Opciones de multiplicación de números. Antiguas formas de multiplicación

Candidato ciencias pedagógicas Natalia Karpushina.

Para dominar la multiplicación números de varios dígitos, solo necesitas saber la tabla de multiplicar y ser capaz de sumar números. En esencia, toda la dificultad radica en cómo colocar correctamente los resultados intermedios de la multiplicación (productos parciales). En un esfuerzo por facilitar los cálculos, la gente ha ideado muchas formas de multiplicar números. A lo largo de la historia centenaria de las matemáticas, hay varias docenas de ellas.

Multiplicación de celosía. Ilustración del primer libro impreso sobre aritmética. 1487 año.

Palos de Napier. Este sencillo dispositivo de cálculo se describió por primera vez en el trabajo de John Napier "Rabdología". 1617 año.

John Napier (1550-1617).

Modelo de máquina calculadora de Shikkard. Este dispositivo computacional, que no ha llegado hasta nosotros, fue fabricado por el inventor en 1623 y descrito por él un año después en una carta a Johannes Kepler.

Wilhelm Schickard (1592-1635).

Herencia hindú: el método de la cuadrícula

Los hindúes, que conocen el sistema numérico decimal desde hace mucho tiempo, prefieren lo oral a lo escrito. Inventaron varias formas de multiplicarse rápidamente. Más tarde fueron tomados prestados por los árabes, y de ellos estos métodos pasaron a los europeos. Aquellos, sin embargo, no se limitaron a ellos y desarrollaron otros nuevos, en particular el que se estudia en la escuela: la multiplicación por una columna. Este método se conoce desde principios del siglo XV, en el siglo siguiente fue firmemente utilizado por los matemáticos y hoy se utiliza en todas partes. Pero es la multiplicación por una columna la mejor manera implementación de esta operación aritmética? De hecho, existen otros métodos de multiplicación hoy olvidados, no peores, por ejemplo, el método de celosía.

Este método se utilizó en la antigüedad, en la Edad Media se extendió ampliamente en Oriente y en el Renacimiento, en Europa. El método de celosía también se llamaba indio, musulmán o "multiplicación celular". Y en Italia se llamó "gelosia", o "multiplicación de celosía" (gelosia en la traducción del italiano - "persianas", "persianas de celosía"). De hecho, las cifras obtenidas al multiplicar a partir de números eran similares a las contraventanas, persianas, que cerraban las ventanas de las casas venecianas del sol.

Expliquemos la esencia de este sencillo método de multiplicación con un ejemplo: calculamos el producto 296 × 73. Empecemos dibujando una tabla con celdas cuadradas, en la que habrá tres columnas y dos filas, según el número de dígitos. en los factores. Divide las celdas por la mitad en diagonal. Sobre la tabla escribimos el número 296, y en el lado derecho verticalmente, el número 73. Multiplica cada dígito del primer número por cada dígito del segundo y escribe los productos en las celdas correspondientes, colocando decenas sobre la diagonal y unidades debajo de él. Los dígitos del producto deseado se obtendrán sumando los dígitos en las franjas oblicuas. En este caso, nos moveremos en el sentido de las agujas del reloj, partiendo de la celda inferior derecha: 8, 2 + 1 + 7, etc. Anotemos los resultados debajo de la tabla, así como a la izquierda. (Si la suma resulta ser una suma de dos dígitos, indicaremos solo unos y sumaremos decenas a la suma de los dígitos de la siguiente tira). Respuesta: 21 608. Entonces, 296 x 73 = 21 608.

El método de celosía no es de ninguna manera inferior a la multiplicación de columnas. Es aún más simple y confiable, a pesar de que el número de acciones realizadas en ambos casos es el mismo. En primer lugar, debe trabajar solo con números de uno y dos dígitos, y son fáciles de manejar en su cabeza. En segundo lugar, no es necesario memorizar los resultados intermedios y seguir el orden en el que se anotan. La memoria se descarga y se retiene la atención, por lo que se reduce la probabilidad de error. Además, el método de cuadrícula permite obtener resultados más rápidos. Habiéndolo dominado, puede verlo usted mismo.

¿Por qué el método de celosía conduce a la respuesta correcta? ¿Cuál es su "mecanismo"? Vamos a resolverlo usando una tabla construida de manera similar a la primera, solo que en este caso los factores se presentan como las sumas de 200 + 90 + 6 y 70 + 3.

Como puede ver, hay unidades en la primera franja oblicua, decenas en la segunda, centenas en la tercera, etc. Cuando se suman, dan en la respuesta, respectivamente, el número de unidades, decenas, centenas, etc. El resto es obvio:

En otras palabras, de acuerdo con las leyes de la aritmética, el producto de los números 296 y 73 se calcula de la siguiente manera:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14,000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10,000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21 608.

Palos de napier

La multiplicación de celosía es el núcleo de un dispositivo de cálculo simple y original: los palitos de Napier. Su inventor, John Napier, barón escocés y amante de las matemáticas, junto con profesionales, se dedicó a la mejora de los medios y métodos de cálculo. En la historia de la ciencia, se le conoce principalmente como uno de los creadores de logaritmos.

El dispositivo consta de diez reglas con una tabla de multiplicar. Cada celda, dividida por una diagonal, contiene el producto de dos números de un solo dígito del 1 al 9: el número de decenas se indica en la parte superior y el número de unidades en la parte inferior. Una regla (izquierda) está inmóvil, el resto se puede reorganizar de un lugar a otro, estableciendo la combinación de números deseada. Usando los palillos de Napier, es fácil multiplicar números de varios dígitos, reduciendo esta operación a la suma.

Por ejemplo, para calcular el producto de los números 296 y 73, debes multiplicar 296 por 3 y 70 (primero por 7, luego por 10) y sumar los números resultantes. Apliquemos otros tres a la regla fija, con los números 2, 9 y 6 en la parte superior (deberían formar el número 296). Ahora veamos la tercera línea (los números de línea se indican en la regla del extremo). Los números en él forman un conjunto que ya nos es familiar.

Agregándolos, como en el método de celosía, obtenemos 296 x 3 = 888. De manera similar, considerando la séptima fila, encontramos que 296 x 7 = 2072, luego 296 x 70 = 20 720. Por lo tanto,
296 x 73 = 20 720 + 888 = 21 608.

Los palos de Napier también se utilizaron para operaciones más complejas: división y extracción. raíz cuadrada... Este dispositivo de cálculo ha sido probado repetidamente para mejorarlo y hacerlo más conveniente y eficiente en el trabajo. De hecho, en algunos casos, para multiplicar números, por ejemplo con números repetidos, se necesitaron varios juegos de palos. Pero tal problema se resolvió reemplazando las reglas con cilindros giratorios con una tabla de multiplicar impresa en la superficie de cada uno de ellos en la misma forma que Napier lo presentó. En lugar de un juego de palos, resultaron ser nueve a la vez.

Tales trucos en realidad aceleraron y facilitaron los cálculos, pero no afectaron principio fundamental el funcionamiento del dispositivo de Napier. Entonces, el método de la celosía encontró una segunda vida, que duró varios siglos más.

Máquina Shikkard

Los científicos se han preguntado durante mucho tiempo cómo trasladar el complejo trabajo computacional a dispositivos mecánicos. Los primeros pasos exitosos en la creación de máquinas de calcular se llevaron a cabo solo en el siglo XVII. Se cree que un mecanismo similar fue creado antes que otros por el matemático y astrónomo alemán Wilhelm Schickard. Pero, irónicamente, solo un círculo estrecho de personas sabía sobre esto, y el mundo no conocía un invento tan útil durante más de 300 años. Por lo tanto, no afectó de ninguna manera el desarrollo posterior de las instalaciones informáticas. La descripción y los bocetos del automóvil de Schickard se descubrieron hace solo medio siglo en los archivos de Johannes Kepler y, un poco más tarde, se creó un modelo funcional a partir de los documentos conservados.

Básicamente, la máquina Schickard es una calculadora mecánica de seis dígitos que suma, resta, multiplica y divide números. Tiene tres partes: un multiplicador, un sumador y un mecanismo para almacenar resultados intermedios. La base para el primero fue, como se puede adivinar, los palos de Napier enrollados en cilindros. Se unieron a seis ejes verticales y se giraron con la ayuda de manijas especiales ubicadas en la parte superior de la máquina. Frente a los cilindros había un panel con nueve filas de ventanas, seis piezas en cada una, que se abrían y cerraban con pestillos laterales cuando se requería ver los números necesarios y ocultar el resto.

En funcionamiento, la máquina contadora Shikkard es muy sencilla. Para saber a qué es igual el producto 296 x 73, debe colocar los cilindros en la posición en la que aparece el primer multiplicador en la fila superior de ventanas: 000296. Obtenemos el producto 296 x 3 abriendo las ventanas del tercera fila y sumando los números que se ven, como en el método de celosía. De la misma forma, abriendo las ventanas de la séptima fila, obtenemos el producto 296 x 7, al que le sumamos 0. Solo queda sumar los números encontrados en el sumador.

Una vez inventada por los indios, una forma rápida y confiable de multiplicar números de varios dígitos, que se ha utilizado en los cálculos durante muchos siglos, ahora, lamentablemente, se ha olvidado. Pero podría habernos rescatado hoy, si no fuera por la calculadora tan familiar para todos.

Mincheva Anna, estudiante de sexto grado de la escuela secundaria MAOU №37, Ulan-Ude

El uso constante de la tecnología informática moderna conduce al hecho de que a los estudiantes les resulte difícil realizar cálculos sin tener tablas o una máquina de calcular a su disposición. Relevancia del tema La investigación es que el conocimiento de las técnicas de cálculo simplificadas hace posible no solo producir rápidamente cálculos simples en la mente, sino también para controlar, evaluar, encontrar y corregir errores como resultado de la computación mecanizada. Además, el dominio de las habilidades computacionales desarrolla la memoria, eleva el nivel de la cultura matemática del pensamiento y ayuda a dominar completamente las materias del ciclo de física y matemáticas.

Descargar:

Avance:

MAOU "Promedio escuela comprensiva No. 37 "

Conferencia científica y práctica "Un milagro ordinario"

Sección: Aritmética

"Diferentes formas de multiplicación: desde la antigüedad hasta nuestro tiempo"

Realizado:

Mincheva Anna,

estudiante 6 "clase b

Supervisor:

Koneva Galina Mikhailovna,

Profesor de matemáticas,

"Excelencia en la educación de la Federación de Rusia",

Ganador del Concurso de los mejores profesores de Rusia (2009)

Ulan-Ude

2017

Revisar.

Creo que el alumno ha hecho un gran trabajo, y este informe será de interés para los alumnos aficionados a las matemáticas, futuros economistas.

Maestra de la categoría más alta: Koneva G.M.

Plan.

1. Introducción

2.La parte principal. Métodos para multiplicar números naturales.

2.1. Técnica de multiplicación cruzada de dos dígitos

2.2. Multiplicación por el método de "Celos o multiplicación de celosía"

2.3. Multiplicación por el método "Little Castle"

2.4. Manera campesina de multiplicación

2.5. Forma india de multiplicación

2.6 Multiplicación geométrica

2.7 La forma original de multiplicar por 9 en los dedos

2.8. Método de Okoneshnikov

3. Conclusión

“El tema de las matemáticas es tan serio
lo que es útil para no perder oportunidades de hacer
es un poco entretenido ". B. Pascal

1. Introducción.

A una persona en La vida cotidiana es imposible prescindir de los cálculos. Por tanto, en las lecciones de matemáticas se nos enseña a realizar acciones sobre números, es decir, a contar. Multiplicamos, dividimos, sumamos y restamos de las formas habituales que se enseñan en la escuela.

En una de las lecciones, el profesor de matemáticas mostró cómo multiplicar, por ejemplo, el número 23 por 11. Para hacer esto, necesita mover mentalmente los números 2 y 3, y en este lugar poner el número 5, es decir, la suma de los números 2 y 3. Resultó el número 253. Me pregunto si hay otras formas de calcular. Después de todo, la capacidad de realizar cálculos rápidamente es francamente sorprendente.

El uso constante de la tecnología informática moderna conduce al hecho de que a los estudiantes les resulte difícil realizar cálculos sin tener tablas o una máquina de calcular a su disposición.Relevancia del temaLa investigación es que el conocimiento de las técnicas de computación simplificadas hace posible no solo realizar rápidamente cálculos simples en la mente, sino también controlar, evaluar, encontrar y corregir errores como resultado de cálculos mecanizados. Además, el dominio de las habilidades computacionales desarrolla la memoria, eleva el nivel de la cultura matemática del pensamiento y ayuda a dominar completamente las materias del ciclo de física y matemáticas.

Objeto del trabajo:

Explore y explore formas inusuales de multiplicar.

Investigar objetivos:

1. Encuentra tantos como sea posible formas inusuales cálculos.

2. Aprenda a aplicarlos.

3. Elija usted mismo los más interesantes o más fáciles que los que se ofrecen en la escuela y utilícelos a la hora de contar.

4. Enseñe a sus compañeros de clase varios métodos de multiplicación, organice una competencia: una batalla matemática en el aula de actividades extracurriculares.

Métodos de búsqueda:

Método de búsqueda utilizando literatura científica y educativa, Internet;

Método de investigación para determinar los métodos de multiplicación;

Un método práctico para resolver ejemplos.

II. De la historia de la práctica computacional

Los métodos de computación que usamos ahora no siempre han sido tan simples y convenientes. En los viejos tiempos, usaban métodos más engorrosos y lentos. Y si un escolar del siglo XXI pudiera viajar cinco siglos atrás, asombraría a nuestros antepasados ​​con la rapidez y precisión de sus cálculos.

Las acciones de multiplicación y división eran especialmente difíciles en los viejos tiempos. En ese momento, no había un método desarrollado por la práctica para cada acción. Al contrario, casi una docena diferentes caminos multiplicación y división: las técnicas de cada uno son más confusas, para recordar qué una persona de habilidades promedio no pudo recordar. Cada maestro de conteo se adhirió a su técnica favorita, cada "maestro de división" elogió su propia forma de hacer esto.

En el libro de V. Bellustin "Cómo la gente llegó gradualmente a la aritmética real" se exponen 27 métodos de multiplicación, y el autor señala: "es muy posible que todavía existan métodos ocultos en los depósitos de libros, dispersos en numerosos , principalmente colecciones de manuscritos ".

Y todos estos métodos de multiplicación - "ajedrez u órgano", "flexión", "cruz", "celosía", "de atrás hacia adelante", "diamante" y otros competían entre sí y eran absorbidos con gran dificultad.

Comencé a estudiar e investigar algunos de estos métodos y elegí los más interesantes.

III. Varias formas de multiplicar.

3.1 Método de multiplicación cruzada de dos dígitos

Los antiguos griegos e hindúes en los viejos tiempos llamaban al método de multiplicación cruzada "el método del rayo" o "multiplicación con una cruz".

Ejemplo: 52 x 23 = 1173 5 1

Realizamos consistentemente las siguientes acciones:

1,1 x 3 = 3 es el último dígito del resultado.

2,5 x 3 = 15; 1x 2 = 2; 15 + 2 = 17.

7 - el penúltimo dígito de la respuesta, recordamos la unidad.

3.5 x 2 = 10, 10 + 1 = 11 son los primeros dígitos de la respuesta.

Respuesta: 1173.

3.2. La forma antigua de Luca Pacioli: "Celos o multiplicación de celosía"

A lo largo de los milenios de desarrollo de las matemáticas, se han inventado muchos métodos de multiplicación. Aparte de la tabla de multiplicar, todos son engorrosos, complejos y difíciles de recordar. Se creía que dominar el arte de la multiplicación rápida requiere un talento natural especial. Gente común que no tiene un don matemático especial, este arte es inaccesible.

Multiplica 987 por 1998.

Dibuja un rectángulo, divídelo en cuadrados, divide los cuadrados en diagonal. El resultado es una imagen similar a las contraventanas de celosía de las casas venecianas. De aquí proviene el nombre del método.

En la parte superior de la tabla escribiremos el número 987, y de abajo a la izquierda hacia arriba - 1998 (Fig. 1).

En cada cuadrado escribimos el producto de los números ubicados en una fila y una columna con este cuadrado. Las decenas están en el triángulo inferior y las unidades en el superior. Los números se suman a lo largo de cada diagonal. Los resultados se registran a la derecha e izquierda de la tabla. .

Arroz. 1 "Celos o multiplicación de celosía".

Respuesta: 1972026.

3.3 Otro camino Luca Pacioli: "Pequeño castillo"

Un número se escribe debajo del otro como en la multiplicación de columnas (Fig. 2). Luego, los dígitos del número superior se multiplican alternativamente por el número inferior, y comienzan con el dígito más significativo y cada vez agregan el número requerido de ceros.

Los números resultantes se suman.

Arroz. 2 "Pequeño castillo"

Respuesta: 1972026.

Conclusión:

Comparemos los resultados obtenidos cuando los números 987 y 1998 se multiplican de estas dos formas. Las respuestas son 1972026.

Evidentemente, estos viejos métodos de multiplicación son realmente muy complejos y requieren el conocimiento obligatorio de la tabla de multiplicar.

3.4. Forma campesina rusa de multiplicación.

En Rusia, un método estaba muy extendido entre los campesinos que no requería el conocimiento de toda la tabla de multiplicar. Aquí solo necesita la capacidad de multiplicar y dividir números por 2.

Escribamos un número a la izquierda y otro a la derecha en una línea (Fig. 3). El número de la izquierda se dividirá por 2, el número de la derecha se multiplicará por 2 y los resultados se escribirán en una columna.

Si aparece un resto durante la división, se descarta. La multiplicación y división por 2 continúa hasta que queda 1 a la izquierda.

Luego tachamos las líneas de la columna en las que hay números pares a la izquierda. Ahora sume los números restantes en la columna de la derecha.

Arroz. 3 "camino campesino ruso"

Respuesta: 1972026.

Conclusión: Este método de multiplicación es mucho más simple que los métodos de multiplicación considerados anteriormente por Luca Pacioli. Pero también es muy voluminoso.

3.5. Forma india de multiplicación

La contribución más valiosa al tesoro del conocimiento matemático se realizó en la India. Los hindúes sugirieron la forma en que solíamos escribir números usando diez caracteres: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

La base de este método radica en la idea de que el mismo número representa unidades, decenas, centenas o miles, dependiendo de dónde ocupe este número. El espacio ocupado, en ausencia de dígitos, se determina mediante ceros asignados a los dígitos.

Los indios eran muy buenos contando. Se les ocurrió una forma muy sencilla de multiplicar. Hicieron la multiplicación, comenzando con el dígito más significativo, y anotaron los trabajos incompletos justo encima del multiplicable, poco a poco. Al mismo tiempo, el rango superior fue inmediatamente visible. trabajo completo y, además, se excluyó la omisión de cualquier dígito. Aún no se conocía el signo de la multiplicación, por lo que dejaron una pequeña distancia entre los factores. Por ejemplo, multipliquemos 537 por 6:

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222. Respuesta: 3222

3.6. Método de multiplicación geométrica

Este método utiliza figura geométrica- un circulo.

Veamos este método primero con un ejemplo. Multipliquemos, por ejemplo, el número 13 por 24.

1) Dibuja círculos. Dado que el primer factor es un número de dos dígitos, hay dos líneas; el segundo factor también es un número de dos dígitos, luego hay dos columnas. Dado que el número de decenas en el primer factor es 1, en la primera línea dibujamos un círculo, es decir, no cambiamos nada. Dado que el número de unidades del primer factor es 3, dibujamos tres círculos en la segunda línea. (figura 4).

Arroz. 4

2) El segundo factor es el número 24, luego los círculos, que en la primera columna se dividen en dos partes, y los círculos, que en la segunda columna se dividen en cuatro partes

(figura 5).

Arroz. cinco

3) Dibuje líneas rectas y cuente puntos (Fig. 6).

Arroz. 6 Fig. 7

La respuesta se escribe de la siguiente manera (Fig.7), miramos de abajo hacia arriba el número de puntos 12, 2 - el último dígito del resultado, uno en la mente, el número de puntos en la segunda área es 10 y + 1, luego 11, 1 escribimos y uno en la mente, el número de puntos en la tercera área 2 y +1, total 3. Respuesta: 312.

Resolví muchos ejemplos de esta manera. Luego resumí ejemplos particulares yhizo una conclusión de la regla:

1. Dibuja círculos. El número de dígitos en el primer factor significa el número de filas y el número de dígitos en el segundo factor significa el número de columnas.

Si el número contiene 0, el círculo que representa el cero se dibuja con una línea de puntos. Esta es una línea imaginaria, no tiene puntos.

2. El primer dígito del primer multiplicador significa el número de círculos concéntricos en la primera línea, el segundo dígito del primer multiplicador significa el número de círculos en la segunda línea

3.Los números del segundo factor significan en cuántas partes deben dividirse los círculos: el primer número para la primera columna, el segundo número para la segunda, etc.

4. Divida los círculos en partes. Ponemos un punto en cada parte.

6. Escriba la respuesta de acuerdo con el principio discutido en el ejemplo.

3.6. La forma original de multiplicar por 9 en tus dedos.

Multiplicación del número 9- 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - es más fácil desvanecerse de la memoria y más difícil volver a calcular manualmente mediante el método de suma, sin embargo, es para el número 9 que la multiplicación se reproduce fácilmente "en los dedos . " Extienda los dedos en ambas manos y aleje las palmas de usted. Asigne mentalmente los números del 1 al 10 a sus dedos en secuencia, comenzando con el dedo meñique de su mano izquierda y terminando con el dedo meñique de su mano derecha (esto se muestra en la figura).

Digamos que queremos multiplicar 9 por 6. Dobla el dedo con el número, igual al número, por lo que multiplicaremos nueve. En nuestro ejemplo, debe doblar el dedo número 6. El número de dedos a la izquierda del dedo curvado nos muestra el número de decenas en la respuesta, el número de dedos a la derecha es el número de unos. A la izquierda tenemos 5 dedos no doblados, a la derecha, 4 dedos. Entonces 9 6 = 54. La siguiente figura muestra todo el principio de "cálculo" en detalle.

3.7 Método moderno de Okoneshnikov

Interesante un nuevo método de multiplicación que se ha informado recientemente. Vasily Okoneshnikov, el inventor del nuevo sistema de conteo oral, candidato de las ciencias filosóficas, afirma que una persona puede memorizar una gran cantidad de información, lo principal es cómo organizar esta información. Según el propio científico, lo más ventajoso a este respecto es el sistema de nueve partes: todos los datos simplemente se colocan en nueve celdas, ubicadas como botones en una calculadora.

Es muy fácil contar a partir de una tabla así. Por ejemplo, multipliquemos el número 15647 por 5. En la parte de la tabla correspondiente a cinco, seleccione los números correspondientes a los dígitos del número en orden: uno, cinco, seis, cuatro y siete. Obtenemos: 05 25 30 20 35

Dejamos el dígito de la izquierda (en nuestro ejemplo, cero) sin cambios y sumamos los siguientes números en pares: cinco con dos, cinco con tres, cero con dos, cero con tres. La última cifra tampoco se modifica.

Como resultado, obtenemos: 078235. El número 78235 es el resultado de la multiplicación.

Si, al sumar dos dígitos, se obtiene un número superior a nueve, entonces su primer dígito se suma al dígito anterior del resultado, y el segundo se escribe en su lugar "apropiado".

III. Conclusión.

De todos los métodos de conteo inusuales que encontré, el método de "multiplicación por celosía o celos" me pareció más interesante. Se lo mostré a mis compañeros y también les gustó mucho.

Me pareció que el método más simple era el método de "duplicar y duplicar" utilizado por los campesinos rusos. Lo uso para multiplicar números no demasiado grandes (es muy conveniente usarlo para multiplicar números de dos dígitos).

Estaba interesado en una nueva forma de multiplicar, porque me permite "pasar" grandes números en mi mente.

Creo que nuestro método de multiplicación larga no es perfecto y podemos encontrar métodos aún más rápidos y fiables.

Literatura.

Literatura.

Depman I. "Historias sobre matemáticas". - Leningrado.: Educación, 1954 .-- 140 p.

A.A. Korneev El fenómeno de la multiplicación rusa. Historia. http://numbernautics.ru/

Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. "Antiguas tareas de entretenimiento". - M.: Ciencia. Edición principal de literatura física y matemática, 1985 .-- 160 p.

Perelman Ya.I. Conteo rápido. Treinta trucos sencillos conteo verbal... L., 1941-12 p.

Perelman Ya.I. Entretenido aritmética. M. Rusanov, 1994-205.

Enciclopedia “Llego a conocer el mundo. Matemáticas". - M.: Astrel Ermak, 2004.

Enciclopedia para niños. "Matemáticas". - M.: Avanta +, 2003 .-- 688 p.

¿No te gustan las matemáticas? ¡Simplemente no sabes cómo usarlo! De hecho, es una ciencia fascinante. Y nuestra selección de métodos de multiplicación inusuales lo confirma.

Multiplica en tus dedos como un comerciante

Este método te permite multiplicar números del 6 al 9... Primero, doble ambas manos en puños. Luego, en la mano izquierda, doble tantos dedos como el primer factor sea mayor que 5. En la mano derecha, haga lo mismo con el segundo factor. Cuente el número de dedos extendidos y multiplique por diez. Ahora multiplique la suma de los dedos doblados de la mano izquierda y derecha. Sumando ambas sumas, obtienes el resultado.

Ejemplo. Multiplica 6 por 7. Seis es más de cinco por uno, lo que significa que doblamos un dedo de la mano izquierda. Y siete, para dos, lo que significa a la derecha, dos dedos. En total, esto es tres, y después de multiplicar por 10 - 30. Ahora multiplicamos los cuatro dedos doblados de la mano izquierda y tres, la derecha. Obtenemos 12. La suma de 30 y 12 da 42.

En realidad, aquí estamos hablando de una simple tabla de multiplicar, que sería bueno saber de memoria. Pero este método es bueno para la autocomprobación y es útil estirar los dedos.

Multiplica como Ferrol

Este método recibió el nombre del ingeniero alemán que lo utilizó. Método le permite multiplicar rápidamente números del 10 al 20... Si practicas, incluso puedes hacerlo mentalmente.

La esencia es simple. Como resultado, siempre obtendrá un número de tres dígitos. Entonces, primero contamos las unidades, luego las decenas, luego las centenas.

Ejemplo. Multiplicamos 17 por 16. Para obtener unos, multiplicamos 7 por 6, decenas - sumamos el producto de 1 y 6 con el producto de 7 y 1, centenas - multiplicamos 1 por 1. Como resultado, obtenemos 42, 13 y 1. Por conveniencia, los escribimos en una columna y los sumamos. ¡Esa es la conclusión!

Multiplica como un japonés

Esta forma gráfica que usan los escolares japoneses facilita la multiplicación de números de dos e incluso de tres dígitos. Para probarlo, tenga a mano papel y bolígrafo.

Ejemplo. Multipliquemos 32 por 143. Para hacer esto, dibujemos una cuadrícula: el primer número se reflejará con tres y dos líneas con una sangría horizontal, y el segundo, con una, cuatro y tres líneas verticalmente. Pon puntos en la intersección de las líneas. Como resultado, deberíamos obtener un número de cuatro dígitos, así que dividamos condicionalmente la tabla en 4 sectores. Y contaremos los puntos que caen en cada uno de ellos. Obtenemos 3, 14, 17 y 6. Para obtener la respuesta, agregue los extra en 14 y 17 al número anterior. Obtenemos 4, 5 y 76 - 4576.

Multiplica como un italiano

Otro método gráfico interesante se utiliza en Italia. Quizás, es más simple que el japonés: definitivamente no se confundirá al transferir docenas. Para multiplicar números grandes con él, debes dibujar una cuadrícula... Escribimos el primer factor horizontalmente en la parte superior y el segundo verticalmente a la derecha. En este caso, debe haber una celda para cada dígito.

Ahora multiplicamos los números de cada fila por los números de cada columna. Escribimos el resultado en una celda (dividida en dos) en su intersección. Si obtiene un número de un solo dígito, escriba 0 en la parte superior de la celda y el resultado en la parte inferior.

Queda por sumar todos los números en las franjas diagonales. Comenzamos desde la celda inferior derecha. Al mismo tiempo, sumamos decenas a las unidades de la columna adyacente.

Así es como multiplicamos 639 por 12.

Divertido, ¿no? ¡Sin matemáticas aburridas! ¡Y recuerde que las humanidades en TI también son necesarias!

Hace cuatro mil años, la gente de Babilonia inventó la multiplicación. Y en marzo de este año, los matemáticos lo mejoraron.

El 18 de marzo de 2019, dos investigadores describieron el método más rápido conocido para multiplicar dos números muy grandes. El trabajo marca la culminación de una larga búsqueda del procedimiento más eficiente para realizar una de las operaciones básicas de las matemáticas.

“Todo el mundo piensa que el método de multiplicación que enseñaron en la escuela es el mejor, pero de hecho hay una investigación activa en esta área”, dice Joris van der Hoeven, matemático del Centro Nacional Francés. investigación científica, uno de los coautores del trabajo.

La complejidad de muchas tareas computacionales, desde calcular nuevos dígitos de π hasta encontrar grandes números primos se reduce a la velocidad de la multiplicación. Van der Hoeven describe su resultado como la asignación de una especie de límite de velocidad matemático a muchos otros problemas.

“La física tiene constantes importantes como la velocidad de la luz que te permiten describir todo tipo de cosas”, dijo van der Hoeven. "Si quiere saber qué tan rápido las computadoras pueden resolver ciertos problemas matemáticos, entonces la multiplicación de números enteros aparece como una especie de bloque de construcción básico contra el cual se puede expresar esta velocidad".

Casi todo el mundo aprende a multiplicar números de la misma forma. Escribimos los números en una columna, multiplicamos el número superior por cada dígito del inferior (teniendo en cuenta los dígitos) y sumamos el resultado. Al multiplicar dos números de dos dígitos, debes hacer cuatro multiplicaciones más pequeñas para obtener el resultado final.

El método escolar de "transferencia" requiere n 2 pasos, donde n es el número de dígitos en cada uno de los números multiplicados. Los cálculos con números de tres dígitos requieren nueve multiplicaciones, y aquellos con números de 100 dígitos requieren 10,000.

El método de transferencia funciona bien con números que constan de varios dígitos, pero comienza a deslizarse cuando se multiplican números que constan de millones o miles de millones de dígitos (que es lo que hacen las computadoras cuando calculan π con precisión o cuando buscan números primos grandes en todo el mundo). Para multiplicar dos números con mil millones de dígitos, necesitará realizar mil millones al cuadrado, o 10 18 multiplicaciones, lo que lleva unos 30 años para una computadora moderna.

Durante varios milenios, se creyó que era imposible multiplicar números más rápido. Luego, en 1960, el matemático soviético y ruso de 23 años Anatoly Alekseevich Karatsuba asistió a un seminario dirigido por Andrei Nikolaevich Kolmogorov, un matemático soviético, uno de los más grandes matemáticos del siglo XX. Kolmogorov afirmó que no existe un método de multiplicación generalizado que requiera menos de n 2 operaciones. Karatsuba decidió que existía tal método, y después de una semana de búsqueda, lo descubrió.

Anatoly Alekseevich Karatsuba

La multiplicación de Karatsuba consiste en dividir los dígitos de un número y volver a combinarlos de una nueva forma que permita un número grande las multiplicaciones realizan menos sumas y restas. El método ahorra tiempo, ya que la suma requiere solo 2n pasos en lugar de n 2.

El método de multiplicación tradicional de 25x63 requiere cuatro multiplicaciones de un solo dígito y varias sumas.

La multiplicación de Karatsuba 25x63 requiere tres multiplicaciones por un solo dígito y varias sumas y restas.
a) divide los números
b) multiplica decenas
c) multiplicar unidades
d) suma los números
e) multiplica estas sumas
f) considere e - b - c
g) recolecte el total de b, c y f

A medida que aumenta el número de dígitos en números, el método Karatsuba se puede utilizar de forma recursiva.

El método de multiplicación tradicional de 2531x1467 requiere 16 multiplicaciones de un solo dígito.

La multiplicación de Karatsuba 2531x1467 requiere 9 multiplicaciones.

"La suma es un año antes en la escuela porque es mucho más fácil, se hace en tiempo lineal, con la velocidad de leer números de izquierda a derecha", dijo Martin Fuhrer, matemático de la Universidad Estatal de Pensilvania. Universidad Estatal, quien creó en 2007 el algoritmo de multiplicación más rápido en ese momento.

Tratando con números grandes, la multiplicación de Karatsuba se puede repetir de forma recursiva, dividiendo los números originales en casi tantas partes como signos. Y con cada división, cambia la multiplicación, que requiere muchos pasos, a la suma y la resta, que requiere muchos menos pasos.

“Las multiplicaciones múltiples se pueden convertir en sumas, dado que las computadoras pueden hacerlo más rápido”, dijo David Harvey, matemático de la Universidad de Nueva Gales del Sur y coautor del nuevo artículo.

El método de Karatsuba hizo posible multiplicar números usando solo n 1.58 multiplicaciones por un solo dígito. Luego, en 1971, Arnold Schönhage y Volker Strassen publicaron un método para multiplicar números grandes en n × log n × log (log n) pequeñas multiplicaciones. Para multiplicar dos números de mil millones de dígitos, cada método Karatsuba requiere 165 billones de pasos.

Joris van der Hoeven, matemático del Centro Nacional Francés de Investigación Científica

Las computadoras utilizan el método Schönhage-Strassen para multiplicar números grandes y tiene otras dos consecuencias importantes. Primero, introdujo una técnica de procesamiento de señales llamada Transformada Rápida de Fourier. Desde entonces, esta técnica ha sido la columna vertebral de todos los algoritmos de multiplicación rápida.

En segundo lugar, en el mismo artículo, Schönhage y Strassen sugirieron la posibilidad de un algoritmo aún más rápido, un método que requiere solo n × log n multiplicaciones por un signo, y que dicho algoritmo sería el más rápido posible. Esta suposición se basó en la sensación de que para una operación tan fundamental como la multiplicación, la limitación de las operaciones debería escribirse de alguna manera con más elegancia que n × log n × log (log n).

“La mayoría estuvo de acuerdo en que la multiplicación es una operación básica tan importante que, desde un punto de vista puramente estético, necesita una buena restricción de complejidad”, dijo Fuhrer. "Sabemos por experiencia que las matemáticas de las cosas básicas siempre son elegantes al final".

La incómoda restricción de Schönhage y Strassen, n × log n × log (log n), se mantuvo durante 36 años. En 2007, el Führer rompió este récord y todo comenzó. Durante la última década, los matemáticos han encontrado algoritmos de multiplicación cada vez más rápidos, cada uno de los cuales se arrastró gradualmente hacia la marca n × log n, sin llegar a alcanzarla. Luego, en marzo de este año, Harvey y van der Hoeven lo alcanzaron.

Su método es una mejora con respecto a mucho trabajo realizado antes que ellos. Divide números en signos, utiliza una versión mejorada de la Transformada Rápida de Fourier y aprovecha otros avances logrados en los últimos 40 años. “Estamos usando la FFT de manera mucho más cruda, usándola varias veces en lugar de una sola, y reemplazando aún más multiplicaciones con sumas y restas”, dijo van der Hoeven.

El algoritmo de Harvey y van der Hoeven demuestra que la multiplicación se puede hacer en n × log n pasos. Sin embargo, no prueba la ausencia de más método rápido... Será mucho más difícil establecer que su acercamiento sea lo más rápido posible. A finales de febrero, un equipo de informáticos de la Universidad de Aarhus publicó un artículo en el que afirmaba que si uno de los teoremas no probados resulta ser correcto, entonces este método será de hecho la forma más rápida de multiplicar.

Y aunque en teoría este nuevo algoritmo es muy importante, en la práctica cambiará poco, ya que solo supera ligeramente a los algoritmos ya utilizados. "Todo lo que podemos esperar es una aceleración triple", dijo van der Hoeven. - Nada escandaloso.

Además, los circuitos de los equipos informáticos han cambiado. Hace veinte años, las computadoras realizaban sumas mucho más rápido que la multiplicación. La brecha en las tasas de multiplicación y suma se ha reducido drásticamente desde entonces, con el resultado de que la multiplicación puede incluso superar a la suma en algunas fichas. Con ciertos tipos de equipo, "puedes acelerar la suma haciendo que la computadora multiplique números, y eso es una locura", dijo Harvey.

El hardware cambia con el tiempo, pero los mejores algoritmos de su clase duran para siempre. Independientemente de cómo se vean las computadoras en el futuro, el algoritmo de Harvey y van der Hoeven seguirá siendo el más manera efectiva multiplicar números.

El mundo de las matemáticas es muy amplio, pero siempre me han interesado los métodos de multiplicación. Trabajando en este tema, aprendí muchas cosas interesantes, aprendí a seleccionar el material que necesitaba de lo que leí. Aprendió a resolver ciertos problemas entretenidos, acertijos y ejemplos de multiplicación de diferentes formas, así como en qué se basan los trucos aritméticos y las técnicas de cálculo intensivo.

ACERCA DE LA MULTIPLICACIÓN

¿Qué queda en la mente de la mayoría de las personas de lo que alguna vez estudiaron en la escuela? Por supuesto Gente diferente- diferente, pero probablemente todo el mundo tiene una tabla de multiplicar. Además de los esfuerzos realizados para "molerlo", recordemos cientos (si no miles) de problemas que resolvimos con su ayuda. Hace trescientos años en Inglaterra, una persona que conocía las tablas de multiplicar ya era considerada una persona instruida.

Se han inventado muchos métodos de multiplicación. El matemático italiano de finales del siglo XV y principios del XVI Luca Pacioli, en su tratado de aritmética, da 8 métodos diferentes de multiplicación. En el primero, que se llama "castillo pequeño", los números del número superior, empezando por el anterior, se multiplican alternativamente por el número inferior y se escriben en una columna con la suma el número deseado ceros. Luego se suman los resultados. La ventaja de este método sobre el habitual es que los dígitos de los dígitos más significativos se determinan desde el principio, y esto a veces es importante en los cálculos aproximados.

El segundo método tiene el nombre no menos romántico de "celos" (o multiplicación de celosía). Se dibuja una celosía, en la que se ingresan los resultados de los cálculos intermedios, más precisamente, los números de la tabla de multiplicar. Una celosía es un rectángulo dividido en celdas cuadradas, que a su vez están divididas en dos por diagonales. A la izquierda (de arriba a abajo) se escribió el primer factor, y en la parte superior, el segundo. En la intersección de la fila y la columna correspondientes, se escribió el producto de los números en ellas. Luego, los números obtenidos se agregaron a lo largo de las diagonales dibujadas y el resultado se escribió al final de dicha columna. El resultado se leyó en los lados inferior y derecho del rectángulo. "Tal celosía", escribe Luca Pacioli, "se asemeja a las contraventanas de celosía, persianas que se colgaban de las ventanas venecianas, impidiendo que los transeúntes vieran a las damas y monjas sentadas en las ventanas".

Todos los métodos de multiplicación descritos en el libro de Luca Pacioli usaban la tabla de multiplicar. Sin embargo, los campesinos rusos supieron multiplicar sin mesa. Su método de multiplicación usaba solo la multiplicación y la división por 2. Para multiplicar dos números, se escribían uno al lado del otro, y luego el número de la izquierda se dividía por 2 y el número de la derecha se multiplicaba por 2. Si la división resultó en un resto , luego fue descartado. Luego se tacharon las líneas de la columna de la izquierda en las que hay números pares. Se agregaron los números restantes en la columna de la derecha. El resultado es el producto de los números originales. Verifique con algunos pares de números que este es realmente el caso. La prueba de la validez de este método se muestra utilizando el sistema numérico binario.

La antigua forma rusa de multiplicación.

Desde la antigüedad y casi hasta el siglo XVIII, los rusos en sus cálculos prescindieron de la multiplicación y la división: utilizaron solo dos operaciones aritméticas: suma y resta, e incluso las llamadas "duplicación" y "duplicación". La esencia del antiguo método ruso de multiplicación es que la multiplicación de dos números cualesquiera se reduce a una serie de divisiones consecutivas de un número por la mitad (secuencial, bifurcación) mientras se duplica simultáneamente otro número. Si en un producto, por ejemplo 24 X 5, el multiplicador se reduce 2 veces ("doble") y el multiplicador se incrementa 2 veces

("Doble"), el producto no cambiará: 24 x 5 = 12 X 10 = 120. Ejemplo:

La división del multiplicado por la mitad se continúa hasta que el cociente sea 1, mientras se duplica el multiplicador. El último número duplicado da el resultado deseado. Por lo tanto, 32 X 17 = 1 X 544 = 544.

En aquellos tiempos antiguos, la duplicación y la duplicación se tomaban incluso para operaciones aritméticas especiales. Cuán especiales son. ¿comportamiento? Después de todo, por ejemplo, duplicar un número no es una acción especial, sino solo la suma de un número dado consigo mismo.

Tenga en cuenta que los números se dividen por 2 todo el tiempo sin un resto. Pero, ¿y si el multiplicador es divisible por 2 con un resto? Ejemplo:

Si el multiplicador no es divisible por 2, primero se resta uno y luego se divide por 2. Las líneas con multiplicadores pares se eliminan y se suman los lados derechos de las líneas con multiplicadores impares.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17 + 17.

Recordemos el número 17 (¡la primera línea no se borra!), Y el producto 20 X 17 se reemplaza por el producto igual a él 10 X 34. Pero el producto 10 X 34, a su vez, se puede reemplazar por el producto igual a él 5 X 68; por lo que la segunda línea está tachada:

5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.

Recuerde el número 68 (¡la tercera línea no se borra!), Y reemplace el producto 4 X 68 con el producto igual a él 2 X 136. Pero el producto 2 X 136 se puede reemplazar con el producto igual a él 1 X 272; por lo tanto, se elimina la cuarta línea. Entonces, para calcular el producto 21 X 17, debe sumar los números 17, 68, 272, las partes correctas de las líneas con las multiplicaciones impares. Los productos con multiplicadores pares siempre se pueden reemplazar duplicando el multiplicador y duplicando el multiplicador con productos iguales; por tanto, esas líneas quedan excluidas del cálculo del producto final.

Traté de multiplicarme a la antigua. Tomé los números 39 y 247, obtuve esto

Las columnas resultarán incluso más largas que las mías si tomamos un multiplicador mayor que 39. Entonces decidí, el mismo ejemplo de una manera moderna:

¡Resulta que nuestro método escolar de multiplicar números es mucho más simple y económico que el antiguo método ruso!

Solo nosotros debemos conocer en primer lugar la tabla de multiplicar, y nuestros antepasados ​​no la sabían. Además, debemos conocer bien la regla de la multiplicación en sí, solo sabían doblar y doblar los números. Como puede ver, sabe cómo multiplicar mucho mejor y más rápido que la calculadora más famosa de Rusia antigua... Por cierto, hace varios miles de años, los egipcios realizaban la multiplicación casi de la misma manera que los rusos en los viejos tiempos.

Es genial que la gente de diferentes paises, se multiplicaron de la misma manera.

No hace mucho, hace unos cien años, memorizar la tabla de multiplicar era muy difícil para los estudiantes. Para convencer a los estudiantes de la necesidad de conocer las tablas de memoria, los autores de libros de matemáticas han recurrido durante mucho tiempo. a los poemas.

Aquí hay algunas líneas de un libro con el que no estamos familiarizados: “Pero para la multiplicación se necesita una tabla posterior, solo tenla firmemente en tu memoria, este y algún número, y luego multiplica, sin ninguna vacilación, di o escribe el discurso, también 2-espera 2 es 4, o 2-wa 3 es 6, y 3-wa 3 es 9 y así sucesivamente ".

Si alguno no repite Y en todas las tablas de la ciencia y se enorgullece, no libre de tormento,

No puedo saber que Coliko no enseña por el número que multiplicarlo será deprimente

Es cierto que en este pasaje y versículos no todo está claro: de alguna manera está escrito no del todo en ruso, porque todo esto fue escrito hace más de 250 años, en 1703, por Leonty Filippovich Magnitsky, una maravillosa maestra de ruso, y desde entonces el ruso. el idioma ha cambiado notablemente ...

LF Magnitsky escribió y publicó el primer libro de texto impreso de aritmética en Rusia; antes de él solo había libros de matemáticas escritos a mano. El gran científico ruso MV Lomonosov, así como muchos otros destacados científicos rusos del siglo XVIII, estudiaron de acuerdo con la Aritmética de LF Magnitsky.

¿Y cómo se multiplicaron en aquellos días, en la época de Lomonosov ?. Veamos un ejemplo.

Como entendimos, la acción de la multiplicación se registró entonces casi de la misma manera que en nuestro tiempo. Solo el multiplicador se llamaba "magnificencia", y la obra se llamaba "producto" y, además, no escribían el signo de la multiplicación.

Entonces, ¿cómo se explicó la multiplicación?

Se sabe que MV Lomonosov se sabía de memoria toda la "Aritmética" de Magnitsky. De acuerdo con este libro de texto, el pequeño Misha Lomonosov explicaría la multiplicación de 48 por 8 de la siguiente manera: “8 - 8 es 64, escribo 4 debajo de la línea, contra 8, y tengo 6 lugares decimales en mi mente. Y luego 8-espera 4 hay 32, y tengo 3 en mi mente, y al 2 agregaré 6 décimos, y serán 8. Y este 8 lo escribiré junto al 4, en una fila a mi mano izquierda , y mientras 3 está en mi mente, escribiré en una fila cerca del 8, en la mano izquierda. Y de la multiplicación de 48 por 8, el producto de 384 será ".

Y explicamos casi de la misma manera, solo que hablamos de manera moderna, y no a la antigua, y, además, llamamos a las categorías. Por ejemplo, 3 debe escribirse en tercer lugar porque serán cientos, y no solo "en una fila junto al 8, en la mano izquierda".

La historia "Masha es un mago".

Puedo adivinar no solo el cumpleaños, como hizo Pavlik la última vez, sino también el año de nacimiento ”, comenzó Masha.

Multiplique el mes en el que nació por 100, luego agregue su fecha de nacimiento. , multiplique el resultado por 2., agregue 2 al número resultante; multiplique el resultado por 5, agregue 1 al número resultante, agregue cero al resultado. , agregue 1 más al número resultante y, finalmente, agregue el número de sus años.

Listo, tengo 20721. - digo.

* Así es, - confirmé.

Y obtuve 81321, - dice Vitya, un estudiante de tercer grado.

Tú, Masha, probablemente cometiste un error, - Dudó Petya. - Cómo sucede: Vitya es de tercer grado, pero también nació en 1949, como Sasha.

No, Masha acertó - confirma Vitya. Solo estuve enfermo durante un año y, por lo tanto, fui dos veces al segundo grado.

* Y obtuve 111521, - dice Pavlik.

¿Cómo es? - pregunta Vasya, - Pavlik también tiene 10 años, como Sasha, y nació en 1948. ¿Por qué no 1949?

Pero porque ahora es septiembre, y Pavlik nació en noviembre, y solo tiene 10 años, aunque nació en 1948, - explicó Masha.

Adivinó la fecha de nacimiento de tres o cuatro estudiantes más y luego explicó cómo lo hace. Resulta que resta 111 del último número, y luego el resto va en tres caras de derecha a izquierda, dos dígitos cada una. Los dos dígitos del medio indican el cumpleaños, los dos primeros o uno son el número del mes y los dos últimos dígitos son el número de años. Sabiendo la edad de una persona, no es difícil determinar el año de nacimiento. Por ejemplo, obtuve el número 20721. Si le restas 111, obtienes 20610. Ahora tengo 10 años y nací el 6 de febrero. Dado que ahora es septiembre de 1959, significa que nací en 1949.

¿Por qué deberías restar 111 y no algún otro número? preguntamos. -¿Y por qué los cumpleaños, el mes y el número de años se distribuyen de esta forma?

Pero mira, - explicó Masha. - Por ejemplo, Pavlik, cumpliendo con mis requisitos, resolvió los siguientes ejemplos:

1) 11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Como puede ver, multiplicó el número del mes (11) por 100, luego por 2, luego por otro 5 y, finalmente, por otros 10 (le atribuyó el saco), y solo por 100 X 2 X 5 X 10 , es decir, por 10000. Entonces, 11 se han convertido en decenas de miles, es decir, constituyen la tercera faceta, si contamos de derecha a izquierda en dos dígitos. Esto reconocerá el número del mes en el que nació. Multiplicó el cumpleaños (14) por 2, luego por 5 y, finalmente, por otro 10, y solo por 2 X 5 X 10, es decir, por 100. Entonces, el cumpleaños debe buscarse entre cientos, en el segundo cara, pero aquí hay cientos de desconocidos. Mira: agregó el número 2, que multiplicó por 5 y 10. Entonces, obtuvo 2x5x10 = 100 - 1 centena extra. Resto este 100 de 15 cientos en el número 111521, resulta 14 cientos. Así es como sé el cumpleaños. El número de años (10) no se multiplicó por nada. Esto significa que este número debe buscarse entre las unidades, en la primera cara, pero hay unidades ajenas. Mire: agregó el número 1, que multiplicó por 10, y luego agregó otro 1. Entonces, obtuvo solo 1 x TO + 1 = 11 unidades extra. Resto estas 11 unidades de 21 unidades en el número 111521, resulta 10. Así que averiguo el número de años. Y en total, como pueden ver, del número 111521 reste 100+ 11 = 111. Cuando restado 111 del número 111521, resultó PNYU. Medio,

Pavlik nació el 14 de noviembre y tiene 10 años. Ahora es 1959, pero no le resté 10 a 1959, sino a 1958, desde que Pavlik cumplió 10 años el año pasado, en noviembre.

Por supuesto, no recordará esa explicación de inmediato, pero traté de entenderla con mi ejemplo:

1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2 "OBTO; 1959 - 10 = 1949;

Rompecabezas.

Primera tarea: al mediodía, un vapor de pasajeros sale de Stalingrado hacia Kuibyshev. Una hora más tarde, un vapor de pasajeros de mercancías sale de Kuibyshev hacia Stalingrado, que se mueve más lentamente que el primer vapor. Cuando los vapores se encuentren, ¿cuál estará más lejos de Stalingrado?

Este no es un problema aritmético ordinario, ¡sino una broma! Los vapores estarán a la misma distancia de Stalingrado, así como de Kuibyshev.

Y aquí está la segunda tarea: el domingo pasado, nuestro destacamento y el destacamento de la quinta clase estaban plantando árboles a lo largo de la calle Bolshaya Pionerskaya. Los escuadrones debían plantar un número igual de árboles, un número igual en cada lado de la calle. Como recordarán, nuestro destacamento llegó temprano al trabajo, y antes de la llegada de los alumnos de quinto grado logramos plantar 8 árboles, pero resultó que no en nuestro lado de la calle: nos emocionamos y comenzamos a trabajar en el mal sitio. Luego trabajamos en nuestro lado de la calle. Los estudiantes de quinto grado terminaron su trabajo temprano. Sin embargo, no quedaron endeudados con nosotros: vinieron a nuestro lado y plantaron primero 8 árboles (“saldaron la deuda”), y luego 5 árboles más, y terminamos el trabajo.

La pregunta es, ¿cuántos árboles han plantado los estudiantes de quinto grado que nosotros?

: Por supuesto, los estudiantes de quinto grado plantaron solo 5 árboles más que nosotros: cuando plantaron 8 árboles de nuestro lado, pagaron la deuda; y cuando plantaron 5 árboles más, nos prestaron 5 árboles. Entonces resulta que solo plantaron 5 árboles más que nosotros.

Ningún razonamiento es incorrecto. Es cierto que los alumnos de quinto grado nos hicieron un favor al plantarnos 5 árboles. Pero entonces, para obtener la respuesta correcta, uno tiene que razonar así: no hemos cumplido nuestra tarea por 5 árboles, mientras que los de quinto grado han superado su tarea por 5 árboles. Así que resulta que la diferencia entre la cantidad de árboles plantados por estudiantes de quinto grado y la cantidad de árboles plantados por nosotros no es de 5, ¡sino de 10 árboles!

Y aquí está la última tarea de rompecabezas, Jugando con la pelota, se colocaron 16 estudiantes a los lados de un área cuadrada para que hubiera 4 personas en cada lado. Luego se fueron 2 estudiantes, el resto se movió de manera que a cada lado de la plaza había nuevamente 4 personas. Finalmente, se fueron 2 estudiantes más, pero el resto fue acomodado de manera que aún quedaban 4 personas a cada lado de la plaza. ¿Cómo pudo pasar esto?

Dos trucos de multiplicación rápida

Una vez, un maestro les ofreció a sus alumnos el siguiente ejemplo: 84 X 84. Un niño respondió rápidamente: 7056. "¿Qué les pareció?" preguntó el maestro al alumno. "Tomé 50 X 144 y salí 144", respondió. Bueno, expliquemos cómo contó el estudiante.

84 x 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144, y 144 cincuenta son 72 centenas, lo que significa 84 X 84 = 7200 - 144 =

Y ahora contemos de la misma manera, cuánto será 56 X 56.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, es decir, 64 cincuenta o 32 centenas (3200), sin 64, es decir, para multiplicar un número por 49, necesitas este número multiplica por 50 (cincuenta) y reste este número del producto resultante.

Y aquí hay ejemplos de una forma diferente de calcular, 92 X 96, 94 X 98.

Respuestas: 8832 y 9212. Ejemplo, 93 X 95. Respuesta: 8835. Nuestros cálculos dieron el mismo número.

Tan rápido que solo puedes contar cuando los números están cerca de 100. Encontramos el complemento de hasta 100 a estos números: para 93 será 7, y para 95 será 5, del primer número dado restamos el complemento del segundo: 93 - 5 = 88 - tanto habrá en el producto centenas, multiplicamos las sumas: 7 X 5 = 3 5 - tanto estará en el producto de unidades. Esto significa que 93 X 95 = 8835. Y no es difícil explicar por qué se debe hacer exactamente esto.

Por ejemplo, 93 es 100 sin 7 y 95 es 100 sin 5. 95 X 93 = (100 - 5) x 93 = 93 X 100 - 93 x 5.

Para restar 5 por 93, puede restar 5 por 100, pero sume 5 por 7. Entonces resulta:

95 x 93 = 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 = 93 panal. - quinientos. + 5 X 7 = (93-5) celdas. + 5 x 7 = 8800 + 35 = = 8835.

97 X 94 = (97 - 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 - 5) x 100 + 9 x 5 = 8600 + 45 = 8645.

Multiplicación en. dominó.

Con la ayuda de los dados de dominó, es fácil representar algunos casos de multiplicar números de varios dígitos por un número de un solo dígito. Por ejemplo:

402 X 3 y 2663 X 4

El ganador será aquél que, dentro de un tiempo determinado, podrá utilizar mayor numero dominó, haciendo ejemplos de multiplicar números de tres o cuatro dígitos por un número de un solo dígito.

Ejemplos de multiplicar números de cuatro dígitos por un dígito.

2234 X 6; 2425 X 6; 2336 X 1; 526 X 6.

Como puede ver, solo se utilizaron 20 fichas de dominó. Se han recopilado ejemplos de multiplicación no solo de números de cuatro dígitos por un número de un solo dígito, sino también de números de tres, cinco y seis dígitos por un número de un solo dígito. Usó 25 huesos y compiló los siguientes ejemplos:

Sin embargo, todavía se pueden usar los 28 huesos.

Historias sobre si el viejo Hottabych conocía bien la aritmética.

La historia "me sale por aritmética" 5 "".

Tan pronto como al día siguiente fui a ver a Misha, de inmediato me preguntó: "¿Qué hay de nuevo, interesante en la clase?" Les mostré a Misha y sus amigos cuán hábilmente cosechaban los rusos en los viejos tiempos. Luego les pedí que contaran en sus mentes lo que serían 97 X 95, 42 X 42 y 98 X 93. Por supuesto, no podían hacer esto sin lápiz y papel y se sorprendieron mucho cuando casi instantáneamente les di las respuestas correctas a estos ejemplos. Finalmente, todos juntos resolvimos la tarea encomendada a la casa. Resulta que es muy importante cómo se ubican los puntos en la hoja de papel. Dependiendo de esto, se pueden dibujar una, cuatro y seis líneas rectas a través de cuatro puntos, pero no más.

Luego invité a los niños a componer ejemplos de multiplicación de dominó de la misma manera que se hacía en el círculo. Logramos usar 20, 24 e incluso 27 huesos cada uno, pero de los 28 no pudimos componer ejemplos, aunque pasamos mucho tiempo haciendo esto.

Misha recordó que la película "Old Man Hottabych" se estaba proyectando en el cine hoy. Rápidamente terminamos de hacer aritmética y corrimos al cine.

¡Aquí tienes una foto! Aunque es un cuento de hadas, sigue siendo interesante: habla de nosotros, chicos, oh vida escolar y también sobre el excéntrico sabio - Gin Hottabych. ¡Y Hottabych se equivocó mucho al contarle a Volka sobre geografía! Como puede ver, en tiempos pasados, incluso los sabios indios - los ginebras - sabían geografía muy, muy mal, me pregunto cómo “el viejo Hottabych habría comenzado a preguntar si Volka hubiera aprobado un examen de aritmética. Probablemente, Hottabych tampoco conocía bien la aritmética.

La forma india de multiplicarse.

Suponga que necesita multiplicar 468 por 7. A la izquierda escribimos el multiplicador, a la derecha el multiplicador:

Los indios no tenían el signo de la multiplicación.

Ahora multiplico 4 por 7, obtenemos 28. Escribimos este número con el superíndice 4.

Ahora multiplicamos 8 por 7, obtenemos 56. 5 sumamos a 28, obtenemos 33; Borraremos 28, y escribiremos 33, escribiremos 6 sobre el número 8:

Resultó muy interesante.

Ahora multiplicamos 6 por 7, obtenemos 42, sumamos 4 a 36, ​​obtenemos 40; 36 borraremos y 40 escribiremos; Escribimos 2 sobre el número 6. Entonces, multiplicamos 486 por 7, obtenemos 3402:

¡Decidido correctamente, pero no muy rápido y cómodamente! Así se multiplicaron las calculadoras más famosas de la época.

Como puede ver, el viejo Hottabych conocía bastante bien la aritmética. Sin embargo, no registró acciones de la misma forma que nosotros.

Hace mucho tiempo, hace más de mil trescientos años, los indios eran los mejores calculadores. Sin embargo, aún no tenían papel, y todos los cálculos se hacían en una pequeña pizarra negra, escribiendo en ella con un bolígrafo de caña y usando una pintura blanca muy fina, que dejaba marcas que se borraban fácilmente.

Cuando escribimos con tiza en una pizarra, es un poco como la forma india de escribir: aparecen caracteres blancos sobre un fondo negro que son fáciles de borrar y corregir.

Los indios también realizaban cálculos en una tablilla blanca espolvoreada con polvo rojo, sobre la que escribían carteles con un palito, de modo que aparecían carteles blancos sobre un campo rojo. Se obtiene una imagen similar cuando escribimos con tiza en una pizarra roja o marrón: linóleo.

El signo de la multiplicación aún no existía en ese momento, y solo quedaba un cierto espacio entre la multiplicación y el multiplicador. A la manera india, sería posible multiplicar, comenzando por unidades. Sin embargo, los propios indios realizaron la multiplicación a partir de la categoría senior y anotaron las obras incompletas justo encima del multiplicable, poco a poco. Al mismo tiempo, se hizo visible de inmediato el dígito más significativo del producto completo y, además, se excluyó la omisión de cualquier dígito.

Un ejemplo de multiplicación a la manera india.

Manera árabe de multiplicación.

Bueno, pero ¿cómo, en la fecha misma, realizar la multiplicación a la manera india, si está escrito en papel?

Los árabes adaptaron esta técnica de multiplicación para escribir en papel, el famoso erudito uzbeko Muhammad ibn Musa Alkhvariz-mi (Muhammad, el hijo de Musa de Khorezm, una ciudad que estaba ubicada en el territorio de la actual República Socialista Soviética de Uzbekistán), más de mil Hace años, realizaba la multiplicación en pergamino de la siguiente manera:

Como puede ver, no borró números innecesarios (ya es un inconveniente hacer esto en papel), sino que los tachó; anotó los nuevos números encima de los tachados, por supuesto, poco a poco.

Un ejemplo de multiplicación de la misma forma, tomando notas en un cuaderno.

Esto significa que 7264 X 8 = 58112. ¿Pero qué hay de multiplicar por un número de dos dígitos, por uno de varios dígitos?

La técnica de multiplicación sigue siendo la misma, pero la escritura se vuelve mucho más complicada. Por ejemplo, necesitas multiplicar 746 por 64. Primero, multiplica por 3 decenas, resultó

Por lo tanto, 746 X 34 = 25364.

Como puede ver, eliminar dígitos innecesarios y reemplazarlos con dígitos nuevos al multiplicar incluso por un número de dos dígitos conduce a una notación demasiado engorrosa. ¿Y qué pasa si multiplicas por un número de tres o cuatro dígitos?

Sí, Camino arabe la multiplicación no es muy conveniente.

Este método de multiplicación se mantuvo en Europa hasta el siglo XVIII, durante mil años. Se le llamó método de punto de cruz, o quiasma, ya que la letra griega X (chi) se colocó entre los números multiplicados, reemplazada gradualmente por una cruz oblicua. Ahora podemos ver claramente que nuestro método moderno de multiplicación es el más simple y conveniente, probablemente el mejor de todos. formas posibles multiplicación.

Sí, nuestro método escolar de multiplicar números de varios dígitos es muy bueno. Sin embargo, la multiplicación se puede escribir de otra manera. Quizás la mejor manera sería hacerlo, por ejemplo, así:

Este método es realmente bueno: la multiplicación comienza desde el bit más alto del multiplicador, el bit más bajo de productos incompletos se escribe debajo del bit correspondiente del multiplicador, lo que elimina la posibilidad de error en el caso de que se encuentre cero en cualquier bit del multiplicador. multiplicador. Así es como los escolares checoslovacos escriben la multiplicación de números de varios dígitos. Eso es interesante. Y pensamos que las operaciones aritméticas solo se pueden escribir de la manera que se acostumbra en nuestro país.

Algunos acertijos más.

Aquí está su primera y sencilla tarea: un turista puede caminar 5 km en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 100 horas?

Respuesta: 500 kilómetros.

¡Y esta sigue siendo una gran pregunta! Hay que saber con mayor precisión cómo caminó el turista estas 100 horas: sin descanso o con respiro. En otras palabras, debes saber: 100 horas es el tiempo de viaje de un turista o simplemente el tiempo de su estadía en la carretera. Es probable que una persona no pueda estar en movimiento durante 100 horas seguidas: esto es más de cuatro días; y la velocidad de movimiento disminuiría todo el tiempo. Otra cuestión es si un turista se fue con descansos para almorzar, dormir, etc. Entonces, en 100 horas de movimiento, puede cubrir los 500 km; solo en el camino debería ser ya no cuatro días, sino unos doce días (si recorre una media de 40 km por día). Si estaba de camino durante 100 horas, solo podía caminar entre 160 y 180 km.

Diferentes respuestas. Esto significa que es necesario agregar algo a la condición del problema, de lo contrario es imposible dar una respuesta.

Resolvamos ahora el siguiente problema: 10 pollos comen 1 kg de grano en 10 días. ¿Cuántos kilogramos de grano comerán 100 pollos en 100 días?

Solución: 10 pollos en 10 días comen 1 kg de grano, lo que significa que 1 pollo en los mismos 10 días comes 10 veces menos, es decir, 1000 g: 10 = 100 g.

En un día, un pollo come 10 veces menos, es decir, 100 g: 10 = 10 g. Ahora sabemos que 1 pollo en 1 día come 10 g de grano. Esto significa que 100 pollos al día comen 100 veces más, es decir

10 g X 100 = 1000 g = 1 kg. En 100 días, comerán otras 100 veces más, es decir, 1 kg X 100 = 100 kg = 1 centavo. Esto significa que 100 pollos en 100 días comen un centavo entero de grano.

Hay una solución más rápida: hay 10 veces más pollos y necesitas alimentar 10 veces más, lo que significa que necesitas 100 veces más grano total, es decir, 100 kg. Sin embargo, hay una omisión en todo este razonamiento. Pensemos y encontremos un error en el razonamiento.

: - Prestemos atención al último razonamiento: “100 pollos comen 1 kg de grano en un día, y en 100 días comerán 100 veces más. "

De hecho, en 100 días (¡esto es más de tres meses!), Los pollos crecerán notablemente y no comerán 10 g de grano por día, sino 40-50 gramos de grano, ya que un pollo común come alrededor de 100 g de grano. por día. Esto significa que en 100 días 100 pollos no comerán 1 quintal de grano, sino mucho más: dos o tres quintales.

Y aquí está el problema final del rompecabezas para atar nudos para usted: “Sobre la mesa hay un trozo de cuerda estirado en línea recta. Debe tomarlo con una mano por un extremo, con la otra mano por el otro extremo y, sin dejar que los extremos de la cuerda se salgan de sus manos, hacer un nudo. »Es un hecho conocido que algunos problemas son fáciles de analizar, pasando de los datos a la pregunta del problema, mientras que otros, por el contrario, van de la pregunta del problema a los datos.

Bueno, intentamos analizar este problema, pasando de la pregunta a los datos. Supongamos que ya hay un nudo en la cuerda y sus extremos están en las manos y no se sueltan. Intentemos volver del problema resuelto a sus datos, a la posición inicial: la cuerda yace estirada sobre la mesa y sus extremos no se sueltan de nuestras manos.

Resulta que si endereza la cuerda sin soltar los extremos de las manos, entonces la mano izquierda, caminando debajo de la cuerda estirada y por encima de la mano derecha, sujeta el extremo derecho de la cuerda; y la mano derecha, pasando por encima de la cuerda y debajo de la mano izquierda, sujeta el extremo izquierdo de la cuerda

Creo que después de este análisis del problema, quedó claro para todos cómo hacer un nudo en una cuerda, es necesario hacer todo en el orden inverso.

Dos trucos más de multiplicación rápida.

Te mostraré cómo multiplicar rápidamente números como 24 y 26, 63 y 67, 84 y 86, etc. etc., es decir, cuando los factores son iguales a diez y las unidades son exactamente 10. Da ejemplos.

* 34 y 36, 53 y 57, 72 y 78,

* Resulta 1224, 3021, 5616.

Por ejemplo, necesitas multiplicar 53 por 57. Multiplico 5 por 6 (por 1 más que 5), resulta 30 - tantos cientos en el producto; Multiplico 3 por 7, resulta 21 - tantas unidades en el producto. Por lo tanto, 53 X 57 = 3021.

* ¿Cómo explicar esto?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 x 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 cien. + 5 son. +3 X 7 = 30 áreas. + 3 X 7 = 5 X 6 celdas. + 21.

Veamos cómo puedes multiplicar rápidamente números de dos dígitos dentro de 20. Por ejemplo, para multiplicar 14 por 17, debes sumar las unidades 4 y 7, obtienes 11; habrá tantas decenas en el producto (es decir, 10 unidades). Luego, debes multiplicar 4 por 7, obtienes 28; habrá tantas unidades en el producto. Además, se debe sumar exactamente 100 a los números obtenidos 110 y 28. Entonces, 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238. De hecho:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 + (4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100+ 110 + + 28.

Después de eso, resolvimos más ejemplos de este tipo: 13 x 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Multiplicación en ábaco

Aquí hay algunos trucos que cualquiera que sepa cómo agregar rápidamente el ábaco podrá llevar a cabo ágilmente los ejemplos de multiplicación encontrados en la práctica.

La multiplicación por 2 y 3 se reemplaza por sumas dobles y triples.

Al multiplicar por 4, primero multiplique por 2 y sume este resultado.

La multiplicación de un número por 5 se realiza en el ábaco de la siguiente manera: transfiera el número completo con un cable arriba, es decir, multiplíquelo por 10 y luego divida este número 10 veces por la mitad (cómo dividir por 2 usando el ábaco.

En lugar de multiplicar por 6, multiplique por 5 y sume el multiplicado.

En lugar de multiplicar por 7, multiplique por 10 y reste el multiplicado tres veces.

La multiplicación por 8 se reemplaza por la multiplicación por 10 menos dos que se multiplican.

Del mismo modo, multiplique por 9: reemplace multiplicando por 10 menos uno que se multiplica.

Al multiplicar por 10, como ya hemos dicho, todos los números se transfieren con un cable arriba.

Es probable que el lector ya descubra por sí mismo cómo actuar al multiplicar por números mayores que 10, y qué tipo de sustituciones serán las más convenientes aquí. El factor 11 debe, por supuesto, ser reemplazado por 10 + 1. El factor 12 se reemplaza por 10 + 2 o prácticamente - por 2 + 10, es decir, primero se deja a un lado el número duplicado y luego se suma el número diez. El factor 13 se reemplaza por 10 + 3, y así sucesivamente.

Considere varios casos especiales para los factores de los primeros cien:

Es fácil ver, por cierto, que es muy conveniente multiplicar por números como 22, 33, 44, 55, etc., con la ayuda de conteos; por lo tanto, uno debe esforzarse por usar números similares con los mismos dígitos al dividir factores.

Se usan trucos similares al multiplicar por números mayores que 100. Si tales trucos artificiales son tediosos, entonces, por supuesto, siempre podemos multiplicar con la ayuda de contar por regla general, multiplicando cada dígito del multiplicador y anotando productos parciales, esto todavía da una cierta reducción en el tiempo.

Forma de multiplicación "rusa"

No puedes multiplicar números de varios dígitos, ni siquiera de dos dígitos, si no recuerdas de memoria todos los resultados de multiplicar números de un solo dígito, es decir, lo que se llama la tabla de multiplicar. En la antigua "Aritmética" de Magnitsky, que ya hemos mencionado, la necesidad conocimiento solido las tablas de multiplicar se cantan en versos (ajenos a la audición moderna):

Si no repite las tablas y está orgulloso, no puede saber por el número qué multiplicar.

Y para todas las ciencias, no libre de harina, Koliko no aprende a deprimir

Y a favor no volverá a ser olvidado.

El autor de estos versículos obviamente no sabía o pasaba por alto que hay una manera de multiplicar números sin conocer la tabla de multiplicar. Este método, similar a nuestros métodos escolares, fue utilizado en la vida cotidiana de los campesinos rusos y heredado por ellos desde la antigüedad.

Su esencia es que la multiplicación de dos números cualesquiera se reduce a una serie de divisiones consecutivas de un número por la mitad mientras se duplica simultáneamente el otro número. He aquí un ejemplo:

La división por la mitad se continúa hasta entonces), el tono en el cociente no resulta ser 1, mientras se dobla otro número en paralelo. El último número duplicado da el resultado deseado. No es difícil entender en qué se basa este método: el producto no cambia si un factor se reduce a la mitad y el otro se duplica. Por tanto, está claro que como resultado de múltiples repeticiones de esta operación, se obtiene el producto deseado.

Sin embargo, qué hacer, si al mismo tiempo nrih. ¿Quieres dividir a la mitad un número impar?

El método popular sale fácilmente de esta dificultad. Es necesario, dice la regla, en el caso de un número impar, soltar uno y dividir el resto por la mitad; pero, por otro lado, todos los números de esta columna que están frente a los números impares de la columna de la izquierda deberán agregarse al número comestible de la columna de la derecha: ¿la suma será la deseada? Yo trabajo. En la práctica, esto se hace de manera que todas las líneas con números pares a la izquierda estén tachadas; sólo quedan los que contienen un número impar a la izquierda.

Aquí hay un ejemplo (los asteriscos indican que esta línea debe estar tachada):

Sumando los números sin cruzar, obtenemos un resultado completamente correcto: 17 + 34 + 272 = 32 ¿En qué se basa esta técnica?

La corrección de la recepción quedará clara si tenemos en cuenta que

19X 17 = (18+ 1) X 17 = 18X17 + 17, 9X34 = (8 + 1) X34 =; 8X34 + 34, etc.

Está claro que los números 17, 34, etc., que se pierden al dividir un número impar por la mitad, deben sumarse al resultado de la última multiplicación para obtener el producto.

Ejemplos de multiplicación acelerada

Mencionamos anteriormente que también existen métodos convenientes para realizar esas acciones de multiplicación individuales en las que se descompone cada una de las técnicas anteriores. Algunos de ellos son muy sencillos y de conveniente aplicación, facilitan tanto los cálculos que no interfiere en absoluto con la memorización para poder utilizarlos en cálculos ordinarios.

Esta, por ejemplo, es la técnica de multiplicación cruzada, que es muy conveniente cuando se trata de números de dos dígitos. El método no es nuevo; se remonta a los griegos y los hindúes y en los viejos tiempos se llamaba "el método del rayo" o "multiplicación con una cruz". Ahora está olvidado y no está de más recordarlo1.

Multipliquemos 24X32. Colocamos mentalmente el número según el siguiente esquema, uno debajo del otro:

Ahora realizamos secuencialmente las siguientes acciones:

1) 4X2 = 8 es el último dígito del resultado.

2) 2X2 = 4; 4X3 = 12; 4 + 12 = 16; 6 - la penúltima cifra del resultado; 1 recordamos.

3) 2X3 = 6, e incluso teniendo en cuenta una unidad, tenemos

7 es el primer dígito del resultado.

Obtenemos todos los números del producto: 7, 6, 8 - 768.

Después de un breve ejercicio, esta técnica se aprende con mucha facilidad.

Otra forma, que consiste en el uso de las llamadas "adiciones", se usa convenientemente en los casos en que los números multiplicados están cerca de 100.

Suponga que quiere multiplicar 92X96. La "suma" de 92 a 100 será 8, de 96 - 4. La acción se realiza según el siguiente esquema: multiplicadores: 92 y 96 "adiciones": 8 y 4.

Los dos primeros dígitos del resultado se obtienen mediante una simple resta del factor de complemento del multiplicado, o viceversa, es decir, restar 4 de 92 o restar 8 de 96.

En este y otro caso, tenemos 88; el producto de "adiciones" se atribuye a este número: 8X4 = 32. Obtenemos el resultado 8832.

Que el resultado obtenido debe ser correcto se ve claramente en las siguientes transformaciones:

92x9b = 88X96 = 88 (100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96 = 4 (88 + 8) = 4X 8 + 88X4 92x96 8832 + 0

Otro ejemplo. Se requiere multiplicar 78 por 77: multiplicadores: 78 y 77 "adiciones": 22 y 23.

78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506, 5500 + 506 = 6006.

Tercer ejemplo. Multiplica 99 X 9.

multiplicadores: 99 y 98 "adiciones": 1 y 2.

99-2 = 97, 1X2 = 2.

En este caso, debe recordarse que 97 aquí significa el número de centenas. Entonces sumamos.