del signo diferencial.

2.3. Funciones definidas paramétricamente, su diferenciación.

Definición . Una función se llama paramétricamente dada si ambas variables NS y y se definen cada una por separado como funciones de un solo valor de la misma variable auxiliar: el parámetrot :

dóndet varía dentro.

Comentario ... Presentamos las ecuaciones paramétricas de un círculo y una elipse.

a) Un círculo con un centro en el origen y un radio r tiene ecuaciones paramétricas:

b) Escribamos las ecuaciones paramétricas de la elipse:

Al excluir el parámetro t de ecuaciones paramétricas de las líneas consideradas, se puede llegar a sus ecuaciones canónicas.

Teorema ... Si la función y del argumento x viene dada paramétricamente por ecuaciones, donde y diferenciable con respecto at funciones y, a continuación.

2.4. Fórmula de Leibniz

Para encontrar la derivada norte-th orden del producto de dos funciones grande significado práctico tiene la fórmula de Leibniz.

Permitir tu y v- algunas funciones de una variable NS tener derivados de cualquier orden y y = uv... Expresemos norte-ésima derivada en términos de derivadas de funciones tu y v .

Tenemos consistentemente

Es fácil notar la analogía entre las expresiones para la segunda y tercera derivadas y la expansión del binomio de Newton en la segunda y tercera potencia, respectivamente, pero en lugar de los exponentes hay números que determinan el orden de la derivada y las funciones ellos mismos pueden considerarse como "derivados del orden cero". Con esto en mente, obtenemos la fórmula de Leibniz:

Esta fórmula puede demostrarse mediante el método de inducción matemática.

APARTADO 3. APLICACIÓN DE LA FÓRMULA LEIBNITZ.

Para calcular la derivada de cualquier orden del producto de dos funciones, sin pasar por la aplicación secuencial de la fórmula para calcular la derivada del producto de dos funciones, aplique Fórmula de Leibniz.

Usando esta fórmula, consideraremos ejemplos de cálculo de la derivada de n-ésimo orden del producto de dos funciones.

Ejemplo 1.

Encuentra la derivada de segundo orden de la función

Por definición, la segunda derivada es la primera derivada de la primera derivada, es decir

Por lo tanto, primero encontramos la derivada de primer orden de la función dada de acuerdo con reglas de diferenciación y usando tabla de derivados:

Ahora encontremos la derivada de la derivada de primer orden. Esta será la derivada de segundo orden deseada:

Respuesta:

Ejemplo 2.

Encuentra la derivada de orden th de la función

Solución.

Encontraremos secuencialmente las derivadas de la primera, segunda, tercera, etc. órdenes de una función dada para establecer un patrón que pueda generalizarse a la ésima derivada.

La derivada de primer orden se encuentra como derivado de lo privado:

Aquí la expresión se llama factorial del número. El factorial de un número es igual al producto de números de uno a, es decir

La derivada de segundo orden es la primera derivada de la primera derivada, es decir

Derivada de tercer orden:

Cuarta derivada:

Nótese la regularidad: el numerador contiene el factorial del número, que es igual al orden de la derivada, y en el denominador, la expresión en potencia es uno más que el orden de la derivada, es decir

Respuesta.

Ejemplo 3.

Encuentra el valor de la tercera derivada de la función en el punto.

Solución.

De acuerdo a tabla de derivados de orden superior, tenemos:

En el ejemplo que estamos considerando, es decir, obtenemos

Tenga en cuenta que podría obtenerse un resultado similar encontrando sucesivamente las derivadas.

En un punto dado, la tercera derivada es:

Respuesta:

Ejemplo 4.

Encuentra la segunda derivada de una función

Solución. Primero, encontremos la primera derivada:

Para encontrar la segunda derivada, diferenciamos la expresión de la primera derivada nuevamente:

Respuesta:

Ejemplo 5.

Encuentra si

Dado que la función dada es un producto de dos funciones, será conveniente usar la fórmula de Leibniz para encontrar la derivada de cuarto orden:

Encontremos todas las derivadas y calculemos los coeficientes de los términos.

1) Calculemos los coeficientes de los términos:

2) Encuentra las derivadas de la función:

3) Encuentra las derivadas de la función:

Respuesta:

Ejemplo 6.

Se da una función y = x 2 cos3x. Encuentra la derivada de tercer orden.

Sea u = cos3x, v = x 2 ... Luego, usando la fórmula de Leibniz, encontramos:

Las derivadas de esta expresión son:

(cos3x) ′ = - 3sin3x,

(cos3x) ′ ′ = (- 3sin3x) ′ = - 9cos3x,

(cos3x) ′ ′ ′ = (- 9cos3x) ′ = 27sin3x,

(x2) ′ = 2x,

(x2) ′ ′ = 2,

(x2) ′ ′ ′ = 0.

Por lo tanto, la tercera derivada de la función dada es

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2 + 3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x + 3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2 + 1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x - 54xcos3x - 18sin3x = (27x2−18) sin3x - 54xcos3x.

Ejemplo 7.

Encontrar derivada norte función de -th orden y = x 2 cosx.

Usamos la fórmula de Leibniz estableciendou = cosx, v = x 2 ... Luego

Los términos restantes de la serie son iguales a cero, ya que(x2) (i) = 0 para i> 2.

Derivada n -Función coseno de tercer orden:

Por tanto, la derivada de nuestra función es

CONCLUSIÓN

La escuela estudia y utiliza las llamadas fórmulas de multiplicación abreviadas: cuadrados y cubos de la suma y diferencia de dos expresiones y la fórmula para factorizar la diferencia de cuadrados, la suma y la diferencia de cubos de dos expresiones. Una generalización de estas fórmulas es una fórmula llamada fórmula binomial de Newton y las fórmulas para la factorización de la suma y diferencia de potencias. Estas fórmulas se utilizan a menudo para resolver varios problemas: demostrar divisibilidad, cancelar fracciones, cálculos aproximados. Se consideran propiedades interesantes del triángulo de Pascal, que están estrechamente relacionadas con el binomio de Newton.

El artículo sistematiza información sobre el tema, da ejemplos de problemas sobre la aplicación del binomio de Newton y fórmulas para la suma y diferencia de grados. El trabajo se puede utilizar en el trabajo de un círculo matemático, así como para autoestudio los que gustan de las matemáticas.

LISTA DE FUENTES UTILIZADAS

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2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Álgebra y comienzos Análisis matemático... Grado 10: libro de texto. para educación general. organizaciones niveles básico y avanzado - M .: Educación, 2014. - 431 p.

3. Resolución de problemas de estadística, combinatoria y teoría de la probabilidad. 7-9 grados / autor - compilado por V.N. Studenetskaya. - ed. 2nd., Rev., - Volgograd: Teacher, 2009

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5. Sharygin I.F. Curso optativo de matemáticas: resolución de problemas. Tutorial por 10 cl. escuela secundaria... - M.: Educación, 1989.

6.Ciencia y vida, binomio de Newton y triángulo de Pascal[Recurso electrónico]. - Modo de acceso: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/