Варіанти множення чисел. Старовинні способи множення

кандидат педагогічних наук Наталя Карпушина.

Щоб освоїти множення багатозначних чисел, Потрібно всього лише знати таблицю множення і вміти складати числа. По суті, вся складність полягає в тому, як правильно розмістити проміжні результати множення (часткові твори). Прагнучи полегшити обчислення, люди придумали безліч способів множення чисел. За багатовікову історію математики їх набралося кілька десятків.

Множення способом решітки. Ілюстрація з першої друкованої книги з арифметики. 1487 рік.

Палички Непера. Цей простий рахунковий прилад вперше був описаний в творі Джона Непера «Рабдологія». 1617 рік.

Джон Непер (1550-1617).

Модель лічильної машини Шиккарда. Це не дійшла до нас обчислювальний пристрій виготовлено винахідником в 1623 році і описано їм роком пізніше в листі Йогану Кеплеру.

Вільгельм Шиккард (1592-1635).

Спадщина індусів - спосіб решітки

Індуси, з давніх часів знали десяткову систему числення, воліли усний рахунок письмовою. Вони винайшли кілька способів швидкого множення. Пізніше їх запозичили араби, а від них ці способи перейшли до європейців. Ті, однак, ними не обмежилися і розробили нові, зокрема той, що вивчається в школі, - множення стовпчиком. Цей спосіб відомий з початку XV століття, в наступному столітті він міцно увійшов у вжиток у математиків, а сьогодні ним користуються повсюдно. Але чи є множення стовпчиком найкращим способом здійснення цього арифметичної дії? Насправді існують і інші, в наш час забуті способи множення, нітрохи не гірше, наприклад спосіб решітки.

Цим способом користувалися ще в давнину, в середні віки він широко поширився на Сході, а в епоху Відродження - в Європі. Спосіб решітки іменували також індійським, мусульманським або «множенням в клітинку». А в Італії його називали «джелозія», або «гратчасте множення» (gelosia в перекладі з італійської - «жалюзі», «гратчасті віконниці»). Дійсно, що виходили при множенні фігури з чисел мали схожість з віконницями-жалюзі, які закривали від сонця вікна венеціанських будинків.

Суть цього нехитрого способу множення пояснимо на прикладі: обчислимо твір 296 × 73. Почнемо з того, що намалюємо таблицю з квадратними клітинами, в якій буде три стовпці і два рядки, - за кількістю цифр в множниках. Розділимо клітини навпіл по діагоналі. Над таблицею запишемо число 296, а з правого боку вертикально - число 73. Перемножимо кожну цифру першого числа з кожною цифрою другого і запишемо твори до відповідних клітини, маючи в своєму розпорядженні десятки над діагоналлю, а одиниці під нею. Цифри шуканого твори отримаємо складанням цифр в косих смугах. При цьому будемо рухатися за годинниковою стрілкою, починаючи з правої нижньої клітини: 8, 2 + 1 + 7 і т.д. Запишемо результати під таблицею, а також зліва від неї. (Якщо при додаванні вийде двозначна сума, вкажемо тільки одиниці, а десятки додамо до суми цифр з наступної смуги.) Відповідь: 21 608. Отже, 296 x 73 \u003d 21 608.

Спосіб решітки ні в чому не поступається множенню стовпчиком. Він навіть простіше і надійніше, при тому, що кількість виконуваних дій в обох випадках однаково. По-перше, працювати доводиться тільки з однозначними і двозначними числами, а ними легко оперувати в розумі. По-друге, не потрібно запам'ятовувати проміжні результати і стежити за тим, в якому порядку їх записувати. Пам'ять розвантажується, а увага зберігається, тому ймовірність помилки зменшується. До того ж спосіб решітки дозволяє швидше отримати результат. Освоївши його, ви зможете переконатися в цьому самі.

Чому спосіб решітки призводить до правильної відповіді? У чому полягає його «механізм»? Розберемося в цьому за допомогою таблиці, побудованої аналогічно першої, тільки в цьому випадку множники представлені як суми 200 + 90 + 6 і 70 + 3.

Як бачимо, в першій косою смузі стоять одиниці, в другій - десятки, в третьому - сотні і т.д. При додаванні вони дають у відповіді відповідно число одиниць, десятків, сотень і т.д. Подальше очевидно:

Інакше кажучи, відповідно до законів арифметики твір чисел 296 і 73 обчислюється так:

296 x 73 \u003d (200 + 90 + 6) x (70 + 3) \u003d 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 \u003d 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 \u003d 21 608.

палички Непера

Множення способом решітки лежить в основі простого і оригінального рахункового приладу - паличок Непера. Його винахідник Джон Непер, шотландський барон і любитель математики, поряд з професіоналами займався удосконаленням засобів і методів обчислення. В історії науки він відомий, перш за все, як один з творців логарифмів.

Прилад складається з десяти лінійок, на яких розміщено таблицю множення. У кожній клітині, розділеної діагоналлю, записано твір двох однозначних чисел від 1 до 9: у верхній частині вказано число десятків, в нижній - число одиниць. Одна лінійка (ліва) нерухома, інші можна переставляти з місця на місце, викладаючи потрібну числову комбінацію. За допомогою паличок Непера легко множити багатозначні числа, зводячи цю операцію до складання.

Наприклад, щоб обчислити добуток чисел 296 і 73, потрібно помножити 296 на 3 і на 70 (спочатку на 7, потім на 10) і скласти отримані числа. Докладемо до нерухомої лінійці три інші - з цифрами 2, 9 і 6 нагорі (вони повинні утворити число 296). Тепер заглянемо в третій рядок (номери рядків вказані на крайній лінійці). Цифри в ній утворюють вже знайомий нам набір.

Складаючи їх, як в способі решітки, отримаємо 296 x 3 \u003d 888. Аналогічно, розглянувши сьомий рядок, знайдемо, що 296 x 7 \u003d 2072, тоді 296 x 70 \u003d 20 720. Таким чином,
296 x 73 \u003d 20 720 + 888 \u003d 21 608.

Палички Непера застосовувалися і для більш складних операцій - ділення і витягання квадратного кореня. Цей рахунковий прилад не раз намагалися вдосконалити і зробити більш зручним і ефективним в роботі. Адже в ряді випадків для множення чисел, наприклад з повторюваними цифрами, потрібні були кілька комплектів паличок. Але така проблема вирішувалася заміною лінійок обертовими циліндрами з нанесеною на поверхню кожного з них таблицею множення в тому ж вигляді, як її представив Непер. Замість одного набору паличок виходило відразу дев'ять.

Подібні хитрощі справді прискорювали і полегшували розрахунки, проте не зачіпали головний принцип роботи приладу Непера. Так спосіб решітки знайшов друге життя, котра тривала ще кілька століть.

машина Шиккарда

Вчені давно замислювалися над тим, як перекласти непросту обчислювальну роботу на механічні пристрої. Перші успішні кроки у створенні рахункових машин вдалося здійснити лише в XVII столітті. Вважається, що раніше інших подібний механізм виготовив німецький математик і астроном Вільгельм Шиккард. Але за іронією долі про це знало лише вузьке коло осіб, і настільки корисний винахід понад 300 років не було відомо світу. Тому воно ніяк не вплинуло на подальший розвиток обчислювальних засобів. Опис і ескізи машини Шиккарда були виявлені всього півстоліття тому в архіві Йоганна Кеплера, а трохи пізніше за збереженими документами була створена її діюча модель.

По суті, машина Шиккарда є шестіразрядний механічний калькулятор, який виконує додавання, віднімання, множення і ділення чисел. У ній три частини: розмножувальне пристрій, пристрій, що підсумовує і механізм для збереження проміжних результатів. Основою для першого послужили, як неважко здогадатися, палички Непера, згорнуті в циліндри. Вони кріпилися на шести вертикальних осях і поверталися за допомогою спеціальних ручок, розташованих нагорі машини. Перед циліндрами розташовувалася панель з дев'ятьма рядами віконець по шість штук в кожному, які відкривалися і закривалися бічними засувками, коли було потрібно побачити потрібні цифри і приховати інші.

В роботі рахункова машина Шиккарда дуже проста. Щоб дізнатися, чому дорівнює твір 296 x 73, потрібно встановити циліндри в положення, при якому в верхньому ряду віконець з'явиться перший множник: 000296. Твір 296 x 3 отримаємо, відкривши віконця третього ряду і підсумувавши побачені цифри, як в способі решітки. Точно так же, відкривши віконця сьомого ряду, одержимо твір 296 x 7, до якого пріпішем справа 0. Залишається тільки скласти знайдені числа на суммирующем пристрої.

Придуманий колись індусами швидкий і надійний спосіб множення багатозначних чисел, багато століть застосовувався при розрахунках, нині, на жаль, забутий. Але ж він міг би виручити нас і сьогодні, якби під рукою не виявилося настільки звичного всім калькулятора.

Мінчева Анна, учениця 6 класу МАОУ ЗОШ №37 м Улан-Уде

Постійне застосування сучасної обчислювальної техніки призводить до того, що учні не можуть проводити будь-які розрахунки, не маючи в своєму розпорядженні таблиць або лічильної машини. Актуальність теми дослідження полягає в тому, що знання спрощених прийомів обчислень дає можливість не тільки швидко виробляти прості розрахунки в розумі, а й контролювати, оцінювати, знаходити і виправляти помилки в результаті механізованих обчислень. Крім того, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять, підвищує рівень математичної культури мислення, допомагає повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.

Завантажити:

Попередній перегляд:

МАОУ «Середня загальноосвітня школа №37 »

Науково-практична конференція «Звичайне диво»

Секція: Арифметика

«Різні способи множення: від давнини до сьогодення»

виконала:

Мінчева Анна,

учениця 6 «бкласса

керівник:

Конєва Галина Михайлівна,

Учитель математики,

«Відмінник освіти РФ»,

Переможець Конкурсу кращих вчителів Росії (2009 г)

Улан-Уде

2017

Рецензія.

Я вважаю, що учениця виконала велику роботу, і ця доповідь буде цікавий учням, що захоплюються математикою, майбутнім економістам.

Учитель вищої категорії: Конєва Г.М.

План.

1. Введення

2.Основні частина. Способи множення натуральних чисел

2.1. Прийом перехресного множення при дії з двозначними числами

2.2. Множення способом «Ревнощі, або гратчасте множення»

2.3. Множення способом «Маленький замок»

2.4. Селянський спосіб множення

2.5. Індійський спосіб множення

2.6.Геометріческій спосіб множення

2.7.Орігінальний спосіб множення на 9 на пальцях

2.8.Способ Оконешніково

3.Заключеніе

«Предмет математики настільки серйозний,
що корисно не упускати випадків робити
його трохи цікавим ». Б. Паскаль

1. Вступ.

людині в повсякденному житті неможливо обійтися без обчислень. Тому на уроках математики нас вчать виконувати дії над числами, тобто вважати. Множимо, ділимо, складаємо і віднімаємо ми звичними для всіх способами, які вивчаються в школі.

На одному з уроків учитель математики показала, як можна помножити, наприклад число 23 на 11. Для цього потрібно подумки розсунути цифри 2 і 3, а на це місце поставити цифру 5, тобто суму чисел 2 і 3. Вийшло число 253. Мені стало цікаво, а чи є ще якісь способи обчислень. Адже здатність швидко робити обчислення викликає відверте здивування.

Постійне застосування сучасної обчислювальної техніки призводить до того, що учні не можуть проводити будь-які розрахунки, не маючи в своєму розпорядженні таблиць або лічильної машини.Актуальність теми дослідження полягає в тому, що знання спрощених прийомів обчислень дає можливість не тільки швидко виробляти прості розрахунки в розумі, а й контролювати, оцінювати, знаходити і виправляти помилки в результаті механізованих обчислень. Крім того, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять, підвищує рівень математичної культури мислення, допомагає повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.

Мета роботи:

Дослідити і вивчити незвичайні способи множення.

Завдання дослідження:

1.Найти якомога більше незвичайних способів обчислень.

2.Навчитися їх застосовувати.

3.Вибрать для себе найцікавіші або легші, ніж ті які пропонуються в школі, і використовувати їх при рахунку.

4.Обучіть своїх однокласників різним методам множення, організувати змагання - математичний бій на заняттях позаурочної діяльності.

Методи дослідження:

Пошуковий метод з використанням наукової та навчальної літератури, інтернету;

Дослідницький метод при визначенні способів множення;

Практичний метод при вирішенні прикладів.

II. З історії обчислювальної практики

Ті способи обчислень, якими ми користуємося зараз, не завжди були такі прості і зручні. За старих часів користувалися більш громіздкими і повільними прийомами. І якби школяр 21 століття міг перенестися на п'ять століть тому, він побив би наших предків швидкістю і безпомилковістю своїх обчислень.

Особливо важкі в старовину були дії множення і ділення. Тоді не існувало одного виробленого практикою прийому для кожної дії. Навпаки, в ходу була одночасно мало не дюжина різних способів множення і ділення - прийоми один іншого заплутаніше, запам'ятати які не в силах була людина середніх здібностей. Кожен учитель рахункового справи тримався свого улюбленого прийому, кожен «магістр ділення» вихваляв власний спосіб виконання цієї дії.

У книзі В. Беллюстин «Як поступово дійшли люди до справжньої арифметики» викладено 27 способів множення, причому автор зауважує: «цілком можливо, що є й ще способи, приховані в тайниках книгосховищ, розкидані в численних, головним чином, рукописних збірниках».

І всі ці прийоми множення - «шаховий або органчиком», «загинанням», «хрестиком», «гратами», «задом наперед», «алмазом» та інші змагалися один з одним і засвоювалися з великими труднощами.

Я почала вивчати і досліджувати деякі із зазначених способів і вибрала найцікавіші.

III. Різні способи множення.

3.1.Способ перехресного множення при дії з двозначними числами

Стародавні греки і індуси в старовину називали прийом перехресного множення «способом блискавки» або «множення хрестиком».

Приклад: 52 х 23 \u003d 1173 5 1

Послідовно проводимо такі дії:

1. 1 х 3 \u003d 3 - це остання цифра результату.

2. 5 х 3 \u003d 15; 1х 2 \u003d 2; 15 + 2 \u003d 17.

7 - передостання цифра у відповіді, одиницю запам'ятовуємо.

3. 5 х 2 \u003d 10, 10 + 1 \u003d 11 - це перші цифри у відповіді.

Відповідь: 1173.

3.2. Стародавній спосіб Луки Пачолі: «Ревнощі, або гратчасте множення»

За тисячоліття розвитку математики було придумано багато способів множення. Крім таблиці множення, все вони громіздкі, складні і важко запам'ятовуються. Вважалося, що для оволодіння мистецтвом швидкого множення потрібно особливе природне обдарування. Простим людям, що не володіє особливим математичним даром, це мистецтво недоступно.

Помножимо число 987 на число 1998.

Малюємо прямокутник, ділимо його на квадрати, квадрати ділимо по діагоналі. Виходить картинка, схожа на гратчасті віконниці венеціанських будинків. Від цього і пішла назва методу.

Вгорі таблиці запишемо число 987, а зліва від низу до верху - 1998 (рис. 1).

У кожен квадрат впишемо твір цифр, розташованих в одному рядку і одному стовпці з цим квадратом. Десятки розташовуються в нижньому трикутнику, а одиниці - в верхньому. Цифри складаються уздовж кожної діагоналі. Результати записуються справа і зліва від таблиці .

Мал. 1 «Ревнощі, або гратчасте множення».

Відповідь: 1972026.

3.3.Еще один спосіб Луки Пачолі: «Маленький замок»

Одне число записується під іншим як при множенні стовпчиком (рис. 2). Потім цифри верхнього числа по черзі множаться на нижню число, причому починають з цифри старшого розряду і кожен раз додають необхідну кількість нулів.

Отримані числа складають між собою.

Мал. 2 «Маленький замок»

Відповідь: 1972026.

висновок:

Порівняємо результати, отримані при множенні чисел 987 і 1998 цими двома способами. Відповіді рівні 1972026.

Очевидно, що дані старовинні способи множення дійсно дуже складні і вимагають обов'язкового знання таблиці множення.

3.4. Русский селянський спосіб множення

У Росії серед селян був поширений спосіб, який не вимагав знання всієї таблиці множення. Тут необхідно лише вміння множити і ділити числа на 2.

Напишемо одне число зліва, а інше справа на одному рядку (рис. 3). Ліве число будемо ділити на 2, а праве - множити на 2 і результати записувати в стовпчик.

Якщо при розподілі виник залишок, то його відкидають. Множення і ділення на 2 продовжують до тих пір, поки зліва не залишиться 1.

Потім викреслюємо ті рядки з стовпчика, в яких зліва стоять парні числа. Тепер складемо залишилися числа в правій колонці.

Мал. 3 «Русский селянським способом»

Відповідь: 1972026.

Висновок: Цей спосіб множення набагато простіше розглянутих раніше способів множення Луки Пачолі. Але він також дуже громіздкий.

3.5. Індійський спосіб множення

Найцінніший внесок у скарбницю математичних знань був здійснений в Індії. Індуси запропонували вживається нами спосіб запису чисел за допомогою десяти знаків: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основа цього способу полягає в ідеї, що одна і та ж цифра позначає одиниці, десятки, сотні або тисячі, залежно від того, яке місце ця цифра займає. Займане місце, в разі відсутності будь - небудь розрядів, визначається нулями, що приписуються до цифр.

Індуси відмінно вважали. Вони придумали дуже простий спосіб множення. Вони множення виконували, починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множимо, поразрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твори і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри. Знак множення ще не був відомий, тому між множниками вони залишали невелику відстань. Наприклад, помножимо їх способом 537 на 6:

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 \u003d 3222) 3222. Відповідь: 3222

3.6. Геометричний спосіб множення

В даному способі використовується геометрична фігура - коло.

Спочатку розглянемо цей спосіб на прикладі. Помножимо, наприклад, число 13 на 24.

1) Креслимо кола. Так як перший множник двозначне число, то два рядки; другий множник теж двозначне число, то і два стовпці. Так число десятків у першому множнику дорівнює 1, то в першому рядку креслимо по одному колу, тобто нічого не змінюємо. Так як число одиниць першого множника дорівнює 3, то у другому рядку креслимо по три кола. (Рис. 4).

Мал. 4

2) Другий множник число 24, то кола, які в першому стовпці ділимо на дві частини, а кола, які в другому стовпці ділимо на чотири частини

(Рис. 5).

Мал. 5

3) Проводимо прямі і вважаємо точки (рис. 6).

Мал. 6 Рис. 7

Відповідь записується в такий спосіб (рис. 7), дивимося знизу вгору кількість точок 12, 2 - остання цифра результату, один в умі, кількість точок у другій області 10 і +1, того 11, 1 пишемо і один в умі, кількість точок в третій області 2 і +1, разом 3. Відповідь: 312.

Цим способом я вирішила багато прикладів. Потім узагальнила приватні приклади ізробила висновок-правило:

1.Чертім кола. Кількість цифр в першому множнику означає кількість рядків, а кількість цифр другого множника означає кількість стовпців.

Якщо число містить 0, коло, що позначає нуль, креслимо пунктирною лінією. Це уявна лінія, точок на ній не існує.

2.Первий цифра першого множника означає кількість концентричних кіл в першому рядку, друга цифра першого множника означає кількість кіл у другому рядку

3.Ціфри другого множника означають, на скільки частин треба ділити кола: перша цифра - для першого стовпця, друга цифра - для другого, і т.д.

4.Получім кола, поділені на частини. У кожній частині ставимо крапку.

6.Запісиваем відповідь за принципом, розглянутому в прикладі.

3.6. Оригінальний спосіб множення на 9 на пальцях

Множення для числа 9 - 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - легше вивітрюється з пам'яті і важче перераховується вручну методом складання, однак саме для числа 9 множення легко відтворюється «на пальцях». Растопирьте пальці на обох руках і поверніть руки долонями від себе. Подумки надайте пальцях послідовно числа від 1 до 10, починаючи з мізинця лівої руки і закінчуючи мізинцем правої руки (це зображено на малюнку).

Припустимо, хочемо помножити 9 на 6. Загинаємо палець з номером, рівним числу, На яке ми будемо множити дев'ятку. У нашому прикладі потрібно загнути палець з номером 6. Кількість пальців зліва від загнутого пальця показує нам кількість десятків у відповіді, кількість пальців справа - кількість одиниць. Зліва у нас 5 пальців не загнуті, праворуч - 4 пальці. Таким чином, 9 · 6 \u003d 54. Нижче на малюнку детально показаний весь принцип «обчислення».

3.7.Современний спосіб Оконешніково

цікавий новий спосіб множення, про який недавно з'явилися повідомлення. Винахідник нової системи усного рахунку кандидат філософських наук Василь Оконешніков стверджує, що людина здатна запам'ятовувати величезний запас інформації, головне - як цю інформацію розташувати. На думку самого вченого, найбільш виграшною в цьому відношенні є девятерічня система - всі дані просто розташовують в дев'яти осередках, розташованих, як кнопочки на калькуляторі.

Вважати за такою таблиці дуже просто. Наприклад, помножимо число 15647 на 5. У частині таблиці, відповідної п'ятірці, вибираємо числа, відповідні цифрам числа по порядку: одиниці, п'ятірці, шістці, четвірці і сімці. Отримуємо: 05 25 30 20 35

Ліву цифру (в нашому прикладі - нуль) залишаємо без змін, а наступні цифри складаємо попарно: п'ятірку з двійкою, п'ятірку з трійкою, нуль з двійкою, нуль з трійкою. Остання цифра також без змін.

В результаті отримуємо: 078235. Число 78235 і є результат множення.

Якщо ж при складанні двох чисел виходить число, що перевершує дев'ять, то його перша цифра додається до попередньої цифри результату, а друга пишеться на «своє» місце.

III. Висновок.

З усіх знайдених мною незвичайних способів рахунку більш цікавим видався спосіб «гратчастого множення або ревнощі». Я показав його своїм однокласникам, і він їм теж дуже сподобався.

Найпростішим мені здався метод «подвоєння і роздвоєння», який використовували російські селяни. Я його використовую при множенні не дуже великих чисел (дуже зручно його використовувати при множенні двозначних чисел).

Зацікавив мене новий спосіб множення, тому що він дозволяє в розумі «перевертати» величезними числами.

Я думаю, що і наш спосіб множення в стовпчик не є досконалим і можна придумати ще більш швидкі і більш надійні способи.

Література.

Література.

Депман І. «Розповіді про математику». - Ленінград .: Просвещение, 1954. - 140 с.

Корнєєв А.А. Феномен російського множення. Історія. http://numbernautics.ru/

Олехнік С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старовинні цікаві завдання». - М .: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 160 с.

Перельман Я. І. Швидкий рахунок. тридцять простих прийомів усного рахунку. Л., 1941 - 12 с.

Перельман Я. І. Цікава арифметика. М.Русанова, 1994-205с.

Енциклопедія «Я пізнаю світ. Математика ». - М .: Астрель Єрмак, 2004.

Енциклопедія для дітей. «Математика». - М .: Аванта +, 2003. - 688 с.

Не любиш математику? Ти просто не вмієш нею користуватися! Насправді, це захоплююча наука. І наша добірка незвичайних методів множення підтверджує це.

Множ на пальцях, як купець

цей метод дозволяє множити числа від 6 до 9. Для початку зігніть обидві руки в кулаки. Потім на лівій руці відігніть стільки пальців, на скільки перший множник більше числа 5. На правій виконай те ж саме для другого множника. Порахуй кількість розігнути пальців і Додай суму на десять. А тепер перемножити суму загнутих пальців лівої і правої руки. Склавши обидві суми, отримаєш результат.

Приклад. Помножимо 6 на 7. Шість більше п'яти на один, значить на лівій руці відгинаємо один палець. А сім - на два, значить на правій - два пальця. У сумі - це три, а після множення на 10 - 30. Тепер перемножимо чотири загнутих пальці лівої руки і три - правою. Отримаємо 12. Сума 30 і 12 дасть 42.

Взагалі-то тут мова йде про простий таблиці множення, яку добре б знати напам'ять. Але цей метод хороший для самоперевірки, та й пальці розім'яти корисно.

Множ, як Ферроль

Цей спосіб отримав назву за прізвищем німецького інженера, який їм користувався. метод дозволяє швидко перемножити числа від 10 до 20. Якщо потренируешься, то зможеш робити це навіть у розумі.

Суть проста. У підсумку завжди буде виходити тризначне число. Так що спочатку вважаємо одиниці, потім - десятки, потім - сотні.

Приклад. Помножимо 17 на 16. Щоб отримати одиниці, множимо 7 на 6, десятки - складаємо твір 1 і 6 з твором 7 і 1, сотні - множимо 1 на 1. В результаті отримаємо 42, 13 і 1. Для зручності запишемо їх в стовпчик і складемо. Ось і результат!

Множ, як японець

Цей графічний спосіб, яким користуються японські школярі, дозволяє легко перемножити дво- і навіть тризначні числа. Щоб випробувати його, приготуй папір і ручку.

Приклад. Помножимо 32 на 143. Для цього намалюємо сітку: перше число відобразимо трьома і двома лініями з відступом по горизонталі, а друге - однієї, чотирма і трьома лініями по вертикалі. У місцях перетину ліній поставимо крапки. В результаті у нас повинно вийти чотиризначний число, тому умовно розділимо таблицю на 4 сектори. І перерахуємо точки, що потрапили в кожний з них. Отримуємо 3, 14, 17 і 6. Щоб отримати відповідь, зайві одинички у 14 і 17 додамо до попереднього числа. Отримаємо 4, 5 і 76 - 4576.

Множ, як італієць

Ще один цікавий графічний спосіб використовується в Італії. Мабуть, він простіше японського: точно не заплутаєшся при перенесенні десятків. Щоб перемножити великі числа з його допомогою, потрібно накреслити сітку. По горизонталі зверху записуємо перший множник, а по вертикалі праворуч - другий. При цьому на кожну цифру повинна припадати одна клітина.

Тепер перемножимо цифри кожного ряду на цифри кожної колонки. Результат запишемо в клітку (розділену надвоє) на їх перетині. Якщо вийшло однозначне число, то в верхню частину клітини пишемо 0, а в нижню - отриманий результат.

Залишилося скласти всі числа, які опинилися в діагональних смужках. Починаємо з нижньої правої клітки. Десятки при цьому додаємо до одиниць в сусідньому стовпчику.

Ось як ми помножили 639 на 12.

Весело, правда? Ненудної тобі математики! І пам'ятай, що гуманітарії в ІТ теж потрібні!

Чотири тисячі років тому жителі Вавилонії винайшли множення. А в березні цього року математики вдосконалили його.

18 березня 2019 два дослідники описали найшвидший з відомих методів перемноження двох дуже великих чисел. Робота відзначає кульмінацію давнього пошуку найбільш ефективної процедури виконання однієї з базових операцій математики.

«Усі думають, що метод множення, який вони вчили в школі, найкращий, але насправді в цій області йдуть активні дослідження», - говорить Йоріс ван дер Хувен, математик з Французького національного центру наукових досліджень, Один із співавторів роботи.

Складність безлічі обчислювальних задач, від підрахунку нових цифр числа π до виявлення великих простих чисел зводиться до швидкості перемноження. Ван дер Хувен описує їх результат як призначення свого роду математичного обмеження швидкості вирішення безлічі інших завдань.

«У фізиці є важливі константи типу швидкості світла, що дозволяють вам описувати всякі явища, - сказав ван дер Хувен. - Якщо ви хочете знати, наскільки швидко комп'ютери можуть вирішувати певні математичні завдання, тоді множення цілих чисел виникає у вигляді якогось базового будівельного блоку, по відношенню до якого можна висловити таку швидкість ».

Майже всі вчаться перемножать числа однаково. Записуємо числа в стовпчик, перемножуємо верхнє число на кожну цифру нижнього (з урахуванням розрядів) і складаємо результат. При перемножуванні двох двозначних чисел доводиться пройти чотири дрібніших перемноження для отримання підсумкового результату.

Шкільний метод "перенесення" вимагає виконання n 2 \u200b\u200bкроків, де n - кількість цифр в кожному з перемножуєте чисел. Обчислення з тризначними числами вимагають дев'яти перемноження, а зі стозначнимі - 10 000.

Метод перенесення нормально працює з числами, що складаються з декількох цифр, однак починає буксувати при перемножуванні чисел, що складаються з мільйонів або мільярдів цифр (чим і займаються комп'ютери при точному підрахунку π або при всесвітньому пошуку великих простих чисел). Щоб перемножити два числа з мільярдом цифр, потрібно буде провести мільярд в квадраті, або 10 18, умножений, - на це у сучасного комп'ютера піде близько 30 років.

Кілька тисячоліть вважалося, що швидше перемножать числа не можна. Потім в 1960 році 23-річний радянський і російський математик Анатолій Олексійович Карацуба відвідав семінар, який вів Андрій Миколайович Колмогоров, радянський математик, один з найбільших математиків XX століття. Колмогоров заявив, що не існує узагальненого способу множення, що вимагає менше, ніж n 2 операцій. Карацуба вирішив, що такий спосіб є - і після тижня пошуків він його виявив.

Анатолій Олексійович Карацуба

Множення Карацуби полягає в розбитті цифр числа і повторної їх комбінації новим способом, який дозволяє замість великої кількості умножений провести меншу кількість складань і вирахувань. Метод економить час, оскільки на складання йде всього 2n кроків замість n 2.

Традиційний метод множення 25х63 вимагає чотири множення на однозначне число і декілька складань

Множення Карацуби 25х63 вимагає трьох множень на однозначне число і декілька складань і вирахувань.
a) розбиваємо числа
b) перемножуємо десятки
c) перемножуємо одиниці
d) складаємо цифри
e) перемножуємо ці суми
f) вважаємо e - b - c
g) збираємо підсумкову суму з b, c і f

При зростанні кількості знаків в числах метод Карацуби можна використовувати рекурсивно.

Традиційний метод множення 2531х1467 вимагає 16 умножений на однозначне число.

Множення Карацуби 2531х1467 вимагає 9 умножений.

«Додавання в школі проходять на рік раніше, тому що це набагато простіше, воно виконується за лінійний час, зі швидкістю читання цифр зліва направо», - сказав Мартін Фюрер, математик з Пенсільванського державного університету, Який створив в 2007 найшвидший на той час алгоритм множення.

Маючи справу з великими числами, Множення Карацуби можна повторювати рекурсивно, розбиваючи початкові числа майже на стільки частин, скільки в них знаків. І з кожним розбиттям ви міняєте множення, що вимагає виконання багатьох кроків, на додавання і віднімання, що вимагають куди як менше кроків.

«Кілька умножений можна перетворити в складання, враховуючи, що з цим комп'ютери будуть справлятися швидше», - сказав Девід Харві, математик з Університету Нового Південного Уельсу і співавтор нової роботи.

Метод Карацуби уможливив множити числа з використанням лише n 1,58 умножений на однозначне число. Потім в 1971 році Арнольд Шёнхаге і Фолькер Штрассен опублікували метод, що дозволяє множити великі числа за n × log n × log (log n) невеликих умножений. Для множення двох чисел з мільярда знаків кожне метод Карацуби зажадає 165 трлн кроків.

Йоріс ван дер Хувен, математик з Французького національного центру наукових досліджень

Метод Шёнхаге-Штрассена використовується комп'ютерами для множення великих чисел, і привів до двох інших важливих наслідків. По-перше, він ввів в експлуатацію техніку з області обробки сигналів під назвою швидке перетворення Фур'є. З тих пір ця техніка була основою всіх швидких алгоритмів множення.

По-друге, в тій же роботі Шёнхаге і Штрассен припустили можливість існування ще більш швидкого алгоритму - методу, що вимагає всього n × log n множень на один знак - і що такий алгоритм буде найшвидший з можливих. Це припущення було засновано на відчутті, що у такої фундаментальної операції, як множення, обмеження операцій має записуватися якось елегантніше, ніж n × log n × log (log n).

«Більшість в общем-то зійшлося на тому, що множення - це така важлива базова операція, що з чисто естетичної точки зору їй потрібно гарне обмеження по складності, - сказав Фюрер. - З досвіду ми знаємо, що математика базових речей в результаті завжди виявляється елегантною ».

Нескладне обмеження Шёнхаге і Штрассена, n × log n × log (log n), трималося 36 років. У 2007 році Фюрер побив цей рекорд, і все закрутилося. За останнє десятиліття математики знаходили все більш швидкі алгоритми множення, кожен з яких поступово підповзав до позначки в n × log n, не зовсім досягаючи її. Потім в березні цього року Харві і ван дер Хувен досягли її.

Їх метод є поліпшенням великої роботи, виконаної до них. Він розбиває числа на знаки, використовує поліпшену версію швидкого перетворення Фур'є і користується іншими проривами, зробленими за останні 40 років. «Ми використовуємо швидке перетворення Фур'є набагато більш грубо, використовуємо його кілька разів, а не один, і замінюємо ще більше умножений складанням і відніманням», - сказав ван дер Хувен.

Алгоритм Харві і ван дер Хувена доводить, що множення можна провести за n × log n кроків. Однак він не доводить відсутність більш швидкого методу. Набагато складніше буде встановити, що їх підхід максимально швидкий. В кінці лютого команда фахівців з інформатики з Орхуського університету опублікувала роботу, де стверджує, що якщо одна з недоведених теорем виявиться вірною, то цей метод і справді буде якнайшвидшим із способів множення.

І хоча в теорії цей новий алгоритм вельми важливий, на практиці він мало що змінить, оскільки лише трохи виграє у вже використовуваних алгоритмів. «Все, на що ми можемо сподіватися, це на триразове прискорення, - сказав ван дер Хувен. - Нічого позамежного ».

Крім того, змінилися схеми комп'ютерного обладнання. Двадцять років тому комп'ютери виконували складання набагато швидше множення. Розрив в швидкостях множення і складання з тих пір серйозно зменшився, в результаті чого на деяких чіпах множення може навіть обганяти складання. Використовуючи певні види обладнання, «можна прискорити складання, змушуючи комп'ютер множити числа, і це якесь божевілля», - сказав Харві.

Устаткування змінюється з часом, але кращі алгоритми свого класу вічні. Незалежно від того, як комп'ютери будуть виглядати в майбутньому, алгоритм Харві і ван дер Хувена все ще буде самим ефективним способом множити числа.

Світ математики дуже великий, але я завжди цікавилася способами множення. Працюючи над цією темою, я дізналася багато цікавого, навчилася підбирати потрібний мені матеріал з прочитаного. Засвоїла, як вирішуються окремі цікаві завдання, головоломки та приклади множення різними способами, а так само і те, на чому грунтуються арифметичні фокуси і інтенсивні прийоми обчислень.

ПРО Множення

Що залишається у більшості людей в голові з того, що вони колись вивчали в школі? Звичайно, у різних людей - різний, але у всіх, напевно, таблиця множення. Крім зусиль, прикладених для її «задалбліванія» згадаємо сотні (якщо не тисячі) завдань, вирішених нами з її допомогою. Триста років тому в Англії людина, яка знає таблицю множення, вже вважався вченим людиною.

Способів множення було придумано багато. Італійський математик кінця XV - початку XVI століття Лука Пачіолі в трактаті про арифметику приводить 8 різних способів множення. У першому, який носить назву «маленький замок», цифри верхнього числа, починаючи зі старшою, по черзі множаться на нижню число і записуються в стовпчик з додаванням потрібного числа нулів. Потім результати складаються. Перевага цього методу перед звичайним полягає в тому, що вже з самого початку визначаються цифри старших розрядів, а це буває важливо при приблизних розрахунках.

Другий спосіб носить не менш романтичну назву «ревнощі» (або загратоване множення). Вимальовується решітка, в яку потім вписують результати проміжних обчислень, точніше, числа з таблиці множення. Решітка є прямокутником, розділеним на квадратні клітини, які, в свою чергу, розділені навпіл діагоналями. Зліва (зверху вниз) писався перший множник, а нагорі - другий. На перетині відповідного рядка і стовпця писався твір стоять в них цифр. Потім отримані числа складалися уздовж проведених діагоналей, а результат записувався в кінці такого стовпчика. Результат прочитувався вздовж нижньої і правої сторін прямокутника. «Такі грати, - пише Лука Пачіолі, - нагадує гратчасті віконниці-жалюзі, які вішалися на венеціанські вікна, заважаючи перехожим бачити сидять біля вікон дам і черниць».

Всі способи множення, описані в книзі Луки Пачіолі, використовували таблицю множення. Однак російські селяни вміли множити і без таблиці. Їх спосіб множення використовував лише множення і ділення на 2. Щоб перемножити два числа, їх записували поруч, а потім ліве число ділили на 2, а праве множили на 2. Якщо при розподілі виходив залишок, то його відкидали. Потім викреслювалися ті рядки в лівій колонці, в яких стоять парні числа. Решта числа в правій колонці складалися. В результаті виходило твір початкових чисел. Перевірте на декількох парах чисел, що це дійсно так. Доказ справедливості цього методу показується за допомогою двійкової системи числення.

Старовинний російський спосіб множення.

З давніх-давен і майже до вісімнадцятого століття російські люди в своїх обчисленнях обходилися без множення і ділення: вони застосовували лише два арифметичних дії - додавання і віднімання, та ще так звані «подвоєння» і «роздвоєння». Сутність російського старовинного способу множення полягає в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл (послідовне, роздвоєння) при одночасному подвоєнні іншого числа. Якщо в творі, наприклад 24 X 5, множимое зменшити в 2 рази ( «роздвоїти»), а множник збільшити в 2 рази

( «Подвоїти»), то твір не зміниться: 24 х 5 \u003d 12 X 10 \u003d 120. приклад:

Розподіл множимо навпіл продовжують до тих пір, поки в приватному не вийде 1, одночасно подвоюючи множник. Останнє подвоєне число и- дає шуканий результат. Значить, 32 X 17 \u003d 1 X 544 \u003d 544.

У ті давні часи подвоєння і роздвоєння приймалися навіть за особливі арифметичні дії. Тільки які ж це особливі. дії? Адже, наприклад, подвоєння числа - це не особливе дію, а всього лише складання даного числа з самим собою.

Зауважимо числа діляться па 2 весь час без залишку. А як же бути, якщо множимое ділиться на 2 із залишком? приклад:

Якщо множимое не ділиться на 2, то від нього спочатку віднімається одиниця, а потім вже проводиться розподіл на 2. Рядки з парними множимо викреслюються, а праві частини рядків з непарними множимо складаються.

21 X 17 \u003d (20 + 1) X 17 \u003d 20 X 17 + 17.

Число 17 запам'ятаємо (перша рядок не викреслюється!), А твір 20 X 17 замінимо рівним йому твором 10 X 34. Але твір 10 X 34, в свою чергу, можна замінити рівним йому твором 5 X 68; тому другий рядок викреслюється:

5 X 68 \u003d (4 + 1) X 68 \u003d 4 X 68 + 68.

Число 68 запам'ятаємо (третя рядок не викреслюється!), А твір 4 X 68 замінимо рівним йому твором 2 X 136. Але твір 2 X 136 можна замінити рівним йому твором 1 X 272; тому четверта рядок викреслюється. Значить, щоб обчислити добуток 21 X 17, потрібно скласти числа 17, 68, 272 - праві частини рядків саме з непарними множимо. Твори ж з парними множимо завжди можна замінити за допомогою роздвоєння множимо і подвоєння множника рівними їм творами; тому такі рядки виключаються з обчислення остаточного твори.

Я спробувала сама множити старовинним способом. Я взяла числа 39 і 247, у мене вийшов такий

Стовпчиків вийдуть ще довші, ніж у мене якщо брати множимое більше, ніж 39. Тоді я вирішив, той же приклад по-сучасному:

Виявляється, наш шкільний спосіб множення чисел значно простіше і економніше, ніж старовинний російський спосіб!

Тільки ми повинні знати перш за все таблицю множення, а наші предки її не знали. Крім того, ми повинні добре знати і саме правило множення, вони ж знали тільки, як подвоювати та роздвоювати числа. Як бачите, ви вмієте множити значно краще і швидше, ніж найвідоміший обчислювач в древньої Русі. Між іншим, кілька тисяч років тому єгиптяни виконували множення майже точно так же, як і російські люди в старовину.

Ось здорово, що люди з різних країн, Множили одним і тим же способом.

Не так давно, всього близько ста років тому, завчити таблицю множення було справою дуже важким для учнів. Щоб переконати учнів в необхідності знання напам'ять таблиці, автори математичних книг здавна вдавалися. до віршів.

Ось кілька рядків з незнайомою нам книги: «Але до множенню потрібно було їсти подальшу таблицю, толь твердо в пам'яті имети, так нехай дещо ждо число, з коімждо помноживши, без жодного повільно речію Сказати, чи написати, такоже 2-Жди 2 є 4 , або 2-Жди 3 є 6, і 3-Жди 3 є 9 та інша ».

Аще хто не твердіт' І у всій науки таблиці і гордіт', несвобод' від муки,

Чи не может 'пізнати Колико НЕ учіт' чіслом' що множаться задарма ся удручіт'

Правда, в цьому уривку і віршах не все зрозуміло: написано якось не зовсім по-російськи, адже все це написано більш 250лет тому, в 1703 році, Леонтієм Пилиповичем Магницким, чудовим російським педагогом, а з тих пір російську мову помітно змінився .

Л. Ф. Магніцький написав і видав перший в Росії друкований підручник арифметики; до нього ж були лише рукописні математичні книги. За «Арифметиці» Л. Ф. Магницького навчався великий російський вчений М. В. Ломоносов, а також багато інших видатні російські вчені вісімнадцятого століття.

А як множили в ті часи, в часи Ломоносова ?. Подивимося приклад.

Як ми зрозуміли, дія множення тоді записували майже так, як і в наш час. Тільки множимое називали «елічество», а твір - «продукт» і, крім того, не писали знак множення.

А як тоді пояснювали множення?

Відомо, що М. В. Ломоносов знав напам'ять всю «Арифметику» Магницького. Відповідно до цього підручником маленький Миша Ломоносов множення 48 на 8 пояснив би так: «8-Жди 8 є 64, я 4 пишу під межею, проти 8, а 6 десятіц у розумі маю. І далі 8-Жди 4 є 32, і я 3 у розумі тримаю, а до 2 докладу 6 десятіц, і буде 8. І це 8 напишу біля 4, в ряд до лівої руки, а 3 поки в розумі суть, напишу в ряд біля 8, до лівої ж руці. І буде з множення 48 з 8 твір 384 ».

Та й ми майже так само пояснюємо, тільки ми говоримо по-сучасному, а не по-старовинному і, крім того, називаємо розряди. Наприклад, 3 треба писати на третьому місці тому, що це будуть сотні, а не просто «в ряд біля 8, до лівої ж руки».

Розповідь «Маша -« фокусніца »».

Я можу вгадувати не тільки день народження, як це робив минулого разу Павлик, а й рік народження, - почала Маша.

Номер місяця, в якому ви народилися, помножте на 100., потім додайте день народження. , Результат помножте на 2., до отриманого числа додайте 2; результат помножте на 5, до отриманого числа додайте 1, до результату припишіть нуль. , До отриманого числа додайте ще 1. і, нарешті, додайте число ваших років.

Готово, у мене вийшло 20721. - кажу я.

* Правильно, - підтвердив я.

А у мене вийшло 81321, - повідомляє Вітя, учень третього класу.

Ти, Маша напевно помилилася, - засумнівався Петя. - Як же так виходить: Вітя з третього класу, а народився теж в 1949 році, як і Саша.

Ні, Маша вірно вгадала, - підтверджує Вітя. Тільки я один рік довго хворів і тому двічі ходив до другого класу.

* А у мене вийшло 111521, - повідомляє Павлик.

Як же так, - запитує Вася, - Павлику теж 10 років, як і Саші, а народився він в 1948 році. Чому ж не в 1949 році?

А тому, що зараз йде вересень, а Павлик народився в листопаді, і йому ще тільки 10 років, хоча він і народився в 1948 році, - пояснила Маша.

Вона вгадала дату народження ще трьох-чотирьох учнів, а потім пояснила, як вона це робить. Виявляється, від останнього числа вона забирає 111, а потім залишок івает на три грані справа наліво по дві цифри. Середні дві цифри позначають день народження, перші дві пли одна - номер місяця, а останні дві цифри число років. Знаючи ж, скільки людині років, неважко визначити і рік народження. Наприклад, у мене вийшло число 20721. Якщо від нього відняти 111, то вийде 20610. Значить, зараз мені 10 років, а народився я 6 лютого. Так як зараз йде вересень 1959, то, значить, я народився в 1949 році.

А чому треба забирати саме 111, а не якесь інше число? - запитали ми. -І чому саме так розподіляються день народження, номер місяця і число років?

А ось дивіться, - пояснила Маша. - Наприклад, Павлик, виконуючи мої вимоги, вирішив такі приклади:

1) 11 X 100 \u003d 1100; 2) 1100 + J4 \u003d 1114; 3) 1114 X 2 \u003d

2228; 4) 2228 + 2 \u003d 2230; 57 2230 X 5 \u003d 11150; 6) 11150 1 \u003d 11151; 7) 11151 X 10 \u003d 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Як видно, номер місяця (11) він примножував на 100, потім на 2, потім ще на 5 і, нарешті, ще на 10 (приписував куль), а всього на 100 X 2 X 5 X 10, тобто на 10000. Значить , 11 стали десятками тисяч, тобто складають третю грань, якщо вважати справа наліво по дві цифри. Так дізнаються номер місяця, в якому ви народилися. День народження (14) він примножував на 2, потім на 5 і, нарешті, ще на 10, а всього на 2 X 5 X 10, тобто на 100. Отже, день народження треба шукати серед сотень, в другій межі, але тут є сторонні сотні. Дивіться: він додавав число 2, яке примножував на 5 і на 10. Значить, у нього вийшло зайвого 2x5x10 \u003d 100 - 1 сотня. Цю 1 сотню я і забираю від 15 сотень в числі 111521, виходить 14 сотень. Так я дізнаюся день народження. Число років (10) ні на що не множилося. Значить, це число потрібно шукати серед одиниць, в першій межі, але тут є сторонні одиниці. Дивіться: він додавав число 1, яке примножував на 10, а потім додавав ще 1. Значить, у нього вийшло всього зайвих 1 х ТО + 1 \u003d 11 одиниць. Ці 11 одиниць я і забираю від 21 одиниці в числі 111521, виходить 10. Так я дізнаюся число л е т. А все, як бачите, від числа 111521 я забирала 100+ 11 \u003d 111. Коли я від числа 111521 відняла 111, то вийшло пня. значить,

Павлик народився 14 листопада, і йому 10 років. Зараз йде 1959 й рік, але я 10 забирала немає від 1959 а від 1958 так як 10 років Павлику виповнилося в минулому році, в листопаді.

Звичайно, таке пояснення відразу не запам'ятаєш, але я постарався зрозуміти його на своєму прикладі:

1) 2 X 100 \u003d 200; 2) 200 + 6 \u003d 206; 3) 206 X 2 \u003d 412;

4) 412 + 2 \u003d 414; 5) 414 X 5 \u003d 2070; 6) 2070 + 1 \u003d 2071; 7) 2071 X 10 \u003d 20710; 8) 20710 + 1 \u003d 20711; 9) 20711 + + 10 \u003d 20721; 20721 - 111 \u003d 2 "ОбТО; 1959 - 10 \u003d 1949;

Головоломка.

Перше завдання: Опівдні з Сталінграда в Куйбишев виходить пасажирський пароплав. Годиною пізніше з Куйбишева в Сталінград виходить товаро-пасажирський пароплав, який рухається повільніше першого пароплава. Коли пароплави зустрінуться, то який із них буде далі від Сталінграда?

Це не звичайна арифметична задача, а жарт! Пароплави будуть на однаковій відстані від Сталінграда, а також і від Куйбишева.

А ось друге завдання, Минулої неділі наш загін і загін п'ятого класу садили дерева вздовж Великий Піонерській вулиці. Загони повинні були посадити порівну дерев, по рівній кількості на кожній стороні вулиці. Як ви пам'ятаєте, наш загін прийшов на роботу раніше, і до приходу п'ятикласників ми встигли посадити 8 дерев, але, як виявилося, не на своєму боці вулиці: ми погарячкували і почали роботу не там, де було потрібно. Потім ми працювали вже на своєму боці вулиці. П'ятикласники закінчили роботу раніше. Однак вони не залишилися в боргу перед нами: перейшли на наш бік і посадили спочатку 8 дерев ( «віддали борг»), а потім ще 5 дерев, і робота нами була закінчена.

Питається, на скільки дерев більше посадили п'ятикласники, ніж ми?

: Звичайно, п'ятикласники посадили тільки на 5 дерев більше, ніж ми: коли вони посадили на нашому боці 8 дерев, то тим самим віддали борг; а коли вони посадили ще 5 дерев, то як би дали нам в борг 5 дерев. Ось і виходить, що вони посадили тільки на 5 дерев більше, ніж ми.

Ні міркування неправильне. Вірно, що п'ятикласники зробили нам ласку, посадивши за нас 5 дерев. Але далі, щоб отримати правильну відповідь, треба міркувати так: ми недовиконали своє завдання на 5 дерев, п'ятикласники ж перевиконали своє на 5 дерев. Ось і виходить, що різниця між числом дерев, посаджених п'ятикласниками, і числом дерев, посаджених нами, становить не 5, а 10 дерев!

А ось останнє завдання-головоломка, Граючи в м'яч, 16 учнів розмістилися по сторонам квадратної майданчики так, що на кожній стороні було по 4 людини. Потім 2 учні пішли Решта перемістилися так, що на кожній стороні квадрата знову виявилося по 4 людини. Нарешті, пішли ще 2 учні, але інші розмістилися так, що на кожній стороні квадрата як і раніше було по 4 людини. Як це могло статися? Вирішіть.

Два прийому швидкого множенні

Одного разу вчитель запропонував своїм учням такий приклад: 84 X 84. Один хлопчик швидко відповів: 7056. «Як ти вважав?» - запитав учня вчитель. - «Я взяв 50 X 144 і викинув 144», - відповів той. Ну-ка, пояснимо як вважав учень.

84 х 84 \u003d 7 X 12 X 7 X 12 \u003d 7 X 7 X 12 X 12 \u003d 49 X 144 \u003d (50 - 1) X 144 \u003d 50 X 144 - 144, а 144 півсотні - це 72 сотні, значить, 84 X 84 \u003d 7200 - 144 \u003d

А тепер порахуємо тим же способом, скільки буде 56 X 56.

56 X 56 \u003d 7 X 8 X 7 X 8 \u003d 49 X 64 \u003d 50 X 64 - 64, тобто 64 півсотні, або ж 32 сотні (3200), без 64 \u200b\u200bт. Е. Щоб помножити число на 49, треба дане число помножити на 50 (півсотні), і з отриманого твори відняти дане число.

А ось приклади на інший спосіб обчислення, 92 X 96, 94 X 98.

Відповіді: 8832 і 9212. Приклад, 93 X 95. Відповідь: 8835. Наші обчислення дали це ж число.

Так швидко можна вважати тільки тоді, коли числа близькі до 100. Знаходимо доповнення до 100 до даних числах: для 93 буде 7, а для 95 буде 5, від першого даного числа віднімаємо доповнення другого: 93 - 5 \u003d 88 - стільки буде в творі сотень, перемножуємо доповнення: 7 X 5 \u003d 3 5 - стільки буде в творі одиниць. Значить, 93 X 95 \u003d 8835. А чому саме так треба робити, пояснити не важко.

Наприклад, 93 - це 100 без 7, а 95 - це 100 без 5. 95 X 93 \u003d (100 - 5) х 93 \u003d 93 X 100 - 93 х 5.

Щоб відняти 5 разів по 93, можна 5 разів відняти по 100, але зате додати 5 раз по 7. Тоді виходить:

95 х 93 \u003d 93 х 100 - 5 х 100 + 5 х 7 \u003d 93 сот. - 5 сот. + 5 X 7 \u003d (93 - 5) сот. + 5 x 7 \u003d 8800 + 35 \u003d \u003d 8835.

97 X 94 \u003d (97 - 6) X 100 + 3 X 6 \u003d 9100 + 18 \u003d 9118, 91 X 95 \u003d (91 - 5) х 100 + 9 х 5 \u003d 8600 + 45 \u003d 8645.

Множення в. доміно.

За допомогою кісток доміно легко зобразити деякі випадки множення багатозначних чисел на однозначне число. наприклад:

402 Х 3 і 2663 Х 4

Переможцем буде визнаний той, хто за певний час зуміє використати найбільше число кісток доміно, складаючи приклади на множення трьох-, чотиризначних чисел на однозначне число.

Приклади на множення чотиризначних чисел на однозначне.

2234 Х 6; 2425 Х 6; 2336 Х 1; 526 Х 6.

Як видно, використано лише 20 кісток доміно. Складено приклади на множення не тільки чотиризначних чисел на однозначне число, а й трьох-, і п'яти-, і шестизначних чисел на однозначне число. Використано 25 кісток і складені такі приклади:

Однак все 28 кісток все-таки можна використовувати.

Розповіді про те, чи добре знав арифметику старий Хоттабич.

Розповідь «Я отримую з арифметики« 5 »».

Як тільки на наступний день я зайшов до Міші, він відразу ж запитав: «Що нового, цікавого було на занятті гуртка?» Я показав Міші і його друзям, як розумно жали в старовину російські люди. Потім я запропонував їм в розумі порахувати, скільки буде 97 X 95, 42 X 42 і 98 X 93. Вони, звичайно, без олівця і паперу не змогли цього зробити і дуже здивувалися, коли я майже миттєво дав на ці приклади правильні відповіді. Нарешті, ми всі разом вирішили цю додому завдання. Виявляється, дуже важливо, як розташовані точки на аркуші паперу. Залежно від цього можна через чотири точки провести і одну, і чотири, і шість прямих ліній, але не більше.

Потім я запропонував хлопцям скласти приклади на множення з кісток доміно так, як це робилося на гуртку. Нам вдалося використати за 20, за 24 і навіть по 27 кісток, але з в с е х 28 ми так і не змогли скласти приклади, хоча просиділи за-цим заняттям довго.

Миша згадав, що сьогодні в кінотеатрі демонструється фільм «Старий Хоттабич». Ми швидше закінчили займатися арифметикою і побігли в кіно.

Ось це картина! Хоч і казка, а все одно цікаво: розповідається про нас, хлопчаків, про шкільного життя, А також про дивакуватого мудреця - джин Хоттабича. А здорово наплутав Хоттабич, підказуючи Волькен по географії! Як видно, в давно минулі часи навіть мудреці індійські - джини - дуже-дуже погано знали географію, i Цікаво, а як став «б підказувати старий Хоттабич, якби Волька здавав іспит з математики? Ймовірно, Хоттабич і арифметику-то як слід не знав.

Індійський спосіб множення.

Нехай потрібно умнвжіть 468 на 7. Зліва пишемо множимое, праворуч множник:

У індійців не було знака множення.

Тепер я 4 множимо на 7, вийде 28. Це число записуємо надціфрой 4.

Тепер 8 множимо на 7, вийде 56. 5 додаючи до 28, вийде 33; 28 зітремо, а 33 запишемо, 6 запишемо над цифрою 8:

Виходило дуже цікаво.

Тепер 6 множимо на 7, вийде 42, 4 додаючи до 36, вийде 40; 36 зітремо, а 40 запишемо; 2 ж запишемо над цифрою 6. Отже, 486 помножити на 7, вийде 3402:

Вірно вирішено, але тільки не чень-то швидко і зручно! Так саме множили славнозвісні в той час обчислювачі.

Як бачите, старий Хоттабич арифметику знав зовсім не погано. Однак запис дій він виробляв не так, як це робимо ми.

Давно-давно, більше тисячі трьохсот років тому, індійці були кращими обчислювачами. Однак вони не мали ще паперу, і все обчислення виробляли на невеликій чорній дошці, роблячи на ній записи тростинним пером і застосовуючи дуже рідку білу фарбу, яка залишала знаки, легко стирається.

Коли ми пишемо крейдою на дошці, то це трохи нагадує індійський спосіб запису: на чорному тлі з'являються білі знаки, які легко прати і виправляти.

Індійці виробляли обчислення також і на білій дошці, посипаною червоним порошком, на якій вони писали знаки маленької паличкою, так що з'являлися білі знаки на червоному полі. Приблизно така ж картина виходить, коли ми пишемо крейдою на червоній або коричневої дошці - лінолеумі.

Знака множення в той час ще не існувало, і між множимо і множником оставлялся лише Деякий проміжок. Індійським способом можна було б множити, починаючи і з одиниць. Однак самі індійці множення виконували починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множимо, поразрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твори і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри.

Приклад множення індійським способом.

Арабська спосіб множення.

Ну, а як же, в самому датою, виконувати множення індійським способом, якщо записувати на папері ?.

Цей прийом множення для запису на папері пристосували араби, Знаменитий учений давнини узбек Мухаммед ібн Муса Альхваріз-ми (Мухаммед син Муси з Хорезма- міста, який був розташований на території сучасної Узбецької РСР) понад тисячу років тому виконував множення на пергаменті так:

Як видно, він не стирав непотрібні цифри (на папері це робити вже незручно), а викреслювати їх; нові ж цифри він записував над закреслено, зрозуміло, поразрядно.

Приклад множення таким же способом, роблячи записи в зошиті.

Значить, 7264 X 8 \u003d 58112. А як же множити на двозначне число, на багатозначне ?.

Прийом множення залишається той же, однак запис при цьому значно ускладнюється. Наприклад, потрібно помножити 746 на 64. Спочатку множили на 3 десятка, виходило

Значить, 746 X 34 \u003d 25364.

Як бачите, викреслювання непотрібних цифр і заміна їх новими цифрами при множенні навіть на двозначне число призводить до занадто громіздкою записи. А що буде, якщо множити на три-, чотиризначне число ?!

Так, арабська спосіб множення не дуже зручно.

Цей спосіб множення тримався в Європі аж до вісімнадцятого століття, цілих тисячу років. Він називався способам хрестика, або хиазмом, так як між перемножуємо числами ставилося грецька буква X (хі), поступово замінена косим хрестом. Ось тепер ми добре бачимо, що наш сучасний спосіб множення є найпростішим і зручним, напевно найкращим з усіх можливих способів множення.

Так, сам наш шкільний спосіб множення багатозначних чисел є дуже хорошим. Однак запис множення можна робити і по-іншому. Мабуть, найкраще було б це робити, наприклад, так:

Такий спосіб і справді хороший: множення починається зі старшого розряду множника, нижчий розряд неповних творів записується під відповідним розрядом множника, ніж усувається можливість помилки в тому випадку, коли в будь-якому розряді множника зустрічається нуль. Приблизно так записують множення багатозначних чисел чехословацькі школярі. От цікаво. А ми-то думали, що арифметичні дії можна записувати тільки так, як це прийнято у нас.

Ще кілька головоломок.

Ось вам перша, простенька задача: Турист може пройти за годину 5 км. Скільки кілометрів він пройде за 100 годин?

Відповідь: 500 кілометрів.

А це ще велике питання! Треба знати точніше, як турист йшов ці 100 годин: без відпочинку або з перепочинками. Інакше кажучи, треба знати: 100 годин - це час руху туриста або ж просто час його перебування в дорозі. Бути в русі поспіль 100 годин людина, напевно, не в змозі: це ж більше чотирьох діб; та й швидкість руху при цьому весь час зменшувалася б. Інша справа, якщо турист йшов з перепочинками на обід, на сон і т. Д. Тоді він за 100 годин руху може пройти і все 500 км; тільки в дорозі він повинен бути вже не чотири доби, а приблизно доби дванадцять (якщо буде проходити за день в середньому 40 км). Якщо ж він у шляху був 100 годин, то міг пройти приблизно лише 160 180 км.

Різні відповіді. Значить в умову задачі треба дещо додати, інакше відповідь дати неможливо.

Вирішимо тепер таку задачу: 10 курчат в 10 днів з'їдають 1 кг зерна. Скільки кілограмів зерна з'їдять 100 курчат в 100 днів?

Рішення: 10 курчат в 10 днів з'їдають 1 кг зерна, значить, 1 курча за ті ж 10 днів з'їдаєте 10 разів менше, тобто 1000 г: 10 \u003d 100 м

В один день курча з'їдає ще в 10 раз менше, тобто 100 г: 10 \u003d 10 м Тепер ми знаємо, що 1 курча в 1 день з'їдає 10 г зерна. Значить, 100 курчат в день з'їдають в 100 разів більше, тобто

10 г X 100 \u003d 1000 г \u003d 1 кг. У 100 ж днів вони з'їдять ще в 100 разів більше, тобто 1 кг X 100 \u003d 100 кг \u003d 1 ц. Значить, 100 курчат в 100 днів з'їдають цілий центнер зерна.

Є рішення більш швидке: курчат більше в 10 разів і годувати треба довше в 10 разів, отже, всього зерна треба більше в 100 разів, тобто 100 кг. Однак у всіх цих міркуваннях є одне упущення. Подумаємо і знайдемо помилку в міркуваннях.

: -Зверніть увагу на останнє міркування: «100 курчат в один день з'їдають 1 кг зерна, а за 100 днів вони з'їдять в 100 разів більше. »

Адже за 100 днів (це ж більше трьох місяців!) Курчата помітно підростуть і в день будуть з'їдати вже не по 10 г зерна, а грамів по 40 - 50, так як звичайна курка в день з'їдає приблизно 100 г зерна. Значить, за 100 днів 100 курчат з'їдять Не 1 ц зерна, а значно більше: центнера два-три.

А ось вам останнє завдання-головоломка про зав'язуванні вузла: «На столі лежить шматок мотузки, витягнутий по прямій. Треба взяти його однією рукою за один, іншою рукою за інший кінець і, не випускаючи решт мотузки з рук, зав'язати вузол. »Звісна річ, одні завдання легко розбирати, йдучи від даних до питання завдання, а інші, навпаки, йдучи від питання завдання до даних.

Ну, ось ми і спробували розібрати цю задачу, йдучи від питання до даних. Нехай вузол на мотузці вже є, а кінці її знаходяться в руках і не випускаються. Спробуємо від вирішеною завдання повернутися до її даними, до вихідного положення: мотузка лежить, витягнута на столі, і кінці її не випускаються з рук.

Виявляється, що якщо виправити мотузку, не випускаючи решт її з рук, то ліва рука, йдучи під витягнутої мотузкою і над правою рукою, тримає правий кінець мотузки; а права рука, йдучи над мотузкою і під лівою рукою, тримає лівий кінець мотузки

Думаю після такого розбору завдання всім стало ясно, як зав'язати вузол на мотузці, треба виконати все в зворотному порядку.

Ще два прийому швидкого множення.

Я покажу вам, як швидко множити такі числа, як наприклад 24 і 26, 63 і 67, 84 і 86 ит. п., тобто коли в співмножником десятки "ов порівну, а одиниці складають разом рівно 10. Задавайте приклади.

* 34 і 36, 53 і 57, 72 і 78,

* Вийде 1224, 3021, 5616.

Наприклад, треба 53 помножити на 57. Я 5 множу на 6 (на 1 більше, ніж 5), виходить 30 - стільки сотень в творі; 3 множу на 7, виходить 21 - стільки одиниць в творі. Значить, 53 X 57 \u003d 3021.

* А як це пояснити?

(50 + 3) X 57 \u003d 50 X 57 + 3 X 57 \u003d 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) \u003d 50 X 50 + 7 X 50 + 3 х 50 + 3 X 7 \u003d 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 \u003d 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 \u003d \u003d: 25 сот. + 5 сот. +3 X 7 \u003d 30 сот. + 3 X 7 \u003d 5 X 6 сот. + 21.

Подивимося, як можна швидко множити двозначні числа в межах 20. Наприклад, щоб помножити 14 на 17, треба скласти одиниці 4 і 7, вийде 11 -Стільки буде десятків в творі (тобто 10 одиниць). Потім треба 4 помножити на 7, вийде 28 - стільки буде одиниць в творі. Крім того, до отриманих числах 110 і 28 треба додати ще рівно 100. Значить, 14 X 17 \u003d 100 + 110 + 28 \u003d 238. Справді:

14 X 17 \u003d 14 X (10 + 7) \u003d 14 X 10 + 14 X 7 \u003d (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 \u003d 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 \u003d 100 + (4 + 7) X 10 + 4 X 7 \u003d 100+ 110 + + 28.

Після цього ми вирішили ще такі приклади: 13 х 16 \u003d 100 + (3 + 6) X 10 + 3 х 6 \u003d 100 + 90 + + 18 \u003d 208; 14 X 18 \u003d 100 + 120 + 32 \u003d 252.

Множення на рахунках

Ось кілька прийомів, користуючись якими всякий вміє швидко складати на рахунках зможе швидко виконувати зустрічаються на практиці приклади у м н о ж е н і я.

Множення на 2 і на 3 замінюється дворазовим і триразовим складанням.

При множенні на 4 множать спочатку на 2 і складають цей результат з самим собою.

Множення числа на 5 виконується на рахунках так: переносять все число однієї дротом вище, тобто множать його на 10, а потім ділять це 10-кратне число навпіл (як ділити на 2 за допомогою рахунків.

Замість множення на 6 множать на 5 і додають множити.

Замість множення на 7, множать на 10 і віднімають множити три рази.

Множення на 8 замінюють множенням на 10 мінус два множимо.

Точно так же множать на 9: замінюють множенням на 10 мінус одне множити.

При множенні на 10 переносять, як ми вже сказали, всі числа однієї дротом вище.

Читач, мабуть, уже сам зрозуміє, як треба поводитись при множенні на числа, великі 10, і якого роду заміни тут виявляться найбільш зручними. Множник 11 треба, звичайно, замінити на 10 + 1. множник 12 замінюють на 10 + 2 або практично-на 2 + 10, т. Е. Спочатку відкладають подвоєне число, а потім додають подесятереною. Множник 13 замінюється на 10 + 3 і т. Д.

Розглянемо кілька особливих випадків для множників першої сотні:

Легко бачити, між іншим, що за допомогою рахунків дуже зручно множити на такі числа, як на 22, 33, 44, 55 і т. П.; тому треба прагнути при розбивці множників користуватися подібними числами з однаковими цифрами.

До схожих прийомів вдаються і при множенні на числа, великі 100. Якщо подібні штучні прийоми стомлюючі, то ми завжди, звичайно, можемо помножити за допомогою рахунків по загальним правилом, Множачи кожну цифру множника і записуючи приватні твори - це все ж дає деяке скорочення часу.

"Русский" спосіб множення

Ви не можете виконати множення багатозначних чисел, - хоча б навіть двозначних, - якщо не пам'ятаєте напам'ять всіх результатів множення однозначних чисел, т. Е. Того, що називається таблицею множення. У старовинній «Арифметиці» Магницького, про яку ми вже згадували, необхідність твердого знання таблиці множення оспівана в таких (чужих для сучасного слуху) віршах:

Аще хто не твердіт' таблиці і гордіт', Чи не может 'пізнати чіслом' що множаться

І по все науки несвобод' від муки, Колико НЕ учіт' задарма ся удручіт'

І в користь не будет аще ю забудет'.

Автор цих віршів, очевидно, не знав або не врахував, що існує спосіб перемножать числа і без знання таблиці множення. Спосіб цей, схожий на наші шкільні прийоми, вжито був в ужитку російських селян і успадкований ними від глибокої давнини.

Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа. Ось приклад:

Розподіл навпіл продовжують до тих пір), пеку в приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвійну кількість і дає шуканий результат. Неважка зрозуміти, на чому цей спосіб заснований: твір не зрад я-ється, якщо один множник зменшити вдвічі, а інший - удвічі же збільшити. Ясно тому, що в результаті мното-кратного повторення цієї операції виходить шукане твір.

Однак що робити, якщо при цьому нріх. одітся ділити навпіл число непарне?

Народний спосіб легко виходить з цього утруднення. Треба, говорить правило, в разі непарного числа про ткінуть одиницю і ділити залишок навпіл; але зате до поїв еднему числу правого стовпчика потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти н е ч е т н и х чисел лівого столбца- сума і буде шуканий? л твором. Практично це роблять так, що всі рядки з парними лівими числами закреслюють; залишаються тільки ті, які містять наліво непарне число.

Наведемо приклад (зірочки вказують, що даний рядок треба закреслити):

Склалися не закреслені числа, отримуємо цілком правильний результат: 17 + 34 + 272 \u003d 32 На чому грунтується такий прийом?

Правильність прийому стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що

19Х 17 \u003d (18 + 1) Х 17 \u003d 18X17 + 17, 9Х34 \u003d (8 + 1) Х34 \u003d; 8Х34 + 34 і т. Д.

Ясно, що числа 17, 34 і т. П., Втрачаються при розподілі непарного числа навпіл, необхідно додати до результату останнього множення, щоб отримати твір.

Приклади прискореного множення

Ми згадували раніше, що для виконання тих окремих дій множення, на які розпадається кожен із зазначених вище прийомів, існують також зручні способи. Деякі з них досить нескладні і зручно застосовні вони настільки полегшують обчислення, що не заважає взагалі запам'ятати їх, щоб користуватися при звичайних розрахунках.

Такий, наприклад, прийом перехресного множення, досить зручний при дії з двозначними числами. Спосіб не новий; він сходить до греків і індусам і за старих часів називався «способом блискавки», або «множенням хрестиком». Тепер він забутий, і про нього не заважає напомніть1.

Нехай потрібно перемножити 24X32. Подумки маємо число за наступною схемою, одне під іншим:

Тепер послідовно виконуємо наступні дії:

1) 4X2 \u003d 8 - це остання цифра результату.

2) 2X2 \u003d 4; 4X3 \u003d 12; 4 + 12 \u003d 16; 6 - передостання цифра результату; 1 запам'ятовуємо.

3) 2X3 \u003d 6, та ще утримана в розумі одиниця, маємо

7- це перша цифра результату.

Отримуємо все цифри твори: 7, 6, 8 - 768.

Після нетривалого вправи прийом цей засвоюється дуже легко.

Інший спосіб, що складається у вживанні так званих "доповнень", зручно застосовується в тих випадках, коли перемножуємо числа близькі до 100.

Припустимо, що потрібно перемножити 92X96. "Доповнення" для 92 до 100 буде 8, для 96 - 4. Дія проводять за такою схемою: множники: 92 і 96 "доповнення": 8 і 4.

Перші дві цифри результату виходять простим відніманням з множника "доповнення" множимо або навпаки; т. Е. З 92 віднімають 4 або з 96 віднімають 8.

8том обох випадках маємо 88; до цього числа приписують твір "доповнень": 8X4 \u003d 32. Отримуємо результат 8832.

Що отриманий результат повинен бути вірний, наочно видно з наступних перетворень:

92х9б \u003d 88X96 \u003d 88 (100-4) \u003d 88 X 100-88X4

1 4X96 \u003d 4 (88 + 8) \u003d 4х 8 + 88X4 92х96 8832 + 0

Ще приклад. Потрібно перемножити 78 на 77: множники: 78 і 77 "доповнення": 22 і 23.

78 - 23 \u003d 55, 22 X 23 \u003d 506, 5500 + 506 \u003d 6006.

Третій приклад. Перемножити 99 X 9.

множники: 99 і 98 "доповнення": 1 і 2.

99-2 \u003d 97, 1X2 \u003d 2.

В даному випадку треба пам'ятати, що 97 означає тут число сотень. Тому складаємо.