Лекционен курс по теоретична механика. Курс на лекции по техническа механика

1 слайд

Курс на лекции по теоретична механика Динамика (I част) Бондаренко A.N. Москва - 2007 Електронният учебен курс е написан на базата на лекции, изнесени от автора за студенти, обучаващи се в специалностите СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТ и МИИТ (1974-2006). Образователен материалсъответства календарни плановев продължение на три семестъра. За да приложите напълно анимационни ефекти по време на презентация, трябва да използвате програма за преглед на Power Point не по-ниска от вградения Microsoft Office операционна система Windows-XP Professional. Коментарите и предложенията могат да бъдат изпращани по имейл: [защитен с имейл]. Московски държавен железопътен университет (MIIT) Катедра по теоретична механика Научно-технически център по транспортни технологии

2 слайд

Съдържание Лекция 1. Въведение в динамиката. Закони и аксиоми на динамиката материална точка. Основно уравнение на динамиката. Диференциални и естествени уравнения на движението. Две основни задачи на динамиката. Примери за решаване на директната задача на динамиката Лекция 2. Решаване на обратната задача на динамиката. Общи инструкциикъм решението на обратната задача на динамиката. Примери за решаване на обратната задача на динамиката. Движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, без да се отчита съпротивлението на въздуха. Лекция 3. Праволинейни трептения на материална точка. Условието за възникване на трептения. Класификация на вибрациите. Свободни вибрации, без да се вземат предвид силите на съпротивление. заглушени вибрации. Декремент на трептене. Лекция 4. Принудителни трептения на материална точка. Резонанс. Влияние на съпротивлението на движение при принудителни вибрации. Лекция 5. Относително движение на материална точка. Инерционни сили. Конкретни случаи на движение за различни видове преносими движения. Влияние на въртенето на Земята върху равновесието и движението на телата. Лекция 6. Динамика на механична система. механична система. Външни и вътрешни сили. Център на масата на системата. Теорема за движението на центъра на масите. Закони за опазване. Пример за решаване на задачата за използване на теоремата за движението на центъра на масата. Лекция 7. Импулс на сила. Количеството движение. Теорема за промяната на импулса. Закони за опазване. Теорема на Ойлер. Пример за решаване на задачата за използването на теоремата за промяната на импулса. момент на инерция. Теорема за промяна на ъгловия импулс Лекция 8. Закони за запазване. Елементи на теорията на инерционните моменти. Кинетичен момент на твърдо тяло. Диференциално уравнениевъртене на твърдо тяло. Пример за решаване на задачата за използване на теоремата за промяна на ъгловия момент на системата. Елементарна теория на жироскопа. Препоръчителна литература 1. Yablonsky A.A. Курс по теоретична механика. Част 2. М.: гимназия. 1977. 368 с. 2. Мешчерски И.В. Сборник от задачи по теоретична механика. М.: Наука. 1986 416 стр. 3. Сборник със задачи за курсови работи/ Изд. А.А. Яблонски. М.: Висше училище. 1985. 366 с. 4. Бондаренко A.N. “ Теоретична механикав примери и задачи. Динамика” (електронно ръководство www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004 г.

3 слайд

Лекция 1 Динамика е раздел от теоретичната механика, който изучава механичното движение от самото начало. обща точкавизия. Движението се разглежда във връзка със силите, действащи върху обекта. Разделът се състои от три раздела: Динамика на материална точка Динамика на механична система Аналитична механика ■ Динамика на точка – изучава движението на материална точка, като се вземат предвид силите, които предизвикват това движение. Основният обект е материална точка - материално тяло с маса, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати. Основни допускания: - съществува абсолютно пространство (то има чисто геометрични свойства, които не зависят от материята и нейното движение. - има абсолютно време (не зависи от материята и нейното движение). От това следва: - има абсолютно неподвижна референтна система - времето не зависи от движението на референтната система - масите на движещите се точки не зависят от движението на референтната система Тези предположения се използват в класическата механика, създадена от Галилей и Нютон Той все още има доста широк обхват, тъй като разглежданите в приложните науки механични системи нямат такъв в големи количестваи скорости на движение, за които е необходимо да се вземе предвид тяхното влияние върху геометрията на пространството, времето, движението, както се прави в релативистичната механика (теорията на относителността). ■ Основните закони на динамиката, открити за първи път от Галилей и формулирани от Нютон, са в основата на всички методи за описание и анализ на движението на механичните системи и тяхното динамично взаимодействие под действието на различни сили. ■ Закон за инерцията (закон на Галилео-Нютон) - Изолирана материална точка на тялото запазва състоянието си на покой или униформа праволинейно движениедокато приложените сили го накарат да промени това състояние. Това предполага еквивалентност на състоянието на покой и движение по инерция (законът за относителността на Галилей). Референтната система, по отношение на която е изпълнен законът за инерцията, се нарича инерционна. Свойството на материалната точка да се стреми да запази скоростта на своето движение (кинематичното си състояние) непроменена се нарича инерция. ■ Законът за пропорционалността на силата и ускорението (Основно уравнение на динамиката - законът на Нютон II) - Ускорението, придадено на материална точка чрез сила, е право пропорционално на силата и обратно пропорционално на масата на тази точка: или Тук m е масата на точката (мярка за инерция), измерена в kg, числено равна на теглото, разделено на ускорението на гравитацията: F е действащата сила, измерена в N (1 N придава ускорение от 1 m / s2 на точка от маса 1 kg, 1 N \u003d 1 / 9,81 kg-s). ■ Динамика на механична система – изучава движението на съвкупност от материални точки и твърди тела, обединени от общите закони на взаимодействие, като се вземат предвид силите, които предизвикват това движение. ■ Аналитична механика – изучава движението на несвободни механични системи с помощта на общ аналитични методи. 1

4 слайд

Лекция 1 (продължение - 1.2) Диференциални уравнения на движение на материална точка: - диференциално уравнение на движение на точка във векторна форма. - диференциални уравнения на движението на точката в координатна форма. Този резултат може да бъде получен чрез формална проекция на векторното диференциално уравнение (1). След групирането, векторната връзка се разлага на три скаларни уравнения: В координатна форма: Използваме връзката на радиус-вектор с координати и вектор на сила с проекции: диференциално уравнение на движение по естествени (движещи се) координатни оси: или: - естествени уравнения на движението на точка. ■ Основно уравнение на динамиката: - съответства на векторния начин за определяне на движението на точка. ■ Законът за независимост на действието на силите - Ускорението на материална точка под действието на няколко сили е равно на геометричната сума от ускоренията на точка от действието на всяка от силите поотделно: или Законът е валиден за всяко кинематично състояние на телата. Силите на взаимодействие, приложени към различни точки (тела), не са балансирани. ■ Законът за равенството на действието и реакцията (закон на Нютон III) - Всяко действие съответства на еднаква и противоположно насочена реакция: 2

5 слайд

Два основни проблема на динамиката: 1. Директен проблем: Дава се движение (уравнения на движение, траектория). Необходимо е да се определят силите, под чието действие се осъществява дадено движение. 2. Обратна задача: Дадени са силите, под чието действие възниква движението. Необходимо е да се намерят параметри на движение (уравнения на движение, траектория на движение). И двете задачи се решават с помощта на основното уравнение на динамиката и неговата проекция върху координатните оси. Ако се разглежда движението на несвободна точка, тогава, както в статиката, се използва принципът на освобождаване от връзки. В резултат на реакцията връзките се включват в състава на силите, действащи върху материалната точка. Решението на първия проблем е свързано с операции за диференциране. Решаването на обратната задача изисква интегриране на съответните диференциални уравнения, а това е много по-трудно от диференцирането. Обратната задача е по-трудна от директната. Решението на директната задача за динамиката - нека разгледаме примери: Пример 1. Кабина с тежест G на асансьор се повдига от въже с ускорение a . Определете напрежението на кабела. 1. Изберете обект (кабината на асансьора се движи напред и може да се разглежда като материална точка). 2. Изхвърляме връзката (кабела) и я заменяме с реакцията R. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: Определяме реакцията на кабела: Определяме напрежението на кабела: При равномерно движение на кабината ay = 0 и напрежението на кабела е равно на тежестта: T = G. При скъсване на кабела T = 0 и ускорението на кабината е равно на ускорението на свободното падане: ay = -g. 3 4. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста y: y Пример 2. Точка с маса m се движи по хоризонтална повърхност (равнината Oxy) съгласно уравненията: x = a coskt, y = b coskt. Определете силата, действаща върху точката. 1. Изберете обект (материална точка). 2. Изхвърляме връзката (равнината) и я заместваме с реакцията N. 3. Добавяме неизвестна сила F към системата от сили 4. Съставяме основното уравнение на динамиката: 5. Проектираме основното уравнение на динамиката върху x , y оси: Определете проекциите на силата: Модул на силата: Косинус на посоката: По този начин големината на силата е пропорционална на разстоянието на точката до центъра на координатите и е насочена към центъра по линията, свързваща точката с центъра . Траекторията на движението на точката е елипса, центрирана в началото: O r Лекция 1 (продължение - 1.3)

6 слайд

Лекция 1 (продължение 1.4) Пример 3: Товар с тежест G е окачен на въже с дължина l и се движи по кръгова пътека в хоризонтална равнина с определена скорост. Ъгълът на отклонение на кабела от вертикалата е равен на. Определете напрежението на кабела и скоростта на натоварване. 1. Изберете обект (товар). 2. Изхвърлете връзката (въжето) и я заменете с реакцията R. 3. Съставете основното уравнение на динамиката: От третото уравнение определете реакцията на кабела: Определете напрежението на кабела: Заменете стойността на реакцията на кабела, нормално ускорение във второто уравнение и определете скоростта на товара: 4. Проектирайте основното уравнение динамиката на осите,n,b: Пример 4: Автомобил с тегло G се движи по изпъкнал мост (радиус на кривина е R ) със скорост V. Определете налягането на автомобила върху моста. 1. Избираме обект (кола, пренебрегваме размерите и го разглеждаме като точка). 2. Изхвърляме връзката (груба повърхност) и я заместваме с реакциите N и силата на триене Ffr. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: 4. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста n: От тук определяме нормалната реакция: Определяме налягането на автомобила върху моста: От тук можем да определим скоростта съответстващо на нулево налягане върху моста (Q = 0): 4

7 слайд

Лекция 2 След заместване на намерените стойности на константите получаваме: Така под действието на една и съща система от сили материална точка може да извърши цял клас движения, определени от началните условия. Началните координати отчитат първоначалното положение на точката. Началната скорост, дадена от проекциите, отчита влиянието върху нейното движение по разглеждания участък от траекторията на силите, които са действали върху точката преди да пристигнат в този участък, т.е. начално кинематично състояние. Решение на обратната задача на динамиката - В общия случай на движение на точка, силите, действащи върху точката, са променливи, които зависят от времето, координатите и скоростта. Движението на точка се описва от система от три диференциални уравнения от втори ред: След интегриране на всяко от тях, ще има шест константи C1, C2,…., C6: Стойностите на константите C1, C2,… ., C6 се намират от шест начални условия при t = 0: Пример 1 на решението на обратната задача: Свободна материална точка с маса m се движи под действието на сила F, която е постоянна по величина и величина. . В началния момент скоростта на точката е v0 и съвпада по посока със силата. Определете уравнението на движението на точка. 1. Съставяме основното уравнение на динамиката: 3. Понижаваме реда на производната: 2. Избираме декартовата референтна система, насочвайки оста x по посока на силата и проектираме основното уравнение на динамиката върху тази ос: или xyz 4. Отделете променливите: 5. Изчислете интегралите от двете части на уравнението : 6. Нека представим проекцията на скоростта като производна по време на координатата: 8. Изчислете интегралите от двете части на уравнението: 7. Разделете променливите: 9. За да определим стойностите на константите C1 и C2, използваме началните условия t = 0, vx = v0 , x = x0: В резултат получаваме уравнението за равномерно променливо движение (по протежение на ос x): 5

8 слайд

Общи инструкции за решаване на преки и обратни задачи. Процедура за решаване: 1. Съставяне на диференциалното уравнение на движение: 1.1. Изберете координатна система - правоъгълна (фиксирана) с неизвестна траектория на движение, естествена (движеща се) с известна траектория, например окръжност или права линия. IN последен случайможе да се използва една праволинейна координата. Референтната точка трябва да се комбинира с първоначалното положение на точката (при t = 0) или с равновесното положение на точката, ако съществува, например, когато точката се колебае. 6 1.2. Начертайте точка в позиция, съответстваща на произволен момент от времето (за t > 0), така че координатите да са положителни (s > 0, x > 0). Предполагаме също, че проекцията на скоростта в тази позиция също е положителна. В случай на трептения проекцията на скоростта променя знака, например при връщане в положение на равновесие. Тук трябва да се приеме, че в разглеждания момент от време точката се отдалечава от положението на равновесие. Изпълнението на тази препоръка е важно в бъдеще при работа със съпротивителни сили, които зависят от скоростта. 1.3. Освободете материалната точка от връзките, заменете тяхното действие с реакции, добавете активни сили. 1.4. Запишете основния закон на динамиката във векторна форма, проектирайте върху избрани оси, изразете дадени или реактивни сили по отношение на време, координати или променливи на скоростта, ако те зависят от тях. 2. Решение на диференциални уравнения: 2.1. Намалете производната, ако уравнението не е сведено до каноничната (стандартна) форма. например: или 2.2. Отделни променливи, например: или 2.4. Изчислете неопределените интеграли от лявата и дясната страна на уравнението, например: 2.3. Ако в уравнението има три променливи, тогава направете промяна на променливите, например: и след това отделете променливите. Коментирайте. Вместо да се изчислява неопределени интеграливъзможно е да се изчислят определени интеграли с променлива горна граница. Долните граници представляват началните стойности на променливите (начални условия). Тогава няма нужда да се намира отделно константата, която автоматично се включва в решението, например: Използвайки началните условия, например, t = 0 , vx = vx0, определете константата на интегриране: 2.5. Изразете скоростта по отношение на производната по време на координатата, например, и повторете стъпки 2.2 -2.4 Забележка. Ако уравнението се сведе до канонична форма, която има стандартно решение, тогава това е решение до ключи се използва. Константите на интегриране все още се намират от началните условия. Вижте например трептения (лекция 4, стр. 8). Лекция 2 (продължение 2.2)

9 слайд

Лекция 2 (продължение 2.3) Пример 2 за решаване на обратната задача: Силата зависи от времето. Товар с тежест P започва да се движи по гладка хоризонтална повърхност под действието на сила F, чиято величина е пропорционална на времето (F = kt). Определете разстоянието, изминато от товара за време t. 3. Съставете основното уравнение на динамиката: 5. Намалете реда на производната: 4. Проектирайте основното уравнение на динамиката върху оста x: или 7 6. Разделете променливите: 7. Изчислете интегралите от двете части на уравнение: 9. Представете проекцията на скоростта като производна на координатата по време: 10. Изчислете интегралите на двете части на уравнението: 9. Разделете променливите: 8. Определете стойността на константата C1 от начално условие t = 0, vx = v0=0: В резултат получаваме уравнението на движението (по оста x), което дава стойността на изминатото разстояние за време t: 1. Избираме референтната система (декартова координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Приемаме обекта на движение като материална точка (тялото се движи напред), освобождаваме го от връзката (референтна равнина) и го заменяме с реакцията (нормална реакция на гладка повърхност) : 11. Определете стойността на константата C2 от началното условие t = 0, x = x0=0: Пример 3 за решаване на обратната задача: Силата зависи от координатата. Материална точка с маса m се изхвърля нагоре от земната повърхност със скорост v0. Силата на гравитацията на Земята е обратно пропорционална на квадрата на разстоянието от точката до центъра на тежестта (центъра на Земята). Определете зависимостта на скоростта от разстоянието y до центъра на Земята. 1. Избираме референтната система (декартови координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Съставяме основното уравнение на динамиката: 3. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста y: или Коефициентът на пропорционалност може се намира с помощта на теглото на точка от повърхността на Земята: R Оттук диференциалът, уравнението изглежда така: или 4. Намалете реда на производната: 5. Променете променливата: 6. Отделете променливите: 7. Изчислете интеграли от двете страни на уравнението: 8. Заменете границите: В резултат получаваме израз за скоростта като функция на координатата y: Максималната височина на полета може да бъде намерена чрез приравняване на скоростта към нула: максималната височина на полета когато знаменателят се обърне на нула: От тук, при задаване на радиуса на Земята и ускорението на свободно падане, се получава II космическа скорост:

10 слайд

Лекция 2 (продължение 2.4) Пример 2 за решаване на обратната задача: Силата зависи от скоростта. Кораб с маса m имаше скорост v0. Съпротивлението на водата срещу движението на кораба е пропорционално на скоростта. Определете времето, необходимо за намаляване на скоростта на кораба наполовина след изключване на двигателя, както и разстоянието, изминато от кораба до пълно спиране. 8 1. Избираме референтна система (декартови координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Вземаме обекта на движение като материална точка (корабът се движи напред), освобождаваме го от връзки (вода) и го заменяме с реакция (подемна сила - сила на Архимед), а също и силата на съпротивление на движение. 3. Добавете активна сила (гравитация). 4. Съставяме основното уравнение на динамиката: 5. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста x: или 6. Понижаваме реда на производната: 7. Разделяме променливите: 8. Изчисляваме интегралите от двете части от уравнението: 9. Заместваме границите: Получава се израз, който свързва скоростта и времето t, от които можете да определите времето на движение: Времето на движение, през което скоростта ще спадне наполовина: То е интересно да се отбележи, че когато скоростта се доближи до нула, времето на движение клони към безкрайност, т.е крайната скорост не може да бъде нула. Защо не "вечно движение"? В този случай обаче изминатото разстояние до спирката е крайна стойност. За да определим изминатото разстояние, се обръщаме към израза, получен след понижаване на реда на производната и правим промяна на променливата: След интегриране и заместване на границите, получаваме: Изминато разстояние до спирката: ■ Движение на точка, хвърлена в ъгъл спрямо хоризонта в равномерно гравитационно поле, без да се отчита съпротивлението на въздуха. Елиминирайки времето от уравненията на движение, получаваме уравнението на траекторията: Времето на полета се определя чрез приравняване на координатата y на нула: Обхватът на полета се определя чрез заместване на време на полет:

11 слайд

Лекция 3 Праволинейни трептения на материална точка - Осцилаторното движение на материална точка възниква при условие, че има възстановяваща сила, която се стреми да върне точката в равновесно положение при всяко отклонение от това положение. 9 Има възстановяваща сила, положението на равновесието е стабилно Няма възстановяваща сила, положението на равновесие е нестабилно Няма възстановяваща сила, положението на равновесие е безразлично Тя винаги е насочена към положение на равновесие, стойността е право пропорционална на линейното удължение (скъсяване) на пружината, равна на отклонението на тялото от равновесното положение: c е коефициентът на коравина на пружината, числено равен на силата под при което пружината променя дължината си с единица, измерена в N/m в системата SI. x y O Видове вибрации на материална точка: 1. Свободни вибрации (без да се отчита съпротивлението на средата). 2. Свободни трептения, като се отчита съпротивлението на средата (затихващи трептения). 3. Принудителни вибрации. 4. Принудителни трептения, като се отчита съпротивлението на средата. ■ Свободни трептения - възникват под действието само на възстановяваща сила. Нека запишем основния закон на динамиката: Нека изберем координатна система, центрирана в позицията на равновесие (точка O) и проектираме уравнението върху оста x: Нека приведем полученото уравнение в стандартен (каноничен) вид: Това уравнение е хомогенно линейно диференциално уравнение от втори ред, формата на решението на което се определя от корените на характеристиката на уравнението, получено с помощта на универсалното заместване: Корените на характеристичното уравнение са въображаеми и равни: Общото решение на диференциалното уравнение има вида: Скорост на точката: Начални условия: Определете константите: И така, уравнението на свободните вибрации има вида: Уравнението може да бъде представено с едночленен израз: където a е амплитудата, - начална фаза. Новите константи a и - са свързани с константите C1 и C2 чрез отношенията: Да дефинираме a и: Причината за възникване на свободни трептения е началното преместване x0 и/или началната скорост v0.

12 слайд

10 Лекция 3 (продължение 3.2) Затихване на трептения на материална точка - Осцилаторното движение на материална точка възниква при наличие на възстановяваща сила и сила на съпротивление на движение. Определя се зависимостта на силата на съпротивление на движение от преместването или скоростта физическа природасреда или комуникация, която пречи на движението. Най-простата зависимост е линейна зависимост от скоростта (вискозно съпротивление): - коефициент на вискозитет xy O Основно уравнение на динамиката: Проекция на уравнението на динамиката върху оста: Нека приведем уравнението към стандартния вид: където Характеристичното уравнение има корени: Общото решение на това диференциално уравнение има различна форма в зависимост от стойностите на корените: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - случай на висока вискозна устойчивост: - истински корени, различни. или - тези функции са апериодични: 3. n = k: - корените са реални, кратни. тези функции също са апериодични:

13 слайд

Лекция 3 (продължение 3.3) Класификация на решенията на свободните трептения. Пружинни връзки. еквивалентна твърдост. y y 11 Диф. Символ на уравнение. Корени на уравнение char. уравнение Решаване на диференциално уравнение Графика nk n=k

14 слайд

Лекция 4 Принудителни вибрации на материална точка - Заедно с възстановяващата сила действа и периодично променяща се сила, наречена смущаваща сила. Смущаващата сила може да има различно естество. Например, в конкретен случай инерционният ефект на небалансирана маса m1 на въртящ се ротор причинява хармонично променящи се проекции на сила: Основното уравнение на динамиката: Проекцията на уравнението на динамиката върху оста: Нека приведем уравнението към стандарта форма: 12 Решението на това нехомогенно диференциално уравнение се състои от две части x = x1 + x2: x1 е общото решение на съответното хомогенно уравнение и x2 е конкретно решение нехомогенно уравнение: Избираме конкретно решение под формата на дясната страна: Полученото равенство трябва да бъде изпълнено за всяко t . Тогава: или Така, при едновременното действие на възстановяващите и смущаващите сили, материалната точка извършва сложно колебателно движение, което е резултат от добавянето (суперпозицията) на свободни (x1) и принудителни (x2) вибрации. Ако п< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (принудени трептения с висока честота), тогава фазата на трептенията е противоположна на фазата на смущаващата сила:

15 слайд

Лекция 4 (продължение 4.2) 13 Динамичен коефициент - съотношението на амплитудата на принудителните трептения към статичното отклонение на точка под действието на постоянна сила H = const: Амплитудата на принудителните трептения: Статичното отклонение може да се намери от уравнение на равновесие: Тук: Оттук: Така, в p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (висока честота на принудителното трептене) динамичен коефициент: Резонанс – възниква, когато честотата на принудителните трептения съвпада с честотата на собствените трептения (p = k). Това най-често се случва при стартиране и спиране на въртенето на лошо балансирани ротори, монтирани върху еластични окачвания. Диференциалното уравнение на трептения с равни честоти: Не може да се вземе конкретно решение под формата на дясната страна, т.к. ще се получи линейно зависимо решение (виж общото решение). Общо решение: Заместете в диференциалното уравнение: Да вземем конкретно решение във формата и да изчислим производните: По този начин се получава решението: или Принудителните трептения при резонанс имат амплитуда, която нараства неограничено пропорционално на времето. Влияние на съпротивлението на движение при принудителни вибрации. Диференциалното уравнение при наличие на вискозно съпротивление има вида: Общото решение се избира от таблицата (Лекция 3, стр. 11) в зависимост от съотношението на n и k (виж). Взимаме конкретно решение във формата и изчисляваме производните: Заместване в диференциалното уравнение: Уравняване на коефициентите при едно и също тригонометрични функцииполучаваме система от уравнения: Като повдигнем двете уравнения на степен и ги добавим, получаваме амплитудата на принудителните трептения: Като разделим второто уравнение на първото, получаваме фазовото изместване на принудителните трептения: Така уравнението на движение за принудителни трептения, като се вземе предвид съпротивлението на движение, например при n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 слайд

Лекция 5 Относително движение на материална точка – Да приемем, че движещата се (неинерциална) координатна система Oxyz се движи по някакъв закон спрямо фиксираната (инерционна) координатна система O1x1y1z1. Движението на материална точка M (x, y, z) спрямо подвижната система Oxyz е относително, спрямо неподвижната система O1x1y1z1 е абсолютно. Движението на мобилната система Oxyz спрямо фиксираната система O1x1y1z1 е преносимо движение. 14 z x1 y1 z1 O1 xy M xyz O Основно уравнение на динамиката: Абсолютно ускорение на точка: Заместете абсолютното ускорение на точка в основното уравнение на динамиката: Нека прехвърлим членовете с транслационно и Кориолисово ускорение в дясната страна: прехвърлените членове имат размерността на силите и се считат за съответните инерционни сили, равни: Тогава относителното движение на точката може да се счита за абсолютно, ако добавим транслационните и кориолисовите сили на инерцията към действащите сили: В проекции върху осите на движещата се координатна система, имаме: въртенето е равномерно, тогава εe = 0: 2. Транслационно криволинейно движение: Ако движението е праволинейно, тогава = : Ако движението е праволинейно и равномерно, тогава движещата се система е инерционна и относителната движението може да се счита за абсолютно: Никакви механични явления не могат да открият праволинейна униформа движение (принцип на относителността на класическата механика). Влияние на въртенето на Земята върху равновесието на телата – Да приемем, че тялото е в равновесие на земната повърхност на произволна ширина φ (паралели). Земята се върти около оста си от запад на изток с ъглова скорост: Радиусът на Земята е около 6370 km. S R- пълна реакциянеравна повърхност. G - сила на привличане на Земята към центъра. Ф - центробежна сила на инерцията. Условие на относителното равновесие: Резултатът от силите на привличане и инерция е силата на гравитацията (теглото): Величината на силата на гравитацията (теглото) върху повърхността на Земята е P = mg. Центробежната сила на инерцията е малка част от силата на гравитацията: Отклонението на силата на гравитацията от посоката на силата на привличане също е малко: По този начин влиянието на въртенето на Земята върху баланса на телата е изключително малко и не се взема предвид при практическите изчисления. Максималната стойност на инерционната сила (при φ = 0 - при екватора) е само 0,00343 от стойността на гравитацията

17 слайд

Лекция 5 (продължение 5.2) 15 Влияние на въртенето на Земята върху движението на телата в земното гравитационно поле – Да предположим, че тяло пада на Земята от определена височина H над земната повърхност на географска ширина φ . Нека изберем движеща се отправна система, неподвижно свързана със Земята, насочваща осите x, y тангенциално към паралела и меридиана: Уравнението на относителното движение: Тук се взема предвид малкостта центробежна силаинерция в сравнение с гравитацията. Така силата на гравитацията се отъждествява със силата на гравитацията. Освен това приемаме, че гравитацията е насочена перпендикулярно на земната повърхност поради малкото отклонение, както беше обсъдено по-горе. Ускорението на Кориолис е равно на и насочено успоредно на оста y на запад. Силата на инерция на Кориолис е насочена в обратна посока. Проектираме уравнението на относителното движение върху оста: Решението на първото уравнение дава: Начални условия: Решението на третото уравнение дава: Начални условия: Третото уравнение приема формата: Начални условия: Неговото решение дава: Полученото решение показва, че тялото се отклонява на изток при падане. Нека изчислим стойността на това отклонение, например, при падане от височина 100 м. Откриваме времето на падане от решението на второто уравнение: По този начин влиянието на въртенето на Земята върху движението на телата е изключително малко за практически височини и скорости и не се взема предвид при техническите изчисления. Решението на второто уравнение също предполага наличието на скорост по оста y, която също трябва да предизвика и причинява съответното ускорение и инерционната сила на Кориолис. Влиянието на тази скорост и свързаната с нея инерционна сила върху промяната в движението ще бъде дори по-малко от разглежданата инерционна сила на Кориолис, свързана с вертикалната скорост.

18 слайд

Лекция 6 Динамика на механична система. Система от материални точки или механична система - Набор от материални точки или материални точки, обединени от общи закони на взаимодействие (позицията или движението на всяка точка или тяло зависи от позицията и движението на всички останали) Система безплатни точки- чието движение не е ограничено от никакви връзки (например планетна система, в която планетите се разглеждат като материални точки). Система от несвободни точки или несвободна механична система - движението на материални точки или тела е ограничено от ограниченията, наложени на системата (например механизъм, машина и т.н.). 16 Сили, действащи върху системата. В допълнение към съществуващата преди това класификация на силите (активни и реактивни сили), се въвежда нова класификация на силите: 1. Външни сили (д) - действащи върху точки и тела на системата от точки или тела, които не са част от тази система. 2. Вътрешни сили (i) - сили на взаимодействие между материални точки или тела, включени в дадената система. Една и съща сила може да бъде както външна, така и вътрешна сила. Всичко зависи от това коя механична система се разглежда. Например: В системата на Слънцето, Земята и Луната всички гравитационни сили между тях са вътрешни. Когато разглеждаме системата Земята и Луната, гравитационните сили, приложени от страната на Слънцето, са външни: CZL Въз основа на закона за действието и реакцията, всяка вътрешна сила Fk съответства на друга вътрешна сила Fk', равна по абсолютна стойност и противоположна по посока. От това следват две забележителни свойства на вътрешните сили: Главният вектор на всички вътрешни сили на системата е равен на нула: Основният момент на всички вътрешни сили на системата спрямо всеки център е равен на нула: Или в проекции върху координатата оси: Забележка. Въпреки че тези уравнения са подобни на уравненията на равновесието, те не са, тъй като вътрешните сили се прилагат към различни точки или тела на системата и могат да накарат тези точки (тела) да се движат една спрямо друга. От тези уравнения следва, че вътрешните сили не влияят на движението на система, разглеждана като цяло. Центърът на масата на системата от материални точки. За да се опише движението на системата като цяло, се въвежда геометрична точка, наречена център на масата, чийто радиус вектор се определя от израза, където M е масата на цялата система: Или в проекции върху координатата оси: Формулите за центъра на масата са подобни на тези за центъра на тежестта. Концепцията за центъра на масата обаче е по-обща, тъй като не е свързана със силите на гравитацията или силите на гравитацията.

19 слайд

Лекция 6 (продължение 6.2) 17 Теорема за движението на центъра на масата на системата - Разгледайте система от n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултантни Fke и Fki. Нека запишем за всяка точка основното уравнение на динамиката: или Нека сумираме тези уравнения върху всички точки: От лявата страна на уравнението ще въведем масите под знака на производната и ще заменим сбора от производните с производната от сумата: От определението на центъра на масата: Заместете в полученото уравнение: получаваме или: Произведението на масата на системата и ускорението на нейната централна маса е равно на главния вектор на външните сили. При проекции върху координатните оси: Центърът на масата на системата се движи като материална точка с маса, равна на масата на цялата система, към която се прилагат всички външни сили, действащи върху системата. Последици от теоремата за движението на центъра на масата на системата (закони за запазване): 1. Ако във времевия интервал главният вектор на външните сили на системата е нула, Re = 0, то скоростта на центъра на масата е постоянна, vC = const (центърът на масата се движи равномерно праволинейно - законът за запазване на центъра на движението на масата). 2. Ако във времевия интервал проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е равна на нула, Rxe = 0, то скоростта на центъра на масата по оста x е постоянна, vCx = const (центърът на масата се движи равномерно по оста). Подобни твърдения са верни за осите y и z. Пример: Двама души с маси m1 и m2 се намират в лодка с маса m3. В началния момент лодката с хора почива. Определете изместването на лодката, ако човек с маса m2 се премести до носа на лодката на разстояние a. 3. Ако във времевия интервал главният вектор на външните сили на системата е равен на нула, Re = 0, а в началния момент скоростта на центъра на масата е нула, vC = 0, то радиус векторът на центърът на масата остава постоянен, rC = const (центърът на масата е в покой е законът за запазване на положението на центъра на масата). 4. Ако в интервала от време проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е равна на нула, Rxe = 0, а в началния момент скоростта на центъра на масата по тази ос е нула , vCx = 0, тогава координатата на центъра на масата по оста x остава постоянна, xC = const (центърът на масата не се движи по тази ос). Подобни твърдения са верни за осите y и z. 1. Обект на движение (лодка с хора): 2. Изхвърляме връзки (вода): 3. Заменяме връзката с реакция: 4. Добавете активни сили: 5. Запишете теоремата за центъра на масата: Проектирайте върху оста x: O Определете колко далеч трябва да прехвърлите до човек с маса m1, така че лодката да остане на място: Лодката ще се премести на разстояние l в обратна посока.

20 слайд

Лекция 7 Силовият импулс е мярка за механично взаимодействие, която характеризира предаването на механично движение от силите, действащи върху точка за даден период от време: 18 В проекции върху координатни оси: В случай на постоянна сила: В проекции върху координатни оси: към точката на сила в същия интервал от време: Умножете по dt: Интегрирайте за даден интервал от време: Инерцията на точката е мярка за механично движение, определена от вектор, равен на произведението на масата на точка и нейния вектор на скоростта: Теорема за промяната в импулса на системата - Разгледайте системата n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултантни Fke и Fki. Нека напишем за всяка точка основното уравнение на динамиката: или Количество на движение на система от материални точки - геометричната сума от количествата на движение на материални точки: По дефиниция на центъра на масата: Векторът на импулса на системата е равно на произведението на масата на цялата система и вектора на скоростта на центъра на масата на системата. Тогава: В проекции върху координатните оси: Производната по време на вектора на инерцията на системата е равна на главния вектор на външните сили на системата. Нека сумираме тези уравнения върху всички точки: От лявата страна на уравнението въвеждаме масите под знака на производната и заменяме сбора на производните с производната на сумата: От дефиницията на импулса на системата: В проекции върху координатните оси:

21 слайд

Теорема на Ойлер - Прилагане на теоремата за промяната в импулса на системата към движението континуум(вода). 1. Избираме като обект на движение обема вода, разположен в криволинейния канал на турбината: 2. Изхвърляме връзките и заменяме тяхното действие с реакции (Rpov - резултатът от повърхностните сили) 3. Добавяме активни сили (Rb - резултатът на силите на тялото): 4. Запишете теоремата за промяната на импулса на системата: Количеството движение на водата в моменти t0 и t1 ще бъде представено като суми: Промяна в импулса на водата във времевия интервал : Промяна в импулса на водата за безкрайно малък интервал от време dt: , където F1 F2 Като вземем произведението на плътността, площта на напречното сечение и скоростта на секундна маса, получаваме: Замествайки диференциала на импулса на системата в теоремата за промяна , получаваме: Последици от теоремата за изменението на импулса на системата (закони за запазване): 1. Ако във времевия интервал главният вектор на външните сили на системата е равен на нула, Re = 0, то движението на вектора на количеството е постоянно, Q = const е законът за запазване на импулса на системата). 2. Ако във времевия интервал проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е равна на нула, Rxe = 0, то проекцията на импулса на системата върху оста x е постоянна, Qx = const. Подобни твърдения са верни за осите y и z. Лекция 7 (продължение на 7.2) Пример: Граната с маса M, летяща със скорост v, се взриви на две части. Скоростта на един от фрагментите с маса m1 се увеличава в посока на движение до стойността v1. Определете скоростта на втория фрагмент. 1. Обектът на движение (граната): 2. Обектът е свободна система, няма връзки и техните реакции. 3. Добавете активни сили: 4. Запишете теоремата за промяната в импулса: Проектирайте върху оста: β Разделете променливите и интегрирайте: Десният интеграл е почти нула, т.к. време на експлозия t

22 слайд

Лекция 7 (продължение 7.3) 20 Ъгловият импулс на точка или кинетичният момент на движение спрямо определен център е мярка за механично движение, определена от вектор, равен на векторното произведение на радиус вектора на материална точка и вектор на нейния импулс: Кинетичният момент на система от материални точки спрямо определен център е геометричен сумата от моментите от броя на движенията на всички материални точки спрямо същия център: В проекции върху оста: В проекции върху оста: Теорема за промяната в момента на инерцията на системата - Разгледайте система от n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултантни Fke и Fki. Нека запишем за всяка точка основното уравнение на динамиката: или Нека сумираме тези уравнения за всички точки: Нека заменим сбора на производните с производната на сбора: Изразът в скоби е моментът на импулса на системата. От тук: Умножаваме векторно всяко едно от равенствата по радиус-вектора вляво: Да видим дали е възможно да вземем знака на производната извън векторното произведение: Така получаваме: център. В проекции върху координатните оси: Производната на момента на инерцията на системата спрямо някаква ос във времето е равна на главния момент на външните сили на системата спрямо същата ос.

23 слайд

Лекция 8 21 ■ Последици от теоремата за изменението на ъгловия импулс на системата (закони за запазване): 1. Ако във времевия интервал векторът на главния момент на външните сили на системата спрямо определен център е равен до нула, MOe = 0, тогава векторът на ъгловия импулс на системата спрямо същия център е постоянен, KO = const е законът за запазване на импулса на системата). 2. Ако във времевия интервал основният момент на външните сили на системата спрямо оста x е равен на нула, Mxe = 0, то ъгловият импулс на системата спрямо оста x е постоянен, Kx = const. Подобни твърдения са верни за осите y и z. 2. Инерционен момент на твърдо тяло около ос: Моментът на инерция на материална точка около ос е равен на произведението на масата на точката и квадрата на разстоянието на точката до оста. Момент на инерция на твърдо тяло около ос е равно на суматапроизведенията на масата на всяка точка и квадрата на разстоянието на тази точка от оста. ■ Елементи от теорията на инерционните моменти – Кога въртеливо движениеМярката за инерция на твърдото тяло (съпротивление на промяна на движението) е моментът на инерция спрямо оста на въртене. Помислете за основните понятия на определението и методите за изчисляване на инерционните моменти. 1. Инерционен момент на материална точка около оста: При прехода от дискретна малка маса към безкрайно малка маса на точка, границата на такава сума се определя от интеграла: аксиален инерционен момент на твърдо тяло . В допълнение към аксиалния инерционен момент на твърдо тяло, има и други видове инерционни моменти: центробежният инерционен момент на твърдо тяло. полярен момент на инерция на твърдо тяло. 3. Теорема за инерционните моменти на твърдо тяло около успоредни оси - формулата за прехода към успоредни оси: Инерционен момент около базовата ос Статични инерционни моменти около референтните оси Маса на тялото Разстояние между осите z1 и z2 Така : моментите са нула:

24 слайд

Лекция 8 (продължение 8.2) 22 Инерционен момент на равномерен прът с постоянно сечение около оста: xz L Изберете елементарния обем dV = Adx на разстояние x: x dx Елементарна маса: За изчисляване на инерционния момент около централната ос (преминавайки през центъра на тежестта), достатъчно е да промените местоположението на оста и да зададете границите на интегриране (-L/2, L/2). Тук демонстрираме формулата за преход към успоредни оси: zС 5. Инерционният момент на хомогенен твърд цилиндър около оста на симетрия: H dr r Нека отделим елементарния обем dV = 2πrdrH (тънък цилиндър с радиус r) : Елементарна маса: Тук използваме формулата за обем на цилиндъра V=πR2H. За да се изчисли инерционният момент на кух (дебел) цилиндър, е достатъчно да зададете границите на интегриране от R1 до R2 (R2> R1): 6. Инерционният момент на тънък цилиндър около оста на симетрия (t

25 слайд

Лекция 8 (продължение 8.3) 23 ■ Диференциално уравнение на въртене на твърдо тяло около ос: Нека напишем теорема за промяна на ъгловия импулс на твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос: Инерцията на въртящо се твърдо тяло е: Моментът на външните сили около оста на въртене е равно на въртящия момент (реакциите и силата не създават гравитационни моменти): Заместваме кинетичния момент и въртящия момент в теоремата Пример: Двама души с еднакво тегло G1 = G2 висят на въже хвърлен върху твърд блок с тежест G3 = G1/4. В един момент един от тях започна да се изкачва по въжето с относителна скорост u. Определете скоростта на повдигане на всеки човек. 1. Изберете обекта на движение (блок с хора): 2. Изхвърлете връзките (поддържащото устройство на блока): 3. Сменете връзката с реакции (лагер): 4. Добавете активни сили (гравитация): 5. Запишете теоремата за промяна на кинетичния момент на системата по отношение на оста на въртене на блока: R Тъй като моментът на външните сили е равен на нула, кинетичният момент трябва да остане постоянен: В началния момент на времето t = 0, има беше равновесен и Kz0 = 0. След началото на движението на един човек спрямо въжето, цялата система започна да се движи, но кинетичният момент на системата трябва да остане равен на нула: Kz = 0. Ъгловият момент на система е сумата от ъгловите импулси както на хората, така и на блока: Тук v2 е скоростта на второто лице, равна на скоростта на кабела, Пример: Определете периода на малки свободни трептения на хомогенен прът с маса M и дължина l, окачена от единия край към фиксирана ос на въртене. Или: В случай на малки трептения sinφ φ: Период на трептене: Инерционен момент на пръта:

26 слайд

Лекция 8 (продължение 8.4 – допълнителен материал) 24 ■ Елементарна теория на жироскопа: Жироскопът е твърдо тяло, въртящо се около оста на материалната симетрия, една от точките на която е фиксирана. Свободният жироскоп е фиксиран по такъв начин, че неговият център на маса остава неподвижен, а оста на въртене минава през центъра на масата и може да заеме произволно положение в пространството, т.е. оста на въртене променя позицията си като оста на собственото въртене на тялото по време на сферично движение. Основното предположение на приблизителната (елементарна) теория на жироскопа е, че векторът на импулса (кинетичният момент) на ротора се счита за насочен по собствената му ос на въртене. По този начин, въпреки факта, че в общия случай роторът участва в три завъртания, се взема предвид само ъгловата скорост на собственото му въртене ω = dφ/dt. Основата за това е, че в модерна технологияроторът на жироскопа се върти с ъглова скорост от порядъка на 5000-8000 rad/s (около 50000-80000 rpm), докато другите две ъглови скорости, свързани с прецесията и нутацията на собствената му ос на въртене, са десетки хиляди пъти по-малко от тази скорост. Основното свойство на свободния жироскоп е, че оста на ротора запазва същата посока в пространството по отношение на инерционната (звездна) референтна система (демонстрирана от махалото на Фуко, което поддържа равнината на люлеене непроменена по отношение на звездите, 1852 г.). Това следва от закона за запазване на кинетичния момент спрямо центъра на масата на ротора, при условие че се пренебрегва триенето в лагерите на осите на окачването на ротора, външната и вътрешната рамка: Силово действие върху оста на свободен жироскоп. В случай на сила, приложена към оста на ротора, моментът на външните сили спрямо центъра на масата не е равен на нула: ω ω С сила, а спрямо вектора на момента на тази сила, т.е. ще се върти не около оста x (вътрешно окачване), а около оста y (външно окачване). При прекратяване на силата оста на ротора ще остане в същото положение, съответстващо на последното време на силата, т.к. от този момент моментът на външните сили отново става равен на нула. В случай на краткотрайно действие на сила (удар) оста на жироскопа практически не променя позицията си. По този начин бързото въртене на ротора дава на жироскопа способността да противодейства на случайни влияния, които се стремят да променят позицията на оста на въртене на ротора, и с постоянно действие на силата той поддържа позицията на равнината, перпендикулярна на действащата сила, в която лежи оста на ротора. Тези свойства се използват при работата на инерционните навигационни системи.

Лекции по теоретична механика

Точкова динамика

Лекция 1

Основни понятия за динамиката

В раздел Динамикаизучава се движението на телата под действието на приложените към тях сили. Следователно, в допълнение към тези понятия, които бяха въведени в раздел кинематика,тук е необходимо да се използват нови концепции, които отразяват спецификата на въздействието на силите върху различни тела и реакцията на телата на тези въздействия. Нека разгледаме основните от тези понятия.

а) сила

Силата е количествен резултат от въздействието върху дадено тяло от други тела.Силата е векторна величина (фиг. 1).

Точка А от началото на вектора на силата ФНаречен точка на приложение на силата. Линията MN, на която е разположен векторът на силата, се нарича линия на сила.Дължината на вектора на силата, измерена в определен мащаб, се нарича числова стойност или модул на вектора на силата. Модулът на силата се обозначава като или . Действието на сила върху тялото се проявява или в неговата деформация, ако тялото е неподвижно, или в придаване на ускорение, когато тялото се движи. На тези прояви на сила се основава устройството на различни инструменти (силомери или динамометри) за измерване на сили.

б) система от сили

Разглежданият набор от сили се формира силова система.Всяка система, състояща се от n сили, може да бъде записана в следната форма:

в) свободно тяло

Тяло, което може да се движи в пространството във всяка посока, без да изпитва пряко (механично) взаимодействие с други тела, се нарича Безплатноили изолиран. Влиянието на една или друга система от сили върху тялото може да се изясни само ако това тяло е свободно.

г) резултантна сила

Ако някаква сила има същия ефект върху свободно тяло като някаква система от сили, тогава тази сила се нарича резултат от тази система от сили. Това е написано по следния начин:

което означава еквивалентноствъздействието върху едно и също свободно тяло на получената и някаква система от n сили.

Нека сега се обърнем към разглеждането на по-сложни понятия, свързани с количественото определяне на ротационните ефекти на силите.

д) момент на сила спрямо точка (център)

Ако тялото под действието на сила може да се върти около някаква неподвижна точка O (фиг. 2), то за количествено определяне на този ротационен ефект се въвежда физическа величина, която се нарича момент на сила около точка (център).

Нарича се равнината, минаваща през дадена фиксирана точка и линията на действие на силата равнина на сила. На фиг. 2 това е равнината ОАВ.

Моментът на сила спрямо точка (център) е векторна величина, равна на векторното произведение на радиус вектора на точката на приложение на силата от вектора на силата:

( 1)

Съгласно правилото за векторно умножение на два вектора, техният векторен продукт е вектор, перпендикулярен на равнината на разположение на факторните вектори (в този случай равнината на триъгълника OAB), насочен в посоката, от която е най-късият завой на първия фактор вектор към втория фактор вектор видими срещу часовника (фиг. 2).При този ред на векторите на факторите на напречното произведение (1) въртенето на тялото под действието на силата ще се вижда срещу часовника (фиг. 2) Тъй като векторът е перпендикулярен на равнината на силата , местоположението му в пространството определя положението на равнината на силата Числената стойност на вектора на момента на сила спрямо центъра е равна на удвоената площ ОАВ и може да се определи по формулата:

, (2)

където величиназ, равно на най-късото разстояние от дадена точка O до линията на действие на силата, се нарича рамо на силата.

Ако положението на равнината на действие на силата в пространството не е от съществено значение за характеризиране на ротационното действие на силата, тогава в този случай, за да се характеризира ротационното действие на силата, вместо вектора на момента на силата, алгебричен момент на сила:

(3)

Алгебричният момент на сила спрямо даден център е равен на произведението на модула на силата и неговото рамо, взето със знак плюс или минус. В този случай положителен момент съответства на въртенето на тялото под действието на дадена сила срещу часовника, а отрицателен момент съответства на въртенето на тялото по посока на часовника. От формули (1), (2) и (3) следва, че моментът на сила спрямо точка е равен на нула само ако рамото на тази силазнула. Такава сила не може да завърти тялото около дадена точка.

е) Момент на сила около оста

Ако тялото под действието на сила може да се върти около някаква фиксирана ос (например въртене на рамката на врата или прозорец в пантите, когато те са отворени или затворени), тогава се въвежда физическа величина за количествено определяне на този ротационен ефект, който е наречен момент на сила около дадена ос.

 б Fxy

Фигура 3 показва диаграма, в съответствие с която се определя моментът на сила около оста z:

Ъгълът  се образува от две перпендикулярни посоки z и към равнините на триъгълници O аби OAV, съответно. Тъй като  О абе проекцията на ОАВ върху xy равнината, тогава според стереометричната теорема за проекцията на плоска фигура върху дадена равнина имаме:

където знакът плюс съответства на положителна стойност на cos, т.е. остри ъгли , а знакът минус съответства на отрицателна стойност на cos, т.е. тъпи ъгли , поради посоката на вектора . От своя страна SO аб=1/2abh, където з  аб . Стойността на сегмента абе равна на проекцията на силата върху равнината xy, т.е. . аб = Ф xy .

Въз основа на горното, както и на равенства (4) и (5), ние определяме момента на сила около оста z, както следва:

Равенството (6) ни позволява да формулираме следната дефиниция на момента на сила около която и да е ос: Моментът на сила около дадена ос е равен на проекцията върху тази ос на вектора на момента на тази сила спрямо която и да е точка от тази ос и се дефинира като произведение на проекцията на сила върху равнина, перпендикулярна на дадената ос, взета със знак плюс или минус на рамото на тази проекция спрямо точката на пресичане на оста с равнината на проекцията. В този случай знакът на момента се счита за положителен, ако гледайки от положителната посока на оста, въртенето на тялото около тази ос се вижда срещу часовника. В противен случай моментът на сила около оста се приема за отрицателен. Тъй като това определение на момента на сила спрямо оста е доста трудно за запомняне, се препоръчва да запомните формулата (6) и фиг. 3, която обяснява тази формула.

От формула (6) следва, че моментът на сила около оста е нула, акотя е успоредна на оста (в този случай нейната проекция върху равнина, перпендикулярна на оста, е равна на нула), или линията на действие на силата пресича оста (тогава проекционното рамо з=0). Това напълно отговаря на физическия смисъл на момента на сила около оста като количествена характеристика на въртеливото действие на силата върху тяло с ос на въртене.

ж) телесно тегло

Отдавна е отбелязано, че под въздействието на сила тялото набира скорост постепенно и продължава да се движи, ако силата бъде отстранена. Това свойство на телата да се противопоставят на промяна в движението се наричаше инерция или инерция на телата. Количествената мярка за инерцията на тялото е неговата маса.Освен това, телесната маса е количествена мярка за въздействието на гравитационните сили върху дадено тяло колкото по-голяма е масата на тялото, толкова по-голяма е гравитационната сила върху тялото.Както ще бъде показано по-долу, ъъъТези две определения за телесно тегло са свързани.

Други понятия и дефиниции на динамиката ще бъдат обсъдени по-късно в разделите, където се появяват за първи път.

2. Връзки и реакции на връзките

По-рано в раздел 1, буква в) беше дадена концепцията за свободно тяло, като тяло, което може да се движи в пространството във всяка посока, без да е в пряк контакт с други тела. Повечето от реалните тела, които ни заобикалят, са в пряк контакт с други тела и не могат да се движат в една или друга посока. Така например телата, разположени върху повърхността на масата, могат да се движат във всяка посока, с изключение на посоката, перпендикулярна на повърхността на масата надолу. Вратите с панти могат да се въртят, но не могат да се движат напред и т. н. Телата, които не могат да се движат в пространството в една или друга посока се наричат не е безплатно.

Всичко, което ограничава движението на дадено тяло в пространството, се нарича връзки.Това могат да бъдат някои други тела, които предотвратяват движението на това тяло в някои посоки ( физически връзки); в по-широк план може да са някои условия, наложени на движението на тялото, ограничаващи това движение. Така че можете да зададете условие за движението на материална точка по дадена крива. В този случай връзката се определя математически под формата на уравнение ( уравнение на връзката). Въпросът за видовете връзки ще бъде разгледан по-подробно по-долу.

Повечето от връзките, наложени върху телата, са практически физически връзки. Следователно възниква въпросът за взаимодействието на дадено тяло и връзката, наложена на това тяло. На този въпрос отговаря аксиомата за взаимодействието на телата: Две тела действат едно върху друго със сили, равни по големина, противоположни по посока и разположени на една и съща права линия. Тези сили се наричат сили на взаимодействие. Силите на взаимодействие се прилагат към различни взаимодействащи тела. Така например, по време на взаимодействието на дадено тяло и връзка, една от силите на взаимодействие се прилага от страната на тялото към връзката, а другата сила на взаимодействие се прилага от страната на връзката към даденото тяло . Тази последна мощност се нарича сила на реакция на връзкатаили просто, реакция на свързване.

При решаване на практически задачи на динамиката е необходимо да можете да намерите посоката на реакциите на различни видове връзки. Общото правило за определяне на посоката на реакцията на връзката понякога може да помогне за това: Реакцията на връзката винаги е насочена обратно на посоката, в която тази връзка предотвратява движението на дадено тяло. Ако тази посока може да бъде определена определено, тогава реакцията на връзката ще бъде определена от посоката. В противен случай посоката на реакцията на връзката е неопределена и може да се намери само от съответните уравнения на движение или равновесие на тялото. По-подробно въпросът за видовете връзки и посоката на техните реакции трябва да се проучи според учебника: S.M. Targ Кратък курс по теоретична механика "Висше училище", М., 1986 г. Гл.1, §3.

В раздел 1, точка (c) беше казано, че ефектът на всяка система от сили може да бъде напълно определен само ако тази система от сили се приложи към свободно тяло. Тъй като повечето тела всъщност не са свободни, тогава, за да се изследва движението на тези тела, възниква въпросът как тези тела да бъдат свободни. На този въпрос е отговорено аксиома на връзките на лекциите Нафилософия у дома. Лекциибяха... социална психологияи етнопсихология. 3. ТеоретиченРезултатите в социалния дарвинизъм бяха...

теоретични механика

Урок >> Физика

абстрактно лекции Напредмет ТЕОРЕТИЧЕСКИ МЕХАНИКАЗа студенти от специалност: 260501.65 ... - редовна форма Реферат лекциисъставено въз основа на: Буторин Л.В., Бусигина Е.Б. теоретични механика. Образователно и практическо ръководство...

Теоретична механика- Това е клон от механиката, който излага основните закони на механичното движение и механичното взаимодействие на материалните тела.

Теоретичната механика е наука, в която се изучават движенията на телата във времето (механични движения). Той служи като основа за други раздели на механиката (теория на еластичността, устойчивост на материалите, теория на пластичността, теория на механизмите и машините, хидроаеродинамика) и много технически дисциплини.

механично движениее промяна във времето взаимна позицияв пространството на материалните тела.

Механично взаимодействие- това е такова взаимодействие, в резултат на което се променя механичното движение или се променя взаимното положение на частите на тялото.

Статика на твърдо тяло

Статика- Това е клон на теоретичната механика, който се занимава с проблемите за равновесието на твърдите тела и преобразуването на една система от сили в друга, еквивалентна на нея.

Основни понятия и закони на статиката

Абсолютно твърдо тяло(твърдо тяло, тяло) е материално тяло, разстоянието между всички точки в което не се променя.
Материална точкае тяло, чиито размери, според условията на задачата, могат да бъдат пренебрегнати.
отпуснато тялое тяло, за движението на което не се налагат ограничения.
Несвободно (свързано) тялое тяло, чието движение е ограничено.
Връзки- това са тела, които пречат на движението на разглеждания обект (тяло или система от тела).
Комуникационна реакцияе сила, която характеризира действието на връзка върху твърдо тяло. Ако разгледаме силата, с която твърдо тяло действа върху връзката като действие, тогава реакцията на връзката е противодействие. В този случай силата - действие се прилага към връзката, а реакцията на връзката се прилага към твърдото тяло.
механична системае съвкупност от взаимосвързани тела или материални точки.
Солиденможе да се разглежда като механична система, чиито позиции и разстояние между точките не се променят.
Силае векторна величина, характеризираща механичното действие на едно материално тяло върху друго.
Силата като вектор се характеризира с точката на приложение, посоката на действие и абсолютната стойност. Мерната единица за модула на силата е Нютон.
линия на силае правата линия, по която е насочен векторът на силата.
Концентрирана мощносте силата, приложена в една точка.
Разпределени сили (разпределено натоварване)- това са сили, действащи върху всички точки от обема, повърхността или дължината на тялото.
Разпределеното натоварване се дава от силата, действаща на единица обем (повърхност, дължина).
Размерът на разпределеното натоварване е N / m 3 (N / m 2, N / m).
Външна силае сила, действаща от тяло, което не принадлежи към разглежданата механична система.
вътрешна силае сила, действаща върху материална точка на механична система от друга материална точка, принадлежаща на разглежданата система.
Силова системае съвкупността от сили, действащи върху механична система.
Плоска система от силие система от сили, чиито линии на действие лежат в една и съща равнина.
Пространствена система от силие система от сили, чиито линии на действие не лежат в една и съща равнина.
Система за сближаване на силатае система от сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка.
Произволна система от силие система от сили, чиито линии на действие не се пресичат в една точка.
Еквивалентни системи от сили- това са системи от сили, чиято замяна една с друга не променя механичното състояние на тялото.
Прието обозначение: .
РавновесиеСъстояние, при което тялото остава неподвижно или се движи равномерно по права линия под действието на сили.
Балансирана система от сили- това е система от сили, която, приложена към свободно твърдо тяло, не променя механичното си състояние (не го дисбалансира).
.
резултантна силае сила, чието действие върху тяло е еквивалентно на действието на система от сили.
.
Момент на силае стойност, която характеризира ротационната способност на силата.
Силова двойкае система от две успоредни равни по абсолютна стойност противоположно насочени сили.
Прието обозначение: .
Под действието на няколко сили тялото ще извърши ротационно движение.
Проекция на сила върху оста- това е отсечка, затворена между перпендикуляри, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази ос.
Проекцията е положителна, ако посоката на отсечката съвпада с положителната посока на оста.
Проекция на сила върху равнинае вектор в равнина, затворена между перпендикулярите, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази равнина.
Закон 1 (закон за инерцията).Изолирана материална точка е в покой или се движи равномерно и праволинейно.
Равномерното и праволинейно движение на материална точка е движение по инерция. Състоянието на равновесие на материална точка и твърдо тяло се разбира не само като състояние на покой, но и като движение по инерция. За твърдо тяло има различни видоведвижение по инерция, например, равномерно въртене на твърдо тяло около фиксирана ос.
Закон 2.Твърдо тяло е в равновесие под действието на две сили само ако тези сили са равни по големина и са насочени в противоположни посоки по обща линия на действие.
Тези две сили се наричат балансирани.
Най-общо се казва, че силите са балансирани, ако твърдото тяло, към което се прилагат тези сили, е в покой.
Закон 3.Без да се нарушава състоянието (думата "състояние" тук означава състояние на движение или покой) на твърдо тяло, човек може да добавя и отхвърля балансиращите сили.
Последица. Без да се нарушава състоянието на твърдо тяло, силата може да се прехвърли по линията на действие към всяка точка на тялото.
Две системи от сили се наричат еквивалентни, ако една от тях може да бъде заменена с друга, без да се нарушава състоянието на твърдото тяло.
Закон 4.Резултатът от две сили, приложени в една точка, се прилага в една и съща точка, е равна по абсолютна стойност на диагонала на успоредника, изграден върху тези сили, и е насочена по тази
диагонали.
Модулът на резултата е:
Закон 5 (закон за равенство на действие и реакция). Силите, с които две тела действат едно върху друго, са равни по големина и насочени в противоположни посоки по една права линия.
Трябва да се има предвид, че действие- сила, приложена към тялото Б, И опозиция- сила, приложена към тялото НО, не са балансирани, тъй като са прикрепени към различни тела.
Закон 6 (законът на втвърдяването). Равновесието на нетвърдо тяло не се нарушава, когато се втвърди.
Не трябва да се забравя, че условията на равновесие, които са необходими и достатъчни за твърдо тяло, са необходими, но недостатъчни за съответното нетвърдо тяло.
Закон 7 (законът за освобождаване от облигации).Несвободно твърдо тяло може да се счита за свободно, ако е психически освободено от връзки, заменяйки действието на връзките със съответните реакции на връзките.

Връзките и техните реакции

Гладка повърхностограничава движението по нормата към опорната повърхност. Реакцията е насочена перпендикулярно на повърхността.
Съчленена подвижна опораограничава движението на тялото по нормата към референтната равнина. Реакцията е насочена по нормалата към опорната повърхност.
Съчленена фиксирана опорапротиводейства на всяко движение в равнина, перпендикулярна на оста на въртене.
Съчленен безтегловен прътпротиводейства на движението на тялото по линията на пръта. Реакцията ще бъде насочена по линията на пръчката.
Сляпо прекратяванепротиводейства на всяко движение и въртене в равнината. Неговото действие може да бъде заменено от сила, представена под формата на два компонента и двойка сили с момент.

Кинематика

Кинематика- клон на теоретичната механика, който се занимава с общ геометрични свойствамеханичното движение като процес, протичащ в пространството и времето. Движещите се обекти се разглеждат като геометрични точки или геометрични тела.

Основни понятия на кинематиката

Законът за движението на точка (тяло)е зависимостта на положението на точка (тяло) в пространството от времето.
Точкова траекторияе местоположението на позициите на точка в пространството по време на нейното движение.
Скорост на точка (тяло).- това е характеристика на промяната във времето на положението на точка (тяло) в пространството.
Точково (тяло) ускорение- това е характеристика на промяната във времето на скоростта на точка (тяло).

Определяне на кинематичните характеристики на точка

Точкова траектория
Във векторната референтна система траекторията се описва с израза: .
В координатната референтна система траекторията се определя според закона за движението на точката и се описва с изразите z = f(x,y)в космоса, или y = f(x)- в самолета.
В естествена референтна система траекторията е предварително определена.
Определяне на скоростта на точка във векторна координатна система
При определяне на движението на точка във векторна координатна система, съотношението на движението към интервала от време се нарича средна стойност на скоростта в този интервал от време: .
Приемайки интервала от време като безкрайно малка стойност, получаваме стойността на скоростта в даден момент (моментна стойност на скоростта): .
Средният вектор на скоростта е насочен по протежение на вектора в посоката на движение на точката, векторът на моментната скорост е насочен тангенциално към траекторията в посоката на движение на точката.
Изход: скоростта на точка е векторна величина, равна на производната на закона за движение по отношение на времето.
Производно свойство: производната по време на всяка стойност определя скоростта на промяна на тази стойност.
Определяне на скоростта на точка в координатна референтна система
Скорост на промяна на координатите на точката:
.
Модулът на пълната скорост на точка с правоъгълна координатна система ще бъде равен на:
.
Посоката на вектора на скоростта се определя от косинусите на ъглите на управление:
,
където са ъглите между вектора на скоростта и координатните оси.
Определяне на скоростта на точка в естествена референтна система
Скоростта на точка в естествена референтна система се определя като производна на закона за движение на точка: .
Според предишните изводи векторът на скоростта е насочен тангенциално към траекторията по посока на движението на точката и по осите се определя само от една проекция.

Кинематика на твърдото тяло

В кинематиката на твърдите тела се решават два основни проблема:
1) задача за движение и определяне на кинематичните характеристики на тялото като цяло;
2) определяне на кинематичните характеристики на точките на тялото.
Транслационно движение на твърдо тяло
Транслационното движение е движение, при което права линия, проведена през две точки на тялото, остава успоредна на първоначалното си положение.
теорема: при транслационно движение всички точки на тялото се движат по едни и същи траектории и във всеки момент от време имат еднакви скорости и ускорения по големина и посока.
Изход: транслационното движение на твърдо тяло се определя от движението на която и да е от неговите точки и следователно задачата и изследването на неговото движение се свежда до кинематиката на точка.
Ротационно движение на твърдо тяло около фиксирана ос
Ротационното движение на твърдо тяло около фиксирана ос е движението на твърдо тяло, при което две точки, принадлежащи на тялото, остават неподвижни през цялото време на движение.
Положението на тялото се определя от ъгъла на въртене. Мерната единица за ъгъл е радиани. (Радиан е централният ъгъл на окръжност, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса, пълният ъгъл на окръжността съдържа 2πрадиан.)
Законът за въртеливото движение на тялото около фиксирана ос.
Ъгловата скорост и ъгловото ускорение на тялото ще се определят по метода на диференциация:
— ъглова скорост, rad/s;
— ъглово ускорение, rad/s².
Ако отрежем тялото с равнина, перпендикулярна на оста, изберете точка от оста на въртене ОТи произволна точка М, след това точката Мще опиша около точката ОТрадиус кръг Р. По време на dtима елементарно завъртане през ъгъла , докато точката Мще се движи по траекторията на разстояние .
Модул за линейна скорост:
.
точково ускорение Мс известна траектория се определя от неговите компоненти:
,
където .
В резултат на това получаваме формули
тангенциално ускорение: ;
нормално ускорение: .

Динамика

Динамика- Това е клон на теоретичната механика, който изучава механичните движения на материалните тела в зависимост от причините, които ги предизвикват.

Основни понятия за динамиката

инерция- това е свойството на материалните тела да поддържат състояние на покой или равномерно праволинейно движение, докато външни сили не променят това състояние.
Теглое количествена мярка за инерцията на тялото. Единицата за маса е килограм (kg).
Материална точкае тяло с маса, чиито размери се пренебрегват при решаването на този проблем.
Център на масата на механична системае геометрична точка, чиито координати се определят по формулите:

където m k , x k , y k , z k- маса и координати к- тази точка от механичната система, ме масата на системата.
В еднородно поле на тежестта позицията на центъра на масата съвпада с позицията на центъра на тежестта.
Инерционен момент на материално тяло спрямо остае количествена мярка за инерция по време на въртеливо движение.
Инерционният момент на материална точка около оста е равен на произведението на масата на точката и квадрата на разстоянието на точката от оста:
.
Инерционният момент на системата (тялото) около оста е равен на аритметичната сума от инерционните моменти на всички точки:
Силата на инерцията на материална точкае векторна величина, равна по абсолютна стойност на произведението на масата на точка и модула на ускорението и насочена обратно на вектора на ускорението:
Сила на инерция на материално тялое векторна величина, равна по абсолютна стойност на произведението на телесната маса и модула на ускорение на центъра на масата на тялото и насочена срещу вектора на ускорението на центъра на масата: ,
където е ускорението на центъра на масата на тялото.
Импулс на елементарна силае векторна величина, равна на произведението на вектора на силата на безкрайно малък интервал от време dt:
.
Общият импулс на сила за Δt е равен на интеграла от елементарните импулси:
.
Елементарна работа на силае скалар dA, равно на скалара

държавна автономна институция

Калининградска област

професионален образователна организация

Колеж по услуги и туризъм

Курс от лекции с примери практически задачи

"Основи на теоретичната механика"

по дисциплинаТехническа механика

за студенти3 разбира се

специалност20.02.04 Пожарна безопасност

Калининград

ОДОБРЯВАМ

Заместник-директор по СД ГАУ КО ВЕО КСТН.Н. Мясников

ОДОБРЕН

Методически съвет на ГАУ КО ВЕТ КСТ

РАЗГЛЕЖДАН

На заседание на PCC

Редакционен екип:

Колганова A.A., методист

Фалалеева А.Б., учител по руски език и литература

Цветаева Л.В., председател на PCCобщоматематически и природонаучни дисциплини

Съставено от:

Незванова И.В. Лектор ГАУ КО ВЕТ КСТ

Съдържание

Динамика: основни понятия и аксиоми

Библиография

Статика: основни понятия и аксиоми.

Теоретична информация

Статика - раздел от теоретичната механика, който разглежда свойствата на силите, приложени към точките на твърдо тяло, и условията за тяхното равновесие. Основни задачи:

1. Преобразуване на системи от сили в еквивалентни системи от сили.

2. Определяне на условията за равновесие на системи от сили, действащи върху твърдо тяло.

материална точка наречен най-простият модел на материално тяло

всякаква форма, чиито размери са достатъчно малки и която може да се приеме за геометрична точкас определена маса. Механична система е всеки набор от материални точки. Абсолютно твърдо тяло е механична система, разстоянията между точките на която не се променят при никакви взаимодействия.

Сила е мярка за механичното взаимодействие на материалните тела едно с друго. Силата е векторна величина, тъй като се определя от три елемента:

числова стойност;

посока;

точка на приложение (А).

Единицата за сила е Нютон (N).

Фигура 1.1

Система от сили е съвкупност от сили, действащи върху тялото.

Балансирана (равна на нула) система от сили е система, която, приложена към тяло, не променя състоянието си.

Системата от сили, действащи върху тялото, може да бъде заменена с една резултатна, действаща като система от сили.

Аксиоми на статиката.

Аксиома 1: Ако към тялото се приложи балансирана система от сили, тогава то се движи равномерно и праволинейно или е в покой (законът за инерцията).

аксиома 2: Абсолютно твърдо тяло е в равновесие под действието на две сили тогава и само ако тези сили са равни по абсолютна стойност, действат в една права линия и са насочени в противоположни посоки. Фигура 1.2

аксиома 3: Механичното състояние на тялото няма да бъде нарушено, ако балансирана система от сили се добави или извади от системата от действащи върху него сили.

Аксиома 4: Резултатът от двете сили, приложени към тялото, е равна на техния геометричен сбор, тоест се изразява в абсолютна стойност и посока чрез диагонала на успоредника, изграден върху тези сили, както върху страните.

Фигура 1.3.

Аксиома 5: Силите, с които две тела действат едно върху друго, винаги са равни по абсолютна стойност и насочени по една права линия в противоположни посоки.

Фигура 1.4.

Видове връзки и техните реакции

връзки се наричат всякакви ограничения, които пречат на движението на тялото в пространството. Тялото, търсейки под действието на приложените сили да се движи, което е възпрепятствано от връзката, ще въздейства върху него с определена сила, наречена сила на натиск върху връзката . Според закона за равенство на действието и реакцията връзката ще действа върху тялото със същия модул, но противоположно насочена сила.
Силата, с която тази връзка действа върху тялото, предотвратявайки едно или друго движение, се нарича реакционната сила (реакция) на връзката .
Един от основните принципи на механиката е принцип на освобождението : всяко несвободно тяло може да се счита за свободно, ако отхвърлим връзките и заменим тяхното действие с реакциите на връзките.

Реакцията на връзката е насочена в посока, обратна на мястото, където връзката не позволява на тялото да се движи. Основните видове връзки и техните реакции са показани в Таблица 1.1.

Таблица 1.1

Видове връзки и техните реакции

Име на комуникация

символ

Гладка повърхност (поддръжка) - повърхността (подпората), триенето, върху което даденото тяло може да се пренебрегне.
С безплатна поддръжка, реакциятае насочена перпендикулярно на допирателната през точкатаНО телесен контакт1 с опорна повърхност2 .

Конец (гъвкав, неразтеглив). Връзката, направена под формата на неразтеглива нишка, не позволява на тялото да се отдалечава от точката на окачване. Следователно реакцията на нишката е насочена по протежение на нишката до точката на нейното окачване.

безтегловна пръчка – пръчка, чието тегло може да се пренебрегне в сравнение с възприеманото натоварване.
Реакцията на безтегловна шарнирна праволинеен прът е насочена по оста на пръта.

Подвижна панта, шарнирна подвижна опора. Реакцията е насочена по нормалата към опорната повърхност.

Твърдо затваряне. В равнината на твърдото вграждане ще има два компонента на реакцията, и момент на двойка сили, което предотвратява завъртането на лъча1 спрямо точкатаНО .
Твърдото закрепване в пространството отнема всичките шест степени на свобода от тяло 1 - три премествания по координатните оси и три завъртания около тези оси.
Ще има три компонента в пространственото твърдо вграждане, , и три момента на двойки сили.

Система за сближаване на силата

Система от сближаващи се сили наречена система от сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка. Две сили, сближаващи се в една точка, според третата аксиома на статиката, могат да бъдат заменени с една сила -резултатен .
Основният вектор на системата от сили - стойност, равна на геометричната сума от силите на системата.

Резултатът от плоска система от сближаващи се сили може да се дефинираграфично И аналитично.

Добавяне на система от сили . Добавянето на плоска система от сближаващи се сили се извършва или чрез последователно събиране на сили с конструиране на междинна резултатна (фиг. 1.5), или чрез изграждане на многоъгълник на сила (фиг. 1.6).

Фигура 1.5 Фигура 1.6

Проекция на сила върху оста - алгебрична величина, равна на произведението на модула на силата и косинуса на ъгъла между силата и положителната посока на оста.
ПроекцияФх(фиг.1.7) сили на ос хположителен, ако α е остър, отрицателен, ако α е тъп. Ако силатае перпендикулярна на оста, то проекцията му върху оста е нула.

Фигура 1.7

Проекция на сила върху равнина Оху– вектор , сключен между проекциите на началото и края на силатакъм този самолет. Тези. проекцията на силата върху равнината е векторна величина, характеризираща се не само числова стойност, но и посоката в равнинатаОху (фиг. 1.8).

Фигура 1.8

След това прожекционният модулкъм самолета Оху ще бъде равно на:

Фxy = F cosα,

където α е ъгълът между посоката на силатаи неговата проекция.
Аналитичен начин за определяне на силите . За аналитичния метод за определяне на силатанеобходимо е да се избере система от координатни осиохз, по отношение на което ще се определи посоката на силата в пространството.
Вектор, изобразяващ силата, може да се конструира, ако модулът на тази сила и ъглите α, β, γ, които силата образува с координатните оси, са известни. точкаНОприлагане на сила зададени отделно по своите координатих, в, z. Можете да зададете силата чрез нейните проекцииfx, fy, fzпо координатните оси. Модулът на силата в този случай се определя по формулата:

и косинуси на посоката:

, .

Аналитичен метод за добавяне на сили : проекцията на вектора на сумата върху някаква ос е равна на алгебричната сума от проекциите на членовете на векторите върху същата ос, т.е., ако:

тогава , , .
знаейки Rx, Ry, Rz, можем да дефинираме модула

и косинуси на посоката:

, , .

Фигура 1.9

За равновесието на система от сближаващи се сили е необходимо и достатъчно резултантната на тези сили да е равна на нула.
1) Условие на геометрично равновесие за сближаваща се система от сили : за равновесието на система от сближаващи се сили е необходимо и достатъчно многоъгълникът на силите, изграден от тези сили

беше затворен (края на вектора на последния член

сила трябва да съвпада с началото на вектора на първия член на силата). Тогава основният вектор на системата от сили ще бъде равен на нула ()
2) Условия на аналитично равновесие . Модулът на главния вектор на системата от сили се определя по формулата. =0. Дотолкова доколкото , то коренният израз може да бъде равен на нула само ако всеки член едновременно изчезне, т.е.

Rx= 0, Рай= 0, Р z = 0.

Следователно, за равновесието на пространствената система от сближаващи се сили е необходимо и достатъчно сумите от проекциите на тези сили върху всяка от трите координати на осите да бъдат равни на нула:

За равновесието на плоска система от сближаващи се сили е необходимо и достатъчно сумата от проекциите на силите върху всяка от двете координатни оси да бъде равна на нула:

Събиране на две успоредни сили в една и съща посока.

Фигура 1.9

Две успоредни сили, насочени в една и съща посока, се свеждат до една резултантна сила, успоредна на тях и насочена в същата посока. Големината на резултантната е равна на сумата от величините на тези сили, а точката на нейното приложение C разделя разстоянието между линиите на действие на силите вътрешно на части, обратно пропорционални на величините на тези сили, т.е.

B A C

R=F 1 +F 2

Добавянето на две неравни успоредни сили, насочени в противоположни посоки.

Две неравни антипаралелни сили се редуцират до една резултантна сила, успоредна на тях и насочена към по-голямата сила. Величината на резултантната е равна на разликата между величините на тези сили, а точката на нейното приложение, C, разделя разстоянието между линиите на действие на силите външно на части, обратно пропорционални на величините на тези сили, че е

Двойка сили и момент на сила около точка.

Момент на сила спрямо точка O се нарича, взето със съответния знак, произведението на величината на силата на разстоянието h от точка O до линията на действие на силата . Този продукт се приема със знак плюс, ако силата има тенденция да завърти тялото обратно на часовниковата стрелка и със знака -, ако силата има тенденция да върти тялото по посока на часовниковата стрелка, т.е . Дължината на перпендикуляра h се наричарамо на силата точка О. Ефектът от действието на силата т.е. ъгловото ускорение на тялото е по-голямо, колкото по-голяма е величината на момента на силата.

Фигура 1.11

Няколко сили Система се нарича система, състояща се от две успоредни сили с еднаква величина, насочени в противоположни посоки. Разстоянието h между линиите на действие на силите се наричараменни двойки . Момент на двойка сили m(F,F") е произведението на стойността на една от силите, които изграждат двойката и рамото на двойката, взето със съответния знак.

Записва се по следния начин: m(F, F")= ± F × h, където произведението се взема със знак плюс, ако двойката сили се стреми да завърти тялото обратно на часовниковата стрелка и със знак минус, ако двойката сили клони за завъртане на тялото по посока на часовниковата стрелка.

Теорема за сбора на моментите на силите на двойка.

Сумата от моментите на силите на двойката (F,F") по отношение на която и да е точка 0, взета в равнината на действие на двойката, не зависи от избора на тази точка и е равна на момента на двойката.

Теорема за еквивалентни двойки. Последствия.

Теорема. Две двойки, чиито моменти са равни един на друг, са еквивалентни, т.е. (F, F") ~ (P, P")

Следствие 1 . Двойка сили може да се пренесе на всяко място в равнината на нейното действие, както и да се завърти под произволен ъгъл и да промени рамото и величината на силите на двойката, като същевременно поддържа момента на двойката.

Последствие 2. Двойка сили няма резултат и не може да бъде балансирана от една сила, лежаща в равнината на двойката.

Фигура 1.12

Събиране и условие за равновесие за система от двойки в равнина.

1. Теорема за събирането на двойки, лежащи в една и съща равнина. Система от двойки, произволно разположени в една и съща равнина, може да бъде заменена с една двойка, чийто момент е равен на сумата от моментите на тези двойки.

2. Теорема за равновесието на система от двойки в равнина.

За да може едно абсолютно твърдо тяло да бъде в покой под действието на система от двойки, произволно разположени в една и съща равнина, е необходимо и достатъчно сумата от моментите на всички двойки да е равна на нула, т.е.

Център на тежестта

Силата на гравитацията - резултатът от силите на привличане към Земята, разпределени по целия обем на тялото.

Център на тежестта на тялото - това е такава точка, неизменно свързана с това тяло, през която минава линията на действие на силата на тежестта на дадено тяло при всяко положение на тялото в пространството.

Методи за намиране на центъра на тежестта

1. Метод на симетрия:

1.1. Ако едно хомогенно тяло има равнина на симетрия, тогава центърът на тежестта лежи в тази равнина

1.2. Ако едно хомогенно тяло има ос на симетрия, тогава центърът на тежестта лежи върху тази ос. Центърът на тежестта на хомогенно тяло на въртене лежи върху оста на въртене.

1.3 Ако едно хомогенно тяло има две оси на симетрия, тогава центърът на тежестта е в точката на тяхното пресичане.

2. Метод на разделяне: Тялото се разделя на най-малкия брой части, силите на тежестта и положението на центровете на тежестта на които са известни.

3. Метод на отрицателните маси: При определяне на центъра на тежестта на тяло със свободни кухини трябва да се използва методът на разделяне, но масата на свободните кухини трябва да се счита за отрицателна.

Координати на центъра на тежестта на плоска фигура:

Позициите на центровете на тежестта на прости геометрични фигуриможе да се изчисли по известни формули. (Фигура 1.13)

Забележка: Центърът на тежестта на симетрията на фигурата е върху оста на симетрия.

Центърът на тежестта на пръта е в средата на височината.

1.2. Примери за решаване на практически задачи

Пример 1: Тежестта е окачена на прът и е в равновесие. Определете силите в лентата. (Фигура 1.2.1)

Решение:

Силите, които възникват в закрепващите пръти, са равни по големина на силите, с които прътите поддържат товара. (5-та аксиома)

Определяме възможните посоки на реакциите на връзките "твърди пръти".

Усилията са насочени по протежение на пръчките.

Фигура 1.2.1.

Нека освободим точка А от връзките, като заменим действието на връзките с техните реакции. (Фигура 1.2.2)

Нека започнем конструкцията с известна сила, като начертаем векторФв някакъв мащаб.

От края на вектораФначертайте линии, успоредни на реакциитеР 1 ИР 2 .

Фигура 1.2.2

Пресичайки се, линиите създават триъгълник. (Фигура 1.2.3.). Познавайки мащаба на конструкциите и измервайки дължината на страните на триъгълника, е възможно да се определи големината на реакциите в пръчките.

За по-точни изчисления можете да използвате геометрични отношения, по-специално теоремата на синусите: съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл е постоянна стойност

за този случай:

Фигура 1.2.3

коментар: Ако посоката на вектора (реакция на свързване) на дадена схема и в триъгълника на силите не съвпада, тогава реакцията на схемата трябва да бъде насочена в обратна посока.

Пример 2: Определете величината и посоката на получената плоска система от сближаващи се сили по аналитичен начин.

Решение:

Фигура 1.2.4

1. Определяме проекциите на всички сили на системата върху Ox (Фигура 1.2.4)

Алгебрично добавяйки проекциите, получаваме проекцията на резултата върху оста Ox.

Знакът показва, че резултатът е насочен наляво.

2. Определяме проекциите на всички сили върху оста Oy:

Алгебрично добавяйки проекциите, получаваме проекцията на резултата върху оста Oy.

Знакът показва, че резултатът е насочен надолу.

3. Определете модула на резултата по величините на проекциите:

4. Определете стойността на ъгъла на резултата с оста Ox:

и стойността на ъгъла с оста y:

Пример 3: Изчислете сумата от моментите на силите спрямо точката O (фигура 1.2.6).

ОА= АБ= IND=DE=CB=2м

Фигура 1.2.6

Решение:

1. Моментът на сила спрямо точка е числено равен на произведението на модула и рамото на силата.

2. Моментът на силата е равен на нула, ако линията на действие на силата минава през точка.

Пример 4: Определете позицията на центъра на тежестта на фигурата, показана на фигура 1.2.7

Решение:

Разделяме фигурата на три:

1-правоъгълник

НО 1 =10*20=200см 2

2-триъгълник

НО 2 =1/2*10*15=75см 2

3-обиколка

НО 3 =3,14*3 2 = 28,3 см 2

Фигура 1 CG: x 1 =10 см, y 1 = 5 см

Фигура 2 CG: x 2 =20+1/3*15=25см, u 2 =1/3*10=3,3см

Фигура 3 CG: x 3 =10 см, y 3 = 5 см

Дефинира се по подобен начин за от =4,5 см

Кинематика: основни понятия.

Основни кинематични параметри

Траектория - линията, която материална точка очертава при движение в пространството. Траекторията може да бъде права и крива, плоска и пространствена линия.

Уравнение на траекторията за движение в равнина: y =е ( х)

Изминато разстояние. Пътят се измерва по пътя в посоката на движение. Обозначаване -С, мерни единици - метри.

Уравнение за движение на точки е уравнение, което определя позицията на движеща се точка като функция на времето.

Фигура 2.1

Позицията на точка във всеки момент от време може да се определи от разстоянието, изминато по траекторията от някаква фиксирана точка, считана за начало (Фигура 2.1). Този вид движение се наричаестествено . По този начин уравнението на движението може да бъде представено като S = f (t).

Фигура 2.2

Позицията на точка може да се определи и ако нейните координати са известни като функция на времето (Фигура 2.2). Тогава, в случай на движение в равнина, трябва да се дадат две уравнения:

Кога пространствено движениесе добавя третата координатаz= е 3 ( т)

Този вид движение се наричакоординати .

Скорост на движение е векторна величина, която характеризира в момента скоростта и посоката на движение по траекторията.

Скоростта е вектор, насочен във всеки момент тангенциално към траекторията към посоката на движение (Фигура 2.3).

Фигура 2.3

Ако точка покрива равни разстояния за равни интервали от време, тогава движението се наричауниформа .

Средната скоростпо пътя ΔСдефиниран:

където∆S- разстояние, изминато във времето Δт; Δ т- времеви интервал.

Ако точка изминава неравни пътища за равни интервали от време, тогава движението се наричанеравномерно . В този случай скоростта е променлива и зависи от времетоv= е( т)

Текущата скорост се определя като

точково ускорение - векторна величина, характеризираща скоростта на промяна на скоростта по големина и посока.

Скоростта на точка при движение от точка M1 до точка Mg се променя по големина и посока. Средната стойност на ускорението за този период от време

Текущо ускорение:

Обикновено за удобство се разглеждат два взаимно перпендикулярни компонента на ускорение: нормално и тангенциално (фигура 2.4)

Нормално ускорение а н , характеризира промяната в скоростта от

посока и се определя като

Нормалното ускорение винаги е насочено перпендикулярно на скоростта към центъра на дъгата.

Фигура 2.4

Тангенциално ускорение a т , характеризира промяната на скоростта по големина и винаги е насочен тангенциално към траекторията; при ускорение посоката му съвпада с посоката на скоростта, а при забавяне е насочена обратно на посоката на вектора на скоростта.

Пълната стойност на ускорението се дефинира като:

Анализ на видовете и кинематичните параметри на движенията

Равномерно движение - Това е движение с постоянна скорост:

За праволинейно равномерно движение:

За криволинейно равномерно движение:

Закон за равномерното движение :

Равнопроменливо движение – е движение с постоянно тангенциално ускорение:

За праволинейно равномерно движение

За криволинейно равномерно движение:

Закон за равномерното движение:

Кинематични графики

Кинематични графики - Това са графики на промените в пътя, скоростта и ускорението в зависимост от времето.

Равномерно движение (Фигура 2.5)

Фигура 2.5

Равнопроменливо движение (фигура 2.6)

Фигура 2.6

Най-простите движения на твърдо тяло

Движение напред наречено движение на твърдо тяло, при което всяка права линия върху тялото по време на движение остава успоредна на първоначалното си положение (фигура 2.7)

Фигура 2.7

При транслационно движение всички точки на тялото се движат по един и същи начин: скоростите и ускоренията са еднакви във всеки момент.

Ввъртеливо движение всички точки на тялото описват кръгове около обща фиксирана ос.

Неподвижната ос, около която се въртят всички точки на тялото, се наричаос на въртене.

Само за описание на въртеливото движение на тяло около фиксирана осъглови опции. (Фигура 2.8)

φ е ъгълът на завъртане на тялото;

ω – ъглова скорост, определя промяната в ъгъла на въртене за единица време;

Определя се промяната на ъгловата скорост с времето ъглово ускорение:

2.2. Примери за решаване на практически задачи

Пример 1: Дадено е уравнението на движението на точка. Определете скоростта на точката в края на третата секунда от движение и средната скорост за първите три секунди.

Решение:

1. Уравнение на скоростта

2. Скорост в края на третата секунда (т=3 ° С)

3. Средна скорост

Пример 2: Съгласно дадения закон за движение определете вида на движението, началната скорост и тангенциалното ускорение на точката, времето за спиране.

Решение:

1. Тип движение: еднакво променливо ()
2. При сравняване на уравненията е очевидно, че

- първоначалният път, изминат преди началото на обратното броене 10m;

- начална скорост 20m/s

- постоянно тангенциално ускорение

- ускорението е отрицателно, следователно движението е бавно, ускорението е насочено в посока, противоположна на скоростта на движение.

3. Можете да определите времето, в което скоростта на точката ще бъде равна на нула.

3. Динамика: основни понятия и аксиоми

Динамика - раздел от теоретичната механика, в който се установява връзка между движението на телата и силите, действащи върху тях.

В динамиката се решават два вида проблеми:

определяне на параметрите на движение според дадените сили;

определят силите, действащи върху тялото, според дадените кинематични параметри на движението.

Подматериална точка предполагат определено тяло, което има определена маса (т.е. съдържа определено количество материя), но няма линейни размери (безкрайно малък обем пространство).
изолиран разглежда се материална точка, която не се влияе от други материални точки. IN реалния святизолирани материални точки, както и изолирани тела, не съществуват, това понятие е условно.

При транслационно движение всички точки на тялото се движат по един и същи начин, така че тялото може да се приеме като материална точка.

Ако размерите на тялото са малки в сравнение с траекторията, то може да се разглежда и като материална точка, докато точката съвпада с центъра на тежестта на тялото.

По време на въртеливото движение на тялото точките може да не се движат по същия начин, в този случай някои разпоредби на динамиката могат да се прилагат само към отделни точки, а материалният обект може да се разглежда като набор от материални точки.

Следователно динамиката се разделя на динамика на точка и динамика на материална система.

Аксиоми на динамиката

Първа аксиома ( принцип на инерция): в всяка изолирана материална точка е в състояние на покой или равномерно и праволинейно движение, докато приложените сили я изведат от това състояние.

Това състояние се нарича състояниеинерция. Премахнете точката от това състояние, т.е. дайте му известно ускорение, може би външна сила.

Всяко тяло (точка) имаинерция. Мярката за инерция е масата на тялото.

маса Нареченколичеството материя в тялото в класическата механика се счита за постоянна стойност. Единицата за маса е килограм (kg).

Втора аксиома (Вторият закон на Нютон е основният закон на динамиката)

F=ma

къдетот - точка маса, кг;но - точково ускорение, m/s 2 .

Ускорението, придадено на материална точка от сила, е пропорционално на величината на силата и съвпада с посоката на силата.

Гравитацията действа върху всички тела на Земята, тя придава на тялото ускорението на свободното падане, насочено към центъра на Земята:

G=mg

къдетог- 9,81 m/s², ускорение при свободно падане.

Трета аксиома (трети закон на Нютон): сСилите на взаимодействие на две тела са равни по големина и насочени по една и съща права линия в различни посоки.

При взаимодействие ускоренията са обратно пропорционални на масите.

Четвърта аксиома (закон за независимост на действието на силите): toВсяка сила от системата от сили действа така, както би действала сама.

Ускорението, придадено на точката от системата от сили, е равно на геометричната сума от ускоренията, придадени на точката от всяка сила поотделно (фигура 3.1):

Фигура 3.1

Концепцията за триене. Видове триене.

триене- съпротивление, произтичащо от движението на едно грубо тяло върху повърхността на друго. Триенето при плъзгане води до триене на плъзгане, а триенето при търкаляне води до триене при люлеене.

Триене на плъзгане

Фигура 3.2.

Причината е механичното захващане на издатините. Силата на съпротивление на движение по време на плъзгане се нарича сила на триене при плъзгане (Фигура 3.2)

Закони на триенето при плъзгане:

1. Силата на триене при плъзгане е право пропорционална на силата на нормално налягане:

къдетоР- сила на нормално налягане, насочена перпендикулярно на опорната повърхност;е- коефициент на триене при плъзгане.

Фигура 3.3.

В случай на движение на тялото наклонена равнина(Фигура 3.3)

триене при търкаляне

Съпротивлението при търкаляне е свързано с взаимната деформация на земята и колелото и е много по-малко от триенето на плъзгане.

За равномерно търкаляне на колелото е необходимо да се приложи силаФ dv (Фигура 3.4)

Условието на търкаляне на колелото е, че моментът на движение не трябва да бъде по-малък от момента на съпротивление:

Фигура 3.4.

Пример 1: Пример 2: Към две материални точки на масам 1 = 2 кг им 2 = прилагат се 5 кг равни сили. Сравнете стойностите по-бързо.

Решение:

Според третата аксиома динамиката на ускорението е обратно пропорционална на масите:

Пример 3: Определете работата на гравитацията при преместване на товар от точка А до точка С по наклонена равнина (фигура 3.7). Силата на тежестта на тялото е 1500N. AB=6m, BC=4m.Пример 3: Определете работата на силата на рязане за 3 минути. Скоростта на въртене на детайла е 120 rpm, диаметърът на детайла е 40 mm, силата на рязане е 1kN. (Фигура 3.8)

Решение:

1. Работа с въртеливо движение:

2. Ъглова скорост 120 об/мин

Фигура 3.8.

3. Броят на оборотите за дадено време еz\u003d 120 * 3 \u003d 360 оборота.

Ъгъл на завъртане през това време φ=2πz\u003d 2 * 3,14 * 360 \u003d 2261 рад

4. Работете за 3 оборота:У\u003d 1 * 0,02 * 2261 \u003d 45,2 kJ

Библиография

Олофинская, В.П. "Техническа механика", Москва "Форум" 2011 г

Ердеди А.А. Ердеди Н.А. Теоретична механика. Якост на материалите.- R-n-D; Финикс, 2010 г

В рамките на всяка курс на обучениеИзучаването на физиката започва с механика. Не от теоретична, не от приложна и не изчислителна, а от добрата стара класическа механика. Тази механика се нарича още Нютонова механика. Според легендата ученият се разхождал в градината, видял падаща ябълка и именно това явление го подтикнало да открие закона за всемирното привличане. Разбира се, законът винаги е съществувал и Нютон му е дал само форма, разбираема за хората, но заслугата му е безценна. В тази статия няма да описваме законите на Нютонова механика възможно най-подробно, но ще очертаем основите, основните знания, дефинициите и формулите, които винаги могат да ви играят на ръка.

Механиката е клон на физиката, наука, която изучава движението на материалните тела и взаимодействията между тях.

Самата дума е от гръцки произход и се превежда като "изкуството да се строят машини". Но преди да построим машини, все още ни предстои дълъг път, така че нека тръгнем по стъпките на нашите предци и ще изучим движението на камъните, хвърлени под ъгъл към хоризонта, и ябълките, падащи върху глави от височина h.

Защо изучаването на физиката започва с механика? Защото е напълно естествено, да не се тръгва от термодинамично равновесие?!

Механиката е една от най-старите науки и исторически изучаването на физиката започва именно с основите на механиката. Поставени в рамките на времето и пространството, хората всъщност не могат да започнат от нещо друго, колкото и да искат. Движещите се тела са първото нещо, на което обръщаме внимание.

Какво е движение?

Механичното движение е промяна в положението на телата в пространството едно спрямо друго във времето.

След това определение съвсем естествено стигаме до концепцията за референтна рамка. Промяна на положението на телата в пространството едно спрямо друго.Ключови думи тук: един спрямо друг . В крайна сметка, пътник в кола се движи спрямо човек, стоящ отстрани на пътя с определена скорост, и почива спрямо съседа си на седалка наблизо и се движи с друга скорост спрямо пътник в кола, която ги изпреварва.

Ето защо, за да измерваме нормално параметрите на движещите се обекти и да не се объркаме, имаме нужда референтна система - твърдо свързани помежду си референтно тяло, координатна система и часовник. Например, Земята се движи около Слънцето в хелиоцентрична отправна система. В ежедневието ние извършваме почти всички наши измервания в геоцентрична референтна система, свързана със Земята. Земята е референтно тяло, спрямо което се движат автомобили, самолети, хора, животни.

Механиката като наука има своя задача. Задачата на механиката е да знае положението на тялото в пространството по всяко време. С други думи, механиката изгражда математическо описание на движението и намира връзки между тях физически величинихарактеризиращи го.

За да продължим по-нататък, се нуждаем от понятието „ материална точка ". Казват физика точна наука, но физиците знаят колко приближения и предположения трябва да се направят, за да се споразумеят точно за тази точност. Никой никога не е виждал материална точка или е подушвал идеален газ, но те съществуват! Просто с тях се живее много по-лесно.

Материална точка е тяло, чийто размер и форма могат да бъдат пренебрегнати в контекста на този проблем.

Раздели на класическата механика

Механиката се състои от няколко раздела

Кинематика
Динамика
Статика

Кинематикаот физическа гледна точка изучава как точно се движи тялото. С други думи, този раздел се занимава с количествени характеристикидвижение. Намерете скорост, път - типични задачикинематика

Динамикарешава въпроса защо се движи по начина, по който се движи. Тоест, той отчита силите, действащи върху тялото.

Статикаизучава равновесието на телата под действието на силите, тоест отговаря на въпроса: защо изобщо не пада?

Граници на приложимост на класическата механика

класическа механикавече не претендира да бъде наука, която обяснява всичко (в началото на миналия век всичко беше съвсем различно) и има ясна рамка за приложимост. Като цяло законите на класическата механика са валидни за света, познат ни по размери (макросвят). Те спират да работят в случай на света на частиците, когато класическият е заменен от квантова механика. Също така класическата механика е неприложима в случаите, когато движението на телата се извършва със скорост, близка до скоростта на светлината. В такива случаи релативистичните ефекти стават ясно изразени. Грубо казано, в рамките на квантовата и релативистката механика - класическата механика, това специален случайкогато размерите на тялото са големи и скоростта е малка.

Най-общо казано, квантовите и релативистичните ефекти никога не изчезват, те се осъществяват и при обичайното движение на макроскопични тела със скорост, много по-ниска от скоростта на светлината. Друго нещо е, че действието на тези ефекти е толкова малко, че не надхвърля най-точните измервания. Така класическата механика никога няма да загуби своето основно значение.

Ще продължим да учим физически основимеханика в следващите статии. За по-добро разбиране на механиката винаги можете да се обърнете към нашите автори, които поотделно хвърлят светлина върху тъмното петно на най-трудната задача.