Zasada różniczkowania funkcji zespolonej przykłady. Pochodna funkcji

Absolutnie niemożliwe jest rozwiązywanie problemów fizycznych lub przykładów w matematyce bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jedną z najważniejsze pojęcia Analiza matematyczna. Temu podstawowemu tematowi postanowiliśmy poświęcić dzisiejszy artykuł. Co to jest pochodna, co jest jej fizyczne i zmysł geometryczny jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?

Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej

Niech będzie funkcja f(x) , podane w pewnym przedziale (a, b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Kiedy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica jego wartości x-x0 . Ta różnica jest zapisana jako delta x i jest nazywany przyrostem argumentu. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.

Inaczej można to zapisać tak:

Jaki jest sens znajdowania takiej granicy? Ale który:

pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta między osią OX a styczną do wykresu funkcji w danym punkcie.

znaczenie fizyczne pochodna: pochodna czasu ścieżki jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.

Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to prywatna ścieżka. x=f(t) i czas T . Średnia prędkość przez pewien okres czasu:

Aby dowiedzieć się, z jaką prędkością porusza się w danym momencie t0 musisz obliczyć granicę:

Zasada pierwsza: usuń stałą

Stałą można wyciągnąć ze znaku pochodnej. Co więcej, trzeba to zrobić. Rozwiązując przykłady z matematyki, weź z reguły - jeśli możesz uprościć wyrażenie, upraszczaj .

Przykład. Obliczmy pochodną:

Zasada druga: pochodna sumy funkcji

Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale rozważymy praktyczny przykład.

Znajdź pochodną funkcji:

Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji

Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych oblicza się według wzoru:

Przykład: znajdź pochodną funkcji:

Rozwiązanie:

Tutaj ważne jest, aby powiedzieć o obliczaniu pochodnych funkcji zespolonych. Pochodna złożona funkcja jest równe iloczynowi pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego przez pochodną argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

W powyższym przykładzie napotykamy wyrażenie:

W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw rozważamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

Zasada czwarta: Pochodna ilorazu dwóch funkcji

Wzór na wyznaczenie pochodnej ilorazu dwóch funkcji:

Próbowaliśmy rozmawiać o instrumentach pochodnych dla manekinów od podstaw. Ten temat nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: w przykładach często występują pułapki, więc bądź ostrożny przy obliczaniu pochodnych.

W przypadku jakichkolwiek pytań dotyczących tego i innych tematów możesz skontaktować się z obsługą studentów. W krótkim czasie pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejsze sterowanie i poradzić sobie z zadaniami, nawet jeśli nigdy wcześniej nie miałeś do czynienia z obliczaniem pochodnych.

W „starych” podręcznikach nazywa się to również regułą „łańcucha”. Więc jeśli y \u003d f (u) i u \u003d φ (x), to jest

y \u003d fa (φ (x))

złożona - funkcja złożona (skład funkcji) wtedy

Gdzie , po uwzględnieniu obliczeń w godz u = φ (x).

Zauważmy, że tutaj wzięliśmy „różne” kompozycje z tych samych funkcji, a wynik różniczkowania naturalnie okazał się zależny od kolejności „mieszania”.

Reguła łańcuchowa naturalnie rozciąga się na skład trzech lub więcej funkcji. W tym przypadku będą trzy lub więcej „ogniw” w „łańcuchu”, który tworzy odpowiednio pochodną. Oto analogia z mnożeniem: „mamy” - tabelę pochodnych; „tam” - tabliczka mnożenia; „z nami” to reguła łańcuchowa, a „tam” to reguła mnożenia z „kolumną”. Przy obliczaniu takich „złożonych” pochodnych oczywiście nie wprowadza się żadnych argumentów pomocniczych (u¸v itp.), Ale po samodzielnym odnotowaniu liczby i kolejności funkcji uczestniczących w składzie „naciągają” odpowiednie ogniwa w wskazany porządek.

. Tutaj wykonuje się pięć operacji z „x” w celu uzyskania wartości „y”, czyli następuje złożenie pięciu funkcji: „zewnętrzna” (ostatnia z nich) - wykładnicza - e ; dalej w Odwrotna kolejność moc. (♦) 2 ; grzech trygonometryczny(); moc. () 3 i wreszcie ln logarytmiczna (). Dlatego

Poniższe przykłady „zabiją parę ptaków na jednym ogniu”: poćwiczymy różniczkowanie funkcji zespolonych i uzupełnimy tablicę pochodnych funkcje elementarne. Więc:

4. Dla funkcji potęgowej - y \u003d x α - przepisując ją przy użyciu dobrze znanej „podstawowej tożsamości logarytmicznej” - b \u003d e ln b - w postaci x α \u003d x α ln x otrzymujemy

5. Za darmo funkcja wykładnicza używając tej samej metody, będziemy mieli

6. Dla dowolnego funkcja logarytmiczna stosując dobrze znaną formułę przejścia do nowej bazy, sukcesywnie otrzymujemy

7. Aby zróżnicować styczną (cotangens), stosujemy regułę różniczkowania ilorazu:

Aby otrzymać pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych, używamy zależności, którą spełniają pochodne dwóch wzajemnie odwrotnych funkcji, czyli funkcji φ (x) i f (x) połączonych zależnościami:

Oto stosunek

Wynika to z tego wzoru na funkcje wzajemnie odwrotne

I
,

Na koniec podsumowujemy te i kilka innych, równie łatwych do uzyskania pochodnych, w poniższej tabeli.

Funkcje typ złożony nie zawsze pasują do definicji funkcji zespolonej. Jeśli istnieje funkcja postaci y \u003d grzech x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, to nie można jej uznać za złożoną, w przeciwieństwie do y \u003d grzech 2 x.

W tym artykule zostanie przedstawione pojęcie funkcji zespolonej oraz jej identyfikacja. Popracujmy ze wzorami na znalezienie pochodnej z przykładami rozwiązań we wnioskach. Wykorzystanie tablicy pochodnych i reguł różniczkowania znacznie skraca czas poszukiwania pochodnej.

Podstawowe definicje

Definicja 1

Funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest również funkcja.

Oznacza się to w ten sposób: f (g (x)) . Mamy, że funkcja g (x) jest uważana za argument f (g (x)) .

Definicja 2

Jeśli istnieje funkcja f i jest funkcją cotangens, to g (x) = ln x jest funkcją naturalny logarytm. Otrzymujemy, że funkcja zespolona f (g (x)) zostanie zapisana jako arctg (lnx). Lub funkcja f, która jest funkcją podniesioną do czwartej potęgi, gdzie g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 jest uważane za liczbę całkowitą funkcja wymierna, otrzymujemy, że f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Oczywiście g(x) może być trudne. Z przykładu y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 widać, że wartość g ma pierwiastek sześcienny z ułamkiem. Wyrażenie to można zapisać jako y = f (f 1 (f 2 (x))) . Stąd mamy, że f jest funkcją sinusoidalną, a f 1 jest funkcją znajdującą się pod pierwiastek kwadratowy, fa 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - ułamkowa funkcja wymierna.

Definicja 3

Stopień zagnieżdżenia jest określony przez any Liczba naturalna i jest zapisywany jako y = fa (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definicja 4

Pojęcie składu funkcji odnosi się do liczby zagnieżdżonych funkcji zgodnie ze sformułowaniem problemu. Dla rozwiązania wzór na znalezienie pochodnej funkcji zespolonej formy

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Przykłady

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji zespolonej postaci y = (2 x + 1) 2 .

Rozwiązanie

Z założenia jest jasne, że f jest funkcją kwadratową, a g(x) = 2 x + 1 jest funkcją liniową.

Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej i piszemy:

fa "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 sol (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Konieczne jest znalezienie pochodnej o uproszczonej postaci początkowej funkcji. Otrzymujemy:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Stąd mamy to

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Wyniki się zgadzały.

Podczas rozwiązywania tego rodzaju problemów ważne jest, aby zrozumieć, gdzie będzie zlokalizowana funkcja postaci f i g (x).

Przykład 2

Powinieneś znaleźć pochodne funkcji zespolonych postaci y \u003d sin 2 x i y \u003d sin x 2.

Rozwiązanie

Pierwszy wpis funkcji mówi, że f jest funkcją kwadratową, a g(x) jest funkcją sinusoidalną. Wtedy to rozumiemy

y "= (grzech 2 x)" = 2 grzech 2 - 1 x (grzech x)" = 2 grzech x cos x

Drugi wpis pokazuje, że f jest funkcją sinusoidalną, a g (x) = x 2 oznacza funkcję potęgową. Wynika z tego, że iloczyn złożonej funkcji można zapisać jako

y " \u003d (grzech x 2) " \u003d sałata (x 2) (x 2) " \u003d sałata (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x sałata (x 2)

Wzór na pochodną y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) zostanie zapisany jako y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) (. . ( f n (x)))))) fa 1 "(f 2 (f 3 (. . . f n (x))))) fa 2" (f 3 (. . . (f n (x) )) )) . . . f n "(x)

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Rozwiązanie

Ten przykład pokazuje złożoność pisania i określania lokalizacji funkcji. Wtedy y \u003d fa (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) oznaczają, gdzie fa , fa 1 , fa 2 , fa 3 , fa 4 (x) jest funkcją sinusoidalną, funkcją podniesienia do 3 stopni, funkcja o logarytmie i podstawie e, funkcja łuku tangensa i funkcja liniowa.

Ze wzoru na definicję funkcji zespolonej mamy to

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) fa 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) fa 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Zdobywanie tego, co można znaleźć

f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) jako pochodna sinusa w tablicy pochodnych, wtedy f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = sałata (ln 3 za r do t sol (2 x)) .
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) jako pochodna funkcji potęgowej, wtedy f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 za r do t sol (2 x) = 3 ln 2 za r do t sol (2 x) .
fa 2 "(f 3 (f 4 (x))) jako pochodna logarytmiczna, wtedy fa 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t sol (2 x) .
f 3 "(f 4 (x)) jako pochodna arc tangensa, wtedy f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Znajdując pochodną f 4 (x) \u003d 2 x, usuń 2 ze znaku pochodnej, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej z wykładnikiem równym 1, a następnie f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Łączymy wyniki pośrednie i otrzymujemy to

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) fa 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) fa 2" (f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 sałata (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takich funkcji przypomina gniazdowanie lalek. Reguły różniczkowania nie zawsze mogą być stosowane jawnie przy użyciu tabeli pochodnych. Często trzeba zastosować wzór do znajdowania pochodnych funkcji złożonych.

Istnieją pewne różnice między złożonym widokiem a złożoną funkcją. Dzięki wyraźnej zdolności do rozróżnienia tego, znalezienie pochodnych będzie szczególnie łatwe.

Przykład 4

Trzeba się zastanowić nad wniesieniem takiego przykładu. Jeśli istnieje funkcja postaci y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , to można ją uważać za funkcję zespoloną postaci g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Oczywiście konieczne jest zastosowanie wzoru na zespoloną pochodną:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; sol " (x) = (t sol x) " = 1 sałata 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = fa " (g (x)) g " (x) = (2 t sol x + 3 ) 1 sałata 2 x = 2 t sol x + 3 sałata 2 x

Funkcja postaci y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nie jest uważana za złożoną, ponieważ ma sumę t g x 2 , 3 t g x i 1 . Jednak t g x 2 jest uważane za funkcję zespoloną, wtedy otrzymujemy funkcję potęgową postaci g (x) \u003d x 2 i f, która jest funkcją stycznej. Aby to zrobić, musisz rozróżnić według kwoty. Rozumiemy to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2x

Przejdźmy do znajdowania pochodnej funkcji zespolonej (t g x 2)”:

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 sałata 2 g (x) = 1 sałata 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Otrzymujemy, że y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 sałata 2 x = 2 x sałata 2 (x 2) + 3 sałata 2 x

Funkcje złożone mogą być zawarte w funkcjach złożonych, a same funkcje złożone mogą być funkcjami złożonymi postaci zespolonej.

Przykład 5

Rozważmy na przykład funkcję zespoloną postaci y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Funkcję tę można przedstawić jako y = f (g (x)) , gdzie wartość f jest funkcją logarytmu o podstawie 3, a g (x) jest traktowana jako suma dwóch funkcji postaci h (x) = x 2 + 3 sałata 3 (2 x + 1) + 7 mi x 2 + 3 3 i k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Oczywiście y = f (h (x) + k (x)) .

Rozważmy funkcję h(x) . Jest to stosunek l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 do m (x) = e x 2 + 3 3

Mamy to, że l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) jest sumą dwóch funkcji n (x) = x 2 + 7 i p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , gdzie p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) jest funkcją zespoloną o współczynniku liczbowym 3, a p 1 to funkcja sześcienna, p 2 funkcja cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 - funkcja liniowa.

Stwierdziliśmy, że m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) jest sumą dwóch funkcji q (x) = e x 2 i r (x) = 3 3 , gdzie q (x) = q 1 (q 2 (x)) - funkcja złożona, q 1 - funkcja z wykładnikiem, q 2 (x) \u003d x 2 - funkcja zasilania.

To pokazuje, że h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Przechodząc do wyrażenia w postaci k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), jasne jest, że funkcja jest reprezentowana jako zespół s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) z liczbą całkowitą wymierną t (x) = x 2 + 1, gdzie s 1 jest funkcją kwadratową, a s 2 (x) = ln x jest logarytmiczna z podstawą mi.

Wynika z tego, że wyrażenie przyjmie postać k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Wtedy to rozumiemy

y = log 3 x 2 + 3 sałata 3 (2 x + 1) + 7 mi x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Zgodnie ze strukturami funkcji stało się jasne, w jaki sposób i jakie formuły należy zastosować, aby uprościć wyrażenie, gdy jest ono różnicowane. Aby zapoznać się z takimi problemami i zrozumieć ich rozwiązanie, należy odnieść się do kwestii różniczkowania funkcji, czyli znajdowania jej pochodnej.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Podano dowód wzoru na pochodną funkcji zespolonej. Szczegółowo omówiono przypadki, w których funkcja zespolona zależy od jednej lub dwóch zmiennych. Dokonuje się uogólnienia sprawy dowolna liczba zmienne.

Treść

Zobacz też: Przykłady zastosowania wzoru na pochodną funkcji zespolonej

Podstawowe formuły

Poniżej przedstawiamy wyprowadzenie następujących wzorów na pochodną funkcji zespolonej.
Jeśli następnie
.
Jeśli następnie
.
Jeśli następnie
.

Pochodna funkcji zespolonej jednej zmiennej

Niech funkcję zmiennej x przedstawimy jako funkcję zespoloną w postaci:
,
gdzie i są pewne funkcje. Funkcja jest różniczkowalna dla pewnej wartości zmiennej x . Funkcja jest różniczkowalna dla wartości zmiennej.
Wówczas funkcja zespolona (złożona) jest różniczkowalna w punkcie x, a jej pochodną określa wzór:
(1) .

Formułę (1) można również zapisać w następujący sposób:
;
.

Dowód

Wprowadźmy następującą notację.
;
.
Tutaj jest funkcja zmiennych i , jest funkcja zmiennych i . Pominiemy jednak argumenty tych funkcji, aby nie zaśmiecać obliczeń.

Ponieważ funkcje i są różniczkowalne odpowiednio w punktach x i , to w tych punktach istnieją pochodne tych funkcji, które są następującymi granicami:
;
.

Rozważ następującą funkcję:
.
Dla stałej wartości zmiennej u , jest funkcją . To oczywiste
.
Następnie
.

Ponieważ funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to jest w tym punkcie ciągła. Dlatego
.
Następnie
.

Teraz znajdujemy pochodną.

.

Formuła została sprawdzona.

Konsekwencja

Jeśli funkcję zmiennej x można przedstawić jako funkcję zespoloną funkcji zespolonej
,
następnie jego pochodną określa wzór
.
Tutaj i istnieje kilka funkcji różniczkowalnych.

Aby udowodnić ten wzór, kolejno obliczamy pochodną zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej.
Rozważ złożoną funkcję
.
Jego pochodna
.
Rozważ pierwotną funkcję
.
Jego pochodna
.

Pochodna funkcji zespolonej na dwie zmienne

Teraz niech złożona funkcja zależy od kilku zmiennych. Najpierw rozważ przypadku złożonej funkcji dwóch zmiennych.

Niech funkcję zależną od zmiennej x przedstawimy jako funkcję zespoloną dwóch zmiennych w postaci:
,
Gdzie
i istnieją funkcje różniczkowalne dla pewnej wartości zmiennej x;
jest funkcją dwóch zmiennych, różniczkowalną w punkcie , . Wtedy funkcja zespolona jest zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu i ma pochodną, którą określa wzór:
(2) .

Dowód

Ponieważ funkcje i są różniczkowalne w punkcie , są zdefiniowane w pewnym sąsiedztwie tego punktu, są ciągłe w punkcie, a ich pochodne w punkcie istnieją, które są następującymi granicami:
;
.
Tutaj
;
.
Ze względu na ciągłość tych funkcji w punkcie mamy:
;
.

Ponieważ funkcja jest różniczkowalna w punkcie , jest zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie tego punktu, jest w tym punkcie ciągła, a jej przyrost można zapisać w postaci:
(3) .
Tutaj

- przyrost funkcji, gdy jej argumenty są zwiększane o wartości i ;
;

- pochodne cząstkowe funkcji po zmiennych i .
Dla stałych wartości i , i istnieją funkcje zmiennych i . Mają tendencję do zera przy i:
;
.
Od i , więc
;
.

Przyrost funkcji:

. :
.
Zastępca (3):

.

Formuła została sprawdzona.

Pochodna złożonej funkcji kilku zmiennych

Powyższe wyprowadzenie można łatwo uogólnić na przypadek, gdy liczba zmiennych funkcji zespolonej jest większa niż dwa.

Na przykład, jeśli f jest funkcja trzech zmiennych, To
,
Gdzie
, a dla pewnej wartości zmiennej x istnieją funkcje różniczkowalne;
jest funkcją różniczkowalną, w trzech zmiennych, w punkcie , , .
Wtedy z definicji różniczkowalności funkcji mamy:
(4)
.
Ponieważ ze względu na ciągłość
; ; ,
To
;
;
.

Dzieląc (4) przez i przechodząc do granicy , otrzymujemy:
.

I na koniec rozważ najbardziej ogólny przypadek.
Niech funkcję zmiennej x przedstawimy jako funkcję zespoloną n zmiennych w postaci:
,
Gdzie
istnieją funkcje różniczkowalne dla pewnej wartości zmiennej x ;
- funkcja różniczkowalna n zmiennych w punkcie
, , ... , .
Następnie
.

Zobacz też:

Na którym analizowaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznawaliśmy się z zasadami różniczkowania i niektórymi technikami znajdowania pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry w obliczaniu pochodnych funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę nastroić się na poważny nastrój - materiał nie jest łatwy, ale mimo to postaram się przedstawić go w prosty i przejrzysty sposób.

W praktyce z pochodną funkcji zespolonej masz do czynienia bardzo często, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostajesz zadanie znalezienia pochodnej.

Patrzymy w tabeli na regułę (nr 5) różniczkowania funkcji zespolonej:

Rozumiemy. Przede wszystkim spójrzmy na notację. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc obrazowo, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego rodzaju (gdy jedna funkcja jest zagnieżdżona w innej) nazywana jest funkcją złożoną.

Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona)..

! Definicje te nie są teoretyczne i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. Używam nieformalnych wyrażeń „funkcja zewnętrzna”, „funkcja wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Ci zrozumienie materiału.

Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji

Pod sinusem mamy nie tylko literę „x”, ale całe wyrażenie, więc znalezienie pochodnej od razu z tabeli nie zadziała. Zauważamy również, że nie da się tutaj zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że nie da się „rozerwać” sinusa:

W ten przykład już z moich wyjaśnień intuicyjnie wynika, że funkcja jest funkcją zespoloną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (osadzenie) i funkcją zewnętrzną.

Pierwszy krok, które należy wykonać, aby znaleźć pochodną funkcji zespolonej zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.

Gdy proste przykłady wydaje się jasne, że wielomian jest zagnieżdżony pod sinusem. Ale co, jeśli nie jest to oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, proponuję zastosować następującą technikę, którą można wykonać mentalnie lub na szkicu.

Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia za pomocą kalkulatora (zamiast jednego może być dowolna liczba).

Co obliczamy najpierw? Przede wszystkim będziesz musiał wykonać następujące działanie: , więc wielomian będzie funkcją wewnętrzną:

Po drugie będziesz musiał znaleźć, więc sinus - będzie funkcją zewnętrzną:

Po tym, jak my ZROZUMIEĆ z funkcjami wewnętrznymi i zewnętrznymi nadszedł czas, aby zastosować regułę różniczkowania funkcji złożonej .

Zaczynamy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się tak - umieszczamy wyrażenie w nawiasach i kładziemy kreskę w prawym górnym rogu:

Najpierw znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), patrzymy na tablicę pochodnych funkcji elementarnych i zauważamy, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają zastosowanie, nawet jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:

Zauważ, że funkcja wewnętrzna się nie zmienił, nie dotykamy go.

Cóż, to dość oczywiste

Wynik zastosowania formuły czysty wygląda tak:

Stały czynnik jest zwykle umieszczany na początku wyrażenia:

W przypadku nieporozumień zapisz decyzję na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Jak zwykle piszemy:

Dowiadujemy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (w myślach lub na szkicu) obliczyć wartość wyrażenia dla . Co należy zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, ile wynosi podstawa:, co oznacza, że wielomian jest funkcją wewnętrzną:

I dopiero wtedy przeprowadzane jest potęgowanie, dlatego funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną:

Zgodnie z formułą , najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Szukasz w tabeli pożądana formuła: . Powtarzamy ponownie: każda formuła tabelaryczna jest ważna nie tylko dla „x”, ale także dla wyrażenia złożonego. Zatem wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej Następny:

Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, funkcja wewnętrzna się nie zmieni:

Teraz pozostaje znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i trochę „przeczesać” wynik:

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład dla samodzielna decyzja(odpowiedź na końcu lekcji).

Aby utrwalić zrozumienie pochodnej funkcji zespolonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuj samodzielnie to rozgryźć, dlaczego, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?

Przykład 5

a) Znajdź pochodną funkcji

b) Znajdź pochodną funkcji

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj mamy pierwiastek i aby rozróżnić pierwiastek, musi on być przedstawiony jako stopień. W ten sposób najpierw doprowadzamy funkcję do postaci właściwej dla różniczkowania:

Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a potęgowanie jest funkcją zewnętrzną. Stosujemy regułę różniczkowania funkcji zespolonej :

Stopień jest ponownie reprezentowany jako pierwiastek (pierwiastek), a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą regułę różniczkowania sumy:

Gotowy. Możesz także umieścić wyrażenie w nawiasach do wspólny mianownik i zapisz to wszystko jako ułamek. Oczywiście jest to piękne, ale gdy uzyskuje się kłopotliwe długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a nauczyciel będzie niewygodny do sprawdzenia).

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji zespolonej można użyć reguły różniczkowania ilorazu , ale takie rozwiązanie będzie wyglądać jak niezwykła perwersja. Oto typowy przykład:

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz skorzystać z reguły różniczkowania ilorazu , ale znacznie bardziej opłaca się znaleźć pochodną za pomocą reguły różniczkowania funkcji zespolonej:

Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - usuwamy znak minus z pochodnej i podnosimy cosinus do licznika:

Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej reguły :

Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej, resetujemy cosinus z powrotem:

Gotowy. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Nawiasem mówiąc, spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły , odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji złożonej. W praktycznych zadaniach często można spotkać pochodne, w których, podobnie jak zagnieżdżanie lalek, jedna w drugiej, zagnieżdżonych jest jednocześnie 3, a nawet 4-5 funkcji.

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Rozumiemy załączniki tej funkcji. Próbujemy oszacować wyrażenie za pomocą wartości eksperymentalnej. Jak byśmy liczyli na kalkulatorze?

Najpierw musisz znaleźć, co oznacza, że arcus sinus jest najgłębszym zagnieżdżeniem:

Ten arcus sinus jedności należy następnie podnieść do kwadratu:

I na koniec podnosimy siódemkę do potęgi:

Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa zagnieżdżenia, podczas gdy najbardziej wewnętrzną funkcją jest arcus sinus, a najbardziej zewnętrzną funkcją jest funkcja wykładnicza.

Zaczynamy decydować

Zgodnie z regułą najpierw musisz wziąć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tablicę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyna różnica polega na tym, że zamiast „x” mamy złożone wyrażenie, które nie neguje ważności tego wzoru. A więc wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej Następny.