Przebieg wykładów z mechaniki teoretycznej. Kurs wykładów mechanika techniczna

1 slajd

Kurs wykładów z mechaniki teoretycznej Dynamika (część I) Bondarenko A.N. Moskwa - 2007 Kurs elektroniczny został napisany na podstawie wykładów prowadzonych przez autora dla studentów studiujących w specjalnościach SZhD, PGS i SDM w NIIZhT i MIIT (1974-2006). Materiał edukacyjny odpowiada plany kalendarza ponad trzy semestry. Aby w pełni zaimplementować efekty animacji podczas prezentacji, musisz użyć przeglądarki Power Point nie niższej niż wbudowany pakiet Microsoft Office system operacyjny Windows XP Professional. Komentarze i sugestie można przesyłać e-mailem: [e-mail chroniony]. Moskiewski Państwowy Uniwersytet Inżynierii Kolejowej (MIIT) Wydział Mechaniki Teoretycznej Centrum Naukowo-Techniczne Technologii Transportu

2 slajdy

Spis treści Wykład 1. Wprowadzenie do dynamiki. Prawa i aksjomaty dynamiki punkt materialny. Podstawowe równanie dynamiki. Różniczkowe i naturalne równania ruchu. Dwa główne zadania dynamiki. Przykłady rozwiązania bezpośredniego zadania dynamiki Wykład 2. Rozwiązywanie odwrotnego zadania dynamiki. Ogólne instrukcje do rozwiązania odwrotnego problemu dynamiki. Przykłady rozwiązania odwrotnego zagadnienia dynamiki. Ruch ciała rzuconego pod kątem do horyzontu bez uwzględniania oporu powietrza. Wykład 3. Drgania prostoliniowe punktu materialnego. Warunek wystąpienia oscylacji. Klasyfikacja drgań. Swobodne drgania bez uwzględnienia sił oporu. tłumione wibracje. Zmniejszenie oscylacji. Wykład 4. Drgania wymuszone punktu materialnego. Rezonans. Wpływ oporów ruchu podczas drgań wymuszonych. Wykład 5. Ruch względny punktu materialnego. Siły bezwładności. Szczególne przypadki ruchu dla różnych rodzajów ruchu przenośnego. Wpływ ruchu obrotowego Ziemi na równowagę i ruch ciał. Wykład 6. Dynamika układu mechanicznego. układ mechaniczny. Siły zewnętrzne i wewnętrzne. Środek masy układu. Twierdzenie o ruchu środka masy. Prawa ochronne. Przykład rozwiązania problemu zastosowania twierdzenia o ruchu środka masy. Wykład 7. Impuls siły. Ilość ruchu. Twierdzenie o zmianie pędu. Prawa ochronne. Twierdzenie Eulera. Przykład rozwiązania problemu z wykorzystaniem twierdzenia o zmianie pędu. moment rozpędu. Twierdzenie o zmianie momentu pędu Wykład 8. Prawa zachowania. Elementy teorii momentów bezwładności. Moment kinetyczny ciała sztywnego. Równanie różniczkowe obrót ciała sztywnego. Przykład rozwiązania problemu wykorzystania twierdzenia o zmianie momentu pędu układu. Elementarna teoria żyroskopu. Zalecana literatura 1. Yablonsky A.A. Kurs mechaniki teoretycznej. Część 2. M.: Liceum. 1977. 368 s. 2. Meshchersky I.V. Zbiór problemów mechaniki teoretycznej. M.: Nauka. 1986 416 s. 3. Zbiór zadań dla prace semestralne/ Wyd. AA Jabłoński. M.: Szkoła wyższa. 1985. 366 s. 4. Bondarenko A.N. “ Mechanika teoretyczna w przykładach i zadaniach. Dynamika” (podręcznik elektroniczny www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 slajdy

Wykład 1 Dynamika to dział mechaniki teoretycznej zajmujący się badaniem ruchu mechanicznego od samego początku. wspólny punkt wizja. Ruch jest rozpatrywany w połączeniu z siłami działającymi na obiekt. Sekcja składa się z trzech sekcji: Dynamika punktu materialnego Dynamika Dynamika układu mechanicznego Mechanika analityczna ■ Dynamika punktu – bada ruch punktu materialnego z uwzględnieniem sił powodujących ten ruch. Głównym obiektem jest punkt materialny - materialne ciało o masie, której wymiary można pominąć. Podstawowe założenia: - istnieje przestrzeń absolutna (ma właściwości czysto geometryczne, które nie zależą od materii i jej ruchu. - istnieje czas absolutny (nie zależy od materii i jej ruchu). Z tego wynika: - istnieje absolutnie nieruchomy układ odniesienia - czas nie zależy od ruchu układu odniesienia - masy ruchomych punktów nie zależą od ruchu układu odniesienia Założenia te są stosowane w mechanice klasycznej stworzonej przez Galileusza i Newtona Wciąż ma dość szeroki zakres, gdyż układy mechaniczne rozważane w naukach stosowanych nie mają takich” w dużych ilościach i prędkości ruchu, dla których konieczne jest uwzględnienie ich wpływu na geometrię przestrzeni, czasu, ruchu, jak to ma miejsce w mechanice relatywistycznej (teoria względności). ■ Podstawowe prawa dynamiki, po raz pierwszy odkryte przez Galileusza i sformułowane przez Newtona, stanowią podstawę wszystkich metod opisu i analizy ruchu układów mechanicznych oraz ich dynamicznego oddziaływania pod działaniem różnych sił. ■ Prawo bezwładności (prawo Galileo-Newtona) — izolowany punkt materialny ciała zachowuje stan spoczynku lub jednolitości ruch prostoliniowy dopóki przyłożone siły nie spowodują zmiany tego stanu. Oznacza to równoważność stanu spoczynku i ruchu przez bezwładność (prawo względności Galileusza). Układ odniesienia, w stosunku do którego spełnione jest prawo bezwładności, nazywamy inercjalnym. Właściwość punktu materialnego polegająca na dążeniu do utrzymania niezmienionej prędkości jego ruchu (stanu kinematycznego) nazywana jest bezwładnością. ■ Prawo proporcjonalności siły i przyspieszenia (Podstawowe równanie dynamiki - II prawo Newtona) - Przyspieszenie nadawane punktowi materialnemu przez siłę jest wprost proporcjonalne do siły i odwrotnie proporcjonalne do masy tego punktu: lub Tutaj m jest masa punktu (miara bezwładności), mierzona w kg, liczbowo równa masie podzielonej przez przyspieszenie ziemskie: F jest siłą działającą, mierzoną w N (1 N nadaje przyspieszenie 1 m / s2 punktowi masa 1 kg, 1 N \u003d 1 / 9,81 kg-s). ■ Dynamika układu mechanicznego – bada ruch zbioru punktów materialnych i ciał stałych, połączonych ogólnymi prawami interakcji, z uwzględnieniem sił wywołujących ten ruch. ■ Mechanika analityczna – bada ruch niewolnych układów mechanicznych za pomocą ogólnych Metody analityczne. 1

4 slajdy

Wykład 1 (kontynuacja - 1.2) Różniczkowe równania ruchu punktu materialnego: - różniczkowe równanie ruchu punktu w postaci wektorowej. - równania różniczkowe ruchu punktów w postaci współrzędnych. Wynik ten można uzyskać przez formalne rzutowanie równania różniczkowego wektorów (1). Po zgrupowaniu zależność wektorowa jest rozkładana na trzy równania skalarne: W postaci współrzędnych: Stosujemy związek promień-wektor ze współrzędnymi oraz wektor siły z rzutami: różniczkowe równanie ruchu na naturalnych (ruchomych) osiach współrzędnych: lub: - naturalne równania ruchu punktu. ■ Podstawowe równanie dynamiki: - odpowiada wektorowemu sposobowi określania ruchu punktu. ■ Prawo niezależności działania sił — przyspieszenie punktu materialnego pod działaniem kilku sił jest równe geometrycznej sumie przyspieszeń punktu od działania każdej z sił z osobna: lub Prawo jest ważne dla dowolnego stanu kinematycznego korpusów. Siły oddziaływania działające na różne punkty (ciała) nie są zrównoważone. ■ Prawo równości akcji i reakcji (III prawo Newtona) — Każdemu działaniu odpowiada równa i przeciwnie skierowana reakcja: 2

5 slajdów

Dwa główne problemy dynamiki: 1. Problem bezpośredni: Dany jest ruch (równania ruchu, trajektoria). Wymagane jest określenie sił, pod działaniem których występuje dany ruch. 2. Zagadnienie odwrotne: podane są siły, pod wpływem których występuje ruch. Wymagane jest znalezienie parametrów ruchu (równań ruchu, trajektorii ruchu). Oba problemy rozwiązywane są za pomocą podstawowego równania dynamiki i jego rzutowania na osie współrzędnych. Jeżeli rozważany jest ruch punktu nieswobodnego, to podobnie jak w statyce stosuje się zasadę uwolnienia od wiązań. W wyniku reakcji wiązania wchodzą w skład sił działających na punkt materialny. Rozwiązanie pierwszego problemu związane jest z operacjami różniczkowymi. Rozwiązanie zagadnienia odwrotnego wymaga całkowania odpowiednich równań różniczkowych, a to jest znacznie trudniejsze niż różniczkowanie. Problem odwrotny jest trudniejszy niż problem bezpośredni. Rozwiązanie bezpośredniego problemu dynamiki - spójrzmy na przykłady: Przykład 1. Kabina windy o ciężarze G jest podnoszona za pomocą liny z przyspieszeniem a . Określ napięcie kabla. 1. Wybierz obiekt (kabina windy porusza się do przodu i może być traktowana jako punkt materialny). 2. Odrzucamy połączenie (kabel) i zastępujemy je reakcją R. 3. Skomponuj podstawowe równanie dynamiki: Wyznacz reakcję kabla: Wyznacz naprężenie kabla: Przy równomiernym ruchu kabiny ay = 0 i naprężenie liny jest równe ciężarowi: T = G. Gdy lina pęknie T = 0, a przyspieszenie kabiny jest równe przyspieszeniu swobodnego spadania: ay = -g. 3 4. Na oś y rzutujemy podstawowe równanie dynamiki: y Przykład 2. Punkt masy m porusza się po poziomej powierzchni (płaszczyźnie Oxy) według równań: x = a coskt, y = b coskt. Określ siłę działającą na punkt. 1. Wybierz obiekt (punkt materialny). 2. Odrzucamy połączenie (płaszczyzna) i zastępujemy je reakcją N. 3. Dodajmy do układu sił nieznaną siłę F. 4. Ułóżmy podstawowe równanie dynamiki: 5. Narysujmy podstawowe równanie dynamiki na x , osie y: Wyznacz rzuty siły: Moduł siły: Cosinusy kierunku : Zatem wielkość siły jest proporcjonalna do odległości punktu od środka współrzędnych i jest skierowana do środka wzdłuż linii łączącej punkt ze środkiem . Trajektoria punktu jest elipsą o środku w punkcie początkowym: Wykład 1 (ciąg dalszy - 1.3)

6 slajdów

Wykład 1 (kontynuacja 1.4) Przykład 3: Ładunek o wadze G zawieszony na linie o długości li porusza się po torze kołowym w płaszczyźnie poziomej z określoną prędkością. Kąt odchylenia kabla od pionu jest równy. Określ napięcie kabla i prędkość ładunku. 1. Wybierz obiekt (ładunek). 2. Odrzuć połączenie (linę) i zastąp ją reakcją R. 3. Skomponuj główne równanie dynamiki: Z trzeciego równania wyznacz reakcję kabla: Określ napięcie kabla: Zastąp wartość reakcji liny, przyśpieszenie normalne do drugiego równania i wyznacz prędkość obciążenia: 4. Odwzoruj główne równanie dynamiki osi,n,b: Przykład 4: Samochód o masie G porusza się po wypukłym moście (promień krzywizny wynosi R ) z prędkością V. Określ nacisk samochodu na most. 1. Wybieramy obiekt (samochód, zaniedbujemy wymiary i traktujemy go jako punkt). 2. Odrzucamy połączenie (chropowatą powierzchnię) i zastępujemy je reakcjami N i siłą tarcia Ffr. 3. Układamy podstawowe równanie dynamiki: 4. Projektujemy podstawowe równanie dynamiki na oś n: Stąd wyznaczamy reakcję normalną: Określamy nacisk samochodu na most: Stąd wyznaczamy prędkość odpowiadające zerowemu naciskowi na mostek (Q = 0): 4

7 slajdów

Wykład 2 Po podstawieniu znalezionych wartości stałych otrzymujemy: Zatem pod wpływem tego samego układu sił punkt materialny może wykonać całą klasę ruchów określoną przez warunki początkowe. Początkowe współrzędne uwzględniają początkowe położenie punktu. Prędkość początkowa, podana przez rzuty, uwzględnia wpływ na jej ruch wzdłuż rozważanego odcinka trajektorii sił, które działały na punkt przed dotarciem do tego odcinka, tj. początkowy stan kinematyczny. Rozwiązanie odwrotnego zagadnienia dynamiki - W ogólnym przypadku ruchu punktu siły działające na punkt są zmiennymi zależnymi od czasu, współrzędnych i prędkości. Ruch punktu opisuje układ trzech równań różniczkowych drugiego rzędu: Po scałkowaniu każdego z nich będzie sześć stałych C1, C2,…., C6: Wartości stałych C1, C2,… ., C6 zostały znalezione z sześciu warunków początkowych w t = 0: Przykład 1 rozwiązania problemu odwrotnego: Swobodny punkt materialny o masie m porusza się pod działaniem siły F, która jest stała pod względem wielkości i wielkości. . W momencie początkowym prędkość punktu wynosiła v0 i pokrywała się w kierunku z siłą. Wyznacz równanie ruchu punktu. 1. Układamy podstawowe równanie dynamiki: 3. Obniżamy rząd pochodnej: 2. Wybieramy kartezjański układ odniesienia, kierując oś x wzdłuż kierunku siły i rzutujemy na tę oś główne równanie dynamiki: lub xyz 4. Oddziel zmienne: 5. Oblicz całki z obu części równania: 6. Przedstawmy rzut prędkości jako pochodną współrzędnej po czasie: 8. Oblicz całki z obu części równania: 7. Oddzielmy zmienne: 9. Do wyznaczenia wartości stałych C1 i C2 wykorzystujemy warunki początkowe t = 0, vx = v0 , x = x0: W rezultacie otrzymujemy równanie ruchu jednostajnie zmiennego (wzdłuż oś x): 5

8 slajdów

Ogólne instrukcje rozwiązywania problemów bezpośrednich i odwrotnych. Procedura rozwiązania: 1. Zestawienie różniczkowego równania ruchu: 1.1. Wybierz układ współrzędnych - prostokątny (stały) o nieznanej trajektorii ruchu, naturalny (ruchomy) o znanej trajektorii, na przykład okrąg lub linia prosta. W ostatni przypadek można użyć jednej współrzędnej linii prostej. Punkt odniesienia należy łączyć z początkową pozycją punktu (w t = 0) lub z pozycją równowagi punktu, jeśli istnieje np. przy wahaniach punktu. 6 1.2. Narysuj punkt w pozycji odpowiadającej dowolnemu momentowi w czasie (dla t > 0), tak aby współrzędne były dodatnie (s > 0, x > 0). Zakładamy również, że rzut prędkości w tej pozycji jest również dodatni. W przypadku oscylacji rzut prędkości zmienia znak, np. przy powrocie do położenia równowagi. Tutaj należy przyjąć, że w rozważanym momencie punkt oddala się od położenia równowagi. Wdrożenie tego zalecenia jest ważne w przyszłości podczas pracy z siłami oporu, które zależą od prędkości. 1.3. Uwolnij punkt materialny z wiązań, zastąp ich działanie reakcjami, dodaj siły czynne. 1.4. Zapisz podstawowe prawo dynamiki w postaci wektorowej, rzutuj na wybrane osie, wyraź siły zadane lub siły w czasie, współrzędne lub zmienne prędkości, jeśli od nich zależą. 2. Rozwiązanie równań różniczkowych: 2.1. Zmniejsz pochodną, jeśli równanie nie jest zredukowane do postaci kanonicznej (standardowej). na przykład: lub 2.2. Oddzielne zmienne, na przykład: lub 2.4. Oblicz całki nieoznaczone po lewej i prawej stronie równania, na przykład: 2.3. Jeśli w równaniu występują trzy zmienne, dokonaj zmiany zmiennych, na przykład: a następnie rozdziel zmienne. Komentarz. Zamiast kalkulować całki nieoznaczone możliwe jest obliczenie całek oznaczonych ze zmienną górną granicą. Dolne granice reprezentują początkowe wartości zmiennych (warunki początkowe), wtedy nie ma potrzeby oddzielnego znajdowania stałej, która jest automatycznie uwzględniana w rozwiązaniu, na przykład: Używając warunków początkowych, np. t = 0 , vx = vx0, wyznacz stałą całkowania: 2.5. Wyraź prędkość jako pochodną czasową współrzędnej, na przykład, i powtórz kroki 2.2 -2.4 Uwaga. Jeśli równanie zostanie zredukowane do postaci kanonicznej, która ma rozwiązanie standardowe, to jest to rozwiązanie pod klucz i jest używany. Stałe integracji nadal znajdują się w warunkach początkowych. Zobacz np. wibracje (wykład 4, s. 8). Wykład 2 (kontynuacja 2.2)

9 slajdów

Wykład 2 (kontynuacja 2.3) Przykład 2 rozwiązania zadania odwrotnego: Siła zależy od czasu. Ładunek o wadze P zaczyna się poruszać po gładkiej poziomej powierzchni pod działaniem siły F, której wielkość jest proporcjonalna do czasu (F = kt). Określ odległość przebytą przez ładunek w czasie t. 3. Ułóż podstawowe równanie dynamiki: 5. Zmniejsz rząd pochodnej: 4. Rzutuj podstawowe równanie dynamiki na oś x: lub 7 6. Rozdziel zmienne: 7. Oblicz całki obu części równanie: 9. Przedstaw rzut prędkości jako pochodną współrzędnej po czasie: 10. Oblicz całki obu części równania: 9. Oddziel zmienne: 8. Wyznacz wartość stałej C1 od warunek początkowy t = 0, vx = v0=0: W efekcie otrzymujemy równanie ruchu (wzdłuż osi x), które podaje wartość przebytej drogi dla czasu t: 1. Wybieramy układ odniesienia (kartezjański współrzędnych) tak, aby ciało miało dodatnią współrzędną: 2. Bierzemy obiekt ruchu jako punkt materialny (ciało porusza się do przodu), zwalniamy go z połączenia (płaszczyzny odniesienia) i zastępujemy reakcją (normalna reakcja powierzchnia gładka) : 11. Wyznacz wartość stałej C2 z warunku początkowego t = 0, x = x0=0: Przykład 3 rozwiązania zadania odwrotnego: Siła zależy od współrzędnej. Punkt materialny o masie m jest wyrzucany w górę z powierzchni Ziemi z prędkością v0. Siła ciężkości Ziemi jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od punktu do środka ciężkości (środka Ziemi). Wyznacz zależność prędkości od odległości y od środka Ziemi. 1. Dobieramy układ odniesienia (współrzędne kartezjańskie) tak, aby ciało miało dodatnią współrzędną: 2. Układamy podstawowe równanie dynamiki: 3. Podstawowe równanie dynamiki rzutujemy na oś y: lub Współczynnik proporcjonalności może znaleźć używając wagi punktu na powierzchni Ziemi: R Stąd równanie różniczkowe wygląda tak: lub 4. Zmniejsz rząd pochodnej: 5. Zmień zmienną: 6. Oddziel zmienne: 7. Oblicz całki z obu stron równania: 8. Podstaw granice: W rezultacie otrzymujemy wyrażenie na prędkość w funkcji współrzędnej y: Maksymalna wysokość lotu można znaleźć przyrównując prędkość do zera: Maksymalna wysokość lotu gdy mianownik zwróci się do zera: Stąd, przy ustalaniu promienia Ziemi i przyspieszenia swobodnego spadania, otrzymujemy II prędkość kosmiczna:

10 slajdów

Wykład 2 (kontynuacja 2.4) Przykład 2 rozwiązania zadania odwrotnego: Siła zależy od prędkości. Statek o masie m miał prędkość v0. Opór wody na ruch statku jest proporcjonalny do prędkości. Określ czas, po którym prędkość statku spadnie o połowę po wyłączeniu silnika, a także odległość przebytą przez statek do całkowitego zatrzymania. 8 1. Wybieramy układ odniesienia (współrzędne kartezjańskie) tak, aby ciało miało dodatnią współrzędną: 2. Bierzemy obiekt ruchu jako punkt materialny (statek porusza się do przodu), uwalniamy go z wiązań (woda) i zastępujemy go z reakcją (siła wyporu – siła Archimedesa), a także z oporem ruchu. 3. Dodaj siłę aktywną (grawitację). 4. Układamy główne równanie dynamiki: 5. Rzutujemy główne równanie dynamiki na oś x: lub 6. Obniżamy rząd pochodnej: 7. Rozdzielamy zmienne: 8. Obliczamy całki z obu części równania: 9. Podstawiamy granice: Otrzymujemy wyrażenie, które wiąże prędkość i czas t, z którego można wyznaczyć czas ruchu: Czas ruchu, podczas którego prędkość spadnie o połowę: Jest warto zauważyć, że gdy prędkość zbliża się do zera, czas ruchu ma tendencję do nieskończoności, tj prędkość końcowa nie może wynosić zero. Dlaczego nie „perpetum mobile”? Jednak w tym przypadku odległość przebyta do przystanku jest wartością skończoną. Aby wyznaczyć przebytą odległość, zwracamy się do wyrażenia otrzymanego po zmniejszeniu rzędu pochodnej i dokonujemy zmiany zmiennej: Po scałkowaniu i podstawieniu granic otrzymujemy: Odległość przebytą do przystanku: ■ Ruch punktu rzuconego na kąta względem horyzontu w jednorodnym polu grawitacyjnym bez uwzględnienia oporu powietrza Eliminując czas z równań ruchu otrzymujemy równanie trajektorii: Czas lotu wyznaczamy zrównując współrzędną y z wartością zero: Zasięg lotu wyznaczamy podstawiając czas lotu:

11 slajdów

Wykład 3 Drgania prostoliniowe punktu materialnego - Ruch oscylacyjny punktu materialnego występuje pod warunkiem, że istnieje siła przywracająca, która przy każdym odchyleniu od tego położenia dąży do przywrócenia punktu do położenia równowagi. 9 Jest siła przywracająca, pozycja równowagi jest stabilna Brak siły przywracającej, pozycja równowagi jest niestabilna Brak siły przywracającej, pozycja równowagi jest obojętna Jest on zawsze skierowany w stronę położenia równowagi, wartość jest wprost proporcjonalna do liniowego wydłużenia (skrócenia) sprężyny, które jest równe odchyleniu ciała od położenia równowagi: c jest współczynnikiem sztywności sprężyny, liczbowo równym siła, przy której sprężyna zmienia swoją długość o jeden, mierzoną w N/m w układzie SI. x y O Rodzaje drgań punktu materialnego: 1. Drgania swobodne (bez uwzględnienia oporu ośrodka). 2. Drgania swobodne z uwzględnieniem rezystancji medium (oscylacje tłumione). 3. Wibracje wymuszone. 4. Drgania wymuszone uwzględniające opór medium. ■ Drgania swobodne – powstają pod działaniem jedynie siły przywracającej. Zapiszmy podstawowe prawo dynamiki: Wybierzmy układ współrzędnych wyśrodkowany w pozycji równowagi (punkt O) i przenieśmy równanie na oś x: Sprowadźmy otrzymane równanie do standardowej (kanonicznej) postaci: To równanie jest jednorodne liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu, którego postać rozwiązania jest określona przez pierwiastki charakterystyki równania otrzymanego za pomocą uniwersalnego podstawienia: Pierwiastki równania charakterystycznego są urojone i równe: Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego ma postać: Prędkość punktu: Warunki początkowe: Zdefiniuj stałe: Zatem równanie drgań swobodnych ma postać: Równanie można przedstawić za pomocą wyrażenia jednoskładnikowego: gdzie a jest amplitudą, - faza początkowa. Nowe stałe a i - są powiązane ze stałymi C1 i C2 zależnościami: Zdefiniujmy a i: Przyczyną występowania oscylacji swobodnych jest przemieszczenie początkowe x0 i/lub prędkość początkowa v0.

12 slajdów

10 Wykład 3 (kontynuacja 3.2) Drgania tłumione punktu materialnego - Ruch oscylacyjny punktu materialnego następuje pod wpływem siły przywracającej i siły oporu ruchu. Wyznacza się zależność siły oporu ruchu od przemieszczenia lub prędkości fizyczna naturaśrodowisko lub komunikacja utrudniająca ruch. Najprostszą zależnością jest liniowa zależność od prędkości (oporów lepkości): - współczynnik lepkości xy O Podstawowe równanie dynamiki: Rzut równania dynamiki na oś: Sprowadźmy równanie do postaci standardowej: gdzie Równanie charakterystyczne ma pierwiastki: Ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego ma różną postać w zależności od wartości pierwiastków: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - przypadek o dużej odporności na lepkość: - korzenie rzeczywiste, różne. lub - te funkcje są aperiodyczne: 3. n = k: - pierwiastki są rzeczywiste, wielokrotne. funkcje te są również aperiodyczne:

13 slajdów

Wykład 3 (kontynuacja 3.3) Klasyfikacja rozwiązań oscylacji swobodnych. Połączenia sprężynowe. równoważna twardość. y y 11 Rozn. Znak równania. Równanie pierwiastków char. równanie Rozwiązywanie równania różniczkowego Wykres nk n=k

14 slajdów

Wykład 4 Drgania wymuszone punktu materialnego - Wraz z siłą przywracającą działa siła zmieniająca się okresowo, zwana siłą zakłócającą. Zaburzająca siła może mieć inny charakter. Np. w konkretnym przypadku efekt bezwładności niezrównoważonej masy m1 obracającego się wirnika powoduje harmonicznie zmieniające się rzuty sił: Główne równanie dynamiki: Rzut równania dynamiki na oś: Sprowadźmy równanie do normy postać: 12 Rozwiązanie tego niejednorodnego równania różniczkowego składa się z dwóch części x = x1 + x2: x1 jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego równania jednorodnego, a x2 jest rozwiązaniem szczególnym równanie niejednorodne: Wybieramy konkretne rozwiązanie w postaci prawej strony: Wynikowa równość musi być spełniona dla dowolnego t . Wtedy: albo Tak więc, przy jednoczesnym działaniu sił przywracających i zakłócających, punkt materialny wykonuje złożony ruch oscylacyjny, który jest wynikiem dodania (superpozycji) drgań swobodnych (x1) i wymuszonych (x2). Jeżeli p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (oscylacje wymuszone o wysokiej częstotliwości), to faza drgań jest przeciwna do fazy siły zakłócającej:

15 slajdów

Wykład 4 (kontynuacja 4.2) 13 Współczynnik dynamiczny - stosunek amplitudy drgań wymuszonych do odchylenia statycznego punktu pod działaniem stałej siły H = const: Amplituda drgań wymuszonych: Odchylenie statyczne można znaleźć równanie równowagi: Tutaj: Stąd: W punkcie p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (wysoka częstotliwość drgań wymuszonych) współczynnik dynamiczny: Rezonans - występuje, gdy częstotliwość drgań wymuszonych pokrywa się z częstotliwością drgań własnych (p = k). Dzieje się tak najczęściej przy uruchamianiu i zatrzymywaniu obrotu słabo wyważonych wirników zamontowanych na elastycznych zawieszeniach. Równanie różniczkowe oscylacji o równych częstotliwościach: Nie można przyjąć konkretnego rozwiązania w postaci prawej strony, ponieważ zostanie otrzymane rozwiązanie liniowo zależne (patrz rozwiązanie ogólne). Rozwiązanie ogólne: Podstaw w równaniu różniczkowym: Weźmy konkretne rozwiązanie w postaci i obliczmy pochodne: W ten sposób otrzymujemy rozwiązanie: lub Drgania wymuszone w rezonansie mają amplitudę, która rośnie w nieskończoność proporcjonalnie do czasu. Wpływ oporów ruchu podczas drgań wymuszonych. Równanie różniczkowe w obecności lepkiego oporu ma postać: Ogólne rozwiązanie wybiera się z tabeli (Wykład 3, s. 11) w zależności od stosunku n i k (patrz). Bierzemy konkretne rozwiązanie w postaci i obliczamy pochodne: Podstaw w równaniu różniczkowym: Zrównanie współczynników przy tym samym funkcje trygonometryczne otrzymujemy układ równań: Podnosząc oba równania do potęgi i dodając je, otrzymujemy amplitudę drgań wymuszonych: Dzieląc drugie równanie przez pierwsze otrzymujemy przesunięcie fazowe drgań wymuszonych: Zatem równanie ruchu dla wymuszonych oscylacji, biorąc pod uwagę opory ruchu np. przy n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 slajdów

Wykład 5 Ruch względny punktu materialnego - Załóżmy, że ruchomy (nieinercyjny) układ współrzędnych Oxyz porusza się zgodnie z pewnym prawem względem stałego (bezwładnościowego) układu współrzędnych O1x1y1z1. Ruch punktu materialnego M (x, y, z) względem układu ruchomego Oxyz jest względny, względem układu nieruchomego O1x1y1z1 jest bezwzględny. Ruch układu ruchomego Oxyz względem układu nieruchomego O1x1y1z1 jest ruchem przenośnym. 14 z x1 y1 z1 O1 xy M xyz O Podstawowe równanie dynamiki: Przyspieszenie bezwzględne punktu: Zastąp przyspieszenie bezwzględne punktu w głównym równaniu dynamiki: Przenieśmy na prawą stronę wyrażenia z przyspieszeniem translacyjnym i przyspieszeniem Coriolisa: przekazywane wyrazy mają wymiar sił i są traktowane jako odpowiadające im siły bezwładności, równe: Wtedy ruch względny punktu można uznać za bezwzględny, jeśli do działających sił dodamy translacyjne i Coriolisa siły bezwładności: W rzutach na osie ruchomego układu współrzędnych mamy: obrót jest jednostajny, to εe = 0:2. ruch można uznać za bezwzględny: żadne zjawisko mechaniczne nie może wykryć jednorodności prostoliniowej ruch (zasada względności mechaniki klasycznej). Wpływ ruchu obrotowego Ziemi na równowagę ciał - Załóżmy, że ciało znajduje się w równowadze na powierzchni Ziemi na dowolnej szerokości geograficznej φ (równolegle). Ziemia obraca się wokół własnej osi z zachodu na wschód z prędkością kątową: promień Ziemi wynosi około 6370 km. S R- pełna reakcja nierówna powierzchnia. G - siła przyciągania Ziemi do środka. Ф - odśrodkowa siła bezwładności. Warunek równowagi względnej: Wypadkową sił przyciągania i bezwładności jest siła grawitacji (ciężar): Wielkość siły grawitacji (ciężaru) na powierzchni Ziemi wynosi P = mg. Siła odśrodkowa bezwładności jest małym ułamkiem siły grawitacji: Odchylenie siły grawitacji od kierunku siły przyciągania jest również małe: Zatem wpływ ruchu obrotowego Ziemi na równowagę ciał jest niezwykle mały i nie jest brane pod uwagę w obliczeniach praktycznych. Maksymalna wartość siły bezwładności (przy φ = 0 - na równiku) to zaledwie 0,00343 wartości grawitacji

17 slajdów

Wykład 5 (kontynuacja 5.2) 15 Wpływ ruchu obrotowego Ziemi na ruch ciał w polu grawitacyjnym Ziemi - Załóżmy, że ciało spada na Ziemię z pewnej wysokości H nad powierzchnią Ziemi na szerokości geograficznej φ . Wybierzmy ruchomy układ odniesienia, sztywno związany z Ziemią, kierujący osie x, y stycznie do równoleżnika i do południka: Równanie ruchu względnego: Tutaj bierze się pod uwagę małość siła odśrodkowa bezwładność w porównaniu z grawitacją. W ten sposób siła grawitacji jest utożsamiana z siłą grawitacji. Ponadto zakładamy, że grawitacja jest skierowana prostopadle do powierzchni Ziemi ze względu na niewielkie jej ugięcie, jak omówiono powyżej. Przyspieszenie Coriolisa jest równe i skierowane równolegle do osi y na zachód. Siła bezwładności Coriolisa jest skierowana w przeciwnym kierunku. Rzutujemy równanie ruchu względnego na osi: Rozwiązanie pierwszego równania daje: Warunki początkowe: Rozwiązanie trzeciego równania daje: Warunki początkowe: Trzecie równanie przyjmuje postać: Warunki początkowe: Jego rozwiązanie daje: Rozwiązanie wynikowe pokazuje, że ciało spada na wschód. Obliczmy wartość tego odchylenia np. przy upadku z wysokości 100 m. Czas upadku znajdujemy z rozwiązania drugiego równania: Zatem wpływ obrotu Ziemi na ruch ciał jest niezwykle mały dla praktycznych wysokości i prędkości i nie jest uwzględniany w obliczeniach technicznych. Rozwiązanie drugiego równania implikuje również istnienie prędkości wzdłuż osi y, która również powinna powodować i powodować odpowiednie przyspieszenie i siłę bezwładności Coriolisa. Wpływ tej prędkości i związanej z nią siły bezwładności na zmianę ruchu będzie nawet mniejszy niż rozważana siła bezwładności Coriolisa związana z prędkością pionową.

18 slajdów

Wykład 6 Dynamika układu mechanicznego. System punktów materialnych lub system mechaniczny - Zbiór punktów materialnych lub punktów materialnych, zjednoczonych ogólnymi prawami interakcji (pozycja lub ruch każdego punktu lub ciała zależy od położenia i ruchu wszystkich pozostałych) System darmowe punkty- którego ruch nie jest ograniczony żadnymi połączeniami (na przykład układ planetarny, w którym planety są uważane za punkty materialne). Układ punktów niewolnych lub układ mechaniczny nieswobodny - ruch punktów materialnych lub ciał jest ograniczony ograniczeniami nałożonymi na układ (np. mechanizm, maszyna itp.). 16 Siły działające na system. Oprócz dotychczasowej klasyfikacji sił (siły czynne i bierne) wprowadzono nową klasyfikację sił: 1. Siły zewnętrzne (e) - działające na punkty i ciała układu z punktów lub ciał, które nie wchodzą w jego skład system. 2. Siły wewnętrzne (i) - siły oddziaływania punktów materialnych lub ciał wchodzących w skład danego układu. Ta sama siła może być zarówno siłą zewnętrzną, jak i wewnętrzną. Wszystko zależy od tego, który system mechaniczny jest brany pod uwagę. Na przykład: W układzie Słońca, Ziemi i Księżyca wszystkie siły grawitacyjne między nimi są wewnętrzne. Rozważając układ Ziemia-Księżyc, siły grawitacyjne przyłożone od strony Słońca są zewnętrzne: CZL Zgodnie z prawem akcji i reakcji, każda siła wewnętrzna Fk odpowiada innej sile wewnętrznej Fk', równej wartości bezwzględnej i przeciwnej w kierunek. Z tego wynikają dwie niezwykłe właściwości sił wewnętrznych: Główny wektor wszystkich sił wewnętrznych układu jest równy zero: Główny moment wszystkich sił wewnętrznych układu względem dowolnego środka jest równy zero: Lub w rzutach na współrzędną osie: Uwaga. Chociaż te równania są podobne do równań równowagi, nie są nimi, ponieważ siły wewnętrzne są przykładane do różnych punktów lub ciał układu i mogą powodować, że te punkty (ciała) poruszają się względem siebie. Z równań tych wynika, że siły wewnętrzne nie wpływają na ruch układu rozpatrywanego jako całość. Środek masy układu punktów materialnych. Aby opisać ruch układu jako całości, wprowadza się punkt geometryczny, zwany środkiem masy, którego wektor promienia jest określony przez wyrażenie, gdzie M jest masą całego układu: Lub w rzutach na współrzędną osie: Wzory na środek masy są podobne do wzorów na środek ciężkości. Pojęcie środka masy jest jednak bardziej ogólne, ponieważ nie jest związane z siłami grawitacji ani siłami grawitacji.

19 slajdów

Wykład 6 (kontynuacja 6.2) 17 Twierdzenie o ruchu środka masy układu - Rozważ układ n punktów materialnych. Dzielimy siły przyłożone do każdego punktu na zewnętrzne i wewnętrzne i zastępujemy je odpowiednimi wypadkami Fke i Fki. Zapiszmy dla każdego punktu podstawowe równanie dynamiki: lub Zsumujmy te równania po wszystkich punktach: Po lewej stronie równania wprowadzimy masy pod znakiem pochodnej i zamienimy sumę pochodnych na pochodną sumy: Z definicji środka masy: Podstaw do otrzymanego równania: otrzymujemy lub: Iloczyn masy układu i przyspieszenia jego środka masy jest równy głównemu wektorowi sił zewnętrznych. W rzutach na osie współrzędnych: Środek masy układu porusza się jako punkt materialny o masie równej masie całego układu, na który działają wszystkie siły zewnętrzne działające na układ. Konsekwencje z twierdzenia o ruchu środka masy układu (prawa zachowania): 1. Jeżeli w przedziale czasu wektor główny sił zewnętrznych układu wynosi zero, Re = 0, to prędkość środka masy jest stała, vC = const (środek masy porusza się jednostajnie prostoliniowo - zasada zachowania środka masy ruchu). 2. Jeżeli w przedziale czasu rzut głównego wektora sił zewnętrznych układu na oś x jest równy zero, Rxe = 0, to prędkość środka masy wzdłuż osi x jest stała, vCx = const (środek masy porusza się równomiernie wzdłuż osi). Podobne stwierdzenia są prawdziwe dla osi y i z. Przykład: Dwie osoby o masach m1 i m2 znajdują się w łodzi o masie m3. W początkowym momencie łódź z ludźmi była w spoczynku. Określ wyporność łodzi, jeśli osoba o masie m2 przesunęła się na dziób łodzi w pewnej odległości a. 3. Jeżeli w przedziale czasu wektor główny sił zewnętrznych układu jest równy zero, Re = 0, a w momencie początkowym prędkość środka masy wynosi zero, vC = 0, to wektor promienia środek masy pozostaje stały, rC = const (środek masy w spoczynku jest prawem zachowania położenia środka masy). 4. Jeżeli w przedziale czasu rzut głównego wektora sił zewnętrznych układu na oś x jest równy zero, Rxe = 0, a w momencie początkowym prędkość środka masy wzdłuż tej osi wynosi zero , vCx = 0, to współrzędna środka masy wzdłuż osi x pozostaje stała, xC = const (środek masy nie porusza się wzdłuż tej osi). Podobne stwierdzenia są prawdziwe dla osi y i z. 1. Obiekt ruchu (łódź z ludźmi): 2. Odrzucamy połączenia (woda): 3. Zastępujemy połączenie reakcją: 4. Dodaj siły czynne: 5. Zapisz twierdzenie o środku masy: Rzutuj na oś X: O Określ, jak daleko musisz przenieść się na osobę o masie m1, aby łódź pozostała na miejscu: Łódź przesunie się na odległość lw przeciwnym kierunku.

20 slajdów

Wykład 7 Impuls siły jest miarą oddziaływania mechanicznego charakteryzującą przeniesienie ruchu mechanicznego z sił działających na punkt przez określony czas: 18 W rzutach na osie współrzędnych: W przypadku siły stałej: W rzutach na osie współrzędnych: do punktu siły w tym samym przedziale czasu: Pomnóż przez dt: Całkuj w danym przedziale czasu: Pęd punktu jest miarą ruchu mechanicznego, określoną przez wektor równy iloczynowi masy punkt i jego wektor prędkości: Twierdzenie o zmianie pędu układu - Rozważmy układ n punktów materialnych. Dzielimy siły przyłożone do każdego punktu na zewnętrzne i wewnętrzne i zastępujemy je odpowiednimi wypadkami Fke i Fki. Napiszmy dla każdego punktu podstawowe równanie dynamiki: lub Wielkość ruchu układu punktów materialnych - geometryczna suma wielkości ruchu punktów materialnych: Z definicji środka masy: Wektor pędu układu jest równy iloczynowi masy całego układu i wektora prędkości środka masy układu. Wtedy: W rzutach na osie współrzędnych: Pochodna po czasie wektora pędu układu jest równa głównemu wektorowi sił zewnętrznych układu. Zsumujmy te równania po wszystkich punktach: Po lewej stronie równania wprowadzamy masy pod znakiem pochodnej i zastępujemy sumę pochodnych pochodną sumy: Z definicji pędu układu: W rzutach na osie współrzędnych:

21 slajdów

Twierdzenie Eulera - Zastosowanie twierdzenia o zmianie pędu układu do ruchu kontinuum(woda) . 1. Jako obiekt ruchu wybieramy objętość wody znajdującą się w krzywoliniowym kanale turbiny: 2. Odrzucamy połączenia i zastępujemy ich działanie reakcjami (Rpov - wypadkowa sił powierzchniowych) 3. Dodajmy siły czynne (Rb - wypadkowa sił ciała): 4. Napisz twierdzenie o zmianie pędu układu: Wielkość ruchu wody w czasie t0 i t1 będzie reprezentowana jako sumy: Zmiana pędu wody w przedziale czasu : Zmiana pędu wody w nieskończenie małym przedziale czasu dt: , gdzie F1 F2 Biorąc iloczyn gęstości, pola przekroju i prędkości na sekundę masy, otrzymujemy: Podstawiając różniczkę pędów układu do twierdzenia o zmianie otrzymujemy: Konsekwencje z twierdzenia o zmianie pędu układu (prawa zachowania): 1. Jeżeli w przedziale czasu wektor główny sił zewnętrznych układu jest równy zero, Re = 0, to ruch wektora ilościowego jest stały, Q = const jest prawem zachowania pędu układu). 2. Jeżeli w przedziale czasu rzut głównego wektora sił zewnętrznych układu na oś x jest równy zero, Rxe = 0, to rzut pędu układu na oś x jest stały, Qx = const. Podobne stwierdzenia są prawdziwe dla osi y i z. Wykład 7 (kontynuacja 7.2) Przykład: Granat o masie M lecący z prędkością v eksplodował na dwie części. Prędkość jednego z fragmentów masy m1 wzrosła w kierunku ruchu do wartości v1. Określ prędkość drugiego fragmentu. 1. Obiekt ruchu (granat): 2. Obiekt jest układem swobodnym, nie ma połączeń i ich reakcji. 3. Dodaj siły czynne: 4. Zapisz twierdzenie o zmianie pędu: Rzutuj na oś: β Podziel zmienne i całkuj: Prawa całka jest prawie zerowa, ponieważ czas wybuchu t

22 slajd

Wykład 7 (kontynuacja 7.3) 20 Kręt punktu lub moment kinetyczny ruchu względem określonego środka jest miarą ruchu mechanicznego, wyznaczoną przez wektor równy iloczynowi wektora promienia punktu materialnego i wektor jego pędu: Moment kinetyczny układu punktów materialnych względem pewnego środka jest geometryczną sumą momentów liczby ruchów wszystkich punktów materialnych względem tego samego środka: W rzutach na oś: W rzutach na oś: Twierdzenie o zmianie momentu pędu układu - Rozważ układ n punktów materialnych. Dzielimy siły przyłożone do każdego punktu na zewnętrzne i wewnętrzne i zastępujemy je odpowiednimi wypadkami Fke i Fki. Zapiszmy dla każdego punktu podstawowe równanie dynamiki: lub Zsumujmy te równania dla wszystkich punktów: Zamieńmy sumę pochodnych na pochodną sumy: Wyrażenie w nawiasach to moment pędu układu. Stąd: Mnożymy wektorowo każdą z równości przez wektor promienia po lewej stronie: Zobaczmy, czy jest możliwe wyprowadzenie znaku pochodnej poza iloczyn wektorowy: W ten sposób otrzymaliśmy: środek. W rzutach na osie współrzędnych: Pochodna momentu pędu układu względem pewnej osi w czasie jest równa głównemu momentowi sił zewnętrznych układu względem tej samej osi.

23 slajd

Wykład 8 21 ■ Konsekwencje z twierdzenia o zmianie momentu pędu układu (prawa zachowania): 1. Jeżeli w przedziale czasu wektor głównego momentu sił zewnętrznych układu względem określonego środka jest równy do zera, MOe = 0, to wektor momentu pędu układu względem tego samego środka jest stały, KO = const jest prawem zachowania pędu układu). 2. Jeżeli w przedziale czasu główny moment sił zewnętrznych układu względem osi x jest równy zero, Mxe = 0, to moment pędu układu względem osi x jest stały, Kx = const. Podobne stwierdzenia są prawdziwe dla osi y i z. 2. Moment bezwładności ciała sztywnego wokół osi: Moment bezwładności punktu materialnego wokół osi jest równy iloczynowi masy punktu i kwadratu odległości punktu od osi. Moment bezwładności ciała sztywnego wokół osi jest równa sumie iloczyny masy każdego punktu i kwadratu odległości tego punktu od osi. ■ Elementy teorii momentów bezwładności - Kiedy ruch obrotowy Miarą bezwładności ciała sztywnego (oporu na zmianę ruchu) jest moment bezwładności względem osi obrotu. Rozważ podstawowe pojęcia definicji i metody obliczania momentów bezwładności. 1. Moment bezwładności punktu materialnego wokół osi: W przejściu od dyskretnej małej masy do nieskończenie małej masy punktu, granicę takiej sumy wyznacza całka: osiowy moment bezwładności ciała sztywnego . Oprócz osiowego momentu bezwładności bryły sztywnej istnieją inne rodzaje momentów bezwładności: odśrodkowy moment bezwładności bryły sztywnej. biegunowy moment bezwładności ciała sztywnego. 3. Twierdzenie o momentach bezwładności ciała sztywnego względem osi równoległych - wzór na przejście do osi równoległych: Moment bezwładności względem osi referencyjnej Statyczne momenty bezwładności względem osi referencyjnych Masa ciała Odległość między osiami z1 i z2 : chwile wynoszą zero:

24 slajdy

Wykład 8 (kontynuacja 8.2) 22 Moment bezwładności pręta jednorodnego o stałym przekroju wokół osi: xz L Wybierz objętość elementarną dV = Adx w odległości x: x dx Masa elementarna: Aby obliczyć moment bezwładności wokół osi środkowej (przechodząc przez środek ciężkości), wystarczy zmienić położenie osi i ustawić granice całkowania (-L/2, L/2). Tutaj pokazujemy wzór na przejście do osi równoległych: zС 5. Moment bezwładności jednorodnego pełnego walca wokół osi symetrii: H dr r Wyróżnijmy elementarną objętość dV = 2πrdrH (cienki walec o promieniu r) : Masa elementarna: Tutaj używamy wzoru na objętość cylindra V=πR2H. Aby obliczyć moment bezwładności wydrążonego (grubego) walca, wystarczy ustawić granice całkowania od R1 do R2 (R2>R1): 6. Moment bezwładności cienkiego walca wokół osi symetrii (t

25 slajdów

Wykład 8 (kontynuacja 8.3) 23 ■ Różniczkowe równanie obrotu ciała sztywnego wokół osi: Napiszmy twierdzenie o zmianie momentu pędu ciała sztywnego obracającego się wokół stałej osi: Moment wirującego ciała sztywnego to: Moment sił zewnętrznych wokół osi obrotu jest równy momentowi (reakcje i siła nie tworzą momentów grawitacyjnych): Moment kinetyczny i moment obrotowy podstawiamy do twierdzenia Przykład: Dwie osoby o tej samej wadze G1 = G2 wiszą na linie rzucony na solidny blok o masie G3 = G1/4. W pewnym momencie jeden z nich zaczął wspinać się po linie ze względną prędkością u. Określ prędkość podnoszenia każdej osoby. 1. Wybierz obiekt ruchu (blok z ludźmi): 2. Odrzuć połączenia (podpora bloku): 3. Zastąp połączenie reakcjami (łożysko): 4. Dodaj siły czynne (grawitacja): 5. Zapisz twierdzenie o zmianie momentu kinetycznego układu względem osi obrotu klocka: R Ponieważ moment sił zewnętrznych jest równy zeru, moment kinetyczny musi pozostać stały: W początkowym momencie czasu t = 0 istnieje była równowaga i Kz0 = 0. Po rozpoczęciu ruchu jednej osoby względem liny cały układ zaczął się poruszać, ale moment kinetyczny układu musi pozostać równy zero: Kz = 0. Moment pędu układ jest sumą momentów pędów obu ludzi i bloku: Tutaj v2 jest prędkością drugiej osoby, równą prędkości kabla, Przykład: Wyznacz okres małych swobodnych oscylacji jednorodnego pręta o masie M i długość l, zawieszona jednym końcem na stałej osi obrotu. Lub: W przypadku małych drgań sinφ φ: Okres drgań: Moment bezwładności pręta:

26 slajdów

Wykład 8 (kontynuacja 8.4 - materiał dodatkowy) 24 ■ Elementarna teoria żyroskopu: Żyroskop to ciało sztywne obracające się wokół osi symetrii materiału, którego jeden z punktów jest nieruchomy. Swobodny żyroskop jest zamocowany w taki sposób, że jego środek masy pozostaje nieruchomy, a oś obrotu przechodzi przez środek masy i może przyjmować dowolne położenie w przestrzeni, tj. oś obrotu zmienia swoje położenie jak oś własnego obrotu ciała podczas ruchu sferycznego. Głównym założeniem przybliżonej (elementarnej) teorii żyroskopu jest to, że wektor pędu (moment kinetyczny) wirnika uważa się za skierowany wzdłuż własnej osi obrotu. Zatem pomimo tego, że w ogólnym przypadku wirnik uczestniczy w trzech obrotach, brana jest pod uwagę tylko prędkość kątowa własnego obrotu ω = dφ/dt. Podstawą tego jest to, że w nowoczesna technologia wirnik żyroskopu obraca się z prędkością kątową rzędu 5000-8000 rad/s (około 50000-80000 obr/min), podczas gdy pozostałe dwie prędkości kątowe związane z precesją i nutacją własnej osi obrotu są dziesiątki tysięcy razy mniej niż ta prędkość. Główną właściwością swobodnego żyroskopu jest to, że oś wirnika zachowuje ten sam kierunek w przestrzeni w stosunku do bezwładnościowego (gwiazdowego) układu odniesienia (zademonstrowanego przez wahadło Foucaulta, które utrzymuje niezmienioną płaszczyznę wychylenia względem gwiazd, 1852). Wynika to z zasady zachowania momentu kinetycznego względem środka masy wirnika pod warunkiem pominięcia tarcia w łożyskach osi zawieszenia wirnika, ramy zewnętrznej i wewnętrznej: Oddziaływanie siły na oś swobodnej żyroskop. W przypadku siły przyłożonej do osi wirnika moment sił zewnętrznych względem środka masy nie jest równy zeru: siła ω ω С oraz w kierunku wektora momentu tej siły, tj. obraca się nie wokół osi x (zawieszenie wewnętrzne), ale wokół osi y (zawieszenie zewnętrzne). Po zakończeniu działania siły oś wirnika pozostanie w tej samej pozycji, odpowiadającej ostatniemu momentowi działania siły, ponieważ od tego momentu moment sił zewnętrznych ponownie staje się równy zero. W przypadku krótkotrwałego działania siły (uderzenia) oś żyroskopu praktycznie nie zmienia swojego położenia. Tak więc szybki obrót wirnika daje żyroskopowi możliwość przeciwdziałania przypadkowym wpływom, które dążą do zmiany położenia osi obrotu wirnika, a przy stałym działaniu siły utrzymuje położenie płaszczyzny prostopadłej do siła działająca, w której leży oś wirnika. Właściwości te są wykorzystywane w działaniu systemów nawigacji inercyjnej.

Wykłady z mechaniki teoretycznej

Dynamika punktowa

Wykład 1

Podstawowe pojęcia dynamiki

W sekcji Dynamika badany jest ruch ciał pod działaniem przyłożonych do nich sił. Dlatego oprócz tych pojęć, które zostały wprowadzone w dziale Kinematyka, tutaj konieczne jest zastosowanie nowych pojęć, które odzwierciedlają specyfikę oddziaływania sił na różne ciała oraz reakcję ciał na te uderzenia. Rozważmy główne z tych pojęć.

a) siła

Siła jest ilościowym wynikiem oddziaływania innych ciał na dane ciało. Siła jest wielkością wektorową (ryc. 1).

Punkt A początku wektora siły F nazywa się punkt przyłożenia siły. Nazywa się linia MN, na której znajduje się wektor siły linia siły. Długość wektora siły, mierzoną w określonej skali, nazywa się wartość liczbowa lub moduł wektora siły. Moduł siły jest oznaczony jako lub . Działanie siły na ciało przejawia się albo w jego odkształceniu, jeśli ciało jest nieruchome, albo w nadaniu mu przyspieszenia, gdy ciało się porusza. Na tych przejawach siły opiera się urządzenie różnych przyrządów (mierników siły lub dynamometrów) do pomiaru sił.

b) układ sił

Rozważany zbiór form sił system sił. Dowolny układ składający się z n sił można zapisać w postaci:

c) wolne ciało

Ciało, które może poruszać się w przestrzeni w dowolnym kierunku bez doświadczania bezpośredniej (mechanicznej) interakcji z innymi ciałami, nazywa się wolny lub odosobniony. Wpływ takiego lub innego układu sił na ciało można wyjaśnić tylko wtedy, gdy to ciało jest wolne.

d) siła wypadkowa

Jeśli jakakolwiek siła ma taki sam wpływ na ciało swobodne, jak jakiś układ sił, to siła ta nazywa się wypadkowa tego układu sił. Jest to napisane w następujący sposób:

co znaczy równorzędność wpływ wypadkowej na ten sam swobodny korpus i pewien układ sił n.

Przejdźmy teraz do rozważenia bardziej złożonych pojęć związanych z ilościowym określeniem obrotowych skutków sił.

e) moment siły względem punktu (środka)

Jeśli ciało pod działaniem siły może obracać się wokół jakiegoś stałego punktu O (ryc. 2), to w celu ilościowego określenia tego efektu obrotowego wprowadza się wielkość fizyczną, która nazywa się moment siły wokół punktu (środka).

Płaszczyzna przechodząca przez dany punkt stały i linia działania siły nazywa się płaszczyzna siły. Na ryc. 2 jest to płaszczyzna ОАВ.

Moment siły względem punktu (środka) jest wielkością wektorową równą iloczynowi wektora promienia punktu przyłożenia siły przez wektor siły:

( 1)

Zgodnie z zasadą mnożenia wektorów dwóch wektorów ich iloczyn wektorowy jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny położenia wektorów czynnikowych (w tym przypadku płaszczyzny trójkąta OAB), skierowanym w kierunku, z którego najkrótszy zakręt pierwszy wektor czynnikowy do drugiego wektora czynnikowego widoczny na tle zegara (ryc. 2). Przy tej kolejności wektorów czynników iloczynu krzyżowego (1) obrót ciała pod działaniem siły będzie widoczny w stosunku do zegara (ryc. 2) Ponieważ wektor jest prostopadły do płaszczyzny siły , jej położenie w przestrzeni określa położenie płaszczyzny siły.Liczbowa wartość wektora momentu siły względem środka jest równa dwukrotnej powierzchni ОАВ i można ją wyznaczyć wzorem:

, (2)

gdzie ogromh, równa najkrótszej odległości od danego punktu O do linii działania siły, nazywana jest ramieniem siły.

Jeżeli położenie płaszczyzny działania siły w przestrzeni nie jest istotne dla scharakteryzowania obrotowego działania siły, to w tym przypadku, aby scharakteryzować obrotowe działanie siły, zamiast wektora momentu siły, algebraiczny moment siły:

(3)

Moment algebraiczny siły względem danego środka jest równy iloczynowi modułu siły i jego ramienia, branego ze znakiem plus lub minus. W tym przypadku moment dodatni odpowiada obrocie ciała pod działaniem określonej siły w stosunku do zegara, a moment ujemny odpowiada obrocie ciała w kierunku zegara. Ze wzorów (1), (2) i (3) wynika, że moment siły względem punktu jest równy zero tylko wtedy, gdy ramię tej siłyhzero. Taka siła nie może obracać ciała wokół danego punktu.

f) Moment siły wokół osi

Jeśli ciało pod działaniem siły może obracać się wokół pewnej ustalonej osi (na przykład obrót ramy drzwi lub okna w zawiasach, gdy są one otwierane lub zamykane), wówczas wprowadzana jest wielkość fizyczna w celu ilościowego określenia tego efektu obrotowego, który nazywa się moment siły wokół danej osi.

 b Fxy

Rysunek 3 przedstawia wykres, zgodnie z którym wyznaczany jest moment siły wokół osi z:

Kąt  tworzą dwa prostopadłe kierunki z oraz płaszczyzny trójkątów O ab i OAV, odpowiednio. Od  O ab jest rzutem ОАВ na płaszczyznę xy, to zgodnie z twierdzeniem o stereometrii na rzut figury płaskiej na daną płaszczyznę mamy:

gdzie znak plus odpowiada dodatniej wartości cos, czyli kątom ostrym , a znak minus odpowiada ujemnej wartości cos, czyli kątom rozwartym , ze względu na kierunek wektora . Z kolei SO ab=1/2Abha, gdzie h  ab . Wartość segmentu ab jest równa rzutowaniu siły na płaszczyznę xy, tj. . ab = F xy .

Na podstawie powyższego oraz równości (4) i (5) wyznaczamy moment siły wokół osi z w następujący sposób:

Równość (6) pozwala nam sformułować następującą definicję momentu siły wokół dowolnej osi: Moment siły wokół danej osi jest równy rzutowi na tę oś wektora momentu tej siły względem dowolnego punktu tę oś i definiuje się jako iloczyn rzutu siły na płaszczyznę prostopadłą do danej osi, ujętego ze znakiem plus lub minus na ramieniu tego rzutu względem punktu przecięcia osi z płaszczyzną rzutu. W tym przypadku znak momentu jest uważany za dodatni, jeśli patrząc od dodatniego kierunku osi, obrót ciała wokół tej osi jest widoczny w stosunku do zegara. W przeciwnym razie moment siły wokół osi jest przyjmowany jako ujemny. Ponieważ ta definicja momentu siły względem osi jest dość trudna do zapamiętania, zaleca się zapamiętanie wzoru (6) i rys. 3, który wyjaśnia ten wzór.

Ze wzoru (6) wynika, że moment siły wokół osi wynosi zero, jeśli jest równoległa do osi (w tym przypadku jej rzut na płaszczyznę prostopadłą do osi jest równy zero) lub linia działania siły przecina oś (wtedy ramię rzutu h=0). Odpowiada to w pełni fizycznemu znaczeniu momentu siły wokół osi jako ilościowej charakterystyki obrotowego działania siły na ciało z osią obrotu.

g) masa ciała

Od dawna zauważono, że pod wpływem siły ciało stopniowo nabiera prędkości i kontynuuje ruch po usunięciu siły. Tę właściwość ciał, polegającą na przeciwstawianiu się zmianie ich ruchu, nazwano bezwładność lub bezwładność ciał. Ilościową miarą bezwładności ciała jest jego masa. Oprócz, masa ciała jest ilościową miarą wpływu sił grawitacyjnych na dane ciało im większa masa ciała, tym większa siła grawitacji działa na ciało. Jak zostanie pokazane poniżej, uh Te dwie definicje masy ciała są ze sobą powiązane.

Inne koncepcje i definicje dynamiki zostaną omówione w dalszej części rozdziału, w którym występują po raz pierwszy.

2. Wiązania i reakcje wiązań

Wcześniej w sekcji 1 lit. c) podano pojęcie ciała swobodnego, jako ciała, które może poruszać się w przestrzeni w dowolnym kierunku bez bezpośredniego kontaktu z innymi ciałami. Większość otaczających nas rzeczywistych ciał jest w bezpośrednim kontakcie z innymi ciałami i nie może poruszać się w tym czy innym kierunku. Na przykład ciała znajdujące się na powierzchni stołu mogą poruszać się w dowolnym kierunku, z wyjątkiem kierunku prostopadłego do powierzchni stołu w dół. Drzwi na zawiasach mogą się obracać, ale nie mogą poruszać się do przodu itp. Ciała, które nie mogą poruszać się w przestrzeni w jednym lub drugim kierunku, są nazywane nie darmowy.

Wszystko, co ogranicza ruch danego ciała w przestrzeni, nazywamy więzami. Mogą to być inne ciała, które uniemożliwiają ruch tego ciała w niektórych kierunkach ( połączenia fizyczne); szerzej mogą to być pewne warunki nałożone na ruch ciała, ograniczające ten ruch. Możesz więc ustawić warunek, aby ruch punktu materialnego wystąpił wzdłuż danej krzywej. W tym przypadku połączenie określa się matematycznie w postaci równania ( równanie połączenia). Kwestia rodzajów linków zostanie omówiona bardziej szczegółowo poniżej.

Większość wiązań nakładanych na ciała to praktycznie wiązania fizyczne. W związku z tym pojawia się pytanie o interakcję danego ciała i połączenie narzucone temu ciału. Na to pytanie odpowiada aksjomat o oddziaływaniu ciał: dwa ciała oddziałują na siebie siłami o równej wielkości, przeciwnie do siebie i znajdującymi się na tej samej linii prostej. Siły te nazywane są siłami interakcji. Siły oddziałujące są przykładane do różnych oddziałujących ciał. Czyli np. podczas oddziaływania danego ciała z połączeniem jedna z sił oddziaływania przykładana jest od strony ciała do połączenia, a druga siła oddziaływania przykładana jest od strony połączenia do danego ciała . Ta ostatnia moc nazywa się siła reakcji wiązania lub po prostu, reakcja połączenia.

Przy rozwiązywaniu praktycznych problemów dynamiki konieczne jest znalezienie kierunku reakcji różnych typów wiązań. Czasami może w tym pomóc ogólna zasada określania kierunku reakcji wiązania: reakcja wiązania jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku, w którym wiązanie to uniemożliwia ruch danego ciała. Jeśli ten kierunek można jednoznacznie określić, to reakcja połączenia będzie zdeterminowana kierunkiem. W przeciwnym razie kierunek reakcji wiązania jest nieokreślony i można go znaleźć tylko na podstawie odpowiednich równań ruchu lub równowagi ciała. Bardziej szczegółowo kwestię rodzajów wiązań i kierunku ich reakcji należy przestudiować zgodnie z podręcznikiem: S.M. Targ Krótki kurs mechaniki teoretycznej "Szkoła Wyższa", M., 1986. Rozdz.1, §3.

W rozdziale 1 lit. c) powiedziano, że wpływ dowolnego układu sił można w pełni określić tylko wtedy, gdy ten układ sił zostanie przyłożony do ciała swobodnego. Ponieważ większość ciał w rzeczywistości nie jest wolna, to aby zbadać ruch tych ciał, pojawia się pytanie, jak uczynić te ciała wolnymi. Odpowiedź na to pytanie aksjomat powiązań wykładów na filozofia w domu. Wykłady był... Psychologia społeczna i etnopsychologia. 3. Teoretyczny Wyniki W darwinizmie społecznym były ...

teoretyczny Mechanika

Samouczek >> Fizyka

Abstrakcyjny Wykłady na Przedmiot TEORETYCZNY MECHANIKA Dla studentów specjalności: 260501.65... - studia stacjonarne Streszczenie Wykłady opracowano na podstawie: Butorin L.V., Busygina E.B. teoretyczny Mechanika. Przewodnik edukacyjny i praktyczny...

Mechanika teoretyczna- Jest to dział mechaniki, który określa podstawowe prawa ruchu mechanicznego i mechanicznego oddziaływania ciał materialnych.

Mechanika teoretyczna to nauka, w której bada się ruchy ciał w czasie (ruchy mechaniczne). Stanowi podstawę dla innych działów mechaniki (teoria sprężystości, wytrzymałości materiałów, teorii plastyczności, teorii mechanizmów i maszyn, hydroaerodynamiki) oraz wielu dyscyplin technicznych.

ruch mechaniczny zmienia się w czasie? wzajemne stanowisko w przestrzeni ciał materialnych.

Interakcja mechaniczna- jest to takie oddziaływanie, w wyniku którego zmienia się ruch mechaniczny lub zmienia się względne położenie części ciała.

Statyka sztywnego ciała

Statyka- To dział mechaniki teoretycznej, który zajmuje się problematyką równowagi ciał stałych i przekształceniem jednego układu sił w inny, równoważny z nim.

Podstawowe pojęcia i prawa statyki

Absolutnie sztywny korpus(ciało stałe, ciało) jest ciałem materialnym, odległość między dowolnymi punktami nie ulega zmianie.
Punkt materialny jest ciałem, którego wymiary, w zależności od warunków problemu, można zaniedbać.
luźne ciało jest ciałem, na którego ruch nie nakłada się żadnych ograniczeń.
Niewolne (związane) ciało to ciało, którego ruch jest ograniczony.
Znajomości- są to ciała, które uniemożliwiają ruch rozpatrywanego obiektu (ciała lub układu ciał).
Reakcja komunikacyjna jest siłą charakteryzującą działanie wiązania na sztywnym ciele. Jeśli weźmiemy pod uwagę siłę, z jaką ciało sztywne działa na wiązanie, jako działanie, to reakcja wiązania jest działaniem przeciwstawnym. W tym przypadku siła - działanie jest przyłożona do połączenia, a reakcja połączenia jest przyłożona do bryły.
układ mechaniczny to zestaw połączonych ze sobą ciał lub punktów materialnych.
Solidny można uznać za system mechaniczny, którego położenie i odległość między punktami nie ulegają zmianie.
Wytrzymałość jest wielkością wektorową charakteryzującą mechaniczne oddziaływanie jednego ciała materialnego na drugie.
Siła jako wektor jest scharakteryzowana przez punkt przyłożenia, kierunek działania i wartość bezwzględną. Jednostką miary modułu siły jest Newton.
linia siły jest linią prostą, wzdłuż której skierowany jest wektor siły.
Skoncentrowana moc to siła przyłożona w jednym punkcie.
Siły rozłożone (obciążenie rozłożone)- są to siły działające na wszystkie punkty objętości, powierzchni lub długości ciała.
Obciążenie rozłożone jest podane przez siłę działającą na jednostkę objętości (powierzchnia, długość).
Wymiar rozłożonego obciążenia wynosi N/m3 (N/m2, N/m).
Siła zewnętrzna jest siłą działającą z ciała, które nie należy do rozważanego układu mechanicznego.
wewnętrzna siła jest siłą działającą na punkt materialny układu mechanicznego z innego punktu materialnego należącego do rozważanego układu.
System siły to suma sił działających na układ mechaniczny.
Płaski układ sił to układ sił, których linie działania leżą na tej samej płaszczyźnie.
Przestrzenny układ sił to system sił, których linie działania nie leżą na tej samej płaszczyźnie.
Zbieżny system sił to układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie.
Dowolny układ sił to układ sił, których linie działania nie przecinają się w jednym punkcie.
Równoważne układy sił- są to układy sił, których zamiana jednych na drugie nie zmienia stanu mechanicznego ciała.
Przyjęte oznaczenie: .
równowaga Stan, w którym ciało pozostaje nieruchome lub porusza się jednostajnie w linii prostej pod działaniem sił.
Zrównoważony układ sił- jest to układ sił, który przyłożony do swobodnego ciała stałego nie zmienia jego stanu mechanicznego (nie powoduje jego wyważenia).
.
siła wypadkowa jest siłą, której działanie na ciało jest równoważne działaniu układu sił.
.
Moment mocy jest wartością charakteryzującą zdolność obrotową siły.
Para mocy jest układem dwóch równoległych, równych w wartości bezwzględnej, przeciwnie skierowanych sił.
Przyjęte oznaczenie: .
Pod działaniem kilku sił ciało wykona ruch obrotowy.
Projekcja siły na osi- jest to odcinek zamknięty pomiędzy prostopadłymi narysowanymi od początku i końca wektora siły do tej osi.
Rzut jest dodatni, jeśli kierunek odcinka pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi.
Projekcja siły na samolot jest wektorem na płaszczyźnie zamkniętej między prostopadłymi narysowanymi od początku i końca wektora siły do tej płaszczyzny.
Prawo 1 (prawo bezwładności). Izolowany punkt materialny znajduje się w spoczynku lub porusza się jednostajnie i prostoliniowo.
Ruch jednostajny i prostoliniowy punktu materialnego jest ruchem bezwładności. Stan równowagi punktu materialnego i ciała sztywnego rozumiany jest nie tylko jako stan spoczynku, ale również jako ruch bezwładności. W przypadku ciała sztywnego istnieją Różne rodzaje ruch bezwładnościowy, na przykład równomierny obrót sztywnego ciała wokół stałej osi.
Prawo 2. Ciało sztywne znajduje się w równowadze pod działaniem dwóch sił tylko wtedy, gdy siły te są równe co do wielkości i skierowane w przeciwnych kierunkach wzdłuż wspólnej linii działania.
Te dwie siły nazywane są zrównoważonymi.
Ogólnie mówi się, że siły są zrównoważone, jeśli sztywne ciało, do którego te siły są przyłożone, znajduje się w spoczynku.
Prawo 3. Bez naruszania stanu (słowo „stan” oznacza tutaj stan ruchu lub spoczynku) ciała sztywnego, można dodawać i odrzucać siły równoważące.
Konsekwencja. Bez naruszania stanu sztywnego ciała, siła może być przeniesiona wzdłuż linii działania do dowolnego punktu ciała.
Dwa układy sił nazywane są równoważnymi, jeśli jeden z nich można zastąpić innym bez naruszania stanu bryły sztywnej.
Prawo 4. Wypadkowa dwóch sił przyłożonych w jednym punkcie jest przyłożona w tym samym punkcie, jest równa wartości bezwzględnej przekątnej równoległoboku zbudowanego na tych siłach i jest skierowana wzdłuż tego
przekątne.
Moduł wypadkowej to:
Prawo 5 (prawo równości działania i reakcji). Siły, z którymi działają na siebie dwa ciała, są równe co do wielkości i skierowane w przeciwnych kierunkach wzdłuż jednej linii prostej.
Należy pamiętać, że akcja- siła przyłożona do ciała b, I sprzeciw- siła przyłożona do ciała ALE, nie są zrównoważone, ponieważ są przywiązane do różnych ciał.
Prawo 6 (prawo twardnienia). Równowaga ciała niestałego nie zostaje zakłócona podczas krzepnięcia.
Nie należy zapominać, że warunki równowagi, które są konieczne i wystarczające dla bryły sztywnej, są konieczne, ale niewystarczające dla odpowiadającej bryły niesztywnej.
Prawo 7 (prawo zwolnienia z obligacji). Bryłę niewolną można uznać za wolną, jeśli jest mentalnie uwolniona od wiązań, zastępując działanie wiązań odpowiednimi reakcjami wiązań.

Połączenia i ich reakcje

Gładka powierzchnia ogranicza ruch wzdłuż normalnej do powierzchni podparcia. Reakcja skierowana jest prostopadle do powierzchni.
Przegubowa podpora ruchoma ogranicza ruch ciała wzdłuż normalnej do płaszczyzny odniesienia. Reakcja jest kierowana wzdłuż normalnej na powierzchnię nośną.
Wspornik stały przegubowy przeciwdziała wszelkim ruchom w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu.
Przegubowa wędka nieważka przeciwdziała ruchowi ciała wzdłuż linii pręta. Reakcja będzie skierowana wzdłuż linii pręta.
Zakończenie na ślepo przeciwdziała wszelkim ruchom i obrotom w płaszczyźnie. Jej działanie można zastąpić siłą prezentowaną w postaci dwóch składowych i pary sił z momentem.

Kinematyka

Kinematyka- dział mechaniki teoretycznej zajmujący się zagadnieniami ogólnymi właściwości geometryczne ruch mechaniczny jako proces zachodzący w przestrzeni i czasie. Ruchome obiekty są uważane za punkty geometryczne lub ciała geometryczne.

Podstawowe pojęcia kinematyki

Prawo ruchu punktu (ciała) to zależność położenia punktu (ciała) w przestrzeni od czasu.
Trajektoria punktu jest miejscem położenia punktu w przestrzeni podczas jego ruchu.
Prędkość punktu (ciała)- jest to charakterystyka zmiany w czasie położenia punktu (ciała) w przestrzeni.
Przyspieszenie punktu (ciała)- jest to charakterystyka zmiany w czasie prędkości punktu (ciała).

Wyznaczanie charakterystyk kinematycznych punktu

Trajektoria punktu
W wektorowym układzie odniesienia trajektoria jest opisana wyrażeniem: .
W układzie odniesienia za pomocą współrzędnych trajektoria wyznaczana jest zgodnie z prawem ruchu punktu i jest opisana wyrażeniami z = f(x,y) w kosmosie, lub y = f(x)- w samolocie.
W naturalnym układzie odniesienia trajektoria jest z góry określona.
Wyznaczanie prędkości punktu w wektorowym układzie współrzędnych
Przy określaniu ruchu punktu w wektorowym układzie współrzędnych stosunek ruchu do przedziału czasu nazywamy średnią wartością prędkości w tym przedziale czasu: .
Przyjmując interwał czasu jako wartość nieskończenie małą, otrzymujemy wartość prędkości w danym czasie (prędkość chwilowa): .
Wektor prędkości średniej skierowany jest wzdłuż wektora w kierunku ruchu punktu, wektor prędkości chwilowej skierowany jest stycznie do trajektorii w kierunku ruchu punktu.
Wyjście: prędkość punktu jest wielkością wektorową równą pochodnej prawa ruchu względem czasu.
Własność pochodna: pochodna czasu dowolnej wartości określa tempo zmian tej wartości.
Wyznaczanie prędkości punktu w układzie odniesienia współrzędnych
Szybkość zmian współrzędnych punktu:
.
Moduł pełnej prędkości punktu o prostokątnym układzie współrzędnych będzie równy:
.
Kierunek wektora prędkości wyznaczają cosinusy kątów skrętu:
,
gdzie są kąty między wektorem prędkości a osiami współrzędnych.
Wyznaczanie prędkości punktu w naturalnym układzie odniesienia
Prędkość punktu w naturalnym układzie odniesienia definiowana jest jako pochodna prawa ruchu punktu: .
Zgodnie z wcześniejszymi wnioskami wektor prędkości skierowany jest stycznie do trajektorii w kierunku ruchu punktu iw osiach wyznacza tylko jeden rzut .

Kinematyka ciała sztywnego

W kinematyce ciał sztywnych rozwiązywane są dwa główne problemy:
1) zadanie ruchu i określenie właściwości kinematycznych ciała jako całości;
2) określenie charakterystyk kinematycznych punktów korpusu.
Ruch postępowy ciała sztywnego
Ruch postępowy to ruch, w którym linia prosta poprowadzona przez dwa punkty ciała pozostaje równoległa do jego pierwotnego położenia.
Twierdzenie: w ruchu translacyjnym wszystkie punkty ciała poruszają się po tych samych trajektoriach i w każdym momencie mają tę samą prędkość i przyspieszenie w wartości i kierunku bezwzględnym.
Wyjście: ruch postępowy ciała sztywnego jest określony przez ruch dowolnego z jego punktów, a zatem zadanie i badanie jego ruchu sprowadza się do kinematyki punktu.
Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół stałej osi
Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół osi stałej to ruch ciała sztywnego, w którym dwa punkty należące do ciała pozostają nieruchome przez cały czas ruchu.
Pozycja ciała zależy od kąta obrotu. Jednostką miary kąta są radiany. (Radian to kąt środkowy okręgu, którego długość łuku jest równa promieniowi, pełny kąt okręgu zawiera 2π radian.)
Prawo ruchu obrotowego ciała wokół ustalonej osi.
Prędkość kątową i przyspieszenie kątowe ciała wyznaczymy metodą różniczkową:
— prędkość kątowa, rad/s;
— przyspieszenie kątowe, rad/s².
Jeśli przecinamy ciało płaszczyzną prostopadłą do osi, wybierz punkt na osi obrotu OD i arbitralny punkt m, to punkt m opiszę wokół punktu OD promień okręgu r. Podczas dt występuje elementarny obrót o kąt , natomiast punkt m będzie poruszać się po trajektorii na odległość .
Moduł prędkości liniowej:
.
przyspieszenie punktowe m o znanej trajektorii wyznaczają jej składowe:
,
gdzie .
W rezultacie otrzymujemy formuły
przyspieszenie styczne: ;
normalne przyspieszenie: .

Dynamika

Dynamika- To dział mechaniki teoretycznej, który bada ruchy mechaniczne ciał materialnych w zależności od przyczyn, które je wywołują.

Podstawowe pojęcia dynamiki

bezwładność- jest to właściwość ciał materialnych do utrzymywania stanu spoczynku lub jednostajnego ruchu prostoliniowego, dopóki siły zewnętrzne nie zmienią tego stanu.
Waga jest ilościową miarą bezwładności ciała. Jednostką masy jest kilogram (kg).
Punkt materialny jest ciałem o masie, której wymiary są pomijane przy rozwiązywaniu tego problemu.
Środek masy układu mechanicznego jest punktem geometrycznym, którego współrzędne są określone wzorami:

gdzie m k , x k , y k , z k- masa i współrzędne k- ten punkt układu mechanicznego, m to masa systemu.
W jednolitym polu grawitacyjnym położenie środka masy pokrywa się z położeniem środka ciężkości.
Moment bezwładności ciała materialnego wokół osi jest ilościową miarą bezwładności podczas ruchu obrotowego.
Moment bezwładności punktu materialnego względem osi jest równy iloczynowi masy punktu i kwadratu odległości punktu od osi:
.
Moment bezwładności układu (ciała) wokół osi jest równy sumie arytmetycznej momentów bezwładności wszystkich punktów:
Siła bezwładności punktu materialnego jest wielkością wektorową równą w wartości bezwzględnej iloczynowi masy punktu i modułu przyspieszenia i skierowaną przeciwnie do wektora przyspieszenia:
Siła bezwładności ciała materialnego jest wielkością wektorową równą w wartości bezwzględnej iloczynowi masy ciała i modułu przyspieszenia środka masy ciała i skierowaną przeciwnie do wektora przyspieszenia środka masy: ,
gdzie jest przyspieszenie środka masy ciała.
Impuls Siły Żywiołów jest wielkością wektorową równą iloczynowi wektora siły przez nieskończenie mały przedział czasu dt:
.
Całkowity impuls siły dla Δt jest równy całce impulsów elementarnych:
.
Podstawowa praca siły jest skalarem dA, równy skalarowi

państwowa instytucja autonomiczna

Obwód Kaliningradzki

profesjonalny organizacja edukacyjna

Wyższa Szkoła Usług i Turystyki

Przebieg wykładów z przykładami zadania praktyczne

„Podstawy Mechaniki Teoretycznej”

przez dyscyplinęMechanika techniczna

dla uczniów3 kurs

specjalność20.02.04 Bezpieczeństwo przeciwpożarowe

Kaliningrad

ZATWIERDZIĆ

Zastępca Dyrektora SD GAU KO VEO KSTN.N. Miasnikow

ZATWIERDZONY

Rada Metodyczna GAU KO VET KST

UWAŻANE

Na posiedzeniu PCC

Zespół redakcyjny:

Kolganova AA, metodolog

Falaleeva AB, nauczycielka języka i literatury rosyjskiej

Cwietajewa L.V., przewodniczący KPKogólne dyscypliny matematyczno-przyrodnicze

Opracowany przez:

Nezvanova I.V. Wykładowca GAU KO VET KST

Zawartość

Dynamika: podstawowe pojęcia i aksjomaty

Bibliografia

Statyka: podstawowe pojęcia i aksjomaty.

Informacje teoretyczne

Statyka - dział mechaniki teoretycznej, który uwzględnia właściwości sił przyłożonych do punktów ciała sztywnego oraz warunki ich równowagi. Główne zadania:

1. Transformacja układów sił w równoważne układy sił.

2. Wyznaczanie warunków równowagi układów sił działających na ciało sztywne.

punkt materialny nazwany najprostszym modelem ciała materialnego

dowolny kształt, którego wymiary są wystarczająco małe i które można przyjąć jako punkt geometryczny o określonej masie. System mechaniczny to dowolny zbiór punktów materialnych. Ciało absolutnie sztywne to układ mechaniczny, którego odległości między punktami nie zmieniają się pod wpływem żadnych interakcji.

Wytrzymałość jest miarą mechanicznego oddziaływania ciał materialnych ze sobą. Siła jest wielkością wektorową, ponieważ określają ją trzy elementy:

wartość numeryczna;

kierunek;

punkt aplikacji (A).

Jednostką siły jest Newton (N).

Rysunek 1.1

Układ sił to zbiór sił działających na ciało.

Zrównoważony (równy zeru) układ sił to układ, który przyłożony do ciała nie zmienia jego stanu.

Układ sił działających na ciało można zastąpić jedną wypadkową działającą jako układ sił.

Aksjomaty statyki.

Aksjomat 1: Jeżeli na ciało działa zrównoważony układ sił, to porusza się ono jednostajnie i prostoliniowo lub znajduje się w spoczynku (prawo bezwładności).

Aksjomat 2: Ciało absolutnie sztywne znajduje się w równowadze pod działaniem dwóch sił wtedy i tylko wtedy, gdy siły te są równe w wartości bezwzględnej, działają w jednej linii prostej i są skierowane w przeciwnych kierunkach. Rysunek 1.2

Aksjomat 3: Mechaniczny stan ciała nie zostanie zakłócony, jeśli zrównoważony układ sił zostanie dodany lub odjęty od układu sił działających na nie.

Aksjomat 4: Wypadkowa dwóch sił przyłożonych do ciała jest równa ich sumie geometrycznej, to znaczy jest wyrażona w wartości bezwzględnej i kierunku przez przekątną równoległoboku zbudowanego na tych siłach jak na bokach.

Rysunek 1.3.

Aksjomat 5: Siły, z którymi działają na siebie dwa ciała, mają zawsze wartość bezwzględną i są skierowane wzdłuż jednej prostej w przeciwnych kierunkach.

Rysunek 1.4.

Rodzaje wiązań i ich reakcje

znajomości nazywane są wszelkimi ograniczeniami, które uniemożliwiają ruch ciała w przestrzeni. Ciało, dążąc pod działaniem przyłożonych sił do ruchu, czemu uniemożliwia połączenie, będzie oddziaływać na nie z pewną siłą zwaną siła nacisku na połączenie . Zgodnie z prawem równości akcji i reakcji, połączenie będzie oddziaływać na ciało z tym samym modułem, ale przeciwnie skierowaną siłą.
Siła, z jaką to połączenie działa na ciało, uniemożliwiając ten lub inny ruch, nazywa się siła reakcji (reakcja) wiązania .
Jedną z podstawowych zasad mechaniki jest zasada wyzwolenia : każde ciało niewolne można uznać za wolne, jeśli odrzucimy wiązania i zastąpimy ich działanie reakcjami wiązań.

Reakcja wiązania jest skierowana w kierunku przeciwnym do tego, w którym wiązanie nie pozwala ciału się poruszać. Główne rodzaje wiązań i ich reakcje przedstawiono w tabeli 1.1.

Tabela 1.1

Rodzaje wiązań i ich reakcje

Nazwa komunikacji

Symbol

Gładka powierzchnia (podparcie) - powierzchnia (podpora), tarcie, na którym można pominąć dane ciało.
Dzięki bezpłatnemu wsparciu reakcjajest skierowany prostopadle do stycznej przechodzącej przez punktALE kontakt cielesny1 z powierzchnią nośną2 .

Wątek (elastyczny, nierozciągliwy). Połączenie, wykonane w formie nierozciągliwej nici, nie pozwala na odsunięcie się korpusu od miejsca zawieszenia. Dlatego reakcja nici jest skierowana wzdłuż nici do punktu jej zawieszenia.

nieważka wędka – wędka, której wagę można pominąć w porównaniu z postrzeganym obciążeniem.
Reakcja nieważkości przegubowego prostoliniowego pręta jest skierowana wzdłuż osi pręta.

Ruchomy zawias, przegubowa ruchoma podpora. Reakcja jest kierowana wzdłuż normalnej do powierzchni nośnej.

Sztywne zamknięcie. W płaszczyźnie sztywnego osadzenia będą występować dwie składowe reakcji, i moment pary sił, który zapobiega obracaniu się belki1 w stosunku do punktuALE .
Sztywne zamocowanie w przestrzeni odbiera wszystkie sześć stopni swobody od bryły 1 - trzy przemieszczenia wzdłuż osi współrzędnych i trzy obroty wokół tych osi.
W przestrzennym osadzeniu sztywnym będą występować trzy składniki, , i trzy momenty par sił.

Zbieżny system sił

System zbiegających się sił zwany układem sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie. Dwie siły zbiegające się w jednym punkcie, zgodnie z trzecim aksjomatem statyki, można zastąpić jedną siłą -wynikowy .
Główny wektor układu sił - wartość równa geometrycznej sumie sił układu.

Wypadkowa płaskiego układu sił zbieżnych można zdefiniowaćgraficznie I analitycznie.

Dodanie układu sił . Dodawanie płaskiego układu sił zbieżnych odbywa się albo przez sukcesywne dodawanie sił z budową pośredniej wypadkowej (rys. 1.5), albo przez skonstruowanie wielokąta sił (rys. 1.6).

Rysunek 1.5 Rysunek 1.6

Projekcja siły na osi - wielkość algebraiczna równa iloczynowi modułu siły i cosinusa kąta między siłą a dodatnim kierunkiem osi.
WystępFx(rys.1.7) siły na oś xdodatnia, jeśli α jest ostra, ujemna, jeśli α jest tępa. Jeśli siłajest prostopadła do osi, to jej rzut na oś wynosi zero.

Rysunek 1.7

Projekcja siły na samolot Ohu- wektor , zawarta między projekcjami początku i końca siłydo tego samolotu. Tych. rzut siły na płaszczyznę jest wielkością wektorową, charakteryzującą się nie tylko wartość numeryczna, ale także kierunek w samolocieOhu (Rys. 1.8).

Rysunek 1.8

Następnie moduł projekcyjny do samolotu Ohu będzie równa:

Fxy = F cosa,

gdzie α jest kątem między kierunkiem siły i jego projekcja.
Analityczny sposób określania sił . Do analitycznej metody wyznaczania siłynależy wybrać układ osi współrzędnychOhz, w stosunku do którego zostanie określony kierunek siły w przestrzeni.
Wektor przedstawiający siłę, można skonstruować, jeśli znany jest moduł tej siły oraz kąty α, β, γ, jakie tworzy siła z osiami współrzędnych. KropkaALE zastosowanie siły ustawić osobno według jego współrzędnychx, w, z. Możesz ustawić siłę za pomocą jej projekcjifx, fy, F zna osiach współrzędnych. Moduł siły w tym przypadku określa wzór:

i kierunkowe cosinusy:

, .

Analityczna metoda sumowania sił : rzut wektora sumy na pewną oś jest równy sumie algebraicznej rzutów wyrazów wektorów na tę samą oś, tj. jeśli:

następnie , , .
Porozumiewawczy Rx, Ry, Rz, możemy zdefiniować moduł

i kierunkowe cosinusy:

, , .

Rysunek 1.9

Dla równowagi układu sił zbieżnych konieczne i wystarczające jest, aby wypadkowa tych sił była równa zeru.
1) Warunek równowagi geometrycznej dla zbieżnego układu sił : dla równowagi układu sił zbieżnych konieczne i wystarczające jest, aby wielokąt sił zbudowany z tych sił

była zamknięta (koniec wektora ostatniego członu

siła musi pokrywać się z początkiem wektora pierwszego członu siły). Wtedy główny wektor układu sił będzie równy zero ()
2) Warunki równowagi analitycznej . Moduł wektora głównego układu sił określa wzór. =0. O ile , to wyrażenie pierwotne może być równe zero tylko wtedy, gdy każdy termin jednocześnie znika, tj.

Rx= 0, Ry= 0, r z = 0.

Dlatego dla równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych konieczne i wystarczające jest, aby sumy rzutów tych sił na każdą z trzech współrzędnych osi były równe zero:

Dla równowagi płaskiego układu sił zbieżnych konieczne i wystarczające jest, aby suma rzutów sił na każdą z dwóch osi współrzędnych była równa zeru:

Dodanie dwóch równoległych sił w tym samym kierunku.

Rysunek 1.9

Dwie równoległe siły skierowane w tym samym kierunku są redukowane do jednej siły wypadkowej równoległej do nich i skierowanej w tym samym kierunku. Wielkość wypadkowej jest równa sumie wielkości tych sił, a punkt jej przyłożenia C dzieli odległość między liniami działania sił wewnętrznie na części odwrotnie proporcjonalne do wielkości tych sił, czyli

B A C

R=F 1 +F 2

Dodanie dwóch nierównych sił równoległych skierowanych w przeciwnych kierunkach.

Dwie nierówne siły przeciwrównoległe są sprowadzane do jednej siły wypadkowej równoległej do nich i skierowanej w kierunku większej siły. Wielkość wypadkowej jest równa różnicy między wielkościami tych sił, a punkt jej przyłożenia, C, dzieli odległość między liniami działania sił zewnętrznie na części odwrotnie proporcjonalne do wielkości tych sił, które jest

Para sił i moment siły wokół punktu.

Moment siły w stosunku do punktu O jest nazywany, wzięty z odpowiednim znakiem, iloczynem wielkości siły przez odległość h od punktu O do linii działania siły . Ten produkt jest pobierany ze znakiem plus, jeśli siła ma tendencję do obracania ciała w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i ze znakiem -, jeśli siła ma tendencję do obracania ciała w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, czyli . Długość prostopadłej h nazywa sięramię siły punkt O. Efekt działania siły, tj. przyspieszenie kątowe ciała jest tym większe, im większy jest moment siły.

Rysunek 1.11

Kilka sił System nazywany jest systemem składającym się z dwóch równoległych sił o jednakowej wielkości, skierowanych w przeciwnych kierunkach. Nazywa się odległość h między liniami działania siłpary na ramię . Moment pary sił m(F,F") jest iloczynem wartości jednej z sił tworzących parę i ramienia pary, wziętych z odpowiednim znakiem.

Jest zapisany w następujący sposób: m(F, F")= ± F × h, gdzie iloczyn jest brany ze znakiem plus, jeśli para sił ma tendencję do obracania ciała w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i ze znakiem minus, jeśli para sił ma tendencję aby obrócić korpus zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Twierdzenie o sumie momentów sił pary.

Suma momentów sił pary (F,F") względem dowolnego punktu 0 w płaszczyźnie działania pary nie zależy od wyboru tego punktu i jest równa momentowi pary.

Twierdzenie o parach równoważnych. Konsekwencje.

Twierdzenie. Dwie pary, których momenty są sobie równe, są równoważne, tj. (F, F") ~ (P, P")

Następstwo 1 . Parę sił można przenosić w dowolne miejsce w płaszczyźnie jej działania, a także obracać pod dowolnym kątem i zmieniać ramię i wielkość sił pary, zachowując moment pary.

Konsekwencja 2. Para sił nie ma wypadkowej i nie może być zrównoważona przez jedną siłę leżącą w płaszczyźnie pary.

Rysunek 1.12

Warunek sumowania i równowagi dla układu par na płaszczyźnie.

1. Twierdzenie o dodawaniu par leżących na tej samej płaszczyźnie. Układ par, arbitralnie umieszczonych w tej samej płaszczyźnie, można zastąpić jedną parą, której moment jest równy sumie momentów tych par.

2. Twierdzenie o równowadze układu par na płaszczyźnie.

Aby ciało absolutnie sztywne pozostawało w spoczynku pod działaniem układu par, arbitralnie położonych na tej samej płaszczyźnie, konieczne i wystarczające jest, aby suma momentów wszystkich par była równa zero, czyli

Środek ciężkości

Siła grawitacji - wypadkowa sił przyciągania do Ziemi, rozłożonych na całą objętość ciała.

Środek ciężkości ciała - jest to taki punkt, niezmiennie związany z tym ciałem, przez który przebiega linia działania siły grawitacji danego ciała w dowolnym położeniu ciała w przestrzeni.

Metody znajdowania środka ciężkości

1. Metoda symetrii:

1.1. Jeżeli ciało jednorodne ma płaszczyznę symetrii, to środek ciężkości leży na tej płaszczyźnie

1.2. Jeśli jednorodne ciało ma oś symetrii, to środek ciężkości leży na tej osi. Środek ciężkości jednorodnego ciała obrotowego leży na osi obrotu.

1.3 Jeżeli jednorodne ciało ma dwie osie symetrii, to środek ciężkości znajduje się w punkcie ich przecięcia.

2. Sposób podziału: Ciało dzieli się na najmniejszą liczbę części, o których znane są siły grawitacji i położenie środków ciężkości.

3. Metoda mas ujemnych: Przy wyznaczaniu środka ciężkości bryły z wolnymi wnękami należy stosować metodę podziału, przy czym masę swobodnych wnęk należy uznać za ujemną.

Współrzędne środka ciężkości figury płaskiej:

Pozycje środków ciężkości prostych figury geometryczne można obliczyć za pomocą znanych wzorów. (Rysunek 1.13)

Notatka: Środek ciężkości symetrii figury znajduje się na osi symetrii.

Środek ciężkości wędki znajduje się w połowie wysokości.

1.2. Przykłady rozwiązywania praktycznych problemów

Przykład 1: Ciężarek jest zawieszony na pręcie i jest w równowadze. Określ siły w pasku. (Rysunek 1.2.1)

Rozwiązanie:

Siły powstające w prętach mocujących są równe co do wielkości siłom, z którymi pręty przenoszą obciążenie. (5. aksjomat)

Określamy możliwe kierunki reakcji wiązań „sztywnych prętów”.

Wysiłki są skierowane wzdłuż prętów.

Rysunek 1.2.1.

Uwolnijmy punkt A od wiązań, zastępując działanie wiązań ich reakcjami. (Rysunek 1.2.2)

Zacznijmy konstrukcję ze znaną siłą od narysowania wektoraFna pewną skalę.

Od końca wektoraFrysuj linie równoległe do reakcjir 1 Ir 2 .

Rysunek 1.2.2

Przecinające się linie tworzą trójkąt. (Rysunek 1.2.3.). Znając skalę konstrukcji i mierząc długość boków trójkąta, można określić wielkość reakcji w pręcikach.

Do dokładniejszych obliczeń można wykorzystać zależności geometryczne, w szczególności twierdzenie sinus: stosunek boku trójkąta do sinusa przeciwnego kąta jest wartością stałą

W tym przypadku:

Rysunek 1.2.3

Komentarz: Jeżeli kierunek wektora (reakcji sprzęgającej) na danym schemacie iw trójkącie sił nie pokrywa się, to reakcja na schemacie powinna być skierowana w przeciwnym kierunku.

Przykład 2: Wyznacz wielkość i kierunek wypadkowego płaskiego układu sił zbieżnych w sposób analityczny.

Rozwiązanie:

Rysunek 1.2.4

1. Określamy rzuty wszystkich sił układu na Wół (rysunek 1.2.4)

Dodając algebraicznie rzuty, otrzymujemy rzut wypadkowej na oś Wół.

Znak wskazuje, że wypadkowa skierowana jest w lewo.

2. Wyznaczamy rzuty wszystkich sił na oś Oy:

Dodając algebraicznie rzuty, otrzymujemy rzut wypadkowej na oś Oy.

Znak wskazuje, że wypadkowa skierowana jest w dół.

3. Wyznacz moduł wypadkowej przez wielkości rzutów:

4. Wyznacz wartość kąta wypadkowej z osią Ox:

oraz wartość kąta z osią y:

Przykład 3: Oblicz sumę momentów sił względem punktu O (rysunek 1.2.6).

OA= AB= WD=DE=CB=2m

Rysunek 1.2.6

Rozwiązanie:

1. Moment siły względem punktu jest liczbowo równy iloczynowi modułu i ramienia siły.

2. Moment siły jest równy zero, jeśli linia działania siły przechodzi przez punkt.

Przykład 4: Określ położenie środka ciężkości figury pokazanej na rysunku 1.2.7

Rozwiązanie:

Dzielimy liczbę na trzy:

1-prostokąt

ALE 1 =10*20=200cm 2

2-trójkątny

ALE 2 =1/2*10*15=75cm 2

3-okrążenie

ALE 3 =3,14*3 2 = 28,3 cm 2

Rysunek 1 CG: x 1 =10cm, y 1 = 5 cm

Rysunek 2 CG: x 2 =20+1/3*15=25cm, u 2 =1/3*10=3,3 cm

Rysunek 3 CG: x 3 =10cm, y 3 = 5 cm

Definiuje się podobnie dla od = 4,5 cm

Kinematyka: podstawowe pojęcia.

Podstawowe parametry kinematyczne

Trajektoria - linia, którą wyznacza punkt materialny podczas poruszania się w przestrzeni. Trajektoria może być linią prostą i krzywą, płaską i przestrzenną.

Równanie trajektorii ruchu płaskiego: y =F ( x)

Przebyty dystans. Ścieżka jest mierzona wzdłuż ścieżki w kierunku jazdy. Przeznaczenie -S, jednostki miary - metry.

Równanie ruchu punktowego to równanie, które określa położenie poruszającego się punktu w funkcji czasu.

Rysunek 2.1

Położenie punktu w każdym momencie czasu można określić na podstawie odległości przebytej wzdłuż trajektorii od pewnego stałego punktu, uważanego za początek (rysunek 2.1). Ten rodzaj ruchu nazywa sięnaturalny . Zatem równanie ruchu można przedstawić jako S = f (t).

Rysunek 2.2

Położenie punktu można również określić, jeśli jego współrzędne są znane jako funkcja czasu (rysunek 2.2). Następnie w przypadku ruchu na płaszczyźnie należy podać dwa równania:

Kiedy ruch przestrzenny dodaje się trzecią współrzędnąz= F 3 ( T)

Ten rodzaj ruchu nazywa siękoordynować .

Szybkość podróży jest wielkością wektorową charakteryzującą w danej chwili prędkość i kierunek ruchu wzdłuż trajektorii.

Prędkość to wektor skierowany w dowolnym momencie stycznie do trajektorii w kierunku ruchu (rysunek 2.3).

Rysunek 2.3

Jeśli punkt pokonuje równe odległości w równych odstępach czasu, to ruch nazywa sięmundur .

Średnia prędkość w drodze ΔSzdefiniowano:

gdzieS- odległość przebyta w czasie ΔT; Δ T- Przedział czasowy.

Jeśli punkt porusza się po nierównych ścieżkach w równych odstępach czasu, ruch nazywa sięnierówny . W tym przypadku prędkość jest zmienna i zależy od czasuv= F( T)

Aktualna prędkość jest zdefiniowana jako

przyspieszenie punktowe - wielkość wektorowa charakteryzująca szybkość zmian prędkości w wielkości i kierunku.

Prędkość punktu podczas przemieszczania się z punktu M1 do punktu Mg zmienia się pod względem wielkości i kierunku. Średnia wartość przyspieszenia dla tego okresu

Aktualne przyspieszenie:

Zwykle dla wygody rozważa się dwie wzajemnie prostopadłe składowe przyspieszenia: normalną i styczną (rysunek 2.4).

Przyspieszenie normalne a n , charakteryzuje zmianę prędkości przez

kierunek i jest zdefiniowany jako

Przyspieszenie normalne jest zawsze skierowane prostopadle do prędkości w kierunku środka łuku.

Rysunek 2.4

Przyspieszenie styczne a T , charakteryzuje zmianę wielkości prędkości i jest zawsze skierowany stycznie do trajektorii; podczas przyspieszania jego kierunek pokrywa się z kierunkiem prędkości, a podczas zwalniania jest skierowany przeciwnie do kierunku wektora prędkości.

Wartość pełnego przyspieszenia definiuje się jako:

Analiza rodzajów i parametrów kinematycznych ruchów

Ruch jednolity - Jest to ruch ze stałą prędkością:

Dla ruchu jednostajnego prostoliniowego:

Dla ruchu jednostajnego krzywoliniowego:

Prawo ruchu jednostajnego :

Ruch równozmienny – jest ruchem ze stałym przyspieszeniem stycznym:

Dla ruchu jednostajnego prostoliniowego

Dla ruchu jednostajnego krzywoliniowego:

Prawo ruchu jednostajnego:

Wykresy kinematyczne

Wykresy kinematyczne - Są to wykresy zmian ścieżki, prędkości i przyspieszenia w zależności od czasu.

Ruch równomierny (rysunek 2.5)

Rysunek 2.5

Ruch o równych zmiennych (rysunek 2.6)

Rysunek 2.6

Najprostsze ruchy ciała sztywnego

Ruch do przodu nazywany ruchem ciała sztywnego, w którym każda linia prosta na ciele podczas ruchu pozostaje równoległa do jego początkowego położenia (rysunek 2.7)

Rysunek 2.7

W ruchu translacyjnym wszystkie punkty ciała poruszają się w ten sam sposób: prędkości i przyspieszenia są w każdym momencie takie same.

Naruch obrotowy wszystkie punkty ciała opisują okręgi wokół wspólnej stałej osi.

Nazywa się stałą oś, wokół której obracają się wszystkie punkty ciałaoś obrotu.

Aby opisać ruch obrotowy ciała wokół stałej osi, wystarczyopcje narożne. (Rysunek 2.8)

φ jest kątem obrotu ciała;

ω – prędkość kątowa, określa zmianę kąta obrotu w jednostce czasu;

Wyznaczana jest zmiana prędkości kątowej w czasie przyspieszenie kątowe:

2.2. Przykłady rozwiązywania praktycznych problemów

Przykład 1: Podano równanie ruchu punktu. Określ prędkość punktu pod koniec trzeciej sekundy ruchu i średnią prędkość dla pierwszych trzech sekund.

Rozwiązanie:

1. Równanie prędkości

2. Prędkość pod koniec trzeciej sekundy (T=3 C)

3. Średnia prędkość

Przykład 2: Zgodnie z danym prawem ruchu, określ rodzaj ruchu, prędkość początkową i przyspieszenie styczne punktu, czas do zatrzymania.

Rozwiązanie:

1. Rodzaj ruchu: równie zmienny ()
2. Porównując równania, jest oczywiste, że

- początkowa droga przebyta przed rozpoczęciem odliczania 10m;

- prędkość początkowa 20m/s

- stałe przyspieszenie styczne

- przyspieszenie jest ujemne, zatem ruch jest powolny, przyspieszenie skierowane jest w kierunku przeciwnym do prędkości ruchu.

3. Możesz określić czas, w którym prędkość punktu będzie równa zeru.

3. Dynamika: podstawowe pojęcia i aksjomaty

Dynamika - dział mechaniki teoretycznej, w którym ustala się związek między ruchem ciał a siłami na nie działającymi.

W dynamice rozwiązywane są dwa rodzaje problemów:

określić parametry ruchu zgodnie z zadanymi siłami;

określić siły działające na ciało, zgodnie z zadanymi kinematycznymi parametrami ruchu.

Podpunkt materialny implikują pewne ciało, które ma określoną masę (tj. zawiera pewną ilość materii), ale nie ma wymiarów liniowych (nieskończenie mała objętość przestrzeni).
Odosobniony brany jest pod uwagę punkt materialny, na który nie mają wpływu inne punkty materialne. W prawdziwy świat izolowane punkty materialne, jak również izolowane ciała nie istnieją, ta koncepcja jest warunkowa.

W ruchu translacyjnym wszystkie punkty ciała poruszają się w ten sam sposób, więc ciało może być traktowane jako punkt materialny.

Jeśli wymiary ciała są małe w porównaniu do trajektorii, można je również uznać za punkt materialny, który pokrywa się ze środkiem ciężkości ciała.

Podczas ruchu obrotowego ciała punkty mogą nie poruszać się w ten sam sposób, w tym przypadku pewne zapisy dynamiki można zastosować tylko do poszczególnych punktów, a obiekt materialny można traktować jako zbiór punktów materialnych.

Dlatego dynamika dzieli się na dynamikę punktu i dynamikę systemu materialnego.

Aksjomaty dynamiki

Pierwszy aksjomat ( zasada bezwładności): in każdy izolowany punkt materialny znajduje się w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego i prostoliniowego, dopóki przyłożone siły nie wyprowadzą go z tego stanu.

Ten stan nazywa się stanembezwładność. Usuń punkt z tego stanu, tj. daj mu pewne przyspieszenie, może siłę zewnętrzną.

Każde ciało (punkt) mabezwładność. Miarą bezwładności jest masa ciała.

Masa nazywa sięilość materii w ciele w mechanice klasycznej jest uważany za wartość stałą. Jednostką masy jest kilogram (kg).

Drugi aksjomat (Drugie prawo Newtona jest podstawową zasadą dynamiki)

F=ma

gdzieT - masa punktowa, kg;ale - przyspieszenie punktowe, m/s 2 .

Przyspieszenie nadawane punktowi materialnemu przez siłę jest proporcjonalne do wielkości siły i pokrywa się z kierunkiem siły.

Grawitacja działa na wszystkie ciała na Ziemi, nadaje ciału przyspieszenie swobodnego spadania, skierowanego w stronę środka Ziemi:

G=mg

gdzieg- 9,81 m/s², przyspieszenie swobodnego spadania.

Trzeci aksjomat (trzecie prawo Newtona): zSiły oddziaływania dwóch ciał są równe co do wielkości i skierowane wzdłuż tej samej linii prostej w różnych kierunkach.

Podczas interakcji przyspieszenia są odwrotnie proporcjonalne do mas.

Czwarty aksjomat (prawo niezależności działania sił): toKażda siła układu sił działa tak, jakby działała samodzielnie.

Przyspieszenie nadawane punktowi przez układ sił jest równe sumie geometrycznej przyspieszeń nadawanych punktowi przez każdą siłę z osobna (rysunek 3.1):

Rysunek 3.1

Pojęcie tarcia. Rodzaje tarcia.

Tarcie- opór wynikający z ruchu jednego szorstkiego ciała na powierzchni drugiego. Tarcie ślizgowe powoduje tarcie ślizgowe, a tarcie toczne powoduje tarcie kołysania.

Tarcie ślizgowe

Rysunek 3.2.

Powodem jest mechaniczne zazębienie występów. Siła oporu ruchu podczas poślizgu nazywana jest siłą tarcia ślizgowego (rysunek 3.2)

Prawa tarcia ślizgowego:

1. Siła tarcia ślizgowego jest wprost proporcjonalna do siły normalnego ciśnienia:

gdzier- siła normalnego nacisku, skierowana prostopadle do powierzchni nośnej;F- współczynnik tarcia ślizgowego.

Rysunek 3.3.

W przypadku ruchu ciała równia pochyła(Rysunek 3.3)

tarcie toczne

Opór toczenia związany jest z wzajemną deformacją podłoża i koła i jest znacznie mniejszy niż tarcie ślizgowe.

W celu równomiernego toczenia się koła konieczne jest przyłożenie siłyF dv (Rysunek 3.4)

Warunkiem toczenia się koła jest to, że moment ruchu nie może być mniejszy niż moment oporu:

Rysunek 3.4.

Przykład 1: Przykład 2: Do dwóch materialnych punktów masym 1 =2kg im 2 = przyłożone są równe siły 5 kg. Porównaj wartości szybciej.

Rozwiązanie:

Zgodnie z trzecim aksjomatem, dynamika przyspieszenia jest odwrotnie proporcjonalna do mas:

Przykład 3: Wyznacz pracę grawitacji podczas przenoszenia ładunku z punktu A do punktu C wzdłuż nachylonej płaszczyzny (rysunek 3.7). Siła ciężkości ciała wynosi 1500N. AB=6m, BC=4m. Przykład 3: Określ pracę siły cięcia w 3 minuty. Prędkość obrotowa przedmiotu obrabianego wynosi 120 obr/min, średnica przedmiotu obrabianego 40mm, siła cięcia 1kN. (Rysunek 3.8)

Rozwiązanie:

1. Praca z ruchem obrotowym:

2. Prędkość kątowa 120 obr/min

Rysunek 3.8.

3. Liczba obrotów na dany czas toz\u003d 120 * 3 \u003d 360 obr.

Kąt obrotu w tym czasie φ=2πz\u003d 2 * 3,14 * 360 \u003d 2261 rad

4. Pracuj przez 3 tury:W\u003d 1 * 0,02 * 2261 \u003d 45,2 kJ

Bibliografia

Olofińska, wiceprezes „Mechanika Techniczna”, Moskwa „Forum” 2011

Erdedi AA Erdedi N.A. Mechanika teoretyczna. Wytrzymałość materiałów.- R-n-D; Feniks, 2010

w dowolnym kurs treningowy Nauka fizyki zaczyna się od mechaniki. Nie od teorii, nie od stosowanej i nie obliczeniowej, ale od starej dobrej mechaniki klasycznej. Ta mechanika jest również nazywana mechaniką Newtona. Według legendy naukowiec spacerował po ogrodzie, widział spadające jabłko i to właśnie to zjawisko skłoniło go do odkrycia prawa powszechnego ciążenia. Oczywiście prawo istniało od zawsze, a Newton nadał mu tylko formę zrozumiałą dla ludzi, ale jego zasługa jest bezcenna. W tym artykule nie będziemy opisywać praw mechaniki Newtona tak szczegółowo, jak to możliwe, ale przedstawimy podstawy, podstawową wiedzę, definicje i formuły, które zawsze mogą Ci się przydać.

Mechanika to gałąź fizyki, nauka badająca ruch ciał materialnych i interakcje między nimi.

Samo słowo ma pochodzenie greckie i tłumaczy się jako „sztuka budowania maszyn”. Ale zanim zbudujemy maszyny, przed nami jeszcze długa droga, więc podążajmy śladami naszych przodków, a przestudiujemy ruch kamieni rzucanych pod kątem do horyzontu i spadających na głowy jabłek z wysokości h.

Dlaczego nauka fizyki zaczyna się od mechaniki? Bo to zupełnie naturalne, żeby nie zaczynać od równowagi termodynamicznej?!

Mechanika jest jedną z najstarszych nauk i historycznie nauka fizyki rozpoczęła się właśnie od podstaw mechaniki. Umieszczeni w ramach czasu i przestrzeni ludzie nie mogli bowiem zacząć od czegoś innego, bez względu na to, jak bardzo tego chcieli. Ruchome ciała to pierwsza rzecz, na którą zwracamy uwagę.

Czym jest ruch?

Ruch mechaniczny to zmiana położenia ciał w przestrzeni względem siebie w czasie.

To właśnie po tej definicji dochodzimy w sposób naturalny do pojęcia układu odniesienia. Zmiana położenia ciał w przestrzeni względem siebie. Słowa kluczowe tutaj: względem siebie . Wszakże pasażer w samochodzie porusza się z określoną prędkością względem osoby stojącej na poboczu drogi i odpoczywa względem swojego sąsiada na pobliskim siedzeniu oraz porusza się z inną prędkością względem pasażera w samochodzie, który wyprzedza ich.

Dlatego, aby normalnie mierzyć parametry poruszających się obiektów i nie pomylić się, potrzebujemy układ odniesienia - sztywno połączone ciało odniesienia, układ współrzędnych i zegar. Na przykład Ziemia porusza się wokół Słońca w heliocentrycznym układzie odniesienia. W życiu codziennym prawie wszystkie nasze pomiary wykonujemy w geocentrycznym układzie odniesienia związanym z Ziemią. Ziemia jest ciałem odniesienia, względem którego poruszają się samochody, samoloty, ludzie, zwierzęta.

Mechanika jako nauka ma swoje zadanie. Zadaniem mechaniki jest poznanie w każdej chwili położenia ciała w przestrzeni. Innymi słowy, mechanika buduje matematyczny opis ruchu i znajduje powiązania między wielkości fizyczne charakteryzując go.

Aby przejść dalej, potrzebujemy pojęcia „ punkt materialny ”. Mówią fizyka Dokładna nauka, ale fizycy wiedzą, ile przybliżeń i założeń trzeba poczynić, aby zgodzić się co do tej dokładności. Nikt nigdy nie widział punktu materialnego ani nie wąchał gazu doskonałego, ale one istnieją! Po prostu łatwiej się z nimi żyje.

Punkt materialny to ciało, którego wielkość i kształt można pominąć w kontekście tego problemu.

Działy mechaniki klasycznej

Mechanika składa się z kilku sekcji

Kinematyka
Dynamika
Statyka

Kinematyka z fizycznego punktu widzenia dokładnie bada ruchy ciała. Innymi słowy, ta sekcja dotyczy cechy ilościowe ruch. Znajdź prędkość, ścieżkę - typowe zadania kinematyka

Dynamika rozwiązuje pytanie, dlaczego porusza się tak, jak to robi. Oznacza to, że uwzględnia siły działające na ciało.

Statyka bada równowagę ciał pod działaniem sił, czyli odpowiada na pytanie: dlaczego w ogóle nie spada?

Granice stosowalności mechaniki klasycznej

Mechanika klasyczna nie twierdzi już, że jest nauką wyjaśniającą wszystko (na początku ubiegłego wieku wszystko było zupełnie inne) i ma jasne ramy zastosowania. Ogólnie rzecz biorąc, prawa mechaniki klasycznej obowiązują w świecie znanym nam pod względem wielkości (makroświat). Przestają działać w przypadku świata cząstek, gdy klasyczny zostaje zastąpiony przez mechanika kwantowa. Również mechanika klasyczna nie ma zastosowania w przypadkach, w których ruch ciał odbywa się z prędkością bliską prędkości światła. W takich przypadkach efekty relatywistyczne stają się wyraźne. Z grubsza rzecz biorąc, w ramach mechaniki kwantowej i relatywistycznej - mechaniki klasycznej, to szczególny przypadek gdy wymiary ciała są duże, a prędkość niewielka.

Ogólnie rzecz biorąc, efekty kwantowe i relatywistyczne nigdy nie znikają, zachodzą również podczas zwykłego ruchu ciał makroskopowych z prędkością znacznie mniejszą niż prędkość światła. Inna sprawa, że działanie tych efektów jest tak małe, że nie wychodzi poza najdokładniejsze pomiary. W ten sposób mechanika klasyczna nigdy nie straci swojego fundamentalnego znaczenia.

Będziemy kontynuować naukę fundamenty fizyczne mechaniki w kolejnych artykułach. Aby lepiej zrozumieć mechanikę, zawsze możesz odwołać się do nasi autorzy, które indywidualnie rzucają światło na ciemny punkt najtrudniejszego zadania.