دو در درجات مختلف
آلفا مخفف عدد واقعی است. علامت مساوی در عبارات بالا نشان می دهد که اگر یک عدد یا بینهایت را به بی نهایت اضافه کنید چیزی تغییر نمی کند، نتیجه همان بی نهایت خواهد بود. به عنوان مثال مجموعه بی نهایت را در نظر بگیرید اعداد طبیعی، سپس نمونه های در نظر گرفته شده را می توان به صورت زیر ارائه کرد:
برای اثبات بصری صحت آنها، ریاضیدانان روش های مختلفی را ارائه کرده اند. من شخصاً به همه این روش ها به عنوان رقصان شمن با تنبور نگاه می کنم. اساساً، همه آنها به این واقعیت خلاصه می شوند که یا برخی از اتاق ها اشغال نشده اند و مهمانان جدید در حال نقل مکان هستند یا اینکه برخی از بازدیدکنندگان به داخل راهرو پرتاب می شوند تا جایی برای مهمانان باز کنند (بسیار انسانی). من دیدگاه خود را در مورد چنین تصمیماتی در قالب داستانی خارق العاده در مورد بلوند ارائه کردم. استدلال من بر چه اساسی است؟ جابجایی تعداد نامحدودی از بازدیدکنندگان زمان بی نهایتی را می طلبد. بعد از اینکه اولین اتاق را برای مهمان خالی کردیم، یکی از بازدیدکنندگان همیشه تا پایان قرن در امتداد راهرو از اتاق خود به اتاق بعدی راه می رود. البته می توان عامل زمان را به طور احمقانه نادیده گرفت، اما قبلاً از دسته "قانون برای احمق ها نوشته نشده است" خواهد بود. همه چیز به کاری که انجام می دهیم بستگی دارد: تنظیم واقعیت برای مطابقت با نظریه های ریاضی یا بالعکس.
"هتل بی پایان" چیست؟ هتل بی پایان هتلی است که همیشه هر تعداد از آن را داشته باشد مکان های رایگان، مهم نیست که چند شماره مشغول هستند. اگر تمام اتاق های راهروی بی پایان بازدیدکننده اشغال شده باشد، راهروی بی پایان دیگری با اتاق های مهمان وجود دارد. تعداد بی پایانی از این راهروها وجود خواهد داشت. علاوه بر این، "هتل بینهایت" دارای تعداد بی نهایت طبقه در تعداد نامتناهی ساختمان در تعداد بی نهایت سیاره در تعداد بی نهایت جهان است که توسط تعداد نامتناهی خدا ایجاد شده اند. با این حال، ریاضیدانان نمی‌توانند از مسائل عادی روزمره فاصله بگیرند: خدا-الله-بودا همیشه یکی است، هتل یکی است، راهرو تنها یکی است. اینجا ریاضیدانان هستند و سعی می‌کنند شماره سریال اتاق‌های هتل را دستکاری کنند و ما را متقاعد کنند که می‌توان «مواد را داخل آن فرو کرد».
من منطق استدلال خود را بر روی مثالی از مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی به شما نشان خواهم داد. ابتدا باید به یک سوال بسیار ساده پاسخ دهید: چند مجموعه اعداد طبیعی وجود دارد - یک یا چند؟ هیچ پاسخ درستی برای این سوال وجود ندارد، زیرا ما خودمان اعداد را اختراع کردیم، در طبیعت هیچ عددی وجود ندارد. بله، طبیعت در شمارش عالی است، اما برای این کار از ابزارهای ریاضی دیگری استفاده می کند که برای ما آشنا نیستند. همانطور که طبیعت فکر می کند، یک بار دیگر به شما خواهم گفت. از آنجایی که ما اعداد را اختراع کردیم، خودمان تصمیم خواهیم گرفت که چند مجموعه از اعداد طبیعی وجود داشته باشد. هر دو گزینه را همانطور که شایسته یک دانشمند واقعی است در نظر بگیرید.
گزینه یک "بگذارید به ما داده شود" یک مجموعه واحد از اعداد طبیعی، که به آرامی در قفسه قرار دارد. این مجموعه را از قفسه می گیریم. همین است، هیچ عدد طبیعی دیگری در قفسه باقی نمانده و جایی برای بردن آنها وجود ندارد. ما نمی توانیم یکی را به این مجموعه اضافه کنیم، زیرا قبلاً آن را داریم. و اگر واقعاً می خواهید؟ مشکلی نیست می‌توانیم یکی از مجموعه‌ای که قبلاً برداشته‌ایم برداریم و به قفسه برگردانیم. پس از آن، می توانیم یک واحد از قفسه برداریم و آن را به چیزی که باقی مانده اضافه کنیم. در نتیجه، دوباره مجموعه ای بی نهایت از اعداد طبیعی را دریافت می کنیم. شما می توانید تمام دستکاری های ما را اینگونه بنویسید:
من اعمال را در سیستم نشانه گذاری جبری و در سیستم نشانه گذاری اتخاذ شده در تئوری مجموعه ها، با شمارش دقیق عناصر مجموعه یادداشت کردم. زیرنویس نشان می دهد که ما یک و تنها مجموعه اعداد طبیعی داریم. معلوم می‌شود که مجموعه اعداد طبیعی تنها در صورتی بدون تغییر باقی می‌ماند که از آن کم کنیم و همان واحد را جمع کنیم.
گزینه دو ما مجموعه های بی نهایت متفاوتی از اعداد طبیعی را در قفسه خود داریم. تاکید می کنم - متفاوت هستند، علیرغم این واقعیت که آنها عملاً قابل تشخیص نیستند. یکی از این مجموعه ها را می گیریم. سپس از مجموعه اعداد طبیعی دیگری یکی را می گیریم و به مجموعه ای که قبلاً گرفته ایم اضافه می کنیم. حتی می توانیم دو مجموعه اعداد طبیعی را اضافه کنیم. در اینجا چیزی است که ما دریافت می کنیم:
زیرنویس های «یک» و «دو» نشان می دهد که این آیتم ها به مجموعه های مختلفی تعلق داشته اند. بله، اگر یکی را به مجموعه بی نهایت اضافه کنید، نتیجه نیز یک مجموعه بی نهایت خواهد بود، اما با مجموعه اصلی یکسان نخواهد بود. اگر مجموعه نامتناهی دیگری را به یک مجموعه بی نهایت اضافه کنیم، نتیجه یک مجموعه نامتناهی جدید است که از عناصر دو مجموعه اول تشکیل شده است.
بسیاری از اعداد طبیعی برای شمارش به همان روشی که یک خط کش برای اندازه گیری ها استفاده می شود. حالا تصور کنید یک سانتی متر به خط کش اضافه کنید. این قبلاً یک خط متفاوت خواهد بود، نه با خط اصلی.
شما می توانید استدلال من را بپذیرید یا نپذیرید - این به خودتان مربوط است. اما اگر زمانی با مشکلات ریاضی مواجه شدید، به این فکر کنید که آیا مسیر استدلال نادرست را که توسط نسل‌های مختلف ریاضیدانان پایمال شده است دنبال نمی‌کنید. از این گذشته، انجام ریاضیات، اول از همه، یک کلیشه پایدار از تفکر را در ما شکل می دهد و تنها پس از آن توانایی های ذهنی را به ما اضافه می کند (یا برعکس، ما را از تفکر آزاد محروم می کند).
یکشنبه 4 آگوست 2019
من در حال نوشتن پس‌نوشته‌ای برای مقاله‌ای درباره‌اش بودم و این متن فوق‌العاده را در ویکی‌پدیا دیدم:
می خوانیم: «... ثروتمند مبنای نظریریاضیات بابل ویژگی کل نگر نداشت و به مجموعه‌ای از تکنیک‌های متفاوت و فاقد یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد تقلیل یافت.
وای! چقدر باهوشیم و چقدر می توانیم کاستی های دیگران را ببینیم. آیا برای ما سخت است که به ریاضیات مدرن در همین چارچوب نگاه کنیم؟ با تعبیر کمی متن بالا، من شخصاً موارد زیر را دریافت کردم:
مبانی نظری غنی ریاضیات مدرن کل نگر نیست و به مجموعه ای از بخش های متفاوت و فاقد یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد تقلیل می یابد.
من برای تأیید سخنانم زیاد نمی روم - زبان و قراردادهایی دارد که با زبان و قراردادهای بسیاری از شاخه های دیگر ریاضی متفاوت است. نام های مشابه در شاخه های مختلف ریاضی می تواند معانی مختلفی داشته باشد. من می خواهم مجموعه ای کامل از انتشارات را به آشکارترین اشتباهات ریاضیات مدرن اختصاص دهم. به زودی میبینمت.
شنبه 3 آگوست 2019
چگونه یک مجموعه را به زیر مجموعه ها تقسیم می کنید؟ برای انجام این کار، لازم است یک واحد اندازه گیری جدید که برای برخی از عناصر مجموعه انتخاب شده وجود دارد، وارد کنید. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.
بگذار خیلی ها داشته باشیم آمتشکل از چهار نفر این مجموعه بر اساس "مردم" شکل گرفت اجازه دهید عناصر این مجموعه را با حرف نشان دهیم آ، یک زیرنویس با یک رقم نشان دهنده شماره ترتیبی هر فرد در این مجموعه خواهد بود. بیایید یک واحد اندازه گیری جدید "جنس" را معرفی کنیم و آن را با حرف نشان دهیم ب... از آنجایی که ویژگی های جنسی در همه افراد ذاتی است، هر عنصر مجموعه را ضرب می کنیم آبر اساس جنسیت ب... توجه داشته باشید که اکنون انبوه "مردم" ما تبدیل به انبوهی از "افراد با خصوصیات جنسی" شده است. پس از آن می توان ویژگی های جنسیتی را به مردانه تقسیم کرد bmو زنان bwویژگی های جنسی حالا می‌توانیم یک فیلتر ریاضی اعمال کنیم: یکی از این ویژگی‌های جنسی را انتخاب می‌کنیم، فرقی نمی‌کند که کدام یک مرد باشد یا زن. اگر شخصی آن را داشته باشد، آن را در یک ضرب می کنیم، اگر چنین علامتی وجود نداشته باشد، آن را در صفر ضرب می کنیم. و سپس ریاضیات معمول مدرسه را اعمال می کنیم. ببین چی شد
پس از ضرب، کاهش و بازآرایی، به دو زیر مجموعه رسیدیم: زیر مجموعه مردان Bmو زیر مجموعه ای از زنان Bw... زمانی که ریاضیدانان تئوری مجموعه ها را در عمل به کار می برند، همین فکر را می کنند. اما آنها ما را به جزئیات اختصاص نمی دهند، بلکه نتیجه نهایی را ارائه می دهند - "بسیاری از مردم از زیرمجموعه ای از مردان و زیر مجموعه ای از زنان تشکیل شده اند." به طور طبیعی، ممکن است تعجب کنید که چگونه ریاضیات در تبدیل های فوق به درستی اعمال می شود؟ جرات می کنم به شما اطمینان دهم، در واقع، تبدیل ها به درستی انجام شده است، کافی است مبانی ریاضی حساب، جبر بولی و سایر شاخه های ریاضی را بدانید. چیست؟ یه وقت دیگه در موردش بهت میگم
در مورد ابر مجموعه ها، می توانید با انتخاب واحد اندازه گیری که برای عناصر این دو مجموعه وجود دارد، دو مجموعه را در یک سوپرست ترکیب کنید.
همانطور که می بینید، واحدهای اندازه گیری و ریاضیات رایج، تئوری مجموعه ها را به چیزی در گذشته تبدیل می کنند. نشانه‌ای که نشان می‌دهد نظریه مجموعه‌ها درست نیست این است که ریاضیدانان برای نظریه مجموعه‌ها به این نتیجه رسیده‌اند زبان خودو نامگذاری های خود ریاضیدانان کاری را انجام دادند که زمانی شمن ها انجام می دادند. فقط شمن ها می دانند که چگونه "دانش" خود را "درست" به کار ببرند. این «دانش» را به ما می آموزند.
در نهایت، من می خواهم به شما نشان دهم که ریاضیدانان چگونه با آن دستکاری می کنند.
دوشنبه 7 ژانویه 2019
در قرن پنجم پیش از میلاد، فیلسوف یونان باستان Zeno of Elea، آپوریاهای معروف خود را تدوین کرد که مشهورترین آنها آپوریا "آخیل و لاک پشت" است. اینگونه به نظر می رسد:
فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از یک لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل طول می کشد تا این مسافت را بدود، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم بدود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند به طور نامحدود ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.
این استدلال به عنوان یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی وارد شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی، به نوعی، آپوریاهای زنو را در نظر گرفتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث در زمان حاضر ادامه دارد، جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای فیزیکی و فلسفی جدید در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای این سوال تبدیل نشده است ...«[ویکی‌پدیا»، «آپوریاهای زنو»]. همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب چیست.
از دیدگاه ریاضیات، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از قدر به را نشان داد. این انتقال به جای ثابت ها، کاربرد دارد. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما با اینرسی تفکر، واحدهای اندازه گیری ثابت زمان را برای متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد اتساع زمان تا زمانی که در لحظه ای که آشیل با لاک پشت همسطح می شود، کاملاً متوقف می شود. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت سبقت بگیرد.
اگر منطقی را که به آن عادت کرده‌ایم برگردانیم، همه چیز سر جای خودش قرار می‌گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد».
چگونه می توان از این تله منطقی جلوگیری کرد؟ در واحدهای زمانی ثابت بمانید و به عقب نروید. در زبان زنو، به این صورت است:
در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم در همان جهت خواهد خزید. در فاصله زمانی بعدی، برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.
این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. گفته انیشتین در مورد غیرقابل حل بودن سرعت نور بسیار شبیه به آپوریا زنو "آشیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، بازاندیشی و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.
یکی دیگر از آپوریا جالب Zeno در مورد یک فلش پرنده می گوید:
فلش پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.
در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان فلش پرنده در نقاط مختلف فضا قرار می گیرد، که در واقع حرکت است. در اینجا باید به نکته دیگری اشاره کرد. از روی یک عکس از یک ماشین در جاده، نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله آن را تعیین کرد. برای تعیین واقعیت حرکت ماشین، دو عکس مورد نیاز است که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده است، اما تعیین فاصله از آنها غیرممکن است. برای تعیین فاصله تا ماشین، شما نیاز به دو عکس دارید که همزمان از نقاط مختلف فضا گرفته شده اند، اما نمی توانید واقعیت حرکت را از روی آنها تعیین کنید (البته، هنوز هم برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند) . چیزی که می‌خواهم توجه ویژه‌ای را به آن جلب کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت‌های متفاوتی برای تحقیق فراهم می‌کنند.
چهارشنبه 4 جولای 2018
من قبلاً به شما گفته ام که با کمک آن شمن ها سعی می کنند واقعیت "" را مرتب کنند. چگونه این کار را انجام می دهند؟ در واقع شکل گیری یک مجموعه چگونه صورت می گیرد؟
بیایید نگاهی دقیق به تعریف مجموعه بیندازیم: «یک مجموعه عناصر مختلف"اکنون تفاوت بین دو عبارت را احساس کنید:" قابل تفکر به عنوان یک کل "و" قابل تفکر به عنوان یک کل. ("یک کل") در عین حال، عاملی که اجازه می دهد "کل" را به یک "کل واحد" متحد کند به دقت بررسی می شود، در غیر این صورت شمن ها موفق نخواهند شد. از قبل بدانیم که کدام مجموعه را می خواهند به ما نشان دهند.
اجازه دهید روند را با یک مثال به شما نشان دهم. ما "جامد قرمز در یک جوش" را انتخاب می کنیم - این "کل" ما است. در عین حال می بینیم که این چیزها با کمان است اما کمان نیست. پس از آن قسمتی از "کل" را انتخاب می کنیم و مجموعه "با کمان" را تشکیل می دهیم. این گونه است که شمن ها با گره زدن نظریه مجموعه خود به واقعیت، خود را تغذیه می کنند.
حالا بیایید یک ترفند کثیف کوچک انجام دهیم. "جامد در یک جوش با کمان" را بگیرید و این "کل ها" را با رنگ ترکیب کنید و عناصر قرمز را انتخاب کنید. ما مقدار زیادی "قرمز" گرفتیم. حالا یک سوال برای پر کردن: ست های به دست آمده "با کمان" و "قرمز" یک ست هستند یا دو ست متفاوت هستند؟ فقط شمن ها جواب را می دانند. به عبارت دقیق تر، آنها خودشان چیزی نمی دانند، اما همانطور که می گویند، همینطور باشد.
این مثال ساده نشان می دهد که نظریه مجموعه ها در مورد واقعیت کاملاً بی فایده است. راز چیست؟ ما مجموعه ای از "جامد قرمز را به یک برآمدگی با کمان" تشکیل داده ایم. شکل گیری بر اساس چهار واحد اندازه گیری مختلف صورت گرفت: رنگ (قرمز)، قدرت (جامد)، زبری (در یک جوش)، زیور آلات (با کمان). تنها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری، توصیف مناسب اشیاء واقعی را در زبان ریاضی ممکن می سازد.... این چیزی است که به نظر می رسد.
حرف "a" با شاخص های مختلف نشان دهنده واحدهای اندازه گیری متفاوت است. واحدهای اندازه گیری در پرانتز مشخص می شوند که توسط آن "کل" در مرحله مقدماتی اختصاص داده می شود. واحد اندازه گیری که با آن مجموعه تشکیل می شود از براکت ها خارج می شود. آخرین خط نتیجه نهایی را نشان می دهد - عنصر مجموعه. همانطور که می بینید، اگر از واحدهای اندازه گیری برای تشکیل یک مجموعه استفاده کنیم، نتیجه به ترتیب اعمال ما بستگی ندارد. و این ریاضیات است، نه رقص شمن ها با تنبور. شمن ها می توانند "به طور شهودی" به همان نتیجه برسند، و آن را "با بدیهی بودن" استدلال کنند، زیرا واحدهای اندازه گیری در زرادخانه "علمی" آنها گنجانده نشده است.
استفاده از واحدها برای تقسیم یک یا ترکیب چند مجموعه در یک سوپرست بسیار آسان است. بیایید نگاهی دقیق تر به جبر این فرآیند بیندازیم.
شنبه 30 ژوئن 2018
اگر ریاضیدانان نتوانند مفهومی را به مفاهیم دیگر تقلیل دهند، پس از ریاضیات چیزی نمی فهمند. من پاسخ می دهم: عناصر یک مجموعه چه تفاوتی با عناصر یک مجموعه دیگر دارد؟ پاسخ بسیار ساده است: اعداد و واحدها.
امروزه، هر چیزی که ما نمی گیریم متعلق به مجموعه ای است (همانطور که ریاضیدانان به ما اطمینان می دهند). راستی، آیا فهرستی از مجموعه هایی که به آن تعلق دارید را روی پیشانی خود در آینه دیده اید؟ و من چنین لیستی را ندیده ام. بیشتر می گویم - هیچ چیز در واقعیت برچسبی با لیست مجموعه هایی که این چیز به آنها تعلق دارد ندارد. کثرت همه اختراع شمن هاست. چگونه این کار را انجام می دهند؟ بیایید کمی عمیق تر به تاریخ نگاه کنیم و ببینیم که عناصر یک مجموعه قبل از اینکه ریاضیدانان شمنی آنها را در مجموعه خود از هم جدا کنند چگونه به نظر می رسیدند.
مدتها پیش، زمانی که هیچ کس حتی نام ریاضیات را نشنیده بود، و فقط درختان و زحل حلقه داشتند، گله های عظیمی از عناصر مجموعه وحشی در میدان های فیزیکی پرسه می زدند (بالاخره، شمن ها هنوز زمینه های ریاضی را اختراع نکرده بودند). آنها چیزی شبیه این به نظر می رسیدند.
بله، تعجب نکنید، از نظر ریاضیات، تمام عناصر مجموعه ها بیشتر شبیه به خارپشت های دریایی- از یک نقطه، مانند سوزن، واحدهای اندازه گیری در همه جهات بیرون می آیند. برای کسانی که به شما یادآوری می کنم که هر واحد اندازه گیری را می توان به صورت هندسی به عنوان یک قطعه با طول دلخواه و یک عدد به عنوان یک نقطه نشان داد. از نظر هندسی، هر مقداری را می توان به صورت دسته ای از بخش ها نشان داد که در جهات مختلف از یک نقطه بیرون آمده اند. این نقطه نقطه صفر است. من این قطعه از هنر هندسی را نمی کشم (بدون الهام)، اما شما به راحتی می توانید آن را تصور کنید.
چه واحدهای اندازه گیری عنصری از مجموعه را تشکیل می دهند؟ هر کسی که این عنصر را از دیدگاه های مختلف توصیف می کند. اینها واحدهای اندازه گیری باستانی هستند که توسط اجداد ما مورد استفاده قرار می گرفتند و مدتهاست که همه آنها را فراموش کرده اند. اینها واحدهای اندازه گیری مدرنی هستند که اکنون از آنها استفاده می کنیم. اینها همچنین واحدهای اندازه گیری ناشناخته ای هستند که فرزندان ما اختراع خواهند کرد و از آنها برای توصیف واقعیت استفاده خواهند کرد.
ما هندسه را فهمیدیم - مدل پیشنهادی عناصر مجموعه دارای یک نمایش هندسی واضح است. در مورد فیزیک چطور؟ واحدهای اندازه گیری ارتباط مستقیم بین ریاضیات و فیزیک هستند. اگر شمن ها واحدهای اندازه گیری را به عنوان یک عنصر کامل از نظریه های ریاضی تشخیص نمی دهند، این مشکل آنهاست. من شخصا نمی توانم علم واقعی ریاضیات را بدون واحدهای اندازه گیری تصور کنم. به همین دلیل است که در همان ابتدای داستانم درباره نظریه مجموعه ها، از آن به عنوان عصر حجر صحبت کردم.
اما بیایید به جالب ترین چیز برویم - به جبر عناصر مجموعه ها. از نظر جبری، هر عنصر از یک مجموعه، حاصل ضرب (نتیجه ضرب) مقادیر مختلف است.
من عمداً از قراردادهای نظریه مجموعه ها استفاده نکردم، زیرا ما قبل از ظهور نظریه مجموعه ها به یک عنصر مجموعه در زیستگاه طبیعی آن نگاه می کردیم. هر جفت حروف داخل پرانتز یک مقدار جداگانه را نشان می دهد که شامل عددی است که با حرف " نشان داده شده است. n"و واحدهای اندازه گیری با حرف نشان داده شده است" آ". شاخص های کنار حروف نشان می دهد که اعداد و واحدهای اندازه گیری متفاوت هستند. یک عنصر از مجموعه می تواند از تعداد بی نهایت کمیت تشکیل شده باشد (تا جایی که ما و فرزندانمان تخیل کافی داشته باشیم). هر براکت به صورت هندسی به تصویر کشیده شده است. به عنوان یک بخش جداگانه در مثال با توتیای دریایی یک براکت یک سوزن است.
چگونه شمن ها مجموعه هایی را از عناصر مختلف تشکیل می دهند؟ در واقع بر حسب واحد یا اعداد. بدون اینکه چیزی در ریاضیات بفهمند، خارپشت های دریایی مختلف را می گیرند و در جستجوی همان سوزن تکی که در امتداد آن مجموعه ای را تشکیل می دهند، آنها را به دقت بررسی می کنند. اگر چنین سوزنی وجود داشته باشد، پس این عنصر متعلق به مجموعه است، اگر چنین سوزنی وجود نداشته باشد، عنصری از این مجموعه نیست. شمن ها برای ما افسانه هایی در مورد فرآیندهای فکری و یک کل واحد می گویند.
همانطور که ممکن است حدس زده باشید، یک عنصر می تواند به مجموعه های بسیار متفاوتی تعلق داشته باشد. در ادامه به شما نشان خواهم داد که چگونه مجموعه ها، زیرمجموعه ها و دیگر مزخرفات شمنی شکل می گیرند. همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه نمی تواند وجود داشته باشد"، اما اگر در یک مجموعه عناصر یکسان وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. چنین منطق پوچی هرگز برای موجودات عاقل قابل درک نخواهد بود. این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوش ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان عادی عمل می کنند و عقاید پوچ خود را به ما موعظه می کنند.
زمانی مهندسانی که پل را ساختند در هنگام آزمایش پل در قایق زیر پل بودند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس نالایق زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، یک مهندس با استعداد پل های دیگری را می ساخت.
مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت «چر، من در خانه هستم» یا بهتر است بگوییم «ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می کند» پنهان می شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می کند. این بند ناف پول است. مناسب نظریه ریاضیرا برای خود ریاضیدانان تنظیم می کند.
ما ریاضیات را خیلی خوب خواندیم و حالا پشت صندوق می نشینیم و حقوق می دهیم. اینجا یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. ما کل مبلغ را برای او می شمریم و روی میز خود را در انبوه های مختلف می چینیم که در آن اسکناس هایی با همان فرقه می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و "مجموعه ریاضی حقوق" را به ریاضیدان می دهیم. اجازه دهید ریاضیات را توضیح دهیم که او بقیه صورت حساب ها را فقط زمانی دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.
اولاً منطق نمایندگان جواب می دهد: «شما می توانید آن را به دیگران اعمال کنید، نمی توانید آن را برای من اعمال کنید!» علاوه بر این، ما شروع به اطمینان از وجود شماره‌های مختلف اسکناس بر روی اسکناس‌های با ارزش واحد می‌کنیم، به این معنی که آنها را نمی‌توان عناصر یکسانی در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار شروع به یادآوری فیزیک می کند: سکه های مختلف دارای مقادیر مختلف کثیفی هستند، ساختار کریستالی و آرایش اتم ها در هر سکه منحصر به فرد است ...
و حالا من بیشترین را دارم علاقه بپرس: خطی که پس از آن عناصر چند مجموعه به عناصر مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم در اینجا نزدیک نیست.
اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مساحت فیلدها یکسان است، یعنی ما یک مولتی مجموعه داریم. اما اگر نام همان ورزشگاه ها را در نظر بگیریم، خیلی به دست می آید، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، مجموعه یکسانی از عناصر به طور همزمان هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. چگونه درست است؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شولر یک آستین ترامپ را از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.
برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه «تفکرپذیر به عنوان یک کل واحد» یا «غیر قابل تفکر به عنوان یک کل».
جدول درجات اعداد از 1 تا 10. ماشین حساب آنلاین درجه. تصاویر جدول و جدول های تعاملی با کیفیت بالا.
ماشین حساب مدرک
عدد
درجه
محاسبه پاک کردن\ شروع (تراز کردن) \ پایان (تراز کردن)
با این ماشین حساب می توانید به صورت آنلاین توان هر عدد طبیعی را محاسبه کنید. عدد، مدرک تحصیلی را وارد کرده و روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید.
جدول نمرات از 1 تا 10
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 n | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 n | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| 3 n | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19683 | 59049 |
| 4 n | 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4096 | 16384 | 65536 | 262144 | 1048576 |
| 5 n | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15625 | 78125 | 390625 | 1953125 | 9765625 |
| 6 n | 6 | 36 | 216 | 1296 | 7776 | 46656 | 279936 | 1679616 | 10077696 | 60466176 |
| 7 n | 7 | 49 | 343 | 2401 | 16807 | 117649 | 823543 | 5764801 | 40353607 | 282475249 |
| 8 n | 8 | 64 | 512 | 4096 | 32768 | 262144 | 2097152 | 16777216 | 134217728 | 1073741824 |
| 9 n | 9 | 81 | 729 | 6561 | 59049 | 531441 | 4782969 | 43046721 | 387420489 | 3486784401 |
| 10 n | 10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 | 1000000 | 10000000 | 100000000 | 1000000000 | 10000000000 |
جدول نمرات از 1 تا 10
|
1 1 = 1 1 2 = 1 1 3 = 1 1 4 = 1 1 5 = 1 1 6 = 1 1 7 = 1 1 8 = 1 1 9 = 1 1 10 = 1 |
2 1 = 2 2 2 = 4 2 3 = 8 2 4 = 16 2 5 = 32 2 6 = 64 2 7 = 128 2 8 = 256 2 9 = 512 2 10 = 1024 |
3 1 = 3 3 2 = 9 3 3 = 27 3 4 = 81 3 5 = 243 3 6 = 729 3 7 = 2187 3 8 = 6561 3 9 = 19683 3 10 = 59049 |
4 1 = 4 4 2 = 16 4 3 = 64 4 4 = 256 4 5 = 1024 4 6 = 4096 4 7 = 16384 4 8 = 65536 4 9 = 262144 4 10 = 1048576 |
5 1 = 5 5 2 = 25 5 3 = 125 5 4 = 625 5 5 = 3125 5 6 = 15625 5 7 = 78125 5 8 = 390625 5 9 = 1953125 5 10 = 9765625 |
|
6 1 = 6 6 2 = 36 6 3 = 216 6 4 = 1296 6 5 = 7776 6 6 = 46656 6 7 = 279936 6 8 = 1679616 6 9 = 10077696 6 10 = 60466176 |
7 1 = 7 7 2 = 49 7 3 = 343 7 4 = 2401 7 5 = 16807 7 6 = 117649 7 7 = 823543 7 8 = 5764801 7 9 = 40353607 7 10 = 282475249 |
8 1 = 8 8 2 = 64 8 3 = 512 8 4 = 4096 8 5 = 32768 8 6 = 262144 8 7 = 2097152 8 8 = 16777216 8 9 = 134217728 8 10 = 1073741824 |
9 1 = 9 9 2 = 81 9 3 = 729 9 4 = 6561 9 5 = 59049 9 6 = 531441 9 7 = 4782969 9 8 = 43046721 9 9 = 387420489 9 10 = 3486784401 |
10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 10 4 = 10000 10 5 = 100000 10 6 = 1000000 10 7 = 10000000 10 8 = 100000000 10 9 = 1000000000 10 10 = 10000000000 |
تئوری
درجه ازعلامت اختصاری برای عملیات ضرب چندگانه یک عدد در خودش است. خود شماره در این مورد نامیده می شود - مدرک پایه، و تعداد عملیات ضرب است توان.
a n = a × a ... × a
مدخل خوانده می شود: "الف" به توان "n"..
«الف» پایه درجه است
"N" - توان
4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096
این عبارت خوانده می شود: 4 به توان 6 یا توان ششم عدد چهار یا عدد چهار را به توان ششم برسانید.
جدول درجات را دانلود کنید
- بر روی تصویر برای نمایش بزرگتر کلیک کنید.
- روی علامت "دانلود" کلیک کنید تا تصویر در رایانه شما ذخیره شود. تصویر با خواهد بود کیفیت بالاو با کیفیت خوب
عدد و مدرک را وارد کنید، سپس = را فشار دهید.
^جدول درجه
مثال: 2 3 = 8
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
خواص درجه - 2 قسمت
جدول درجات پایه در جبر به صورت فشرده (تصویر، مناسب برای چاپ)، بالای عدد، در کنار درجه.
بیایید دنباله ای از اعداد را در نظر بگیریم که عدد اول برابر با 1 است و هر عدد بعدی دو برابر بزرگتر است: 1، 2، 4، 8، 16، ... با استفاده از توان می توان آن را به شکل معادل نوشت: 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, ... کاملاً قابل انتظار نامیده می شود: دنباله ای از توان های دو.به نظر می رسد که هیچ چیز برجسته ای در آن وجود ندارد - ثبات به عنوان یک دنباله، نه بهتر و نه بدتر از دیگران. با این حال، خواص بسیار قابل توجهی دارد.
بدون شک، بسیاری از خوانندگان او را در داستان کلاسیک در مورد مخترع شطرنج ملاقات کرده اند، که از حاکم به عنوان جایزه برای مربع اول صفحه شطرنج برای یک دانه گندم، برای دوم - دو، برای سوم - چهار و به همین ترتیب، در تمام این مدت تعداد دانه ها دو برابر می شود. مشخص است که تعداد کل آنها است
اس= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)
اما از آنجایی که این مقدار فوق العاده زیاد است و چندین برابر بیشتر از برداشت سالانه غلات در سراسر جهان است، معلوم شد که حکیم خط کش را مانند یک خط کش جدا کرده است.
با این حال، اجازه دهید اکنون یک سوال دیگر از خود بپرسیم: چگونه مقدار را محاسبه کنیم اس? صاحبان یک ماشین حساب (یا، علاوه بر این، یک کامپیوتر) ممکن است در آینده قابل پیش‌بینی ضرب را انجام دهند و سپس 64 عدد حاصل را جمع کنند و پاسخ را دریافت کنند: 18 446 744 073 709 551 615. و از آنجایی که مقدار محاسبات قابل توجه است، احتمال خطا بسیار زیاد است.
چه کسی حیله گر تر است می تواند در این سکانس ببیند پیشرفت هندسی... کسانی که با این مفهوم آشنا نیستند (یا کسانی که به سادگی فرمول استاندارد برای مجموع یک پیشروی هندسی را فراموش کرده اند) می توانند از استدلال زیر استفاده کنند. بیایید هر دو طرف تساوی (1) را در 2 ضرب کنیم. از آنجایی که دوبرابر کردن توان دو، توان آن را 1 افزایش می دهد، به دست می آید.
2اس = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)
حالا (1) را از (2) کم می کنیم. در سمت چپ، البته، 2 می گیرید اس – اس = اس... در سمت راست، یک نابودی متقابل عظیم تقریباً تمام قدرت های دو رخ خواهد داد - از 2 1 تا 2 63 شامل، و فقط 2 64 - 2 0 = 2 64 - 1 باقی می ماند. بنابراین:
S = 2 64 – 1.
خب، این عبارت به طرز محسوسی ساده‌تر شده است، و اکنون با داشتن یک ماشین حساب که به شما امکان می‌دهد تا یک توان را افزایش دهید، می‌توانید مقدار این مقدار را بدون کوچکترین مشکلی پیدا کنید.
و اگر ماشین حساب وجود ندارد - چه باید کرد؟ ضرب ستون 64 دس؟ چه چیز دیگری کم بود! یک مهندس باتجربه یا ریاضیدان کاربردی که عامل اصلی برای او زمان است، می تواند به سرعت تخمین زدنپاسخ، یعنی آن را تقریباً با دقت قابل قبولی پیدا کنید. به عنوان یک قاعده، در زندگی روزمره (و در بیشتر علوم طبیعی) خطای 2-3٪ کاملاً قابل قبول است، و اگر از 1٪ تجاوز نکند، این بسیار عالی است! معلوم می شود که می توان دانه های خود را با چنین خطایی اصلاً بدون ماشین حساب و در عرض چند دقیقه محاسبه کرد. چگونه؟ اکنون خواهید دید.
بنابراین، ما باید حاصل ضرب 64 دو را تا حد امکان دقیق بیابیم (به دلیل بی اهمیت بودن واحد را به یکباره کنار می گذاریم). بیایید آنها را به یک گروه جداگانه 4 تایی و 6 گروه 10 تایی دیگر تقسیم کنیم. حاصل ضرب دو در یک گروه جداگانه برابر است با 2 4 = 16. و حاصلضرب 10 دو در هر یک از گروه های دیگر برابر است با 2 10 = 1024 (مطمئن شوید که چه کسی شک دارد!). اما 1024 حدود 1000 است، یعنی. 10 3. از همین رو اسباید به حاصل ضرب 16 در 6 عدد نزدیک باشد که هر کدام برابر با 10 3 است، یعنی. S ≈ 16 10 18 (برای 18 = 3 6). درست است، خطا در اینجا هنوز خیلی بزرگ است: به هر حال، 6 بار، هنگام جایگزینی 1024 در 1000، ما با ضریب 1.024 اشتباه کردیم، و در کل، همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، با ضریب 1.024 اشتباه کردیم. بار. خب حالا، 1.024 را شش بار در خودش ضرب کنید؟ نه، ما انجامش می دهیم! معلوم است که برای تعداد NSکه چندین برابر کمتر از 1 است، فرمول تقریبی زیر با دقت بالا معتبر است: (1 + ایکس) n ≈ 1 + xn.
بنابراین 1.024 6 = (1 + 0.24) 6 ≈ 1 + 0.24 6 = 1.144. بنابراین، لازم است عدد 16 · 10 18 را در عدد 1.144 ضرب کنیم که به 18 304 000 000 000 000 000 می رسد و این تفاوت با پاسخ صحیح کمتر از 1٪ است. چیزی که ما می خواستیم!
در این مورد، ما بسیار خوش شانس بودیم: یکی از توان های دو (یعنی دهم) بسیار نزدیک به یکی از توان های ده (یعنی سوم) بود. این به ما امکان می دهد تا به سرعت ارزش هر توان دو را تخمین بزنیم، نه لزوماً 64. در میان قدرت های اعداد دیگر، این نادر است. به عنوان مثال، 5 10 با 10 7 نیز با ضریب 1.024 متفاوت است، اما ... در جهت کوچکتر. با این حال، این همان میدان توت است: از 2 10 5 10 = 10 10، سپس چند برابر 2 10 پیشی می گیرد 10 3، همان تعداد دفعات 5 10 کوچکتراز 10 7.
یکی دیگر از ویژگی های جالب دنباله مورد بررسی این است که از هر عدد طبیعی می توان ساخت مختلفقدرت های دو، به روشی منحصر به فرد. مثلاً برای سال جاری شماره داریم
2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .
برای اثبات این امکان و یکتایی به اندازه نیست کار ویژه... بیا شروع کنیم با ممکن ها.فرض کنید باید به صورت مجموع توان های مختلف دو عدد طبیعی را نمایش دهیم ن... ابتدا آن را به صورت جمع می نویسیم نواحدها از آنجایی که یک 2 0 است، پس در ابتدا نیک مقدار وجود دارد همانقدرت های دو سپس شروع به جفت کردن آنها می کنیم. مجموع دو عدد برابر با 2 0 برابر با 2 1 است، بنابراین نتیجه این است بدیهی است کمترتعداد اصطلاحات برابر با 2 1 و احتمالاً یک عدد 2 0 اگر جفتی پیدا نکرد. در مرحله بعد، ما همان عبارت های 2 1 را به صورت جفت با هم ترکیب می کنیم و تعداد حتی کمتری از اعداد 2 2 را به دست می آوریم (در اینجا نیز ظاهر یک توان جفت نشده از دو 2 1 امکان پذیر است). سپس دوباره عبارات مساوی را به صورت جفت با هم ترکیب می کنیم و به همین ترتیب. دیر یا زود، این روند به پایان می رسد، زیرا تعداد قدرت های برابر دو بعد از هر اتحاد کاهش می یابد. وقتی مساوی 1 شد تمام می شود. باقی مانده است که تمام قدرت های جفت نشده حاصل از دو را جمع کنید - و ارائه آماده است.
در مورد شواهد منحصر به فرد بودنروش "از طریق تضاد" در اینجا مناسب است. همین عدد را بگذارید نموفق به ارائه در فرم شد دومجموعه ای از توان های مختلف دو که کاملاً منطبق نیستند (یعنی قدرت های دو وجود دارد که در یک مجموعه گنجانده شده است اما در مجموعه دیگر گنجانده نشده است و بالعکس). ابتدا، تمام توانهای متقابل دو را از هر دو مجموعه (در صورت وجود) کنار بگذارید. شما دو نمایش از یک عدد (کمتر یا مساوی) دریافت می کنید ن) به عنوان مجموع توان های مختلف دو، و همهدرجه در نمایندگی ها ناهمسان... در هر یک از نمایش ها، را انتخاب کنید بهتریندرجه. به موجب موارد فوق، برای دو نمایندگی این درجات ناهمسان... نمایندگی که این مدرک برای آن بیشتر است فراخوانی می شود اولین، یکی دیگر - دومین... بنابراین، اجازه دهید در اولین نمایش، بزرگترین درجه 2 باشد متر، سپس در دوم بدیهی است که از 2 تجاوز نمی کند متر-1. اما از آنجایی که (و ما قبلاً با این مورد در بالا روبرو شدیم، شمارش دانه های روی صفحه شطرنج)، برابری درست است.
2متر = (2متر –1 + 2متر –2 + ... + 2 0) + 1,
سپس 2 متر به شدت بیشترمجموع تمام توان های دو که بیشتر از 2 نباشد متر-1. به همین دلیل، در حال حاضر بزرگترین توان دو موجود در اولین نمایش احتمالاً بزرگتر از مجموع است از همهاختیارات دو در نمایندگی دوم گنجانده شده است. تناقض!
در واقع، ما فقط امکان نوشتن اعداد را توجیه کرده ایم دودوییسیستم شماره همانطور که می دانید، فقط از دو رقم استفاده می کند - صفر و یک، و هر عدد طبیعی در سیستم باینری به روشی منحصر به فرد نوشته می شود (به عنوان مثال، 2012 فوق الذکر - به عنوان 11 111 011 100). اگر ارقام (ارقام دودویی) را از راست به چپ، با شروع از صفر، شماره گذاری کنیم، آنگاه اعداد آن ارقامی که یک ها در آنها قرار دارند، فقط نشان دهنده دو اعداد موجود در نمایش خواهند بود.
ویژگی زیر مجموعه توان های اعداد صحیح غیر منفی دو کمتر شناخته شده است. بیایید خودسرانه به برخی از آنها علامت منفی اختصاص دهیم، یعنی موارد مثبت را منفی کنیم. تنها شرط این است که در نتیجه، هم مثبت و هم اعداد منفیمعلوم شد مقدار بی نهایتبه عنوان مثال، می توانید به هر پنجمین توان دو یک علامت منفی اختصاص دهید، یا مثلاً فقط اعداد 2 10، 2 100، 2 1000 و غیره را مثبت بگذارید - هر تعداد گزینه که دوست دارید وجود دارد.
تعجب آور است، اما هر کلعدد را می توان (و علاوه بر این، به تنها روش) به عنوان مجموع اصطلاحات مختلف در دنباله "مثبت-منفی" ما نشان داد. و اثبات آن خیلی سخت نیست (مثلاً با استقرا بر توان دوتا). ایده اصلیاثبات - وجود خودسرانه بزرگ در مقدار مطلق هر دو حالت مثبت و منفی. سعی کنید خودتان اثبات را کامل کنید.
مشاهده آخرین ارقام اعضای دنباله توان دو جالب است. از آنجایی که هر عدد بعدی در دنباله با دو برابر کردن عدد قبلی به دست می آید، آخرین رقم هر یک از آنها کاملاً با آخرین رقم عدد قبلی مشخص می شود. و از آنجایی که تعداد محدودی ارقام مختلف وجود دارد، دنباله آخرین ارقام توان های دو به سادگی موظف استدوره ای باشد! طول دوره، البته، از 10 تجاوز نمی کند (زیرا تعداد ما از این تعداد استفاده می شود)، اما این مقدار بسیار بیش از حد تخمین زده شده است. بیایید سعی کنیم آن را بدون نوشتن خود دنباله ارزیابی کنیم. واضح است که آخرین ارقام تمام توان های دو، که با 2 1 شروع می شود، زوج... علاوه بر این، نمی تواند در بین آنها صفر باشد - زیرا عددی که به صفر ختم می شود بر 5 بخش پذیر است که در آن نمی توان به قدرت های دو مشکوک شد. و از آنجایی که تنها چهار رقم زوج بدون صفر وجود دارد، پس طول دوره از 4 تجاوز نمی کند.
تأیید نشان می دهد که چنین است، و تناوب تقریباً بلافاصله ظاهر می شود: 1، 2، 4، 8، 6، 2، 4، 8، 6، ... - کاملاً مطابق با نظریه!
طول دوره آخرین جفت ارقام دنباله توان دو را می توان با موفقیت کمتر تخمین زد. از آنجایی که تمام توان های دو، که با 2 2 شروع می شوند، بر 4 بخش پذیرند، پس اعدادی که از دو رقم آخر آنها تشکیل شده اند بر 4 بخش پذیر هستند. اعداد تک رقمیما صفر را به عنوان رقم ماقبل آخر در نظر می گیریم)، اما از آنها باید پنج عدد را که به صفر ختم می شوند بیرون بیاوریم: 00، 20، 40، 60 و 80. بنابراین نقطه نمی تواند بیش از 25 - 5 = 20 عدد باشد. بررسی نشان می دهد که اینطور است، دوره با عدد 2 2 شروع می شود و شامل جفت اعداد است: 04، 08، 16، 32، 64، 28، 56، 12، 24، 48، 96، 92، 84، 68، 36، 72، 44، 88، 76، 52، و سپس دوباره 04، و غیره.
به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که طول دوره دومی مترارقام توالی توان دو از 4 5 تجاوز نمی کند متر-1 (علاوه بر این - در واقع او برابر است با 4 5 متر-1، اما اثبات آن بسیار دشوارتر است).
بنابراین، محدودیت های بسیار سختی بر آخرین ارقام قدرت دو اعمال می شود. و چطور اولینشماره؟ در اینجا وضعیت عملا برعکس است. معلوم می شود که برای هراز مجموعه ای از اعداد (که اولی صفر نیست) توان دو وجود دارد که با این مجموعه اعداد شروع می شود. و چنین قدرت های دو بی نهایت زیاد!به عنوان مثال، تعداد نامتناهی از دو توان وجود دارد که از سال 2012 یا مثلاً 3 333 333 333 333 333 333 333 شروع می شود.
و اگر فقط یک رقم اول از توان های مختلف دو را در نظر بگیریم - چه مقادیری می تواند داشته باشد؟ به راحتی می توان مطمئن شد که هر کدام از 1 تا 9 را شامل می شود (البته در بین آنها صفر وجود ندارد). اما کدام یک بیشتر و کدام کمتر رایج هستند؟ به نوعی، نمی توان فوراً دلایلی را دید که چرا یک عدد باید بیشتر از دیگری رخ دهد. با این حال، بازتاب های عمیق تر نشان می دهد که نباید انتظار وقوع دقیقاً مشابه اعداد را داشت. در واقع، اگر رقم اول هر توان دو 5، 6، 7، 8 یا 9 باشد، اولین رقم توان بعدی دو اجباری خواهد بود. واحد!بنابراین باید «تعصب» حداقل نسبت به وحدت وجود داشته باشد. در نتیجه، بعید است که بقیه ارقام "به طور مساوی" ارائه شوند.
تمرین (یعنی محاسبه مستقیم رایانه ای برای چند ده هزار توان اول دو) ظن ما را تأیید می کند. در اینجا کسر نسبی اولین ارقام توان دو تا 4 رقم اعشار گرد شده است:
1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458
همانطور که می بینید، با رشد اعداد، این مقدار کاهش می یابد (و بنابراین همان واحد حدود 6.5 برابر بیشتر احتمال دارد که رقم اول توان های دو تا نه باشد). ممکن است عجیب به نظر برسد، اما عملاً همان نسبت اعداد ارقام اول تقریباً برای هر دنباله ای از درجه ها وجود دارد - نه تنها دو، بلکه مثلاً سه، پنج، هشت و به طور کلی. تقریبا هراعداد، از جمله اعداد غیر صحیح (تنها استثناها برخی از اعداد "ویژه" هستند). دلایل این امر بسیار عمیق و پیچیده است و برای درک آنها باید لگاریتم ها را بشناسید. برای کسانی که با آنها آشنا هستند، بیایید پرده را باز کنیم: معلوم می شود که کسر نسبی توان دو، که نماد اعشاری آن با یک رقم شروع می شود. اف(برای اف= 1، 2، ...، 9) lg است ( اف+ 1) - lg ( اف) که در آن lg به اصطلاح است لگاریتم اعشاری،برابر توانی که عدد 10 باید به آن افزایش یابد تا عدد زیر علامت لگاریتم بدست آید.
A. Kanel با استفاده از ارتباط فوق الذکر بین دو و پنج، پدیده جالبی را کشف کرد. بیایید چندین رقم را از دنباله اولین ارقام توان دو (1، 2، 4، 8، 1، 3، 6، 1، 2، 5، ...) انتخاب کنیم. قراردادو آنها را بنویسید به صورت برعکس... معلوم می شود که این اعداد قطعاً برآورده خواهند شد همچنین در یک ردیف، از جایی شروع می شود، در دنباله اولین ارقام توان های پنج.
قدرت های دو نیز نوعی "مولد" برای تولید شناخته شده است اعداد کاملکه مساوی مجموع همه مقسوم علیه ها هستند به جز خودش. به عنوان مثال، عدد 6 دارای چهار مقسوم علیه است: 1، 2، 3 و 6. یکی که برابر با عدد 6 است را دور بیندازید. سه مقسوم علیه وجود دارد که مجموع آنها فقط برابر است با 1 + 2 + 3 = 6. بنابراین، 6 یک عدد کامل است.
برای به دست آوردن یک عدد کامل، دو توان متوالی دو را بگیرید: 2 n-1 و 2 n... با کاهش 1 از بزرگترین آنها، 2 به دست می آید n- 1. معلوم می شود که اگر این یک عدد اول باشد، با ضرب آن در توان قبلی دو، عدد کامل 2 را تشکیل می دهیم. n –1 (2n- 1). به عنوان مثال، برای NS= 3 اعداد اولیه 4 و 8 را بدست می آوریم. از آنجایی که 8 - 1 = 7 یک عدد اول است، پس 4 · 7 = 28 یک عدد کامل است. علاوه بر این - در یک زمان لئونارد اویلر ثابت کرد که همه زوجاعداد کامل دقیقاً شبیه این هستند. اعداد کامل عجیب و غریب هنوز کشف نشده اند (و تعداد کمی از مردم وجود آنها را باور دارند).
قدرت دو رابطه نزدیکی با به اصطلاح دارد با اعداد کاتالان، که دنباله آنها به صورت 1، 1، 2، 5، 14، 42، 132، 429 ... اغلب هنگام حل مسائل مختلف ترکیبی به وجود می آیند. به عنوان مثال، از چند طریق می تواند محدب n-گون به مثلث هایی با مورب های متمایز؟ همان اویلر متوجه شد که این مقدار برابر است با ( n- 1) شماره کاتالان (ما آن را نشان می دهیم K n-1) و او همچنین متوجه شد که K n = K n-چهارده n – 6)/n... دنباله اعداد کاتالان ویژگی های جالب زیادی دارد و یکی از آنها (فقط مربوط به موضوع این مقاله) این است که اعداد ترتیبی همه اعداد فرد کاتالانی توان دو هستند!
قدرت های دو اغلب در مسائل مختلف و نه تنها در شرایط، بلکه در پاسخ ها نیز یافت می شود. به عنوان مثال، زمانی محبوب (و هنوز فراموش نشده) را در نظر بگیرید. برج هانوی... این نام بازی پازلی بود که در قرن نوزدهم توسط ریاضیدان فرانسوی E. Lucas اختراع شد. این شامل سه میله است که یکی از آنها مجهز است nدیسک هایی با سوراخ در وسط هر کدام. قطر همه دیسک ها متفاوت است و به ترتیب نزولی از پایین به بالا چیده شده اند، یعنی بزرگترین دیسک در پایین است (شکل را ببینید). مثل برجی از دیسک معلوم شد.
لازم است این برج را با رعایت قوانین زیر به میله دیگری منتقل کنید: دیسک ها را به شدت یکی یکی جابجا کنید (دیسک بالایی را از هر میله ای جدا کنید) و همیشه فقط دیسک کوچکتر را روی میله بزرگتر قرار دهید اما برعکس. سوال این است: کمترین تعداد حرکت مورد نیاز برای این کار چقدر است؟ (منظور از حرکت، برداشتن دیسک از یک میله و گذاشتن آن بر روی میله دیگر است.) پاسخ: برابر با 2 است. n- 1 که با استقرا به راحتی قابل اثبات است.
اجازه دهید برای nدیسک، حداقل تعداد حرکت مورد نیاز است X n... پیدا کردن ایکس n+1. در فرآیند کار، دیر یا زود، باید بزرگترین دیسک را از میله جدا کنید، که در ابتدا همه دیسک ها روی آن قرار گرفته بودند. از آنجایی که این دیسک را فقط می توان روی یک میله خالی قرار داد (در غیر این صورت دیسک کوچکتر را فشار می دهد، که ممنوع است)، سپس تمام قسمت بالایی nدیسک ها ابتدا باید به میله سوم منتقل شوند. این حداقل نیاز دارد X nحرکت می کند. بعد، ما بزرگترین دیسک را به یک میله خالی منتقل می کنیم - این حرکت دیگری است. در نهایت، به منظور "فشار" آن را از بالا با کوچکتر nدیسک ها، دوباره حداقل به شما نیاز خواهید داشت X nحرکت می کند. بنابراین، X n +1 ≥ X n + 1 + X n = 2X n+ 1. از طرف دیگر، اقداماتی که در بالا توضیح داده شد نشان می دهد که چگونه می توانید دقیقاً با این کار کنار بیایید 2 X n+ 1 در حرکت. بنابراین در نهایت X n +1 =2X n+ 1. رابطه عود به دست آمده است، اما برای رساندن آن به شکل «عادی» باید آن را نیز پیدا کرد. ایکس 1 . خوب، به آسانی پوست انداختن گلابی است: ایکس 1 = 1 (به سادگی نمی تواند کمتر باشد!). بر اساس این داده ها، پی بردن به آن دشوار نیست X n = 2n– 1.
در اینجا یک چالش جالب دیگر وجود دارد:
تمام اعداد طبیعی را که نمی توان به صورت مجموع چند (حداقل دو) عدد طبیعی متوالی نشان داد، پیدا کنید.
بیایید ابتدا کوچکترین اعداد را بررسی کنیم. واضح است که عدد 1 در فرم مشخص شده قابل نمایش نیست. اما همه افراد عجیب و غریب که بزرگتر از 1 هستند، البته قابل تصور هستند. در واقع، هر عدد فرد بزرگتر از 1 را می توان به صورت 2 نوشت ک + 1 (ک- طبیعی) که حاصل جمع دو عدد طبیعی متوالی است: 2 ک + 1 = ک + (ک + 1).
در مورد اعداد زوج چطور؟ به راحتی می توان فهمید که اعداد 2 و 4 را نمی توان به شکل مورد نیاز نشان داد. شاید این مورد برای همه اعداد زوج باشد؟ افسوس که عدد زوج بعدی فرض ما را رد می کند: 6 = 1 + 2 + 3. اما عدد 8 دوباره مخالفت می کند. درست است، اعداد زیر دوباره به هجوم منجر می شوند: 10 = 1 + 2 + 3 + 4، 12 = 3 + 4 + 5، 14 = 2 + 3 + 4 + 5، اما 16 دوباره غیرقابل تصور است.
خوب، اطلاعات انباشته شده به ما اجازه می دهد تا نتایج اولیه را بگیریم. لطفا توجه داشته باشید: در فرم مشخص شده ارائه نشد قدرت دو فقط... آیا این در مورد بقیه اعداد صادق است؟ معلوم است، بله! در واقع، مجموع تمام اعداد طبیعی را در نظر بگیرید مترقبل از nشامل. از آنجا که همه آنها، به شرط، حداقل دو هستند، پس n > متر... همانطور که می دانید مجموع عبارت های متوالی است پیشرفت حسابی(و ما با آن سر و کار داریم!) برابر است با حاصلضرب نصف جمله های اول و آخر با تعداد آنها. نصف حاصل ( n + متر) / 2، و تعداد اعداد است n – متر+ 1. بنابراین، مجموع ( n + متر)(n – متر+ 1) / 2. توجه داشته باشید که شمارنده شامل دو عامل است که هر کدام از آنها به شدت بیشتر 1، و برابری آنها متفاوت است. معلوم می شود که مجموع تمام اعداد طبیعی از مترقبل از n inclusive بر عدد فرد بزرگتر از 1 بخش پذیر است و بنابراین نمی تواند توان دو باشد. بنابراین اکنون مشخص می شود که چرا نمی توان قدرت های دو را به شکل مورد نیاز نمایندگی کرد.
باقی مانده است که مطمئن شویم نه قدرت دوتو میتوانی تصور کنی. در مورد اعداد فرد، قبلاً در بالا به آنها پرداختیم. هر عدد زوجی را که توان دو نباشد در نظر بگیرید. بگذارید بزرگترین توان دو که بر آن بخش پذیر است 2 باشد آ (آ- طبیعی). سپس اگر عدد بر 2 تقسیم شود آ، از قبل معلوم خواهد شد فردعددی بزرگتر از 1 که آن را به شکل آشنا می نویسیم - به صورت 2 ک+ 1 (ک- همچنین طبیعی). پس در مجموع عدد زوج ما که توان دو نیست برابر با 2 است آ (2ک+ 1). حالا بیایید به دو گزینه نگاه کنیم:
- 2 آ+1 > 2ک+ 1. جمع 2 را بگیرید ک+ 1 عدد طبیعی متوالی، میانگینکه برابر با 2 است آ... آن وقت دیدن آن آسان است کمترینکه برابر با 2 است a - kو بزرگترین آن 2 است آ + ک، و کوچکترین آنها (و بنابراین، همه) مثبت هستند، یعنی واقعا طبیعی هستند. خب، و مجموع، بدیهی است، دقیقا 2 است آ(2ک + 1).
- 2 آ+1 < 2ک+ 1. جمع 2 را بگیرید آ 1+ اعداد طبیعی متوالی. اینجا نمی توانید مشخص کنید میانگینعدد، زیرا تعداد اعداد زوج است، اما نشان دهید چند تا متوسطاعدادی که می توانید: بگذارید اعداد باشند کو ک+ 1. سپس کمتریناز همه اعداد است ک+ 1 – 2آ(و همچنین مثبت!)، و بزرگترین آن است ک+ 2آ... مجموع آنها نیز برابر با 2 است آ(2ک + 1).
همین. بنابراین پاسخ این است: اعداد غیر قابل نمایش توان های دو هستند و آنها تنها هستند.
و در اینجا یک مشکل دیگر وجود دارد (اولین بار توسط V. Arbitrary پیشنهاد شد، اما با فرمول کمی متفاوت):
محوطه باغ با حصاری محکم از تخته های N احاطه شده است. طبق دستور عمه پولی، تام سایر حصار را سفید می کند، اما طبق سیستم خودش: با حرکت در جهت عقربه های ساعت، ابتدا یک تخته دلخواه را سفید می کند، سپس یک تخته را رد می کند و تخته بعدی را سفید می کند، سپس دو تخته را رد می کند و تخته بعدی را سفید می کند. سپس سه تخته را رد می کند و تخته بعدی را سفید می کند و به همین ترتیب، هر بار یک تخته دیگر را پرش می کنیم (در حالی که برخی از تخته ها را می توان چندین بار سفید کرد - این کار تام را آزار نمی دهد).
تام معتقد است که با چنین طرحی دیر یا زود همه تخته ها سفید می شوند و عمه پولی مطمئن است که هر چقدر هم که تام کار کند حداقل یک تخته سفید نشده باقی می ماند. در کدام N حق تام است و در زیر کدام N حق با عمه پولی است؟
به نظر می رسد سیستم سفیدکاری توصیف شده کاملاً آشفته است، بنابراین در ابتدا ممکن است برای هر کسی (یا تقریباهر) نهر تخته روزی سهم خود را از آهک خواهد گرفت، یعنی اغلب، تام درست می گوید. اما اولین برداشت فریبنده است، زیرا در واقع تام فقط برای معانی مناسب است. ن، که توان های دو هستند. برای بقیه نتخته ای وجود دارد که برای همیشه سفید نشده باقی می ماند. اثبات این واقعیت نسبتاً دست و پا گیر است (اگرچه، در اصل، دشوار نیست). ما به خواننده پیشنهاد می کنیم که این کار را خودش انجام دهد.
این همان چیزی است که آنها هستند - قدرت های دو. به نظر آسان به نظر می رسد گلابی پوست کندن، اما همانطور که شما حفاری می کنید ... و در اینجا ما تمام خواص شگفت انگیز و اسرارآمیز این دنباله را لمس نکرده ایم، بلکه فقط آنهایی را که چشم را جلب کرده اند، لمس کرده ایم. خوب، به خواننده این حق داده می شود که به طور مستقل به تحقیق در این زمینه ادامه دهد. آنها بدون شک مثمر ثمر خواهند بود.
عدد صفر).
و نه تنها deuces، همانطور که قبلا ذکر شد!
کسانی که تشنه جزئیات هستند می توانند مقاله V. Boltyansky "آیا قدرت دو اغلب با یک شروع می شود؟" را مطالعه کنند. ("کوانتوم" شماره 5، 1978)، و همچنین مقاله ای از V. Arnold "آمار ارقام اول قدرت های دو و توزیع مجدد جهان" ("Quant" شماره 1، 1998).
مسئله M1599 را از کتاب مسائل «کوانت» (کوانت شماره 6، 1997) ببینید.
در حال حاضر 43 عدد کامل شناخته شده است که بزرگترین آنها 2 30402456 (2 30402457 - 1) است. این شامل بیش از 18 است میلیونارقام
بارگذاری...