نمونه هایی از موضوع معادلات نشانگر. معادلات قدرت یا تظاهرات

از کلمات من نترسید، شما قبلا در این روش در کلاس 7 آمده اید، زمانی که چند جمله ای را مطالعه کردم.

به عنوان مثال، اگر شما نیاز دارید:

بیایید دستگیر کنیم: شرایط اول و سوم، و همچنین دوم و چهارم.

واضح است که اولین و سوم تفاوت مربعات است:

و دوم و چهارم عامل مشترک Troika:

سپس بیان اولیه معادل این است:

جایی که چند ضلعی عمومی دیگر کار نمی کند:

از این رو،

این در مورد این راه است که ما در حل معادلات نشان دهنده انجام خواهیم داد: جستجو برای "جامعه" در میان اجزای سازنده و آن را برای براکت ها، خوب، و سپس - اگر آن را خواهد بود، من معتقدم که ما می خواهیم \u003d))

مثال 14

درست است درجه هفت (من چک کردم!) و در سمت چپ - کمی بهتر ...

البته، البته، "تاخیر" از فاکتور اول درجه اول و از دوم، و سپس با دریافت دریافت، اما اجازه دهید آن را محتاطانه انجام دهید.

من نمی خواهم با کسری هایی که به طور ناگزیر در هنگام "تخصیص" شکل گرفته اند، مقابله کنم، بنابراین بهتر است آن را تحمل کنم؟

سپس میوه ها نخواهند بود: همانطور که می گویند، و گرگ ها پر هستند و گوسفند ایمن هستند:

بیان را در براکت محاسبه کنید.

سحر و جادو، جادویی، به نظر می رسد که (شگفت آور، اگر چه چه چیز دیگری باید صبر کنیم؟).

سپس هر دو بخش معادله را به این ضریب تقسیم کنید. ما دریافت می کنیم:، از کجا.

در اینجا یک مثال پیچیده تر است (کاملا کمی، حقیقت):

در اینجا مشکل است! ما در اینجا یک بنیاد مشترک نداریم!

این کاملا روشن نیست چه باید بکنید.

و اجازه دهید این کار را انجام دهیم: اول ما "چهار" را یک راه انتقال می دهیم، و "FIVES" به دیگری:

حالا بیایید "عمومی" را به سمت چپ و راست بیاوریم:

حالا که چی؟

مزایای چنین گروهی احمقانه چیست؟ در نگاه اول، این همه قابل مشاهده نیست، اما بیایید عمیق تر نگاه کنیم:

خوب، در حال حاضر ما آن را به طوری که ما تنها بیان با، و در سمت راست - هر چیز دیگری.

چطوری انجامش میدیم؟

اما چگونه: تقسیم هر دو بخش از معادله اول را در ابتدا تقسیم کنید (بنابراین ما از درجه حق خلاص می شود)، و سپس ما هر دو قسمت را تقسیم می کنیم (بنابراین ما از فاکتور عددی در سمت چپ خلاص می شویم).

در نهایت دریافت کنید:

باورنکردنیه!

Sleva ما یک عبارت داریم و سمت راست ساده است.

سپس بلافاصله نتیجه می گیریم که

مثال شماره 15

من آن را می دهم خلاصه (من به خصوص با توضیحات نگران نیستم)، سعی کنید آن را در تمام "ظرافت های" راه حل ها بسازید.

در حال حاضر چفت و بست نهایی مواد منتقل شده است.

خود حل 7 وظایف زیر (با پاسخ)

1. من براکت را خلاصه خواهم کرد: کجا
2. اولین عبارت در فرم ارائه می شود: ما هر دو بخش را تقسیم می کنیم و آن را دریافت می کنیم
3. ، سپس معادله اولیه به ذهن تبدیل می شود: خوب، در حال حاضر اشاره به دنبال، جایی که ما قبلا این معادله را حل کرده ایم!
4. تصور کنید که چگونه، به عنوان، و سپس، هر دو قطعات نامیده می شوند، بنابراین شما ساده ترین معادله نشانگر را دریافت خواهید کرد.
5. من براکت ها را می آورم
6. من براکت ها را می آورم

معادلات نشانگر سطح متوسط

فرض میکنم پس از خواندن مقاله اول که در آن گفته شد معادلات نشانگر و نحوه حل آنها چیست؟، تو سقوط کردی حداقل لازم است دانش مورد نیاز برای حل ساده ترین نمونه ها.

در حال حاضر من یک روش دیگر برای حل معادلات نشانگر را می بینم، ...

روش معرفی یک متغیر جدید (یا جایگزینی)

آنها بسیاری از وظایف "مشکل" را در موضوع معادلات نشان دهنده (و نه تنها معادلات) حل می کنند.

این روش یکی از آن است اغلب در عمل استفاده می شود. ابتدا توصیه می کنم با موضوع آشنا شوید.

همانطور که قبلا از نام آن را درک کرده اید، ماهیت این روش این است که چنین جایگزینی متغیری را معرفی کنیم که معادله نشانگر شما به طرز معجزه آسایی به آن تغییر می کند به طوری که شما به راحتی می توانید حل کنید.

همه چیزهایی که پس از راه حل این معادله بسیار ساده باقی می ماند، این است که یک جایگزین معکوس را ایجاد کنید: یعنی بازگرداندن جایگزینی به جایگزینی.

بیایید نشان دهیم فقط در یک مثال بسیار ساده گفت:

مثال 16. روش جایگزینی ساده

این معادله حل شده است "جایگزینی ساده"چگونه آن را بی رحمانه به نام ریاضیات نامیده می شود.

در واقع، جایگزینی در اینجا واضح است. فقط ارزش دیدن آن را دارد

سپس معادله اولیه به این موضوع تبدیل خواهد شد:

اگر شما علاوه بر این تصور کنید که چگونه کاملا روشن است که شما باید جایگزین کنید ...

البته، .

معادله اولیه تبدیل خواهد شد؟ اما چی:

شما به راحتی می توانید او را بدون هیچ مشکلی پیدا کنید :.

حالا باید چه کار کنیم؟

زمان بازگشت به متغیر منبع است.

من فراموش کرده ام که مشخص کنم؟

این است: هنگام جایگزینی تا حد زیادی به یک متغیر جدید (به عنوان مثال، هنگام جایگزینی دیدگاه)، من علاقه مند خواهم شد فقط ریشه های مثبت!

شما خودتان به راحتی جواب خواهید داد چرا.

بنابراین، ما به شما علاقه مند نیستیم، اما ریشه دوم برای ما بسیار مناسب است:

سپس، از کجا.

پاسخ:

همانطور که می بینید، در مثال قبلی، جایگزینی به دست ما خواسته شد. متأسفانه همیشه اتفاق نمی افتد

با این حال، بیایید به طور مستقیم به غم و اندوه برویم، اما مثال دیگری را با جایگزینی نسبتا ساده تمرین کنید

مثال 17. روش جایگزینی ساده

واضح است که به احتمال زیاد جایگزین باید جایگزین شود (این کوچکترین درجه ها به معادله ما وارد می شود).

با این حال، قبل از معرفی جایگزینی، معادله ما باید "آماده سازی" به آن، یعنی: ،.

سپس شما می توانید جایگزین، به عنوان یک نتیجه، من بیان زیر را دریافت کنید:

آه ترسناک: معادله مکعب با فرمول کاملا وحشتناک برای راه حل آن (خوب، اگر ما به طور کلی صحبت کنیم).

اما بیایید بلافاصله ناامید نشویم و در مورد آنچه که انجام می دهیم فکر کنیم.

من چیزی را پیشنهاد خواهم کرد: ما می دانیم که برای دریافت یک پاسخ "زیبا"، ما باید یک سه نفری را به صورت مدعی دریافت کنیم (چرا این، اوه؟).

و سعی کنید سعی کنید حدس بزنید حداقل یک ریشه از معادله ما (من شروع به حدس زدن درجه Troika).

فرض اول نه ریشه افسوس و آه ...

.
قسمت چپ برابر است.
قسمت راست:!

وجود دارد! حدس زدن اولین ریشه. در حال حاضر آن را آسان تر خواهد شد!

آیا شما در مورد طرح تقسیم "گوشه" می دانید؟ البته شما می دانید، هنگامی که یک عدد را به اشتراک می گذارید، آن را اعمال می کنید.

اما تعداد کمی از آنها می دانند که همان می تواند با چندجملهای انجام شود.

یک قضیه شگفت انگیز وجود دارد:

قابل اجرا به وضعیت من، به من می گوید که بدون استراحت تقسیم شده است.

تقسیم چگونه است؟ که چگونه:

من نگاه می کنم به کدام یک باید چند برابر شود

روشن است که در آن، سپس:

من بیانگر نتیجه را دریافت می کنم:

حالا چه باید بکنم؟

روشن است که در آن، من دریافت خواهم کرد:

و دوباره بیان کسر از باقی مانده:

خوب، آخرین مرحله، دامنه، و کسر از عبارت باقی مانده:

هورا، بخش تمام شده است! ما در خصوصی انباشته کردیم؟

به خودی خود :.

سپس آنها این تجزیه را از چندجملهای اصلی دریافت کردند:

حل معادله دوم:

این ریشه دارد:

سپس معادله اولیه:

این سه ریشه دارد:

آخرین ریشه ما، البته، آن را پرتاب، به دلیل آن کمتر از صفر است.

و دو اول پس از جایگزینی به ما دو ریشه را به ما می دهد:

پاسخ: ..

با این مثال، من نمی خواستم شما را بترسانم!

در عوض، برعکس، من آن را تعیین می کنم که نشان می دهد که حداقل ما یک جایگزین بسیار ساده داشتیم، با این وجود آن را به یک معادله نسبتا پیچیده منجر شد، راه حل که برخی از ما برخی از مهارت های خاص را مورد نیاز بود.

خوب، هیچ کس از این سیستم ایمنی ندارد. اما جایگزینی در این مورد واضح بود.

مثال №18 (با جایگزینی کمتر آشکار)

این کاملا روشن نیست که چه کاری باید انجام دهید: مشکل این است که در معادله ما دو پایگاه مختلف و یک پایه از یک نعوظ دیگر در هر درجه (معقول، طبیعی) به دست نمی آید.

با این حال، چه چیزی را می بینیم؟

هر دو پایگاه - تنها در علامت متفاوت است، و کار آنها - تفاوت در مربع برابر با یک تفاوت وجود دارد:

تعریف:

بنابراین، اعداد که در مثال ما در مثال ما هستند، conjugate هستند.

در این مورد، یک گام منطقی خواهد بود هر دو بخش از معادله را بر روی شماره کنجد قرعه کشی کنید.

به عنوان مثال، در، سپس بخش چپ معادلات برابر خواهد بود، و درست است.

اگر شما یک جایگزین کنید، معادله اولیه ما اینگونه خواهد شد:

سپس ریشه های او، و به یاد داشته باشید که ما آن را دریافت می کنیم.

پاسخ: ،.

به عنوان یک قاعده، روش جایگزینی به اندازه کافی برای حل معادلات نشانگر "مدرسه" کافی است.

وظایف بعدی افزایش سطح مشکلات از گزینه های EGE گرفته شده است.

سه وظیفه افزایش پیچیدگی از گزینه های EGE

شما در حال حاضر کاملا صالح برای حل این نمونه ها. من فقط جایگزین مورد نیاز را خواهم آورد.

1. معادله را حل کنید:
2. ریشه های معادله را پیدا کنید:
3. معادله را انتخاب کنید :. پیدا کردن تمام ریشه های این معادله که متعلق به بخش است:

و در حال حاضر توضیحات کوتاه و پاسخ:

مثال №19

این به اندازه کافی برای ما این است که متوجه شویم.

سپس معادله اولیه معادل این است:

این معادله با جایگزینی حل می شود

محاسبات بیشتر آن را انجام دهید.

در پایان کار شما، آن را به حل ساده ترین مثلثاتی (سینوس یا وابسته به کنسرو) کاهش می یابد. ما چنین نمونه هایی را در بخش های دیگر تحلیل خواهیم کرد.

مثال شماره 20

در اینجا شما حتی می توانید بدون جایگزینی انجام دهید ...

این به اندازه کافی برای انتقال به سمت راست است و هر دو پایگاه را از طریق درجه درجه ارائه می دهد و سپس بلافاصله به معادله مربع بروید.

مثال №21

همچنین کاملا استاندارد حل شده است: تصور کنید چگونه.

سپس جایگزین معادله مربع: سپس

شما قبلا می دانید که لگاریتم چیست؟ نه؟ سپس فورا موضوع را بخوانید!

ریشه اول، بدیهی است، به بخش و دوم تعلق ندارد - روشن نیست!

اما ما خیلی زود متوجه خواهیم شد!

از آنجا که، پس از آن (این ملک لگاریتم است!)

اشتراک از هر دو بخش، پس ما دریافت کنید:

قسمت چپ را می توان به عنوان:

هر دو بخش برای:

می تواند بر روی آن کشیده شود، سپس

سپس مقایسه کنید:

از آن به بعد:

سپس ریشه دوم متعلق به شکاف دلخواه است

پاسخ:

همانطور که مشاهده می کنید، انتخاب ریشه های معادلات نشانگر به اندازه کافی نیاز دارد دانش عمیق خواص لگاریتمبنابراین من به شما توصیه می کنم تا زمانی که معادلات نشانگر را تعیین می کنید، به همان اندازه نزدیک شوید.

همانطور که می فهمید، همه چیز در ریاضیات ارتباط برقرار می شود!

همانطور که معلم من در ریاضیات گفت: "ریاضی، به عنوان یک داستان، شما یک شب بخوانید."

به عنوان یک قاعده، همه پیچیدگی در حل مشکلات افزایش سطح پیچیدگی دقیقا انتخاب ریشه های معادله است.

مثال دیگری برای آموزش ...

مثال 22

واضح است که معادله خود بسیار ساده است.

با جایگزینی، ما معادله اصلی ما را به موارد زیر کاهش خواهیم داد:

اول، بیایید در نظر بگیریم اولین ریشه

مقایسه کنید و از آنجایی که پس از آن. (اموال عملکرد لگاریتمی، زمانی).

سپس روشن است که اولین ریشه متعلق به شکاف ما نیست.

حالا ریشه دوم :. واضح است که (از آنجا که عملکرد افزایش می یابد).

آن را مقایسه می کند و.

از آنجا که، پس از آن در همان زمان.

بنابراین، من می توانم "دست کشیدن" را بین و.

این PEG تعداد است.

اولین بیان کمتر است و دوم بیشتر است.

سپس بیان دوم اولین بار و ریشه متعلق به شکاف است.

پاسخ:.

در پایان، بیایید مثال دیگری از معادله را در نظر بگیریم که جایگزینی کاملا غیر استاندارد است.

مثال №23 (معادله با جایگزینی غیر استاندارد!)

بیایید بلافاصله با آنچه که می توان انجام داد شروع کنیم، و آنچه که در اصل، ممکن است، بهتر است، اما بهتر نیست انجام شود.

شما می توانید - همه چیز را از طریق درجه ترویک، دو و شش تصور کنید.

جایی که آن را هدایت می کند؟

بله، هیچ چیز به هیچ چیز منجر نخواهد شد: مخلوطی از درجه، و برخی از آنها بسیار دشوار است برای خلاص شدن از شر.

و چه چیزی نیاز دارید؟

بیایید این را اطلاع دهیم

و چه چیزی به ما می دهد؟

و این واقعیت که ما می توانیم راه حل این مثال را برای حل یک معادله نسبتا ساده نشان دهیم!

اول، بیایید معادله ما را در قالب بازنویسی کنیم:

در حال حاضر ما هر دو بخش از معادله نتیجه را تقسیم می کنیم:

eureka حالا شما می توانید جایگزین کنید، ما دریافت می کنیم:

خوب، در حال حاضر نوبت شما این است که چالش ها را در تظاهرات حل کنید، و من آنها را فقط یک نظر مختصر به شما می دهم تا از مسیر درست دور نشوید! موفق باشید!

مثال شماره 24

سخت ترین!

اینجا را جایگزین کنید تا اوه به عنوان Nemelko! با این وجود، این مثال کاملا حل شده است تخصیص کامل مربع.

برای حل آن، به اندازه کافی توجه کنید که:

سپس شما و جایگزینی اینجا هستید:

(لطفا توجه داشته باشید که در اینجا، با جایگزینی ما، ما نمی توانیم ریشه منفی را از بین ببریم !!! و چرا، چه فکر می کنید؟)

در حال حاضر برای راه حل از مثال شما برای حل دو معادله باقی مانده است:

هر دو توسط "جایگزینی استاندارد" حل می شوند (اما دوم در یک مثال!)

مثال №25

2. توجه داشته باشید که و جایگزینی را ایجاد کنید.

مثال 26

3. یک عدد را در عوامل متقابل ساده تقسیم کنید و بیانگر نتیجه را ساده کنید.

مثال شماره 27

4. قرار دادن عددی و عددی از کسری (یا اگر شما آن را بیشتر دوست دارید) و جایگزینی یا.

مثال №28.

5. توجه داشته باشید که اعداد و - conjugate.

راه حل معادلات نشانگر با روش لگاریتم. سطح پیشرفته

علاوه بر این، بیایید راه دیگری را در نظر بگیریم - راه حل معادلات نشانگر توسط لگاریتم.

من نمی توانم بگویم که راه حل معادلات نشانگر این روش بسیار محبوب است، اما در برخی موارد تنها قادر به آوردن ماست تصمیم درست معادله ما

به خصوص برای حل به اصطلاح " معادلات مخلوط": این است که، جایی که توابع انواع مختلف یافت می شود.

مثال №29.

به طور کلی، ممکن است تنها لگاریتم هر دو قسمت را حل کنیم (به عنوان مثال، برای پایه)، که در آن معادله اولیه به موارد زیر تبدیل می شود:

بیایید مثال زیر را در نظر بگیریم:

واضح است که با توجه به عملکرد OST لگاریتمی، ما فقط علاقه مند هستیم.

با این حال، این نه تنها از لگاریتم OTZ، بلکه به دلیل دیگری است.

من فکر می کنم دشوار نیست که حدس بزنید دقیقا چه.

بیایید همه بخش هایی از معادله ما را بر اساس:

همانطور که می بینید، لگاریتم معادله اصلی ما به سرعت ما را به پاسخ صحیح (و زیبا) هدایت کرد.

بیایید مثال دیگری را در یک مثال بگذاریم.

مثال شماره 30

در اینجا نیز هیچ چیز وحشتناک وجود ندارد: این هر دو طرف از معادله را بر اساس مبنای برنامه ریزی می کند، سپس ما دریافت می کنیم:

ما جایگزین خواهیم شد

با این حال، ما چیزی را از دست دادیم! آیا متوجه شدید که من از دست رفته بودم؟ پس از همه، پس از آن:

چه چیزی مورد نیاز را برآورده نمی کند (از جایی که آمد!)

پاسخ:

سعی کنید به طور مستقل راه حل معادلات نشانگر زیر را بنویسید:

و اکنون تصمیم خود را با این موضوع انجام دهید:

مثال شماره 31

لگاریتم هر دو قسمت بر روی زمین، با توجه به این که:

(ریشه دوم به نظر ما با توجه به جایگزینی مناسب نیست)

مثال 32

لگاریتمی بر اساس:

ما بیانگر نتیجه را به فرم زیر تبدیل می کنیم:

معادلات نشانگر شرح مختصری و فرمول های پایه

معادله نشانگر

معادله فرم:

به نام ساده ترین معادله نشانگر.

خواص درجه

رویکردهای تصمیم گیری

• تنفس به همان پایه
• آوردن به همان شاخص
• جایگزینی متغیر
• ساده سازی بیان و استفاده از یکی از موارد فوق.

در مرحله آماده سازی برای تست نهایی دانش آموزان دبیرستان، شما باید دانش را در مورد موضوع "معادلات غیر عادی" تدوین کنید. تجربه سال های گذشته نشان می دهد که چنین وظایفی باعث مشکلات خاصی از دانش آموزان می شود. بنابراین، دانش آموزان دبیرستان، صرف نظر از میزان آماده سازی آنها، لازم است که این نظریه را به دقت جذب کنید، به یاد داشته باشید فرمول ها و درک اصل حل چنین معادلات. پس از آن موفق به مقابله با این نوع وظایف، فارغ التحصیلان قادر به شمارش هستند نمرات بالا هنگام گذراندن امتحان در ریاضیات.

آماده شدن برای آزمون امتحان با "Shkolkovo"!

هنگامی که تکرار مواد منتقل شد، بسیاری از دانش آموزان با مشکل پیدا کردن فرمول های لازم برای حل معادلات مواجه هستند. کتاب درسی مدرسه همیشه در دست نیست، و انتخاب اطلاعات لازم در مورد موضوع در اینترنت طول می کشد.

پورتال آموزشی "Skolkovo" ارائه می دهد دانش آموزان را به استفاده از پایگاه دانش ما. ما یک روش کاملا جدید آماده سازی برای آزمایش نهایی را اجرا می کنیم. هنگامی که در وب سایت ما انجام می شود، می توانید شکاف ها را در دانش شناسایی کنید و به آن دسته بندی ها توجه کنید که بیشترین مشکلات را ایجاد می کنند.

معلمان "Shkolkovo" جمع آوری، سیستماتیک و مشخص شده برای موفقیت آمیز است eGE SURCHASE مواد به عنوان فرم آسان و قابل دسترس.

تعاریف اصلی و فرمول ها در بخش "نظری" ارائه شده است.

برای جذب بهتر مواد، ما توصیه می کنیم که وظایف را تمرین کنید. به دقت نمونه هایی از معادلات نمایشی را در این صفحه مشاهده کنید تا الگوریتم محاسبه را درک کنید. پس از آن، به انجام وظایف در بخش "کاتالوگ" ادامه دهید. شما می توانید با ساده ترین وظایف شروع کنید و یا بلافاصله به حل معادلات نشانگر پیچیده با چندین ناشناخته حرکت کنید. پایه تمرین در سایت ما به طور مداوم تکمیل و به روز می شود.

این نمونه ها با شاخص هایی که مشکل دارند، امکان اضافه کردن به موارد دلخواه وجود دارد. بنابراین شما می توانید به سرعت آنها را پیدا کنید و تصمیم را با معلم بحث کنید.

برای موفقیت امتحان، هر روز در پورتال "Shkolkovo" شرکت کنید!

در کانال در سایت YouTube سایت ما برای نگه داشتن از همه درس های ویدئویی جدید.

اول، اجازه دهید فرمول های اساسی درجه ها و خواص آنها را به یاد داشته باشیم.

کار تعداد آ. خود را به صورت تصادفی رخ می دهد، این عبارت ما می توانیم به عنوان یک ... a \u003d a n بنویسیم

1. 0 \u003d 1 (a ≠ 0)

3. a n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d a nm

5. n b n \u003d (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

معادلات قدرت یا تظاهرات - اینها معادلات هستند که در آن متغیرها در درجه ها (یا شاخص ها) قرار دارند و اساس آن تعداد است.

نمونه هایی از معادلات شاخصی:

که در این مثال شماره 6 پایه ای است که همیشه در طبقه پایین قرار دارد، اما متغیر است ایکس. درجه یا شاخص

بگذارید نمونه های بیشتری از معادلات نشانگر را ارائه دهیم.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

حالا ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که چگونه معادلات تظاهرات حل می شوند؟

یک معادله ساده بگیرید:

2 x \u003d 2 3

این مثال را می توان حتی در ذهن حل کرد. این را می توان دید که x \u003d 3. پس از همه، به طوری که بخش چپ و راست باید برابر با شماره 3 به جای X باشد.
حالا بیایید ببینیم چگونه این تصمیم را صادر می کند:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3

به منظور حل چنین معادله، ما حذف کردیم زمینه های مشابه (I.E. دو) و ثبت نام آنچه باقی مانده است، درجه است. پاسخ دلخواه را دریافت کرد.

حالا تصمیم ما را خلاصه کنید.

الگوریتم برای حل معادله نشانگر:
1. نیاز به بررسی همان پایه های لی در معادله در سمت راست و چپ. اگر پایه ها همانند به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال نیستند.
2. پس از پایه ها تبدیل به یکسان شد برابر درجه و معادله جدید را حل می کند.

حالا چند مثال را بازنویسی کنید:

بیایید با ساده شروع کنیم.

پایه ها در قسمت چپ و راست برابر با شماره 2 هستند، به این معنی که ما می توانیم درجه های خود را رد و معادل کنیم.

x + 2 \u003d 4 ساده ترین معادله معلوم شد.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2
پاسخ: x \u003d 2

در مثال زیر، می توان دید که پایگاه ها متفاوت هستند. این 3 و 9 است.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0

برای شروع، ما نه به سمت راست انتقال می دهیم، ما دریافت می کنیم:

حالا شما باید همان بنیاد را بسازید. ما می دانیم که 9 \u003d 3 2. ما از فرمول درجه (a n) m \u003d a nm استفاده می کنیم.

3 3x \u003d (3 2) X + 8

ما 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 \u003d 3 2x + 16 به دست می آوریم

3 3x \u003d 3 2X + 16 اکنون روشن است که در سمت چپ و راست پایه همان و برابر با Troika است، به این معنی که ما می توانیم آنها را از بین ببریم و درجه را کنار بگذاریم.

3x \u003d 2x + 16 ساده ترین معادله را دریافت کرد
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16
پاسخ: x \u003d 16.

ما به مثال زیر نگاه می کنیم:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

اول، ما به پایه نگاه می کنیم، پایه ها دو و چهار نفر متفاوت هستند. و ما باید یکسان باشیم. ما چهار را با فرمول (a n) m \u003d a nm تبدیل می کنیم.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

و همچنین از یک فرمول a n a m \u003d a n + m استفاده کنید:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

اضافه کردن به معادله:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

ما نمونه ای را به دلایل مشابهی هدایت کردیم. اما ما با اعداد دیگر 10 و 24 تداخل داریم. با آنها چه کار میکنید؟ اگر می بینید که روشن است که ما 2 2 2 داریم، این پاسخ است - 2 2، ما می توانیم براکت ها را از بین ببریم:

2 2X (2 4 - 10) \u003d 24

ما بیان را در براکت محاسبه می کنیم:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

تمام معادله ها به 6:

تصور کنید 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 22 پایه ها یکسان هستند، آنها را پرتاب می کنند و درجه ها را معادل می کنند.
2X \u003d 2 ساده ترین معادله معلوم شد. ما آن را در 2 تقسیم می کنیم
x \u003d 1
پاسخ: x \u003d 1.

حل معادله:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

ما تبدیل می کنیم:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

ما معادله را دریافت می کنیم:
3 2X - 12 3 X +27 \u003d 0

پایه های ما همانند سه برابر هستند. در این مثال، می توان دید که سه درجه اول دو بار (2x) بیشتر از دوم (به سادگی X) است. در این مورد، شما می توانید حل کنید روش جایگزینی. شماره با کوچکترین درجه جایگزین:

سپس 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

ما در معادله همه درجه ها با حفره ها در T:

t 2 - 12T + 27 \u003d 0
ما یک معادله مربع دریافت می کنیم. ما از طریق تبعیض تصمیم می گیریم، ما دریافت می کنیم:
d \u003d 144-108 \u003d 36
t 1 \u003d 9
t 2 \u003d 3

بازگشت به متغیر ایکس..

T 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

به این معنا که،

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

یک ریشه یافت شد ما به دنبال دوم هستیم، از T 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
پاسخ: x 1 \u003d 2؛ x 2 \u003d 1.

در سایت شما می توانید در کمک به تصمیم گیری تصمیم به درخواست شما بپرسید. ما پاسخ خواهیم داد.

به گروه ملحق بشید

برگشت به جلو

توجه! اسلایدهای پیش نمایش به طور انحصاری برای اهداف اطلاعاتی مورد استفاده قرار می گیرند و ممکن است ایده هایی در مورد تمام قابلیت های ارائه ارائه ندهند. اگر شما علاقه مندید این کارلطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

نوع درس

: درس تعمیم و کاربرد جامع دانش، مهارت ها و مهارت ها در موضوع "معادلات نشانگر و راه های حل آنها".

اهداف درس

آموزش:

تکرار و مرتب سازی مواد اصلی موضوع "معادلات نشانگر، راه حل ها"؛ تقویت توانایی استفاده از الگوریتم های مربوطه در حل معادلات نشانگر انواع مختلف؛ آماده سازی برای امتحان

در حال توسعه:

تفکر منطقی و وابسته به دانش آموزان را توسعه دهید؛ ترویج توسعه مهارت استفاده از خود از دانش.

آموزشی:

آموزش فداکاری، توجه و دقت در حل معادلات.

تجهیزات:

پروژکتور کامپیوتر و چند رسانه ای.

در درس استفاده می شود فناوری اطلاعات : پشتیبانی روش به درس - ارائه در برنامه Microsoft Power Power.

در طول کلاس ها

هر مهارت با دشواری داده می شود

من. تنظیم هدف درس(شماره 2 اسلاید )

در این درس، ما خلاصه و خلاصه "معادلات نشانگر، راه حل های آنها" را خلاصه خواهیم کرد. با معمول آشنا شوید وظایف استفاده سال های مختلف در این موضوع.

وظایف حل معادلات نشانگر ممکن است در هر بخشی از وظایف استفاده رخ دهد. در بخش که در " معمولا برای حل ساده ترین معادلات نشانگر پیشنهاد شده است. در بخش از جانب " ممکن است معادلات جزئی پیچیده تر را برآورده سازد، راه حل که معمولا یکی از مراحل کار است.

مثلا ( اسلاید شماره 3 ).

• EGE - 2007.

در 4 - بزرگترین مقدار بیان را پیدا کنید x U.جایی که ( ایکس؛ W.) - سیستم راه حل:

• EGE - 2008.

در 1 - حل معادلات:

ولی) H. 6 3h. – 36 6 3h. = 0;

ب) 4 h. +1 + 8 4 H.= 3.

• EGE - 2009.

در 4 - مقدار بیان را پیدا کنید x + U.جایی که ( ایکس؛ W.) - سیستم راه حل:

• EGE - 2010.

– معادله را تعیین کنید: 7 h.– 2 = 49. - پیدا کردن ریشه های معادله: 4 h.2 + 3h. – 2 - 0,5 2x2 + 2h. – 1 = 0. - تصمیم گیری سیستم معادلات:

دوم تحقق دانش مرجع تکرار

(اسلاید شماره 4 - 6 سخنرانی به درس)

این بر روی صفحه نمایش نشان داده شده است حمایت کردن مواد نظری در این مورد.

سوالات زیر بحث شده است:

1. معادلات نامیده می شود نشان دهنده؟
2. نام راه های اصلی برای حل آنها. نمونه هایی از گونه های خود را ایجاد کنید ( اسلاید شماره 4 )

(به طور مستقل معادلات پیشنهادی را برای هر روش حل می کند و خود آزمون را با استفاده از اسلاید انجام می دهد)

3. چه قضیه ای در هنگام حل ساده ترین معادلات تظاهرات فرم استفاده می شود: و f (x) \u003d a g (x)؟
4. چه روش های دیگر حل معادلات نشانگر وجود دارد؟ ( شماره 5 اسلاید )

• روش تجزیه چند ضلعی
(بر اساس خواص درجه با همان پایگاه ها، پذیرش: درجه ای با کوچکترین شاخص از براکت خارج می شود).
• پذیرش (ضرب) بر روی بیان نشان دهنده، متفاوت از صفر، در هنگام حل معادلات نشانگر همگن
.

• نکته:

هنگام حل معادلات نشانگر مفید است که ابتدا تغییرات را در هر دو بخش از معادله درجه با همان پایگاه ها تولید کنید.

1. حل معادلات با دو روش آخر با نظرات بعدی

(شماره 6 اسلاید ).

. 4 h.+ 1 – 2 4 h.– 2 = 124, 4 h.– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 h.– 2 62 = 124,

4 h.– 2 = 2, 4 h.– 2 = 4 0,5 , h.– 2 = 0,5, x \u003d 2,5 .

2 2 2x - 3 2 h. 5 ایکس - 5 5 2h. \u003d 0 |: 5 2 h.0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) ایکس - 5 = 0,

t \u003d (2/5) x، t. > 0, 2t. 2 - 3 t - 5 = 0, T.= -1(?...), t \u003d. 5/2; 5/2 \u003d (2/5) x، h.= ?...

III راه حل وظایف EGE 2010

دانش آموزان به طور مستقل تصمیم می گیرند وظایف ارائه شده در ابتدای درس را در ابتدای درس ارائه دهند، با استفاده از دستورالعمل های راه حل، تصمیم خود را بررسی و پاسخ آنها به آنها با استفاده از ارائه ( اسلاید شماره 7 ) در طول کار، گزینه ها و راه های راه حل ها مورد بحث قرار گرفته است، توجه به خطاهای احتمالی در حل می شود.

: a) 7 h.- 2 \u003d 49، ب) (1/6) 12 - 7 x = 36. پاسخ: ولی) h.\u003d 4، ب) h. = 2. : 4 h.2 + 3h. – 2 - 0,5 2x2 + 2h. - 1 \u003d 0. (می تواند با 0.5 \u003d 4 - 0.5 جایگزین شود)

تصمیم. ,

h. 2 + 3h. – 2 = -h. 2 - 4h. + 0,5 …

پاسخ: h.= -5/2, h. = 1/2.

: 5 5 TG y + 4 \u003d 5 -TG y ، با cos y< 0.

توجه داشته باشید به تصمیم

. 5 5 TG. y + 4 \u003d 5 -TG y | 5 TG y 0,

5 5 2G. y + 4 5 TG y - 1 \u003d 0. اجازه دهید h.\u003d 5 TG y , …

5 TG y = -1 (?...), 5 TG y \u003d.1/5.

از زمان TG y\u003d -1 و cos y< 0، T. w. دوم مختصات چهارم

پاسخ: w.= 3/4 + 2k., k. n..

IV همکاری در هیئت مدیره

وظیفه سطح بالایی از آموزش در نظر گرفته شده است - شماره شماره 8 . با این اسلاید، گفتگو معلم و دانش آموزانی است که به توسعه تصمیم کمک می کنند.

- با چه پارامتر ولی معادله 2 2. h. – 3 2 h. + ولی 2 – 4ولی \u003d 0 دارای دو ریشه است؟

بیایید t.= 2 h. جایی که t. > 0 . دريافت كردن t. 2 – 3t. + (ولی 2 – 4ولی) = 0 .

یکی) از آنجا که معادله دارای دو ریشه است، سپس d\u003e 0؛

2). مانند t. 1،2\u003e 0، سپس t. 1 t. 2\u003e 0، این است ولی 2 – 4ولی> 0 (?...).

پاسخ: ولی(- 0.5؛ 0) یا (4، 4.5).

V. تأیید کار

(شماره 9 اسلاید 9 )

دانش آموزان انجام می شوند چک کردن در برگ، انجام خود کنترل و عزت نفس کار کامل با استفاده از ارائه، تایید شده در موضوع. به طور مستقل برای خود برنامه تنظیم و اصلاح دانش را در مورد خطاهای فرض شده در نوت بوک های کار تعیین می کند. ورق های کار مستقل به منظور تأیید به معلم منتقل می شوند.

اعداد تحت تأثیر - سطح پایه، با ستاره ها - پیچیدگی افزایش یافته است.

راه حل و پاسخ.

0,3 2h. + 1 = 0,3 – 2 , 2h. + 1 = -2, h.= -1,5.

(1; 1).

3. 2 h.– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 h.– 1 76 = 19, 2 h.– 1 = 1/4, 2 h.– 1 = 2 – 2 , h.– 1 = -2,

x \u003d -1.

4 * .3 9 x \u003d 2 3 h. 5 H.+ 5 25 h. | : 25 h. ,

3 (9/25) x \u003d 2 (3/5) H.+ 5,

3 (9/27) h. = 2 (3/5) h. + 5 = 0,

3 (3/5) 2h. – 2 (3/5) h. - 5 = 0,…, (3/5) h. = -1 (مناسب نیست),

(3/5) h. = 5, x \u003d -1.

vi وظیفه در خانه

(شماره 10 اسلاید )

• تکرار § 11، 12.
• از eGE مواد 2008 - 2010 وظایف را در موضوع انتخاب کنید و آنها را حل کنید.
• کار تست خانه
:

این درس برای کسانی که فقط شروع به مطالعه معادلات شاخصی می کنند طراحی شده است. همانطور که همیشه، بیایید با تعریف و ساده ترین نمونه ها شروع کنیم.

اگر شما این درس را بخوانید، من معتقدم که شما در حال حاضر حداقل حداقل ایده ای از ساده ترین معادلات - خطی و مربع: $ 56X-11 \u003d 0 $؛ $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $؛ $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $، و غیره برای اینکه بتوانید چنین سازه هایی را حل کنید، به طور کامل لازم نیست که در مورد موضوع صحبت کنیم.

بنابراین معادلات نشانگر. بلافاصله چند نمونه را می دهم:

\\ [(2) ^ (x)) \u003d 4؛ \\ quad (((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25)؛ \\ Quad (9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

برخی از آنها ممکن است به نظر پیچیده تر، برخی از - برعکس، بیش از حد ساده است. اما همه آنها یک ویژگی مهم را ترکیب می کنند: در سوابق آنها یک تابع نشانگر $ f \\ left (x \\ right) \u003d ((a) ^ (x)) وجود دارد. بنابراین، ما تعریف را معرفی می کنیم:

معادله نشانگر هر معادله ای است که حاوی یک تابع نشانگر است، I.E. بیان نوع $ ((a) ^ (x)) $. علاوه بر این عملکرد، چنین معادلات ممکن است شامل هر طرح جبری دیگر - چندجملهای، ریشه، مثلثات، لگاریتم ها و غیره باشد.

آه خوب تعریف شده است. در حال حاضر سوال این است: چگونه به حل تمام این crap؟ پاسخ به طور همزمان ساده و پیچیده است.

بیایید با اخبار خوب شروع کنیم: در تجربه خود، کلاس ها با بسیاری از دانش آموزان می توانم بگویم که اکثر آنها معادلات نشانگر بسیار ساده تر از همان لگاریتم هستند و بیشتر مثلثاتی است.

اما اخبار بد نیز وجود دارد: گاهی اوقات وظایف الهام بخش برای انواع کتاب های درسی و امتحانات وجود دارد، و مغز التهابی آنها شروع به صدور چنین معادلات وحشیانه ای می کند که نه تنها به دانش آموزان تبدیل می شود - حتی بسیاری از معلمان به چنین وظایفی می اندیشند.

با این حال، ما در مورد غم و اندوه نخواهیم بود. و بازگشت به این سه معادلات که در ابتدای روایت ارائه شد. بیایید سعی کنیم هر یک از آنها را حل کنیم.

اولین معادله: $ ((2) ^ (x)) \u003d $ 4. خوب، چه میزان شما نیاز به ساخت شماره 2 برای دریافت شماره 4 دارید؟ احتمالا در دوم؟ پس از همه، $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - و ما برابری عددی راست را به دست آوردیم، به عنوان مثال واقعا $ x \u003d $ 2. خوب، متشکرم، کلاه، اما این معادله خیلی ساده بود که من حتی گربه من را حل می کردم. :)

بیایید به معادله زیر نگاه کنیم:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]

و در اینجا در حال حاضر کمی مشکل تر است. بسیاری از دانش آموزان می دانند که $ ((5) ^ (2)) \u003d 25 دلار یک جدول ضرب است. برخی نیز معتقدند که $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ اساسا تعریف درجه های منفی (به صورت مشابه با فرمول $ (a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n)))) $).

در نهایت، تنها علاقه مندی ها حدس می زنند که این حقایق را می توان ترکیب و در خروجی برای به دست آوردن نتیجه زیر:

\\ [\\ frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

بنابراین، معادله اولیه ما به شرح زیر بازنویسی خواهد شد:

\\ [(((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ rightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

اما این در حال حاضر کاملا حل شده است! در سمت چپ در معادله یک تابع نشانگر وجود دارد، درست در معادله، عملکرد نشانگر است، هیچ چیز جز آنها دیگر در هر نقطه نیست. در نتیجه، ممکن است مبانی را "دور بریزید" و احمقانه معادل شاخص ها:

ساده ترین معادله خطی را دریافت کرد، که هر دانش آموز به معنای واقعی کلمه در چند خط تصمیم می گیرد. خوب، در چهار خط:

\\ [\\ align) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\ end (align) \\]

اگر شما نمی فهمید که در چهار خط آخر چه اتفاقی افتاده است - مطمئن شوید که به موضوع بازگردید " معادلات خطی"و آن را تکرار کنید. از آنجا که بدون تثبیت روشن از این موضوع، برای معادلات نشانگر خیلی زود است.

\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

خوب، چگونه این را حل کنیم؟ اولین فکر: $ 9 \u003d 3 \\ CDOT 3 \u003d (((3) ^ (2)) $، بنابراین معادله اولیه را می توان بازنویسی کرد:

\\ [(\\ left ((((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

سپس به یاد می آورید که زمانی که درجه به درجه افزایش می یابد، شاخص ها متغیر هستند:

\\ [((((((3) ^ (2)) \\ right)) ^ ((3) ^ (2x)) ^ rightarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1)) \\]

\\ [\\ align) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

و در اینجا برای چنین تصمیم گیری ما صادقانه به سزاوار دو. برای ما با آرامش Pokemon یک علامت "منهای" را فرستادیم، به سه درجه بالا، به درجه این Troika روبرو شد. و بنابراین این غیر ممکن است. و به همین دلیل. نگاهی بیاندازید درجه های مختلف Troika:

\\ [\\ شروع (ماتریس) ((3) ^ (1)) \u003d 3 ° ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) و (3) ^ (\\ frac (1) (2)) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 Δ (3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) ((3) ^ ( \\ frac (1) (3))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (3)) \u003d 27 ° C ((3) ^ (- 3)) \u003d \\ frac (1) (27) & (3) ^ (- \\ fricac (1) (2)) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ end (ماتریس) \\]

نوشتن این نشانه، من فقط منحرف نکردم و درجه های مثبت را در نظر گرفتم و منفی و منفی و حتی کسری بود ... خوب، کجا حداقل یکی است تعداد منفی؟ او نه! و نمی تواند به این دلیل باشد که عملکرد نشانگر $ y \u003d (((a) ^ (x)) $، اول، همیشه تنها مقدار مثبت را می گیرد (چند واحد چند برابر نمی شود و یا به دو بار تحویل نمی شود - هنوز وجود خواهد داشت یک عدد مثبت باشد)، و در مرحله دوم، اساس چنین عملکرد، شماره $ a $ - تعریف یک عدد مثبت است!

خوب، چگونه برای حل معادله $ ((9) ^ (x)) \u003d - 3 دلار؟ اما به هیچ وجه: هیچ ریشه ای وجود ندارد. و به این معنا، معادلات نشانگر بسیار شبیه به مربع هستند - همچنین ممکن است ریشه وجود داشته باشد. اما اگر ب معادلات مربع تعداد ریشه ها توسط تبعیض آمیز (ریشه های مثبت مثبت - 2، منفی - بدون ریشه) تعیین می شود، سپس همه چیز بستگی به ارزش حق برابری دارد.

بنابراین، ما یک نتیجه گیری کلیدی را تشکیل می دهیم: ساده ترین معادله نشانگر نوع $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ یک ریشه دارد و تنها اگر $ b \\ gt 0 $ باشد. دانستن این واقعیت ساده، شما به راحتی می توانید تعیین کنید: یک معادله ریشه برای شما پیشنهاد شده است یا نه. کسانی که. ارزش آن را دارد که آن را حل کند یا بلافاصله بنویسد که هیچ ریشه ای وجود ندارد.

این دانش بارها و بارها به ما کمک خواهد کرد تا زمانی که شما باید وظایف پیچیده تر را حل کنید. در عین حال، اشعار کافی است - وقت آن است که الگوریتم اصلی را برای حل معادلات نشان دهنده مطالعه کنید.

چگونه می توان معادلات نمایشی را حل کرد

بنابراین، ما این کار را فرموله می کنیم. لازم است معادله نشانگر را حل کنید:

\\ [((a) ^ (x)) \u003d b، \\ quad a، b \\ gt 0 \\]

با توجه به الگوریتم "ساده لوح"، که از طریق آن ما قبلا، لازم است که شماره $ b $ را به عنوان درجه $ A $ ارائه دهیم:

علاوه بر این، اگر هر عبارتی به جای متغیر $ x $ وجود داشته باشد، یک معادله جدیدی دریافت می کنیم که می تواند قبلا حل شود. مثلا:

\\ [\\ align) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ rightarrow x \u003d 3؛ \\\\ & (3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ rightarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ rightarrow -x \u003d 4 rightarrow x \u003d -4؛ \\\\ & (5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ rightarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ rightarrow 2x \u003d 3 rightarrow x \u003d \\ frac (3) ( 2). \\\\\\ پایان (align) \\]

و به اندازه کافی عجیب و غریب، این طرح در حدود 90٪ موارد کار می کند. و سپس با بقیه 10٪؟ 10٪ باقی مانده کمی معادلات نشانگر "اسکیزوفرنیک" است:

\\ [(2) ^ (x)) \u003d 3؛ \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15؛ \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]

خوب، چه میزان نیاز به ساخت 2 برای دریافت 3 دارید؟ اولین؟ و در اینجا نیست: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - کافی نیست. در دوم؟ همچنین هیچ: $ ((2) ^ (2)) \u003d $ 4 - کمی بیش از حد وجود دارد. و در آن زمان؟

دانستن دانش آموزان در حال حاضر احتمالا حدس زده اند: در چنین مواردی، زمانی که "زیبایی" نمی تواند حل شود، "توپخانه سنگین" - LogaRithms متصل است. اجازه بدهید به شما یادآوری کنم که با کمک لگاریتم ها، هر تعداد مثبت را می توان به عنوان درجه ای از هر عدد مثبت دیگر نشان داد (به جز یکی):

به یاد داشته باشید این فرمول؟ وقتی که به دانش آموزانم در مورد لگاریتم می گویم، همیشه به آن هشدار می دهم: این فرمول (این نوع هویت لگاریتمی اصلی است یا اگر دوست دارید، تعریف لگاریتم) آن را برای مدت زمان بسیار طولانی تعقیب می کند و در بیشتر وقت آن را تعقیب می کند مکان های غیر منتظره خوب، او بلند می شود بیایید به معادله ما نگاه کنیم و برای این فرمول:

\\ [\\ align) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & \u003d (((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a) \\\\\\ end (align) \\]

اگر فرض کنیم که $ a \u003d $ 3 شماره اصلی ما است، که در سمت راست ایستاده است، و $ b \u003d 2 دلار بسیار است تابع نشانگرما می خواهیم سمت راست را به دست آوریم، ما موارد زیر را دریافت خواهیم کرد:

\\ [\\ begin (align) & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\ rightarrow 3 \u003d (((2) ^ ((\\ log) _ (2)) 3)) \\\\ & (2) ^ (x)) \u003d 3 \\ rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d (((2) ^ ((\\ log) _ (2)) 3)) \\ rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ پایان (align) \\]

دریافت پاسخ کمی عجیب و غریب: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3 دلار. در برخی از وظایف دیگر، بسیاری از آنها در چنین پاسخی خندید و شروع به محاکمه خود کردند: ناگهان یک اشتباه در جایی وجود داشت؟ من عجله دارم تا شما را بخوانم: هیچ خطایی اینجا نیست و لگاریتم در ریشه های معادلات نشانگر یک وضعیت کاملا معمول است. بنابراین استفاده می شود :)

حالا ما با تقلید از دو معادله باقی مانده تصمیم می گیریم:

\\ [\\ align) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ rightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ ((\\ log) _ (5)) 15)) 15)) \\ rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15؛ \\\\ Δ ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ rightarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ ((\\ log) _ (4)) 11)) \\ rightarrow 2X \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) (\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ پایان (align) \\]

این همه! به هر حال، آخرین پاسخ را می توان در غیر این صورت نوشته شده است:

این ما چند برابر به استدلال لگاریتم ساخته شده است. اما هیچ کس مانع از ساختن این ضریب به زمین نمی شود:

در این مورد، هر سه گزینه درست هستند - اینها به سادگی شکل های مختلف ضبط از همان شماره هستند. کدام یک را انتخاب کنید و در تصمیم حاضر انتخاب کنید - فقط برای شما حل کنید.

بنابراین، ما یاد گرفتیم که چگونه هر معادله نشانگر نوع $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ را حل کنیم) \u003d B $، جایی که اعداد $ A $ و $ b $ به شدت مثبت هستند. با این حال، واقعیت خشن دنیای ما چنین است که چنین وظایف ساده شما را بسیار و به ندرت ملاقات خواهد کرد. خیلی بیشتر شما چیزی شبیه به این وجود خواهید داشت:

\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11؛ \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & 100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ پایان (align) \\]

خوب، چگونه این را حل کنیم؟ آیا ممکن است حل شود؟ و اگر چنین است، چطور؟

بدون وحشت همه این معادلات به سرعت و به سادگی به پایین می آیند فرمول های سادهکه ما قبلا در نظر گرفته ایم. فقط باید بدانید چند تکنیک از جبر را به یاد داشته باشید. و البته، در اینجا بدون قوانین برای کار با درجه هیچ جایی نیست. درباره این من اکنون به شما خواهم گفت. :)

تبدیل معادلات نشانگر

اولین چیزی که باید به یاد داشته باشید این است: هر معادله نشانگر، مهم نیست چقدر دشوار است، به هر حال، باید به ساده ترین معادلات کاهش یابد - به این ترتیب ما قبلا در نظر گرفته ایم و ما می دانیم که چگونه باید حل کنیم. به عبارت دیگر، طرح حل معادلات نشانگر به شرح زیر است:

1. معادله منبع را ثبت کنید. به عنوان مثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $؛
2. برخی از crap غیر قابل درک را ایجاد کنید. یا حتی چند اسب که به نام "معادله تبدیل" نامیده می شود؛
3. در خروجی برای به دست آوردن ساده ترین عبارات نوع $ ((4) ^ (x)) \u003d 4 دلار یا چیز دیگری در این روح. علاوه بر این، یک معادله اولیه می تواند چندین اصطلاح را در یک زمان ارائه دهد.

با اولین مورد، همه چیز روشن است - حتی گربه من قادر به ثبت معادله بر روی برگ است. با توجه به نقطه سوم، به نظر می رسد، به نظر می رسد، بیشتر یا کمتر به وضوح - ما قبلا چنین معادلات را از بین بردیم.

اما نحوه برخورد با دوم چیست؟ چه نوع تحول؟ چه باید بکنید؟ و چطور؟

خوب، بیایید درک کنیم. اول از همه، من زیر را ذکر خواهم کرد. تمام معادلات نشانگر به دو نوع تقسیم می شوند:

1. معادله از توابع نشانگر با همان پایه تشکیل شده است. به عنوان مثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $؛
2. فرمول دارای توابع تظاهرات با پایگاه های مختلف است. مثالها: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ و $ ((100) ^ (x - 1) ) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 $.

بیایید با معادلات نوع اول شروع کنیم - آنها ساده ترین را حل می کنند. و در راه حل آنها، ما به عنوان تخصیص عبارات پایدار به چنین پذیرایی کمک خواهیم کرد.

تخصیص یک عبارت پایدار

بیایید دوباره به این معادله نگاه کنیم:

\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]

ما چه می بینیم؟ چهارمین در درجه های مختلف ساخته شده است. اما تمام این درجه ها مقادیر ساده متغیر $ x $ با اعداد دیگر است. بنابراین، لازم است که قوانین را برای کار با درجه ها به یاد بیاوریم:

\\ [\\ begin (align) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y))؛ \\\\ & (a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac ((a) ^ (x))) ((() ^ (y))))) \\\\\\ پایان (align) \\]

به سادگی قرار دادن، اضافه کردن شاخص ها را می توان به کار درجه تبدیل کرد، و تفریق به راحتی به بخش تبدیل می شود. بیایید سعی کنیم این فرمول ها را به درجه ای از معادله ما اعمال کنیم:

\\ [\\ align) & ((4) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4)؛ \\\\ · ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ \\\\ end (align) \\]

من معادله اصلی را بازنویسی می کنم، با توجه به این واقعیت، و سپس تمام اجزای موجود در سمت چپ را جمع آوری می کنم:

\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -Eleven؛ \\\\ & (4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - (4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ پایان (align) \\]

در چهار جزء اول عنصر $ ((4) ^ (x)) $ - من آن را برای براکت به ارمغان می آورد:

\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (1+ \\ frac (1) (4) -4 \\ right) + 11 \u003d 0؛ \\\\ & (4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0؛ \\\\ & (4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \u003d - 11. \\\\\\ پایان (align) \\]

این بقایای هر دو بخش معادله برای کسری از $ - \\ frac (11) (4) $، I.E. اساسا به کسر Overtook - $ - \\ frac (4) (11) $ ضرب کنید. ما گرفتیم:

\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \\ cdot \\ left (- \\ frac (4) (11) \\ right ) \u003d - 11 \\ CDOT \\ سمت چپ (- \\ frac (4) (11) \\ right)؛ \\\\ & (4) ^ (x)) \u003d 4؛ \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1))؛ \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ پایان (align) \\]

این همه! ما معادله اولیه را به ساده ترین و پاسخ نهایی کاهش دادیم.

در همان زمان، در فرآیند راه حل ها، ما یافتیم (و حتی برای براکت انجام شد) کل مبلغ $ ((4) ^ (x)) $ یک عبارت پایدار است. این را می توان با یک متغیر جدید نشان داد، و شما به راحتی می توانید به آرامی بیان کنید و پاسخ دهید. در هر صورت، اصل کلیدی حل زیر:

یک عبارت پایدار را در معادله منبع حاوی یک متغیر پیدا کنید که به راحتی از تمام توابع نشانگر برجسته شده است.

خبر خوب این است که تقریبا هر معادله نشانگر امکان تخصیص چنین بیان پایدار را فراهم می کند.

اما اخبار بد وجود دارد: چنین عباراتی ممکن است بسیار حیله گر باشد، و آنها را بسیار دشوار است. بنابراین، ما یک کار دیگر را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

\\ [(5) ^ (x + 2)) + ((0.2) ^ (- x - 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]

شاید کسی در حال حاضر یک سوال داشته باشد: "پاشا، چه اتفاقی افتاد؟ در اینجا پایگاه های مختلف - 5 و 0.2 ". اما سعی کنید سعی کنید مدرک را با پایه ای از 0.2 تبدیل کنید. به عنوان مثال، خلاص شدن از کسرهای دهدهی، آوردن آن به حالت عادی:

\\ [((0.2) ^ (- x - 1)) \u003d ((0.2) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ \\ right)) \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac (2) (10) \\ right )) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ right)) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ right))) \\]

همانطور که می بینید، شماره 5 پس از همه ظاهر شد، اجازه دهید آن را هر دو در نامزدی. در عین حال نشانگر را به صورت منفی بازنویسی کنید. و حالا شما یکی از آنها را به یاد می آورید مهمترین قوانین کار با درجه:

\\ [(a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) ((a) ^ (n))) \\ rightarrow (\\ left (\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ ( - \\ left (x + 1 \\ \\ right)) \u003d ((\\ left (\\ frac (5) (1) \\ right)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ عقیده

در اینجا من، البته، کمی عجله. از آنجا که برای درک کامل از فرمول رستگاری از شاخص های منفی، لازم بود که اینگونه ثبت شود:

\\ [(a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) ((a) ^ (n))) \u003d (\\ left (\\ frac (1) (a) \\ right)) ^ (n ) \\ rightarrow (\\ leftarrow (\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right)) \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac (5) (1) \\ راست)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]

از سوی دیگر، هیچ چیز مانع ما نشد که با یک شات کار کنیم:

\\ [(\\ left (\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ \\ right)) \u003d ((\\ (((5) ^ (- 1)) \\ راست)) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ right)) \u003d ((5) ^ (\\ left (-1 \\ right) \\ cdot \\ left (- \\ left (x + 1 \\ right) \\ right) ) \u003d (((5) ^ (x + 1)) \\]

اما در این مورد، شما باید بتوانید درجه ای را به درجه دیگری بسازید (به شما یادآوری کنید: شاخص ها بسته بندی شده اند). اما من مجبور نیستم "فرایند" را عوض کنم - شاید برای کسی ساده تر شود. :)

در هر صورت، معادله اولیه اولیه بازنویسی خواهد شد:

\\ [\\ align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2؛ \\\\ & (5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2؛ \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2؛ \\\\ & (5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2؛ \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2؛ \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ پایان (align) \\]

بنابراین معلوم می شود که معادله اولیه حتی ساده تر از قبلا در نظر گرفته شده است: نیازی به تخصیص یک بیان ثابت وجود ندارد - همه چیز خود را کاهش داده است. این تنها به یاد می آورد که $ 1 \u003d (((5) ^ (0)) $، از جایی که ما دریافت می کنیم:

\\ [\\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0))؛ \\\\ & x + 2 \u003d 0؛ \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ پایان (align) \\]

این همه تصمیم است! ما پاسخ نهایی را دریافت کردیم: $ x \u003d -2 $. در همان زمان من می خواهم به یاد داشته باشید یکی از پذیرش، که به طور قابل توجهی ما را به طور کامل تمام محاسبات را ساده کرده است:

در معادلات نشانگر، مطمئن شوید خلاص شدن از شر بخش های دهدهی، آنها را به عادی ترجمه کنید. این به شما این امکان را می دهد که همان پایه های درجه را ببینید و تصمیم را به طور قابل توجهی ساده تر کنید.

در حال حرکت به بیشتر معادلات پیچیدهدر آن پایه های مختلفی وجود دارد که با کمک درجه به یکدیگر کاهش نمی یابد.

از خواص درجه استفاده کنید

اجازه بدهید به شما یادآوری کنم که ما دو معادله بسیار سخت تر داریم:

\\ [\\ align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & 100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ پایان (align) \\]

مشکل اصلی اینجا روشن نیست چه چیزی را به چه مبنایی برساند. عبارات پایدار کجا هستند؟ همان پایه ها کجا هستند؟ نیازی به این نیست.

اما سعی کنید به راه دیگری بروید. اگر ارزش های آماده ای وجود نداشته باشد، می توانید سعی کنید پیدا کنید، دلایل چندگانه را تعیین کنید.

بیایید با معادله اول شروع کنیم:

\\ [\\ align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & 21 \u003d 7 \\ CDOT 3 \\ rightarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ left (7 / cdot 3 \\ right)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ CDOT ((3) ^ (3x)). \\\\\\ پایان (align) \\]

اما پس از همه، شما می توانید بر خلاف آن را ادامه دهید - از شماره های 7 و 3 شماره 21 تشکیل شده است. به خصوص در سمت چپ آسان است، زیرا شاخص ها و هر دو درجه یکسان هستند:

\\ [\\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d (\\ left (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ (x + 6) \u003d ((21) ^ (x + 6))؛ \\\\ & (21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & x + 6 \u003d 3x؛ \\\\ & 2x \u003d 6؛ \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ پایان (align) \\]

این همه! شما یک شاخص از درجه خارج از کار را ساخته اید و بلافاصله یک معادله زیبا دریافت کردید که در چند خط حل می شود.

حالا ما با معادله دوم مقابله خواهیم کرد. همه چیز در اینجا بسیار دشوار است:

\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 \\]

\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((\\ left (\\ left (\\ frac (27) (10) \\ right)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]

در این مورد، کسرها مرتکب شدند، اما اگر چیزی می توانست کاهش یابد - مطمئن شوید که کاهش یابد. اغلب، در عین حال، زمینه های جالب به نظر می رسد که شما قبلا می توانید کار کنید.

همچنین، متاسفانه، هیچ چیز واقعا ظاهر نشد. اما ما می بینیم که شاخص های درجه ایستاده در کار در سمت چپ مخالف هستند:

اجازه دهید به شما یادآوری کنم: برای از بین بردن علامت "منهای" در این شاخص، به اندازه کافی برای "به نوبه خود" کسری است. خوب، معادله اصلی را بازنویسی کنید:

\\ [\\ align) & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot (\\ left (\\ left (\\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9 ) (100)؛ \\\\ \\ \\ left (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100)؛ \\\\ & (\\ left (\\ frac (1000) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ پایان (align) \\]

در خط دوم، ما به سادگی یک شخصیت عمومی را از کار برای یک براکت با توجه به قانون $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) انجام دادیم \u003d ((\\ left \\ cdot b \\ right)) ^ (x)) $، و در دومی فقط تعداد 100 را با کسری ضرب کنید.

در حال حاضر ما یادآوری می کنیم که اعداد ایستاده در سمت چپ (در پایه) و در سمت راست، یکسان هستند. نسبت به. تا؟ بله، بدیهی است: آنها درجه ای از همان شماره هستند! ما داریم:

\\ [align) \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac ((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac) ) (3) \\ right)) ^ (3))؛ \\\\ \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ left (\\ frac (3) (10) \\ راست)) ^ (2)). \\\\\\ پایان (align) \\]

بنابراین، معادله ما به شرح زیر بازنویسی خواهد شد:

\\ [((\\ left (\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d (\\ left (\\ left (\\ left (10) \\ right)) ^ (2)) \\]

\\ [((\\ left (((\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d (\\ left (\\ left ) (3) \\ right)) ^ (3 \\ left (x - 1 \\ right)) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \\]

در همان زمان، شما همچنین می توانید مدرک را با همان مبنای دریافت کنید، که به اندازه کافی برای "تبدیل شدن به" کسری است:

\\ [(\\ left (\\ left (\\ frac (3) (10) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2)) \\]

سرانجام، معادله ما فرم را می گیرد:

\\ [\\ align) & (\\ left (\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2))؛ \\\\ & 3x-3 \u003d -2؛ \\\\ & 3x \u003d 1؛ \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ پایان (align) \\]

این کل تصمیم است. ایده اصلی او به این واقعیت کاهش می یابد که حتی در دلایل مختلف، ما هر گونه حقایق و ناسازگاری را برای کاهش این زمینه ها تلاش می کنیم. این امر توسط تحولات ابتدایی معادلات و قوانین برای کار با درجه کمک می شود.

اما قوانین و زمان استفاده چیست؟ چگونه می توان درک کرد که در یک معادله شما نیاز به به اشتراک گذاشتن هر دو طرف برای چیزی، و در دیگری - بر اساس عملکرد نشانگر در ضرب کننده ها؟

پاسخ به این سوال با تجربه خواهد آمد. دست خود را در ابتدا بر روی معادلات عادی امتحان کنید، و سپس به تدریج وظایف را پیچیده تر کنید - و به زودی مهارت های خود را به اندازه کافی برای حل هر معادله نشانگر از همان استفاده یا هر کار مستقل / تست کافی خواهد بود.

و برای کمک به شما در این موضوع سخت، پیشنهاد می کنم مجموعه ای از معادلات را برای سایت من دانلود کنید. خود تصمیم گیری. به تمام معادلات پاسخ وجود دارد، بنابراین شما همیشه می توانید خود را بررسی کنید.

به طور کلی، من به شما آرزوی خوبی دارم. و شما شما را در درس بعدی خواهید دید - در اینجا، ما معادلات واقعا پیچیده ای را از بین می بریم، جایی که روشهایی که در بالا توضیح داده می شوند کافی نیست. و آموزش ساده نیز کافی نیست. :)