Eşitliğin bir kimlik olmadığı nasıl kanıtlanır? Kimlik

Öğretmen: Afonasova Irina Olegovna

konu: cebir

Sınıf: 7. Sınıf

Ders türü: yeni materyal öğrenmek

Tema: Kimlik Kanıtı

Dersin Hedefleri:

1. Özdeşlik tanımları ve özdeş olarak eşit ifadeler, ifadelerin özdeşlik dönüşümü.
2. İfadelerin özdeş dönüşümü yöntemiyle kimlikleri kanıtlamak için bir yöntem seçme becerisinin oluşumu.
3. Konuyu açmak iletişim kültürüöğrenciler.

Dersler sırasında

1 ... Dersin organizasyon aşaması

Ders başlamadan önce sınıftaki öğrenciler altı gruba ayrılır. çalışma grupları karışık kompozisyon.

Öğretmen : Merhaba arkadaşlar, tavsiye ederim çalışma odası bir süreliğine dönüşmekAraştırma Laboratuvarı, ve sen ve ben bilim adamları-matematik bilimlerinin ustaları.

Ancak kendine saygısı olan her bilim insanı sürekli olarak çok önemli bir sorunu çözer, bu nedenle her şeyden önce şunu bulmalıyız: bugün hangi sorun üzerinde çalışacağız?

2. Dersin konusunun belirlenmesi

Bunu yapmak için ifadeleri göz önünde bulundurun 2x + y ve 2x. x = 1 ve y = 2'deki ifadelerin değerlerini bulalım.

Öğretmen b tahtaya gitmeyi teklif ederÖğrenci ve bu sorunu çözmenin yanı sırabir sonuç formüle etmek: x = 1 ve y = 2 için ifadeler eşit değerler (4).

Öğretmen: Ancak, bu ifadelerin değerlerinin eşit olmadığı x ve y değişkenlerinin bu tür değerlerini belirtebilirsiniz. Örneğin, x = 3, y = 4.

Öğrenci tahtada duran onu kontrol eder.

Öğretmen: Şimdi 3 (x + y) ve 3x + 3y ifadelerini düşünün. x = 5 ve y = 4'teki ifadelerin değerlerini bulun.

Öğrenci, tahtada durmak: bir sorunu çözer, bir sonuç formüle eder.

Öğretmen: Herhangi bir değer için olsun değişken değerler bu ifadeler eşit mi? Öyleyse neden?

Öğrenci Yanıtlar. (Cevap: Evet, çarpmanın dağıtım özelliğine göre).

Öğretmen sınıftan bu tür ifadelerin adını, eşitliklerinin adını hatırlamasını ister.

Bundan sonra Slayt 1.

öğretmenin takip ettiği sorar: "Bugünün dersinin konusu nedir?"

Öğretmen : Bugün Kimlik Kanıtı üzerinde çalışacağız.

Dersin konusu kaydedilir: "Kimlik kanıtı" ( Slayt2)

Öğretmen : Tamam, şimdi kendimizi kontrol edelim. Equals ekrana gelecek, bu eşitlik bir özdeşlik ise o zaman el kaldırmanızı öneririm. ( Slayt 3)

1. - (a - b) = - a + b (evet)
2. a (b + c) = ab - ac (hayır)
3. a - (b + c) = a - b + c(Numara)
4. (a + b) - c = a - c + b(Evet)
5. - (a + b) = - a - b (evet)

3. Dersin amacının belirlenmesi

Öğretmen : Pekala, şimdi teorisyenlerden pratik bilim adamlarına dönüşme zamanı, ama bunun için ne kullanacağımızı öğrenmemiz gerekiyor.kimliği kanıtlamakve burada onsuz yapamayız Bilimsel edebiyat, bu sorunun cevabını ders kitabınızın 18. sayfasında bulacağız. Öğrenciler cevabı ders kitabında bulur:"Bazı eşitliğin bir özdeşlik olduğunu kanıtlamak için, ifadelerin özdeş dönüşümlerini kullanın."... Diğer gruplardaki katılımcılar, yukarıda belirtilen özel sinyallerle hemfikir veya anlaşmazlık gösterirler. ( Slayt 4)

Öğretmen : Aferin, ama şimdi bir sonraki soru ortaya çıkıyor, neifadelerin kimlik dönüşümü?

"Bir ifadenin, kendisine eşit olarak başka bir ifadeyle değiştirilmesine, ifadenin özdeş dönüşümü denir"(öğretmen herhangi bir grubun üyelerinden birini bu soruyu cevaplamaya davet eder) ( Slayt 5)

Öğretmen : Peki dersin amacı nedir? Öğrenciler hedeflerden birini adlandırır: özdeş ifade dönüşümlerini kullanarak kimliklerin nasıl kanıtlanacağını öğrenmek.

4. İfadelerin özdeş dönüşüm yöntemiyle kimlikleri kanıtlama yöntemini ortaya çıkarmak

Öğretmen: Şimdi zaten "olgunlaştık" pratik iş ve dikkatinizi şuna çevirmenizi rica ediyorum kart ... Ödev: "Kimliği kanıtlayın", her bilim insanı grubuna kendi başlarına çözmeleri gereken bir örnek verildi, zorluklar ortaya çıkarsa danışman kartları kurtarmaya gelecek.

Görev Kartları

1. kart

2. kart

Kart 3

4. kart

Kart 5

Kart 6

Şimdi işimizi korumamız gerekiyor. (Tahtada yapılan çalışmanın sunumu, istekli grup üyeleri konuşuyor)

Öğretmen : Harika, şimdi sıra geldi sevgili meslektaşlarım, özetlemek gerekirse, eşitliğin bir kimlik olduğunu kanıtlamak için ne yapmalıyız? Tahmini öğrenci yanıtları: ( Slayt 6)

1. Yaz Sol Taraf eşitliğini sağlayın, dönüştürün ve doğru olana eşit olduğundan emin olun.
   veya
2. Eşitliğin sağ tarafını yazın, dönüştürün ve sola eşit olduğundan emin olun.
   veya
3. Eşitliğin hem sol hem de sağ tarafını dönüştürün ve aynı ifadeye eşit olduklarından emin olun.

Öğretmen : Az önce söylediğimiz her şeyin yerine getirilmemesi durumunda nasıl bir sonuç çıkarılabilir? Tahmini öğrenci yanıtı:Eşitlik bir kimlik olmayacak.

5. Dersi özetlemek.

Hedefimize ulaşabildik mi? ….

Öğretmen : Edinilen bilgilerin sağlam olması için bu çalışmayı evde sürdüreceğiz:Ödev(Slayt 7):

691 (a), 692 (a), 715 (a), yaratıcı görev (isteğe bağlı): * Bir özdeşlik olacak 3 eşitlik yapın (her bir ispat yöntemini gösterin).

Öğretmen : Ve şimdi yaratıcılık zamanı: Gördüğünüz şiirde eksik kelimeleri ekleyin ( Slayt 8):

Her türlü eşitlik vardır kardeşlerim,
Ve elbette herkes bunu biliyor.
Evet - değişkenlerle, evet - (sayısal),
Çok, çok karmaşık (basit),
Ama eşitlikler arasında özel bir sınıf var,
Şimdi onunla ilgili hikayemizi yöneteceğiz.
(Kimlik) buna eşitlik denir.
Ama yine de bunu kanıtlamamız gerekiyor.
Bunun için sadece almamız gerekiyor
Ve eşitlik (dönüştürme)
Zor değil tabiki öğreneceğiz
Hangi parçayı değiştirmemiz gerekecek,
Ya da belki ikimiz de değişmek zorundayız,
Eşitlikle, form zor değil (anlaşılması)
Yaşasın! Bilgimizi uygulamayı başardık,
Tamamlanmış eşitlik dönüşümü.
Ve cesurca cevabı zaten söylüyoruz:
Yani bu bir kimlik mi, değil mi!

Öğretmen: Ders için teşekkürler!

Ön izleme:

Görev Kartları

Slayt başlıkları:

Kimliğin tanımı: Kimlik, değişkenlerinin herhangi bir geçerli değeri için geçerli bir eşitliktir. Özdeş olarak eşit ifadelerin tanımı: Değişkenlerin herhangi bir değeri için karşılık gelen değerleri eşit olan iki ifadeye aynı şekilde eşit denir.

Kimlik Kanıtı

Kimlik örnekleri: - (a - b) = - a + b a (b + c) = ab - ac a - (b + c) = a - b + c (a + b) - c = a - c + b - (a + b) = - a - b

Kimliği kanıtlamak için ne kullanılmalıdır? Bazı eşitliklerin bir özdeşlik olduğunu kanıtlamak için veya başka türlü dedikleri gibi, özdeşliği kanıtlamak için özdeş ifade dönüşümlerini kullanın.

Bir ifadenin özdeş dönüşümü Bir ifadenin, ona eşit olarak başka bir ifadeyle değiştirilmesine, bir ifadenin özdeş dönüşümü denir.

Eşitliğin bir özdeşlik olduğunu kanıtlamak için yapmanız gerekenler: Eşitliğin sol tarafını yazın, dönüştürün ve sağ tarafa eşit olduğundan emin olun. veya Eşitliğin sağ tarafını yazın, dönüştürün ve sol tarafa eşit olduğundan emin olun. veya Eşitliğin her iki tarafını da sırayla dönüştürün ve aynı ifadeye eşit olduklarından emin olun.

Ödev: 691 (a), No. 692 (a), No 694, Bir özdeşlik olacak 3 eşitlik yapınız. *

Her türlü eşitlik var kardeşler ve elbette herkes biliyor. Var - değişkenlerle, var - ... Çok, çok karmaşık .... Ama eşitlikler arasında özel bir sınıf var, onunla ilgili hikayemizi şimdi anlatacağız. ... buna eşitlik denir, ama yine de kanıtlamamız gerekiyor. Bunu yapmak için, sadece almamız gerekiyor Ve eşitlik…. Hangi parçayı değiştirmek zorunda kalacağımızı ya da belki ikisini birden değiştirmek zorunda kalacağımızı bulmamız elbette kolay olacak, Türlerin eşitliği için zor değil... Yaşasın! Bilgilerimizi uygulamak mümkün oldu.Eşitlik dönüşümü tamamlandı. Ve cesurca cevabı zaten söylüyoruz: Yani bu kimlik mi, yoksa hala değil mi?

Öğrenme sürecinde öğrenciler, kimliklerini kanıtlama becerilerini aşağıdaki şekillerde geliştirmelidir.

A = B olduğunu kanıtlamanız gerekiyorsa, şunları yapabilirsiniz:

1.A - B = O olduğunu kanıtlayın,

2. A/B=1 olduğunu ispatlamak,

3. A'yı B'ye dönüştürün,

4. B'yi A tipine dönüştürün,

5.A ve B'yi aynı tip C'ye dönüştürün.

Aritmetik işlemlerin özellikleri, kimlik kanıtlarının inşa edildiği temel olarak kullanılır. İspatta bazen geometrik kavramlar ve yöntemler kullanılır. Geometrik kanıtlar sadece öğretici ve açıklayıcı olmakla kalmaz, aynı zamanda özneler arası bağlantıların güçlendirilmesine de katkıda bulunur.

Kimlik kanıtları, titizlik gereksinimlerini ne kadar iyi karşıladıklarına bağlı olarak üç türe ayrılabilir:

a) Onlara tam bir titizlik kazandırmak için matematiksel tümevarım yönteminin kullanılmasını gerektiren, eksik kesinlikli akıl yürütme. Bu ispatlar, polinomlarla eylem kuralını, doğal üslerle derecelerin özelliklerini türetmek için kullanılır. Örneğin,

a c a p = (a a a) (a a a) = a a a a a = a c + a

k kere p kere k + p kere

b) Sayı sisteminin diğer özelliklerini kullanmayan, aritmetik işlemlerin temel özelliklerine dayanan tamamen katı akıl yürütme. Bu tür ispatların ana uygulama alanı kısaltılmış çarpma özdeşlikleridir. Kısaltılmış çarpma formülleriyle ifade edilen ifadelerin çoğu geometrik olarak gösterilebilir.

Örnek kimlik için öğretmen aşağıdaki çizimi önerebilir:

c) (x) = a formundaki denklemlerin çözülebilirliği için koşulları kullanarak tamamen titiz akıl yürütme, burada temel fonksiyon incelenir. Bu tür kanıtlar, rasyonel bir üs ve logaritmik bir işleve sahip bir derecenin özelliklerinin türetilmesi için tipiktir. Örneğin, aritmetik kökün özelliğini kanıtlarken

(1)

aritmetik tanımının yeniden formüle edilmesine güveneceğiz. kare kök: negatif olmayan sayılar x ve y için eşitlik y =
ve

y 2 = x eşdeğerdir, bu nedenle (1) (
) 2 = (
) 2 (2). Nereden geliyor ve = (
) 2 (
) 2 = bir c.

Burada kullanılan ispat yöntemi oldukça nadiren kullanılır, yine de, ispatın ana fikrinin iki işlemi (veya işlevi) karşılaştırmak olduğu vurgulanmalıdır - uygulama bulacak olan doğrudan ve tersi zaten lisede

Algoritma ve tekniklerin oluşumu için teknolojik zincir

temel okulda ifadelerin özdeş dönüşümleri

ders ödevi

Okul ders kitaplarını analiz ettikten sonra, üzerinde gerçekleştirildiği seti gösteren bir özdeş eşitlik tablosu hazırlayın.

Örnek
, М 1 - f (x)'in anlamlı olduğu x'ler.

Kimlik kanıtı. Matematikte birçok kavram vardır. Bunlardan biri kimliktir.

• Kimlik, içinde yer alan değişkenlerin tüm değerleri için geçerli olan bir eşitliktir.

Bazı kimlikleri zaten biliyoruz. Örneğin, tüm kısaltılmış çarpma formülleri özdeşliklerdir.

kimliğini kanıtla- bu, değişkenin herhangi bir kabul edilebilir değeri için sol tarafının sağ tarafa eşit olduğunu belirlemek anlamına gelir.

Cebirde, birkaç tane var Farklı yollar kimliklerin kanıtı.

Kimlik kanıtlama yöntemleri

• kimliğin sol tarafı. Sonunda sağ tarafı alırsak, kimliğin kanıtlanmış olduğu kabul edilir.
• Eşdeğer dönüşümler gerçekleştirin kimliğin sağ tarafı. Sonunda sol tarafı alırsak, kimliğin kanıtlanmış olduğu kabul edilir.
• Eşdeğer dönüşümler gerçekleştirin kimliğin sol ve sağ tarafları. Sonuç olarak aynı sonucu alırsak, kimliğin kanıtlanmış olduğu kabul edilir.
• Kimliğin sağ tarafından sol tarafı çıkarın.
• Sağ taraf, kimliğin sol tarafından çıkarılır. Fark üzerinde eşdeğer dönüşümler yapıyoruz. Ve sonunda sıfır alırsak, kimliğin kanıtlanmış olduğu kabul edilir.

Ayrıca kimliğin sadece değişkenlerin kabul edilebilir değerleri için geçerli olduğu da unutulmamalıdır.

Gördüğünüz gibi, birçok yol var. Bu özel durumda hangi yöntemi seçeceğiniz, kanıtlamanız gereken kimliğe bağlıdır. Çeşitli kimlikleri kanıtladıkça, bir kanıtlama yöntemi seçme konusunda deneyim gelecektir.

Bazı basit örneklere bakalım

Örnek 1.

x * (a + b) + a * (b-x) = b * (a + x) özdeşliğini kanıtlayın.

Çözüm.

Sağ tarafta küçük bir ifade olduğu için eşitliğin sol tarafını dönüştürmeye çalışalım.

• x * (a + b) + a * (b-x) = x * a + x * b + a * b - a * x.

Benzer terimleri sunuyoruz ve ortak çarpanı parantezden alıyoruz.

• x * a + x * b + a * b - a * x = x * b + a * b = b * (a + x).

Dönüşümlerden sonra sol tarafın sağ tarafla aynı hale geldiğini anladık. Dolayısıyla bu eşitlik bir özdeşliktir.

Örnek 2.

a ^ 2 + 7 * a + 10 = (a + 5) * (a + 2) özdeşliğini kanıtlayın.

Çözüm.

V bu örnek yapabilirsin Aşağıdaki şekilde... Eşitliğin sağındaki parantezleri genişletelim.

• (a + 5) * (a + 2) = (a ^ 2) + 5 * a + 2 * a + 10 = a ^ 2 + 7 * a + 10.

Dönüşümlerden sonra eşitliğin sağ tarafının eşitliğin sol tarafıyla aynı hale geldiğini görüyoruz. Dolayısıyla bu eşitlik bir özdeşliktir.

Öğrenme hedefi:

denklemin tanımlarını tekrarlayın, özdeşlik;

denklem ve özdeşlik kavramlarını ayırt etmeyi öğrenir;

kimlikleri kanıtlamanın yollarını belirlemek;

Bir monomiali standart forma indirgeme, polinomları toplama, özdeşlikleri ispatlarken bir monomiali bir polinomla çarpma yöntemlerini tekrarlayın.

Geliştirme hedefi:

Öğrencilerin okuryazar matematiksel konuşmalarını geliştirmek (zenginleştirmek ve karmaşık hale getirmek) kelime bilgisiözel matematiksel terimler kullanıldığında),

düşünmeyi geliştirmek: karşılaştırma, analiz etme, analojiler çizme, tahmin etme, sonuç çıkarma (kimlik kanıtlama yöntemlerini seçerken);

öğrencilerin eğitimsel ve bilişsel yeterliliklerini geliştirmek.

Eğitim amacı:

bir grupta çalışma, faaliyetlerini eğitim sürecindeki diğer katılımcılarla koordine etme becerisini geliştirmek;

hoşgörüyü teşvik edin.

Ders türü: bilginin karmaşık uygulaması.

Ders adımları: hazırlık, bilginin uygulanması, sonuç.

Bilginin sınırı - cehalet:

bir monomiali standart bir forma dönüştürme işlemlerini uygulayabilir;

polinomların eklenmesi, bir polinomun bir polinomla çarpımı.

Denklem ve özdeşlik kavramlarını ayırt eder;

kimlik kanıtlarını yürütmek;

rasyonel olarak kimlik kanıtlama yöntemlerini seçer ve uygular.

ön çalışma

Sözlü

Görsel

Bilginin uygulanması (değişen bir eğitim durumunda uygulama düzeyinde yeni bilgi ve eylem yöntemlerinin asimilasyonunun sağlanması)

Bunun sol ve sağ tarafındaki dönüşümlere dayanarak

matematiksel eşitlik, kimlikleri kanıtlamanın yollarını belirlemek;

Önerilenlerden rasyonel bir yol ortaya çıkarın ve belirli bir kimlik durumu için rasyonel bir çözüm seçimini yapın

Grup çalışması

Bağımsız iş

Arama

Pratik

Sonuç (hedefe ulaşma başarısının analizi ve değerlendirilmesi)

Sunulan eşitliklerden bir özdeşlik seçmenin ve önerilen yollardan herhangi biriyle kanıtlamanın önerildiği (tercihen rasyonel);

Daha sonra öğrenciler, belirtilen (dersin başlangıcından itibaren) kriterlere göre dersteki çalışmalarını kendileri değerlendirirler.

önden

Sözlü

Ders özeti (kısaca):

1. Aşama (hazırlık)

Matematik notasyonunu düşünün: (ön çalışma)

7. sınıf öğrencileri bunu bir denklem olarak düşünme eğilimindedir ve çözerek elde ettikleri Doğrusal Denklem formun: 0 x = 0, herhangi bir x için geçerlidir.

Daha sonra öğretmen başka bir sınıfın çalışmasını gösterir ve çocuklar bir çelişki ile karşı karşıya kalırlar - başka bir sınıfın çalışmasında öğrenciler bunun bir kimlik olduğunu kanıtlar.

Çıktı: bir ve aynı eşitliğin bir özdeşlik ve bir denklem olarak kabul edilebileceğine dikkat edilmelidir. Verilen işin koşullarına bağlıdır: değişken eşitliğin hangi değerinde gerçekleştiğini belirlemek gerekiyorsa, o zaman bu- denklem. Ve eğer değişkenlerin herhangi bir değeri için eşitliğin geçerli olduğunu kanıtlamak gerekirse -Kimlik.

2. Aşama (uygulama)

Kimlikleri kanıtlamanın yollarını açıklayan: (grup çalışması)

İfade yazılır:

pratik görev kimlikleri kanıtlamanın yollarını belirlemek için gruplar halinde:

Grup halinde çalışma kurallarına uyun (öğretmen tarafından öğrencilerin işyerlerinde sergilenen tabelalarda yazılıdır)

Bir Whatman kağıdında, ortak bir çalışmada, gruba atamada belirtilen belirli bir teknolojiye göre bazı dönüşümler yapın ve verilen ifadenin değişkenlerin değerlerine bağlı olmadığını, yani bir kimlik olduğunu kanıtlayın;

Yapılan işin bir açıklamasını yapın ve şu sonuca varın: nedir? Bu method kimlik kanıtı;

1. grup için görev:

Eşitliğin sağ tarafını sola hareket ettirin. Verilen ifadenin değişkenlerin değerine bağlı olmadığını kanıtlayın.

2. grup için görev:

Eşitliğin sol tarafını dönüştürün. Doğru olana eşit olduğunu kanıtlayın, bu ifadenin değişkenlerin değerlerine bağlı olmadığı anlamına gelir.

Grup 3 için görev:

Eşitliğin sol ve sağ taraflarını aynı anda dönüştürün. Bu eşitliğin değişkenlerin değerine bağlı olmadığını kanıtlayın.

Adamların kimliği kanıtlamak için yaptıkları iş göz önüne alındığında, uygulanan yöntemlerin sonuçlarını bir sayı göstergesi ile ayrı kağıtlar üzerinde diyagramlar şeklinde göstermek uygundur, böylece daha sonra bu diyagramlar kullanılamaz. sadece bunda, aynı zamanda diğer cebir derslerinde.

3. Aşama (özet)

a) Rasyonel çözüm seçimi için kimlikler: (ön çalışma)

5)