2 karmaşık bir fonksiyonun türevi. karmaşık türevler

Türev bulma işlemine türev alma denir.

En basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonlar için türev bulma problemlerinin, türevin argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlanmasıyla çözülmesinin bir sonucu olarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış türev kuralları ortaya çıktı. Türev bulma alanında ilk olanlar Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) idi.

Bu nedenle, zamanımızda, herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının yukarıda belirtilen sınırını hesaplamak gerekli değildir, sadece kullanmanız gerekir. türev tablosu ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

türevini bulmak için, kontur işaretinin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri sök ve hangi eylemleri belirleyin (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler bağlantılıdır. Ayrıca, temel fonksiyonların türevleri türev tablosunda bulunur ve ürün, toplam ve bölümün türevleri için formüller türev alma kurallarında bulunur. İlk iki örnekten sonra türev tablosu ve türev alma kuralları verilmiştir.

Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Türev alma kurallarından, fonksiyonların toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu, yani.

Türev tablosundan "x" in türevinin bire eşit olduğunu ve sinüsün türevinin kosinüs'e eşit olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamına yerleştiriyoruz ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluyoruz:

Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Sabit faktörlü ikinci terimin türevin işaretinin dışına alınabileceği toplamın türevi olarak farklılaşırız:

Neyin nereden geldiğine dair hala sorular varsa, kural olarak, türevler tablosuna ve en basit farklılaşma kurallarına aşina olduktan sonra daha net hale gelirler. Hemen onlara gidiyoruz.

Basit fonksiyonların türev tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesindeki herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200 ...). Her zaman sıfır. Bu çok sık gerekli olduğu için hatırlanması çok önemlidir.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "x". Her zaman bire eşittir. Bunu uzun süre hatırlamak da önemlidir.
3. Türev derecesi. Problemleri çözerken kare olmayan kökleri bir dereceye dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi
5. türev kare kök
6. Sinüs türevi
7. Kosinüsün türevi
8. Tanjantın türevi
9. Kotanjantın türevi
10. arksinüs türevi
11. arkkozinin türevi
12. Arktanjantın türevi
13. Ark kotanjantının türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik fonksiyonun türevi
16. Üsün türevi
17. Üstel fonksiyonun türevi

farklılaşma kuralları

1. Toplamın veya farkın türevi
2. İşin türevi
2a. Sabit bir faktörle çarpılan bir ifadenin türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1.eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir, sonra aynı noktada fonksiyonlar

Dahası

onlar. fonksiyonların cebirsel toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Sonuç. İki türevlenebilir fonksiyon sabit bir terimle farklıysa, türevleri eşittir., yani

Kural 2.eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir, sonra aynı noktada ürünleri de türevlenebilir

Dahası

onlar. iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin diğerinin türevine göre ürünlerinin toplamına eşittir.

Sonuç 1. Sabit faktör, türevin işaretinin dışına taşınabilir.:

Sonuç 2. Birkaç türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi, faktörlerin her birinin diğerlerinin türevinin ürünlerinin toplamına eşittir.

Örneğin, üç faktör için:

Kural 3.eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir ve , o zaman bu noktada türevlenebilir ve bölümleriu / v ve

onlar. iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın ürünleri ile payın türevi ve payın türevi arasındaki fark olan kesre eşittir ve payda, paydanın karesidir. önceki numaratör

Diğer sayfalarda ne aranmalı

Gerçek problemlerde çarpım ve bölümün türevini bulurken, her zaman birkaç türev kuralının aynı anda uygulanması gerekir, bu nedenle makalede bu türevlerin daha fazla örneği vardır."Bir işin ve belirli bir fonksiyonun türevi".

Yorum Yap. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplama ve sabit faktör olarak karıştırmayın! Bir terim durumunda türevi sıfıra eşittir ve sabit bir faktör durumunda türevlerin işaretinden çıkarılır. o tipik hata, türevleri çalışmanın ilk aşamasında meydana gelir, ancak birkaç bir veya iki bileşenli örnek zaten çözüldüğünden, ortalama öğrenci artık bu hatayı yapmaz.

Ve eğer bir işi veya belirli bir şeyi ayırt ederken, bir teriminiz varsa sen"v, hangi sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacak ve bu nedenle tüm terim sıfıra eşit olacaktır (bu durum Örnek 10'da analiz edilmiştir).

Bir diğer yaygın hata, karmaşık bir fonksiyonun türevinin basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik çözümüdür. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makale ayrılmıştır. Ama önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.

Yol boyunca, ifade dönüşümleri olmadan yapamazsınız. Bunu yapmak için öğreticileri yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler ve Kesirli eylemler .

Kuvvetli ve köklü kesirlerin türevlerine çözüm arıyorsanız, yani bir fonksiyon şöyle göründüğünde , ardından Kuvvetler ve Köklerle Kesirlerin Toplamının Türevi dersini takip edin.

gibi bir göreviniz varsa , sonra dersiniz "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri".

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Fonksiyon ifadesinin kısımlarını belirleriz: ifadenin tamamı ürünü temsil eder ve faktörleri, ikincisinde terimlerden birinin sabit bir faktör içerdiği toplamlardır. Çarpım farklılaşması kuralını uygularız: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin diğerinin türeviyle çarpımlarının toplamına eşittir:

Sonra, toplamı türev alma kuralını uygularız: fonksiyonların cebirsel toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamda, eksi işareti olan ikinci terim. Her toplamda, hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Yani, bizim için "x" bire, eksi 5 - sıfıra dönüşüyor. İkinci ifadede, "x" 2 ile çarpılır, yani ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarparız. Türevlerin aşağıdaki değerlerini alıyoruz:

Bulunan türevleri ürünlerin toplamına yerleştiririz ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Ve türevi için problemin çözümünü kontrol edebilirsiniz.

Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bölümün türevini almak için formülü uygularız: iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın ürünleri ile payın türevi ve payın türevi arasındaki fark olan bir kesre eşittir. payda ve payda önceki payın karesidir. Alırız:

Örnek 2'de paydaki çarpanların türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte payda ikinci çarpan olan ürünün eksi işaretiyle alındığını unutmayalım:

Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, örneğin sürekli bir kök ve güç yığınının olduğu problemlere çözüm arıyorsanız, örneğin, o zaman sınıfa hoşgeldin "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamının türevi" .

Sinüs, kosinüs, tanjant ve diğerlerinin türevleri hakkında daha fazla bilgi sahibi olmanız gerekiyorsa trigonometrik fonksiyonlar, yani, işlev şöyle göründüğünde , sonra dersin "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, türev tablosunda türevine aşina olduğumuz, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan bir ürün görüyoruz. Ürünün türev kuralına ve karekök türevinin tablo değerine göre, şunu elde ederiz:

Türev için problemin çözümünü kontrol edebilirsiniz. türev hesaplayıcı çevrimiçi .

Örnek 6. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bölümü görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümün türev alma kuralına ve karekökün türevinin tablo değerine göre şunu elde ederiz:

Paydaki kesirden kurtulmak için pay ve paydayı ile çarpın.

Fonksiyonlar karmaşık tür buna "karmaşık işlev" demek tamamen doğru değil. Örneğin, çok etkileyici görünüyor, ancak bu işlev, aksine karmaşık değil.

Bu yazımızda bu kavramı ele alacağız. karmaşık fonksiyon, onu temel fonksiyonların bir parçası olarak nasıl tanımlayacağımızı öğreneceğiz, türevini bulmak için bir formül vereceğiz ve tipik örneklerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alacağız.

Örnekleri çözerken türev tablosunu ve türev alma kurallarını sürekli kullanacağız, bu yüzden gözünüzün önünde bulundurun.

karmaşık fonksiyon Argümanı aynı zamanda bir fonksiyon olan bir fonksiyondur.

Bizim açımızdan bu tanım en anlaşılır olanıdır. Geleneksel olarak f (g (x)) olarak gösterilebilir. Yani, g(x), f(g(x)) fonksiyonunun bir argümanı gibidir.

Örneğin, f arktanjant işleviyse ve g (x) = lnx doğal logaritma işleviyse, o zaman karmaşık f (g (x)) işlevi arktandır (lnx). Başka bir örnek: f, dördüncü güce yükseltme işlevidir ve - tüm rasyonel fonksiyon(bak) o zaman .

Buna karşılık g(x) de karmaşık bir fonksiyon olabilir. Örneğin, ... Geleneksel olarak, böyle bir ifade şu şekilde gösterilebilir: ... Burada f sinüs fonksiyonu, karekök fonksiyonu, - kesirli rasyonel fonksiyon. Fonksiyonların iç içe geçme derecesinin herhangi bir sonlu olabileceğini varsaymak mantıklıdır. doğal sayı.

Sıklıkla karmaşık bir işlevin çağrıldığını duyabilirsiniz. fonksiyonların bileşimi.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için formül.

Örnek.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun.

Çözüm.

V bu örnek f kare alma işlevidir ve g (x) = 2x + 1 doğrusal bir işlevdir.

Bileşik fonksiyon türev formülü kullanan ayrıntılı bir çözüm:

Orijinal fonksiyonun formunu sadeleştirdikten sonra bu türevi bulalım.

Buradan,

Gördüğünüz gibi, sonuçlar aynı.

Hangi fonksiyonun f, hangisinin g(x) olduğunu karıştırmamaya çalışın.

Bunu bir dikkat örneği ile açıklayalım.

Örnek.

Karmaşık fonksiyonların türevlerini bulun ve.

Çözüm.

İlk durumda, f kare alma işlevidir ve g (x) sinüs işlevidir, yani
.

İkinci durumda, f sinüs fonksiyonudur ve - güç fonksiyonu... Bu nedenle, karmaşık bir fonksiyonun ürünü için formüle göre,

Fonksiyonun türev formülü şu şekildedir:

Örnek.

Farklılaşma işlevi .

Çözüm.

Bu örnekte, karmaşık bir işlev koşullu olarak şu şekilde yazılabilir: , sinüs fonksiyonu nerede, üçüncü kuvvete yükseltme fonksiyonu, logaritmayı e tabanına alma fonksiyonu, sırasıyla arktanjantı alma fonksiyonu ve lineer fonksiyon.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülü ile

şimdi buluyoruz

Elde edilen ara sonuçları bir araya getirmek:

İç içe geçmiş bebekler gibi korkutucu, karmaşık işlevler yoktur.

Bu, tek bir olmasa da makalenin sonu olabilir ama ...

Türev alma kurallarının ve türev tablosunun ne zaman uygulanacağını ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünün ne zaman kullanılacağını açıkça anlamanız önerilir..

ŞİMDİ ÖZELLİKLE DİKKATLİ OLUN. Karmaşık fonksiyonlar ve karmaşık fonksiyonlar arasındaki fark hakkında konuşacağız. Bu farkı ne kadar gördüğünüz, türev bulma başarısını belirleyecektir.

Bazı basit örneklerle başlayalım. İşlev karmaşık olarak görülebilir: g (x) = tgx, ... Bu nedenle, karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü hemen uygulayabilirsiniz.

Ve işte fonksiyon zor zaten denilemez.

Bu fonksiyon, 3tgx ve 1 olmak üzere üç fonksiyonun toplamıdır. - karmaşık bir fonksiyon olmasına rağmen: bir güç fonksiyonudur (kuadratik parabol) ve f bir teğet fonksiyondur. Bu nedenle, önce toplamı türevlendirmek için formülü uygularız:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için kalır:

Bu yüzden .

Ana fikri anladığınızı umuyoruz.

Daha geniş olarak, karmaşık türdeki işlevlerin karmaşık işlevlerin parçası olabileceği ve karmaşık işlevlerin karmaşık türdeki işlevlerin parçası olabileceği iddia edilebilir.

Örnek olarak, analiz edelim bileşen parçaları işlev .

Başta, bu karmaşık bir fonksiyondur, burada f, 3 tabanına göre logaritma fonksiyonudur ve g (x) iki fonksiyonun toplamıdır. ve ... Yani, .

ikinci olarak, h (x) fonksiyonu ile ilgileneceğiz. ile bir ilişkiyi temsil eder. .

Bu iki fonksiyonun toplamıdır ve , nerede - sayısal katsayısı 3 olan karmaşık bir fonksiyon. - küp işlevi, - kosinüs işlevi, - doğrusal işlev.

Bu, iki fonksiyonun toplamıdır ve nerede - karmaşık fonksiyon, - üs alma fonksiyonu, - güç fonksiyonu.

Böylece, .

Üçüncüsü, git, karmaşık bir fonksiyonun ürünü olan ve bütün bir rasyonel fonksiyon

Kare alma işlevi, logaritmayı e tabanına alma işlevidir.

Buradan, .

Özetleyelim:

Artık fonksiyonun yapısı netleşti ve türevleri alınırken hangi formüllerin ve hangi sırayla uygulanacağı netleşti.

Bir fonksiyonun türevini alma (türevi bulma) bölümünde, benzer problemlerin çözümüne aşina olabilirsiniz.

Karar ver fiziksel görevler veya matematikteki örnekler, türev ve onu hesaplama yöntemleri bilgisi olmadan tamamen imkansızdır. türev biridir temel kavramlar matematiksel analiz... Bugünün makalesini bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) belirli aralıklarla verilir (a, b) ... х ve х0 noktaları bu aralığa aittir. x değiştiğinde, fonksiyonun kendisi değişir. Bir argümanı değiştirme - değerleri arasındaki fark x-x0 ... Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerlerindeki farktır. Türev tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, verilen bir noktadaki fonksiyonun artışının, argüman sıfıra eğilimli olduğunda, argümanın artışına oranının sınırıdır.

Aksi takdirde, şöyle yazılabilir:

Böyle bir limit bulmanın anlamı nedir? Ve işte ne:

fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının tanjantına ve bu noktadaki fonksiyonun grafiğine tanjantına eşittir.

Fiziksel anlamda türev: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Gerçekten de, okul zamanlarından beri herkes hızın özel bir yol olduğunu biliyor. x = f(t) ve zaman T ... Bir süre boyunca ortalama hız:

Bir seferde hareketin hızını bulmak için t0 sınırı hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: bir sabiti çıkar

Sabit, türevin işaretinin dışına taşınabilir. Üstelik yapılmalıdır. Matematikte örnekleri çözerken, kural olarak alın - ifadeyi sadeleştirebiliyorsanız, sadeleştirdiğinizden emin olun. .

Örnek. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin bir kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örneği ele alacağız.

Bir fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanması hakkında söylemek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin, ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin ürününe eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

Bu durumda, ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için, önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplıyoruz ve sonra doğrudan ara argümanın bağımsız değişkene göre türeviyle çarpıyoruz.

Dördüncü kural: iki fonksiyonun bölüm türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:

Size sıfırdan mankenler için türevlerden bahsetmeye çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde genellikle tuzaklar vardır, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konulardaki herhangi bir sorunuz için öğrenci servisi ile iletişime geçebilirsiniz. Kısa sürede, daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testi çözmenize ve görevlerle uğraşmanıza yardımcı olacağız.

Ön topçu hazırlığından sonra 3-4-5 işlev ekleri olan örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazıları için zor görünebilir, ancak onları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman diferansiyel hesaptaki hemen hemen her şey bir çocuk şakası gibi görünecektir.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken, her şeyden önce, gereklidir. sağ Ekleri ANLAYIN. Şüphelerin olduğu durumlarda, yararlı bir tekniği hatırlıyorum: örneğin "X"in deneysel değerini alıyoruz ve (zihinsel olarak veya taslakta) bu değeri "korkunç ifadede" değiştirmeye çalışıyoruz.

1) İlk olarak, miktarın en derin yatırım olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekiyor.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Ardından kosinüsü bir küp haline getirin:

5) Beşinci adımda, fark:

6) Ve son olarak, en dıştaki fonksiyon kareköktür:

Karmaşık fonksiyon farklılaşma formülü uygulanan Ters sipariş, en dıştaki işlevden en içtekine. Karar veriyoruz:

Hatasız görünüyor:

1) Karekökün türevini alın.

2) Kuralı kullanarak farkın türevini alıyoruz

3) Üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde, derecenin (küp) türevini alıyoruz.

4) Kosinüsün türevini alıyoruz.

6) Ve son olarak, en derin yuvalamanın türevini alıyoruz.

Kulağa çok zor gelebilir, ancak bu henüz en acımasız örnek değil. Örneğin, Kuznetsov'un koleksiyonunu alın ve analiz edilen türevin tüm cazibesini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Bir sonraki örnek bağımsız karar.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: İlk olarak, doğrusallık kurallarını ve çarpım farklılaştırma kuralını uygulayın

Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Şimdi daha kompakt ve sevimli bir şeye geçme zamanı.
Bir örneğin iki değil, üç işlevin bir ürününü vermesi nadir değildir. Üç faktörün ürününün türevi nasıl bulunur?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

İlk olarak, üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmek mümkün mü bir bakalım. Örneğin, üründe iki polinomumuz olsaydı, parantezleri genişletebiliriz. Ancak bu örnekte tüm fonksiyonlar farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Böyle durumlarda gerekli sürekliürün farklılaştırma kuralını uygula iki kere

İşin püf noktası, "y" için iki işlevin çarpımını belirtmemizdir: ve "ve" için - logaritma:. Bu neden yapılabilir? bu mu - bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural çalışmıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralın uygulanması ikinci kez kaldı parantez için:

Yine de saptırılabilir ve parantezlerin dışına bir şey koyabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı bu biçimde bırakmak daha iyidir - kontrol etmek daha kolay olacaktır.

Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülmüştür.

Kesirlerle ilgili benzer örneklere bakalım.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Buraya gitmenin birkaç yolu var:

Veya bunun gibi:

Ancak, her şeyden önce, bölümün türevini almak için kuralı kullanırsak, çözüm daha kompakt bir şekilde yazılacaktır. , tüm pay için alarak:

Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakırsanız hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, her zaman bir taslağı kontrol etmeniz önerilir, ancak cevabı basitleştirmek mümkün müdür?

Payın ifadesini şuraya getirelim: ortak payda ve üç katlı kesirden kurtulun:

Ek sadeleştirmelerin dezavantajı, türevi bulmada değil, banal okul dönüşümleri durumunda hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan, öğretmenler genellikle ödevi reddeder ve türevi "akla getirmek" ister.

Kendin yap çözümü için daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türev bulma yöntemlerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için “korkunç” logaritma önerildiğinde tipik bir durumu ele alacağız.

Tanımı takip edersek, bir noktada bir fonksiyonun türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının sınırıdır. yΔ argümanının artışına x:

Her şey açık görünüyor. Ama bu formülü kullanarak hesaplamaya çalışın, diyelim ki bir fonksiyonun türevi F(x) = x 2 + (2x+ 3) e x Günah x... Her şeyi tanım gereği yaparsanız, birkaç sayfa hesaplamadan sonra uykuya dalarsınız. Bu nedenle, daha basit ve daha etkili yollar vardır.

Başlangıç ​​olarak, sözde temel işlevlerin tüm işlevlerden ayırt edilebileceğini not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tabloya girilen nispeten basit ifadelerdir. Bu tür işlevlerin türevleriyle birlikte hatırlanması yeterince kolaydır.

Temel fonksiyonların türevleri

Temel işlevler aşağıda listelenen her şeydir. Bu fonksiyonların türevleri ezbere bilinmelidir. Ayrıca, onları ezberlemek hiç de zor değil - bu yüzden temeldirler.

Böylece, temel fonksiyonların türevleri:

İsim	İşlev	Türev
Devamlı	F(x) = C, C ∈ r	0 (evet, sıfır!)
rasyonel not	F(x) = x n	n · x n − 1
Sinüs	F(x) = günah x	çünkü x
Kosinüs	F(x) = çünkü x	- günah x(eksi sinüs)
Teğet	F(x) = tg x	1 / çünkü 2 x
Kotanjant	F(x) = ctg x	- 1 / günah 2 x
Doğal logaritma	F(x) = ln x	1/x
keyfi logaritma	F(x) = günlük a x	1/(x ln a)
üstel fonksiyon	F(x) = e x	e x(hiçbirşey değişmedi)

Temel işlev keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni işlevin türevi de kolayca hesaplanır:

(C · F)’ = C · F ’.

Genel olarak, sabitler türevin işaretinin dışına taşınabilir. Örneğin:

(2x 3) '= 2 · ( x 3) '= 2 3 x 2 = 6x 2 .

Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir - ve çok daha fazlası. Böylece, artık özellikle temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre türevlenebilen yeni işlevler ortaya çıkacaktır. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.

Toplamın ve farkın türevi

fonksiyonlara izin ver F(x) ve G(x), türevleri bizim tarafımızdan bilinmektedir. Örneğin, yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Yani, iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla terim olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Açıkçası, cebirde "çıkarma" kavramı yoktur. "Negatif unsur" kavramı var. Bu nedenle fark F − G toplamı olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

F(x) = x 2 + günah x; G(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

İşlev F(x) İki temel fonksiyonun toplamıdır, bu nedenle:

F ’(x) = (x 2 + günah x)’ = (x 2) '+ (günah x)’ = 2x+ çünkü x;

İşlev için benzer şekilde akıl yürütürüz G(x). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):

G ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cevap:
F ’(x) = 2x+ çünkü x;
G ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Bir işin türevi

Matematik mantıksal bir bilimdir, o kadar çok kişi, toplamın türevi türevlerin toplamına eşitse, o zaman ürünün türevinin olduğuna inanır. vuruş"> türevlerin çarpımına eşittir. Ama incir seni! Ürünün türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Formül basittir, ancak çoğu zaman gözden kaçar. Ve sadece okul çocukları değil, aynı zamanda öğrenciler. Sonuç, yanlış çözülmüş problemlerdir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(x) = x 3 çünkü x; G(x) = (x 2 + 7x- 7) e x .

İşlev F(x) iki temel fonksiyonun ürünüdür, bu nedenle her şey basittir:

F ’(x) = (x 3 çünkü x)’ = (x 3) çünkü x + x 3 (çünkü x)’ = 3x 2 çünkü x + x 3 (- günah x) = x 2 (3cos x − x Günah x)

İşlev G(x) birinci faktör biraz daha karmaşıktır, ancak genel şema bundan değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk faktörü G(x) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:

G ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) e x)’ = (x 2 + 7x- 7)' e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) e x + (x 2 + 7x- 7) e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) e x .

Cevap:
F ’(x) = x 2 (3cos x − x Günah x);
G ’(x) = x(x+ 9) e x .

Son adımda türevin çarpanlara ayrıldığına dikkat edin. Resmi olarak, bunu yapmanız gerekmez, ancak çoğu türev kendi başına değil, fonksiyonu araştırmak için hesaplanır. Bu, türevin sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin netleştirileceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, çarpanlara ayrılmış bir ifadeye sahip olmak daha iyidir.

iki fonksiyon varsa F(x) ve G(x), ve G(x) ≠ 0 kümesinde bizi ilgilendiriyor, yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz H(x) = F(x)/G(x). Böyle bir fonksiyon için bir türev de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, ha? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Bu nasıl! Bu en zor formüllerden biridir - bir şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle, belirli örneklerle çalışmak daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:

Her kesrin payı ve paydası temel fonksiyonlar içerir, bu yüzden tek ihtiyacımız olan bölümün türevi formülü:

Geleneğe göre, payı çarpanlara ayırmak, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:

Karmaşık bir fonksiyon mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül değildir. Örneğin, işlevi almak yeterlidir. F(x) = günah x ve değişkeni değiştirin x hadi diyelim x 2 + l x... ortaya çıkacak F(x) = günah ( x 2 + l x) Karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var ama yukarıda tartışılan kurallara göre onu bulmak işe yaramaz.

Nasıl olunur? Bu gibi durumlarda, değişken değiştirme ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülü aşağıdakilere yardımcı olur:

F ’(x) = F ’(T) · T', Eğer x ile değiştirilir T(x).

Kural olarak, bu formülün anlaşılmasıyla durum, bölümün türevinden daha da üzücü. Bu nedenle, belirli örneklerle açıklamak da daha iyidir. Detaylı Açıklama her adım.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(x) = e 2x + 3 ; G(x) = günah ( x 2 + l x)

İşlevde ise F(x) ifadesi yerine 2 x+ 3 kolay olacak x o zaman ortaya çıkacak temel fonksiyon F(x) = e x... Bu nedenle, bir ikame yaparız: 2'ye izin ver x + 3 = T, F(x) = F(T) = e T... Karmaşık bir fonksiyonun türevini şu formülle arıyoruz:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirmeyi gerçekleştiriyoruz: T = 2x+ 3. Şunları elde ederiz:

F ’(x) = e T · T ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Şimdi fonksiyonla ilgilenelim G(x). Açıkçası, değiştirmeniz gerekir x 2 + l x = T... Sahibiz:

G ’(x) = G ’(T) · T'= (Günah T)’ · T'= Çünkü T · T ’

Ters değiştirme: T = x 2 + l x... Sonra:

G ’(x) = çünkü ( x 2 + l x) · ( x 2 + l x) '= Cos ( x 2 + l x) (2 x + 1/x).

Bu kadar! Son ifadeden de görebileceğiniz gibi, tüm problem türetilmiş toplamı hesaplamaya indirgendi.

Cevap:
F ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
G ’(x) = (2x + 1/x) Çünkü ( x 2 + l x).

Derslerimde çok sık "türev" terimi yerine "stroke" kelimesini kullanırım. Örneğin, miktardan bir asal toplamına eşittir vuruşlar. Bu daha net mi? Tamam bu harika.

Böylece, türevi hesaplamak, yukarıda tartışılan kurallara göre bu vuruşlardan kurtulmaya gelir. Son bir örnek olarak, üslü sayının rasyonel üslü türevine dönelim:

(x n)’ = n · x n − 1

Rolün ne olduğunu çok az kişi biliyor n kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök x 0,5. Ama ya kökünde süslü bir şey varsa? Yine, bu karmaşık bir işlev olacak - bu tür yapılar pes etmeyi sever. kontrol işleri ve sınavlar.

Görev. Bir fonksiyonun türevini bulun:

İlk olarak, kökü rasyonel üslü bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

F(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Şimdi bir değiştirme yapıyoruz: izin ver x 2 + 8x − 7 = T... Türevi aşağıdaki formülle buluruz:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T'= 0,5 T−0.5 T ’.

Ters değiştirme yapıyoruz: T = x 2 + 8x- 7. Bizde:

F ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) −0.5 x 2 + 8x- 7) '= 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Son olarak, köklere geri dönelim: