Numery opcji mnożenia. Vintage metody mnożenia

Kandydat nauki pedagogiczne Natalia Karpushin.

Opanować mnożenie wielowarstwowe numery, Wystarczy znać tabelę mnożenia i móc dodać liczby. W istocie, wszystkie trudności leży w sposób prawidłowo umieszczenia pośrednich wyników mnożenia (prace częściowe). W celu ułatwienia obliczeń ludzie wymyślili wiele sposobów na pomnożenie liczb. Na wieczną historię matematyki zerwali kilkadziesiąt.

Mnożenie z metodą kraty. Ilustracja z pierwszej drukowanej książki na arytmetyce. 1487 rok.

Kije twarzy. To proste urządzenie do policzalnego zostało po raz pierwszy opisane w składzie Jana Nefe Rabdology. 1617 rok.

John nigdy (1550-1617).

Model maszyny krajowej konta. Nie dotarło do nas, urządzenie komputerowe zostało wykonane przez wynalazcę w 1623 r. I opisany do roku później w liście Johann Kepleru.

Wilhelm Shikkard (1592-1635).

Hindusi Heritage - Metoda kraty

Hindusi, od dawna, który znał system numeru dziesiętnego, preferował konto ustne na piśmie. Wymano kilka sposobów na pomnożenie. Później, Arabowie pożyczyli je, a metody te zostały przeniesione do Europejczyków. Te jednak nie ograniczali się i rozwinęli nowe, w szczególności, w szczególności, który jest badany w szkole, jest mnożenie kolumny. Ta metoda była znana od początku XV wieku, w następnym stuleciu mocno weszła do wykorzystania matematyków, a dziś używają wszędzie. Ale czy mnożenie kolumny najlepszym sposobem Wdrożenie tej akcji arytmetycznej? W rzeczywistości są inne, w naszym czasie zapomniane sposoby mnożenia, nie gorsze, takie jak metoda kraty.

W ten sposób wykorzystaliśmy w starożytności, w średniowieczu, było szeroko rozprzestrzenione na wschodzie, aw renesansowej epoku - w Europie. Metoda kratowa została również nazywana indian, muzułmaninem lub mnożenie do komórki. We Włoszech nazywano "Jelozja" lub "Mnożenie lat" (Gelosia przetłumaczona z języka włoskiego - "żaluzje", "Lotnice kratowe"). Rzeczywiście, gdy pomnożenie postaci z liczb miał podobieństwa z okiennicami, które były zamknięte przez okna weneckich domów ze Słońca.

Istota tej prostej metody mnożenia jest wyjaśniona przez przykład: Obliczamy produkt 296 × 73. Zaczniemy od faktu, że rysujemy tabelę z kwadratowymi komórkami, w których pojawi się trzy kolumny i dwie linie - według liczby Liczby w mnożnikach. Podzielymy komórki na pół ukośnie. Nad tabelą piszemy numer 296, a po prawej stronie pionowo - numer 73. Przesuń każdą liczbę pierwszej liczby z każdą liczbą drugiej i zainstalować pracę do odpowiednich komórek, umieszczając dziesiątki przekątnej i jednostek pod tym. Dane dotyczące pożądanej pracy uzyskujemy dodatek liczb w ukośnych pasmach. W tym przypadku przesuniemy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, począwszy od prawej dolnej komórki: 8, 2 + 1 + 7 itd. Piszemy wyniki pod tabelą, a także po lewej stronie. (Jeśli otrzymuje się dwucyfrowa ilość, wskazujemy tylko jednostki i dodawać dziesiątki do ilości liczb z następującego paska.) Odpowiedź: 21 608. Tak, 296 x 73 \u003d 21 608.

Metoda kraty nie jest gorsza od mnożenia kolumny. Jest jeszcze łatwiejsze i bardziej wiarygodne, pomimo faktu, że liczba działań przeprowadzonych w obu przypadkach jest jednakowo. Po pierwsze, konieczne jest pracę tylko z jednoznacznymi i dwucyfrowymi liczbami, a są łatwe w obsłudze w umyśle. Po drugie, nie jest konieczne zapamiętanie wyników pośrednich i postępować zgodnie z zamówieniem, aby je napisać. Pamięć jest rozładowana, a uwaga jest zapisywana, więc zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu. Ponadto metoda kratownicy pozwala szybko uzyskać wynik. Opanowałem go, możesz upewnić się, że sam.

Dlaczego metoda kraty prowadzi do odpowiedniej odpowiedzi? Jaki jest jego "mechanizm"? Wrzuć to za pomocą tabeli, zbudowanej podobnie do pierwszego, tylko w tym przypadku czynniki są prezentowane jako kwoty 200 + 90 + 6 i 70 + 3.

Jak widać, w pierwszej skośnej pasmie znajdują się jednostki, w drugim - dziesiątki, w trzecim setce itp. Ponadto, odpowiednio w odpowiedzi, liczba jednostek, dziesiątek, setek itp. Dalsze oczywiste:

Innymi słowy, zgodnie z prawami arytmetyki, praca liczb 296 i 73 jest obliczana w następujący sposób:

296 x 73 \u003d (200 + 90 + 6) X (70 + 3) \u003d 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 \u003d 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + ( 70 + 20 + 10) + 8 \u003d 21 608.

Belki petch

Mnożenie metody kratownicy leży wyłącznie prostym i oryginalnym urządzeniu z policzonym - kije Nefe. Jego wynalazcy John nigdy, Szkocki Baron i kochanek matematyki, wraz z profesjonalistami zaangażowanych w poprawę środków i metod obliczeniowych. W historii nauki jest znany przede wszystkim jako jeden z twórców logarytmów.

Urządzenie składa się z dziesięciu linii, w których stół mnożenia jest opublikowany. W każdej komórce oddzielonej przekątną nagrał produkt dwóch jednoznacznych numerów od 1 do 9: liczba dziesiątek w górnej części jest liczbą jednostek. Ustalona jest jedna linia (po lewej), reszta może być przestawiana z miejsca na miejsce, ustanawiając żądaną kombinację numeryczną. Za pomocą kijów Nefe, łatwo pomnożyć wielowartościowe liczby, zmniejszając tę \u200b\u200boperację, aby dodać.

Na przykład, aby obliczyć produkt liczb 296 i 73, musisz pomnożyć 296 o 3 i o 70 (najpierw o 7, a następnie 10) i złożył liczby. Zastosowaliśmy do linii stacjonarnej trzech innych - z liczbami 2, 9 i 6 na górze (muszą tworzyć numer 296). Teraz zajrzyj do trzeciego ciągu (numery wiersza są wskazane na lewej linii). Numery w nim są utworzone już znane dla nas.

Składany je, jak w metodzie kraty otrzymujemy 296 x 3 \u003d 888. Podobnie, biorąc pod uwagę siódmego ciągu, stwierdzamy, że 296 x 7 \u003d 2072, a następnie 296 x 70 \u003d 20 720. Tak więc,
296 x 73 \u003d 20 720 + 888 \u003d 21 608.

Pałeczki Nefe używane do bardziej złożonych operacji - podział i ekstrakcję pierwiastek kwadratowy. To policzalne urządzenie próbowało poprawić i wygodniejsze i wydajniejsze działanie. Rzeczywiście, w niektórych przypadkach było kilka zestawów kijów do mnożenia liczb, na przykład z powtarzającymi numerami. Ale taki problem został rozwiązany przez wymianę lineków z obracającymi się cylindrami z tabelą mnożenia przyłożoną do powierzchni każdego z nich, jak przedstawiono przez nigdy. Zamiast jednego zestawu kijów dziewięć przyszedł natychmiast.

Takie sztuczki faktycznie przyspieszały i ułatwiły obliczenia, ale nie wpływały główna zasada Praca urządzenia Nefe. Więc metoda kratownicy zyskała drugie życie, które trwały jeszcze kilka stuleci.

Maszyna Schicharda.

Naukowcy długo myślą, aby przesunąć niespokojną operację obliczeniową na urządzeniach mechanicznych. Pierwsze udane kroki w tworzeniu maszyn liczących udało się wdrożyć tylko w XVII wieku. Uważa się, że wcześniej niż inny podobny mechanizm złożył niemiecki matematyk i astronom Wilhelm Shikkard. Ale ironicznie, tylko wąski krąg osób o tym wiedział, a taki użyteczny wynalazek nie był znany światowi przez ponad 300 lat. Dlatego też nie wpłynęło na późniejszy rozwój funduszy obliczeniowych. Opis i szkice maszyn SCHICCARD zostały odkryte tylko pół wieku temu w archiwum Johann Kepler, a nieco później jego obecny model został stworzony przez konserwowane dokumenty.

W rzeczywistości maszyna Schiccard jest sześciocyfrowym kalkulatorem mechanicznym, który wykonuje dodawanie, odejmowanie, mnożenie i podział liczb. W nim trzy części: wielokrotne urządzenie, urządzenie sumujące i mechanizm zapisywania wyników pośrednich. Podstawa pierwszego służyła, ponieważ nie jest trudna do odgadnięcia, obrane kije, podnosiły się w cylindrach. Zostały one przymocowane do sześciu osi pionowych i obrócono ze specjalnymi uchwytami znajdującymi się na górze maszyny. Przed cylindrami wystąpił panel z dziewięcioma rzędami okien sześciu kawałków w każdym, który otworzył i zamknął zawory boczne, gdy konieczne było wyświetlenie niezbędnych numerów i ukrywają resztę.

W pracy konta maszyna krajowa jest bardzo prosta. Aby dowiedzieć się, co jest równe produktowi 296 x 73, musisz ustawić cylindry do pozycji, w której pierwszy czynnik pojawia się w górnym rzędzie okien: 000296. Produkcja 296 x 3 Otrzymasz, otwierając okna Trzeci wiersz i wzbudził liczby postrzegane jako w metodzie kraty. W ten sam sposób otwierając siódme okna wiersza, otrzymujemy kawałek 296 x 7, do którego będziemy asymilować właściwą 0. Pozostaje tylko w celu złożenia numerów znalezionych na urządzeniu sumującym.

Szybka i niezawodna metoda mnożenia liczb wieloeterowych, wymyślonych przez Hindu, została zapomniana przez Hinduska, przez wiele stuleci, zapomniana. Ale mógł nam pomóc, jeśli pod ręką, nie było tak znane dla całego kalkulatora.

Mincheva Anna, Uczeń 6 Grade Maou School No. 37 ULAN-UDE

Ciągłe stosowanie nowoczesnego sprzętu komputerowego prowadzi do faktu, że uczniowie trudno utrudniają produkcję wszelkich obliczeń bez dyspozycji do dyspozycji tabeli lub maszyny do liczenia. Znaczenie tematu Badania polega na tym, że znajomość uproszczonych technik obliczeniowych umożliwia nie tylko szybkie produkty proste obliczenia W umyśle, ale także kontrolować, oceniać, znaleźć i popraw błędy w wyniku obliczeń zmechanizowanych. Ponadto rozwój umiejętności obliczeniowych rozwija pamięć, zwiększa poziom matematycznej kultury myślenia, pomaga w pełni wchłaniać obiektów cyklu fizyko-matematycznego.

Ściągnij:

Zapowiedź:

Maou "w środku. szkoła ogólnokształcąca №37 "

Konferencja naukowa i praktyczna "zwykły cud"

SEKCJA: ARITHMETION.

"Różne metody mnożenia: od starożytności do naszego czasu"

Wykonane:

Mincheva Anna,

student 6 "Bklass

Lider:

Koneva Galina Mikhailovna,

Nauczyciel matematyczny,

"Doskonałość oświecenia Federacji Rosyjskiej",

Zwycięzca konkursu najlepszych nauczycieli Rosji (2009)

ULAN-UDE.

2017

Przejrzeć.

Wierzę, że student wykonał świetną robotę, a to raport będzie zainteresowany studentami, którzy lubią matematykę, przyszli ekonomiści.

Nauczyciel wyższej kategorii: Koneva G.m.

Plan.

1. Wstęp

2. Część główna. Metody mnożenia liczb naturalnych

2.1. Odbiór przekroju mnożenia w działaniu z liczbami dwucyfrowymi

2.2. Mnożenie mnożenia metody "zazdrości lub kratownicy"

2.3. Mnożenie sposobu "Little Castle"

2.4. Chłopska metoda mnożenia

2.5. Indyjska metoda mnożenia

2.6.Metryczna metoda mnożenia

2.7. Oryginalna metoda mnożenia o 9 na palcach

2.8. Opcje OKNESHIKOV

3. Tłumaczenie

"Przedmiot matematyki jest tak poważny
Co jest przydatne, aby nie przegapić żadnych przypadków
To trochę zabawne. " B. Pascal.

1. Wprowadzenie

Człowiek B. Życie codzienne Nie można tego zrobić bez obliczeń. Dlatego na lekcjach matematyki uczy nas wykonywać działania na liczbach, to znaczy, aby liczyć. Mnożymy, podzielić, fałdować i odciąć, znamy wszystkie sposoby badane w szkole.

Na jednej z lekcji nauczyciel matematyki wykazał, jak pomnożyć, na przykład, numer 23 do 11. W tym celu konieczne jest umysłowo nacisnąć liczby 2 i 3 i umieścić numer 5 do tego miejsca, to Czy ilość liczb 2 i 3. Okazało się, że numer 253. stałem się ciekawe, czy istnieją inne obliczenia. W końcu zdolność do szybkiego wprowadzania obliczeń powoduje, że Frank Surprise.

Ciągłe stosowanie nowoczesnego sprzętu komputerowego prowadzi do faktu, że uczniowie trudno utrudniają produkcję wszelkich obliczeń bez dyspozycji do dyspozycji tabeli lub maszyny do liczenia.Znaczenie tematu Badania polega na tym, że znajomość uproszczonych technik obliczeniowych umożliwia nie tylko szybkie wytwarzanie prostych obliczeń w umyśle, ale także kontrolują, oceniają, znaleźć i poprawić błędy w wyniku obliczeń zmechanizowanych. Ponadto rozwój umiejętności obliczeniowych rozwija pamięć, zwiększa poziom matematycznej kultury myślenia, pomaga w pełni wchłaniać obiektów cyklu fizyko-matematycznego.

Cel pracy:

Przeglądaj i zbieraj niezwykłe metody mnożenia.

Zadania badawcze:

1. Lekko jak najwięcej niezwykłe sposoby przetwarzanie danych.

2. Zastosuj, aby je zastosować.

3. Przedsiębiorczym dla siebie najciekawsze lub lżejsze niż te są oferowane w szkole i używają ich z wynikiem.

4. Esejów kolegów z klasy w różnych metodach mnożenia, organizują konkurencję - bitwę matematyczną w klasach zajęć pozalekcyjnych.

Metody badawcze:

Metoda wyszukiwania za pomocą literatury naukowej i edukacyjnej, Internet;

Metoda badawcza w określaniu metod mnożenia;

Praktyczna metoda podczas rozwiązywania przykładów.

II. Z historii praktyki obliczeniowej

Te metody obliczeń, których używamy teraz nie zawsze były takie proste i wygodne. W dawnych dniach cieszył się bardziej kłopotliwe i powolne techniki. A jeśli uczeń XXI wieku mógł zostać przeniesiony do pięciu wieków temu, uderzyłby do naszych przodków do prędkości i błędu jego obliczeń.

Szczególnie trudne w dawnych czasach były działania mnożenia i podziału. Wtedy nie było wygenerowanej praktyki wstępu dla każdej akcji. Wręcz przeciwnie, w podróży był w tym samym czasie prawie kilkanaście różne sposoby Mnożenie i podziały - przyjęcia Jedno z pozostałych mylących, pamiętaj, że nie było mocy średniego umiejętności. Każdy nauczyciel rachunków odbył się jego ulubionym recepcją, każdy "Mistrz Denilacji" chwalił swój własny sposób wykonania tej akcji.

W Księdze V. Bellyustin ", gdy ludzie stopniowo osiągnęły prawdziwy arytmetyki" określono 27 metod mnożenia, a autora zauważa: "Jest to bardzo możliwe, że nadal istnieją metody ukryte w buforach książek, rozproszone w liczne, głównie kolekcje odręczne. "

A wszystkie te techniki mnożenia są "szachy lub organizowanie", "zginanie", "krzyż", "kratownicy", "do tyłu", "diament" i inni rywalizowali ze sobą i zasymilowali wielką trudnością.

Zacząłem studiować i odkrywać niektóre z tych sposobów i wybrałem najciekawsze.

III. Różne metody mnożenia.

3.1. Konkurs krzyżowy mnożenia w ramach działań z dwucyfrowymi liczbami

Starożytni Grecy i Hindusi w Starin zwanej recepcją mnożenia krzyżowego "Metoda błyskawicy" lub "przekrojona mnożenie".

Przykład: 52 x 23 \u003d 1173 5 1

Konsekwentnie produkujemy następujące działania:

1. 1 x 3 \u003d 3 to ostatnia cyfra wyniku.

2. 5 x 3 \u003d 15; 1x 2 \u003d 2; 15 + 2 \u003d 17.

7 - Przedostna postać w odpowiedzi, jednostka pamięta.

3. 5 x 2 \u003d 10, 10 + 1 \u003d 11 to pierwsze cyfry w odpowiedzi.

Odpowiedź: 1173.

3.2. Starożytny sposób Luke Pacheti: "Zazdrość lub mnożenie lat"

W przypadku tysiąclecia rozwoju matematyki wynaleziono wiele metod mnożenia. Oprócz tabeli mnożenia, wszystkie są masywne, złożone i trudne do zapamiętania. Uważano, że za opanowanie sztuki szybkiego mnożenia jest to konieczne specjalne opowieść. Proste ludzie, którzy nie mają specjalnego dar matematycznego, ta sztuka nie jest dostępna.

Pomnóż numer 987 o liczbie 1998 roku.

Rysujemy prostokąt, dzielmy go na kwadraty, podzielić kwadraty po przekątnej. Okazuje się obraz podobny do kratowych okiennic weneckich domów. Od tego następuje nazwa metody.

Na górze tabeli zainstaluj numer 987, a po lewej poniżej - 1998 (rys. 1).

Na każdym kwadracie prowadzimy produkt liczb umieszczonych w jednym rzędzie i jednej kolumnie z tym kwadratem. Dziesiątki znajdują się w dolnym trójkącie i jednostki na górze. Liczby składają wzdłuż każdej przekątnej. Wyniki są rejestrowane po prawej i lewej stronie tabeli. .

Figa. 1 "Zazdrość lub mnożenie kratowe".

Odpowiedź: 1972026.

3.3. Inny sposób Luke Pachet: "Mały zamek"

Jedna liczba jest napisana pod innym, jak przy pomocy kolumny (rys. 2). Następnie najważniejsze numery numery są przemianem pomnożone na niższą liczbę i zaczynają się od liczb starszych wyładowania i za każdym razem, gdy dodaje się żądaną liczbę zerów.

Wynikowe liczby składają się między sobą.

Figa. 2 "Little Castle"

Odpowiedź: 1972026.

Wynik:

Porównaj wyniki uzyskane przez pomnożenie numerów 987 i 1998 przez te dwa sposoby. Odpowiedzi są równe 1972026 roku.

Oczywiście te zabytkowe metody mnożenia są rzeczywiście bardzo złożone i wymagają obowiązkowej wiedzy o tabeli mnożenia.

3.4. Rosyjska metoda mnożenia

W Rosji wśród chłopów sposób rozpowszechniono, co nie wymagało znajomości całej tabeli mnożenia. Tutaj trzeba tylko pomnożyć zdolność i podzielić liczby o 2.

Piszemy jeden numer po lewej stronie, a drugi po prawej stronie na jednej linii (rys. 3). Lewy numer zostanie podzielony na 2, a prawo - pomnóż przez 2, a wyniki są rejestrowane w kolumnie.

Jeśli saldo pojawi się, jest to wyrzucone. Mnożenie i podział przez 2 Kontynuuj aż do lewej pozostałości 1.

Następnie uderz te linie z kolumny, w której są tego warte. Teraz połóż pozostałe numery w prawej kolumnie.

Figa. 3 "rosyjski chłopski sposób"

Odpowiedź: 1972026.

Wniosek: Ta metoda mnożenia jest znacznie prostsza wcześniej omówiona metody mnożenia Pachet Luke. Ale jest również bardzo uciążliwy.

3.5. Indyjska metoda mnożenia

Najcenniejszy wkład do Skarbu Państwa wiedzy matematycznej przeprowadzono w Indiach. Hindusi oferowały metodę numerów nagrywania używanych przez nas dziesięcioma znakami: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Podstawą tego sposobu jest idea, że \u200b\u200bjedna i ta sama liczba oznacza jednostki, dziesiątki, setki lub tysiące, w zależności od tego, jakie miejsce ta postać. Miejsce zajmowane, przy braku jakichkolwiek wyładowań, jest określona przez Zer przypisywane liczbom.

Hindusi uważały się za wspaniałe. Wymyślili bardzo prosty sposób mnożenia. Wykonali pomnożone, zaczynając od starszego wyładowania i zarejestrowane niekompletne prace tuż nad wielokrotnością, błogosławieństwem. Jednocześnie wyładowanie wyższego szczebla zostało natychmiast widoczne. pełna praca A ponadto było przekazanie dowolnej cyfry. Znak mnożenia nie został jeszcze znany, więc pozostawili małą odległość między mnożnikami. Na przykład, pomnóż w drodze 537 do 6:

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 \u003d 3222) 3222. Odpowiedz: 3222

3.6. Metoda geometryczna mnożenia

W tej stosowanej metodzie figura geometryczna - koło.

Najpierw rozważ tę metodę na przykładzie. Pomnóż, na przykład, numer 13 do 24.

1) czarne koła. Ponieważ pierwszy mnożnik ma dwucyfrowy numer, a następnie dwie linie; Drugi czynnik jest również dwukierunkową liczbą, a następnie dwie kolumny. Więc liczba dziesiątek w pierwszym mnożniku wynosi 1, a następnie w pierwszej linii zdiagnozowano jeszcze jeden okrąg, to znaczy, nie zmieniamy niczego. Ponieważ liczba jednostek pierwszego czynnika jest 3, a następnie w drugiej linii czarni w trzech kołach. (Rys. 4).

Figa. cztery

2) Drugi współczynnik 24, a następnie kółka, które w pierwszej kolumnie dzielą się na dwie części, a kręgi, które w drugiej kolumnie dzielą się na cztery części

(Rys. 5).

Figa. pięć

3) Wykonujemy prosto i rozważamy punkty (rys. 6).

Figa. 6 rys. 7.

Odpowiedź jest rejestrowana w następujący sposób (rys. 7), patrzymy na dolną liczbę punktów 12, 2 - ostatniej liczby wyniku, jeden w umyśle, liczba punktów w drugim regionie wynosi 10 i + 1, że 11, 1 pisze i jeden w umyśle, liczba punktów w trzecim obszarach 2 i +1, suma 3. Odpowiedź: 312.

W ten sposób rozwiązałem wiele przykładów. Następnie podsumował prywatne przykłady izawarł zasadę:

1. Okręgi koła. Liczba liczb w pierwszym mnożniku oznacza liczbę wierszy, a liczba liczb drugiego mnożnika oznacza liczbę kolumn.

Jeśli numer zawiera 0, koło oznaczające zero, linię diagnostyczną. Jest to wyimaginowana linia, nie ma na nim punktów.

2. Pierwsza cyfra pierwszego czynnika oznacza liczbę koncentrycznych kół w pierwszej linii, druga cyfra pierwszego mnożnika oznacza liczbę kół w drugim rzędzie

3. Drugi czynnik Cyframes oznacza, ile części musi podzielić koła: Pierwsza cyfra jest dla pierwszej kolumny, druga cyfra jest dla drugiego itp.

4. Wlać koła podzielone na części. W każdej części umieściliśmy punkt.

6. Zarejestruj odpowiedź na zasadzie omówionej w przykładzie.

3.6. Oryginalna metoda mnożenia o 9 na palcach

Mnożenie dla numeru 9 - 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - łatwiej jest jeść z pamięci i jest trudniejsze do ręcznego ręcznego ręcznego przez metodę dodawania, jednak dla numeru 9, mnożenie jest łatwo reprodukcyjne " palce". Należy palce na obu rękach i obróć ręce swoim palmami od siebie. Mentalnie przedstawia palce kolejne numery od 1 do 10, począwszy od panieństwa matki i zakończenie małym palcem prawej ręki (jest to pokazane na rysunku).

Załóżmy, że chcemy pomnożyć 9 na 6. Włączyć palec o liczbę, równa liczbaktóre pomnujemy dziewięć. W naszym przykładzie trzeba zginać palcem z numerem 6. Liczba palców po lewej stronie palec pokazuje nam liczbę dziesiątki w odpowiedzi, liczba palców po prawej stronie jest liczba jednostek. Po lewej stronie mamy 5 palców nie zmniejszają, po prawej stronie palców. Tak więc 9 · 6 \u003d 54. Poniżej przedstawiono całą zasadę "obliczeń" szczegółowo szczegółowo.

3.7. Nowoczesny sposób OceneShikov

Zainteresowanie Nowy sposób mnożenia, który ostatnio pojawił się wiadomości. Inventor nowego systemu konta doustnego Kandydat na naukę filozoficzną Wasily OkneShovnikov twierdzi, że osoba jest w stanie zapamiętać ogromną dostawę informacji, głównej rzeczy - jak umieścić te informacje. Według samego naukowca najkorzystniejszy w tym względzie jest dziewięć wielkości system - wszystkie dane są po prostu umieszczone w dziewięciu komórek znajdujących się jak przyciski na kalkulatorze.

Bardzo proste jest liczenie na tak stoliku. Na przykład, pomnóż numer 15647 o 5. Pod względem tabeli odpowiadającej wybranym górnym, wybierz liczby odpowiadające liczbom liczby w kolejności: jednostka, pięć, sześć, czwarty i siedem. Dostajemy: 05 25 30 20 35

Lewa cyfra (w naszym przykładzie - Zero), pozostawiamy niezmienione, a następujące numery składają się w parach: pięć pięciu, pięć najlepszych, zero z dwoma, zero z potrójnym. Ostatnia cyfra jest również niezmieniona.

W rezultacie otrzymujemy: 078235. Numer 78235 i istnieje wynik mnożenia.

Jeśli podczas składania dwóch cyfr liczba przekraczająca dziewięć, jego pierwsza cyfra jest dodawana do poprzedniej liczby wyniku, a druga jest zapisana na "jego" miejscu.

III. Wniosek.

Ze wszystkich niezwykłych sposobów znalezionych przeze mnie metodę "mnożnictwa lub zazdrości kratowego" wydawało się bardziej interesujące. Pokazałem go moim kolegom z klasy, a on też naprawdę lubił.

Wydawało mi się najprostsza metoda "podwojenia i podziału", którą użył rosyjskich chłopów. Używam go, gdy mnożysz nie zbyt duże liczby (bardzo wygodne jest użycie go przy pomnożenie liczb dwucyfrowych).

Interesowałem się nowym sposobem mnożenia, ponieważ pozwala ci "wracać" z ogromnymi liczbami w umyśle.

Myślę, że nasza metoda mnożenia w kolumnie nie jest idealna i możesz wymyślić jeszcze szybciej i bardziej niezawodne sposoby.

Literatura.

Literatura.

Depima I. "Historie o matematyce". - Leningrad: Edukacja, 1954. - 140 s.

Koreev A.a. Fenomen rosyjskiego mnożenia. Historia. http://numbernautics.ru/

Olochnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. "Starożytne zabawki". - M.: Nauka. Główna redakcja literatury fizyko-matematycznej, 1985. - 160 p.

Peelman ya.i. Szybkie konto. Trzydzieści proste techniki. konto doustne.. L., 1941 - 12 s.

Peelman ya.i. Zabawna arytmetyka. M. Russanova, 1994-205c.

Encyklopedia "Znam świat. Matematyka". - m.: Aterel Ermak, 2004.

Encyklopedia dla dzieci. "Matematyka". - m.: Avanta +, 2003. - 688 p.

Nie kochaj matematyki? Po prostu nie wiesz, jak go używać! W rzeczywistości jest to ekscytująca nauka. A nasz wybór niezwykłych metod mnożenia potwierdza to.

Pomnóż palce jak kupiec

Ta metoda umożliwia pomnożenie liczb od 6 do 9. Aby rozpocząć shogge, obie ręce w pięściach. Następnie po lewej stronie istnieje tak wiele palców po lewej stronie, tyle, jak pierwszy czynnik jest większy niż 5. Po prawej stronie, zrób to samo dla drugiego czynnika. Oblicz liczbę zdezintegrowanych palców i pomnożyć sumę dziesięciu. A teraz, aby pomnożyć sumę palców nogami lewą i prawą ręką. Składanie obu kwot, uzyskać wynik.

Przykład. Pomnóż 6 o 7. Sześć więcej niż pięciu na jeden, co oznacza na lewej ręce, wyginając jeden palec. I siedem - dwa, oznacza po prawej stronie - dwa palce. W sumie są to trzy, a po mnożeniu o 10 - 30. Teraz zmienimy cztery zakrzywione palce lewej ręki i trzy - prawy. Uzyskujemy 12. Kwota 30 i 12 da 42.

W rzeczywistości tutaj mówimy o prostym tabeli mnożenia, co byłoby miło wiedzieć przez serce. Ale ta metoda jest dobra do autotestu, a palce są przydatne.

Pomnóż jak Ferrol.

Ta metoda została wywołana przez nazwę niemieckiego inżyniera, który je cieszył. metoda umożliwia szybkie pomnożenie liczb od 10 do 20. Jeśli ćwiczysz, możesz nawet zrobić to nawet w umyśle.

Esencja jest prosta. W rezultacie zawsze zostanie uzyskany trzycyfrowy numer. Najpierw uważamy za jednostki, następnie dziesiątki, potem - setki.

Przykład. Pomnóż 17 na 16. Aby uzyskać jednostki, mnożamy 7 przez 6, dziesiątki - składamy kawałek 1 i 6 z kawałkiem 7 i 1, setki - mnożamy 1 na 1. W rezultacie otrzymujemy 42, 13 oraz 1. Dla wygody piszemy je do kolumny i dopasowania. To jest wynik!

Pomnóż jak japoński

Ta metoda graficzna używana przez japońskie uczennice, umożliwia łatwe do pomnożenia dwóch i nawet trzycyfrowych numerów. Wypróbować go, przygotuj papier i uchwyt.

Przykład. Pomnożyć 32 na 143. Aby to zrobić, narysuj siatkę: Pierwszy numer odzwierciedla trzy i dwie linie z wtworem poziomo, a drugą, cztery i trzy pionowe linie. W miejscach przecięcia linii put punktów. W rezultacie powinniśmy mieć czterocyfrowy numer, więc konwencjonalnie podzielił tabelę na 4 sektory. I ponownie obliczyć punkty, które wpadły w każdy z nich. Dostajemy 3, 14, 17 i 6. Aby uzyskać odpowiedź, niepotrzebne jednostki w 14 i 17 dodaj do poprzedniego numeru. Dostajemy 4, 5 i 76 - 4576.

Pomnóż jako włoski

Inną interesującą metodą graficzną jest stosowany we Włoszech. Być może jest łatwiej Japończycy: Dokładnie nie mylisz podczas przenoszenia dziesiątek. Aby mnożyć duże liczby, musisz narysować siatkę. Poziomo z góry napisz pierwszy czynnik, a pionowy po prawej stronie jest drugi. Jednocześnie jedna komórka powinna mieć każdą cyfrę.

Teraz zmień liczby każdego wiersza do numerów każdej kolumny. Napiszę wynik w komórce (podzielony na pół) na ich przecięciu. Jeśli wyciągnął jednoznaczną liczbę, w górnej części komórki piszę 0, i na dole - uzyskany wynik.

Pozostaje składać wszystkie liczby w paskach ukośnych. Zaczynamy od prawej komórki dolnej. Dziesiątki dodają jednostki w pobliskiej kolumnie.

W ten sposób mnożymy 639 przez 12.

Zabawa, prawda? Nieceląca matematyka! I pamiętaj, że humanary w nim są również potrzebne!

Cztery tysiące lat temu, mieszkańcy niemowląt wymyślili mnożenie. W marcu tego roku matematyka go poprawiła.

18 marca 2019 r. Dwóch badaczy opisanych najszybciej znanych metod mnożenia dwóch bardzo dużych liczb. Praca odnotowuje kulminację długotrwałego poszukiwania najskuteczniejszej procedury wykonywania jednej z podstawowych operacji matematyki.

"Każdy uważa, że \u200b\u200bmetoda mnożenia, którą nauczali w szkole, najlepiej, ale w rzeczywistości są aktywne badania w tej dziedzinie", mówi Joris Van Der Hugen, matematyk z francuskiego centrum Narodowego badania naukowe, jeden z współautorów pracy.

Złożoność zestawu zadań obliczeniowych, od obliczania nowych numerów numeru π przed wykryciem dużego proste numery Dochodzi do szybkości mnożenia. Van der Hoen opisuje swój wynik jako cel rodzaju matematycznego ograniczenia prędkości rozwiązywania różnych innych zadań.

"W fizyce znajdują się ważne stałe prędkości, co pozwala opisać wszystkie rodzaje zjawisk", powiedział Van Der Hoen. "Jeśli chcesz wiedzieć, jak szybkie komputery mogą rozwiązać pewne zadania matematyczne, a następnie mnożenie liczb całkowitych występuje w postaci pewnej podstawowej jednostki budowlanej, w odniesieniu do których można wyrazić taką prędkość".

Prawie wszyscy uczą się mnożyć liczby w równym stopniu. Zapisujemy liczby w kolumnie, obróć górny numer do każdej liczby niższej (biorąc pod uwagę wyładowy) i złożyć wynik. Dzięki wielokrotności dwóch dwucyfrowych numerów należy wykonać cztery mniejsze mnożenie, aby uzyskać wynik końcowy.

Metoda szkoły "Transfer" wymaga N 2 kroki, gdzie n jest liczbą liczb w każdej liczbie zmiennych. Obliczenia z liczbami trzech rozpoznawania wymagają dziewięciu mnożenia i zmienionych - 10 000.

Metoda transferu zwykle pracuje z liczbami składającymi się z kilku cyfr, jednak zaczyna się zatrzymać podczas mnożenia liczb składających się z milionów lub miliardów numery (które komputery są zaangażowane w dokładne liczenie π lub z globalnym wyszukiwaniem dużych liczb pierwszych). Aby pomnożyć dwie liczby za pomocą miliardów cyfr, konieczne będzie produkcję miliarda na placu lub 10 18, mnożenia, - nowoczesny komputer zajmie około 30 lat.

Kilka tysiącleci uważano, że liczba była niemożliwa mnożenie liczb. Następnie w 1960 roku, 23-letni radziecki i rosyjski anatolii matematyki Alekseveich Karatsub odwiedził seminarium, który był prowadzony przez Andrei Nikolaevich Kolmogorov, Radzieckiego matematyka, jednego z największych matematyków XX wieku. Kolmogorov stwierdził, że nie ma ogólnej metody mnożenia, co wymaga mniej niż N 2 operacji. Karatariusz zdecydował, że był taki sposób - i po tygodniu poszukiwań odkrył go.

Anatolij Aleksewevich Karatuba.

Mnożenie Karatuba leży w partycji liczb i ponownego łączenia ich z nowym sposobem, który umożliwia zamiast tego duża liczba Mnożenie w celu przeprowadzenia mniejszych dodatków i odejmuje się. Metoda oszczędza czas, ponieważ dodanie pozostawia tylko 2N stopniom zamiast N2.

Tradycyjna metoda mnożenia 25x63 wymaga czterech mnożenia do jednoznacznej liczby i kilku dodatków.

Mnożenie Karatuba 25x63 wymaga trzech mnożenia do jednoznacznej liczby i kilku dodatków i odejmuje się.
a) Numery Smash
b) Wymiana dziesiątki
c) Umiarkowane jednostki
d) krotnie numery
e) Przenoszenie tych kwot
f) Rozważamy E - B - C
G) zebrać końcową kwotę z b, c i f

Wraz ze wzrostem liczby znaków w liczbach, metoda Karatuba może być stosowana rekurencyjnie.

Tradycyjna metoda mnożenia 2531x1467 wymaga 16 mnożenia do jednoznacznej liczby.

Mnożenie Karatuba 2531x1467 wymaga 9 mnożenia.

"Zakończenie w szkole odbywa się rok wcześniej, ponieważ jest znacznie prostszy, jest wykonywany przez czas liniowy, z prędkością czytania liczb od lewej do prawej", powiedział Martin Führer, matematyka z Pensylvansky uniwersytet stanowyKto stworzył w 2007 r. Algorytm mnożenia w tym czasie.

Mając C. duże liczbyPomnożenie Karatuba można powtórzyć rekurencyjnie, przerywając oryginalne liczby prawie tyle części jak znaki w nich. A z każdym podziałem zmieniasz mnożenie, które wymaga wdrożenia wielu kroków, dodawania i odejmowania, wymagającego, gdzie mniej kroków.

"Kilka mnożenia może zostać przekształcony, biorąc pod uwagę, że te komputery radzą sobie z szybszym", powiedział David Harvey, matematyk z University of New South Wales i współautor nowej pracy.

Metoda Karatuba umożliwiła pomnożenie numerów za pomocą mnożenia N 1,58 na jednoznaczną liczbę. Następnie w 1971 r. Arnold Schönhag i Folker Strassen opublikowała metodę, która umożliwia mnożenie duże liczby dla N × Log n × Log (Log N) małych mnożenia. Do mnożenia dwóch liczb z miliardów znaków, każda metoda KASSAB będzie wymagała 165 bilionów kroków.

Joris van der Hoang, matematyka z francuskim Narodowego Centrum Badań Naukowych

Metoda Schönhagha-Starsen jest używana przez komputery do mnożenia dużych liczb i doprowadziły do \u200b\u200bdwóch innych ważnych konsekwencji. Po pierwsze, wprowadziła technikę z obszaru przetwarzania sygnału o nazwie Fast Fourier Transformation. Od tego czasu technika ta była podstawą wszystkich szybkich algorytmów mnożenia.

Po drugie, w tej samej pracy Schönhage i Strassen sugerowali możliwość istnienia jeszcze szybszego algorytmu - metody wymagającej tylko n × Log n mnożenia dla jednego znaku - i że taki algorytm byłby najbardziej jak najszybszy. Założenie to zostało oparte na odczuciu, że taka podstawowa operacja, jak mnożenie, ograniczenie operacji powinno być rejestrowane w jakiś sposób bardziej elegancki niż N × Log n × Log (Log N).

"Większość ogólnie wyszła na fakt, że mnożenie jest tak ważną podstawową obsługą, że z czysto estetyczny punkt widzenia, wymaga pięknego ograniczenia trudności" - powiedział Führer. - Zgodnie z doświadczeniem, wiemy, że matematyka podstawowych rzeczy w końcu zawsze okazuje się być eleganckim. "

Nie miejscu ograniczenie Schönhag i Strassen, N × Log n × Log (LOG N), odbył 36 lat. W 2007 r. Führer złamał ten rekord i wszystko wirowało. W ciągu ostatniej dekady matematyki były coraz bardziej szybkie algorytmy mnożenia, z których każdy stopniowo zaśmieczony do znaku w N × Log N, nie osiągając go całkowicie. Potem, w marcu tego roku Harvey i Van Der Hoang osiągnęli go.

Ich metoda jest poprawa wielkiej pracy. Rozdziela liczby do podpisania, wykorzystuje ulepszoną wersję Fourier Szybkiej transformacji i wykorzystuje inne przełęki wykonane w ciągu ostatnich 40 lat. "Używamy szybkiej przekształcenia Fouriera znacznie bardziej z grubsza, używamy go kilka razy, a nie sam i zastąp nawet więcej mnożenia, dodając i odejmowanie", powiedział Van Der Hugen.

Algorytm Harvey i Van Der Hoen dowodzi, że mnożenie może być przeprowadzane dla kroków N × Log N. Jednak nie udowodnić braku czegoś więcej szybka metoda. O wiele trudniej będzie ustalić, że ich podejście jest tak szybkie, jak to możliwe. Pod koniec lutego zespół specjalistów informatyki z University of Aarhus opublikował pracę, w której twierdzi, że jeśli jeden z nich niepomorowane twierdzenia Okazuje się true, to ta metoda naprawdę będzie szybka od mnożenia metod.

I chociaż w teorii ten nowy algorytm jest bardzo ważny, w praktyce zmieni się niewiele, ponieważ tylko trochę wygrywa w już stosowanych algorytmach. "Wszystko, co możemy mieć nadzieję na trzypokojowe przyspieszenie" - powiedział Van Der Hoen. - nic korzystnego. "

Ponadto zmieniły się schematy sprzętu komputerowego. Dwadzieścia lat temu komputery wykonały znacznie szybszy mnożenie. Lukę w prędkościach mnożenia i dodawania od tego czasu zmniejszyła się poważnie, dzięki temu, że w niektórych mnożeniach frytek może nawet wyprzedzić dodatek. Korzystając z niektórych rodzajów sprzętu: "Możesz przyspieszyć dodawanie, zmuszając komputer do pomnożenia liczb, a to jest jakiś szaleństwo" - powiedział Harvey.

Sprzęt zmienia się w czasie, ale najlepsze algorytmy ich klasy są wieczne. Niezależnie od tego, jak komputery będą wyglądać w przyszłości, Harvey Algorytm i Van Der Hugen nadal będą najbardziej efektywny sposób Pomnożyć numery.

Świat matematyki jest bardzo duży, ale zawsze interesowałem się metodami mnożenia. Pracując nad tym tematem, nauczyłem się wiele ciekawych rzeczy, dowiedziałem się, jak odebrać materiał potrzebny z odczytu. Nauczył się, jak indywidualne zabawki, puzzle i przykłady pomnożenie na różne sposoby są rozwiązywane, a także na tym, co opiera się na koncentracji arytmetycznych i intensywnych technik obliczeniowych.

O mnożenia

Co pozostaje z większości ludzi w głowie od faktu, że kiedyś studiowali w szkole? Oczywiście W. różni ludzie - Różne, ale każdy jest prawdopodobnie tabelą mnożenia. Oprócz wysiłków dołączonych do jej "Ascall" wycofują setki (jeśli nie tysiące) zadań rozwiązały przez nas z pomocy. Trzyście lat temu w Anglii, osoba, która zna tabelę mnożenia, był już uważany za człowieka naukowca.

Metody mnożenia zostały wymyślone wiele. Włoski matematyk z końca XV - początek XVI wieku cebula Pacyli w traktacie na temat arytmetyki 8 różnych metod mnożenia. W pierwszym, który nazywa się "małym zamkiem", liczbą najwyżejszego numeru, zaczynając od starszego, zmiennie pomnożyć na niższej liczbie i są zapisywane w kolumnie z dodatkiem Żądany numer zer. Następnie wyników składają się. Zaletą tej metody przed zwykłym jest to, że od samego początku określono liczbę cyfr wysokiego poziomu, i jest to ważne w obliczeniach CAPEX.

Druga metoda jest nie mniej romantyczna nazwa "zazdrości" (lub mnożenia kratowego). Rysuje się grilla, w którym wyniki obliczeń pośrednich wprowadzają, bardziej precyzyjnie, numer z tabeli mnożenia. Kratka jest prostokątem podzielonym na komórki kwadratowe, które z kolei są oddzielone pół przekątną. Po lewej (od góry do dołu) został napisany przez pierwszy czynnik, a na górze - drugi. Na skrzyżowaniu odpowiedniej linii i kolumny, produkt liczb stojących w nich został napisany. Następnie uzyskane liczby zostały złożone wzdłuż wydanych przekątnych, a wynik został zarejestrowany na końcu tej kolumny. Wynik został odczytany wzdłuż dolnych i prawych boków prostokąta. "Taki grill" pisze Luka Pacioli ", przypomina żaluzje kratowe, które były zawieszone na weneckich oknach, zapobiegając przechodniom, aby zobaczyć okna siedzące w oknach i zakonnicach".

Wszystkie metody mnożenia opisane w książce Pacioli używało tabeli mnożenia. Jednak rosyjscy chłopi mogli pomnożyć bez stoliku. Ich metoda mnożenia używana tylko mnożenie i podział 2. Aby pomnożyć dwie liczby, były one rejestrowane w pobliżu, a następnie lewą liczbę został podzielony przez 2, a prawo zostało pomnożone przez 2. Jeśli saldo uzyskano, to zostało odrzucone . Następnie zostały wyciągnięte te linie w lewej kolumnie, w których są nawet liczby. Pozostałe numery w prawej kolumnie zostały ewoluowane. W rezultacie uzyskano pracę liczb początkowych. Sprawdź kilka par liczb, że to prawda. Dowód sprawiedliwości tej metody jest wyświetlany za pomocą systemu numeru binarnego.

Stara rosyjska metoda mnożenia.

Z głęboką starożytnością i prawie do XVIII wieku rosyjscy ludzie w ich obliczeniach, bez mnożenia i podziału: używali tylko dwóch działań arytmetycznych - dodawanie i odejmowanie, a nawet tak zwane "podwojenie" i "podziału". Istotą rosyjskiej antycznej metody mnożenia jest to, że mnożenie dwóch liczb jest zredukowane do wiersza sekwencyjnych podziałów jednej liczby na pół (sekwencyjne, podzielone) z jednoczesnym podwojeniem innego numeru. Jeśli w pracy, na przykład 24 x 5, pomnóż ponownie 2 razy ("podział"), a mnożnik wzrasta 2 razy

("Podwójne"), a następnie praca nie zmieni: 24 x 5 \u003d 12 x 10 \u003d 120. Przykład:

Podział wielokrotnej połowy jest kontynuowany do 1 jest prywatny, a jednocześnie podwoić mnożnik. Ostatni dwa razy ma żądany wynik. Więc 32 x 17 \u003d 1 x 544 \u003d 544.

W tych długotrwałych czasach podwojenia i podział został podjęty nawet na specjalne działanie arytmetyczne. Jaki rodzaj wyjątkowy. działania? Po wszystkim, na przykład, podwojenie liczby nie jest szczególną działaniem, ale tylko dodanie tego numeru samemu.

Uwaga Numery dzielą się PA 2 cały czas bez pozostałości. Ale co jeśli mnożnik jest podzielony na 2 z resztkami? Przykład:

Jeśli mnożnik nie jest podzielony na 2, to najpierw odbiera urządzenie, a następnie podział jest już podzielony na 2. Linie z samokształceniem są podświetlone, a odpowiednie części linii z dziwną wielokrotnością są złożone .

21 x 17 \u003d (20 + 1) x 17 \u003d 20 x 17 + 17.

Numer 17 Pamiętamy (pierwsza linia nie jest wyzwalana!), A produkt 20 x 17 zostanie zastąpiony równą nim 10 x 34. Ale produkt 10 x 34 z kolei można wymienić równą Produkt 5 x 68; Dlatego druga linia jest podświetlona:

5 x 68 \u003d (4 + 1) x 68 \u003d 4 x 68 + 68.

Numer 68 jest pamiętany (trzecia linia nie jest wyzwalana!), A produkt 4 x 68 zostanie zastąpiony przez równą go za pomocą kawałka 2 x 136., ale produkt 2 x 136 może zostać zastąpiony równym produkt 1 x 272; Dlatego czwarta linia jest podświetlona. Aby obliczyć pracę 21 x 17, musisz dodać liczby 17, 68, 272 - odpowiednie części linii z wielokrotnością dziwną. Prace z nawet inteligencją można zawsze zastąpić pomocą podziału mnożnika i podwojenia mnożnika ich pracami; Dlatego takie linie są wyłączone z obliczenia pracy końcowej.

Próbowałem pomnożyć przez starą drogę. Wziąłem numer 39 i 247, mam takie

Kolumny okaże się jeszcze dłużej niż mam, jeśli weźmiesz mnożnik ponad 39. Następnie zdecydowałem, że ten sam przykład jest w nowoczesnym:

Okazuje się, że nasza szkoła metoda mnożenia liczb jest znacznie łatwiejsza i bardziej ekonomiczna niż stary rosyjski sposób!

Tylko musimy wiedzieć przede wszystkim tabeli mnożenia, a nasi przodkowie nie znali jej. Ponadto musimy wiedzieć dobrze, a większość samej reguły mnożenia, znali również tylko jak dwukrotnie roll. Jak widać, wiesz, jak mnożyć znacznie lepiej i szybciej niż najsłynniejszy kalkulator starożytna Rosja. Nawiasem mówiąc, kilka tysięcy lat temu Egipcjanie wykonywali mnożenie prawie w taki sam sposób jak rosyjscy ludzie w dawnych czasach.

To wspaniale, z których ludzie różnych krajów, pomnożone przez ten sam sposób.

Nie tak dawno, tylko około stu lat temu, aby nauczyć się stół mnożenia był bardzo trudny dla studentów. Aby przekonać uczniów w potrzebie poznania tabel, autorzy książek matematycznych od dawna uciekali się. Do wierszy.

Oto kilka linii z nieznanych książek: "Ale mnożenie jest wymagane, aby mieć kolejną tabelę, tylko w pamięci posiadania, tako, tak, jestem numerem, z którym jestem mądry, bez siebie, mówić, czy pisanie , Masło 2 Istnieje 2 lub 2-WA w 3 są 6, a 3 lata 3 mają 9 i tak dalej. "

Każdy, kto nie czuje i we wszystkich naukach stołu i postępuje, nie wolno od mąki,

Nie mogę wiedzieć, nie biorę pod uwagę, że wiele tuńczyka nacisnę

Prawda, w tym fragmencie i wersetach, wszystko nie jest jasne: napisano jakoś nie jest w języku rosyjskim, ponieważ wszystko to jest napisane ponad 250 lat temu, w 1703 roku, Leonthius Filippovich Magitsky, wspaniały nauczyciel rosyjski, a od tego czasu Język rosyjski znacznie się zmienił.

L. F. Magitsky napisał i opublikował pierwszy podręcznik arytmetyczny w Rosji; Były tylko odręczne książki matematyczne przed nim. Według "arytmetycznego" L. F. Magitsky studiował wielki rosyjski naukowiec M. V. Lomonosowa, a także wielu innych wybitnych rosyjskich naukowców z XVIII wieku.

I jak pomnożono w tamtych czasach, w czasie Lomonosowa? Zobaczmy przykład.

Jak zrozumieliśmy, działanie mnożenia zostało następnie nagrane prawie jak w naszym czasie. Tylko fabryka o nazwie "etlehood", a produkt jest "produktem", a ponadto nie napisał znaku mnożenia.

A następnie jak wyjaśnił namnożenie?

Wiadomo, że M. V. Lomonosov wiedział przez serce wszystkich "arytmetyczne" Magitsky. Zgodnie z tym podręcznikiem, mały Misha Lomonosov mnożący 48 do 8 wyjaśniłby taki: "8-WA 54 Jest 64, piszę pod smoła, przeciwko 8 i mam 6 dziesiętnych w twoim umyśle. I dalsze 8-WA w 4 Istnieją 32, a ja trzymam 3 w swoim umyśle, a ja umieściam 6 dziesiątki, a to będzie 8. I to 8 piszą 4, z rzędu na lewą rękę i 3 w Umysł jest istota, piszę z rzędu, wykonam 8, na lewą rękę. I będzie od mnożenia 48 z 8 pracami 384 ".

I prawie wyjaśniamy, tylko my mówimy w nowoczesnym, a nie starym, co ponadto zadzwoń do absolutorium. Na przykład, 3 musi pisać w trzecim miejscu, ponieważ będzie setki, a nie tylko "w rzędzie 8, do lewej ręki".

Historia "Masha -" Focusnitsa ".

Zgaduję, że nie tylko urodziny, jak ostatni raz Pavlik, ale także rok urodzenia, początek Masza.

Liczba miesiąca, w której się urodziłeś, pomnóż przez 100., a następnie dodaj urodziny. , pomnóż wynik na 2., dodaj 2 do uzyskanej liczby 2; Wynik pomnożyć na 5, dodaj 1 do uzyskanej liczby 1, dodaj zero do wyniku. , Dodaj do wynikowej liczby 1. I na koniec dodaj liczbę lat.

Zakończ, mam 20721. - Mówię.

* Racja, - potwierdzałem.

I dostałem 81321 - mówi Vitya, student trzecich klasy.

Ty, Masza prawdopodobnie się myliła - Petya wątpił. - Jak to działa: Vitya z trzeciej klasy i urodzona, w 1949 roku, jak Sasha.

Nie, Masha wiernie domyślił: "Potwierdza Vitya. Tylko rok miałem długi czas i dlatego poszedł dwa razy do drugiej klasy.

* I dostałem 111521, "Raporty Pavlik.

Jak więc "Vasya pyta" Pavlik ma również 10 lat, jak Sasha, i urodził się w 1948 roku. Dlaczego nie w 1949 roku?

A ponieważ teraz jest wrzesień, a Pavlik urodził się w listopadzie, a on był jeszcze 10 lat, chociaż urodził się w 1948 roku "- wyjaśnił Maszy.

Wygadła datę urodzenia kolejnych trzech czterech studentów, a następnie wyjaśnił, jak to zrobiła. Okazuje się, że trwa 111 z ostatniej liczby, a następnie pozostałość przechodzi przez trzy znaki po prawej stronie dwóch cyfr w prawo. Średnie dwa figury oznaczają urodziny, pierwsze dwa odtwarza jedną - liczbę miesięcy, a dwie ostatnie cyfry liczby lat. Wiedząc, ile jest osobą, nie jest trudno określić rok urodzenia. Na przykład, mam numer 20721. Jeśli zajmuje go 111 z niego, to okaże się 20610. Więc teraz mam 10 lat, ale urodziłem się 6 lutego. Od września 1959 r. Nadchodzi teraz, urodziłem się w 1949 roku.

I dlaczego miałbym odebrać 111, a nie żadnego innego numeru? Pytaliśmy. -I dlaczego dokładnie są urodziny, liczba miesięcy i liczba lat?

Ale spójrz, "wyjaśnił Masha. - Na przykład Pavlik, spełniający moje wymagania, rozwiązały takie przykłady:

1) 11 x 100 \u003d 1100; 2) 1100 + J4 \u003d 1114; 3) 1114 x 2 \u003d

2228; 4) 2228 + 2 \u003d 2230; 57 2230 x 5 \u003d 11150; 6) 11150 1 \u003d 11151; 7) 11151 x 10 \u003d 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Jak widać, liczba miesiąca (11) została pomnożona przez 100, a następnie 2, potem kolejna 5, a na koniec kolejna 10 (przypisana KUL), a tylko 100 x 2 x 5 x 10, czyli 10 000 . Więc 11 stało się dziesiątkami tysięcy, czyli, tworzą trzeci aspekt, jeśli liczysz na prawo lewe dwie cyfry. Dowiedz się więc liczby miesiąca, w którym się urodziłeś. Urodziny (14) pomnożono przez 2, a następnie 5 i wreszcie, kolejne 10, a tylko 2 x 5 x 10, to znaczy na 100. Tak, urodziny należy znaleźć wśród setek, na drugiej twarzy, ale tutaj Istnieją obce setki. Zobacz: Dodał numer 2, który został pomnożony przez 5 i 10. Tak, okazało się, że nadmiar 2x5x10 \u003d 100 - 1 sto. To 1 set i zabrać od 15set apartamentów 1 11521, okazuje się 14set. Więc rozpoznam moje urodziny. Liczba lat (10) nie została pomnożona przez nic. Więc ten numer należy znaleźć wśród jednostek, na pierwszej twarzy, ale są tu obce. Zobacz: Dodał numer 1, który został pomnożony przez 10, a następnie dodano 1. Oznacza to, że okazało się, że wyłączył wszystkie dodatkowe 1 x + 1 \u003d 11 jednostek. Te 11 jednostek I i zabiorę od 21 jednostek. Wśród 111521 okaże się 10. Rozpoznawałem sobie liczbę 111521. Wziąłem 100+ 11 \u003d 111. Kiedy wziąłem 111 z numeru 111521, to okazało się. To znaczy

Pavlik urodził się 14 listopada i miał 10 lat. Teraz jest 1959. roku, ale nie trwałem 10 od 1959 roku, iz 1958 r., Od 195 roku, od 10 lat Pavlik skończył w ostatnim roku w listopadzie.

Oczywiście, takie wyjaśnienie natychmiast nie pamięta, ale starałem się to zrozumieć na moim przykładzie:

1) 2 x 100 \u003d 200; 2) 200 + 6 \u003d 206; 3) 206 x 2 \u003d 412;

4) 412 + 2 \u003d 414; 5) 414 x 5 \u003d 2070; 6) 2070 + 1 \u003d 2071; 7) 2071 x 10 \u003d 20710; 8) 20710 + 1 \u003d 20711; 9) 20711 + + 10 \u003d 20721; 20721 - 111 \u003d 2 "OHTO; 1959 - 10 \u003d 1949;

Puzzle.

Pierwszym zadaniem: w południe, parowiec pasażerski pochodzi ze Stalingrad do KuibySheva. Godzinę później z Kuibyshev do Stalingrad wychodzi na parowiec pasażerski towarów, który porusza się wolniej niż pierwszy parowiec. Kiedy parowcy spotykają się, który będzie dalej z Stalingrad?

To nie jest zwykłe zadanie arytmetyczne, ale żart! Steamboats będą w tej samej odległości od Stalingradu, a także z Kuibysheva.

Ale drugie zadanie, w ostatniej niedzielę, nasz drużyna i oderwanie piątej klasy umieścić drzewa wzdłuż dużej ulicy pionierskiej. Oddziały miały siedzieć rząd drzew, na równej liczbie po każdej stronie ulicy. Jak pamiętasz, nasze oderwanie przyszło do pracy wcześnie, a przed przybyciem pięciu równiarki udało nam się zasadzić 8 drzew, ale jak się okazało, a nie po naszej stronie ulicy: Dotciliśmy i zacząliśmy nie pracować gdzie było to konieczne. Potem pracowaliśmy po naszej stronie ulicy. Piąty równiarki kończą pracę wcześniej. Jednak nie pozostawali nam długów: przełączyli się na naszą stronę i najpierw umieścili 8 drzew ("dał dług"), a następnie 5 kolejnych drzew, a praca została ukończona przez nas.

Zapytany jest, ile drzew zostało posadzonych dla pięciu równiarki, co my?

: Oczywiście piątą równiarki posadzono tylko na 5 drzewach więcej niż: kiedy posadzili się po naszej stronie 8 drzew, dał tym samym dług; A kiedy posadzili 5 kolejnych drzew, a następnie, jakby dali nam 5 drzew. Okazuje się więc, że zostały one sadzone tylko na 5 drzewach bardziej niż my.

Żadne rozumowanie nie jest nieprawidłowe. Prawdą jest, że piąta równiarki uczyniły nam przysługę, wprowadzając dla nas 5 drzew. Ale wtedy, aby uzyskać pewną odpowiedź, konieczne jest rozumowanie tego: nie spełniliśmy naszego zadania na 5 drzewach, pięciu równiarki przekroczyli 5 drzew. Okazuje się więc, że różnica między liczbą drzew zasadzonych z piątą równiarkami, a liczba drzew posadzonych przez nas, nie jest 5 i 10 drzew!

Ale ostatnie zadanie puzzle, grając w piłkę, 16 uczniów znajdują się po bokach placu, aby były 4 osoby po każdej stronie. Wtedy 2 uczeń opuścił odpoczynek, tak że po każdej stronie placu było znowu 4 osoby. Wreszcie, 2 więcej ucznia pozostawiony, ale reszta znajdowała się w taki sposób, że po każdej stronie placu było jeszcze 4 osoby. Jak to może się stać? Zdecyduj.

Dwa szybkie mnożenie

Gdy nauczyciel zaproponował taki przykład dla swoich uczniów: 84 x 84. Jeden chłopiec szybko odpowiedział: 7056. "Jak myślisz?" - zapytał ucznia nauczyciela. "Wziąłem 50 x 144 i wyrzuciłem 144" - odpowiedział. Cóż, wyjaśnij, jak uczynił student.

84 x 84 \u003d 7 x 12 x 7 x 12 \u003d 7 x 7 x 12 x 12 \u003d 49 x 144 \u003d (50 - 1) x 144 \u003d 50 x 144 - 144, a 144 pięćdziesiąt wynosi 72set, oznacza 84 x 84 \u003d 7200 - 144 \u003d

A teraz liczą się w taki sam sposób, jak 56 x 56 będzie 56 x 56.

56 x 56 \u003d 7 x 8 x 7 x 8 \u003d 49 x 64 \u003d 50 x 64 - 64, czyli 64 pięć pięćdziesiąt lub 32set (3200), bez 64, tj. Aby pomnożyć numer na 49, potrzebny jest ten numer . Pomnożyć 50 (pięćdziesiąt), a od uzyskanego produktu, aby odejść ten numer.

Ale przykłady innej metody obliczania, 92 x 96, 94 x 98.

Odpowiedzi: 8832 i 9212. Przykład, 93 x 95. Odpowiedź: 8835. Nasze obliczenia dały ten sam numer.

Tak więc szybko można rozważyć tylko wtedy, gdy liczby są bliskie 100. Znajdujemy dodatki do 100 do tych numerów: dla 93 będzie 7, a dla 95 będzie 5, od pierwszej podanej liczby, zajmujemy drugie suplement : 93 - 5 \u003d 88 - tak wiele będzie w pracy setki, zastępowanie dodatków: 7 x 5 \u003d 3 5 - tak wiele będzie w dziedzinie jednostek. Tak więc 93 x 95 \u003d 8835. I dlaczego konieczne jest to, nie trudno jest wyjaśnić.

Na przykład, 93 wynosi 100 bez 7, a 95 wynosi 100 bez 5. 95 x 93 \u003d (100 - 5) x 93 \u003d 93 x 100 - 93 x 5.

Aby odebrać 5 razy 93, możesz potrwać 100 razy od 100 razy, ale następnie dodaj 5 razy do 7. Okazuje się:

95 x 93 \u003d 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 \u003d 93 komórek. - 5set. + 5 x 7 \u003d (93 - 5) Honeycomb. + 5 x 7 \u003d 8800 + 35 \u003d 8835.

97 x 94 \u003d (97 - 6) x 100 + 3 x 6 \u003d 9100 + 18 \u003d 9118, 91 x 95 \u003d (91 - 5) x 100 + 9 x 5 \u003d 8600 + 45 \u003d 8645.

Mnożenie w. Domino.

Przy pomocy kości Domino łatwo przedstawić kilka przypadków mnożenia wielowartościowych numerów na jednoznaczną liczbę. Na przykład:

402 x 3 i 2663 x 4

Zwycięzca zostanie rozpoznany przez ten, który przez pewien czas będzie mógł użyć największa liczba Kości domino, tworząc przykłady na mnożenie trzech, czterocyfrowych liczb na jednoznaczną liczbę.

Przykłady do mnożenia czterocyfrowych liczb do jednoznacznej.

2234 x 6; 2425 x 6; 2336 x 1; 526 x 6.

Jak widać, używany jest tylko 20 kości Domino. Przykłady są wykonane do pomnożenia nie tylko czterocyfrowych liczb na jednoznaczną liczbę, ale także trzy-, i pięć, i sześciocyfrowe liczby na jednoznaczną liczbę. Użyto 25 kości, a takie przykłady są skompilowane:

Jednak wszystkie 28 kości mogą być nadal używane.

Historie o tym, czy stary człowiek Hottabych znał arytmetykę.

Historia "Wchodzę na arytmetykę" 5 ".

Jak tylko następny dzień poszedłem do Mishy, \u200b\u200bnatychmiast zapytał: "Co nowego, ciekawe było w kręgu?" Pokazałem Misze i jego przyjaciół, jak sprytnie nauczał rosyjskich ludzi w dawnych czasach. Potem zasugerowałem, aby policzyć, ile będzie 97 x 95, 42 x 42 i 98 x 93. Oczywiście, bez ołówku i papieru nie mogły tego zrobić i były bardzo zaskoczeni, gdy prawie natychmiast przekazałem te przykłady Te przykłady. Wreszcie wszyscy zdecydowaliśmy, że zadanie zostało dane domu. Okazuje się, że bardzo ważne jest, w jaki punkty znajdują się na kartce papieru. W zależności od tego można wydać jedną i cztery i sześć linii prostych, ale nie więcej.

Potem zasugerowałem facetów, aby wykonali przykłady mnożenia kości domino, jak to zrobiono na okręgu. Udało nam się użyć 20, 24, a nawet 27 kości, ale z C E x 28 nie mogliśmy stworzyć przykładów, chociaż siedzieliśmy przez długi czas.

Misha pamiętała, że \u200b\u200bdziś film "Old Man Hottabych" jest wykazany w kinie. Szybko zakończyliśmy arytmetykę i pobiegł do filmów.

To jest obraz! Chociaż bajka, ale nadal interesująca: mów o nas, chłopcy, o Życie szkolne, a także o mędrce ekscentrycznej - Gina Hottabicz. I znacznie zabrzmiało hottabych, sugerując kantar w geografii! Jak widać, od dawna, nawet indyjscy mądrzy mężczyźni - Gina - bardzo, bardzo słabo wiedziała geografię, zastanawiam się, ale jak starzeje staruszek z Hottabych stał się ", jeśli Washa przekazała egzamin arytmetyczny? Prawdopodobnie hottabych i arytmetyk nie wiedział.

Indyjska metoda mnożenia.

Pozwól, abyś potrzebował nie unvevy 468 do 7. Po lewej, którą piszesz mnożnik, prawy mnożnik:

Indianie nie mieli znaku mnożenia.

Teraz pomnożę 7, okaże się 28. Numer ten jest napisany przez Supprand 4.

Teraz 8 jest pomnożone przez 7, okaże się 56. 5 przez wzrost do 28, okaże się 33; 28set i 33 piszemy, 6 zapisu przez numer 8:

Okazało się bardzo interesujące.

Teraz 6 jest pomnożone przez 7, okaże się 42, 4 przyrosty na 36, \u200b\u200bokaże się 40; 36set i 40 pisania; 2 wskazał na numer 6. SO 486 pomnożone przez 7, okazuje się 3402:

To prawda, ale tylko żadna kara nie jest szybka i wygodna! To właśnie są mnożone najsłynniejsze komputery.

Jak widać, stary człowiek hottabych arytmetyczny nie wiedział. Jednak sprawił, że nie został jednak zapisany.

Przez długi czas, ponad tysiąc trzy lata temu Indianie byli najlepszymi komputerami. Jednak nie mieli więcej artykułów, a wszystkie obliczenia zostały wykonane na małej czarnej tablicy, robiąc na nim z piórem trzcinowym i stosując bardzo płynną białą farbę, która łatwo pozostawiła znaki.

Kiedy piszemy kredą na tablicy, to jest trochę przypominające indyjską metodę pisania: na czarnym tle znajdują się białe znaki, które są łatwe do wymazywania i poprawne.

Indianie produkowali również obliczenia na białym talerzu, posypane czerwonym proszkiem, na którym napisali znaki z małym kijem, dzięki czemu białe znaki pojawiły się na czerwonym polu. Około tego samego obrazu okazuje się, gdy piszemy kredą na czerwonej lub brązowej płytce - linoleum.

Znak mnożenia w tym czasie nie istniał jeszcze, a tylko jakiś interwał pomiędzy mnożnikiem a mnożnikiem. Indyjski sposób można pomnożyć przez iz jednostek. Jednak same Indianie zostały przeprowadzone od czasu starszego wyładowania i nagrane niekompletne prace tuż nad wielokrotnością, błogosłośnie. Jednocześnie wyższy rozładowanie pełnej pracy został natychmiastowy widoczny, a ponadto przekazanie dowolnej liczby zostało wykluczone.

Przykład mnożenia przez indyjski sposób.

Metoda mnożenia arabskiego.

Cóż, w dniu, w dniu, wykonaj mnożenie indyjskiego sposobu, jeśli piszesz na papierze?.

Ta technika do pisania papieru dostosowani Arabowie, słynny naukowiec starożytności Uzbek Muhammed Ibn Musa Alwariz-MI (Muhammed Son Musa z Khorezmaya, który znajdował się na terytorium nowoczesnego Uzbek SSR) ponad tysiąc lat temu wykonał mnożenie pergamin tak:

Jak widać, nie usunął niepotrzebnych liczb (na papierze jest już niewygodne), ale krzyknął je; Oczywiście nagrał nowe liczby, jest zamrożone.

Przykład mnożenia w ten sam sposób, wprowadzanie wpisów w notatniku.

Dlatego 7264 x 8 \u003d 58112. Ale jak pomnożyć na dwucyfrowej liczbie, do wielowartościowy?

Odbiór mnożenia pozostaje taki sam, ale nagrywanie jest znacznie skomplikowane. Na przykład musisz mnożyć 746 na 64. Najpierw pomnożono przez 3 tuzin, okazało się

Więc 746 x 34 \u003d 25364.

Jak widać, podkreślając niepotrzebne cyfry i zastępując je nowymi liczbami podczas mnożenia nawet na dwucyfrowej liczbie prowadzi do zbyt kłopotliwego nagrywania. I co się wydarzy, jeśli pomnożono przez trzy-, czterocyfrowy numer?!

Tak, metoda arabska Mnożenie nie jest zbyt wygodne.

Ta metoda mnożenia była utrzymywana w Europie do XVIII wieku, aż tysiąc lat. Nazywano go przez metody przekraczania lub Chiam, ponieważ grecka litera x (Hee) została umieszczona między liczbami zmiennych), stopniowo zastąpiony przez ukośny krzyż. Teraz widzimy dobrze, że nasza nowoczesna metoda mnożenia jest najłatwiejsza i najwygodniejsza, prawdopodobnie najlepsza ze wszystkich możliwe metody Mnożenie.

Tak, nasz szkolny sposób mnożenia wielowartościowych liczb jest bardzo dobry. Jednak rejestrowanie mnożenia można przeprowadzić inaczej. Być może najlepiej byłoby to zrobić, na przykład, tak jak:

Ta metoda jest w rzeczywistości dobra: mnożenie rozpoczyna się od starszego rozładowania mnożnika, najniższe wyładowanie niekompletnych prac jest rejestrowany pod odpowiednim wyładowaniem mnożnika, co eliminuje możliwość błędu w przypadku, gdy zero znajduje się w dowolnym rozładowaniu mnożnik. W przybliżeniu mnożenie liczb wielowartościowych Czechoslovak Schoolchildren. To interesujące. I myśleliśmy, że działania arytmetyczne mogą być rejestrowane, ponieważ było zwyczajowe.

Kilka puzzli.

Oto pierwszy, prosty zadanie: turysta może przejść przez godzinę 5 km. Ile kilometrów przejdzie na 100 godzin?

Odpowiedź: 500 kilometrów.

I to jest kolejne duże pytanie! Konieczne jest dokładniej wiedzieć, jak turysta szedł te 100 godzin: bez odpoczynku lub z biegiem. Innymi słowy, musisz wiedzieć: 100 godzin jest czasem ruchu turystycznego lub tylko czas jego pobytu w drodze. Bycie w kolejnym ruchu 100 godzin prawdopodobnie nie jest w stanie: to więcej niż cztery dni; Tak, a szybkość ruchu zmniejszy się cały czas. Inną rzeczą, jeśli turysta przeszedł z lasami na lunch, do snu itp., Potem może przejść i 500 km; Tylko w drodze nie powinno być już cztery dni, ale około dwunastu dni (jeśli pójdzie na dzień średnio 40 km). Jeśli miał 100 godzin na drodze, może wynosić tylko 160-180 km.

Różne odpowiedzi. W warunkach zadania konieczne jest dodanie czegoś do czegoś, w przeciwnym razie odpowiedź jest niemożliwa.

Teraz decydujemy o takim zadaniu: 10 kurcząt w ciągu 10 dni spożywanych 1 kg ziarna. Ile kilogramów ziarna będzie zje 100 kurczaków w ciągu 100 dni?

Roztwór: 10 kurcząt 10 dni zjadanych 1 kg ziarna, oznacza to, że 1 kurczak za to samo 10 dni spożywane 10 razy mniej, czyli 1000 g: 10 \u003d 100 g.

W pewnym dniu laska zjada kolejne 10 razy mniej, czyli 100 g: 10 \u003d 10 g. Teraz wiemy, że 1 kurczak w 1 dzień zjada 10 g ziarna. Oznacza 100 piskląt dziennie zjedzony 100 razy więcej, to znaczy

10 g x 100 \u003d 1000 g \u003d 1 kg. W tych samych okresach będą jeść kolejne 100 razy więcej, czyli 1 kg x 100 \u003d 100 kg \u003d 1 c. Tak, 100 kurcząt w 100 dni spożywanych całego centra ziarna.

Istnieje szybsze rozwiązanie: kurczaki są 10 razy więcej i hodowały dłużej niż 10 razy, oznacza to, że wszystkie ziarna powinny być 100 razy więcej niż 100 razy, czyli 100 kg. Jednak we wszystkich tych argumentach jest jedno pominięcie. Myślimy i znaleźć błąd w rozumowaniu.

: - Patrzymy na ostatnie rozumowanie: "100 kurcząt w ciągu jednego dnia spożywają 1 kg ziarna, a w ciągu 100 dni będą jeść 100 razy więcej. "

W końcu przez 100 dni (to jest więcej niż trzy miesiące!) Kurczaki zauważalnie dorastają i w dniu nie będą jeść 10 g ziarna, i gramów 40 - 50, ponieważ zwykły kurczak zjada około 100 g ziarna na dzień. Tak więc przez 100 dni 100 kurcząt nie zostanie zjedzony nie 1 C ziarna, ale znacznie więcej: dwóch lub trzech środków.

Ale masz ostatnią puzzle zadanią o krawacie węzła: "Na stole leży kawałek liny, wydłużony w linii prostej. Konieczne jest, aby wziąć go z jedną ręką na jedną, drugą dłoń na drugi koniec i, bez końców liny z rąk, zawiąż węzeł. »Dobrze znany przypadek, jedno zadania jest łatwe do demontażu, przechodzącym z danych do problemu problemu, podczas gdy inne, przeciwnie, przemieszczają się z problemu zadania danych.

Cóż, tutaj staraliśmy się zdemontować to zadanie, przechodząc z kwestii danych. Niech węzeł na linie już istnieje, a końce są w ich rękach i nie są produkowane. Spróbujemy powrócić do swoich danych z rozwiązanego problemu, do pierwotnej pozycji: Lina leży, wydłużona na stole, a końce nie są wytwarzane z dłoni.

Okazuje się, że jeśli naprawisz linę, nie wytwarzam końca z rąk, a następnie lewą rękę, przechodząc pod wydłużoną liną i nad prawą ręką, utrzymuje prawy koniec liny; I prawą rękę, przechodząc po linie i pod lewą ręką, utrzymuje lewy koniec liny

Myślę, że po takim zadaniu parsowania wszystko stało się jasne, jak związać węzeł na linie, musisz zrobić wszystko w odwrotnej kolejności.

Dwa kolejne odbiorniki szybkiego mnożenia.

Pokażę ci, jak szybko pomnożyć liczby, takie jak 24 i 26, 63 i 67, 84 i 86. str., czyli, gdy w czynnikach tuzin "Sideln i jednostki są dokładnie 10 razem. Wprowadź przykłady.

* 34 i 36, 53 i 57, 72 i 78,

* Okazuje się 1224, 3021, 5616.

Na przykład konieczne jest pomnożenie 53 do 57. Pomnożyłem na 6 (1 więcej niż 5), okazuje się 30 - tak wiele setek w pracy; 3 Pomnożyłem 7, okazuje się 21 - tak wiele jednostek w pracy. Więc 53 x 57 \u003d 3021.

* Jak to wyjaśnić?

(50 + 3) x 57 \u003d 50 x 57 + 3 x 57 \u003d 50 x (50 + 7) +3 x (50 + 7) \u003d 50 x 50 + 7 x 50 + 3 x 50 + 3 x 7 \u003d 2500 + + 50 x (7 + 3) + 3 x 7 \u003d 2500 + 50 x 10 + 3 x 7 \u003d \u003d: 25set. + 5set. +3 x 7 \u003d 30set. + 3 x 7 \u003d 5 x 6 komórek. + 21.

Zobaczmy, jak szybko mnożą liczby dwucyfrowe w ciągu 20. Na przykład, aby pomnożyć 14 do 17, konieczne jest złożenie jednostek 4 i 7, okaże się, aby znajdować się w każdej dziesiątkach w pracy (to znaczy, 10 jednostek ). Następnie musisz pomnożyć 7, okaże się 28 - tak wiele jednostek będzie w pracy. Ponadto do uzyskanych liczb 110 i 28 konieczne jest dodanie równomiernie 100. Tak, 14 x 17 \u003d 100 + 110 + 28 \u003d 238. W rzeczywistości:

14 x 17 \u003d 14 x (10 + 7) \u003d 14 x 10 + 14 x 7 \u003d (10 + 4) x 10 + (10 + 4) x 7 \u003d 10 x 10 + 4 x 10 + 10 x 7 + 4 x 7 \u003d 100 + (4 + 7) x 10 + 4 x 7 \u003d 100+ 110 + + 28.

Potem zdecydowaliśmy więcej takich przykładów: 13 x 16 \u003d 100 + (3 + 6) x 10 + 3 x 6 \u003d 100 + 90 + + 18 \u003d 208; 14 x 18 \u003d 100 + 120 + 32 \u003d 252.

Mnożenie na kontach

Oto kilka przyjęć, używając każdego, kto wie, jak szybko złożyć konta, będzie w stanie szybko wykonać przykłady przykładów U m.

Mnożenie o 2 i 3 jest zastąpione dwukrotnym i bieżącym dodatkiem.

Przy mnożenia 4 jest pomnożone do 2 i złożyć ten wynik ze sobą.

Mnożenie numeru na 5 jest wykonywane w takich wynikach: Toleruje całą liczbę powyżej drutu powyżej, to znaczy, jest ono pomnożone przez 10, a następnie podzielić tę 10-krotną liczbę na pół (jak podzielić na 2 za pomocą wyniki.

Zamiast mnożenia 6 jest pomnożone przez 5 i dodaj pomnóż.

Zamiast mnożenia o 7, pomnóż przez 10 i dwa razy mnożyć.

Mnożenie przez 8 jest zastępowane przez mnożenie o 10 minus dwie mnożenie.

W ten sam sposób są mnożone przez 9: Wymień mnożenie o 10 minus jeden pomnóż.

Podczas mnożenia jest przenoszony do 10, jak wspomniano, wszystkie numery są jednym drutem powyżej.

Czytelnik prawdopodobnie dowiedział się, jak działać podczas mnożenia liczb, dużych 10 i jakiego rodzaju wymiany będzie najbardziej wygodne. Mnożnik 11 jest oczywiście konieczny, zastąpiony przez 10 + 1. Mnożnik 12 jest zastępowany przez 10 + 2 lub praktycznie 2 + 10, tj. Pierwszy odroczyć podwójną liczbę, a następnie dodatek. Mnożnik 13 zastępuje się 10 + 3 itd.

Rozważ kilka specjalne okazje Dla mnożników pierwszych setek:

Łatwo jest zobaczyć, przy okazji, że przy pomocy wyniku jest bardzo wygodne do pomnożenia na takich numerach jak na 22, 33, 44, 55 itp.; Dlatego konieczne jest dążenie do przerywania mnożników, aby cieszyć się podobnymi liczbami o tych samych ilościach.

Podobne techniki są uciekane do mnożenia w liczbach, dużych 100. Jeśli takie sztuczne techniki są nużące, a następnie, oczywiście, oczywiście może pomnożyć za pomocą kont główna zasada, Mnożąc każdą cyfrę wielokrotnych prac i nagrywania prywatnych prac - nadal daje trochę czasu redukcji.

"Rosyjska" metoda mnożenia

Nie można wykonać mnożenia liczb wielowartościowych, - przynajmniej nawet dwucyfrowa cyfrowa - jeśli nie pamiętasz, słuchając wszystkich wyników mnożących jednoznacznych numerów, tj. Co nazywa się tabelą mnożenia. W starej "arytmetycznym" Magitsky, o której już wspomniliśmy, potrzebę solidna wiedza Tabele mnożenia w takich (obcych do nowoczesnego słuchu) wersety:

Każdy, kto nie czuje stół i postępuje, nie może znać liczby, która się ustawia

I na wszystkich naukach, nieulotnych z mąki, nie uczy tuńczyka na depresję

I na korzyść, nie zapomnę.

Autor tych wersetów oczywiście nie znał ani nie przegapił, że istnieje metoda mnożenia liczb i bez znajomości tabeli mnożenia. Metoda tego, podobna do naszych technik szkolnych, była wykorzystywana w codziennym życiu rosyjskich chłopów i odziedziczył je z głębokiej starożytności.

Jego istotą jest to, że mnożenie dowolnych dwóch liczb jest zredukowane do wiersza sekwencyjnych podziałów jednej liczby na pół, podczas gdy pozostałe podwojenie innego numeru jest zmniejszone. Oto przykład:

Podział połowa trwa do tego czasu), boisko w prywatnym nie będzie działać 1, równolegle podwojenie innej liczby. Ostatni numer tweed i daje pożądany wynik. Nie trudno jest zrozumieć, na czym opiera się ta metoda: Produkt nie zmienia, jeśli jeden mnożnik jest podwojony, a drugi ma dwukrotnie. Jasne jest, że w wyniku wielokrotnego powtórzenia tej operacji otrzymuje pożądaną pracę.

Jednak jak to zrobić, jeśli jednocześnie Nrich. Czy podzielicie się na pół liczby dziwnych?

Droga ludzi łatwo wychodzi z tej trudności. Konieczne jest, mówi reguła, w przypadku nieparzystej liczby o kopnięciu urządzenia i podzielić pozostałość na pół; Ale konieczne byłoby dodanie wszystkich tych numerów tej kolumny na inne niż liczba tej kolumny, które są przeciwko lewej kolumnie. l Praca. Prawie to sprawia, że \u200b\u200bwszystkie wiersze z nawet lewą liczbą są spalone; Pozostają tylko te, które zawierają lewą liczbę nieparzystą.

Dajemy przykład (gwiazdki wskazują, że ta linia musi być zszokowana):

Pościel nie przekroczył liczby, otrzymujemy dość odpowiedniego wyniku: 17 + 34 + 272 \u003d 32 Co to jest oparte na recepcji?

Poprawność recepcji będzie jasna, jeśli weźmiemy pod uwagę

19x 17 \u003d (18+ 1) x 17 \u003d 18x17 + 17, 9x34 \u003d (8 + 1) x34 \u003d; 8x34 + 34 itd.

Jasne jest, że liczby 17, 34 itp., Utracone podczas dzielenia liczby nieparzystej na pół, należy dodać do wyniku ostatniego mnożenia, aby uzyskać produkt.

Przykłady przyspieszonego mnożenia

Wspomnieliśmy wcześniej, że do wykonania tych oddzielnych działań mnożenia, do których każda z powyższych technik rozpada się, istnieją również wygodne sposoby. Niektóre z nich są dość proste i wygodnie mające zastosowanie, ułatwiają obliczenie, że nie przeszkadza na ogół, pamiętaj o nich, aby cieszyć się normalnymi obliczeniami.

Takie, na przykład, odbiór krzyżowo mnożenia jest bardzo wygodne w działaniu z dwukierunkymi liczbami. Metoda nie jest nowa; Wraca do Greków i Hindusia i w dawnych czasach nazywano "sposobem błyskawicy" lub "mnożenie krzyża". Teraz jest zapomniany, a to nie przeszkadza.

Niech musi pomnożyć 24x32. Mentalnie mamy numer zgodnie z poniższym schemacją, jeden pod innym:

Teraz konsekwentnie produkuje następujące działania:

1) 4x2 \u003d 8 jest ostatnią cyfrą wyniku.

2) 2x2 \u003d 4; 4x3 \u003d 12; 4 + 12 \u003d 16; 6 - przedostatni cyfra wyniku; 1 Pamiętaj.

3) 2x3 \u003d 6, a nawet w błąd, mamy

7 jest pierwszą cyfrą wyniku.

Dostajemy wszystkie postacie pracy: 7, 6, 8 - 768.

Po krótkim ćwiczeniu ta technika jest bardzo łatwo wchłaniana.

Inną metodą składającą się w stosowaniu tak zwanych "dodatków" jest dogodnie stosowany w przypadkach, w których wiele liczb znajduje się w pobliżu 100.

Przypuśćmy, że chcesz mnożyć 92x96. "Suplement" przez 92 do 100 będzie 8, dla 96 - 4. Akcja jest dokonywana zgodnie z następującym schemacją: mnożniki: 92 i 96 "Dodatki": 8 i 4.

Pierwsze dwie cyfry wyniku uzyskuje się po prostu odejmowanie od mnożnika "dodatek" lub odwrotnie; I.e., 4 lub 96 są odjęte od 92.

85 i inny przypadek mamy 88; Numer ten jest uznawany za pracę "dodatków": 8x4 \u003d 32. Uzyskamy wynik 8832.

Uzyskany wynik powinien być wierny, wyraźnie widoczny z następujących transformacji:

92x9b \u003d 88x96 \u003d 88 (100-4) \u003d 88 x 100-88x4

1 4x96 \u003d 4 (88 + 8) \u003d 4x 8 + 88x4 92x96 8832 + 0

Inny przykład. Jest to wymagane do pomnożenia 78 do 77: mnożniki: 78 i 77 "suplementów": 22 i 23.

78 - 23 \u003d 55, 22 x 23 \u003d 506, 5500 + 506 \u003d 6006.

Trzeci przykład. Pomnóż 99 x 9.

rolnicy: 99 i 98 suplementów ": 1 i 2.

99-2 \u003d 97, 1x2 \u003d 2.

W takim przypadku należy pamiętać, że 97 oznacza tutaj liczba setek. Dlatego składamy.